Estatística - Aula 11 - Distribuição-probabilidade

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Distribuição de 
Probabilidade 
Prof. Victor Gonçalves 
Em uma distribuição de probabilidades é necessário: 
 P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis 
0  P(x)  1 para todo o x. 
A distribuição de probabilidades indica a percentagem de 
vezes que, em grande quantidade de observações, 
podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma 
variável aleatória. 
Distribuição de Probabilidades 
Distribuições de 
probabilidade 
Distribuições 
descontínuas ou 
discretas 
Distribuições 
contínuas 
Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias 
relativas a dados que podem ser contados. 
Exemplos: 
 Número de ocorrências por amostras 
 Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo 
 Número de fumantes presentes em eventos esportivos 
 
Distribuições Descontínuas ou Discretas 
Uniforme ou Retangular 
Binomial 
Binomial Negativa ou de Pascal 
Geométrica 
Poisson 
Multinomial ou Polinomial 
Hipergeométrica 
Formas da 
distribuição 
descontínua 
Quando se usa as distribuições contínuas? 
 A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados; 
A variável aleatória em questão é contínua. 
Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos 
pontos do círculo 
logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero 
Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência 
em um intervalo P(a < x < b); 
Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida 
no intervalo considerado. 
Distribuições Contínuas 
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS 
UNIFORME OU RETANGULAR 
NORMAL 
BIVARIADA NORMAL 
EXPONENCIAL 
LOGNORMAL 
WEIBULL 
QUI-QUADRADO 2 
t DE STUDENT 
F DE SNEDECOR 
GAMA 
BETA 
ERLANG 
( formas) 
Distribuições Contínuas 
Um pouco de história 
No século XVIII, astrônomos e outros 
cientistas observaram que medidas 
repetidas de mensurações como a 
distância à lua variavam como na figura, 
quando coletadas em grande número. 
Esta forma gráfica era associada aos 
erros de mensuração, daí o nome de 
“Distribuição normal dos erros” e depois 
“Distribuição normal” 
Também é conhecida por “Distribuição 
Gaussiana”, em função do modelo 
matemático desenvolvido por Karl F. 
Gauss para este comportamento. 
Distribuição Normal 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
25 40 55 70 85 10
0
11
5
Peso da população adulta 
n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
13
3
13
7
14
1
14
5
14
9
15
3
15
7
16
1
16
5
16
9
 Altura de universitários 
 n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm 
0,00
0,05
0,10
0,15
29
,5
29
,6
29
,7
29
,8
29
,9 30
30
,1
30
,2
30
,3
30
,4
30
,5
Comprimento de uma régua 
n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
19
7
21
5
23
3
25
1
26
9
28
7
30
5
 Pessoas num restaurante 
 µ = 250 por dia s = 20 por dia 
Distribuição Normal - Exemplos 
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de 
muitos fenômenos naturais e físicos 
Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) 
quando n é grande 
Representa a distribuição das médias e proporções em grandes 
amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais 
importante) 
Distribuição Normal 
Curva normal típica 
Média = µ 
Desvio padrão =  
média   
Forma de uma boca de sino 
50% 50% 
Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) 
Distribuição Normal 
1. A curva normal tem a forma de sino 
2. É simétrica em relação a média 
3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica) 
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; 
há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão) 
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1 
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma 
variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos 
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída 
tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica 
da distribuição contínua) 
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do 
número de desvios padrões entre a média e aquele ponto 
Distribuição Normal - Características 
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois 
pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos 
µ a b 
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva 
Distribuição Normal 
OBSERVAÇÃO: 
x - µ = distância do ponto considerado à média 
x - µ 
 
z = 
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 
desvios padrões 
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para 
valores de x inferiores à média 
e 
f(x) = 
x – ponto considerado da distrib. 
 µ - média da distribuição 
  - desvio padrão da distribuição 
-1 
2 
( ) x - µ 
2 
 
2  
1 
Distribuição Normal 
A distância entre a média e um ponto 
qualquer é dado em número de desvios 
padrões (z) 
Normal 
padronizada 
Normal não 
padronizada 
z = 
x - µ 
 
