TMA - Função 1o grau

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Tópicos de Matemática
FUNÇÕES DE 1º GRAU
Definição
Uma função é chamada de função de 1º grau se:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3
x 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
-2 2 −2 + 3 = −1
-1 2 −1 + 3 = 1
0 2 0 + 3 = 3
1 2 1 + 3 = 5
2 2 2 + 3 = 7 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Definição
Exemplo: 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3
x 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟑
-2 −2 −2 + 3 = 7
-1 −2 −1 + 3 = 5
0 −2 0 + 3 = 3
1 −2 1 + 3 = 1
2 −2 2 + 3 = −1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Concluímos que:
◦ 𝑎 > 0 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
◦ 𝑎 < 0 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Geogebra
Equação da reta
A equação da reta pode ser definida por:
◦ a = coeficiente angular (inclinação da reta)
◦ b = coeficiente linear (ponto em que a reta cruza o eixo y)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
y=2x+3
y=-2x+3
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Exemplo:
𝑓1 𝑥 = 2𝑥 + 3
𝑓2 𝑥 = −2𝑥 + 3
Equação da reta
Dada uma reta, consigo encontrar os valores de a e b da equação da 
reta?
x1
y2
y1
x2 x
y
tan𝛼 =𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
A
B
A = (x1,y1)
B = (x2,y2)
α
O valor de b podemos encontrar no 
gráfico ou substituindo na equação da 
reta
Exemplos
1) Encontre a inclinação da reta que passa pelos pontos A(-1,2) e
B(2,-4)
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑎 =
−4 − 2
2 − (−1)
=
−6
3
= −2
Posso inverter os valores?
𝑎 =
2 − (−4)
−1 − 2
=
6
−3
= −2
Exemplos
1) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2,6) e B(3,8)
𝑦 = 𝒂𝑥 + 𝒃
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑎 =
8 − 6
3 − 2
=
2
1
= 2
Para o valor de b, substituir o ponto na equação de reta:
6 = 𝑎 × 2 + 𝒃𝐴(2,6) 6 = 2 × 2 + 𝒃 𝒃 = 𝟐
𝑦 = 𝟐𝑥 +2 Vamos ver o gráfico no Geogebra
Exercícios propostos
1. (Pg 74) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
◦ a) A(-1,5) e B(2,8)
𝑦 = 𝒂𝑥 + 𝒃
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑎 =
8 − 5
2 − (−1)
=
3
3
= 1
Para o valor de b, substituir o ponto na equação de reta:
5 = 𝑎 × (−1) + 𝒃𝐴(−1,5) 5 = 1 × (−1) + 𝒃 𝒃 = 𝟔
𝑦 = 𝑥 + 6 Vamos ver o gráfico no Geogebra
Exercícios propostos
1. (Pg 74) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
◦ b) C(-2,4) e B(2,0)
2. Dê as inclinações das retas, nos casos:
◦ a) 𝑦 = 4𝑥 − 16
3. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(2,-5) e tem 
inclinação igual a 2
Para o valor de b, substituir o ponto na equação de reta:
−5 = 𝑎 × 2 + 𝒃𝐴(2,−5) −5 = 2 × 2 + 𝒃 𝒃 = −𝟗
𝑦 = 2𝑥 − 9
Problemas envolvendo funções de 1º grau
De forma geral, podemos escrever:
𝑆𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 25 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜𝑠 = 800 + 10 × 25 = 800 + 250 = 1050 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
𝑆𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑥 = 800 + 10𝑥, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑚ê𝑠
1. Um vendedor de seguros recebe um salário fixo mensal de R$
800,00 e uma comissão de R$ 10,00 para cada seguro vendido no
mês. Se esse vendedor vendeu 25 seguros no mês, quanto recebeu
de salário?
O salário do vendedor cresce de forma linear, segundo uma equação de 1º
grau
Exercícios propostos
4. (Pg 74) Uma torneira enche um tanque de água com capacidade 
de 1000 litros. Sabendo que o tempo para que esse tanque fique 
cheio é de 50 minutos e que após 10 minutos o volume de água é de 
200 litros, determine:
◦ A) Uma expressão que relacione o volume de água em função do tempo
Tempo (minutos) Volume (litros)
50 1000
10 200
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡 = ? 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡 = 𝒂𝑡 + 𝒃
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑎 =
1000 − 200
50 − 10
=
800
40
= 20
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡 = 𝒂𝑡 + 𝒃
1000 = 20 × 50 + 𝒃
1000 = 1000 + 𝒃
𝒃 = 𝟎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡 = 20𝑡
Exercícios propostos
4. Uma torneira enche um tanque de água com capacidade de 1000 
litros. Sabendo que o tempo para que esse tanque fique cheio é de 
50 minutos e que após 10 minutos o volume de água é de 200 litros, 
determine:
◦ B) Qual o volume de água quando t=40 minutos?
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡 = 20𝑡
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 40 = 20 × 40 = 800 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
◦ C) Representação gráfica (Geogebra)
Exercícios propostos
8. (Pg 76) O gráfico abaixo representa a função horária de um móvel. 
Encontre a expressão que relaciona o espaço em função do tempo.
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
Es
p
aç
o
 (
em
 m
et
ro
s)
tempo (em anos)
Vamos escolher dois pontos quaisquer no 
gráfico
(0,5)
(10,25)
𝑏 = 5
𝑎 =
25 − 5
10 − 0
=
20
10
= 2
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 = 2𝑥 + 5
Encontrado direto no gráfico
Tarefas
Resolver os exercícios propostos no 5 e 9