Lajes Maciças_2020 (2)

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Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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LAJES MACIÇAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
As lajes são classificadas como elementos planos bidimensionais, que são aqueles 
onde duas dimensões, o comprimento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e muito 
maiores que a terceira dimensão, no caso a espessura. As lajes são também chamadas 
elementos de superfície, ou placas. 
Laje Maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto, contendo 
armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais, e apoiadas em 
vigas ou paredes. 
As lajes maciças de concreto, com espessuras que normalmente variam de 7cm a 
15cm, são projetadas para os mais variados tipos de construção, como edifícios de múltiplos 
pavimentos (residenciais, comerciais, etc.) muros de arrimo, escadas, reservatórios, escolas, 
indústrias, hospitais, pontes, etc. 
 
2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
 
Conhecidos os vãos teóricos (Figura 1) considera-se: 
• lx o menor vão teórico de uma laje retangular; 
• ly o maior vão teórico de uma laje retangular. 
 
• Se ly/lx < 2: Laje armada em duas 
direções. (Figura 1a) 
 
• Se ly/lx > 2: Laje armada em uma 
direção. (Figura 1b) 
 
Figura 1 – Representação das armaduras da laje nas duas direções e em uma direção. Fonte: MELGES 
(2012) 
 
 
 
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 Nas lajes armadas em duas direções, as armaduras dispostas nas duas direções têm 
função estrutural de absorver os esforços de flexão. 
 Nas lajes armadas em uma direção, a armadura principal é colocada na direção do 
menor vão e, na direção perpendicular, é disposta apenas uma armadura de distribuição. 
 
3. VINCULAÇÃO 
 
Existem, basicamente, três tipos de vinculação (ou condições de contorno) das bordas 
das lajes: 
- Borda livre: ausência de apoio, apresenta deslocamentos verticais; 
- Borda simplesmente apoiada: não apresenta deslocamentos verticais; 
- Borda engastada: não apresenta deslocamentos verticais e nem rotações (este é o 
caso, por exemplo de lajes que apresentam continuidade, sendo o 
engastamento promovido pelas lajes adjacentes). 
A Tabela 1 mostra a representação gráfica das vinculações da laje: 
 
Tabela 1 – Representação dos tipos de apoio. Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 Na Tabela 2 são apresentados alguns casos de vinculação, com bordas simplesmente 
apoiadas e engastadas. Nota-se que o comprimento total das bordas engastadas cresce do 
caso 1 até o 6, exceto do caso 3 para o 4A. Outros tipos de vínculos, incluindo bordas livres, 
são indicados em PINHEIRO (1993). 
 
 
 
 
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Tabela 2 – Possíveis casos de vinculação das lajes. Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, 
como ilustrado na Figura 2. Um critério aproximado, possível para este caso, é indicado na 
Tabela 3. 
 
Figura 2 – Caso específico de vinculação. Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
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Tabela 3 – Critério para bordas com uma parte engastada e a outra parte apoiada. Fonte: PINHEIRO 
(2007) 
 
 
4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESPESSURA DA LAJE 
 
A espessura das lajes pode ser obtida com a expressão: 
ℎ = 𝑑 + 1,5 ∗ ϕ + 𝑐 
onde: 
d – altura útil da laje; 
ϕ – diâmetro das barras 
c – cobrimento nominal da armadura 
estimar ϕ = 10mm = 1cm 
A Figura 4, mostra a seção transversal da laje: 
 
Figura 4 – Seção transversal da laje. Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
Na NBR 6118 (2014), não existe recomendação sobre a altura inicial a ser adotada 
para uma laje. Já pela NBR 6118 (1978), item 4.2.3.1.C, a altura útil mínima das lajes pode 
ser dada por: 
𝑑 ≥
𝑙𝑥
𝜓2 ∗ 𝜓3
 
 
 
