Representação Gráfica de Distribuição de Frequências

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ESTATÍSTICA
Representação por gráficos: 
histogramas, polígonos de 
frequências e ogiva
Nem sempre é fácil visualizar os dados usando apenas a 
distribuição de frequências. Por isso, é útil empregarmos 
representações gráficas. Agora, você aprenderá a construir os 
gráficos oriundos da distribuição de frequências.
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Histograma
O gráfico mais importante para representar a distribuição 
de frequências é o histograma, que relaciona as frequências 
absolutas ou relativas com os valores de cada classe, 
representados por colunas. No eixo horizontal (abscissas), 
dispomos os intervalos das classes, e, no vertical, os valores de 
cada classe, representados pela altura da coluna, de maneira 
semelhante ao gráfico de colunas. Veja um exemplo na figura 
a seguir.
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ESTATÍSTICA
Fonte: marekuliasz, Shutterstock, 2017.
O histograma é um dos principais 
gráficos na estatística, auxiliando-
nos a analisar a distribuição e o 
comportamento dos dados.
Vamos construir um histograma? Primeiro, vamos elaborar 
um rascunho. Para tanto, retome a tabela “Distribuição de 
frequências dos salários de 15 empregados de uma empresa”. 
No eixo vertical, colocaremos quantos empregados existem em 
cada classe, e, no horizontal, os intervalos de classe referentes a 
cada faixa salarial. 
A primeira classe agrupa 2 empregados. No histograma, 
colocaremos essa informação na primeira coluna, agrupando 
um empregado por cima do outro. Nas abscissas, colocaremos o 
intervalo da classe referente à faixa salarial desses empregados, 
isto é, de aproximadamente R$ 1.000,00 até R$ 2.000,00. 
Nosso rascunho não para por aí. A segunda classe tem 4 
empregados, que ganham de aproximadamente R$ 2.000,00 até 
R$ 3.400,00, os quais também devemos empilhar, mas, agora, à 
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ESTATÍSTICA
direita da primeira classe. Fazemos isso para dar continuidade 
nos valores da renda, pois ela é uma variável contínua, logo, cada 
classe é sequência de sua anterior.
A terceira classe é a maior, com 5 empregados. A quarta tem 
apenas 3, e, por fim, a última contém somente 1, que é o que 
ganha mais, o que pode indicar um chefe imediato dos demais.
E o que aconteceria se uma classe não tivesse nenhum 
empregado? Nesse caso, deixaríamos o espaço referente a ela 
sem nenhum valor e prosseguiríamos para a construção da 
classe posterior. 
E agora, como ficou nosso rascunho de histograma? Observe:
Número de trabalhadores
5
4
3
2
1
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 2.200,00 a
R$ 3.400,00
R$ 3.400,00 a
R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 a
R$ 5.800,00
R$ 5.800,00 a
R$ 7.000,00
Salários
Fonte: Elaborado pelo autor, Shutterstock, 2017.
Para transformar esse rascunho em um histograma, imagine que 
cada classe em que empilhamos os funcionários seja uma coluna 
colada na outra, desta forma: 
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ESTATÍSTICA
Número de trabalhadores
5
4
3
2
1
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 2.200,00 a
R$ 3.400,00
R$ 3.400,00 a
R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 a
R$ 5.800,00
R$ 5.800,00 a
R$ 7.000,00
Salários
 
Fonte: Elaborado pelo autor, Shutterstock, 2017.
Agora, podemos obter a versão final do histograma.
Número de trabalhadores
5
4
3
2
1
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 2.200,00 a
R$ 3.400,00
R$ 3.400,00 a
R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 a
R$ 5.800,00
R$ 5.800,00 a
R$ 7.000,00
Salários
Agora que temos um histograma, podemos usá-lo como base 
para criar um polígono de frequências. Vamos em frente?
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ESTATÍSTICA
Polígonos de frequências
Um polígono de frequências é um gráfico de linhas construído 
com base em um histograma. Segundo Triola (2008), para 
elaborá-lo, precisamos nos basear nas frequências absolutas 
ou relativas. Esse tipo de gráfico nos fornece a informação da 
tendência das classes, assim, percebemos se os valores estão 
aumentando, diminuindo ou permanecendo constantes.
Começamos a orientação pelo topo central da primeira coluna 
e então seguimos para o centro. Depois, seguimos para o topo 
central da segunda coluna e assim por diante. 
