Cónicas e quádricas

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Análise Matemática II D
2018/19 (1o semestre)
Cónicas
As cónicas são curvas em R2 descritas por uma equação de duas varáveis:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + Fz + G = 0,
com A,B,C,D,E, F e G ∈ R e A,B,C não são simultaneamente nulos.
Correspondem ao corte de uma superf́ıcie cónica por um plano:
1
Superf́ıcies quádricas
As quádricas são superf́ıcies em R2 descritas por uma equação de duas
varáveis:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
com A,B,C,D,E, F,G,H, I e J ∈ R e A,B,C,D,E, F não são simultanea-
mente nulos.
1. Superf́ıcie esférica centrada na origem:
x2 + y2 + z2 = r2
Superf́ıcie esférica com centro no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2
2. Elipsoide centrado na origem:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
Elipsoide com centro no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
+
(z − z0)2
c2
= 1
2
3. Paraboloide eĺıptico centrado na origem:
x2
a2
+
y2
b2
= ±z
Paraboloide eĺıptico com centro no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= ±(z − z0)
4. Superf́ıcie cónica com vértice na origem:
x2
a2
+
y2
b2
= z2
Superf́ıcie cónica com vértice no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= (z − z0)2
3
5. Cilindro eĺıptico centrado na origem:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Cilindro eĺıptico com centro no ponto (x0, y0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
6. Cilindro parabólico centrado na origem:
y = ax2
Cilindro parabólico com centro no ponto (x0, y0):
y − y0 = a(x− x0)2
4
7. Hiperboloide de uma folha centrado na origem:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
Hiperboloide de uma folha com centro no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= 1
8. Hiperboloide de duas folhas centrado na origem:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= −1
Hiperboloide de duas folhas com centro no ponto (x0, y0, z0):
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= −1
5
9. Paraboloide hiperbólico centrado na origem:
z =
y2
b2
− x
2
a2
Paraboloide hiperbólico com centro no ponto (x0, y0, z0):
z − z0 =
(y − y0)2
b2
− (x− x0)
2
a2
6