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Onde: 
𝜓2: coeficiente tabelado, dado em função da relação ly / lx e da vinculação da laje; 
𝜓3: coeficiente tabelado, que depende da tensão da armadura. 
(𝜓2 ; 𝜓3 → Tabela 2.1 de PINHEIRO (1993)) 
 
5. ESTIMATIVA DE CARGAS ATUANTES NAS LAJES 
 
As cargas atuantes nas lajes são de natureza permanente (g) e de natureza acidental 
(q). Os valores dessas são indicadas pela NBR-6120. As cargas de natureza permanente que 
atuam nas lajes, representadas na Figura 5, são compostas basicamente por: 
 
- Peso próprio da laje; 
- Peso da regularização; 
- Peso do enchimento; 
- Peso do revestimento; 
- Peso dos elementos construtivos fixos; 
- Peso das instalações permanentes; outras. 
 
 
Figura 5 – Espessuras dos elementos da laje. Fonte: MELGES (2012) 
 
Peso específico dos materiais: 
- Concreto Armado 25kN/m3 
- Alvenaria de tijolos furados 13kN/m3 
- Alvenaria de tijolos maciços 18kN/m3 
- Argamassa (cimento e areia) 21kN/m3 
- Cerâmica 18kN/m3 
- Ipê, angico, cabriúva 10kN/m3 
 
 
 
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 As cargas de natureza acidental que atuam nas lajes são provenientes de pessoas, 
móveis, veículos, etc. A seguir, apresentam-se alguns valores indicados pela NBR-6120: 
a) Edifícios residenciais: 
- Dormitório, sala, copa, cozinha, banheiro 1,5kN/m2 
- Despensa, área de serviço, lavanderia 2,0kN/m2 
b) Escadas: 
- Com acesso ao público (área comum) 3,0kN/m2 
- Sem acesso ao público (área privativa) 2,0kN/m2 
c) Hall: 
- Com acesso ao público (área comum) 3,0kN/m2 
- Sem acesso ao público (área privativa) 2,5kN/m2 
d) Forros: 
- Sem acesso ao público 0,5kN/m2 
 
Lajes em balanço 
 
 Nas lajes em balanço, como mostra a Figura 6, que se destinam a sacadas, além das 
cargas permanentes e acidentais citadas acima, devem ser considerados os seguintes 
carregamentos: 
 
Figura 6 – Laje em Balanço. Fonte: CAMACHO (2015) 
Onde: 
- q = carga acidental do compartimento que lhe dá acesso; 
- H = 0,8kN/m2 
- V = 2,0kN/m 
 
 
 
 
 
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Paredes sobre as lajes 
 
 Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da 
parede uniformemente distribuída na área da laje, de forma que a carga é o peso total da 
parede dividido pela área da laje, isto é: 
 
𝑔𝑝𝑎𝑟 =
𝑃𝑝𝑎𝑟
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒
=
𝛾𝑎𝑙𝑣 ∗ 𝑒 ∗ ℎ ∗ 𝑙
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒
 
 Sendo: 
𝑔𝑝𝑎𝑟: carga uniforme da parede sobre a laje (KN/m²); 
𝑃𝑝𝑎𝑟: peso total da parede (KN); 
𝛾𝑎𝑙𝑣: peso específico da unidade de alvenaria que compõe a parede (KN/m³); 
𝑒: espessura total da parede (m); 
ℎ: altura da parede(m); 
𝑙: comprimento da parede sobre a laje (m); 
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒: área da laje (m²) = lx * ly 
 
 Para laje armada em uma direção, quando a parede está paralela ao menor lado, a laje 
fica com duas regiões com carregamentos diferentes. Na região I não ocorre a carga da 
parede, que fica limitada apenas na região II (Figura 7). 
 
