Testes não paramétricos

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Onde estamos
Até este ponto no livro, você estudou dezenas de fór-
mulas e testes estatísticos diferentes que podem ajudar 
em um processo de tomada de decisão. Condições es-
pecíficas tinham de ser satisfeitas a fim de usar essas 
fórmulas e testes.
Suponha que se acredite que, conforme o número de 
reclamações de fraude em um estado aumenta, o núme-
ro de vítimas de roubo de identidade também aumen-
ta. Essa crença pode ser confirmada por dados reais? 
A Tabela 11.1 mostra os números de reclamações de 
fraude e vítimas de roubo de identidade para 25 estados 
selecionados aleatoriamente em um ano recente. (Fonte: 
Federal Trade Commission.)
Tabela 11.1
Reclamações de fraude 19.470 33.434 28.285 15.906 5.165 58.543 5.973 6.693
Vítimas de roubo de identidade 5.060 7.032 4.864 2.915 902 19.232 658 905
Reclamações de fraude 10.644 5.224 33.199 49.501 3.729 15.446 6.600 82.289
Vítimas de roubo de identidade 2.077 666 6.178 12.075 501 3.032 782 21.538
Reclamações de fraude 50.128 13.173 18.399 4.549 2.427 28.091 9.907 33.720 6.204
Vítimas de roubo de identidade 8.891 2.586 2.467 963 330 5.690 1.586 5.373 1.002
Para onde vamos
Neste capítulo você estudará testes estatísticos adi-
cionais que não necessitam que a distribuição da popula-
ção satisfaça quaisquer condições específicas. Cada um 
desses testes pode ser útil em aplicações da vida real. 
Com os dados acima, o número de reclamações de 
fraude F e o número de vítimas de roubo de identidade V 
podem ser relacionados pela equação de regressão V = 
0,264F – 1.080,306. O coeficiente de correlação é aproxi-
Em um ano 
recente, a forma 
mais comum de 
roubo de identidade 
relatada foi fraude 
de documentos/
benefícios do 
governo, que 
representou 46% 
dos casos. A 
segunda forma 
mais comum foi 
fraude de cartão 
de crédito, que 
respondeu por 
13% dos casos.
11.1 Teste dos sinais
11.2 Testes de Wilcoxon
 • Estudo de caso
11.3 Teste de Kruskal-Wallis
11.4 Correlação de postos
11.5 Teste de corridas
 • Usos e abusos
 • Estatística real – Decisões reais
 • Tecnologia
Testes não 
paramétricos11
G
uy
 S
ha
pi
ra
/S
hu
tte
rs
to
ck
11.1 Teste dos sinais
O teste dos sinais para uma mediana populacional • O teste dos sinais usando 
amostras pareadas
O teste dos sinais para uma mediana 
populacional
Muitos dos testes de hipótese estudados até aqui impuseram um ou 
mais requisitos para uma distribuição populacional. Por exemplo, alguns 
testes requerem que uma população tenha uma distribuição normal e ou-
tros testes requerem que as variâncias populacionais sejam iguais. O que 
você deve fazer quando tais requisitos não podem ser satisfeitos? Para esses 
casos, os estatísticos desenvolveram testes de hipóteses usados para dados 
com “distribuição livre”. Tais testes são chamados testes não paramétricos.
Definição 
Um teste não paramétrico é um teste de hipótese que não requer quaisquer 
condições específicas acerca das formas das distribuições populacionais ou 
dos valores de parâmetros populacionais.
Testes não paramétricos geralmente são mais fáceis de realizar do que 
os testes paramétricos correspondentes. No entanto, eles são, em geral, me-
nos eficientes que testes paramétricos. Evidências mais fortes são necessá-
rias para rejeitar uma hipótese nula usando os resultados de um teste não 
madamente 0,965, então há uma correlação positiva for-
te. Você pode determinar que a correlação é significativa 
usando a Tabela B.11 no Apêndice B. Uma análise mais 
profunda dos dados, contudo, pode mostrar que as vari-
áveis não parecem ter uma distribuição normal bivariada, 
o que é um dos requisitos para usar o coeficiente de cor-
relação de Pearson.
Assim, embora um simples teste de correlação pos-
sa indicar uma relação entre o número de reclamações 
de fraude e o número de vítimas de roubo de identidade, 
podem-se questionar os resultados porque os dados não 
se encaixam nos requisitos para o teste. Você estudará 
testes similares neste capítulo, como o teste de correla-
ção de postos de Spearman, que lhe darão informações 
adicionais. O coeficiente de correlação de postos de 
Spearman para esses dados é aproximadamente 0,965. 
Com a = 0,01, há de fato uma correlação significativa 
entre o número de reclamações de fraude e o número 
de vítimas de roubo de identidade para cada estado (veja 
a Figura 11.1).
Figura 11.1 Número de reclamações de fraude e vítimas de roubo de identidade para 25 estados.
Reclamações de fraude
V
íti
m
as
 d
e 
ro
ub
o 
de
 id
en
tid
ad
e
x
y
20.000 40.000 60.000 80.000 100.000
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
O que você deve aprender
 • Como usar o teste dos sinais 
para testar uma mediana 
populacional.
 • Como aplicar o teste dos 
sinais usando amostras 
pareadas para testar a 
diferença entre duas medianas 
populacionais (amostras 
dependentes).
2 Estatística aplicada
paramétrico. Consequentemente, sempre que possível, você deve usar um 
teste paramétrico. Um dos testes não paramétricos mais fáceis de realizar é 
o teste dos sinais. A única condição necessária para usar um teste dos sinais 
é que a amostra seja selecionada aleatoriamente.
Definição 
O teste dos sinais é um teste não paramétrico que pode ser usado para testar 
uma mediana populacional contra um valor hipotético k.
O teste dos sinais para uma mediana populacional pode ser unilateral 
à esquerda, unilateral à direita ou bilateral. As hipóteses nula e alternativa 
para cada tipo de teste são as seguintes:
Teste unilateral à esquerda:
 H0: mediana ≥ k e Ha: mediana < k
Teste unilateral à direita:
 H0: mediana ≤ k e Ha: mediana > k
Teste bilateral:
 H0: mediana = k e Ha: mediana ≠ k.
Para usar o teste de sinais, primeiro compare cada valor na amostra 
com a mediana hipotética k. Quando o valor estiver abaixo da media-
na, atribua-lhe um sinal –; quando o valor estiver acima da mediana, 
atribua-lhe um sinal + e, quando o valor for igual à mediana, atribua-lhe 
um 0. Então, compare o número de sinais + e – (os zeros são ignorados). 
Quando houver uma grande diferença entre o número de sinais + e o 
número de sinais –, é provável que a mediana seja diferente do valor 
hipotético e você deve rejeitar a hipótese nula.
A Tabela B.8 no Apêndice B lista os valores críticos para o teste dos 
sinais para níveis de significância selecionados e tamanhos de amostras. 
Quando o teste de sinais é usado, o tamanho da amostra n é o número total 
de sinais + e –. Quando o tamanho da amostra é maior que 25, você pode 
usar a distribuição normal padrão para encontrar os valores críticos.
Estatística de teste para o teste dos sinais 
Quando n ≤ 25, a estatística de teste para o teste dos sinais é x, o menor 
número dos sinais + ou –.
Quando n > 25, a estatística de teste para o teste de sinais é:
 
z =
1x + 0,52 - 0,5n
1n
2
em que x é o menor número de sinais + ou – e n é o tamanho da amostra, isto 
é, o número total dos sinais + e –.
Uma vez que x é definido como o menor número dos sinais + ou –, a 
região de rejeição está sempre na lateral esquerda. Consequentemente, 
o teste dos sinais para uma mediana populacional é sempre um teste 
unilateral à esquerda ou um teste bilateral. Quando o teste for bilateral, 
use apenas o valor crítico da lateral à esquerda. (Quando x é definido 
como o maior número dos sinais + ou –, a região de rejeição está sempre 
na lateral direita. Testes dos sinais unilaterais à direita são apresentados 
nos exercícios.)
Entenda
Para testes não paramétricos, os 
estatísticos testam a mediana 
em vez 
da média.
Entenda
Já que os zeros são ignorados, há 
dois resultados possíveis quando 
comparamos uma entrada 
de dados com uma mediana 
hipotética: um sinal + ou um –. Se 
a mediana for k, então cerca da 
metade dos valores estará acima 
de k e metade estará abaixo. 
Como tal, a probabilidade para 
cada sinal é 0,5. A Tabela B.8 no 
Apêndice B é construída usando 
a distribuição binomial em que p 
= 0,5.
Quando n > 25, você pode usar 
a aproximação normal (com uma 
correção de continuidade)para a 
binomial. Neste caso, use m = np 
= 0,5n e 
 
s = 1npq = 1n
2
.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 3
Instruções
Realizando um teste dos sinais para uma mediana populacional
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Verifique se a amostra é aleatória.
2. Identifique a afirmação. Declare as 
hipóteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
3. Especifique o nível de 
significância.
Identifique a.
4. Determine o tamanho da amostra 
n, atribuindo sinais +, sinais – e 
zeros aos dados da amostra.
n = número total de sinais + e –
5. Determine o valor crítico. Quando n ≤ 25, use a Tabela B.8 
no Apêndice B. Quando n > 25, 
use a Tabela B.4 no Apêndice B.
6. Encontre a estatística de teste. Quando n ≤ 25, use x = o menor 
número dos sinais + ou –. Quando 
n > 25, use z =
1x + 0,52 - 0,5n
1n
2
7. Tome uma decisão para rejeitar ou 
não rejeitar a hipótese nula.
Se a estatística de teste é menor 
ou igual ao valor crítico, então 
rejeite H0. Caso contrário, não 
rejeite H0.
8. Interprete a decisão no contexto 
da afirmação original.
1Exemplo
Usando o teste dos sinais
O administrador do site de uma empresa afirma que o número me-
diano de visitantes, por dia, do site da empresa é de não mais de 1.500. 
Um funcionário duvida da precisão dessa afirmação. Os números de 
visitantes por dia, para 20 dias selecionados aleatoriamente, estão lis-
tados a seguir. Com a = 0,05, o funcionário pode rejeitar a afirmação 
do administrador?
1.469 1.462 1.634 1.602 1.500
1.463 1.476 1.570 1.544 1.452
1.487 1.523 1.525 1.548 1.511
1.579 1.620 1.568 1.492 1.649
Solução
A afirmação é “o número mediano de visitantes, por dia, do site da 
empresa é de não mais de 1.500”. Então, as hipóteses nula e alternativa são:
 H0: mediana ≤ 1.500 (Afirmação) e Ha: mediana > 1.500.
Os resultados da comparação de cada dado com a mediana hipotéti-
ca 1.500 são mostrados a seguir:
– – + + 0
– – + + –
– + + + +
+ + + – +
4 Estatística aplicada
Você pode perceber que há 7 sinais – e 12 sinais +. Então, n = 12 + 
7 = 19. Como n ≤ 25, use a Tabela B.8 no Apêndice B para encontrar o 
valor crítico. O teste é unilateral com a = 0,05 e n = 19. Logo, o valor 
crítico é 5. Como n ≤ 25, a estatística de teste x é o menor número dos 
sinais + ou –. Assim, x = 7. Uma vez que x = 7 é maior que o valor crítico, 
o funcionário não deve rejeitar a hipótese nula.
Interpretação Não há evidência suficiente, ao nível de significância 
de 5%, para o funcionário rejeitar a afirmação do administrador do site 
de que o número mediano de visitantes por dia do site da empresa é de 
não mais de 1.500.
Tente você mesmo 1
Uma agência imobiliária afirma que o número mediano de dias que 
uma casa fica no mercado, em sua cidade, é superior a 120. Um proprietá-
rio quer verificar a exatidão dessa afirmação. Os números de dias no mer-
cado para 24 casas selecionadas aleatoriamente são mostrados a seguir. 
Com a = 0,025, o proprietário pode confirmar a afirmação da agência?
118 167 72 79 76 106 102 113
73 119 162 114 120 93 135 147
77 157 115 88 152 70 65 91
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Determine o tamanho da amostra n.
d. Encontre o valor crítico.
e. Encontre a estatística de teste x.
f. Decida se rejeita a hipótese nula.
g. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
2Exemplo
Usando o teste dos sinais
Uma organização afirma que a frequência mediana anual dos 
museus dos Estados Unidos é de pelo menos 39.000 visitantes. Uma 
amostra aleatória de 125 museus revela que as frequências anuais de 
79 museus foram inferiores a 39.000, as frequências anuais de 42 mu-
seus foram superiores a 39.000 e, as frequências anuais de 4 museus 
foram de 39.000 visitantes. Com a = 0,01, há evidência suficiente para 
rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado de American Associa-
tion of Museums.)
Solução
A afirmação é “a frequência mediana anual dos museus dos Estados 
Unidos é de pelo menos 39.000 visitantes”. Então, as hipóteses nula e 
alternativa são:
 H0: mediana ≥ 39.000 (Afirmação) e Ha: mediana < 39.000.
Como n > 25, use a Tabela B.4 no Apêndice B, a Tabela Normal Pa-
drão, para encontrar o valor crítico. Uma vez que o teste é unilateral à 
esquerda com a = 0,01, o valor crítico é z0 = –2,33. Dos 125 museus, há 
79 com sinal – e 42 com sinal +. Uma vez que os zeros são ignorados, o 
tamanho da amostra é:
 n = 79 + 42 = 121 e x = 42.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 5
Com esses valores, a estatística de teste x é:
 