Posicionamos o ponto inicial e o final do polígono no eixo 
horizontal, respectivamente, no ponto médio da classe 
imediatamente anterior à primeira classe e no ponto médio 
imediatamente posterior à última classe dos dados, simbolizando 
que não existem dados nesses dois pontos. Veja o resultado:
Polígono de frequências com o histograma por baixo (a) e sem 
o histograma (b)
(a)
Número de trabalhadores
5
4
3
2
1
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 2.200,00 a
R$ 3.400,00
R$ 3.400,00 a
R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 a
R$ 5.800,00
R$ 5.800,00 a
R$ 7.000,00
Salários
(b)
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Número de trabalhadores
5
4
3
2
1
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 2.200,00 a
R$ 3.400,00
R$ 3.400,00 a
R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 a
R$ 5.800,00
R$ 5.800,00 a
R$ 7.000,00
Salários
Perceba que, em b), omitimos o histograma depois de construir o 
polígono de frequências sobre ele, procedimento que é opcional.
Agora, observando o gráfico, o que você consegue constatar? 
Note que a concentração de empregados nas primeiras classes 
é baixa e vai aumentando até chegar à classe com maior 
frequência, isto é, a faixa salarial onde há mais funcionários. 
Depois, a quantidade de empregados que ganham maiores 
salários vai diminuindo.
Um histograma representa 
graficamente uma distribuição 
de frequências, e o polígono de 
frequências o utiliza para indicar a 
tendência das classes.
Ogiva
Uma ogiva é semelhante ao polígono de frequências, mas usa 
como base as frequências acumuladas absolutas ou relativas. 
Com elas, conseguimos diagnosticar a velocidade com que as 
classes chegam à sua totalidade.
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ESTATÍSTICA
Vamos, então, construir uma ogiva? Novamente, usaremos a 
tabela “Distribuição de frequências dos salários de 15 empregados 
de uma empresa”, mas, desta vez, tomando os valores das 
frequências relativas acumuladas.
Olhou novamente a tabela? Lá, você pode constatar que a 
frequência relativa acumulada da primeira classe é 13,33%. 
A reta da ogiva referente a uma classe vai em direção ao seu 
ponto médio, partindo do eixo horizontal, no ponto médio da 
classe imediatamente anterior a ela. Note que é por isso que a 
linha sempre inicia no zero, pois não temos informações antes 
da primeira classe.
Para desenharmos a próxima reta, partimos do centro da coluna 
em direção ao centro da segunda coluna, pulando para os 40% da 
segunda classe. O gráfico dá outro salto, chegando a 73,33% da 
terceira classe, sobe posteriormente para 93,33% da quarta classe e 
finaliza atingindo o total de 100% da quinta classe. Veja o resultado:
(a)
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 1.000,00 a
R$ 3.400,00
R$ 1.000,00 a
R$ 4.600,00
R$ 1.000,00 a
R$ 5.800,00
R$ 1.000,00 a
R$ 7.000,00
Salários
Número de trabalhadores
a)
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(b)
Número de trabalhadores
b)
R$ 1.000,00 a
R$ 2.200,00
R$ 1.000,00 a
R$ 3.400,00
R$ 1.000,00 a
R$ 4.600,00
R$ 1.000,00 a
R$ 5.800,00
R$ 1.000,00 a
R$ 7.000,00
Salários
As ogivas são muito utilizadas no 
estudo de probabilidades, que você 
estudará em unidades posteriores.
Agora você já sabe como resumir um grande volume de dados 
brutos, representando-os por tabelas de frequências, e como 
representá-los graficamente, facilitando sua visualização. 
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ESTATÍSTICA
Regra de Sturges para identificação 
de classes; distribuição em classes; 
limites de intervalo
Até agora, você viu a regra empírica para encontrar as 
distribuições de frequência, que é a mais simples para calcular o 
número de classes. Para usá-la, Triola (2008) recomenda que o 
número de classes fique entre 5 e 20, de modo que a amplitude 
das classes resulte em números redondos, o que facilita a leitura. 
Mas também podemos usar um método matemático para definir 
a quantidade de classes da tabela: a Regra de Sturges.
Regra de Sturges para identificação de classes
Em muitos softwaresestatísticos, o número de classes é obtido 
pela regra de Sturges, para não considerar a interferência do 
pesquisador em sua construção, diferentemente do método 
empírico. A regra de Sturges consiste em: 
k = 1 + 3,332 × log
10
(n)
onde:
k: número de classes;
n: tamanho da amostra.
O valor de k dificilmente será inteiro, portanto, você precisará 
arredondá-lo. Mas como? Sempre que tiver valores menores que 
5 nas casas decimais, arredonde para baixo. Do contrário, para 
valores maiores, arredonde para cima. Por exemplo, você deve 
arredondar 3,6 para 4, e 3,4 para 3. 
E se o número da casa decimal for justamente 5? Nesse caso, 
arredondar para cima ou para baixo fica a seu critério. 
Lembre-se de realizar o 
arredondamento de forma adequada, 
pois sempre precisaremos de um valor 
inteiro para k.