Figura 7 – Parede paralela à direção do menor lado da laje armada em 1 direção 
 
 
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A carga distribuída devida a parede na faixa 2/3 lx é: 
 
𝑔𝑝𝑎𝑟 =
𝑃𝑝𝑎𝑟
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒
=
𝑃𝑝𝑎𝑟
2
3 ∗ 𝑙𝑥 ∗ 𝑙𝑥
=
2
3
∗
𝑃𝑝𝑎𝑟
𝑙𝑥
2 
Sendo: 
𝑔𝑝𝑎𝑟: carga uniforme da parede sobre a laje (KN/m²); 
𝑃𝑝𝑎𝑟: peso total da parede (KN); 
𝑙𝑥: menor lado da laje (m). 
 
 No caso de parede com direção paralela ao maior lado, a carga da parede deve ser 
considerada como uma força concentrada na viga que representa a laje, como mostra a 
Figura 8. O valor da força concentrada P, representativo da carga da parede, é: 
 
𝑃 = 𝛾𝑎𝑙𝑣 ∗ 𝑒 ∗ ℎ ∗ 1 
Sendo: 
𝑃: força concentrada representativa da parede (KN); 
𝛾𝑎𝑙𝑣: peso específico da unidade de alvenaria que compõe a parede (KN/m³); 
𝑒: espessura total da parede (m); 
ℎ: altura da parede (m); 
 
Figura 8 – Parede paralela à direção do maior lado da laje armada em 1 direção 
 
 
 
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6. MOMENTOS FLETORES 
 
As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes. O 
cálculo dos momentos fletores das lajes pode ser feito por tabelas. As tabelas de PINHEIRO 
(1993), em anexo, foram baseadas nas de BARES (1972), com coeficiente de Poisson igual a 
0,15. 
 O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para reações de apoio. Os 
coeficientes tabelados (𝜇𝑥 , 𝜇′𝑥, 𝜇𝑦, 𝜇′𝑦) são adimensionais, sendo os momentos fletores por 
unidade de largura dados pelas expressões: 
 
𝑀𝑥 = 𝜇𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
 𝑀′𝑥 = 𝜇′𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
 𝑀𝑦 = 𝜇𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
 𝑀′𝑦 = 𝜇′𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
 
 
 Mx, M’x → Momentos fletores na direção x. (Figura 7) 
 My, M’y → Momentos fletores na direção y. (Figura 7) 
 
 Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são calculados a partir 
dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição 𝜆 = 𝑙𝑦/ 𝑙𝑥 > 2. 
 
Figura 7 – Direções dos momentos fletores. Fonte: MELGES (2012) 
 
 
 
 
 
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7. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS FLETORES. 
 
Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são conhecidos como momentos 
positivos e negativos, respectivamente. 
Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio, nos 
vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois valores diferentes 
para o momento negativo. Esta situação está ilustrada na Figura. Daí a necessidade de 
promover a compatibilização desses momentos. 
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o 
maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta 
razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza. 
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos 
na mesma direção devem ser analisados. Os momentos fletores positivos são corrigidos e 
aumentados somando-se ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos 
momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios. 
 
Figura 8 – Compatibilização de momentos fletores. Fonte: BASTOS (2015) 
 
 
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8. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 
Conhecidos os momentos fletores característicos compatibilizados (Mk), passa-se à 
determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito da mesma forma que para vigas, 
admitindo-se a largura b = 1m = 100cm. Obtém-se, dessa forma, uma armadura por metro 
linear. 
Podem ser utilizadas a tabela Kc/Ks, Tabela 1.1 do prof. Libânio, sendo utilizada para o 
cálculo das áreas necessárias das armaduras e a Tabela 1.4 (PINHEIRO (2007)) para a 
escolha do diâmetro e do espaçamento das barras. 
• Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo, em KN.m/m: 
Md = 1,4*Mk 
• Em seguida, calcula-se o valor do Kc, com b = 100cm: 
𝐾𝑐 =
𝑏 ∗ 𝑑2
𝑀𝑑
 
• Conhecidos o valor do Kc, verifica-se o domínio e obtém-se valor de Ks. 
• Calcula-se, então, a área de armadura necessária: 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 ∗
𝑀𝑑
𝑑
 
• Na tabela 1.4, com o valor de As, escolhe-se o diâmetro das barras e o seu 
espaçamento. 
 
9. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
 
9.1 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 
 
a) Armaduras mínimas 
Segundo o item 19.3.3.2 da norma, a armadura mínima em lajes maciças tem a função 
de melhorar o desempenho e a ductilidade a flexão e punção, bem como controlar a 
fissuração. Ela deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por 
telas soldadas. Os valores mínimos de armaduras passivas devem atender a: 
• Armaduras negativas: 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 ≥ 𝜌𝑚í𝑛 ∗ 𝐴𝑐; 
• Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções: 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 ≥ 0,67 ∗ 𝜌𝑚í𝑛 ∗ 𝐴𝑐; 
• Armaduras positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 ≥ 𝜌𝑚í𝑛 ∗ 𝐴𝑐; 
 
 
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Sendo que o valor de 𝜌𝑚í𝑛 é dado pela Tabela 4. 
Tabela 4 – Valores de 𝝆𝒎í𝒏. Fonte: NBR6118-2014 
 
 
b) Armaduras máximas 
A armadura máxima de flexão em lajes é prescrita pela ABNT NBR 6118:2014, o qual 
indica que a soma das armaduras de tração e compressão (As + As’) não podem ter valor 
maior que 4% de Ac. 
 
9.2 Armadura de distribuição e secundária de flexão 
 
 A quantidade de armadura positiva de distribuição (secundária) de lajes armadas em 
uma direção, segundo a Tabela 19.1 da norma, tendo o 𝜌𝑠 o mesmo significado anterior, deve 
atender a: 
• As,dist > 20% da armadura principal e 0,9cm2/m; 
• 𝜌𝑠 > 0,5 * 𝜌𝑚í𝑛. 
 
9.3. Espaçamento e diâmetro máximo 
 
O espaçamento máximo (s) entre as barras da armadura principal de flexão, na região 
dos maiores momentos fletores (item 20.1 da ABNT NBR 6118:2014), deve respeitar 
simultaneamente os dois limites seguintes, sendo h a espessura da laje: 
𝑠 ≤ {
20𝑐𝑚
2 ∗ ℎ
 
 O diâmetro máximo de qualquer barra da armadura de flexão, também segundo o item 
20.1 da norma, deve ser: ∅𝑚á𝑥 ≤ ℎ/8. 
 
 
 
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9.4 Comprimento da armadura negativa sobre os apoios 
 
 Esta recomendação não foi mantida na versão final da ABNT NBR 6118:2014, mas 
julgou-se interessante manter o que prescrevia a ABNT NBR6118:1978, no item 3.3.2.7, 
sobre a armadura negativa sobre os apoios. Quando não se determinar o diagrama exato dos 
momentos negativos em lajes retangulares de edifícios com carga distribuída, é suposto um 
diagrama triangular para o momento fletor negativo sobre a borda comum às duas lajes, como 
mostrado na Figura 9. O triângulo deste diagrama tem a base 0,25*lx1 + 0,25*lx2 e o 
comprimento da armadura negativa deve-se estender com o valor do comprimento de 
ancoragem básico (lb) além da seção de momento fletor nulo, como mostra a Figura 9. 
 
Figura 9 – Extensão da armadura negativa nos apoios com continuidade entre lajes. Fonte: BASTOS 
(2015) 
 
 O comprimento total para a barra negativa é: C = (0,25lx1 + 0,25lx2) + 2*lb + lganchos 
 
 
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9.5 Comprimento da armadura positiva 
 
A NBR 6118-2014, item (20.1), apresenta que “Nas lajes armadas em uma ou em duas 
direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1, e quando não 
houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos 
momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não 
se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 
cm além do eixo teórico do apoio.” 
A Figura 10 mostra um exemplo de detalhamento de armaduras positivas, sendo 
estendidas até os apoios prolongada com 4cm além do eixo da viga. 
 