 z =
142 + 0,52 - 0,5 11212
2121N2
 =
- 18
5,5
 ≈ - 3,27.
A Figura 11.2 mostra a localização da região de rejeição e a estatís-
tica de teste z. Como z é menor que o valor crítico, ele encontra-se na 
região de rejeição. Logo, você rejeita a hipótese nula.
Figura 11.2 Distribuição normal, região de rejeição e estatística de teste.
z
-3-4 -2 -1 0 1 2 3 4
z0 = -2,33
a = 0,01
z ≈ −3,27
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 
1%, para rejeitar a afirmação da organização de que a frequência mediana 
anual para museus nos Estados Unidos é de pelo menos 39.000 visitantes.
Tente você mesmo 2
Uma organização afirma que a idade mediana dos funcionários de 
museus nos Estados Unidos é 40 anos. Uma amostra aleatória de 95 fun-
cionários de museus revela que 46 deles têm menos de 40 anos, 45 têm 
mais de 40 anos e 4 têm 40 anos. Com a = 0,10, você pode rejeitar a afirma-
ção da organização? (Adaptado de American Association of Museums.)
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Determine o tamanho da amostra n.
d. Encontre o valor crítico.
e. Encontre a estatística de teste z.
f. Decida se rejeita a hipótese nula.
g. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
O teste dos sinais usando amostras pareadas
Na Seção 8.3 você aprendeu a aplicar um teste t para a diferença en-
tre médias usando amostras dependentes. Esse teste exigia que ambas as 
Retratando o mundo
Em 2010, as pessoas nos Estados 
Unidos gastaram um total de 
aproximadamente US$ 16,6 
bilhões em doces. 
O Departamento de Comércio 
dos Estados Unidos informou 
que, em 2010, uma pessoa 
comum no país comeu cerca de 
23,4 libras de doces.
C
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su
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 p
or
 p
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Ano
26
25
24
23
22
21
20021998 2006 2010
Consumo de doces
Você usaria um teste paramétrico 
ou um teste não paramétrico 
para testar a afirmação do 
Departamento de Comércio dos 
EUA a respeito do consumo de 
doces? Que fatores devem ser 
considerados?
Dica de estudo
Quando realizar um teste dos 
sinais bilateral, lembre-se de usar 
apenas o valor crítico da lateral à 
esquerda.
6 Estatística aplicada
populações fossem normalmente distribuídas. Quando a condição para-
métrica de normalidade não pode ser satisfeita, você pode usar o teste dos 
sinais para amostras pareadas para testar a diferença entre duas medianas 
populacionais. Para realizar o teste dos sinais usando amostras pareadas 
para a diferença entre duas medianas populacionais, as condições a seguir 
devem ser atendidas:
1. Uma amostra de cada população deve ser aleatoriamente selecionada.
2. As amostras devem ser dependentes (pareadas).
O teste dos sinais usando amostras pareadas pode ser unilateral à 
esquerda, unilateral à direita ou bilateral. Esse teste é similar ao teste 
dos sinais para uma mediana populacional única. No entanto, em vez de 
comparar cada valor com uma mediana hipotética e registrar +, – ou 0, 
você encontra a diferença entre valores correspondentes e registra o seu 
sinal. Geralmente, para encontrar a diferença, subtraia o valor repre-
sentando a segunda variável do valor representando a primeira variá-
vel. Então, compare o número de sinais + e – (os zeros são ignorados). 
Quando o número de sinais + é aproximadamente igual ao número de 
sinais –, provavelmente, em função do teste você não rejeitará a hipó-
tese nula. Quando há uma “grande “diferença entre o número de sinais 
+ e o número de sinais –, provavelmentevocê rejeitará a hipótese nula.
Instruções
Realizando um teste dos sinais para amostras pareadas
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Verifique se as amostras são aleató-
rias e dependentes.
2. Identifique a afirmação. Declare as 
hipóteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
3. Especifique o nível de significância. Identifique a.
4. Determine o tamanho da amostra n 
encontrando a diferença para cada 
par de dados. Atribua um sinal + a 
uma diferença positiva, um sinal – a 
uma diferença negativa e 0 a nenhu-
ma diferença.
n = número total de sinais + e –
5. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.8 no Apêndice B.
6. Encontre a estatística de teste. x = o menor número dos sinais 
+ ou –
7. Decida se rejeita ou não rejeita a hi-
pótese nula.
Se a estatística de teste é menor 
ou igual ao valor crítico, então 
rejeite H0. Caso contrário, não 
rejeite H0.
8. Interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
3Exemplo
Usando o teste dos sinais com amostras pareadas
Um psicólogo afirma que o número de infratores reincidentes dimi-
nuirá quando infratores primários completarem um curso especial de rea-
bilitação. Você seleciona aleatoriamente 10 presídios e registra o número 
Capítulo 11 Testes não paramétricos 7
de infratores reincidentes durante um período de dois anos. Então, depois 
de infratores primários completarem o curso, você registra o número de 
infratores reincidentes em cada presídio por um outro período de dois 
anos. Os resultados são mostrados na Tabela 11.2. Para o nível de sign-
ficância a = 0,025, você pode concordar com a afirmação do psicólogo?
Tabela 11.2 Distribuição dos números de infratores antes e depois do curso.
Presídio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 21 34 9 45 30 54 37 36 33 40
Depois 19 22 16 31 21 30 22 18 17 21
Solução
Para testar a afirmação do psicólogo, use as hipóteses nula e alter-
nativa a seguir:
 H0: O número de infratores reincidentes não diminuirá.
 Ha: O número de infratores reincidentes diminuirá. (Afirmação)
A Tabela 11.3 mostra o sinal das diferenças entre os dados “antes” 
e “depois”.
Tabela 11.3 Distribuição dos sinais relativos aos pares.
Presídio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 21 34 9 45 30 54 37 36 33 40
Depois 19 22 16 31 21 30 22 18 17 21
Sinal + + – + + + + + + +
Você pode ver que há 1 sinal – e 9 sinais +. Então, n = 1 + 9 = 10. 
Como o teste é unilateral com a = 0,025 e n = 10, o valor crítico é 1. A 
estatística de teste x é o menor número de sinais + ou –. Logo, x = 1. Já 
que x é igual ao valor crítico, você rejeita a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância 
2,5%, para concordar com a afirmação do psicólogo de que o número 
de infratores reincidentes diminuirá após o curso.
Tente você mesmo 3
Um pesquisador da área médica afirma que uma nova vacina di-
minuirá o número de resfriados em adultos. Você seleciona aleatoria-
mente 14 adultos e registra o número de resfriados que cada um teve 
durante um ano. Após dar a vacina a cada adulto, você registra nova-
mente o número de resfriados que cada um teve no período de um ano. 
Os resultados são mostrados na Tabela 11.4. Com a = 0,05, você pode 
concordar com a afirmação do pesquisador?
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Determine o tamanho da amostra n.
d. Encontre o valor crítico.
e. Encontre a estatística de teste x.
f. Decida se rejeita a hipótese nula.
g. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Tabela 11.4
Adulto Antes da 
vacina
Depois da 
vacina
1 3 2
2 4 1
3 2 0
4 1 1
5 3 1
6 6 3
7 4 3
8 5 2
9 2 2
10 0 2
11 2 3
12 5 4
13 3 3
14 3 2
8 Estatística aplicada
11.1 Exercícios
Construindo habilidades básicas e vocabulário
 1. O que é um teste não paramétrico? Como um teste 
não paramétrico difere de um teste paramétrico? Quais 
são as vantagens e desvantagens de usar um teste não 
paramétrico?
 2. Quando o teste dos sinais é usado, qual parâmetro po-
pulacional está sendo testado?
 3. Descreva a estatística de teste para o teste dos sinais 
quando o tamanho da amostra n é inferior ou igual a 25 
e quando n é superior a 25.
 4. Com suas palavras, explique por que o teste de hipótese 
discutido nesta seção é chamado de teste dos sinais.
 5. Explique como usar o teste dos sinais para testar uma 
mediana populacional.
 6. Liste as duas condições que devem ser atendidas de 
modo a usar o teste dos sinais com amostras pareadas.
Usando e interpretando conceitos
Realizando um teste dos sinais Nos exercícios 7 a 
22, (a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) en-
contre o valor crítico, (c) encontre a estatística de teste, 
(d) decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) inter-
prete a decisão no contexto da afirmação original.
 7. Despesas de cartão de crédito Um contador de servi-
ço financeiro afirma que a quantia mediana de novas 
despesas de cartão de crédito para o mês anterior foi 
de mais de US$ 300. Você seleciona aleatoriamente 
12 contas de cartão de crédito e registra a quantia de 
novas despesas de cada uma para o mês anterior. As 
quantias (em dólares) estão listadas a seguir. Com a 
= 0,01, você pode aceitar a afirmação do contador? 
(Adaptado de Board of Governors of the Federal Re-
serve System.)
346,71 382,59 255,03 202,17 309,80 265,88
299,41 270,38 296,54 318,46 245,92 309,47
 8. Temperatura Um meteorologista afirma que a tempe-
ratura mediana máxima diária para o mês de julho em 
Pittsburgh é de 83º Fahrenheit. As temperaturas máxi-
mas (em graus Fahrenheit) para 15 dias de julho sele-
cionados aleatoriamente em Pittsburgh estão listadas a 