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ESTATÍSTICA
Relembre nosso exemplo dos salários. Mas, agora, suponha que, 
em vez de 15 empregados, temos 30. Como saber qual o número 
de classes (k)? Basta substituir n na fórmula pelo número de 
elementos da amostra (30): 
k = 1 + 3,332 × log
10
(30) = 5,92 ≅ 6
Assim, teremos 6 classes. 
Distribuição em classes
A distribuição em classes ocorre quando subdividimos nossa 
amostra em intervalos de valores igualmente espaçados, ou 
seja, com o mesmo intervalo. Recorde nossa primeira tabela, 
com R$ 1.000,00 -| R$ 2.200,00; R$ 2.200,00 -| R$ 3.400,00 e 
assim por diante. Nessa distribuição, temos que saber qual será 
o valor do intervalo das classes e, para isso, precisamos primeiro 
definir a amplitude dos dados. E como fazer isso? Mais uma vez, 
vamos utilizar o exemplo dos salários. Agora, vamos esmiuçá-lo, 
coletando o salário por hora dos 30 empregados, como mostra 
o quadro a seguir. 
8,3 10,2 11,5 12,4 13,5
8,5 10,3 11,6 12,6 13,8
8,8 10,3 11,6 12,6 14,2
9,6 10,4 12,1 12,9 14,3
9,7 10,4 12,3 13,2 15,2
9,8 10,7 12,4 13,3 20,0
Observe que esses dados já estão ordenados, iniciando na 
primeira coluna de cima para baixo. Para distribui-los, vamos 
pegar o resultado que obtivemos pela Regra de Sturges, obtendo 
6 classes. Cada uma representa os empregados que ganham a 
mesma faixa de salários pago por hora. 
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ESTATÍSTICA
Com os dados organizados, queremos agora descobrir o quanto 
esses salários variam. É aí que entra o cálculo da amplitude total 
(At), obtida quando efetuamos a diferença entre o maior valor 
(máximo) e o menor (mínimo):
At = máximo – mínimo
At = 20,0 – 8,3 = 11,7
Como o valor máximo é R$ 20,0 por hora, e o menor, R$ 8,3, a 
amplitude é R$ 11,7, evidenciando uma grande diferença salarial 
entre os empregados. Agora, podemos calcular os limites dos 
intervalos da classe.
A amplitude da classe é a primeira 
medida que temos para saber se 
existem grandes discrepâncias de 
valores entre nossos dados.
Limites de intervalo
Os limites dos intervalos das classes definem os valores que 
dividirão as classes quando uma termina e outra começa. Dessa 
forma, podemos descobrir como foram obtidos os valores dos 
limites de intervalo para a nossa primeira tabela. 
Você já pensou como foi definido o limite inferior de R$ 1.000,00 
e o superior de R$ 2.200,00 na primeira classe, por exemplo? 
Esses valores são importantes, pois, sem eles, não conseguiríamos 
dividir nossa amostra em classes. Eles são obtidos dividindo a 
amplitude total pelo número de classes:
At
IC=
k
Vamos, então, utilizar o valor do número de classes e da amplitude 
dos salários que descobrimos anteriormente? Dessa forma, temos:
11,7
IC= =1,87 2IC= =1,87 2≅IC= =1,87 2≅
11,7
IC= =1,87 2
11,7
6
IC= =1,87 2
6
IC= =1,87 2
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ESTATÍSTICA
O intervalo de classe, é, então 2. Note que arredondamos o 
resultado para trabalharmos com números inteiros. 
Os limites de intervalo podem ser o limite inferior ou limite superior 
da classe. É conveniente que o limite inferior da primeira classe 
coincida com o menor valor de nossa amostra, para incluir todos 
os valores em nossa distribuição de frequência. Dessa forma, a 
primeira classe será composta pelo limite inferior (8,3) e esse 
valor acrescido do intervalo de classe (2), resultando no limite 
superior de 10,3, ou seja: 
8,3 |– (8,3 + 2)
8,3 |– 10,3
Como adotamos o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, 
o limite inferior da segunda classe será o mesmo que o limite 
superior da primeira mais esse valor acrescido do intervalo de 2:
10,3 |– (10,3 + 2)
10,3 |– 12,3
Consegue imaginar como proceder nas demais classes? Terceira 
classe:
 12,3 |– (12,3 + 2)
12,3 |– 14,3
Quarta classe:
14,3 |– (14,3 + 2)
14,3 |– 16,3
Quinta classe:
16,3 |– (16,3 + 2)
16,3 |– 18,3
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ESTATÍSTICA
Sexta classe:
18,3 |– (16,8 + 2)
18,3 |– 20,3
Agora, que tal calcular as frequências absolutas e relativas para 
cada classe? Essa operação resulta na tabela a seguir. 
