Módulo de Apoio Online -Livro W D Callister 1

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Material Suplementar para Acompanhar
O I T A V A E D I Ç Ã O
Ciência e Engenharia 
de Materiais
Uma Introdução
Módulo de Apoio Online
William D. Callister, Jr.
Departamento de Engenharia Metalúrgica 
The University of Utah
David G. Rethwisch
Departamento de Engenharia Química e Bioquímica 
The University of Iowa
Tradução 
Sergio Murilo Stamile Soares
Revisão Técnica
José Roberto Moraes d’Almeida, D.Sc. 
Professor da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio, 
Departamento de Engenharia de Materiais 
Professor da Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ,
Departamento de Engenharia Mecânica
Este Material Suplementar contém Módulo de Apoio Online que pode ser usado como apoio para o livro 
Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução, Oitava Edição, 2012. Este material é de uso exclusivo 
de professores e estudantes que adquiriram o livro.
Material Suplementar Módulo de Apoio Online traduzido do material original:
MATERIALS SCIENCES AND ENGINEERING: AN INTRODUCTION, EIGHTH EDITION 
Copyright © 2010, 2007, 2003, 2000 John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. This translation published under license.
ISBN: 978-0-470-41997-7
Obra publicada pela LTC Editora: 
CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS: UMA INTRODUÇÃO, OITAVA EDIÇÃO, 2012
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 2012 by 
LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 
Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional
Capa: Roy Wiemann e Bill Callister
Editoração Eletrônica: Diagrama Ação
iv •
Sumário
M.1 Introdução 1
Fratura 1
M.2 Princípios da Mecânica da Fratura 1
Fadiga 15
M.3 Iniciação e Propagação de Trincas 15
M.4 Taxa de Propagação da Trinca 18
Seleção de Materiais para um Eixo Cilíndrico Tensionado em Torção 23
M.5 Introdução 23
M.6 Considerações de Resistência – Eixo Tensionado em Torção 23
M.7 Outras Considerações de Propriedades e a Decisão Final 28
Mola da Válvula de Automóvel 28
M.8 Mecânica da Deformação da Mola 29
M.9 Projeto da Mola da Válvula e Exigências ao Material 30
M.10 Um Aço Comumente Empregado 33
Investigação de Falhas em Engenharia 35
M.11 Introdução 35
M.12 Causas de Falha 36
M.13 Causas Básicas 37
A Análise de Falhas 37
M.14 Introdução 37
M.15 Qual Exatamente É o Problema que Causou a Falha? 37
M.16 Qual É a Causa Básica do Problema que Causou a Falha? 38
M.17 Identificação de Possíveis Causas Básicas 48
M.18 Identificação da Causa Básica Responsável pela Falha 49
M.19 Quais São as Soluções Possíveis? 50
M.20 Qual Dessas É a Melhor Solução? 51
M.21 Avaliação da Efetividade das Ações Corretivas 51
M.22 Relatório Final 51
Falha do Eixo Traseiro de um Automóvel 52
M.23 Introdução 52
M.24 Procedimentos de Testes e Resultados 53
M.25 Discussão 60
Resumo 61
Referências 62
Perguntas e Problemas 63
Problemas de Projeto 64
• 1
M.1 INTRODUÇÃO
Devido a restrições no tamanho do livro, vários tópicos especialmente adequados à disciplina de 
engenharia mecânica ou não foram discutidos em detalhe suficiente ou foram omitidos do livro 
impresso. Portanto, decidiu-se por prover este módulo suplementar disponível no site da LTC Edi-
tora, o qual inclui o seguinte: versões alternativas (e mais detalhadas) das Seções impressas 8.5 
(Princípios da Mecânica da Fratura) e 8.9 (Iniciação e Propagação de Trincas [para Fadiga]), uma 
nova seção, Taxa de Propagação de Trincas por Fadiga, e três estudos de casos – (1) Seleção de 
Materiais para um Eixo Cilíndrico Tensionado em Torção, (2) Mola de Válvula Automotiva e (3) 
Falha do Eixo Traseiro de um Automóvel. Além disso, adicionamos o submódulo “Investigação de 
Falhas em Engenharia,” que resume um protocolo que pode ser empregado para analisar a falha 
de componentes de engenharia.
Módulo de Apoio Online para o 
Livro Engenharia Mecânica
Objetivos do Aprendizado
Após um estudo cuidadoso deste capítulo você deverá ser capaz de fazer o seguinte:
 1. Explicar por que as resistências dos materiais frágeis são 
muito menores que aquelas estimadas por cálculos 
teóricos.
 2. Definir tenacidade à fratura em termos de (a) um 
enunciado sucinto e (b) uma equação; definir todos os 
parâmetros nessa equação.
 3. Descrever como é determinado o índice de desempenho 
da resistência para um eixo cilíndrico sólido.
 4. Descrever a maneira pela qual os diagramas de seleção de 
materiais são empregados no processo de seleção de 
materiais.
 5. Descrever sucintamente as etapas para verificar se uma 
liga metálica específica é ou não adequada para o uso em 
uma mola de válvula automotiva.
 6. Listar e explicar sucintamente as três causas fundamentais 
de uma falha.
 7. Listar as quatro perguntas que uma investigação típica de 
falhas busca responder.
 8. Descrever sucintamente a diferença nas características 
superficiais (conforme observadas em micrografias 
eletrônicas de varredura) entre um aço que (a) apresentou 
uma fratura dúctil e (b) falhou de uma maneira frágil.
Fratura
M.2 PRINCÍPIOS DA MECÂNICA DA FRATURA
A fratura frágil de materiais normalmente dúcteis, tal como aquela mostrada na fotografia de aber-
tura do Capítulo 8, demonstrou a necessidade de uma melhor compreensão dos mecanismos de 
fratura. Trabalhos de pesquisas extensivos ao longo das últimas décadas levaram à evolução do 
campo da mecânica da fratura. Essa matéria permite a quantificação das relações entre as proprie-
dades dos materiais, o nível de tensão, a presença de defeitos que produzem trincas e os mecanis-
mos de propagação das trincas. Os engenheiros de projeto estão agora mais bem equipados para 
antecipar e, dessa forma, prevenir falhas estruturais. A presente discussão está centrada em alguns 
dos princípios fundamentais da mecânica da fratura.
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Concentração de Tensões
A resistência à fratura de um material sólido é uma função das forças de coesão que existem entre 
os átomos. Com base nisso, a resistência de coesão teórica de um sólido elástico frágil foi estimada 
como sendo de aproximadamente E/10, em que E é o módulo de elasticidade. As resistências à fra-
tura experimentais da maioria dos materiais de engenharia ficam normalmente entre 10 e 1000 
vezes abaixo desse valor teórico. Na década de 1920, A. A. Griffith propôs que essa discrepância 
entre a resistência de coesão teórica e a resistência à fratura observada poderia ser explicada pela 
presença de defeitos ou trincas muito pequenos, microscópicos, que sempre existem sob condições 
normais na superfície e no interior de um corpo de um material. Esses defeitos são prejudiciais à 
resistência à fratura, pois uma tensão aplicada pode ser amplificada ou concentrada na extremi-
dade, onde a magnitude dessa amplificação depende da orientação e da geometria da trinca. Esse 
fenômeno está demonstrado na Figura M.1, um perfil de tensões ao longo de uma seção transversal 
que contém uma trinca interna. Como indicado por esse perfil, a magnitude dessa tensão localizada 
diminui com a distância à extremidade da trinca. Em posições distantes da extremidade da trinca, 
a tensão é igual à tensão nominal 0, ou à carga aplicada dividida pela área de seção transversal da 
amostra (perpendicular a essa carga). Devido à sua habilidade de amplificar uma tensão aplicada 
na sua posição, esses defeitos são chamados algumas vezes de concentradores de tensões.
Se for assumido que uma trinca possui forma elíptica (ou que ela seja circular) e que está 
orientada perpendicularmente à tensão aplicada, a tensão máxima na extremidade da trinca, m, é 
igual a
 (M.1a)
na qual 0 é a magnitude da tensão de tração nominal aplicada, e é o raio de curvatura da extre-
midade da trinca (Figura M.1a) e a representa o comprimento de uma trinca superficial, ou metade 
do comprimento de uma trinca interna. Para uma microtrinca
relativamente longa com um pequeno 
raio de curvatura em sua extremidade, o fator (a/e)1/2 pode ser muito grande (certamente muito 
maior que a unidade); sob essas circunstâncias, a Equação M.1a assume a forma
 (M.1b)
Figura M.1 (a) Geometria de trincas superficiais e internas. (b) Perfil de tensões esquemático ao longo da 
linha X-X em (a), demonstrando a amplificação da tensão nas posições das extremidades da trinca.
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Além disso, m será muitas vezes maior que o valor de 0.
Algumas vezes, a razão m/0 é conhecida como o fator de concentração de tensões Ke:
 (M.2)
que é simplesmente uma medida do grau pelo qual uma tensão externa é amplificada na extremi-
dade de uma trinca.
Como comentário, deve ser dito que a amplificação da tensão não está restrita a esses defeitos 
microscópicos; ela pode ocorrer em descontinuidades internas macroscópicas (por exemplo, em 
vazios), em cantos vivos e em entalhes em grandes estruturas. A Figura M.2 mostra as curvas teó-
ricas dos fatores de concentração de tensões para várias descontinuidades macroscópicas simples 
e comuns.
Figura M.2 Curvas teóricas dos fatores de concentração de tensões para três formas geométricas simples. 
(De G. H. Neugebauer, Prod. Eng. (NY), Vol. 14, pp. 82-87, 1943.)
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Além disso, o efeito de um concentrador de tensões é mais significativo nos materiais frágeis 
que nos materiais dúcteis. Em um metal dúctil, a deformação plástica inicia quando a tensão 
máxima excede o limite de escoamento. Isso leva a uma distribuição de tensões mais uniforme na 
vizinhança do concentrador de tensões e ao desenvolvimento de um fator de concentração de ten-
sões máximo menor que o valor teórico. O escoamento e essa redistribuição de tensões não ocor-
rem em qualquer extensão apreciável ao redor de defeitos e descontinuidades nos materiais frá-
geis; portanto, essencialmente, haverá concentração de tensões teórica.