seguir. Com a = 0,01, há evidência suficiente para rejei-
tar a afirmação do meteorologista? (Adaptado de U.S. 
National Oceanic and Atmospheric Administration.)
74 79 81 86 90 79 81 83 81 74 78 76 84 82 85
 9. Preços de venda de casas Um corretor de imóveis afir-
ma que o preço mediano de venda de novas casas resi-
denciais vendidas em um mês recente é de US$ 193.000 
ou menos. Os preços de venda (em dólares) de 10 ca-
sas selecionadas aleatoriamente estão listados a seguir. 
Para um nível de significância a = 0,05, há evidência sufi-
ciente para rejeitar a afirmação do corretor? (Adaptado 
de National Association of Realtors.)
200.800 229.500 205.900 190.700 140.200
193.900 249.000 170.900 184.500 207.500
 10. Temperatura Durante uma previsão do tempo, um 
meteorologista afirma que a temperatura mediana má-
xima diária para o mês de janeiro em San Diego é de 
66º Fahrenheit. As temperaturas máximas (em graus 
Fahrenheit) para 16 dias de janeiro selecionados aleato-
riamente em San Diego estão listadas a seguir. Com a = 
0,01, você pode rejeitar a afirmação do meteorologista? 
(Adaptado de U.S. National Oceanic and Atmospheric 
Administration.)
78 74 72 72 70 70 72 78 74 71 72 74 77 79 75 73
 11. Dívida de cartão de crédito Uma instituição de servi-
ços financeiros afirma que o valor mediano de dívidas 
de cartão de crédito para famílias que possuem tais 
dívidas é de pelo menos US$ 2.600. Em uma amos-
tra aleatória de 104 famílias com dívidas de cartão 
de crédito, as dívidas de 60 delas eram inferiores a 
US$ 2.600 e as dívidas de 44 eram superiores a US$ 
2.600. Com a = 0,02, você pode rejeitar a afirmação da 
instituição? (Adaptado de Board of Governors of the 
Federal Reserve System.)
 12. Dívida financeira Um contador de serviços financei-
ros afirma que o valor mediano de dívidas financei-
ras para famílias que possuem tal dívida é inferior a 
US$ 71.000. Em uma amostra aleatória de 70 famílias 
com dívida financeira, as dívidas de 24 famílias eram in-
feriores a US$ 71.000 e as dívidas de 46 famílias eram 
superiores a US$ 71.000. Para um nível de significância 
a = 0,025, você pode concordar com a afirmação do con-
tador? (Adaptado de Board of Governors of the Federal 
Reserve System.)
 13. Usuários do Twitter® Um grupo de pesquisa afirma 
que a idade mediana de usuários do Twitter® é superior 
a 30 anos. Em uma amostra aleatória de 24 usuáriosdo 
Twitter®, 11 têm menos de 30 anos, 10 têm mais de 30 
anos e 3 têm 30 anos. Com a = 0,01, você pode concor-
dar com a afirmação do grupo de pesquisa? (Adaptado 
de Pew Research Center.)
 14. Usuários do Facebook® Um grupo de pesquisa afirma 
que a idade mediana de usuários do Facebook® é infe-
rior a 32 anos. Em uma amostra aleatória de 20 usuários 
do Facebook®, 5 têm menos de 32 anos, 13 têm mais de 
32 anos e 2 têm 32 anos. Com a = 0,05, você pode con-
cordar com a afirmação do grupo de pesquisa? (Adap-
tado de Pew Research Center.)
Capítulo 11 Testes não paramétricos 9
 15. Tamanho da unidade Uma organização de locatários 
afirma que o número mediano de cômodos em unidades 
alugadas é quatro. Você seleciona aleatoriamente 120 
unidades alugadas e obtém os resultados mostrados a 
seguir. Para o nível de significância a = 0,05, você pode 
rejeitar a afirmação da organização? (Adaptado de U.S. 
Census Bureau.)
Tamanho da unidade Número de unidades
Menos de 4 cômodos 29
4 cômodos 38
Mais de 4 cômodos 53
 16. Área quadrada Uma organização de locatários afirma 
que a área mediana quadrada de unidades alugadas é 
de 1.300 pés quadrados. Você seleciona aleatoriamente 
22 unidades alugadas e obtém os resultados mostrados a 
seguir. Com a = 0,10, você pode rejeitar a afirmação da 
organização? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
Área quadrada Número de unidades
Menos de 1.300 8
1.300 2
Mais de 1.300 12
 17. Salário por hora Uma organização trabalhista afirma 
que o salário mediano por hora de analistas de sistemas 
de computador é de US$ 38,31. Em uma amostra alea-
tória de 45 analistas de sistemas, 18 ganham menos de 
US$ 38,31 por hora, 25 ganham mais de US$ 38,31 por 
hora e 2 ganham US$ 38,31 por hora. Com um nível de 
significância a = 0,01, você pode rejeitar a afirmação da 
organização trabalhista? (Adaptado de U.S. Bureau of 
Labor Statistics.)
 18. Salário por hora Uma organização trabalhista afirma 
que o salário mediano por hora de pedicuros é de US$ 
55,98. Em uma amostra aleatória de 23 pedicuros, 17 ga-
nham menos de US$ 55,98 por hora, 5 ganham mais de 
US$ 55,98 por hora e 1 ganha US$ 55,98 por hora. Com 
a = 0,05, você pode rejeitar a afirmação da organização 
trabalhista? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
 19. Dor nas costas Um médico afirma que as pontuações 
da intensidade de dor nas costas diminuirão após um 
tratamento de acupuntura. A tabela a seguir mostra as 
pontuações da intensidade de dor nas costas para oito 
pacientes antes e depois de receberem acupuntura por 
oito semanas. Com a = 0,05, há evidência suficiente para 
concordar com a afirmação do médico? (Adaptado de 
Archives of Internal Medicine.)
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8
Pontuação da 
intensidade (antes)
59,2 46,3 65,4 74,0 79,3 81,6 44,4 59,1
Pontuação da 
intensidade (depois)
12,4 22,5 18,6 59,3 70,1 70,2 13,2 25,9
 20. Dor nas costas Um médico afirma que as pontua-
ções da intensidade de dor nas costas diminuirão após 
tomar medicamentos anti-inflamatórios. A tabela a 
seguir mostra as pontuações da intensidade de dor nas 
costas para 12 pacientes antes e depois de tomarem 
medicamentos anti-inflamatórios por 8 semanas. Com 
a = 0,05, há evidência suficiente para concordar com a 
afirmação do médico? (Adaptado de Archives of Inter-
nal Medicine.)
Paciente 1 2 3 4 5 6
Pontuação da 
intensidade (antes)
71,0 42,1 79,1 57,5 64,0 60,4
Pontuação da 
intensidade (depois)
60,1 23,4 86,2 62,1 44,2 49,7
Paciente 7 8 9 10 11 12
Pontuação da 
intensidade (antes)
68,3 95,2 48,1 78,6 65,4 59,9
Pontuação da 
intensidade (depois)
58,3 72,6 51,8 82,5 63,2 47,9
 21. Melhorando as notas no SAT Uma agência de pro-
fessores particulares afirma que, completando um cur-
so especial, os estudantes melhorarão suas notas de 
compreensão de texto no SAT. Em parte de um estudo, 
12 estudantes fazem a parte de compreensão de texto 
do SAT, completam o curso especial e, então, fazem a 
parte de compreensão de texto do SAT novamente. As 
notas dos estudantes são mostradas na tabela a seguir. 
Com nível de significância a = 0,05, há evidência sufi-
ciente para aceitar a afirmação da agência?
Estudante 1 2 3 4 5 6
Nota no primeiro SAT 300 450 350 430 300 470
Nota no segundo SAT 300 520 400 410 300 480
Estudante 7 8 9 10 11 12
Nota no primeiro SAT 530 200 200 350 360 250
Nota no segundo SAT 700 250 390 350 480 300
 22. Notas no SAT Um conselheiro de orientação 
educacional afirma que os estudantes que fazem o 
SAT duas vezes melhoram suas notas no segundo 
exame. A tabela a seguir mostra as notas de com-
preensão de texto no SAT para 12 estudantes que 
fizeram o exame duas vezes. Com nível de signifi-
cância a = 0,01, você pode aceitar a afirmação do 
conselheiro de orientação educacional?
Estudante 1 2 3 4 5 6
Nota no primeiro SAT 440 510 420 450 620 450
Nota no segundo SAT 440 570 510 470 610 450
Estudante 7 8 9 10 11 12
Nota no primeiro SAT 350 470 320 510 630 570
Nota no segundo SAT 370 530 290 500 640 600
10 Estatística aplicada
 23. Sentindo sua idade Uma empresa de pesquisa conduz 
um levantamento selecionando aleatoriamente adultos 
e perguntando a cada um: “Como você se sente em re-
lação à sua idade?” Os resultados são apresentados na 
figura a seguir: (Adaptado de Pew Research Center.)
11
3
9
Minha idadeMais novo
Mais velho
 (a) Use um teste dos sinais para testar a hipótese nula 
de que a proporção de adultos que se sentem mais 
velhos é igual à proporção de adultos que se sen-
tem mais novos. Atribua um sinal + a cada adulto 
que respondeu “mais velho”, atribua um sinal – a 
cada adulto que respondeu “mais novo” e atribua 
um 0 a cada adulto que respondeu “minha idade”. 
Use a = 0,05.
 (b) O que você pode concluir?
 24. Contatando os pais Uma empresa de pesquisa conduz 
uma pesquisa selecionando aleatoriamente adultos e 
perguntando a cada um: “com que frequência você en-
tra em contato com seus pais por telefone?” Os resulta-
dos são mostrados na figura a seguir. (Adaptado de Pew 
Research Center.)
12
8
6
Semanalmente
Diariamente
Outro
 (a) Use um teste dos sinais para testar a hipótese 
nula de que a proporção de adultos que entram 
em contato com seus pais por telefone semanal-
mente é igual à proporção de adultos o fazem dia-
riamente. Atribua um sinal + a cada adulto que 
respondeu “semanalmente”, atribua um sinal – a 
cada adulto que respondeu “diariamente” e atri-
bua um 0 a cada adulto que respondeu “outro”. 
Use a = 0,05.
 (b) O que você pode concluir?
Expandindo conceitos
Mais sobre testes dos sinais Quando você está 
aplicando um teste dos sinais para n > 25 e o teste é 
unilateral à esquerda, você sabe que pode rejeitar a hi-
pótese nula quando a estatística de teste
 
