Correlacao_e_Regressao_-_

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CORRELAÇÃO E 
REGRESSÃO ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 - INTRODUÇÃO............................................................................................................4 
 
 
2 – CORRELAÇÃO ESTATÍSTICA.................................................................................4 
 
 
2.1 – TIPOS DE CORRELAÇÃO......................................................................................4 
 
 
2.2 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO................................................................................5 
 
 
2.3 - COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO........................................................................5 
 
 
2.3.1- COEFICIENTE DE E CORRELAÇÃO LINEAR.................................................5 
 
 
2.4 – EXERCICÍO RESOLVIDO......................................................................................5 
 
 
3 - REGRESSÃO ESTATÍSTICA....................................................................................7 
 
 
3.1 - EQUAÇÃO DE REGRESSÃO .................................................................................7 
 
 
3.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS..................................................................................8 
 
 
4 - CONCLUSÃO..............................................................................................................9 
 
 
5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
1. INTRODUÇÃO 
 
Antes de conceituarmos correlação e regressão estatística deve-se saber porque usá-la. 
No estudo de inferência, estuda-se casos com 1 variável e 2 populações. No estudo de 
Correlação e Regressão Estatísticas dever-se levar em conta 2 variáveis e 1 população. 
Exemplo: Peso e Comprimento (2variaveis) das baleias (1 população). Dentre esse 
estudo teremos a correlação e a regressão estatística, cujo principal objetivo é estudar a 
relação entres essas variáveis. Esse estudo pode ser investigando presença e/ou ausência 
dessa relação, que pode ser : 
1) Quantificando a força dessa relação: correlação 
2) Explicitando a forma dessa relação: regressão 
 
2. CORRELAÇÃO ESTATÍSTICA 
 
A correlação é a medida padronizada da relação entre duas variáveis indica a força e a 
direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias. 
• A correlação nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que menos 1. 
• Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis não estão 
relacionadas. 
• Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é 
forte quanto mais a correlação se aproxima 1. 
• Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-se em direções 
opostas, 
• A relação fica mais forte quanto mais próxima a correlação de -1. 
• Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (r=1) 
movem-se essencialmente em perfeita proporção na mesma direção, 
• Dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados negativamente movem-
se em perfeita proporção em direções opostas. 
A relação entre as variáveis é evidenciada pela formação de um padrão no diagrama de 
Dispersão 
 
2.1 TIPOS DE CORRELAÇÃO 
 
A correlação entre 02 variáveis pode ser: 
1. Correlação Positiva : O aumento de uma variável corresponde, ao aumento da outra. 
2. Correlação Negativa: O aumento de uma variável corresponde a diminuição da outra. 
3. Correlação Linear: Quando é possível ajustar uma reta, pode ser forte (quanto mais 
próximas da reta) ou fraca (quanto mais distantes da reta). 
4. Correlação não-linear: Quando não é possível ajustar uma reta. 
 
 
 
2.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
 
O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados 
para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em 
cada elemento do conjunto de dados. Ele é muito útil para comparar dados, como antes e 
depois. De acordo com a correlação das variáveis o diagrama pode ser: 
 4
 
 
 
 
 
2.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
 
Coeficiente de correlação indica a força e a direção do relacionamento linear entre as 
duas variáveis a ser estudada, sendo denotada por r . Vários coeficientes são utilizados 
para situações diferentes, tais como o coeficiente de correlação de Pearson e o 
coeficiente Linear. 
 
2.3.1 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
 
Esse coeficiente serve para detectar padrões de lineares. (não vale para os padrões não 
lineares). 
 
 
 
• O valor de r estar sempre entre 1 e -1, ou seja −1 ≤ r ≤ 1 
• Se r está próximo de 1, há uma forte correlação positiva. 
• Se r está próximo a –1, há uma forte correlação negativa. 
• Se r está próximo de 0, não há correlação linear. 
 
2.4 EXERCICIOS RESOLVIDOS 
 
1º) A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa com 10 famílias de determinada 
região. 
 
 
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Famílias Renda (R$) Poupança 
(R$) 
Nº de Filhos Média de Anos 
de Estudo da 
família 
A 10 4 8 3 
B 15 7 6 4 
C 12 5 5 5 
D 70 20 1 12 
E 80 20 2 16 
F 100 30 2 18 
G 20 8 3 8 
H 30 8 2 8 
I 10 3 6 4 
J 60 15 1 8 
a) Calcular ao coeficiente de correlação Linear entre a renda familiar e a poupança. 
 
Solução: 
RENDA (Y) POUPANÇA 
(X) 
X2 
 
Y2 XY 
10 4 16 100 40 
15 7 79 225 105 
12 5 25 144 60 
70 20 400 4.900 1.400 
80 20 400 6.400 1.600 
100 30 900 10.000 3.000 
20 8 64 400 160 
30 8 64 900 240 
10 3 9 100 30 
60 15 225 3.600 900 
ΣΣΣΣy =407 ΣΣΣΣx =120 ΣΣΣΣx2=2.152 ΣΣΣΣy2=26.769 ΣΣΣΣxy=7.535 
 
Aplicando na Fórmula : 
 
r = (10 x 7.535 )– (120 x 407 = 0,9835 
 √(10x2.152) – 1202 √10x26.769 -4072 
 
Existe uma forte correlação linear entre renda e a poupança familiar. 
O sinal do coeficiente mostra que as duas variáveis variam no mesmo sentido. 
 
b) Calcular o coeficiente de correlação linear entre renda e números de filhos para as dez 
famílias. 
 