Classes fi fri (%) Fac Frac (%)
 8,30 |- 10,30 7 23,33 7 23,33
10,30 |- 12,30 9 30,00 16 53,33
12,30 |- 14,30 11 36,67 27 90,00
14,30 |- 16,30 2 6,67 29 96,67
16,30 |- 18,30 0 0,00 29 96,67
18,30 |- 20,30 1 3,33 30 100.00
Total 30 100
Agora, observe os dados. Que conclusões você consegue tirar? 
Vamos interpretá-los juntos. Por exemplo, observe a frequência 
absoluta acumulada da terceira classe. Seu valor indica que 
27 funcionários recebem salários abaixo de R$ 14,30 por hora. 
Analisando as frequências acumuladas, podemos concluir que 
aproximadamente 90% dos salários estão até R$ 14,30.
Por sua vez, analisando a última classe, composta pelos 
funcionários que recebem os maiores salários (de R$ 18,30 até 
aproximadamente R$ 20,30 por hora) e sua frequência relativa 
(3,33), podemos constatar que os maiores salários servem 
apenas 3,3% dos funcionários da empresa. Veja que 53,33% dos 
funcionários (16 empregados) recebem até R$ 12,30, sendo que 
23,33% (7 empregados) ganham entre R$ 8,30 e R$ 10,30.
Antes de partir para a próxima etapa do nosso estudo, vamos 
resumir os procedimentos para a construção de uma distribuição 
de frequências.
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ESTATÍSTICA
1 Coletar os dados brutos.
2 Dispor os dados em um rol.
3 Calcular a amplitude total.
4 Obter o número de classes pela Regra de Sturges.
5 Construir os intervalos das classes.
6 Desenhar a tabela, incluindo os valores das frequências absolutas e relativas.
Memorize o roteiro para construção de 
distribuições de frequências.
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ESTATÍSTICA
Distribuições de frequência de 
variáveis qualitativas e quantitativas 
discretas com representações gráficas
Você já sabe que, antes de fazermos análises estatísticas, 
precisamos organizar e classificar os dados obtidos, certo? Uma 
forma de fazer isso é construindo tabelas de distribuição de 
frequências. 
Tabelas para distribuição de frequências 
De acordo com Triola (2008), usamos as tabelas de distribuição 
de frequências para resumir os dados estatísticos. Podemos ter 
distribuições de frequências tanto para variáveis qualitativas 
quanto para quantitativas discretas e contínuas. Aqui, 
abordaremos a distribuição de frequências para variáveis 
qualitativas e para as quantitativas discretas.
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ESTATÍSTICA
Por meio das tabelas de distribuições 
de frequências, apresentamos dados 
qualitativos ou quantitativos de forma 
resumida e objetiva.
Para organização e classificação de dados de variáveis 
qualitativas, devemos colocar, na tabela de distribuição 
de frequências, uma coluna com as classes e a outra com a 
frequência. Cada classe será uma categoria, e a frequência 
absoluta será o número de repetições de cada categoria. 
Classe 
i
Estado civil
Frequência 
absoluta (fi)
Frequência 
relativa (fri)
Frequência 
acumulada (Faci)
Frequência relativa 
acumulada (Fraci)
1 Solteiro 12 0,2105 12 0,2105
2 Casado 25 0,4386 37 0,6491
3 Viúvo 5 0,0877 42 0,7368
4 Divorciado 15 0,2632 57 1,0000
- Total 57 1,0000 - -
Agora, e quanto precisamos fazer a distribuiçãode frequências 
de variáveis quantitativas? Segundo Tiboni (2010), os dados 
quantitativos permitem duas formas de apresentação e podem 
ser ou não agrupados por classes. Geralmente, as variáveis 
discretas são agrupadas em distribuições por ponto ou valores, 
e as contínuas, em distribuições por intervalos ou classes. 
Você verá mais adiante nesta unidade um exemplo prático de 
construção de tabela de distribuição de frequências com variáveis 
quantitativas discretas. Antes, você estudará as representações 
gráficas que podem ser feitas a partir dessas tabelas. 
Representações gráficas
Você já compreendeu em unidades anteriores a importância 
de utilizar as representações gráficas, não é mesmo? Por meio 
delas, a visualização de uma distribuição de frequências de uma 
variável fica mais fácil. Você também sabe que existem vários 
tipos de gráficos, certo? Devemos escolher o mais apropriado 
conforme o tipo de variável que será representada. 
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ESTATÍSTICA
Para as variáveis qualitativas, usamos os gráficos de setores 
ou pizza e os de barras. No gráfico de setores ou pizza, 
representamos cada um dos setores pelo percentual de cada 
categoria da variável. Esse tipo de gráfico é adequado somente 
para as variáveis qualitativas nominais, pois, não conseguimos 
expressar uma ordem por meio dele.
Já nos gráficos de barras, adequados para as variáveis 
qualitativas ordinais, o eixo horizontal x (abcissas) traz as 
categorias, e o vertical y (ordenadas), a frequência, que pode 
ser tanto a absoluta quanto a relativa. 