Griffith foi então adiante e propôs que todos os materiais frágeis contêm uma população de 
pequenas trincas e defeitos com uma variedade de tamanhos, geometrias e orientações. A fratura 
resultará quando, sob a aplicação de uma tensão de tração, a resistência de coesão teórica do mate-
rial for excedida na extremidade de um desses defeitos. Isso leva à formação de uma trinca que 
então se propaga rapidamente. Se nenhum defeito estivesse presente, a resistência à fratura seria 
igual à resistência de coesão do material. Uísqueres metálicos e cerâmicos muito pequenos e virtu-
almente isentos de defeitos foram crescidos com resistências à fratura que se aproximam de seus 
valores teóricos.
Teoria de Griffith da Fratura Frágil
Durante a propagação de uma trinca, há liberação do que é denominado energia de deformação 
elástica, uma parcela da energia que é armazenada no material conforme ele é deformado elastica-
mente. Além disso, durante o processo de extensão da trinca, são criadas novas superfícies livres 
nas faces de uma trinca, o que dá origem a um aumento na energia de superfície do sistema. Griffith 
desenvolveu um critério para a propagação de trincas elípticas (Figura M.1a) fazendo o equilíbrio 
de energia, usando essas duas energias. Ele demonstrou que a tensão crítica c necessária para a 
propagação de trincas em um material frágil é descrita por
 (M.3)
no qual
E  módulo de elasticidade
s  energia de superfície específica
a  metade do comprimento de uma trinca interna
É importante observar que essa expressão não envolve o raio de curvatura da extremidade da 
trinca, e, como acontece com a equação para a concentração de tensões (Equação M.1); no entanto, 
assume-se que o raio seja suficientemente afilado (da ordem do espaçamento interatômico) para 
elevar a tensão local na extremidade acima da resistência de coesão do material.
O desenvolvimento anterior aplica-se somente aos materiais completamente frágeis, nos quais 
não há nenhuma deformação plástica. A maioria dos metais e muitos polímeros apresentam alguma 
deformação plástica durante a fratura; assim, a extensão da trinca envolve mais que simplesmente 
a produção de um aumento na energia superficial. Essa complicação pode ser acomodada pela 
substituição de s na Equação M.3 por s  p, no qual p representa uma energia de deformação 
plástica que está associada à extensão da trinca. Dessa forma,
 (M.4a)
Nos materiais altamente dúcteis, pode ocorrer que p  s, tal que
 (M.4b)
Na década de 1950, G. R. Irwin optou por incorporar tanto s quanto p em um único termo, 
c, conforme
 (M.5)
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c é conhecido como a taxa crítica de liberação de energia de deformação. A incorporação da Equa-
ção M.5 na Equação M.4a, após algum rearranjo, leva a outra expressão para o critério de trinca-
mento de Griffith, segundo
 (M.6)
Assim, a extensão da trinca ocorre quando  2a/E excede o valor de c para o material específico 
que está sendo considerado.
PROBLEMA-EXEMPLO M.1
Cálculo do Comprimento Máximo de um Defeito
Uma placa relativamente grande de um vidro é submetida a uma tensão de tração de 40 MPa. 
Se a energia de superfície específica e o módulo de elasticidade para esse vidro são de 0,3 J/m2 
e 69 GPa, respectivamente, determine o comprimento máximo de um defeito superficial que 
pode existir sem haver fratura.
Solução
Para resolver esse problema é necessário empregar a Equação M.3. O rearranjo dessa expres-
são para que a seja a variável dependente e a observação de que   40 MPa, s  0,3 J/m2 e 
E  69 GPa, leva a
Análise de Tensões de Trincas
Na medida em que continuamos a explorar o desenvolvimento da mecânica da fratura, torna-se 
importante examinar as distribuições de tensões na vizinhança da extremidade de uma trinca que 
está avançando. Existem três maneiras, ou modos, fundamentais pelos quais uma carga pode atuar 
em uma trinca, e cada uma causará um tipo diferente de deslocamento da superfície da trinca; esses 
modos estão ilustrados na Figura M.3. O modo I é o modo de abertura (ou tração), enquanto 
os modos II e III são os de deslizamento e de rasgamento, respectivamente. O modo I é encontrado 
com maior frequência e apenas ele será tratado na discussão subsequente sobre a mecânica da fra-
tura.
Para essa configuração do modo I, as tensões que atuam em um elemento do material estão 
mostradas na Figura M.4. Usando princípios da teoria da elasticidade e a notação indicada, as ten-
Figura M.3 Os três modos de deslocamento da superfície de uma trinca. (a) Modo I, modo de abertura ou 
de tração; (b) modo II, modo de deslizamento; e (c) modo III, modo de rasgamento.
6 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
sões de tração (x e y)1 e cisalhamento (xy) são funções tanto da distância radial r quanto do 
ângulo , da seguinte maneira:2
 (M.7a)
 (M.7b)
 (M.7c)
Se a placa é fina em comparação às dimensões da trinca, então z  0, e diz-se existir uma condi-
ção de tensão plana. No outro extremo (uma placa relativamente grossa), z  (x + y), e o 
estado é denominado deformação plana (uma vez que z  0);  nessa expressão é o coeficiente 
de Poisson.
Nas Equações M.7, o parâmetro K é denominado fator de intensidade de tensão; seu uso for-
nece uma especificação conveniente da distribuição de tensões ao redor de um defeito. Deve ser 
observado que esse fator de intensidade de tensão e o fator de concentração de tensões Ke na 
Equação M.2, embora sejam semelhantes, não são equivalentes.
1Esse y denota uma tensão de tração paralela à direção y e não deve ser confundido com o limite de 
escoamento (Seção 7.6), que usa o mesmo símbolo.
2As funções f() são as seguintes:
Figura M.4 Tensões que atuam na frente de uma trinca que é carregada na configuração do
modo I de tração.
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O fator de intensidade da tensão está relacionado à tensão aplicada e ao comprimento da 
trinca pela seguinte equação:
 (M.8)
Aqui, Y é um parâmetro ou função adimensional que depende dos tamanhos e geometrias tanto 
da trinca quanto da amostra, assim como do modo como a carga é aplicada. Mais será dito a res-
peito de Y na discussão que se segue. Além disso, deve ser observado que K possui as unidades não 
usuais de MPam (psiin [alternativamente ksiin]).
Tenacidade à Fratura
Na discussão anterior foi desenvolvido um critério para a propagação de trincas em um material 
frágil contendo um defeito; a fratura ocorre quando o nível da tensão aplicada excede um dado 
valor crítico c (Equação M.3). De maneira semelhante, uma vez que as tensões na vizinhança da 
extremidade de uma trinca podem ser definidas em termos do fator de intensidade da tensão, existe 
um valor crítico de K que pode ser usado para especificar as condições para a fratura frágil; esse 
valor crítico é denominado tenacidade à fratura Kc e, a partir da Equação M.8, é definido como
 (M.9)
Aqui, c é novamente a tensão crítica para a propagação da trinca e agora representamos Y como 
uma função tanto do comprimento da trinca (a) quanto da largura do componente (W) – isto é, 
como Y(a/W).
Em relação a essa função Y(a/W), conforme a razão a/W se aproxima de zero (isto é, para pla-
nos muito largos e trincas pequenas), o valor de Y(a/W) se aproxima da unidade. Por exemplo, para 
uma placa com largura infinita que possui uma trinca que atravessa sua espessura (Figura M.5a), 
Y(a/W)  1,0, enquanto para uma placa com largura semi-infinita que contém uma trinca na aresta 
de comprimento a (Figura M.5b), Y(a/W)  1,1. Expressões matemáticas para Y(a/W) (com 
frequência relativamente complexas) em termos de a/W são necessárias para os componentes com 
dimensões finitas. Por exemplo, para uma placa com uma trinca central (que atravessa a espessura 
da placa) com largura W (Figura M.6),
 (M.10)
Aqui, o argumento a/W para a tangente está expresso em radianos, não em graus. Com frequência 
ocorre que para uma dada configuração específica componente-trinca, o valor de Y(a/W) seja tra-
çado em função de a/W (ou alguma variação de a/W). Vários desses gráficos estão mostrados nas 
Figura M.5 Representações esquemáticas de (a) uma trinca interna em uma placa com largura infinita e 
(b) uma trinca na borda de uma placa com largura semi-infinita.
8 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Figuras M.7a, b e c; estão incluídas nas figuras as equações empregadas para determinar os valores 
de Kc.
Por definição, a tenacidade à fratura é uma propriedade que mede a resistência de um material 
a uma fratura frágil quando uma trinca está presente. Suas unidades são as mesmas do fator de 
intensidade da tensão (isto é, MPam ou psiin).
Para amostras relativamente finas, o valor de Kc irá variar, e diminuir, com o aumento da espes-
sura da amostra B, como indicado na Figura M.8. Eventualmente, Kc torna-se independente de B, 
em cujo momento é dito existir uma condição de deformação plana.3 O valor constante de Kc para 
amostras mais grossas é conhecido como tenacidade à fratura em deformação plana KIc, que tam-
bém é definida por4
 KIc  Ya (M.11) 
Essa é a tenacidade à fratura normalmente citada, uma vez que seu valor é sempre menor que Kc. 
O subscrito I em KIc denota que esse valor crítico de K é para o modo I de deslocamento de trincas, 
como está ilustrado na Figura M.3a. Os materiais frágeis, para os quais não é possível uma defor-
mação plástica considerável na frente de uma trinca que está avançando, apresentam baixos valo-
res de KIc e estão vulneráveis a uma falha catastrófica. Por outro lado, os valores de KIc são relati-
vamente altos para os materiais dúcteis. A mecânica da fratura é especialmente útil para prever a 
falha catastrófica em materiais que possuem ductilidades intermediárias. Os valores para a tenaci-
dade à fratura em deformação plana para diversos materiais estão apresentados na Tabela M.1; 
uma lista mais extensa de valores de KIc está incluída na Tabela B.5, no Apêndice B do livro 
impresso.
