Aula 9 Variaveis aleatorias multidimensionais discretas e continuas

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Distribuições Multidimensionais de 
Probabilidade para 
Variáveis Discretas e Contínuas 
Distribuições Marginais
Aula 9
Variáveis Aleatórias Discretas
• Variável aleatória discreta– função definida 
em um espaço amostral que associa a cada 
resultado de um experimento um número 
discreto
• Variáveis
– Simples – única - 1D
– Complexa – várias – nD - multidimensional
Exemplos de variáveis nD
• Exemplo 1
– Evento: pouso de aviões em aeroportos (logística)
– Variáveis X–GRU Y-LAX Z-IAH
• Exemplo 2
– Evento: jogar dado e roleta
– Variáveis X – número no dado Y – número na roleta
• Exemplo 3
– Experimento: Questionário do IBGE
– Variáveis X – no. de banheiros Y – no de carros 
Exemplos de variáveis nD
• Engenharia Civil: 
• Precipitação intensidade e duração 
• Chuva e vento
• Terremotos: intensidade e duração
• Estrutura: esforços e resistência dos materiais
• Descarga atmosférica e turbulência
• Enfim....existem inúmeros fenômenos que 
devem ser tratados simultaneamente....
Distribuição de probabilidades nD
• Representa a intersecção dos conjuntos P(X1), 
P(X2), P(Xn)
• Muito empregada na representação de 
eventos multivariados em engenharia:
– probabilidade de marés e onda
– probabilidade de esforços longitudinais e verticais
Exemplo de Problema 
V.A. Discreta
• Sejam 32 cartas utilizadas no jogo de poquer 
(8 cartas em 4 naipes)
• Se duas cartas são dadas a cada jogador
– X - número de ases
– Y - número de cartas de copas
• Sabe-se que X = 0, 1, 2 e Y=0, 1, 2
Qual a probabilidade de nenhum ás 
e nenhuma carta de copas?
• P(X=0,Y=0)=?
• Espaço amostral : 32 cartas combinadas 2 a 2
32
2 = 496
• Não tirar nenhum ás nem copas representa 
combinar 32-4-7 = 21 cartas 2 a 2
��
� =210
P(X=0,Y=0)=0,43
• P(X=1,Y=1)=?
• Se tirar o ás de copas a outra não é copas (32-
4-7)
• Se tirar 1 ás, a outra é copas 
��
� + 
� �� =42
P(X=1,Y=1)=0,085
Qual a probabilidade de um ás 
e uma carta de copas?
• P(X=2,Y=0)=?
• Tirar 2 ases e nenhum copas 
� =1,5
P(X=2,Y=0)=0,0030
Qual a probabilidade de dois ás 
e nenhuma carta de copas?
Qual a probabilidade de um ás e 
outra carta também de copas?
• P(X=1,Y=2)=?
�
�
�
� =7
P(X=1,Y=2)=0,014
Função de Distribuição de Probabilidade nD
• A soma acima é a função de distribuição de 
probabilidades (acumulada) multi-variada (nD)
Distribuições Marginais
• Se P(X=xi, Y=yj) para i=1,m e j=1,n representa a 
probabilidade conjunta do evento bivariado 
(X,Y)
• As funções 
representam a probabilidades marginais para 
X=xi e Y=yj
No problema do pôquer, determinar as probabilidades 
marginais 
• P(X=0)=P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=2)
��
� + �� ��� + ��
�
�
• P(X=1)=P(X=1,Y=0)+ P(X=1,Y=1) + P(X=1,Y=2)
�
��
� + ��� + 
� �� + ��
�
�
• P(X=2)=P(X=2,Y=0)+ P(X=2,Y=1) + P(X=2,Y=2)
� + 
� + ��
�
�X ou Y P(X) P(Y)
0 378/496 276/496
1 112/496 192/496
2 6/496 28/496
Tabela de 
Probabilidades Marginais X,Y
Probabilidade Conjunta
• Exemplo: considere o conjunto de 32 cartas e 
determine a probabilidade conjunta de serem 
recebidas 
– Número de ases
– Cartas de copas 
– Cartas de ouros
Solução
• P(X=0,Y=0,Z=0) = 

��������
��
=
���
��
• P(X=1,Y=0,Z=1) = 
��� � �� ��
��
• P(X=1,Y=1,Z=0) = 
��� � ��
��
• P(X=1,Y=1,Z=1) = 
�� � ��
��
Covariância
• X,Y variável bidimensional aleatória
• E(X) e E(Y) são as esperanças matemáticas
• A covariância representa a dispersão em torno 
do ponto E(X), E(Y)
• ������� = � �� � � � � �� � � � �
Exemplo
• Globo com 3 bolas brancas 2 duas vermelhas
• Retiram-se 2 bolas X e Y, sem reposição, 
atribuindo-se ao resultado 1 se a bola for 
branca e 0 se for vermelha
• E(X) = 3/5
• E(Y) = 3/5
• E(X,Y)=3/10
• COV(X,Y) = 6/20-3/5 x 3/5 = -3/50
Coeficiente de Correlação
• Indica o grau de dependência entre variáveis
• Se Cov(X,Y) = 0 as variáveis são 
independentes!....mas o inverso nem sempre 
é verdadeiro….