E quando estamos trabalhando com uma variável quantitativa 
discreta, como o número de filhos por mãe? Essa variável assume 
valores de um conjunto enumerável, portanto, assumimos que 
cada valor (número de filhos) é uma classe. É por isso que 
também usamos o gráfico de barras para representar esse tipo 
de variável. No eixo x (horizontal), colocamos o número de filhos, 
e, no y (vertical), as frequências absolutas ou relativas.
A figura a seguir traz exemplos desses dois tipos de gráficos. 
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fonte: Ico Maker, Shutterstock, 2017. (Adaptado).
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ESTATÍSTICA
Os gráficos de barras ou colunas e 
os gráficos de pizza ou setores são 
apropriados para representar variáveis 
qualitativas e quantitativas discretas.
A seguir, você verá um exemplo completo para entender como 
construir uma tabela de distribuição de frequências e seu gráfico.
Exemplo prático
Vamos ilustrar tudo o que você estudou até aqui? Para isso, 
imagine que uma pesquisa realizada em uma fábrica revela o 
número de peças defeituosas por caixa. A amostra de peças 
defeituosas coletada foi:
2 1 1 0 2 0 0 0 1 0
1 0 0 2 1 1 0 0 1 1
0 1 2 0 0 1 2 1 0 0
A partir da amostra, pense um pouco e responda às questões a 
seguir. 
a. Qual o número de dados da pesquisa? 
 O número de dados coletados é n = 30.
b. Quais são as quantidades de defeitos observados na amostra 
que poderão ser utilizadas na construção de uma tabela de 
frequências? 
 As categorias são: 0, 1 e 2 peças com defeitos por caixa.
c. Qual o número de classes? 
 São três classes, que representarão as caixas com 0, 1 e 2 
defeitos, respectivamente.
d. Elabore a tabela de distribuição de frequências, discriminando 
os valores de cada frequência: absoluta, relativa e acumulada.
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ESTATÍSTICA
Classe 
i
Peças com defeito 
por caixa (xi)
Frequência 
absoluta (fi)
Frequência 
relativa (fri)
Frequência 
relativa (fri)%
Frequência 
acumulada (Faci)
1 0 14 0,4667 46,67 14
2 1 11 0,3667 36,67 25
3 2 5 0,1667 16,67 30
- Total 30 1,0000 100,00 -
e. A partir da tabela, responda: quais os valores das frequências 
absolutas de cada classe?
 Na primeira classe: 14; na segunda: 11 e na terceira: 5.
f. Construa o gráfico que representa os dados coletados.
Classe 1
(0 defeitos por caixa)
Classe 1
(1 defeitos por caixa)
Classe 1
(2 defeitos por caixa)
46,67%
36,67%
16,67%
Finalizamos mais uma unidade. Esperamos que você tenha 
conseguido entender como identificar variáveis qualitativas 
e quantitativas em uma população ou amostra e organizar/
classificar variáveis discretas por meio de frequências e gráficos.
Variáveis e suas classificações e 
tabela de distribuição de frequências 
são conceitos básicos para sua 
representação gráfica.
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ESTATÍSTICA
Definições básicas para dados brutos 
e rol de dados e frequências
Você sabe que um dos objetivos da estatística é nos fornecer 
meios para sintetizarmos os dados de uma amostra de forma 
a facilitar sua leitura por meio da análise descritiva dos dados, 
certo? Para tanto, precisamos conhecer uma série de conceitos. 
Você estudará agora as definições básicas de dados brutos, rol 
de dados, classes e frequências para prepará-lo no aprendizado 
das distribuições de frequências. Vamos lá?
Dados brutos ou primitivos
Segundo Triola (2008), os dados são observações (tais como 
medidas e respostas em pesquisas) que tenham sido coletadas.
Agora, pense em uma pesquisa. Assim que coletamos seus dados, 
eles ainda precisam ser organizados para, então, passarem 
por uma análise mais criteriosa. Nesse momento, os métodos 
estatísticos são muito importantes para uma percepção clara 
da variabilidade dos dados coletados. Então, logo após a coleta 
dos dados, antes de organizá-los, teremos o que chamamos de 
dados brutos ou primitivos por meio dos quais faremos análises 
estatísticas. 
Fonte: Aaban, Shutterstock, 2017. (Adaptado).
License-512057-28204-0-3
ESTATÍSTICA
Como exemplo, podemos citar o conjunto das alturas de 100 
estudantes do sexo feminino, obtidos de uma lista alfabética do 
registro de uma universidade. Logo após sua coleta, como os 
elementos da amostra ainda não estão organizados, fica difícil 
termos uma noção de qual será a menor e a maior altura entre 
as estudantes. Daí a necessidade de ordenar os dados. Veremos 
como fazer isso a seguir.