Figura M.6 Representação esquemática de uma placa plana com largura finita com uma trinca central que 
atravessa a espessura da placa.
3 Experimentalmente, foi verificado que para condições de deformação plana,
 (M.12)
em que l é o limite de escoamento do material a uma a pré-deformação de 0,002.
4 Na discussão a seguir, empregamos Y para designar Y(a/W), afim de simplificar a forma das equações.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 9
Figura M.7 Curvas de calibração de Y para três geometrias trinca-placa simples. (Copyright ASTM. 
Reimpresso sob permissão.)
10 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
O fator de intensidade da tensão K nas Equações M.7 e a tenacidade à fratura em deformação 
plana KIc estão relacionados entre si no mesmo sentido que a tensão e o limite de escoamento. Um 
material pode estar submetido a muitos valores de tensão; no entanto, existe um nível de tensão 
específico no qual o material se deforma plasticamente – ou seja, o limite de escoamento. De 
maneira semelhante, é possível uma variedade de valores de K, enquanto KIc é único para um mate-
rial específico e indica as condições de tamanho do defeito e de tensão necessárias para a fratura 
frágil.
Várias técnicas de ensaio diferentes são consideradas para medir KIc.5 Virtualmente, qualquer 
tamanho e forma de amostra consistentes com o modo I de deslocamento de trincas pode ser uti-
lizado, e valores precisos serão obtidos desde que o parâmetro de escala Y na Equação M.11 tenha 
sido determinado apropriadamente.
A tenacidade à fratura em deformação plana KIc é uma propriedade fundamental de um mate-
rial, que depende de muitos fatores, dentre os quais os mais influentes são a temperatura, a taxa de 
deformação e a microestrutura. A magnitude de KIc diminui com o aumento da taxa de deformação 
Figura M.8 Representação 
esquemática que mostra o 
efeito da espessura da placa 
sobre a tenacidade à fratura.
Tabela M.1 Dados para o Limite de Escoamento e a Tenacidade à Fratura em Deformação 
Plana à Temperatura Ambiente para Materiais de Engenharia Selecionados
Material
Limite de Escoamento KIc
MPa ksi MPam ksiin
Metais
Liga de Alumínioa (7075-T651) 495 72 24 22
Liga de Alumínioa (2024-T3) 345 50 44 40
Liga de Titânioa (Ti-6Al-4V) 910 132 55 50
Aço-Ligaa (4340 revenido a 260°C) 1640 238 50,0 45,8
Aço-Ligaa (4340 revenido a 425°C) 1420 206 87,4 80,0
Cerâmicas
Concreto — — 0,2–1,4 0,18–1,27
Vidro à Base de Cal de Soda — — 0,7–0,8 0,64–0,73
Óxido de Alumínio — — 2,7–5,0 2,5–4,6
Polímeros
Poliestireno (PS) — — 0,7–1,1 0,64–1,0
Poli(metil metacrilato) (PMMA) 53,8–73,1 7,8–10,6 0,7–1,6 0,64–1,5
Policarbonato (PC) 62,1 9,0 2,2 2,0
a Fonte: Reimpresso sob permissão, Advanced Materials and Processes, ASM International, © 1990.
5 Veja, por exemplo, a Norma ASTM E399, “Standard Test Method for Plane Strain Fracture Toughness of 
Metallic Materials” (Método Padronizado para Ensaio da Tenacidade à Fratura em Deformação Plana de 
Materiais Metálicos).
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 11
e com a diminuição da temperatura. Além disso, um aumento no limite de escoamento como con-
sequência de uma solução sólida ou de dispersões ou por encruamento produz em geral uma dimi-
nuição correspondente no valor de KIc. O valor de KIc, ainda, normalmente aumenta com a redução 
no tamanho do grão, na medida em que a composição e outras variáveis microestruturais são man-
tidas constantes. Os limites de escoamento de alguns dos materiais listados na Tabela M.1 também 
foram incluídos nessa tabela.
Projetos Usando
a Mecânica da Fratura
De acordo com as Equações M.9 e M.11, três variáveis devem ser consideradas em relação à pos-
sibilidade de fratura de um dado componente estrutural – quais sejam: a tenacidade à fratura (Kc) 
ou a tenacidade à fratura em deformação plana (KIc), a tensão imposta () e o tamanho do defeito 
(a), assumindo, obviamente, que o valor de Y tenha sido determinado. Ao projetar um componente, 
em primeiro lugar é importante decidir quais dessas variáveis têm restrições impostas pela aplica-
ção e quais estão sujeitas a controle pelo projeto. Por exemplo, a seleção de materiais (e, portanto, 
dos valores de Kc ou KIc) é ditada com frequência por fatores tais como a massa específica (para 
aplicações que requerem baixo peso) ou as características corrosivas do ambiente. Ou então, o 
tamanho admissível para o defeito é medido ou especificado pelas limitações das técnicas de detec-
ção de defeitos disponíveis. No entanto, é importante compreender que uma vez que tenha sido 
estabelecida qualquer combinação de dois dos parâmetros acima, o terceiro se torna fixo (Equa-
ções M.9 e M.11). Por exemplo, vamos assumir que o valor de KIc e a magnitude de a sejam espe-
cificados por restrições da aplicação; portanto, a tensão de projeto (ou crítica) c deverá ser
 (M.13)
Por outro lado, se o nível de tensão e a tenacidade à fratura em deformação plana forem fixados 
por uma condição de projeto, então o tamanho máximo admissível para um defeito ac será
 (M.14)
Inúmeras técnicas de ensaios não destrutivos (END) foram desenvolvidas, as quais permitem a 
detecção e a medição de defeitos tanto internos quanto superficiais.6 Tais técnicas são empregadas 
para examinar componentes estruturais que estão em serviço, na busca de defeitos que possam levar 
a uma falha prematura; além disso, os ENDs são usados como um meio de controle de qualidade em 
processos de fabricação. Como o próprio nome indica, essas técnicas não devem destruir o material/
estrutura que está sendo examinado. Além disso, alguns métodos de ensaio devem ser conduzidos 
em um ambiente de laboratório; outros podem ser adaptados para serem usados no campo. Várias 
técnicas de END comumente utilizadas, e suas características, estão listadas na Tabela M.2.
Tabela M.2 Várias Técnicas Comuns de Ensaios Não Destrutivos (END)
Técnica Localização do Defeito
Sensibilidade ao Tamanho 
do Defeito (mm)
Local da Realização 
do Ensaio
Microscopia eletrônica de 
varredura (MEV)
Superfície 0,001 Laboratório
Líquido penetrante Superfície 0,025–0,25 Laboratório/ campo
Ultrassom Subsuperficial 0,050 Laboratório/ campo
Microscopia óptica Superfície 0,1–0,5 Laboratório
Inspeção visual Superfície 0,1 Laboratório/ campo
Emissão acústica Superfície/subsuperficial 0,1 Laboratório/ campo
Radiografia (raios X/raios 
gama)
Subsuperficial 2% da espessura da 
amostra
Laboratório/ campo
6 Algumas vezes, os termos “avaliação não destrutiva” (NDE – nondestructive evaluation) e “inspeção não 
destrutiva” (NDI – nondestructive inspection) também são empregados para essas técnicas.
12 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Um exemplo importante do uso de um END é para a detecção de trincas e vazamentos nas 
paredes de oleodutos localizados em áreas remotas, tais como no Alasca. A análise por ultrassom 
é aplicada em conjunto com um “analisador robótico”, que pode percorrer distâncias relativa-
mente longas dentro da tubulação.
PROBLEMA-EXEMPLO M.2
Determinação da Possibilidade de Detecção de um Defeito Crítico
Um componente estrutural na forma de uma placa muito larga, como mostrado na Figura 
M.5a, deve ser fabricado de aço 4340. Estão disponíveis duas chapas dessa liga, cada uma 
tendo um tratamento térmico diferente e, dessa forma, apresentando propriedades mecânicas 
diferentes. Uma, denominada material A, possui um limite de escoamento de 860 MPa 
(125.000 psi) e uma tenacidade à fratura em deformação plana de 98,9 MPam (90 ksiin). 
Para a outra, o material Z, os valores de l e KIc são de 1515 MPa (220.000 psi) e 60,4 MPam 
(55 ksiin), respectivamente.
(a) Para cada liga, determine se prevalecem ou não condições de deformação plana se a 
placa possui 10 mm (0,39 in) de espessura.
(b) Não é possível detectar defeitos com tamanho inferior a 3 mm, que é o limite de reso-
lução do aparelho para detecção de defeitos. Se a espessura da placa é suficiente para 
que o valor de KIc seja usado, determine se um defeito crítico é ou não sujeito à detec-
ção. Assuma que o nível da tensão de projeto seja de metade do limite de escoamento; 
além disso, para essa configuração, o valor de Y é de 1,0.
Solução
(a) A deformação plana é estabelecida pela Equação M.12. Para o material A,
Assim, as condições de deformação plana não são válidas para o material A, uma vez 
que esse valor de B é maior que 10 mm, a espessura real da placa; a situação é de tensão 
plana e deve ser tratada como tal.
E para o material Z,
que é menor que a espessura real da placa e, portanto, a situação é de deformação 
plana.
(b) Precisamos determinar apenas o tamanho crítico do defeito para o material Z, já que a 
situação para o material A não é de deformação plana e KIc não pode ser empregado. 
Aplicando a Equação M.14 e considerando que  vale l /2, temos que
Portanto, o tamanho crítico do defeito para o material A não está sujeito a detecção, 
uma vez que ele é menor que 3 mm.
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EXEMPLO DE PROJETO M.1
Especificação de Material para um Tanque Esférico Pressurizado
Considere o tanque esférico com paredes finas de raio r e espessura t (Figura M.9) que pode ser 
usado como um vaso de pressão.
Figura M.9 Diagrama esquemático que mostra a seção transversal de um tanque esférico submetido a 
uma pressão interna p, com uma trinca radial com comprimento 2a em sua parede.