z =
1x + 0,52 - 0,5n
1n
2
é menor ou igual ao valor crítico da lateral à esquerda, 
em que x é o menor número de sinais + ou –. Para um 
teste unilateral à direita, você pode rejeitar a hipótese 
nula quando a estatística de teste
 
z =
1x - 0,52 - 0,5n
1n
2
é maior ou igual ao valor crítico da lateral à direita, 
em que x é o maior número de sinais + ou –.
Nos exercícios 25 a 28, use um teste unilateral à direita e 
(a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) encon-
tre o valor crítico, (c) encontre a estatística de teste, (d) 
decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) interprete 
a decisão no contexto da afirmação original.
 25. Salário semanal Uma organização trabalhista afirma 
que o salário mediano semanal de trabalhadores do sexo 
feminino é inferior ou igual a US$ 704. Para testar essa 
afirmação, você seleciona aleatoriamente 50 trabalhado-
ras e pede que cada uma forneça seu salário semanal. A 
tabela a seguir mostra os resultados. Com nível de signi-
ficância a = 0,01, você pode rejeitar a afirmação da orga-
nização? (Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Salário semanal Número de trabalhadoras
Menos de US$ 704 18
US$ 704 3
Mais de US$ 704 29
 26. Salário semanal Uma organização trabalhista afirma 
que o salário mediano semanalde trabalhadores do sexo 
masculino é de mais de US$ 867. Para testar essa afirma-
ção, você seleciona aleatoriamente 70 trabalhadores e 
pede que cada um forneça seu salário semanal. A tabela 
a seguir mostra os resultados. Com a = 0,01, você pode 
suportar a afirmação da organização? (Adaptado de U.S. 
Bureau of Labor Statistics.)
Salário semanal Número de trabalhadores
Menos de US$ 867 23
US$ 867 2
Mais de US$ 867 45
 27. Idade das noivas Um conselheiro matrimonial afir-
ma que a idade mediana das noivas na época do seu 
primeiro casamento é inferior ou igual a 27 anos. Em 
uma amostra aleatória de 65 noivas, 24 têm menos de 
27 anos, 35 têm mais de 27 anos e 6 têm 27 anos. Com a 
= 0,05, você pode rejeitar a afirmação do conselheiro? 
(Adaptado de U.S. Census Bureau.)
 28. Idade dos noivos Um conselheiro matrimonial afirma que 
a idade mediana dos noivos na época do seu primeiro ca-
samento é superior a 28 anos. Em uma amostra aleatória 
de 56 noivos, 33 têm menos de 28 anos e 23 têm mais de 28 
anos. Com a = 0,05, você pode concordar com a afirmação 
do conselheiro? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
Capítulo 11 Testes não paramétricos 11
11.2 Testes de Wilcoxon
O teste dos postos sinalizados de Wilcoxon • O teste da soma dos postos de Wilcoxon
O teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Nesta seção você estudará o teste dos postos sinalizados de Wilcoxon 
e o teste da soma dos postos de Wilcoxon. Ao contrário do teste dos sinais 
da Seção 11.1, a força desses dois testes não paramétricos é que cada um 
considera a magnitude, ou tamanho, dos dados.
Na Seção 8.3 você usou um teste t junto com amostras dependentes 
para determinar se havia uma diferença entre duas populações. Para 
usar o teste t e testar tal diferença, você deve supor (ou saber) que as 
amostras dependentes são selecionadas aleatoriamente de populações 
que possuem uma distribuição normal. Mas o que você deve fazer quan-
do a suposição de normalidade não pode ser feita? Em vez de aplicar 
o teste t usando duas amostras, você pode utilizar o teste dos postos 
sinalizados de Wilcoxon.
Definição 
O teste dos postos sinalizados de Wilcoxon é um teste não paramétrico 
que pode ser usado para determinar se duas amostras dependentes foram 
selecionadas de populações que possuem a mesma distribuição.
Instruções
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Verifique se as amostras são aleató-
rias e dependentes.
2. Identifique a afirmação. Declare as hi-
póteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
3. Especifique o nível de significância. Identifique a.
4. Determine o tamanho da amostra n, 
que é o número de pares de dados 
cuja diferença não é 0.
5. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.9 no Apêndice B.
6. Encontre a estatística de teste ws.
 a. Complete uma tabela usando os 
cabeçalhos listados à direita.
 b. Encontre a soma dos postos positi-
vos e a soma dos postos negativos. 
 c. Selecione o menor valor absoluto 
das somas.
Cabeçalhos: Amostra 1, 
Amostra 2, Diferença, Valor 
absoluto, Posto e Posto 
sinalizado. Posto sinalizado 
adota o mesmo sinal de sua 
diferença correspondente.
7. Decida se rejeita ou não a hipótese 
nula.
Se ws é menor ou igual ao valor 
crítico, então rejeite H0. Caso 
contrário, não rejeite H0.
8. Interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
O que você deve aprender
 • Como usar o teste dos postos 
sinalizados de Wilcoxon para 
determinar se duas amostras 
dependentes são selecionadas 
de populações que possuem a 
mesma distribuição.
 • Como usar o teste da soma 
dos postos de Wilcoxon 
para determinar se duas 
amostras independentes são 
selecionadas de populações 
que possuem a mesma 
distribuição.
Dica de estudo
Lembre-se de que o valor absoluto 
de um número é o seu valor, 
desconsiderando seu sinal. Um 
par de barras verticais, | |, é usado 
para denotar o valor absoluto. Por 
exemplo, |3| = 3 e |–7| = 7.
12 Estatística aplicada
1Exemplo
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
Um fabricante de tacos de golfe afirma que os jogadores podem di-
minuir suas pontuações (números de tacadas) usando seus tacos de gol-
fe recém-projetados. A Tabela 11.5 mostra as pontuações de 10 golfistas 
enquanto usam o modelo antigo e o modelo novo no mesmo campo de 
golfe. Com a = 0,05, você aceita a afirmação do fabricante?
Tabela 11.5 Distribuição das pontuações dos golfistas.
Golfista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pontuação (modelo antigo) 89 84 96 74 91 85 95 82 92 81
Pontuação (modelo novo) 83 83 92 76 91 80 87 85 90 77
Solução
A afirmação é “os jogadores podem diminuir suas pontuações”. Para 
testar essa afirmação, use as seguintes hipóteses nula e alternativa:
 H0: O novo modelo não diminui as pontuações.
 Ha: O novo modelo diminui as pontuações. (Afirmação)
Esse teste dos postos sinalizados de Wilcoxon é um teste unilateral 
com a = 0,05 e, como um par de dados tem uma diferença 0, n = 9 em vez 
de 10. Da Tabela B.9 no Apêndice B, o valor crítico é 8. Para encontrar a 
estatística de teste ws, complete conforme mostra a Tabela 11.6.
Tabela 11.6 Operações para o cálculo da estatística de teste.
Pontuação 
(modelo 
antigo)
Pontuação 
(modelo 
novo)
Diferença
Valor 
absoluto
Posto
Posto 
sinalizado
89 83 6 6 8 8
84 83 1 1 1 1
96 92 4 4 5,5 5,5
74 76 –2 2 2,5 – 2,5
91 91 0 0 — —
85 80 5 5 7 7
95 87 8 8 9 9
82 85 –3 3 4 – 4
92 90 2 2 2,5 2,5
81 77 4 4 5,5 5,5
A soma dos postos negativos é
 −2,5 + (−4) = −6,5.
A soma dos postos positivos é
 8 + 1 + 5,5 + 7 + 9 + 2,5 + 5,5 = 38,5.
A estatística de teste é o menor valor absoluto dessas duas somas. 
Como |−6,5| < |38,5|, a estatística de teste é ws = 6,5. Uma vez que a es-
tatística de teste é menor que o valor crítico, isto é, 6,5 < 8, você rejeita 
a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 
5%, para concordar com a afirmação de que os golfistas podem diminuir 
suas pontuações (números de tacadas) usando os tacos recém-projetados.
Dica de estudo
Não atribua um posto para 
qualquer diferença 0. No caso de 
um empate entre os valores dos 
dados, use a média dos postos 
correspondentes. Por exemplo, 
quando dois valores de dados 
estão empatados para o 5º posto, 
use a média de 5 e 6, que é 5,5, 
como o posto para ambos os 
valores. Ao próximo valor será 
atribuído um posto de 7, e não 6.
Quando três valores estão 
empatados para o 5º posto, use a 
média de 5, 6 e 7, que é 6, como 
o posto para os três valores. Ao 
próximo valor será atribuído um 
posto de 8.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 13
Tente você mesmo 1
Um inspetor de controle de qualidade quer testar a afirmação de 
que um impermeabilizante em spray é eficaz. Para testar essa afirmação, 
ele seleciona 12 pedaços de tecido, borrifa água em cada um e mede a 
quantidade de água repelida (em mililitros). Ele, então, aplica o imper-
meabilizante e repete o experimento. A Tabela 11.7 mostra os resulta-
dos. Com a = 0,01, ele pode concluir que o impermeabilizante é eficaz?
Tabela 11.7 Quantidade de água repelida.
Tecido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sem impermeabilizante 8 7 7 4 6 10 9 5 9 11 8 4
Com impermeabilizante 15 12 11 6 6 8 8 6 12 8 14 8
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Determine o tamanho da amostra n.
d. Encontre o valor crítico.
e. Encontre a estatística de teste ws montando uma tabela, encontran-
do a soma dos postos positivos e negativos e o valor absoluto de 
cada soma.
f. Decida se rejeita a hipótese nula.
g. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
O teste da soma dos postos de Wilcoxon
Nas Seções 8.1 e 8.2 você usou um teste z (s1 e s2 conhecidos) ou um 
teste t (s1 e s2 desconhecidos) junto de amostras independentes para de-
terminar se havia uma diferença entre duas populações. Para usar um teste 
z ou um teste t para confirmar tal diferença, você deve supor (ou saber) que 
as amostras são aleatórias e independentes e/ou as populações são normal-mente distribuídas ou cada tamanho de amostra é pelo menos 30. Mas o 
que você dever fazer quando as suposições de normalidade e tamanho da 
amostra não puderem ser feitas? Você ainda pode comparar as populações 
usando o teste da soma dos postos de Wilcoxon.
Definição 
O teste da soma dos postos de Wilcoxon é um teste não paramétrico que 
pode ser usado para determinar se duas amostras independentes foram sele-
cionadas de uma mesma população.
Um requisito para o teste da soma dos postos de Wilcoxon é que o ta-
manho de ambas as amostras deve ser pelo menos 10 (aproximar pela dis-
tribuição normal). Ao calcular a estatística de teste para o teste da soma 
dos postos de Wilcoxon, faça n1 representar o tamanho da amostra menor 
e n2 representar o tamanho da maior amostra. Quando as duas amostras 
tiverem o mesmo tamanho, não importa qual é n1 ou n2.
Para calcular a soma dos postos R, combinar ambas as amostras e clas-
sificar os dados combinados. Então, somar os postos para a menor das duas 
amostras. Quando as duas amostras têm o mesmo tamanho, você pode usar 
os postos de qualquer uma, mas deve usar os postos da amostra que você 
associa com n1.
Retratando o mundo
Para ajudar a determinar quando 
pacientes com artroscopia no 
joelho podem voltar a dirigir após 
a cirurgia, os tempos de reação 
na direção (em milissegundos) de 
10 pacientes com artroscopia no 
joelho direito foram medidos antes 
da cirurgia e 4 semanas após a 
cirurgia, usando um simulador de 
carro ligado a um computador. 
A tabela a seguir mostra os 
resultados. (Adaptado de Knee 
Surgery, Sports Traumatology, 
Arthroscopy Journal.)
Paciente Tempo 
de 
reação 
antes da 
cirurgia
Tempo 
de 
reação 4 
semanas 
após a 
cirurgia
1 720 730
2 750 645
3 735 745
4 730 640
5 755 660
6 745 670
7 730 650
8 725 730
9 770 675
10 700 705
Com a = 0,05, você pode concluir 
que os tempos de reação 
mudaram significativamente 
quatro semanas após a cirurgia?
14 Estatística aplicada
Estatística de teste para o teste da soma dos postos de Wilcoxon 
Para duas amostras independentes, a estatística de teste z para o teste de 
soma dos postos de Wilcoxon é:
 