Figura 10 – Extensão da armadura positiva nos apoios da laje. 
 
9.6 Armadura negativa sobre borda apoiada 
 
 Essa armadura é usada para que não ocorra fissuração excessiva na ligação da face 
superior da laje com a viga. Não se deve adotar espaçamento dessa armadura superior a 
33cm. 
 Em LENHARD & MÖNNIG (1982) e CAMACHO (2015), encontram-se alguns detalhes 
construtivos destas armaduras, mostradas nas Figuras 11 e 12. 
 
 
 
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Figura 11 – Exemplo de detalhamento de armadura negativa sobre borda apoiada. Fonte: CAMACHO 
(2015) 
 
Figura 12 – Armadura construtiva na ligação laje-viga. Fonte: BASTOS (2015) 
 
 
 
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9.7 Armadura negativa de lajes em balanço 
 
 Conforme recomendação do prof. Libânio, sendo L o comprimento da barra no balanço, 
adota-se o comprimento total no trecho horizontal como sendo igual a 2,5L. O gancho 
diferenciado na extremidade da borda livre serve para protegê-la. 
 
 
Figura 12 – Armadura negativa para laje em balanço. Fonte: MELGES (2015) 
 
10. REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES 
 
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas através das suas reações 
de apoio. Embora essa transferência de ações ocorra em regime elástico, o procedimento 
proposto na NBR (2014) para o cálculo das reações baseia-se no comportamento da laje em 
regime plástico, a partir da determinação aproximada das linhas de plastificação, também 
denominadas charneiras plásticas. Este procedimento é conhecido como processo das áreas. 
 
 
 
 
 
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a) Processo das áreas 
 
Conforme o item 14.7.6.1 da NBR 6118 (2014), permite-se calcular as reações de 
apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído considerando-se, 
para cada apoio, carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando-se, a 
partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: 
 
• 45°entre dois apoios do mesmo tipo; 
• 60°a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado; 
• 90°a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda 
vizinha for livre. 
 
Este processo encontra-se ilustrado nos exemplos da Figura 13. Com base nessa 
figura, as reações de apoio por unidade de largura serão dadas por: 
 
𝑣𝑥 =
𝑝 ∗ 𝐴𝑥
𝑙𝑦
 𝑣′𝑥 =
𝑝 ∗ 𝐴′𝑥
𝑙𝑦
 𝑣𝑦 =
𝑝 ∗ 𝐴𝑦
𝑙𝑥
 𝑣′𝑦 =
𝑝 ∗ 𝐴′𝑦
𝑙𝑥
 
 
p → carga total uniformemente distribuída 
lx , ly → menor e maior vão teórico da laje, respectivamente 
vx , v'x → reações de apoio na direção do vão lx 
vy , v'y → reações de apoio na direção do vão ly 
Ax , A'x, Ay , A'y → áreas correspondentes aos apoios considerados 
, → sinal referente às bordas engastadas 
 
Figura 13 – Exemplos de aplicação do processo das Áreas 
 
 
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Convém destacar que as reações de apoio vx ou v’x distribuem-se em uma borda de 
comprimento ly, e vice-versa. As reações assim obtidas são consideradas uniformemente 
distribuídas nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo. 
 
b) Cálculo por meio de tabelas 
 
O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas, como as encontradas 
em PINHEIRO (1993). Tais tabelas, baseadas no Processo das Áreas, fornecem coeficientes 
adimensionais (𝜗𝑥, 𝜗′𝑥, 𝜗𝑦, 𝜗′𝑦), a partir das condições de apoio e da relação 𝜆 = 𝑙𝑦/ 𝑙𝑥, com os 
quais se calculam as reações, dadas por: 
 
𝑣𝑥 = 𝜗𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
10
 𝑣′𝑥 = 𝜗′𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
10
 𝑣𝑦 = 𝜗𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
10
 𝑣′𝑦 = 𝜗′𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
10
 
 
Nas tabelas de PINHEIRO (1993), foram feitas correções dos valores obtidos pelo 
Processo das Áreas, prevendo-se a possibilidade de os momentos nos apoios atuarem com 
intensidades menores que as previstas. 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Dada a planta de forma (Figura 1), determinar a altura útil e a espessura das lajes. 
 