Dados brutos, também chamados 
de primitivos, são aqueles coletados 
durante uma pesquisa e que ainda não 
foram organizados.
Rol de dados
Você percebeu que, após uma pesquisa, temos os dados de forma 
não organizada. Precisamos, então, organizá-los em seu rol para 
que, então, possamos fazer sua análise descritiva, usando, por 
exemplo, tabelas de frequência e cálculo de medidas de posição. 
Mas o que é um rol?
O rol de dados é a ordenação dos valores obtidos (dados brutos) 
em ordem crescente ou decrescente de grandeza numérica 
ou qualitativa. Veja abaixo, à esquerda, que os dados, nesse 
caso, quantitativos, estão desorganizados. Já à direita, estão 
organizados em ordem crescente, de cima para baixo. 
Dados brutos Rol de dados
6 14 5 8 8 6 4 6 7 9 10 12
9 7 6 6 4 10 5 6 8 10 11 13
14 11 12 5 11 7 5 6 8 10 11 14
10 13 10 12 8 10 6 7 8 10 12 14
O rol de dados é importante para 
construirmos tabelas de frequência, 
que você estudará ainda nesta 
unidade.
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ESTATÍSTICA
Quer praticar um pouco? Vejas estes números: 17, 45, 38, 27, 6, 
48, 11, 57, 34, 22. Como você os disporia em um rol?
Existem duas formas. Em ordem crescente de grandeza, você 
deve ordená-los da seguinte forma: 6, 11, 17, 22, 34, 38, 45, 48, 57. 
Em ordem decrescente, fica: 57, 48, 45, 38, 34, 27, 22, 17, 11, 6. 
Uma vez que temos dados ordenados, podemos calcular a 
amplitude total de uma amostra, isto é, a diferença entre o maior 
e o menor valor observado nos valores da amostra. Também 
empregamos o rol para o calcular as estatísticas de posição, 
como decis, quartis e a mediana, que serão estudados em 
unidades posteriores. 
Na próxima unidade, você entenderá melhor a definição de 
amplitude na distribuição de frequência de dados numéricos 
agrupados em intervalos de classe. Agora, é importante que 
você conheça os tipos de frequência.
Tipos de frequências
Segundo Tiboni (2010), frequência é o número de vezes que um 
elemento se repete em uma amostra. 
A frequência absoluta ou simples (fi) é definidapelo número 
de vezes que o elemento aparece na amostra ou o número de 
elementos pertencentes a uma classe. A frequência relativa (fri) 
é definida pela razão entre a frequência absoluta e o tamanho 
da amostra (número total de dados coletados na pesquisa). 
Representa a proporção de observações de um valor (ou de uma 
classe) em relação ao número total de observações, facilitando 
comparações.
Já a frequência absoluta acumulada (Fac), é a soma das 
frequências absolutas dos valores inferiores ou iguais ao valor 
dado, enquanto a frequência relativa acumulada (Frac), é a 
soma das frequências relativas dos valores inferiores ou iguais 
ao valor dado.
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ESTATÍSTICA
As frequências podem ser absolutas, 
relativas ou acumuladas.
Você conseguirá compreender melhor esses conceitos ao 
acompanhar o seguinte exemplo: temos uma amostra (n = 
18) referente à pontuação que os candidatos de um concurso 
atingiram na disciplina Matemática:
17, 14, 13, 12, 11, 08, 12, 15, 05, 20 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13.
Esses são os dados brutos, que precisaremos primeiro organizar 
em um rol de dados em ordem crescente, da seguinte forma:
05, 08, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 17, 18, 20.
Vamos encontrar as frequências absoluta e relativa das 
pontuações 10 e 11. Primeiro: qual é a frequência absoluta da 
pontuação 10? É 2, pois o número 10 aparece duas vezes na 
amostra. Já a frequência relativa é 0,11, valor que corresponde à 
razão 2/18. Observe: pegamos a frequência absoluta e dividimos 
pelo número de elementos da amostra, que é 18. 
Agora, você sabe qual a frequência absoluta da pontuação 11? 
É 3, pois o número 11 aparece três vezes na amostra. Pegamos, 
então, esse valor e dividimos por 18 para obter a frequência 
relativa, que é 0,17. 
Note que estamos exemplificando uma pequena amostra. Na 
prática, é comum trabalharmos com grandes bancos de dados, 
por isso, para descobrir as frequências, podemos usar os recursos 
tecnológicos estudados na unidade anterior.
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ESTATÍSTICA
Variáveis qualitativas e quantitativas
Segundo Triola (2008), a pesquisa é uma das muitas ferramentas 
que podemos usar para a coleta dos dados que compõem uma 
população ou amostra. Esses dados podem ser quantitativos ou 
qualitativos. Vamos nos aprofundar nesse tema?