z =
R - mR
sR
em que
 R = soma dos postos para a menor amostra,
 
mR =
n1 1n1 + n2 + 12
2
,
e
 
sR = B
n1 n2 1n1 + n2 + 12
12
.
Instruções
Realizando um teste dos postos sinalizados de Wilcoxon
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Verifique que as amostras são aleató-
rias e independentes.
2. Identifique a afirmação. Declare as hi-
póteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
3. Especifique o nível de significância. Identifique a.
4. Determine o(s) valor(es) crítico(s) e a(s) 
região(ões) de rejeição.
Use a Tabela B.4 no Apêndice B.
5. Determine os tamanhos das amostras. n1 ≤ n2
6. Encontre a soma dos postos para a me-
nor amostra. 
 a. Liste os dados combinados em or-
dem crescente.
 b. Classifique os dados combinados.
 c. Adicione a soma dos postos para a 
menor amostra, n1.
R
7. Encontre a estatística de teste e esbo-
ce a distribuição amostral. z =
R - mR
sR
8. Decida se rejeita ou não a hipótese nula. Se z está na região de rejeição, 
então rejeite H0. 
Caso contrário, não rejeite H0.
9. Interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
2Exemplo
Realizando um teste da soma dos postos de Wilcoxon
A Tabela 11.8 mostra os salários (em milhares de dólares) de uma 
amostra aleatória de 10 homens e 12 mulheres, representantes de ven-
das de produtos farmacêuticos. Com a = 0,10, você pode concluir que há 
diferença entre o salário dos homens e das mulheres?
Dica de estudo
Use o teste dos postos 
sinalizados de Wilcoxon para 
amostras dependentes e o teste 
da soma dos postos de Wilcoxon 
para amostras independentes.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 15
Tabela 11.8 Salários.
Salários homens 78 93 114 101 98 94 86 95 117 99
Salários mulheres 86 77 101 93 85 98 91 87 84 97 100 90
Solução
A afirmação é “há diferença entre o salário dos homens e das mulhe-
res”. Para testar essa afirmação, use as hipóteses nula e alternativa a seguir:
 H0: Não há diferença entre o salário de homens e mulheres.
 Ha: Há diferença entre o salário de homens e mulheres. (Afirmação)
Como o teste é bilateral com a = 0,10, os valores críticos são –z0 = 
–1,645 e z0 = 1,645. As regiões de rejeição são z < –1,645 e z > 1,645.
O tamanho da amostra para os homens é 10 e para as mulheres é 12. 
Uma vez que 10 < 12, n1 = 10 e n2 = 12. Antes de calcular a estatística de 
teste, você deve encontrar os valores de R, mR e sR. A Tabela 11.9 mostra 
os dados combinados em ordem crescente e os postos correspondentes.
Tabela 11.9 Ordenando e classificando os valores.
Dados 
ordenados
Amostra Posto
Dados 
ordenados
Amostra Posto
77 F 1 94 M 12
78 M 2 95 M 13
84 F 3 97 F 14
85 F 4 98 M 15,5
86 M 5,5 98 F 15,5
86 F 5,5 99 M 17
87 F 7 100 F 18
90 F 8 101 M 19,5
91 F 9 101 F 19,5
93 M 10,5 114 M 21
93 F 10,5 117 M 22
Como a menor amostra é a dos homens, R é a soma de seus postos.
 R = 2 + 5,5 + 10,5 + 12 + 13 + 15,5 + 17 + 19,5 + 21 + 22 = 138
Usando n1 = 10 e n2 = 12, você pode encontrar mR e sR, conforme a 
seguir.
 
mR =
n1 1n1 + n2 + 12
2
=
10 110 + 12 + 12
2
=
230
2
= 115
 
 sR = B
n1 n2 1n1 + n2 + 12
12
= B
1102 1122 110 + 12 + 12
12
= A
2760
12
= 2230
≈ 15,17
Dica de estudo
Lembre-se, no caso de um 
empate entre os valores dos 
dados, use a média dos postos 
correspondentes.
16 Estatística aplicada
Se R = 138, mR = 115 e sR ≈ 15,17, a estatística de teste é 
 
 z =
R - mR
sR
≈
138 - 115
15,17
≈ 1,52.
A Figura 11.3 mostra a localização das regiões de rejeição e a estatís-
tica de teste z. Como z não está na região de rejeição, você não rejeita 
a hipótese nula.
Figura 11.3 Distribuição normal, regiões de rejeição e estatística de teste.
z ≈ 1,52
1 − a = 0,90
a = 0,051
2
a = 0,051
2
z
0-1-3 1 2 3
z0 = 1,645-z0 = -1,645
Interpretação Não há evidência suficiente, ao nível de significân-
cia de 10%, para concluir que há diferença entre o salário de homens e 
mulheres.
Tente você mesmo 2
Você está investigando as indenizações de seguro de automóvel pa-
gas (em milhares de dólares) por duas companhias de seguros. A Tabela 
11.10 apresenta uma amostra aleatória de 12 indenizações pagas pelas 
duas companhias seguradoras. Com a = 0,05, você pode concluir que há 
uma diferença nas indenizações pagas pelas companhias?
Tabela 11.10 Indenizações de seguro.
Companhia A 6,2 10,6 2,5 4,5 6,5 7,4
Companhia B 7,3 5,6 3,4 1,8 2,2 4,7
Companhia A 9,9 3,0 5,8 3,9 6,0 6,3
Companhia B 10,8 4,1 1,7 3,0 4,4 5,3
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) e identifique a(s) região(ões) de 
rejeição.
d. Determine o tamanho das amostras n1 e n2.
e. Liste os dados combinados em ordem crescente, classifique os dados 
e encontre a soma dos postos da menor amostra.
f. Encontre a estatística de teste z. Esboce um gráfico.
g. Decida se rejeita a hipótese nula.
h. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 17
11.2 Exercícios
Construindo habilidades básicas e vocabulário
 1. Como você sabe se deve usar um teste dos postos sina-
lizados de Wilcoxon ou um teste da soma dos postos de 
Wilcoxon?
 2. Qual é a condição para o tamanho de cada amostra ao 
usar o teste da soma dos postos de Wilcoxon?
Usando e interpretando conceitos
Realizando um teste de Wilcoxon Nos exercícios 3 a 8,
(a) identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
(b) decida se deve usar um teste dos postos sinalizados 
de Wilcoxon ou um teste da soma dos postos de 
Wilcoxon.
(c) encontre o(s) valor(es) crítico(s).
(d) encontre a estatística de teste.
(e) decida se rejeita ou não a hipótese nula.
(f) interprete a decisão no contexto da afirmação 
original.
 3. Suplementos de cálcio e pressão sanguínea Em um 
estudo testando os efeitos de suplementos de cálcio 
na pressão sanguínea masculina, 12 homens foram es-
colhidos aleatoriamentee receberam um suplemento 
de cálcio por 12 semanas. A tabela a seguir mostra as 
medições da pressão sanguínea diastólica, para cada 
indivíduo, tirada antes e depois do período de 12 se-
manas de tratamento. Com a = 0,01, você pode rejei-
tar a afirmação de que não houve redução na pressão 
sanguínea diastólica? (Adaptado de The Journal of 
American Medical Association.)
Paciente 1 2 3 4
Antes do tratamento 108 109 120 129
Depois do tratamento 99 115 105 116
Paciente 5 6 7 8
Antes do tratamento 112 111 117 135
Depois do tratamento 115 117 108 122
Paciente 9 10 11 12
Antes do tratamento 124 118 130 115
Depois do tratamento 120 126 128 106
 4. Comércio atacadista e fabricação Um analista de 
indústria privada afirma que não há diferença nos 
salários recebidos por trabalhadores do comércio 
atacadista e das indústrias manufatureiras. A tabe-
la a seguir mostra os salários (em milhares de dóla-
res) de uma amostra aleatória de 10 trabalhadores 
do mercado atacadista e 10 trabalhadores da indús-
tria. Com a = 0,10, você pode rejeitar a afirmação 
do analista? (Adaptado de U.S. Bureau of Econo-
mic Analysis.)
Mercado atacadista 69 62 63 77 60
Fabricação 69 65 54 72 52
Mercado atacadista 66 71 74 72 69
Fabricação 63 74 56 62 50
 5. Salário por grau Um administrador de faculdade 
afirma que há uma diferença no salário de pessoas 
com grau de bacharel e aquelas com grau de pós-gra-
duação. A tabela a seguir mostra os salários (em mi-
lhares de dólares) de uma amostra aleatória de 11 
bacharéis e 10 pessoas pós-graduadas. Com a = 0,05, 
há evidência suficiente para confirmar a afirmação do 
administrador? (Adaptado de U.S. Census Bureau.)
Bacharel 56 52 65 78 72 52
Pós-graduação 84 87 95 81 86 86
Bacharel 46 58 62 54 56
Pós-graduação 93 93 90 82
 6. Dores de cabeça Um médico pesquisador quer determi-
nar se um novo remédio afeta o número de horas de dor 
de cabeça pelas quais passam pessoas que sofrem desse 
mal. Para tanto, o pesquisador seleciona aleatoriamente 
sete pacientes e pede que cada um informe o número de 
horas de dor de cabeça (por dia) que cada um sente antes 
e depois de tomar o remédio. A tabela a seguir mostra os 
resultados. Com nível de significância a = 0,05, o pesqui-
sador pode concluir que o novo remédio afeta o número 
de horas de dor de cabeça?
Paciente 1 2 3 4
Horas de dor de cabeça (antes) 0,8 2,4 2,8 2,6
Horas de dor de cabeça (depois) 1,6 1,3 1,6 1,4
Paciente 5 6 7
Horas de dor de cabeça (antes) 2,7 0,9 1,2
Horas de dor de cabeça (depois) 1,5 1,6 1,7
 7. Salários de professores Um representante do sindi-
cato de professores afirma que há uma diferença nos 
salários recebidos por professores em Wisconsin e Mi-
chigan. A tabela a seguir mostra os salários (em milha-
res de dólares) de uma amostra aleatória de 11 profes-
sores em Wisconsin e 12 professores em Michigan. 
Com a = 0,05, há evidência suficiente para aceitar a 
afirmação do representante? (Adaptado de National 
Education Association.)
18 Estatística aplicada
Wisconsin 55 59 49 56 51 61
Michigan 64 68 58 65 60 70
Wisconsin 55 61 53 47 52
Michigan 64 70 62 56 61 79
 8. Frequência cardíaca Um médico quer determinar se 
uma medicação experimental afeta a frequência cardí-
aca de um indivíduo. O médico seleciona aleatoriamen-
te 15 pacientes e mede a frequência cardíaca de cada 
um. Os indivíduos tomam, então, o medicamento e têm 
suas frequências cardíacas medidas novamente após 
uma hora. A tabela a seguir mostra os resultados. Para 
um nível de significância a = 0,05, o médico pode con-
cluir que a medicação experimental afeta a frequência 
cardíaca de um indivíduo?
Paciente 1 2 3 4 5
Frequência cardíaca (antes) 72 81 75 76 79
Frequência cardíaca (depois) 73 80 75 79 74
Paciente 6 7 8 9 10
Frequência cardíaca (antes) 74 65 67 76 83
Frequência cardíaca (depois) 76 73 67 74 77
Paciente 11 12 13 14 15
Frequência cardíaca (antes) 66 75 76 78 68
Frequência cardíaca (depois) 70 77 76 75 74
Expandindo conceitos
Teste dos postos sinalizados de Wilcoxon para 
n > 30 Quando você está realizando um teste dos pos-
tos sinalizados de Wilcoxon e o tamanho da amostra n é 
maior que 30, você pode usar a Tabela Normal Padrão 
e a fórmula a seguir para encontrar a estatística de teste.
 