(a) Um projeto para esse tanque exige que haja escoamento do material da parede antes da 
falha decorrente da formação de uma trinca com tamanho crítico e da sua subsequente propa-
gação rápida. Dessa forma, a distorção plástica da parede poderá ser observada e a pressão no 
interior do tanque poderá ser liberada antes que ocorra uma falha catastrófica. Consequente-
mente, são desejáveis materiais com grandes comprimentos críticos de trinca. Com base nesse 
critério, classifique as ligas metálicas listadas na Tabela B.5, no Apêndice B, em função do seu 
tamanho crítico de trinca, do maior para o menor comprimento.
(b) Uma alternativa de projeto que também é usada com frequência para vasos de pressão é 
denominada “vazar antes de romper”. Considerando princípios da mecânica da fratura, é permi-
tido que uma trinca cresça através da espessura da parede do vaso antes que ocorra uma propa-
gação rápida da trinca (Figura M.9). Dessa forma, a trinca penetrará completamente a parede 
sem causar uma falha catastrófica, permitindo sua detecção pelo vazamento do fluido pressuri-
zado. Com esse critério, o comprimento crítico da trinca ac (isto é, metade do comprimento total 
de uma trinca interna) é tomado como igual à espessura do vaso de pressão t. A utilização de ac 
 t, em vez de ac  t/2, assegura que o vazamento do fluido ocorra antes que haja o acúmulo de 
pressões perigosamente altas. A partir desse critério, classifique as ligas metálicas na Tabela B.5, 
no Apêndice B, em função da pressão máxima admissível.
Para esse vaso de pressão esférico, a tensão circunferencial na parede  é uma função da 
pressão no vaso p, do raio r, e da espessura da parede t, de acordo com a relação
 (M.15)
Tanto para o item (a) quanto para o item (b), assuma uma condição de deformação plana.
Solução
(a) Para o primeiro critério de projeto, deseja-se que a tensão circunferencial na parede seja 
inferior ao limite de escoamento do material. A substituição de l por  na Equação M.11 e a
incorporação de um fator de segurança N, levam a
 (M.16)
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no qual ac é o comprimento crítico da trinca. Resolvendo a equação para ac, a seguinte expressão 
é obtida:
 (M.17)
Portanto, o comprimento crítico da trinca é proporcional ao quadrado da razão KIc/l, que torna-
se a base para a classificação das ligas metálicas na Tabela B.5. A classificação está apresentada 
na Tabela M.3, na qual pode ser observado que o aço com médio teor de carbono (1040), com a 
maior razão KIc/l, exibe o comprimento crítico de trinca mais longo e, portanto, é o material 
mais desejável com base nesse critério.
Tabela M.3 Classificação de Várias Ligas Metálicas em Relação ao 
Comprimento Crítico da Trinca (Critério de Escoamento) para 
um Vaso de Pressão Esférico com Paredes Finas
Material
Aço com médio teor de carbono (1040) 43,1
Magnésio AZ31B 19,6
Alumínio 2024 (T3) 16,3
Titânio Ti-5Al-2,5Sn 6,6
Aço 4140 (revenido a 482°C) 5,3
Aço 4340 (revenido a 425°C) 3,8
Titânio Ti-6Al-4V 3,7
Aço inoxidável 17-7PH 3,4
Alumínio 7075 (T651) 2,4
Aço 4140 (revenido a 370°C) 1,6
Aço 4340 (revenido a 260°C) 0,93
(b) Como observado anteriormente, o critério de “vazar antes de romper” é atendido exata-
mente quando a metade do comprimento de uma trinca interna equivale à espessura da parede 
do vaso de pressão – isto é, quando a  t. A substituição de a  t na Equação M.11 fornece
 (M.18)
E, a partir da Equação M.15, temos
 (M.19)
A tensão é substituída pelo limite de escoamento, uma vez que o tanque deve ser projetado para 
conter a pressão sem que haja escoamento; além disso, a substituição da Equação M.19 na Equa-
ção M.18, após algum algebrismo, fornece a seguinte expressão:
 (M.20)
Assim, para um dado vaso esférico com raio r, a pressão máxima admissível consistente com 
esse critério de “vazar antes de romper” é proporcional a KIc2/l. Na Tabela M.4, os mesmos 
diversos materiais estão classificados de acordo com essa razão KIc2/l; como pode ser obser-
vado, o aço com médio teor de carbono suportará as pressões mais elevadas.
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Tabela M.4 Classificação de Várias Ligas Metálicas em Relação à Pressão 
Máxima Admissível (Critério de “Vazar Antes de Romper”) para 
um Vaso de Pressão Esférico com Paredes Finas
Material
Aço com médio teor de carbono (1040) 11,2
Aço 4140 (revenido a 482°C) 6,1
Titânio Ti-5Al-2,5Sn 5,8
Alumínio 2024 (T3) 5,6
Aço 4340 (revenido a 425°C) 5,4
Aço inoxidável 17-7PH 4,4
Magnésio AZ31B 3,9
Titânio Ti-6Al-4V 3,3
Aço 4140 (revenido a 370°C) 2,4
Aço 4340 (revenido a 260°C) 1,5
Alumínio 7075 (T651) 1,2
Dentre as onze ligas metálicas listadas na Tabela B.5, o aço com médio teor de carbono está 
classificado em primeiro lugar de acordo tanto com o critério de escoamento quanto com o cri-
tério de “vazar antes de romper”. Por essas razões, sob muitos vasos de pressão são construídos 
de aços com médio teor de carbono, temperaturas extremas e corrosão não precisam ser consi-
derados.
Fadiga
M.3 INICIAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE TRINCAS
O processo de falha por fadiga é caracterizado por três etapas distintas: (1) iniciação da trinca, na 
qual uma pequena trinca se forma em algum ponto de alta concentração de tensões; (2) propaga-
ção da trinca, durante a qual essa trinca avança em incrementos com cada ciclo de tensões; e (3) 
falha final, que ocorre muito rapidamente quando a trinca que está avançando atinge um tamanho 
crítico. A vida em fadiga Nf, o número total de ciclos até a falha, pode então ser tomada como a 
soma do número de ciclos para a iniciação da trinca Ni e a propagação da trinca Np:
 Nf  Ni  Np (M.21)
A contribuição da etapa final de falha à vida total em fadiga é insignificante, uma vez que ela ocorre 
muito rapidamente. As proporções relativas de Ni e Np à vida total dependem do material especí-
fico e das condições do ensaio. Sob baixos níveis de tensão (isto é, para fadiga de alto ciclo), uma 
grande fração da vida em fadiga é usada para a iniciação da trinca. Com o aumento do nível de 
tensão, Ni diminui e as trincas se formam mais rapidamente. Assim, para fadiga de baixo ciclo (altos 
níveis de tensão), a etapa de propagação predomina (isto é, Np > Ni).
As trincas associadas à falha por fadiga quase sempre iniciam (ou nucleiam) na superfície de 
um componente em algum ponto de concentração de tensões. Os sítios de nucleação de trincas 
incluem riscos superficiais, ângulos vivos, rasgos de chaveta, fios de roscas, mossas e afins. Além 
disso, a aplicação de uma carga cíclica pode produzir descontinuidades superficiais microscópicas 
que resultam dos degraus do escorregamento de discordâncias, as quais também podem atuar 
como concentradores de tensões e, portanto, como sítios para a iniciação de trincas.
Uma vez que uma trinca estável tenha nucleado, ela então se propaga muito lentamente e, nos 
metais policristalinos, ao longo dos planos cristalográficos com alta tensão de cisalhamento; isso é 
algumas vezes denominado estágio I de propagação (Figura M.10). Esse estágio pode constituir 
uma grande ou pequena fração da vida total em fadiga, dependendo do nível de tensão e da natu-
reza da amostra de teste; altas tensões e a presença de entalhes favorecem um estágio I curto. Nos 
metais policristalinos, as trincas se estendem normalmente através de apenas alguns grãos durante 
16 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
esse estágio de propagação. A superfície de fadiga que é formada durante o estágio I de propaga-
ção possui uma aparência plana e sem características distintas.
Eventualmente, um segundo estágio de propagação (estágio II) prevalece, no qual a taxa de 
extensão da trinca aumenta drasticamente. Além disso, nesse ponto existe também uma mudança 
da direção da propagação, para uma direção que é praticamente perpendicular à tensão de tração 
aplicada (veja a Figura M.10). Durante esse estágio de propagação, o crescimento da trinca pros-
segue por um processo repetitivo de embotamento plástico e afilamento na extremidade da trinca, 
um mecanismo que está ilustrado na Figura M.11. No início do ciclo de tensões (carga nula ou carga 
de compressão máxima), a extremidade da trinca tem a forma de um entalhe duplo afilado (Figura 
M.11a). Conforme a tensão de tração é aplicada (Figura M.11b), ocorre uma deformação locali-
zada em cada um desses entalhes da extremidade, ao longo dos planos de escorregamento que 
estão orientados em ângulos de 45° em relação ao plano da trinca. Com o aumento da largura da 
trinca, a extremidade avança devido à continuidade da deformação por cisalhamento e ao arredon-
Figura M.10 Representação esquemática que mostra os estágios I e II de propagação de uma trinca de 
fadiga em metais policristalinos. (Copyright ASTM. Reimpresso sob permissão.)
Figura M.11 Mecanismo da propagação de uma trinca de fadiga (estágio II) pelo repetitivo embotamento 
plástico e afilamento da extremidade da trinca; (a) carga nula ou carga de compressão máxima, (b) carga de 
tração pequena, (c) carga de tração máxima, (d) carga de compressão pequena, (e) carga nula ou carga de 
compressão máxima, (f) carga de tração pequena. O eixo de carregamento é vertical. (Copyright ASTM. 
Reimpresso sob permissão.)
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damento da ponta da trinca (Figura M.11c). Durante a compressão, as direções da deformação por 
cisalhamento na extremidade da trinca são invertidas (Figura M.11d) até que, no ápice do ciclo, um 
novo entalhe duplo afilado se forma na extremidade (Figura M.11e). Assim, a extremidade da 
trinca avançou a distância de um entalhe durante o curso de um ciclo completo. Esse processo é 
repetido a cada ciclo subsequente até que eventualmente uma dada dimensão crítica da trinca seja 
atingida, o que precipita
a etapa final de falha e uma falha catastrófica ocorre.