Variáveis
Vamos relembrar o conceito de variável? Conforme Tiboni (2010), 
as variáveis são características que podem ser observadas ou 
medidas em cada elemento da população. Em outras palavras, é 
um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
Temos uma variável quando conseguimos observar pelo menos 
uma característica nos elementos de uma população, por 
exemplo: sexo (masculino ou feminino), número de filhos (0,1, 2, 
3,..., n), entre outras.
Você lembra que as variáveis podem ser classificadas em 
quantitativas e qualitativas? Vamos compreender melhor a 
seguir. 
Clique na figura para assistir ao vídeo
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ESTATÍSTICA
As variáveis são observações ou 
medidas de cada elemento da 
população e podem ser qualitativas ou 
quantitativas.
Variáveis quantitativas
As variáveis quantitativas são aquelas que podem ser medidas 
em uma escala quantitativa, ou seja, seus valores são expressos 
por números. Consegue citar alguns exemplos? Idade, salários, 
comprimentos, notas avaliativas, peso, níveis de colesterol, taxa 
de glicose etc.
Fonte: Elena Abrazhevich, Shutterstock, 2017.
Essas variáveis podem ser discretas ou contínuas. Conforme 
Tiboni (2010), as variáveis discretas assumem os valores de 
um conjunto enumerável, ou seja, apenas valores inteiros. Por 
exemplo: número de filhos, de carros em um estacionamento, de 
televisores em uma residência, entre outros.
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ESTATÍSTICA
Já as variáveis contínuas assumem infinitos valores numéricos 
entre dois limites. Triola (2008) explica que elas resultam 
de infinitos valores possíveis que correspondem a alguma 
escala contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, 
interrupções ou saltos. Por exemplo: peso, altura, volume, idade, 
áreas, perímetros, diâmetros etc.
Fonte: TaLaNoVa, Shutterstock, 2017.
As variáveis quantitativas podem ser 
contínuas ou discretas.
Variáveis qualitativas ou categóricas
Se as variáveis quantitativas expressam números, o que as 
variáveis qualitativas mostram? Segundo Tiboni (2010), as 
variáveis qualitativas, também conhecidas como categóricas, 
não possuem dados quantitativos, mas, sim, expressam uma 
qualidade ou atributo. São definidas por várias categorias ou, 
ainda, representam uma classificação do indivíduo. Assim, 
usamos esse tipo de variável para definir sexo, raça, cor da pele, 
estado civil, grau de instrução, cidade natal etc. 
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ESTATÍSTICA
Elas podem ser nominais e ordinais. Temos variáveis nominais 
quando não existe ordenação entre as categorias. É o caso do 
sexo, cor dos olhos, tipo sanguíneo ou a classificação das pessoas 
em doente/sadio e fumante/não fumante, por exemplo. 
Por sua vez, as variáveis ordinais pressupõem ordenação natural 
entre as categorias. Por exemplo: estágio de uma doença (1º, 2º 
e 3º graus), mês de observação (janeiro, fevereiro e assim por 
diante), classificação em concursos, altura classificada como 
baixa, média e alta e temperatura (fria, morna e quente).
As variáveis qualitativas podem ser 
nominais ou ordinais.
Conseguiu entender as diferenças entre os tipos de variável? Que 
tal exercitar sua compreensão por meio de alguns exemplos? 
Vamos lá!
Primeiro, classifique as variáveis a seguir em qualitativas, 
quantitativas discretas ou quantitativas contínuas.
A Diâmetro: quantitativa contínua.
B Salários: quantitativa contínua.
C Religião: qualitativa.
D Quantidade de pacientes em um hospital: quantitativa discreta.
E Cargos de uma empresa: qualitativa.
F Preço: quantitativa contínua.
G Nome de bairros: qualitativa.
H Velocidade: quantitativa discreta.
I Marcas de perfume: qualitativa.
J Consumo de energia elétrica: quantitativa contínua.
K Grau de instrução: qualitativa.
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ESTATÍSTICA
Agora, listamos cinco casos. Consegue dizer qual é a variável 
de cada um e qual seu tipo? Pense um pouco antes de ler as 
respostas!
A
Nível de satisfação dos clientes. 
Variável: nível de satisfação. Classificação: variável qualitativa ordinal.
B
Horário de partida dos aviões. 
Variável: horário. Classificação: variável quantitativa contínua.
C
Variação mensal do índice Bovespa. 
Variável: índice Bovespa. Classificação: variável quantitativa contínua.
D
Cor dos olhos dos funcionários de um banco. 
Variável: cor dos olhos. Classificação: variável qualitativa nominal.
E
Pessoas da terceira idade em uma fila de banco durante uma semana. 
Variável: pessoas da terceira idade. Classificação: variável quantitativa discreta.