z =
ws -
n 1n + 12
4
B
n 1n + 12 12n + 12
24
Nos exercícios 9 e 10, realize o teste dos postos sinaliza-
dos de Wilcoxon indicado usando a estatística de teste 
para n > 30.
 9. Aditivo de combustível Um engenheiro de petróleo 
quer saber se certo aditivo de combustível melhora o 
desempenho de um carro. Para decidir, o engenheiro 
registra o desempenho (em milhas por galão) de 33 
carros selecionados aleatoriamente com e sem o aditi-
vo de combustível. A tabela a seguir mostra os resulta-
dos. Com a = 0,10, o engenheiro pode concluir que o 
desempenho melhorou?
Carro 1 2 3 4 5 6
Sem aditivo 36,4 36,4 36,6 36,6 36,8 36,9
Com aditivo 36,7 36,9 37,0 37,5 38,0 38,1
Carro 7 8 9 10 11 12
Sem aditivo 37,0 37,1 37,2 37,2 36,7 37,5
Com aditivo 38,4 38,7 38,8 38,9 36,3 38,9
Carro 13 14 15 16 17 18
Sem aditivo 37,6 37,8 37,9 37,9 38,1 38,4
Com aditivo 39,0 39,1 39,4 39,4 39,5 39,8
Carro 19 20 21 22 23 24
Sem aditivo 40,2 40,5 40,9 35,0 32,7 33,6
Com aditivo 40,0 40,0 40,1 36,3 32,8 34,2
Carro 25 26 27 28 29 30
Sem aditivo 34,2 35,1 35,2 35,3 35,5 35,9
Com aditivo 34,7 34,9 34,9 35,3 35,9 36,4
Carro 31 32 33
Sem aditivo 36,0 36,1 37,2
Com aditivo 36,6 36,6 38,3
 10. Aditivo de combustível Um engenheiro de petróleo 
afirma que um aditivo de combustível melhora o de-
sempenho. A tabela a seguir mostra o desempenho (em 
milhas por galão) de 32 carros selecionados aleatoria-
mente, medido com e sem o aditivo de combustível. Tes-
te a afirmação do engenheiro de petróleo com a = 0,05.
Carro 1 2 3 4 5 6 7 8
Sem aditivo 34,0 34,2 34,4 34,4 34,6 34,8 35,6 35,7
Com aditivo 36,6 36,7 37,2 37,2 37,3 37,4 37,6 37,7
Carro 9 10 11 12 13 14 15 16
Sem aditivo 30,2 31,6 32,3 33,0 33,1 33,7 33,7 33,8
Com aditivo 34,2 34,9 34,9 34,9 35,7 36,0 36,2 36,5
Carro 17 18 19 20 21 22 23 24
Sem aditivo 35,7 36,1 36,1 36,6 36,6 36,8 37,1 37,1
Com aditivo 37,8 38,1 38,2 38,3 38,3 38,7 38,8 38,9
Carro 25 26 27 28 29 30 31 32
Sem aditivo 37,2 37,9 37,9 38,0 38,0 38,4 38,8 42,1
Com aditivo 39,1 39,1 39,2 39,4 39,8 40,3 40,8 43,2
Capítulo 11 Testes não paramétricos 19
11.3 Teste de Kruskal-Wallis
O teste de Kruskal-Wallis
O teste de Kruskal-Wallis
Na Seção 10.4 você aprendeu como usar técnicas da ANOVA com um fa-
tor para comparar as médias de três ou mais populações. Ao usar a ANOVA 
com um fator, você deve verificar se cada amostra independente é sele-
Classificação das faculdades
A cada ano, a Forbes e o Center for College Affordability and Productivi-
ty lançam uma lista das melhores instituições de ensino superior nos Estados 
Unidos. Seiscentas e cinquenta instituições de ensino superior são classificadas 
de acordo com a qualidade da educação, proporção de graduação em 4 anos, 
resultados da pós-graduação, dívida média do estudante após 4 anos e número 
de estudantes que ganharam prêmios competitivos, tais como bolsas de estudos.
A tabela a seguir mostra o total de estudantes de instituições de ensino supe-
rior selecionadas aleatoriamente, por região, na lista de 2012.
Total de estudantes em cada uma das 40 instituições 
Nordeste Centro-Oeste Sul Oeste
1.778 14.399 6.224 1.474
14.754 14.697 13.893 1.041
8.768 3.547 29.617 30.467
2.632 2.231 16.198 72.254
21.067 5.324 2.454 18.004
1.619 12.554 27.386 33.395
4.991 11.528 811 1.596
822 23.863 4.188 1.859
15.128 3.082 24.753 12.925
18.055 1.407 44.616 7.155
Estudo de caso
Exercícios
 1. Construa um boxplot lado a lado para as quatro 
regiões. Apenas observando o gráfico, é possível 
perceber duas ou mais medianas “próximas” ? Al-
guma parece ser diferente?
Nos exercícios 2 a 5, use o teste dos sinais para testar 
a afirmação. O que você pode concluir? Use a = 0,05.
 2. A população total mediana de estudantes em ins-
tituições no Nordesteé menor ou igual a 7.000.
 3. A população total mediana de estudantes em insti-
tuições no Centro-Oeste é maior ou igual a 8.000.
 4. A população total mediana de estudantes em ins-
tituições no Sul é 10.000.
 5. A população total mediana de estudantes em ins-
tituições no Oeste é diferente de 8.000.
Nos exercícios 6 e 7, use o teste da soma dos postos 
de Wilcoxon para testar a afirmação. Use a = 0,01.
 6. Não há diferença entre a população total de estudan-
tes para as instituições no Centro-Oeste e no Oeste.
 7. Há diferença entre a população total de estudan-
tes para as instituições no Nordeste e no Sul.
O que você deve aprender
 • Como usar o teste de 
Kruskal-Wallis para determinar 
se três ou mais amostras 
foram selecionadas de 
populações que apresentam 
a mesma distribuição.
20 Estatística aplicada
cionada de uma população com distribuição normal, ou aproximadamente 
normal. Quando você não pode concluir que as populações são normais, 
você ainda pode comparar as distribuições de três ou mais populações. 
Para tanto, você pode usar o teste de Kruskal-Wallis.
Definição 
O teste de Kruskal-Wallis é um teste não paramétrico que pode ser usado 
para determinar se três ou mais amostras independentes foram selecionadas 
de populações que possuem a mesma distribuição.
Para um teste de Kruskal-Wallis, as hipóteses nula e alternativa são 
sempre semelhantes às seguintes afirmações:
 H0: Todas as populações possuem a mesma distribuição.
 Ha: Pelo menos uma população possui uma distribuição que é diferen-
te das demais.
As condições para usar o teste de Kruskal-Wallis são que as amostras 
devem ser aleatórias e independentes, e o tamanho de cada amostra deve 
ser pelo menos 5. Se essas condições são satisfeitas, então a distribuição 
amostral para o teste de Kruskal-Wallis é aproximada por uma distribuição 
qui-quadrado com k – 1 graus de liberdade, em que k é o número de amos-
tras. Você pode calcular a estatística de teste de Kruskal-Wallis usando a 
fórmula descrita a seguir.
Estatística de teste para o teste de Kruskal-Wallis 
Para três ou mais amostras independentes, a estatística de teste para o teste 
de Kruskal-Wallis é:
 
H =
12
N 1N + 12
a
R12
n1
+
R22
n2
+ c+
R2k
nk
b - 3 1N + 12
em que
 k é o número de amostras,
 ni é o tamanho da i-ésima amostra,
 N é a soma dos tamanhos das amostras,
e
 Ri é a soma dos postos da i-ésima amostra.
Realizar um teste de Kruskal-Wallis consiste em combinar e classi-
ficar em ordem crescente os dados amostrais. Após, os postos são então 
separados de acordo com a amostra e a soma dos postos de cada amostra 
é calculada.
Essas somas são então usadas para calcular a estatística de teste H, que 
é uma aproximação da variância das somas dos postos. Quando as amostras 
são selecionadas de populações que possuem a mesma distribuição, as so-
mas dos postos serão, em geral, aproximadamente iguais, H será pequeno, 
e você provavelmente não deve rejeitar a hipótese nula.
Quando as amostras são selecionadas de populações que não possuem 
a mesma distribuição, as somas dos postos poderão ser muito diferentes, H 
será grande e você provavelmente deve rejeitar a hipótese nula.
Como só se rejeita a hipótese nula quando H é significativamente gran-
de, o teste de Kruskal-Wallis é sempre um teste unilateral à direita.
Capítulo 11 Testes não paramétricos 21
Instruções
Realizando um teste de Kruskal-Wallis
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Verifique se as amostras são aleatórias 
e independentes, e cada tamanho de 
amostra é pelo menos 5.
2. Identifique a afirmação. Declare as hi-
póteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
3. Especifique o nível de significância. Identifique a.
4. Identifique os graus de liberdade g.l. = k – 1
5. Determine o valor crítico e a região de 
rejeição.
Use a Tabela B.6 no Apêndice B.
6. Encontre a soma dos postos para cada 
amostra.
 a. Liste os dados combinados em or-
dem crescente.
 b. Classifique os dados combinados.
7. Encontre a estatística de teste e esbo-
ce a distribuição amostral. H =
12
N 1N + 12
#
 a
R12
n1
+
R22
n2
+ c + 
R2k
nk
b
- 3 1N + 12
8. Decida se rejeita ou não rejeita a hipó-
tese nula.
Se H está na região de 
rejeição, então rejeite H0. 
Caso contrário, não rejeite H0.
9. Interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
1Exemplo
Realizando um teste de Kruskal-Wallis
Você quer comparar o número de crimes denunciados em três dele-
gacias policiais em uma cidade. Para tal, você seleciona aleatoriamente 
10 semanas para cada delegacia e registra o número de crimes denun-
ciados. A Tabela 11.11 mostra os resultados. Com a = 0,01, você pode 
concluir que a distribuição do número de crimes denunciados em pelo 
menos uma delegacia é diferente das demais?
Solução
Você quer testar a afirmação de que a distribuição do número de cri-
mes denunciados em pelo menos uma delegacia é diferente das demais. 
As hipóteses nula e alternativa são as seguintes:
 H0: A distribuição do número de crimes denunciados é a mesma 
nas três delegacias.
 Ha: A distribuição do número de crimes denunciados em pelo me-
nos uma delegacia é diferente das demais. (Afirmação)
O teste é unilateral à direita com a = 0,01 e g.l. = k – 1 = 3 – 
1 = 2. Da Tabela B.6 no Apêndice B, o valor crítico é x2
0
 = 9,210. 
A região de rejeição é x2 > 9,210. Para calcular a estatística de 
teste, você deve encontrar a soma dos postos para cada amostra. 
Tabela 11.11 Número de crimes 
denunciados por 
semana.
101ª 
delegacia 
(Amostra 
1)
106ª 
delegacia 
(Amostra 
2)
113ª 
delegacia 
(Amostra 
3)
60 65 69
52 55 51
49 64 70
52 66 61
50 53 67
48 58 65
57 50 62
45 54 59
44 70 60
56 62 63
22 Estatística aplicada
A Tabela 11.12 mostra os dados combinados listados em ordem cres-
cente e os correspondentes postos.
Tabela 11.12 Ordenação dos dados e respectivos postos.
Dados 
ordenados
Amostra Posto
Dados 
ordenados
Amostra Posto
Dados 
ordenados
Amostra Posto
44 101a 1 54 106a 11 62 113a 20,5
45 101a 2 55 106a 12 63 113a 22
48 101a 3 56 101a 13 64 106a 23
49 101a 4 57 101a 14 65 106a 24,5
50 101a 5,5 58 106a 15 65 113a 24,5
50 106a 5,5 59 113a 16 66 106a 26
51 113a 7 60 101a 17,5 67 113a 27
52 101a 8,5 60 113a 17,5 69 113a 28
52 101a 8,5 61 113a 19 70 106a 29,5
53 106a 10 62 106a 20,5 70 113a 29,5
A soma dos postos para cada amostra é:
 R1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,5 + 8,5 + 8,5 + 13 + 14 + 17,5 = 77
 R2 = 5,5 + 10 + 11 + 12 + 15 + 20,5 + 23 + 24,5 + 26 + 29,5 = 177
 R3 = 7 + 16 + 17,5 + 19 + 20,5 + 22 + 24,5 + 27 + 28 + 29,5 = 211
Usando essas somas e os valores n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10 e N = 30, a 
estatística de teste é:
 