A região de uma superfície de fratura que se formou durante o estágio II de propagação pode 
ser caracterizada por dois tipos de marcas, denominadas marcas de praia e estrias. Essas duas carac-
terísticas indicam a posição da extremidade da trinca em um dado momento e aparecem como 
nervuras concêntricas que se afastam do(s) sítio(s) de iniciação da(s) trinca(s), com frequência em 
um padrão circular ou semicircular. As marcas de praia (algumas vezes também chamadas de 
“marcas de conchas”) têm dimensões macroscópicas (Figura M.12) e podem ser observadas a olho 
nu. Essas marcas são encontradas em componentes que sofreram interrupções durante o estágio II 
de propagação, por exemplo, uma máquina que opera somente durante as horas normais dos tur-
nos de trabalho. Cada banda de marca de praia representa um período de tempo ao longo do qual 
ocorreu o crescimento da trinca.
Por outro lado, as estrias de fadiga têm dimensões microscópicas e estão sujeitas à observação 
por um microscópio eletrônico (MET ou MEV). A Figura M.13 é uma fractografia eletrônica que 
mostra essa característica. Cada estria é considerada representar a distância de avanço da frente da 
trinca durante um único ciclo de aplicação da carga. A largura das estrias depende, e aumenta, do 
aumento do intervalo de tensões.
Figura M.12 Superfície de fratura de um eixo rotativo de aço que apresentou falha por fadiga. Nervuras de 
marcas de praia são visíveis na fotografia. (Reproduzido com permissão de D. J. Wulpi, Understanding How 
Components Fail, American Society for Metals, Materials Park, OH, 1985.)
18 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Nesse ponto deve ser enfatizado que, embora tanto as marcas de praia quanto as estrias sejam 
características da superfície de fratura por fadiga que possuem aparências semelhantes, elas são, no 
entanto, diferentes tanto em sua origem quanto em seu tamanho. Podem existir, literalmente, 
milhares de estrias em uma única marca de praia.
Com frequência, a causa de uma falha pode ser deduzida após um exame das superfícies da 
fratura. A presença de marcas de praia e/ou de estrias em uma superfície de fratura confirma que 
a causa da falha foi fadiga. Entretanto, a ausência de uma das duas ou de ambas não exclui a fadiga 
como a possível causa de uma falha.
Um comentário final em relação às superfícies das falhas por fadiga: as marcas de praia e as 
estrias não aparecerão naquela região ao longo da qual ocorre a falha rápida. Ao contrário, a falha 
rápida pode ser dúctil ou frágil; a evidência de deformação plástica estará presente nas falhas dúc-
teis e ausente nas frágeis. Essa região de falha pode ser observada na Figura M.14.
M.4 TAXA DE PROPAGAÇÃO DA TRINCA
Embora possam ser tomadas medidas para minimizar a possibilidade de uma falha por fadiga, sem-
pre existirão trincas e sítios de nucleação de trincas nos componentes estruturais. Sob a influência 
de tensões cíclicas, trincas inevitavelmente irão se formar e crescer; esse processo, se não for ata-
cado, pode por fim levar a uma falha. O objetivo da presente discussão é desenvolver um critério 
com o qual a vida em fadiga pode ser estimada com base em parâmetros do material e do estado 
de tensão. Os princípios da mecânica da fratura (Seção M.2) serão empregados, já que o tratamento 
envolve a determinação de um comprimento máximo de trinca que pode ser tolerado sem a indu-
ção de uma falha. Deve ser observado que essa discussão está relacionada ao domínio da fadiga de 
alto ciclo, ou seja, para vidas em fadiga maiores que aproximadamente 104 a 105 ciclos.
Figura M.13 Fractografia eletrônica de transmissão mostrando estrias de fadiga no alumínio. Ampliação 
desconhecida. (De V. J. Colangelo e F. A. Heiser, Analysis of Metallurgical Failures, 2. ed. Copyright © 1987 
por John Wiley & Sons, Nova York. Reimpresso sob permissão de John Wiley & Sons, Inc.)
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 19
Os resultados de estudos sobre fadiga mostraram que a vida de um componente estrutural 
pode ser relacionada à taxa de crescimento da trinca. Durante a propagação no estágio II, as trincas 
podem crescer a partir de um tamanho praticamente imperceptível até um certo comprimento crí-
tico. Estão disponíveis técnicas experimentais para monitorar o comprimento de uma trinca durante 
o ciclo de tensões. Os dados são registrados e então traçados na forma do comprimento da trinca 
a em função do número de ciclos N. Um gráfico típico está mostrado na Figura M.15, que inclui as 
curvas com dados gerados sob dois níveis de tensão diferentes; o comprimento inicial da trinca a0 
para ambos os conjuntos de ensaios é o mesmo. A taxa de crescimento da trinca da/dN é tomada 
como a inclinação em algum ponto da curva. Dois resultados importantes valem ser observados: 
(1) a taxa de crescimento é inicialmente pequena, mas aumenta com o aumento do comprimento 
da trinca; e (2) a taxa de crescimento é incrementada pelo aumento do nível de tensão aplicado 
para um comprimento de trinca específico (a1 na Figura M.15).
A taxa de propagação da trinca de fadiga durante o estágio II é uma função não apenas do 
nível de tensão e do tamanho da trinca, mas também de variáveis do material. Matematicamente, 
essa taxa pode ser expressa em termos do fator de intensidade de tensão K (desenvolvido usando 
a mecânica da fratura na Seção M.2) e assume a forma
 (M.22)
Os parâmetros A e M são constantes para o material específico, os quais dependerão do ambiente, 
da frequência e da razão entre tensões (R na Equação 9.18 do livro impresso). O valor de m varia 
normalmente entre 1 e 6.
Figura M.14 Superfície de falha por fadiga. Uma trinca se formou na borda superior. A região lisa, também 
próxima à parte superior, corresponde à área ao longo da qual a trinca se propagou lentamente. A falha 
rápida ocorreu ao longo da área que possui uma textura opaca e fibrosa (a área maior). Ampliação de 
aproximadamente 0,5. (Reproduzida sob permissão de Metals Handbook: Fractography and Atlas of 
Fractographs, Vol. 9, 8. ed., H. E. Boyer, Editor, American Society for Metals, 1974.)
20 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Além disso, K é o intervalo do fator de intensidade de tensão na extremidade da trinca, ou 
seja,
 (M.23a)
ou, a partir da Equação M.8,
 (M.23b)
Uma vez que o crescimento da trinca cessa ou é desprezível para a parcela de compressão do ciclo 
de tensões, se mín é compressiva, então Kmín e mín são considerados iguais a zero; ou seja, K  
Kmáx e   máx. Note também que Kmáx e Kmín na Equação M.23a representam fatores de intensi-
dade de tensão, não a tenacidade à fratura Kc nem a tenacidade à fratura em deformação plana 
KIc.
O comportamento típico da taxa de crescimento de uma trinca de fadiga de um material está 
representado esquematicamente na Figura M.16 na forma do logaritmo da taxa de crescimento da 
trinca da/dN em função do logaritmo do intervalo do fator de intensidade de tensão K. A curva 
resultante possui uma forma sigmoidal que pode ser dividida em três regiões distintas, identificadas 
como I, II e III. Na região I (sob baixos níveis de tensão e/ou para pequenos tamanhos de trinca), as 
trincas preexistentes não crescerão com o carregamento cíclico. Além disso, está associado à região 
III um crescimento acelerado da trinca, que ocorre imediatamente antes da fratura repentina.
A curva é essencialmente linear na região II, o que é consistente com a Equação M.22. Isso 
pode ser confirmado tirando o logaritmo de ambos os lados dessa expressão, o que leva a
 (M.24a)
 (M.24b)
De fato, de acordo com a Equação M.24b, um segmento de linha reta resultará quando forem 
plotados os dados de log (da/dN) em função de log K; a inclinação e a interseção com o eixo das 
ordenadas correspondem aos valores
de m e log A, respectivamente, os quais podem ser determi-
nados a partir de dados de ensaios que tenham sido representados na maneira da Figura M.16. A 
Figura M.17 é um desses gráficos para um aço Ni–Mo–V. A linearidade dos dados pode ser obser-
vada, o que comprova a relação de lei de potência da Equação M.22.
Figura M.15 Comprimento da trinca em função do número de ciclos sob os níveis de tensão 1 e 2 para 
estudos de fadiga. A taxa de crescimento da trinca da/dN está indicada para o comprimento de trinca a1 em 
ambos os níveis de tensão.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 21
Figura M.16 Representação esquemática do 
logaritmo da taxa de propagação de uma trinca 
de fadiga da/dN em função do logaritmo do 
intervalo do fator de intensidade de tensão K. 
Estão indicadas as três regiões com diferente 
resposta do crescimento da trinca (I, II, III). 
(Reimpresso sob permissão da ASM 
International, Metals Park, OH 44073-9989. W. 
G. Clark, Jr., “How Fatigue Crack Initiation 
and Growth Properties Affect Material 
Selection and Design Criteria,” Metals 
Engineering Quarterly, Vol. 14, No. 3, 1974.)
Figura M.17 Logaritmo da taxa de 
crescimento da trinca em função do 
logaritmo do intervalo do fator de 
intensidade de tensão para um aço 
Ni-Mo-V. (Reimpresso sob permissão 
da Society for Experimental 
Mechanics, Inc.)
22 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Um dos objetivos da análise de falhas é ser capaz de prever a vida em fadiga para um compo-
nente específico, dadas suas restrições de serviço e os dados de testes de laboratório. Podemos 
agora desenvolver uma expressão analítica para Nf devido ao estágio II, pela integração da Equa-
ção M.22. Primeiro é necessário um rearranjo, da seguinte maneira:
 (M.25)
que pode ser integrado como
 (M.26)
Os limites da segunda integral estão entre o comprimento inicial do defeito a0, que pode ser medido 
empregando técnicas de ensaios não destrutivos, e o comprimento crítico da trinca ac determinado 
a partir de ensaios de tenacidade à fratura.