Exercício
Exercício
Agora vamos ver o caso em que as 
variáveis aleatórias são contínuas
As equações vistas se mantém para as variáveis contínuas:
� � �, � "�"� = 1
�$
%$
�$
%$
As Distribuições Marginais de x e y
 & � = � �, � . "�
�$
%$
 ( � = � �, � . "�
�$
%$
Seja (x,y) uma v.a. bidimensional cuja densidade de probabilidade é dada 
por:
 �, � � 
)� �� 	 �� 			+,-,			0 / � / 2 e 0 / � / 4
Sendo zero no complementar desse retângulo. Determinar as distribuições 
marginais de x e y e calcular a probabilidade x+y/ 3.
 0 � � � 380 �� 	 �� . "� � 	
3
20 �� 	
3
10 �
2
�
 3 � � � 380 �� 	 �� . "� �
1
10 	
3
40 �
�
�
Cálculo da probabilidade de
x+y/ 3,	
�,4�5	678ã�	�:56-�,-	�	;786-�,<�	"�	"�4í7;�	
"658,	+-�:,:;<;","6
P((x+y/ 3� � > ?> 
)� �� 	 �� . "�
%0
�
�
� @. "� � ��)�
EXERCÍCIO:
A relação entre 
função acumulada (F) e sua 
função densidade de probabilidade (f)
 �, � = "
�A��, ��
d0"3
• 0<=F(x,y)<=1
• F(x,y) é continua à direita em cada uma das variáveis x e y
• lim0→%$3→%$ A��, �� = 0 lim0→$ 3→$ A �, � = 1
G�,� < � ≤ :�, ,� < � ≤ :2)=A :�, :� � A ,�, :� � A ,�, :� + A�,�, ,��
Lembrando que no caso uni variado: G , < � ≤ : = A : � A�,�
Agora para a bivariada temos:
Propriedades Básicas:
Independência entre v.a.’s
As variáveis aleatórias X e Y cuja densidade conjunta é f(x,y), para o 
domínio de x e y, e cujas densidades marginais são denotadas por 
 0 � 6 ( �
Elas são ditas independentes para todo par de valores de (x,y) se tivermos:
 &( �, � = & � . ( �
Vale também a seguinte relação:
A&,( �, � = A& � . A(���
Sejam X e Y v.a. contínuas, se elas forem independentes:
E(XY) = E(X). E(Y)
Exercício:
Seja:
 �, � = �6%0�3��� +,-, 0 < � < ∞ 6 0 < � < ∞ 
6 J6-� 7� K�4+<64678,-, �6-; ;K,- 56 � 6 � 5ã� ;7"6+67"67865
Solução:
Determinar as funções marginais de x e y 
 0 � = � �6%0�3���
$
�
. "� = 6%0
 ( � = � �6%0�3���
$
�
dx = 1�� + 1��
Observa-se que o produto das marginais é diferente da conjunta, portanto, NÃO 
SÃO INDEPENDENTES!!!!