H =
12
30 130 + 12 a
772
10
+
1772
10
+
2112
10
b - 3 130 + 12 ≈ 12,521.
A Figura 11.4 mostra a localização da região de rejeição e a estatística 
de teste H. Como H está na região de rejeição, você rejeita a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 
1%, para aceitar a afirmação de que a distribuição do número de crimes 
denunciados em pelo menos uma delegacia é diferente das demais.
Figura 11.4 Distribuição qui-quadrado, região de rejeição e estatística 
de teste.
2 4 6 8 10 12 14
H ≈ 12,521
a = 0,01
x2
0
 = 9,210
x2
Capítulo 11 Testes não paramétricos 23
Tente você mesmo 1
Você quer comparar os salários de veterinários que trabalham no 
Texas, na Flórida e em Ohio. Para compará-los, você seleciona aleato-
riamente diversos veterinários em cada estado e registra seus salários. 
A Tabela 11.13 mostra os salários (em milhares de dólares). Com a = 
0,05, você pode concluir que a distribuição dos salários dos veterinários 
em pelo menos um estado é diferente das demais? (Adaptado de U.S. 
Bureau of Labor Statistics.)
Tabela 11.13 Salários de veterinários.
TX (Amostra 1) FL (Amostra 2) OH (Amostra 3)
99,6 95,2 94,9
97,2 100,6 99,4
98,5 98,3 106,2
100,4 102,8 90,9
100,9 93,9 84,5
95,9 103,2 95,7
99,4 98,7 96,3
87,9 93,3 93,0
113,6 102,4 93,2
102,9
a. Identifique a afirmação edeclare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Identifique os graus de liberdade.
d. Encontre o valor crítico e identifique a região de rejeição.
e. Liste os dados combinados em ordem crescente, classifique-os e en-
contre a soma dos postos de cada amostra.
f. Encontre a estatística de teste H. Esboce um gráfico.
g. Decida se rejeita a hipótese nula.
h. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Retratando o mundo
As informações a seguir, 
coletadas aleatoriamente, 
foram usadas para comparar 
as temperaturas da água (em 
graus Fahrenheit) de cidades 
na fronteira com o Golfo do 
México. (Adaptado de National 
Oceanographic Data Center.)
Cedar 
Key 
FL 
(Amostra 
1)
Eugene 
Island, 
LA 
(Amostra 
2)
Dauphin 
Island, 
AL 
(Amostra 
3)
62 51 63
69 55 51
77 57 54
59 63 60
60 74 75
75 82 80
83 85 70
65 60 78
79 64 82
86 76 84
82 83
86
Com a = 0,05, você pode concluir 
que pelo menos uma distribuição 
de temperatura é diferente das 
demais?
11.3 Exercícios
Construindo habilidades básicas e vocabulário
 1. Quais são as condições para usar um teste de 
Kruskal-Wallis?
 2. Explique por que o teste de Kruskal-Wallis é sempre 
um teste unilateral à direita.
Usando e interpretando conceitos
Realizando um teste de Kruskal-Wallis Nos exer-
cícios 3 a 6, (a) identifique a afirmação e declareH0 e Ha, 
(b) encontre o valor crítico e identifique a região de re-
jeição, (c) encontre a estatística de teste, (d) decida entre 
rejeitar ou não a hipótese nula e (e) interprete a decisão 
no contexto da afirmação original.
 3. Seguro residencial A tabela a seguir mostra os prê-
mios anuais para uma amostra aleatória de apólices de 
seguro residencial em Connecticut, Massachusetts e Vir-
ginia. Para um nível de significância a = 0,05, você pode 
concluir que a distribuição dos prêmios anuais em pelo 
menos um estado é diferente das demais? (Adaptado de 
National Association of Insurance Commissioners.)
Estado Prêmio anual (em dólares)
Connecticut 1.053 848 1.013 1.163
Massachusetts 1.132 1.052 1.007 1.322
Virginia 885 800 616 695
Connecticut 1.288 929 1.070
Massachusetts 1.137 916 784
Virginia 982 688 605
24 Estatística aplicada
 4. Remuneração por hora Um pesquisador quer deter-
minar se há diferença nas taxas de remuneração por 
hora para enfermeiras registradas em Indiana, Kentu-
cky e Ohio. O pesquisador seleciona aleatoriamente 
diversas enfermeiras registradas em cada estado e ano-
ta a variação da remuneração por hora de cada uma. A 
tabela a seguir mostra os resultados. Com a = 0,05, o 
pesquisador pode concluir que a distribuição das taxas 
de remuneração por hora das enfermeiras registradas 
em pelo menos um estado é diferente das demais? 
(Adaptado de U.S. Bureau of Labor Statistics.)
Estado
Taxa de remuneração 
horária (em dólares)
Indiana 27,61 28,06 26,46 27,21
Kentucky 26,66 25,29 27,81 29,91
Ohio 26,94 31,34 32,74 33,01
Indiana 30,05 24,91 29,25
Kentucky 28,26 31,31 24,31
Ohio 26,44 28,99
 5. Salários anuais A tabela a seguir mostra os salários 
anuais para uma amostra aleatória de trabalhadores da 
indústria privada em Kentucky, Carolina do Norte, Ca-
rolina do Sul e West Virginia. Com a = 0,10, você pode 
concluir que a distribuição dos salários anuais dos tra-
balhadores da indústria privada em pelo menos um 
estado é diferente das demais? (Adaptado de U.S. Bu-
reau of Labor Statistics.)
Estado
Salário anual 
(em milhares de dólares)
Kentucky 35,3 37,0 45,9 57,5
Carolina do Norte 43,5 41,9 36,6 54,3
Carolina do Sul 29,8 37,4 43,5 42,9
West Virginia 31,6 42,7 33,4 41,9
Kentucky 33,7 28,3 35,3
Carolina do Norte 35,5 39,6 43,5
Carolina do Sul 34,7 36,1 29,8
West Virginia 47,1 34,9 31,6
 6. Teor de cafeína A tabela a seguir mostra as quantidades 
de cafeína (em miligramas) em porções de 16 onças para 
uma amostra aleatória de bebidas. Com a = 0,01, você pode 
concluir que a distribuição das quantidades de cafeína em 
pelo menos uma bebida é diferente das demais? (Adapta-
do de Center for Science in the Public Interest.)
Bebida
Quantidade de cafeína 
em porções de 16 onças 
(em miligramas)
Cafés 320 300 206 150
Refrigerantes 95 96 56 51
Energéticos 200 141 160 152
Chás 100 106 42 15
Bebida
Quantidade de cafeína 
em porções de 16 onças 
(em miligramas)
Cafés 266
Refrigerantes 71 72 47
Energéticos 154 166
Chás 32 10
Expandindo conceitos
Comparando dois testes Nos exercícios 7 e 8,
(a) realize um teste de Kruskal-Wallis.
(b) realize um teste ANOVA com um fator, supondo 
que cada população é normalmente distribuída e as 
variâncias populacionais são iguais. Se for conveniente, 
use tecnologia.
(c) compare os resultados.
 7. Estadia de pacientes em hospitais Um agente de segu-
ros afirma que o número de dias que pacientes passam 
no hospital é diferente em pelo menos uma região dos 
Estados Unidos. A tabela a seguir mostra o número de 
dias que pacientes selecionados aleatoriamente passa-
ram no hospital em quatro regiões dos Estados Unidos. 
Para o nível de significância a = 0,01, você pode concor-
dar com a afirmação do agente de seguros? (Adaptado 
de U.S. National Center for Health Statistics.)
Região Número de dias
Nordeste 8 6 6 3 5
Centro-Oeste 5 4 3 9 1
Sul 5 8 1 5 8
Oeste 2 3 6 6 5
Nordeste 11 3 8 1 6
Centro-Oeste 4 6 3 4 7
Sul 7 5 1
Oeste 4 3 6 5
 8. Consumo de energia A tabela a seguir mostra a 
energia consumida (em milhões de Btus) em um ano 
para uma amostra aleatória de domicílios de quatro 
regiões dos Estados Unidos. Com a = 0,01, você pode 
concluir que a energia consumida é diferente em pelo 
menos uma região? (Adaptado de U.S. Energy Infor-
mation Administration.)
Região
Energia consumida 
(em milhões de Btus)
Nordeste 61 95 140 127 93 97
Centro-Oeste 59 158 169 140 95 187
Sul 86 35 67 86 142 69
Oeste 81 39 85 35 113 46
Nordeste 84 123 89 163
Centro-Oeste 123 104 88 37 72
Sul 65 62
Oeste 125 70 77 63
Capítulo 11 Testes não paramétricos 25
11.4 Correlação de postos
O coeficiente de correlação de postos de Spearman
O coeficiente de correlação de postos de Spearman
Na Seção 9.1 você aprendeu como medir a força da relação entre duas 
variáveis usando o coeficiente de correlação de Pearson r. Dois requisitos 
para o coeficiente de correlação de Pearson são que as variáveis sejam li-
nearmente relacionadas e que tenham uma distribuição normal bivariada. 
Quando esses requisitos não podem ser satisfeitos, você pode examinar a 
relação entre duas variáveis usando o equivalente não paramétrico para 
o coeficiente de correlação de Pearson — o coeficiente de correlação de 
postos de Spearman.
O coeficiente de correlação de postos de Spearman tem várias vanta-
gens em relação ao coeficiente de correlação de Pearson. Por exemplo, 
o coeficiente de correlação de postos de Spearman pode ser usado para 
descrever a relação entre dados lineares e não lineares. Também pode ser 
usado para dados no nível ordinal. Sem o auxílio de “tecnologia”, o coefi-
ciente de Spearman é mais fácil de ser calculado.
Definição 
O coeficiente de correlação de postos de Spearman rs é uma medida da 
força da relação entre duas variáveis. O coeficiente de correlação de postos de 
Spearman é calculado usando-se os postos dos valores de amostras pareadas. 
Se não houver empates nos postos de ambas as variáveis, a fórmula para o 
coeficiente de correlação de postos de Spearman será:
 