Figura 1 – Planta de Forma para o Exercício 1, 2 e 4, cotas em cm. 
 
 
 
 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝑑 ≥
𝑙𝑥
𝜓2 ∗ 𝜓3
 
 
 
 
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2) Dada a planta de forma (Figura 1), determinar os carregamentos nas lajes. 
 
Figura 1 – Planta de Forma para o Exercício 1, 2 e 4, cotas em cm. 
 
 
- Espessura da laje maciça: 12cm 
- Espessura regularização: 2,5cm. 
- Espessura reboco: 1,5cm. 
- Espessura piso: 2cm. 
- Piso de madeira: L1 eL2. 
- Piso cerâmico: L3, L4 e L5. 
- Peso específico do concreto armado: 
2500kgf/m³ 
- Peso específico regularização: 2100kgf/m³ 
- Peso específico da camada de reboco: 
1900kgf/m³ 
- Peso específico da cerâmica: 1800kgf/m³ 
- Peso específico da madeira: 1000kgf/m³ 
- Carga Acidental todas as lajes: 150kgf/m². 
 
 
 
 
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3) Calcular o peso/m² sobre as lajes, cotas em cm: 
 
 
Figura 2 – Planta de Forma para o exercício 3, cotas em cm. 
 
Dados: 
- Pé-direito: 2,80m 
- Espessura da laje maciça: 12cm 
- Espessura regularização: 3cm. 
- Espessura reboco: 2cm. 
- Espessura piso: 2cm. 
- Espessura forro de gesso: 1,0cm. 
- Piso de madeira: L1 e L2. 
- Piso cerâmico: L3 e L4. 
- Peso específico do concreto armado: 2500kgf/m³ 
- Peso específico regularização: 2100kgf/m³ 
- Peso específico da camada de reboco: 1900kgf/m³ 
- Peso específico da cerâmica: 1800kgf/m³ 
- Peso específico da madeira: 1000kgf/m³ 
- Peso específico da camada de forro de gesso: 1250kgf/m³ 
- Peso específico da parede: 1300kgf/m³ 
- Carga Acidental laje L1: 200kgf/m². 
- Carga Acidental lajes L2 e L3: 150kgf/m². 
- Carga Acidental laje L4: 300kgf/m² 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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4) Dada a planta de forma e os carregamentos nas lajes (Figura 1): 
a) Calcular os momentos fletores em cada laje. 
b) Compatibilizar os momentos fletores. 
c) Dimensionar as armaduras nas lajes. 
d) Calcular as reações de apoio das lajes sobre as vigas. 
 
Figura 1 – Planta de Forma para o Exercício 1, 2 e 4, cotas em cm. 
 
 
 
L1: Pk = 5,67KN/m² 
L2: Pk = 5,67KN/m² 
L3: Pk = 5,51KN/m² 
L4: Pk = 5,51KN/m² 
L5: Pk = 5,51KN/m² 
Sobre-carga guarda-corpo: V=2KN/m 
 H = 0,8KN/m 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝑀 = 𝜇 ∗ 𝑝 ∗
𝑙𝑥
2
100
 
𝑉 = 𝜗 ∗ 𝑝 ∗
𝑙𝑥
10
 
𝑑 ≥
𝑙𝑥
𝜓2 ∗ 𝜓3
 
fck = 20MPa 
Aço CA-50 
c = 2,5cm 
∅ 8,0mm para armadura positiva 
∅ 10,0mm para armadura negativa 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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5) Dada as plantas de forma e os carregamentos (Figuras 3 e 4), dimensionar e detalhar as lajes. 
 