Distribuição Condicional
 ( &⁄ � �⁄ � &,(��, �� &�0�
imagens
x
y
f (x,y)
dxdy)y,x(f)Ay,x(P
A
∫∫=∈
x
y
f(x,y)
∫
∞
−∞=
=
x
dx)y,x(f)y(f
Marginal Distribution
x
y
f (x,y)
Conditional Distribution
)x(f
)y,x(f
)x|y(f =
A Distribuição Normal
Demonstra-se que as marginais de x e 
y são normais
• �~O P�; R� 6 �~O P�; R�
• A Função Acumulada: P(X≤ �, � ≤ �� = A��, ��
• A �, � = > > S, � . "S. "�3%$0%$
Normal Bivariada
• Normal Bivariada (x,y) com P�, P�, R��, R�� 6 T
• �, � =
�
�UV�V� ��%W� exp Z�
�
� �%W� [
0%\� �
V�� �
�W 0%\� 3%\�
V�V� +
3%\� �
V�� ]^ K�4 � ∞ < � <+ ∞, �∞ < � < +∞ 6 T ≤ 1 
Outras propriedades da Normal:
Se
� é S4, O P; R� 678ã� 
� = ,� + : é um N aμ + :; ,R �
onde Y= aX+b é um modelo de regressão linear
Se �~O P0; R0� 6 �~O P3; R3� 6 5ã� ;7"6+67"67865 
678ã� 
 
� + � ~O�P0 + P3; R0� + R3�� 
e
� � � ~ O�P0 � P3; R0� + R3��
EXERCÍCIOS
x
y
y
x
Dica de integração 
das funções 
bivariadas
Considere a Função densidade bivariada:
 �, � � 6%�0�3�			K�4			� d 0		6		� d 0
Determinar:
G�� d � d 2�
Vamos em primeiro lugar determinar o espaço (x,y) em será feita a 
integral para determinar a probabilidade desejada:
� d 2			� d 2			6			� � � d 0
G � d � d 2 � 	� � 6%�0�3�"�	"�
0
3e�
$
0e�
Resposta: 
�
� 	6%2
Seja a seguinte distribuição densidade conjunta:
 �, � � 0,1	7,	-6f;ã�	g
 �, � � 0,2	7,	-6f;ã�	gg
 �, � � 0,3	7,	-6f;ã�	ggg
 �, � � 0,4	7,	-6f;ã�	gh
Determinar a P(X+Y<2)
Qual a região de integração da função 
densidade?
G � 	 � H 2 �
> �, � . "i � > 0,1"i 	 > 0,2"i 	 > 0,4"ijklm
= 0,1x1+0,2x1/2+0,4x1/2 = 0,4
Funções de Diversas Variáveis Aleatórias
Mudança de Variável
X e Y são variáveis independentes e cada uma possui distribuição de 
parâmetro λ. Determinar a distribuição da variável aleatória Z dada por:
Z=Y-X
 � � n6%o0 +,-, � ≥ 0
 � = n6%o3 +,-, � ≥ 0
Portanto:
 �, � = � . � = n�6%o�0�3� +,-, � ≥ 0 6 � ≥ 0
Portanto:
Ap J = Gq ≤ J = G � � � ≤ J = � �, � "imrstãu
A região é formada pelo conjunto de pontos (x,y) no universo tal que:
� � � / J
Imaginando que z é uma constante. A Região é diferente para diferentes z’s, 
temos dois casos:
Caso 1 - J d 0
Ap J � � � n�6%o�0�3�"�"� � 1 � 12 6%ov
0�v
3e�
$
0e�
Caso 2 - J / 0
J / 0					,	-6f;ã�	"6	;786f-,çã�	é:
Ap J � � � n�6%o�0�3�"�"�
0�v
3e�
�	12 6%ov
$
0e%v
Ap J �
1
2 6%ov		56		J / 0
1 � 12 6%ov		56		J d 0
 p J � "Ap�J�"J
Ver também exemplos do livro Dantas nas páginas 197 e 199