Solução: 
 
Renda (y) N° de filhos (x) X 2 Y 2 XY 
10 8 64 100 80 
15 6 36 225 90 
 6
12 5 25 144 60 
70 1 1 4.900 70 
80 2 4 6.400 160 
100 2 4 10.000 200 
20 3 9 400 60 
30 2 4 900 60 
10 6 36 100 60 
60 1 1 3.600 60 
407 36 184 26.769 900 
ΣΣΣΣy = 407 ΣΣΣΣx = 36 ΣΣΣΣx2 =184 ΣΣΣΣy2 = 26.769 ΣΣΣΣxy = 900 
 
Aplicando a fórmula obtemos: 
 
 
r = (10 x 900)– (36 x 407) = - 0,758 
 √(10x184) – 362 √10x 26.769 -4072 
 
O resultado revela uma correlação forte e inversa (negativa), ou seja, as famílias com 
maiores rendas têm menor número de filhos. 
 
3. REGRESSÃO ESTATÍSTICA 
Já que foi estabelecido uma relação linear e uma boa correlação entre as variáveis , deve-
se agora determinar uma formula matemática para prever os resultados de y dado os 
valores de x. Chama-se esta relação de regressão, ou seja, a regressão, em geral, trata da 
questão de se estimar um valor condicional esperado. 
3.1 EQUAÇÃO DE REGRESSÃO 
A regressão linear que é um modelo adequado quando encontramos disposições dos 
pontos conforme os da figura abaixo: 
 
Caso como os estas figura não seriam bem descritos pela equação linear. 
 
 
Descrevemos a equação linear através da fórmula y = a + bx. Chamamos a de intecepto-
y (valor de y para o qual x = 0) e b o coeficiente angular da reta. 
 7
Os diferentes valores observados representados pela figura abaixo serão ajustados 
através da técnica dos mínimos quadrados que permitem ajustar a melhor reta para o 
conjunto de pontos dados. 
 
Os valores de b e a são sinteticamente determinados pelas fórmulas: 
 
 
 
3.2 EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica (mm) e ao volume 
de produção de leite tipo C (milhões de litros), em determinada região do país. 
 
a) Ajustar os dados através de um modelo linear 
b) Admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24 mm, qual deverá ser o 
volume esperado de produção do leite tipo C? 
Anos Produção de leite 
(1.000.000 l) 
Índice Pluviométrico 
(mm) 
1970 26 23 
1917 25 21 
1972 31 28 
1973 29 27 
1974 27 23 
1975 3128 
1976 32 27 
1977 28 22 
1978 30 26 
1979 30 25 
 
Solução: 
Y X X2 XY 
26 23 529 598 
25 21 441 525 
31 28 784 868 
29 27 729 783 
27 23 529 621 
31 28 784 868 
32 27 729 864 
28 22 484 616 
30 26 676 780 
30 25 625 750 
ΣΣΣΣy = 289 ΣΣΣΣx = 250 ΣΣΣΣx2 =6.310 ΣΣΣΣxy = 7.273 
 8
 
I –Determinar o valor do Parâmetro b 
 
 
 
b = (10x7.273)- (250x289) = 0,8 
 (10x6.310) - 2502 
 
II – Determinar o valor do Parâmetro a 
 
 
a = 289 - 0,8. 250 = 8,9 
 10 10 
 
III – Equação da Reta Ajustada 
 
y = a + bx 
 
y = 8,9 +0,8x 
 
b) fazendo x = 24 mm temos: y = 8,9 +0,8x24 = 28,1. 
De acordo co o modelo, podemos esperar 28,1 milhões de litros produzidos para um 
índice pluviométrico de 24 mm. 
 
4. CONCLUSÃO 
 
Em virtude dos temas e tópicos abordados, pode-se concluir que Correlação e Regressão 
linear é um tema estatístico de enorme importância e aplicabilidade, não só a disciplinas 
e profissões afins, tais como matemática, engenharia, estatísticas entre outras, mas 
também percebemos sua aplicação nas mais variadas áreas de como medicina, 
farmacologia e até mesmo ma música. Estudar esse tema será ajudará o individuo a 
melhorar sua percepção estatística fornecendo-o um raciocínio lógico completo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, IvoIzidoro. Estatística Básica. 2º 
Edição. São Paulo: Atlas, 1995. 
 
 
 KNEIP, Flavia Conde. Capítulo 9: Correlação e Regressão. Disponível 
em: <http://www.fsp.usp.br/hep103/Aula5.pdf.> Acesso em: 15 de jun. 
2009.