 
Figura 3 – Planta de Forma para o exercício 5 
 
Figura 4 – Planta de Forma para o exercício 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pk = 6,5KN/m² 
Sobre-carga guarda-corpo: V=2KN/m 
 H = 0,8KN/m 
fck = 20MPa 
Aço CA-50 
c = 2,5cm 
∅ 8,0mm para armadura positiva 
∅ 10,0mm para armadura negativa 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝑀 = 𝜇 ∗ 𝑝 ∗
𝑙𝑥
2
100
 
𝑑 ≥
𝑙𝑥
𝜓2 ∗ 𝜓3
 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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6) Você foi designado para fazer parte de uma equipe de um projeto de drenagem urbana. Em um 
dos trechos, está prevista a construção de um canal retangular em concreto armado, enterrado no solo 
conforme mostra a Figura 5. Para efeito de cálculo estrutural, duas hipóteses devem ser verificadas 
(Figura 5). 
Hipótese I: canal vazio – deverá resistir à pressão do solo; 
Hipótese II: canal completamente cheio – deverá resistir à pressão da água, considerando que, tendo 
ocorrido um deslocamento do solo junto as paredes do canal, o solo não exerce pressão sobre estas 
paredes. 
 
 
Figura 5 – Esquema da seção transversal do canal 
 
 Baseado nestas informações, atenda ao solicitado abaixo. 
a) Faça croquis da seção transversal, mostrando onde devem ser colocadas as armaduras do 
canal em concreto para atender as Hipóteses I e II, identificando-as. Identificar as armaduras 
longitudinais. 
b) Faça um croqui da distribuição de pressão que agirá sobre uma das paredes laterais do canal 
quando estiver cheio (Hipótese II), indicando os valores máximo e mínimo da pressão efetiva 
sobre esta parede do canal. Considere que o canal esteja totalmente cheio e em condição 
hidrostática. 
Dados: 
𝛾 : peso específico em KN/m³. 
ℎ: altura da água em metros. 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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7) Dimensionar e detalhar a laje maciça da tampa do reservatório enterrado. 
 
Figura 6 – Esquema da tampa do reservatório 
 
 
 
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 = 25KN/m³ 
𝛾𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 = 18KN/m³ 
fck = 30MPa 
Aço CA-50 
c = 5,0 cm 
∅ 8,0mm para armadura positiva 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝑀 = 𝜇 ∗ 𝑝 ∗
𝑙𝑥
2
100
 
𝑑 ≥
𝑙𝑥
𝜓2 ∗ 𝜓3
 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto Armado II 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de Lajes Maciças 
Data: 1° Semestre 2020 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR 7191 – Execução de 
desenhos para obras de concreto simples ou armado, Rio de Janeiro. 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2014). NBR 6118 – Projeto de 
estruturas de concreto - Procedimento, Rio de Janeiro. 
• BASTOS, P.S.S. (2015). Lajes de Concreto. Departamento de Engenharia Civil-UNESP, 
Bauru. 
• CAMACHO, J.S. (2015). Curso de Concreto Armado (NBR 6118/2014): Estudo das Lajes - 
NEPAE-UNESP, Ilha Solteira. 
• CARVALHO, R. C. (2015). Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto 
Armado. Edufscar. 4ed. São Carlos. 
• GIONGO, J.S. (1996). Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. EESC-USP, São 
Carlos. 
• MELGES, J. L. P. (2012). Módulo 02 – Lajes. Departamento de Engenharia Civil-UNESP, 
Ilha Solteira. 
• PINHEIRO, L.M. (1985). Noções sobre pré-dimensionamento de Estruturas de Edifícios - 
EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas. 
• PINHEIRO, L.M. (2007). Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios - EESC-USP - 
Curso de Especialização em Estruturas.