A substituição da expressão para K (Equação M.23b) leva a
 (M.27)
Aqui, assume-se que  (ou máx  mín) seja constante; além disso, em geral, Y dependerá do com-
primento da trinca a e, portanto, não pode ser retirado de dentro da integral.
Uma palavra de cautela: a Equação M.27 presume a validade da Equação M.22 ao longo de 
toda a vida do componente; ela ignora o tempo decorrido para iniciar a trinca e também para a 
falha final. Portanto, essa expressão deve ser considerada apenas como uma estimativa de Nf.
EXEMPLO DE PROJETO M.2
Estimativa da Vida em Fadiga
Uma chapa relativamente grande de aço deve ser exposta a tensões cíclicas de tração e de com-
pressão com magnitudes de 100 MPa e 50 MPa, respectivamente. Antes de ser testada, foi deter-
minado que o comprimento da maior trinca superficial era de 2,0 mm (2  103 m). Estime a 
vida em fadiga dessa chapa se sua tenacidade à fratura em deformação plana é de 25 MPam 
e os valores de m e A na Equação M.22 são de 3,0 e 1,0  1012, respectivamente, para  em 
MPa e a em m. Assuma que o parâmetro Y seja independente do comprimento da trinca e tenha 
um valor de 1,0.
Solução
Primeiro é necessário calcular o comprimento crítico da trinca ac, que é o limite superior da inte-
gração na Equação M.27. A Equação M.14 é empregada para esse cálculo, assumindo um nível 
de tensão de 100 MPa, uma vez que essa é a tensão de tração máxima. Portanto,
Queremos agora resolver a Equação M.27 usando 0,002 m como o limite de integração inferior 
a0, conforme estipulado no problema. O valor de  é simplesmente 100 MPa, a magnitude da 
tensão de tração, uma vez que mín é compressiva. Portanto, a integração fornece
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 23
Seleção de Mater ia i s para um Eixo 
Ci l índr ico Tens ionado em Torção
M.5 INTRODUÇÃO
Esta seção é um estudo de caso no qual abordamos o processo de projeto da perspectiva da seleção 
de materiais; ou seja, para uma dada aplicação, a seleção de um material que apresenta uma pro-
priedade ou combinação de propriedades ótima ou desejável. Os elementos desse processo de sele-
ção de materiais envolvem a decisão das restrições do problema e, a partir delas, o estabelecimento 
de critérios que podem ser usados na seleção de materiais para a maximização do desempenho.
O componente ou elemento estrutural que escolhemos para discutir é um eixo cilíndrico sólido 
que está sujeito a uma tensão de torção. A resistência do eixo será considerada em detalhes e serão 
desenvolvidos critérios para a maximização da resistência em relação tanto a um mínimo para a 
massa de material quanto a um mínimo de custo. Também serão discutidos sucintamente outros 
parâmetros e propriedades que podem ser importantes nesse processo de seleção.
M.6 CONSIDERAÇÕES DE RESISTÊNCIA – EIXO TENSIONADO EM TORÇÃO
Para esta parte do problema de projeto, vamos estabelecer um critério de seleção de materiais 
leves e resistentes para esse eixo. Será assumido que o momento torçor e o comprimento do eixo 
estão especificados, enquanto o raio (ou a área da seção transversal) pode ser variado. Desenvol-
vemos uma expressão para a massa de material necessária em termos do momento torçor, compri-
mento do eixo e massa específica e resistência do material. Considerando essa expressão será pos-
sível avaliar o desempenho, ou seja, maximizar a resistência desse eixo tensionado em torção em 
relação à sua massa e, além disso, em relação ao custo do material.
Vamos considerar o eixo cilíndrico com comprimento L e raio r mostrado na Figura M.18. A 
aplicação de um momento torçor (ou torque) Mt produz um ângulo de torção . A tensão cisa-
lhante  no raio r é definida pela equação
 (M.28)
Aqui, J é o momento de inércia polar, que para um cilindro sólido é
 (M.29)
Assim,
24 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
 (M.30)
Um projeto seguro exige que o eixo seja capaz de suportar um dado momento torçor sem haver 
fratura. Com o objetivo de estabelecer um critério para seleção de materiais leves e resistentes, 
substituímos a tensão cisalhante na Equação M.30 pela resistência ao cisalhamento do material f 
dividida por um fator de segurança N, conforme
 (M.31)
Agora, é necessário levar em consideração a massa do material. A massa m de qualquer quan-
tidade de material é simplesmente o produto de sua massa específica () por seu volume. Uma vez 
que o volume de um cilindro é simplesmente r2L, então,
 (M.32)
ou, o raio do eixo em termos da sua massa é simplesmente
 (M.33)
A substituição dessa expressão para r na Equação M.31 leva a
 (M.34)
Resolvendo essa expressão para a massa m, obtém-se
 (M.35)
Os parâmetros no lado direito desta equação estão agrupados em três conjuntos de parênteses. 
Aqueles que estão contidos no primeiro conjunto (isto é, N e Mt) estão relacionados ao funciona-
mento seguro do eixo. Dentro do segundo conjunto de parênteses está L, um parâmetro geomé-
trico. Finalmente, as propriedades do material – massa específica e resistência – estão contidas no 
último conjunto.
A conclusão tirada da Equação M.35 é que os melhores materiais a serem usados para a obten-
ção de um eixo leve e capaz de suportar com segurança um momento torçor especificado são os 
que possuem baixas razões /f2/3. Em termos de adequação de um material, algumas vezes é prefe-
rível trabalhar com o que é denominado índice de desempenho, D, que consiste simplesmente no 
inverso dessa razão; ou seja,
Figura M.18 Eixo cilíndrico sólido que apresenta um ângulo de torção  em resposta à aplicação de um 
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 25
 (M.36)
Nesse contexto, queremos empregar um material com um alto índice de desempenho.
Nesse ponto, torna-se
necessário examinar os índices de desempenho de diversos materiais em 
potencial. Esse procedimento é acelerado pela utilização do que denominamos diagramas de sele-
ção de materiais.7 Esses diagramas são gráficos dos valores de uma propriedade do material em 
função dos valores de outra propriedade. Ambos os eixos estão em escala logarítmica e abrangem 
aproximadamente cinco ordens de grandeza, de forma a incluir as propriedades de virtualmente 
todos os materiais. Por exemplo, para o nosso problema, o diagrama de interesse é o logaritmo da 
resistência em função do logaritmo da massa específica, e está mostrado na Figura M.19.8 Pode ser 
observado nesse gráfico que os materiais de um tipo específico (por exemplo, madeiras, polímeros 
Figura M.19 Diagrama de seleção de materiais da resistência em função da massa específica do material. 
Foram construídas linhas guia para os índices de desempenho de 3, 10, 30 e 100 (MPa)2/3 m3/Mg, todas com 
uma inclinação de 3/2. (Adaptado de M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design. Copyright © 
1992. Reimpresso sob permissão de Butterworth-Heinemann Ltd.)
7 Uma coletânea abrangente desses diagramas pode ser encontrada em M. F. Ashby, Materials Selection in 
Mechanical Design, 2. ed., Butterworth-Heinemann, Woburn, UK, 2002.
8 A resistência dos metais e polímeros é tomada como a tensão limite de escoamento. Para os materiais 
cerâmicos e os vidros, é usada a resistência à compressão; para os elastômeros, usa-se a resistência à ruptura; 
e para os compósitos, o limite de resistência à tração.
26 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
de engenharia etc.) agrupam-se, estando encerrados em um contorno delimitado por uma linha em 
negrito. As subclasses dentro desses grupos estão encerradas em linhas mais finas.
Agora, tirando-se o logaritmo de ambos os lados da Equação M.36 e rearranjando os termos, 
obtém-se
 (M.37)
Essa expressão nos diz que um gráfico do log f em função do log  produzirá uma família de linhas 
retas e paralelas, todas com uma inclinação de 3/2; cada linha na família corresponde a um diferente 
índice de desempenho, D. Essas linhas são denominadas linhas guia de projeto, e quatro delas 
foram incluídas na Figura M.19, para os valores de D de 3, 10, 30 e 100 (MPa)2/3 m3/Mg. Todos os 
materiais localizados sobre uma dessas linhas apresentarão um desempenho semelhante em ter-
mos da sua resistência por unidade massa; os materiais cujas posições encontram-se acima de uma 
linha particular exibirão índices de desempenho mais altos, enquanto aqueles localizados abaixo 
exibirão desempenhos inferiores. Por exemplo, um material localizado sobre a linha D  30 exibirá 
uma mesma resistência, porém com um terço da massa que outro material que está localizado ao 
longo da linha D  10.
O processo de seleção envolve agora a escolha de uma dessas linhas, uma “linha de seleção” 
que inclui alguns subconjuntos desses materiais. Para fins de argumentação, vamos escolher D  
10 (MPa)2/3 m3/Mg, representado na Figura M.20. Os materiais localizados ao longo ou acima dessa 
linha encontram-se na “região de busca” do diagrama e são possíveis candidatos para esse eixo 
rotativo. Esses materiais incluem produtos de madeira, alguns plásticos, inúmeras ligas de engenha-
ria, os compósitos de engenharia e os vidros e as cerâmicas de engenharia. Com base em conside-
rações da tenacidade à fratura, as cerâmicas de engenharia e os vidros são descartados como alter-
nativas.
Vamos agora impor uma restrição adicional ao problema – qual seja, a de que a resistência do 
eixo deve ser igual ou superior a 300 MPa (43.500 psi). Isso pode ser representado sobre o diagrama 
de seleção de materiais por uma linha horizontal construída em 300 MPa, Figura M.20. Agora, a 
região de busca está mais restrita, restando somente a área acima de ambas essas linhas. Dessa 
forma, todos os produtos à base de madeira, todos os polímeros de engenharia, algumas ligas de 
engenharia (por exemplo, as ligas de Mg e algumas ligas de Al), assim como alguns compósitos de 
engenharia são eliminados como candidatos; os aços, as ligas de titânio, as ligas de alumínio de alta 
resistência e os compósitos de engenharia permanecem como possibilidades.