µ x 0 z 
P P 
Distribuição Normal 
70 80 90 100 110 120 130 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
µ = 100,0 
 = 10,0 
escala efetiva 
escala padronizada 
Escala efetiva X Escala padronizada 
Distribuição Normal 
Como calcular Z ? 
 µ  x x - µ (x - µ)/  = z 
média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa 
40 1 42 2 2 
37 38 39 40 41 42 43 escala efetiva 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
(42 – 40)/1 = 2 
S = 1 
Distribuição Normal 
Z = (x - µ)/  
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
68% 
95,5% 
99,7% 
Distribuição Normal 
Probabilidade de uma 
variável aleatória normal 
tomar um valor z entre a 
média e o ponto situado a 
z desvios padrões 
z área entre a média e z 
1,00 0,3413 
 1,50 0,4332 
2,13 0,4834 
 2,77 0,4972 
área tabelada = área desejada 
0 z 
Distribuição Normal - Consultando a tabela 
P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 
0 z 
Distribuição Normal - Consultando a tabela 
0 z 
Distribuição Normal - Tabela 
Determinando a área entre dois 
pontos quaisquer 
Exemplos 
Determinando a área (probabilidade) 
sob a curva entre dois pontos 
entorno da média 
0,1359 
0 +1 +2 
0,3413 
0,4772 
-1 0 +1 
0,3413 0,3413 
Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade 
As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são 
normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão 
de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a 
probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115. 
P(80 < x < 115) 
Distribuição normal 
P(–1,67 < z < 1,25) 
0,4525 + 0,3944 = 0,8469 
A probabilidade de uma conta 
estar entre US$ 80 e US$ 115 é 
0,8469 (84,69%). 
Exercício 
1,67 1,25 
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência 
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal 
com desvio-padrão de 120psi. i) Desenhe a distribuição de probabilidade ii) Qual a 
probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 
dias menor que 3850psi? 
N(;) = N(4000,120) psi 
X = 3850psi 
%56,101056,0)25,1( ZP
 3850 4000 
-1,25 
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56% 
25,1
120
40003850






X
z
P(z ≤ -1,25) 
Distribuição Normal - Exemplos 
 
N(,) = N(50;15) diasX = 31 dias 
2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem 
acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma 
variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. 
Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente 
quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? 
27,1
15
5031






X
z
%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1(  oZP
Consultando tabela: 
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas 
X 
Z 
f(x) 
50
0 
31 
-1,27 
35 20 
Distribuição Normal - Exemplos 
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo 
comprimento pode ser considerado uma variável normalmente 
distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a 
 = 0,09 metros. i) Desenhe a distribuição de probabilidade ii) 
Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos 
tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? 
N(,) = N(10;0,09) metros 
X = 10,20m 
22,2
09,0
1020,10






X
z
%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2(  ZPZP
f(x) 
10
X 10,20 
0 2,22 Z 
Distribuição Normal - Exemplos 
Consultando tabela 
temos: 
4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PM-RJ 
de Niterói atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão 
de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída 
para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. 
CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA 
NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS 
%18,90918,04082,05,0)33,1()4(  ZPxP
Consultando 
a tabela: 
33,1
3
84






X
z
N(,) = N(8;3) minutos 
X < 4 minutos 
f(x) 
X 8 
0 
4 
Z -1,33 
Distribuição Normal - Exemplos 
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão 
de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas 
defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? 
ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL 
)3()3()97,1()03,2(  ZPZPxouPxP
3
01,0
203,2
1 





X
z
f(x) 
2
X 2 
0 3 Z 
2,03 1,97 
-3 
N(,) = N(2,00;0,01) 
X1 = 2,03 e X2=1,97 
3
01,0
297,1
2 





X
z
Consultando 
tabela: %28,00014,00014,0)3()3(  ZPZP
Distribuição Normal - Exemplos 
6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 
anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito 
dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de 
produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 
5% de trocas. 
ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA 
N(,) = N(8;1,8) anos 
X=? 
z
? 0,05
)( oZ
anosX 03,5
Distribuição Normal - Exemplos