rs = 1 -
6Σd2
n (n2 - 1)
em que n é o número de pares de valores e d é a diferença entre os postos 
de cada par. Se houver poucos empates nos postos, em relação ao número 
de pares de dados, então a fórmula ainda poderá ser usada para aproximar rs.
Os valores de rs variam de –1 a 1, inclusive. Quando os postos em cada 
par de dados correspondentes são exatamente idênticos, rs é igual a 1. Quan-
do os postos estão em ordem “inversa”(em cada par a soma dos postos é 
n + 1), rs é igual a –1. Quando os postos de pares de dados correspondentes 
não têm relação, rs é igual a 0.
Após calcular o coeficiente de correlação de postosde Spearman, você 
pode verificar se a correlação entre as variáveis é significativa. Pode fazer 
essa determinação realizando um teste de hipótese para o coeficiente de 
correlação da população rs. As hipóteses nula e alternativa para esse teste 
são as seguintes:
 H0: rs = 0 (Não há correlação entre as variáveis.)
 Ha: rs ≠ 0 (Há correlação significativa entre as variáveis.)
A Tabela B.10 no Apêndice B lista os valores críticos para o coeficiente 
de correlação de postos de Spearman para níveis de significância e tama-
nhos de amostra selecionados. A estatística de teste para o teste de hipóte-
se é o coeficiente de correlação de postos de Spearman rs.
O que você deve aprender
 • Como usar o coeficiente 
de correlação de postos de 
Spearman para determinar 
se a correlação entre duas 
variáveis é significativa.
26 Estatística aplicada
Instruções
Testando a significância do coeficiente de correlação de postos de 
Spearman
EM PALAVRAS EM SÍMBOLOS
1. Identifique a afirmação. Declare as 
hipóteses nula e alternativa.
Formule H0 e Ha.
2. Especifique o nível de significância. Identifique a.
3. Determine o valor crítico. Use a Tabela B.10 no Apêndice B.
4. Encontre a estatística de teste.
rs = 1 -
6Σd2
n (n2 - 1)
5. Tome uma decisão para rejeitar ou não 
rejeitar a hipótese nula.
Se |rs| é maior que o valor crítico, 
então rejeite H0. Caso contrário, 
não rejeite H0.
6. Interprete a decisão no contexto da 
afirmação original.
1Exemplo
Coeficiente de correlação de postos de Spearman 
A Tabela 11.14 mostra as matrículas de homens e mulheres para uma 
amostra aleatória de 10 faculdades. Com a = 0,05, você pode concluir 
que há correlação significativa entre o número de homens e o número 
de mulheres matriculados em uma faculdade?
Tabela 11.14 Números de homens e de mulheres matriculados 
em 10 faculdades.
Homem Mulher
1.786 2.182
4.246 4.415
1.419 1.537
1.188 1.236
2.394 2.182
1.079 919
4.049 4.209
3.595 3.741
1.102 1.086
1.345 1.282
Solução
A afirmação é “há uma correlação significativa entre o número de 
homens e o número de mulheres matriculados em uma faculdade”. As 
hipóteses nula e alternativa estão listadas a seguir.
 H0: rs = 0 (Não há correlação entre o número de homens e o número 
de mulheres matriculados em uma faculdade.)
 Ha: rs ≠ 0 (Há correlação significativa entre o número de homens e 
o número de mulheres matriculados em uma faculdade.) 
(Afirmação)
Capítulo 11 Testes não paramétricos 27
Cada conjunto de dados tem 10 valores. Como a = 0,05 e n = 10, o 
valor crítico é 0,648. Para calcular a estatística de teste, você deve en-
contrar Σd2, a soma dos quadrados das diferenças dos postos dos con-
juntos de dados. Você pode usar uma tabela para calcular Σd2, conforme 
mostrado na Tabela 11.15.
Tabela 11.15 Operações para o cálculo do coeficiente de correlação rs.
Homem Posto Mulher Posto d d2
1.786 6 2.182 6,5 –0,5 0,25
4.246 10 4.415 10 0 0
1.419 5 1.537 5 0 0
1.188 3 1.236 3 0 0
2.394 7 2.182 6,5 0,5 0,25
1.079 1 919 1 0 0
4.049 9 4.209 9 0 0
3.595 8 3.741 8 0 0
1.102 2 1.086 2 0 0
1.345 4 1.282 4 0 0
Σd 2 = 0,5
Uma vez que n = 10 e Σd2 = 0,5, a estatística de teste é:
 
 rs = 1 -
6Σd2
n (n2 - 1)
= 1 -
6 10,52
10 (102 - 1)
≈ 0,997.
Como |rs| ≈ 0,997 > 0,648, você rejeita a hipótese nula.
Interpretação Há evidência suficiente, ao nível de significância de 
5%, para concluir que há correlação significativa entre o número de 
homens e o número de mulheres matriculados em uma faculdade.
Tente você mesmo 1
A Tabela 11.16 mostra os preços (em dólares por alqueire) recebidos 
para aveia e trigo em uma amostra de sete agricultores americanos. Com 
a = 0,10, você pode concluir que há uma correlação significativa entre os 
preços da aveia e do trigo? (Adaptado de U.S. Department of Agriculture.)
Tabela 11.16 Preços relativos a aveia e trigo.
Aveia 4,04 4,38 4,03 4,05 4,21 4,02 4,04
Trigo 7,96 8,13 7,72 7,97 8,01 7,75 7,98
a. Identifique a afirmação e declare H0 e Ha.
b. Identifique o nível de significância a.
c. Encontre o valor crítico.
d. Use uma tabela para calcular Σd2.
e. Encontre a estatística de teste rs.
f. Decida se rejeita a hipótese nula.
g. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Dica de estudo
Lembre-se, no caso 
de empate entre os valores 
do par, use a média dos 
postos correspondentes.
Retratando o mundo
A tabela a seguir mostra os preços 
de varejo (em dólares por libra) 
para 100% carne moída e frango 
inteiro fresco para uma amostra 
aleatória de nove mercearias nos 
EUA. (Adaptado de U.S. Bureau of 
Labor Statistics.)
Carne Frango
2,38 1,28
2,36 1,25
2,19 1,23
2,29 1,25
2,39 1,28
2,20 1,22
2,38 1,27
2,38 1,26
2,38 1,26
Existe correlação significativa 
entre os preços da carne moída 
e do frango nas mercearias dos 
EUA? Use a = 0,10.
28 Estatística aplicada
11.4 Exercícios
Construindo habilidades básicas e vocabulário
 1. Cite algumas vantagens do coeficiente de correlação de 
postos de Spearman sobre o coeficiente de correlação 
de Pearson.
 2. Descreva os limites do coeficiente de correlação de postos 
de Spearman e do coeficiente de correlação de Pearson.
 3. O que significa quando rs é igual a 1? O que significa quan-
do rs é igual a –1? O que significa quando rs é igual a 0?
 4. Explique, com suas palavras, o que rs e rs representam 
no Exemplo 1.
Usando e interpretando conceitos
Testando uma afirmação Nos exercícios 5 a 8, (a) 
identifique a afirmação e declare H0 e Ha, (b) encontre 
o valor crítico, (c) encontre a estatística de teste rs, (d) 
decida se rejeita ou não a hipótese nula e (e) interprete 
a decisão no contexto da afirmação original.
 5. Despesas agrícolas Em um relatório agrícola, um 
analista de commodities afirma que há uma correlação 
significativa entre despesas com compra de sementes e 
despesas com fertilizantes e cal nos negócios agrícolas. 
A tabela a seguir mostra as despesas totais com compra 
de sementes e despesas com fertilizantes e cal para fa-
zendas em oito estados selecionados aleatoriamente, 
para um ano recente. Para o nível a = 0,05, há evidência 
suficiente para aceitar a afirmação do analista? (Adap-
tado de U.S. Department of Agriculture.)
Estado
Despesas com 
compra de 
sementes (em 
milhões de 
dólares)
Despesas com 
fertilizantes 
e cal (em 
milhões de 
dólares)
Arkansas 430 490
Califórnia 1.070 1.640
Flórida 330 520
Kentucky 164 360
Michigan 610 557
Carolina do Norte 340 460
Ohio 710 893
Washington 250 380
 6. Aparelhos de exercício A tabela a seguir mostra as 
pontuações gerais e os preços para uma amostra alea-
tória de nove modelos diferentes de equipamentos de 
exercício elíptico. A pontuação geral representa a ergo-
nomia, amplitude do exercício, facilidade de uso, cons-
trução, monitoramento cardíaco e segurança. Com a = 
0,05, você pode concluir que há uma correlação signifi-
cativa entre a pontuação geral e o preço? (Fonte: Con-
sumer Report.)
Pontuação geral 77 75 73
Preço (em dólares) 3.700 1.700 1.300
Pontuação geral 71 66 66
Preço (em dólares) 900 1.000 1.400
Pontuação geral 64 62 58
Preço (em dólares) 1.800 1.000 700
 7. Preços de colheita A tabela a seguir mostra os preços 
(em dólares por alqueire) recebidos para cevada e milho 
em uma amostra aleatória de nove agricultores ameri-
canos. Com a = 0,05, você pode concluir que há uma 
correlação significativa entre os preços da cevada e do 
milho? (Adaptado de U.S. Department of Agriculture.)
Cevada 5,42 5,40 5,35 5,70 5,72
Milho 6,05 6,28 6,34 6,36 6,36
Cevada 5,48 6,33 6,45 6,46
Milho 6,35 7,16 7,65 6,90
 8. Aspiradores de pó A tabela a seguir mostra as pontua-
ções gerais e os preços para uma amostra aleatória de 12 
modelos diferentes de aspiradores de pó. A pontuação 
geral representa limpeza de carpete e piso, fluxo de ar, 
manuseio, barulho e emissões. Com a = 0,10, você pode 
concluir que há uma correlação significativa entre a pon-
tuação geral e o preço? (Fonte: Consumer Report.)
Pontuação geral 73 65 60 71
Preço (em dólares)