Nesse ponto, estamos em uma posição para avaliar e comparar o desempenho do comporta-
mento da resistência de materiais específicos. A Tabela M.5 apresenta a massa específica, a resis-
tência e o índice de desempenho da resistência para três ligas de engenharia e dois compósitos de 
engenharia, os quais são considerados candidatos aceitáveis a partir da análise usando o diagrama 
de seleção de materiais. Nessa tabela, a resistência foi considerada como 0,6 vez a tensão limite de 
escoamento em tração (para as ligas) e de 0,6 vez o limite de resistência (para os compósitos); essas 
aproximações foram necessárias, uma vez que estamos preocupados com a resistência à torção e os 
valores para as resistências à torção não estão facilmente disponíveis. Além disso, para os dois com-
pósitos de engenharia, considera-se que as fibras de vidro e de carbono, contínuas e alinhadas, este-
jam enroladas em um padrão helicoidal (Figura 15.15 do livro impresso) e em um ângulo de 45º em 
relação à linha de centro do eixo. Os cinco materiais na Tabela M.5 estão classificados em ordem 
Tabela M.5 Massa Específica (), Resistência (f) e Índice de Desempenho (D) para Cinco 
Materiais de Engenharia
Material
 
(Mg/m3)
f 
(Mpa)
f2/3/  D 
[(Mpa)2/3m3/Mg]
Compósito reforçado com fibras de carbono (fração de 
fibras de 0,65)a
1,5 1140 72,8
Compósito reforçado com fibras de vidro (fração de fibras 
de 0,65)a
2,0 1060 52,0
Liga de alumínio (2024-T6) 2,8 300 16,0
Liga de titânio (Ti-6Al-4V) 4,4 525 14,8
Aço 4340 (temperado em óleo e revenido) 7,8 780 10,9
aAs fibras nesses compósitos são contínuas, alinhadas e estão enroladas em um padrão helicoidal em um ângulo de 45° 
em relação à linha de centro do eixo.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 27
decrescente dos seus índices de desempenho da resistência: compósito reforçado com fibras de car-
bono e compósito reforçado com fibras de vidro, seguidos pelas ligas de alumínio, titânio e aço 
4340.
O custo do material é outra consideração importante no processo de seleção. Em situações de 
engenharia da vida real, o aspecto econômico da aplicação é, com frequência, a questão preponde-
rante e normalmente ditará a escolha do material. Uma maneira de determinar o custo dos mate-
riais é fazendo o produto entre o preço do material (com base em uma unidade de massa) e a massa 
de material necessária.
As considerações de custo para esses cinco materiais candidatos remanescentes — o aço, as 
ligas de alumínio e de titânio e os dois compósitos de engenharia — estão apresentadas na Tabela 
M.6. Na primeira coluna está tabulado o valor de /f2/3. A coluna seguinte lista o custo relativo 
aproximado, representado como c; esse parâmetro é simplesmente o custo por massa unitária do 
material dividido pelo custo por massa unitária do aço com baixo teor de carbono, que é um dos 
materiais de engenharia mais comuns. O raciocínio por trás do uso de c é o de que enquanto o preço 
de um material específico variará ao longo do tempo, a razão entre o seu preço e aquele de outro 
material, muito provavelmente, variará mais lentamente.
Finalmente, a coluna da direita na Tabela M.6 mostra o produto entre /f2/3 e c. Esse produto 
fornece uma comparação entre esses vários materiais com base nos custos dos materiais para um 
eixo cilíndrico, que não fraturarão em resposta a um momento torçor Mt. Usamos esse produto 
Figura M.20 Diagrama de seleção de materiais da resistência em função da massa específica do material. 
Os materiais localizados na região sombreada são candidatos aceitáveis para um eixo cilíndrico sólido com 
índice de desempenho
massa-resistência acima de 10 (MPa)2/3 m3/Mg e uma resistência de pelo menos 300 
MPa (43.500 psi). (Adaptado de M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design. Copyright © 1992. 
Reimpresso sob permissão de Butterworth-Heinemann Ltd.)
28 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
uma vez que /f2/3 é proporcional à massa de material necessária (Equação M.35) e c é o custo 
relativo com base em uma massa unitária do material. Agora, a melhor escolha é o aço 4340, 
seguido pelo compósito reforçado com fibras de vidro, o alumínio 2024-T6, o compósito reforçado 
com fibras de carbono e a liga de titânio. Dessa forma, quando a questão econômica é levada em 
consideração, existe uma alteração significativa na classificação dos materiais. Por exemplo, uma 
vez que o compósito reforçado com fibras de carbono é relativamente caro, ele é significativamente 
menos desejável; ou, em outras palavras, o maior custo desse material pode não ser justificado pela 
melhoria na resistência que ele proporciona.
M.7 OUTRAS CONSIDERAÇÕES DE PROPRIEDADES E A DECISÃO FINAL
Até este ponto em nosso processo de seleção de materiais levamos em consideração apenas a resis-
tência dos materiais. Outras propriedades relativas ao desempenho do eixo cilíndrico podem ser 
importantes – por exemplo, a rigidez e, se o eixo girar, o comportamento em fadiga (Seções 8.7 e 
8.8 do livro impresso). Além disso, os custos de fabricação também devem ser considerados; em 
nossa análise, eles foram desprezados.
Com relação à rigidez, poderia ser conduzida uma análise do desempenho razão rigidez em 
relação à massa, semelhante àquela conduzida anteriormente. Nesse caso, o índice de desempenho 
para a rigidez Dr é
 (M.38)
em que G é o módulo de cisalhamento. O diagrama de seleção de materiais apropriado (log G em 
função de log ) seria usado no processo de seleção preliminar. Na sequência, o índice de desem-
penho e os dados para o custo por unidade de massa seriam coletados para materiais candidatos 
específicos; a partir dessas análises, os materiais seriam classificados com base no desempenho de 
rigidez e nos custos.
Ao decidir sobre o melhor material, pode ser interessante construir uma tabela empregando 
os resultados dos vários critérios que foram usados. A tabulação incluiria, para todos os materiais 
candidatos, o índice de desempenho, o custo etc., para cada critério, assim como comentários rela-
tivos a quaisquer outras considerações importantes. Essa tabela coloca em perspectiva as questões 
importantes e facilita o processo final de tomada de decisões.
Mola da Válvula de Automóvel
O submódulo a seguir é um estudo de caso que discute a mola da válvula encontrada em um motor 
de automóvel típico. As questões abordadas incluem a mecânica da deformação de molas helicoi-
dais, as restrições impostas à deformação de uma mola de válvula típica e, ainda, um dos aços que 
é comumente utilizado para essas molas, além da lógica para sua utilização.
Tabela M.6 Tabulação da Razão /f2/3, do Custo Relativo (c) e do Produto entre /f2/3 e c 
para Cinco Materiais de Engenhariaa
Material
/f2/3 
[102{Mg/(MPa)2/3m3}]
c 
($/$)
c(/f2/3) 
[102($/$){Mg/(MPa)2/3m3}]
Aço 4340 (temperado em óleo e 
revenido)
9,2 4 37
Compósito reforçado com fibras de 
vidro (fração de fibras de 0,65)b
1,9 36 68
Liga de alumínio (2024-T6) 6,2 15 93
Compósito reforçado com fibras de 
carbono (fração de fibras de 0,65)b
1,4 70 98
Liga de titânio (Ti-6Al-4V) 6,8 100 680
a O custo relativo é a razão entre os preços por unidade de massa do material e de um aço carbono com baixo teor de 
carbono.
b As fibras nesses compósitos são contínuas, alinhadas e estão enroladas em um padrão helicoidal em um ângulo de 45° 
em relação à linha de centro do eixo.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 29
M.8 MECÂNICA DA DEFORMAÇÃO DA MOLA
A função básica de uma mola é armazenar energia mecânica conforme ela é inicialmente defor-
mada elasticamente para em um momento posterior recuperar essa energia quando for solta. Nesta 
seção são discutidas as molas helicoidais usadas em colchões, em canetas retráteis e em suspensões 
de automóveis. Será feita uma análise de tensões para esse tipo de mola e os resultados serão então 
aplicados a uma mola de válvula utilizada em motores de automóveis.
Considere a mola helicoidal mostrada na Figura M.21, construída a partir de um arame com 
seção transversal circular de diâmetro d; o diâmetro centro a centro da espiral da mola está repre-
sentado como D. A aplicação de uma força de compressão F causa uma força, ou momento, de 
torção representado por T, como ilustrado na figura. Tem-se como resultado uma combinação de 
tensões de cisalhamento, cuja soma, , é dada por
 (M.39)
na qual Kw é uma constante independente da força, que é uma função da razão D/d:
 (M.40)
Em resposta à força F, a mola em espiral apresentará uma deflexão, a qual será considerada 
totalmente elástica. A intensidade da deflexão por espiral da mola e, como indicado na Figura 
M.22, é dada pela expressão
 (M.41)
na qual G é o módulo de cisalhamento do material a partir do qual a mola é construída. Além disso, 
o valor de e pode ser calculado a partir da deflexão total da mola, m, e do número efetivo de espi-
rais da mola, Ne, conforme
 (M.42)
Agora, resolvendo para F na Equação M.41, tem-se
 (M.43)
Figura M.21 Diagrama esquemático de uma mola helicoidal mostrando o momento torçor T que resulta da 
força de compressão F. (Adaptado de K. Edwards e P. McKee, Fundamentals of Mechanical Component 
Design. Copyright © 1991 por McGraw-Hill, Inc. Reproduzido sob permissão de The McGraw-Hill 
Companies.)
30 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
e, substituindo para F na Equação M.39, obtém-se
 (M.44)
Sob circunstâncias normais, deseja-se que uma mola não apresente qualquer deformação per-
manente resultante do carregamento; isso significa que o lado direito da Equação M.44 deve ser 
menor que a tensão limite de escoamento em cisalhamento l para o material da mola, ou que
 (M.45)
M.9 PROJETO DA MOLA DA VÁLVULA E EXIGÊNCIAS AO MATERIAL
Agora devemos aplicar os resultados da seção anterior a uma mola da válvula de automóvel. Um 
diagrama esquemático em corte de um motor de automóvel mostrando essas molas está apresen-
tado na Figura M.23. Funcionalmente, as molas desse tipo permitem que tanto as válvulas de admis-
são quanto as de descarga abram-se e fechem-se, alternadamente, enquanto o motor está em ope-
ração. A rotação do eixo de comando de válvulas faz com que uma válvula abra e que sua mola seja 
comprimida, tal que a carga sobre a mola aumenta. A energia armazenada na mola força então o 
fechamento da válvula conforme o eixo de comando de válvulas continua sua rotação. Esse pro-
cesso ocorre para cada válvula a cada ciclo do motor e, ao longo da vida útil do motor, ele se repete 
muitas milhões de vezes. Além disso, durante a operação normal do motor, a temperatura das 
molas é de aproximadamente 80°C (175°F).
Uma fotografia de uma mola de válvula típica está mostrada na Figura M.24. A mola possui 
um comprimento total de 1,67 in (42 mm), é construída de um fio de arame com diâmetro d de 
0,170 in (4,3 mm), possui seis espirais (apenas quatro das quais são ativas) e tem um diâmetro de 
centro a centro D de 1,062 in (27 mm). Além disso, quando instalada e quando a válvula está com-
pletamente fechada, sua mola é comprimida de 0,24 in (6,1 mm), o que, a partir da Equação M.42, 
fornece uma deflexão instalada por espiral ie de
A elevação do came é de 0,30 in (7,6 mm), o que significa que quando o came abre completamente 
uma válvula, a mola apresenta uma deflexão total máxima igual à soma da elevação da válvula e 
da deflexão comprimida, isto é, 0,30 in  0,24 in  0,54 in (13,7 mm). Dessa forma, a deflexão
máxima por espiral, me, é de
Assim, temos disponíveis todos os parâmetros da Equação M.45 (tomando e  me), à exceção de 
l; o limite de escoamento em cisalhamento necessário para o material da mola.
Figura M.22 Diagramas esquemáticos de uma espiral de uma mola helicoidal (a) antes de ser comprimida 
e (b) mostrando a deflexão e produzida pela força de compressão F. (Adaptado de K. Edwards e P. McKee, 
Fundamentals of Mechanical Component Design. Copyright © 1991 por McGraw-Hill, Inc. Reproduzido sob 
permissão de The McGraw-Hill Companies.)
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 31
Entretanto, o parâmetro do material que é de interesse não é realmente l, uma vez que a mola 
é tensionada continuamente em ciclos, conforme a válvula abre e fecha durante a operação do 
motor; isso requer um projeto contra a possibilidade de uma falha por fadiga, em vez da possibili-
Figura M.23 Desenho em corte de uma seção de um motor de automóvel onde são mostrados vários dos 
seus componentes, incluindo as válvulas e as molas das válvulas.
Figura M.24 Fotografia de uma mola de válvula de automóvel típica.
32 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
dade de escoamento. Essa complicação introduzida pela fadiga é tratada pela seleção de uma liga 
metálica com limite de resistência à fadiga (Figura 8.19a no livro impresso) maior que a amplitude 
da tensão cíclica à qual a mola será submetida. Por essa razão, as ligas de aço, que apresentam limi-
tes de resistência à fadiga, são normalmente empregadas para as molas das válvulas.
Quando se usam aços no projeto de molas, duas hipóteses podem ser levantadas se o ciclo de 
tensões é reverso (se m  0, em que m é a tensão média, ou, de maneira equivalente, se máx  
 mín, de acordo com a Equação 8.14 e como está mostrado na Figura M.25). A primeira dessas 
hipóteses é a de que o limite de resistência à fadiga da liga (expresso na forma da amplitude da 
tensão) é de 45.000 psi (310 MPa), cujo limiar ocorre em aproximadamente 106 ciclos. Em segundo 
lugar, para o caso de torção e com base em dados experimentais, foi determinado que a resistência 
à fadiga em 103 ciclos é de 0,67LRT, em que LRT é o limite de resistência à tração do material 
(conforme medido por meio de um ensaio de tração). O diagrama de fadiga S-N (isto é, a amplitude 
da tensão em função do logaritmo do número de ciclos até a falha) para essas ligas está mostrado 
na Figura M.26.
Agora, vamos estimar o número de ciclos ao qual uma mola de válvula típica pode ser subme-
tida, para determinar se é possível operar dentro do regime do limite de resistência à fadiga da 
Figura M.26 (isto é, se o número de ciclos excede 106). Para fins de argumentação, vamos assumir 
que o automóvel no qual a mola está montada trafega um mínimo de 100.000 milhas (161.000 km) 
a uma velocidade média de 40 mph (64,4 km/h), com uma rotação média do motor de 3000 rpm 
(revoluções/min). O tempo total que o automóvel leva para percorrer essa distância é de 2500 h 
(100.000 milhas/40 mph) ou 150.000 min. A 3000 rpm, o número total de revoluções é de (3000 
revoluções/min)  (150.000 min)  4,5  108 revoluções, e uma vez que existem 2 revoluções/ciclo, 
o número total de ciclos é de 2,25  108. Esse resultado significa que podemos usar o limite de resis-
tência à fadiga como a tensão de projeto, já que para a distância de deslocamento de 100.000 milhas 
o limiar para o limite de ciclo foi excedido (isto é, uma vez que 2,25  108 ciclos  106 ciclos).
Figura M.25 Tensão em função do tempo para um ciclo reverso em cisalhamento.
Figura M.26 Amplitude da tensão cisalhante em função do logaritmo do número de ciclos até a falha por 
fadiga para ligas ferrosas típicas.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 33
Além disso, esse problema ainda é complicado pelo fato de o ciclo de tensões não ser comple-
tamente reverso (isto é, m  0), uma vez que entre as deflexões mínima e máxima a mola perma-
nece em compressão; nesse contexto, o limite de resistência à fadiga de 45.000 psi (310 MPa) não é 
válido. O que gostaríamos de fazer agora, em primeiro lugar, é uma extrapolação apropriada do 
limite de resistência à fadiga para esse caso em que m  0, e então calcular e comparar a real ampli-
tude da tensão para a mola a esse limite; se a amplitude da tensão for significativamente menor que 
o limite extrapolado, então o projeto da mola será satisfatório.
Uma extrapolação razoável do limite de resistência à fadiga para essa situação em que m  0 
pode ser feita usando a seguinte expressão (denominada lei de Goodman):
 (M.46)
em que al é o limite de resistência à fadiga para a tensão média m; e é o limite de resistência à 
fadiga para m  0 [isto é, 45.000 psi (310 MPa)]; e, novamente, LRT é o limite de resistência à tra-
ção da liga. Para determinar o novo limite de resistência à fadiga al a partir da expressão acima é 
necessário calcular tanto o limite de resistência à tração da liga quanto a tensão média para a 
mola.
M.10 UM AÇO COMUMENTE EMPREGADO
Uma liga comumente utilizada em molas é o aço ASTM 232 cromo-vanádio, que apresenta uma 
composição de 0,48-0,53%p C, 0,80-1,10%p Cr, um mínimo de 0,15%p V e o restante é Fe. O fio 
de arame da mola é normalmente trefilado a frio (Seção 11.4) até o diâmetro desejado; consequen-
temente, o limite de resistência à tração aumentará com a intensidade da trefilação (isto é, com a 
diminuição do diâmetro). Para essa liga, verificou-se experimentalmente que, para o diâmetro d em 
polegadas, o limite de resistência à tração é dado por
 (M.47)
Uma vez que para essa mola d  0,170 in,
O cálculo da tensão média m é feito usando a Equação 8.14 modificada para o caso de uma 
tensão cisalhante, da seguinte maneira:
 (M.48)
Torna-se agora necessário determinar as tensões de cisalhamento mínima e máxima para a mola, 
empregando-se a Equação M.44. O valor de mín pode ser calculado a partir das Equações M.44 e 
M.40, uma vez que o valor mínimo de e é conhecido (isto é, ie  0,060 in). Um módulo de cisalha-
mento de 11,5  106 psi (79 GPa) será assumido para o aço; esse é o valor para a temperatura 
ambiente, que também é válido para a temperatura de serviço de 80°C. Assim, mín é simplesmente
 (M.49a)
34 • Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica
Agora, máx pode ser determinado tomando-se e  me  0,135 in, da seguinte maneira:
 (M.49b)
Agora, a partir da Equação M.48,
A variação da tensão cisalhante ao longo do tempo para essa mola de válvula está mostrada na 
Figura M.27; o eixo do tempo não está em escala, uma vez que a escala do tempo dependerá da 
velocidade do motor.
Nosso próximo objetivo é determinar a amplitude do limite de resistência à fadiga (al) para 
esse valor de m  66.600 psi (460 MPa) usando a Equação M.46, para valores de e e LRT de 45.000 
psi (310 MPa) e 227.200 psi (1570 MPa), respectivamente. Dessa forma,
Agora, vamos determinar a amplitude real da tensão ar para a mola da válvula usando a Equa-
ção 8.16 modificada para a condição de tensão cisalhante:
 (M.50)
Figura M.27 Tensão cisalhante em função do tempo para uma mola de válvula de automóvel.
Módulo de Apoio Online para o Livro Engenharia Mecânica • 35
Dessa forma, a amplitude de tensão real é ligeiramente maior que o limite de resistência à 
fadiga, o que significa que esse projeto da mola está inadequado.
O limite de resistência à fadiga para essa liga pode ser aumentado para mais de 25.300 psi 
(175 MPa) por jateamento, um procedimento que foi descrito na Seção 8.10. O jateamento envolve 
a introdução de tensões residuais de compressão na superfície, por deformação plástica das regiões 
superficiais mais externas; partículas pequenas e muito duras são projetadas contra a superfície a 
altas velocidades. Esse é um procedimento automatizado empregado