Quantas você acertou? Vamos treinar mais um pouco? Suponha 
que o gerente de um supermercado pesquisou a preferência dos 
clientes na compra de frutas. Na amostra de 50 clientes, a fruta 
preferida foi a goiaba. Com base nesse contexto, especifique 
a população, o número de elementos da amostra e o tipo de 
variável.
Conseguiu achar a solução? Vamos à resposta. A população é 
o conjunto de todos os clientes do supermercado. O número de 
elementos da amostra é 50, e a variável é qualitativa nominal. 
Até agora, você estudou as variáveis e seus tipos e viu exemplos 
práticos. A seguir, você será apresentado a outras definições 
importantes para a estatística: dados brutos, rol de dados e os 
tipos de frequências.
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ESTATÍSTICA
Construção de tabelas, gráficos 
e séries estatísticas através dos 
recursos tecnológicos
Você já sabe a importância das tabelas e dos gráficos para 
sintetizar em um mesmo local os resultados sobre determinado 
assunto, certo? Também percebeu como a tecnologia pode nos 
auxiliar nessa tarefa. 
Fonte: tsyhun, Shutterstock, 2017. 
A partir de agora, você estudará comoelaborar tabelas e 
gráficos utilizando o Excel, verá as vantagens em usar planilhas 
eletrônicas e quais as formas mais adequadas de representação 
de cada tipo de série estatística. 
Construção de tabelas no Excel
Segundo Triola (2008), ao explorarmos um conjunto de dados 
por meio de uma representação gráfica, estamos procurando 
aspectos que revelem características úteis ou interessantes do 
conjunto de dados. Lembre-se de que é preciso saber interpretar 
os resultados, e os recursos tecnológicos, como o Excel, podem 
nos ajudar ao facilitar e automatizar alguns procedimentos.
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ESTATÍSTICA
O Excel oferece algumas maneiras de criar e apresentar os dados 
resumidos em uma tabela. Uma delas é digitar manualmente 
os valores que a compõem. A tabela a seguir, por exemplo, foi 
construída a partir de informações retiradas do site do Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Ano
Taxa de 
fecundidade
1940 6,16
1950 6,21
1960 6,28
1970 5,76
1980 4,35
1991 2,85
2000 2,38
Fonte: Baseado em INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2017. (Adaptado).
A tabela traz a taxa de fecundidade no Brasil de acordo com os 
censos demográficos realizados de 1940 a 2000 e foi digitada e 
formatada manualmente no Excel. 
Também podemos usar um recurso mais avançado, que são as 
tabelas dinâmicas. Com elas, é possível desenvolver tabelas de 
maneira praticamente automática de acordo com a base de 
dados. Também conseguimos inserir estatísticas descritivas 
apenas selecionando a opção desejada, como médias, máximo, 
contagem, desvio padrão entre outros.
No Excel, as tabelas dinâmicas 
possibilitam a rápida criação, 
visualização e até mesmo a atualização 
de tabelas estatísticas.
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ESTATÍSTICA
Construção de gráficos no Excel 
A partir dos dados incluídos em uma tabela do Excel, você pode 
gerar facilmente um gráfico. 
Fonte: Skovoroda, Shutterstock, 2017. 
Lembra-se da tabela da taxa de fecundidade no Brasil? A seguir, 
temos a representação gráfica das suas informações, em um 
gráfico de colunas gerado a partir do recurso inserir gráficos do 
Excel. 
As representações gráficas devem 
ser simples, ter clareza e expressar a 
verdade sobre o fenômeno estudado.
Ta
xa
 d
e 
fe
cu
nd
id
ad
e
7
6
5
4
3
2
1
0
1960 1970 1980 1991 2000
6,28 5,76 4,35 2,85 2,38Taxa defecundidade
Fonte: Baseado em INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2017. (Adaptado)
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ESTATÍSTICA
Você pode editar o visual do gráfico, alterando as cores das 
barras, linhas e fundos, editando textos de títulos e eixos, 
inserindo legendas etc. 
Além disso, de modo semelhante às tabelas dinâmicas, também 
é possível construir gráficos dinâmicos. Por meio deles, é 
possível demonstrar visualmente a análise de dados de uma 
planilha, com atualização dinâmica e opções de filtragem para 
avaliação de subconjuntos de dados. Podemos elaborar gráficos 
dinâmicos, por exemplo, durante uma apresentação em uma 
reunião, demonstrando aos espectadores uma visão completa 
dos resultados.
As séries estatísticas e os recursos tecnológicos
Na unidade anterior, você viu que uma série estatística é toda 
tabela que apresenta um conjunto de dados distribuídos em 
função de três elementos ou fatores: época, local e a espécie. 
Conforme a variação de um desses elementos, temos uma série 
temporal, geográfica ou específica.
Na série temporal, cronológica ou histórica, a evolução do 
tempo é predominante. Por exemplo: a expectativa de vida das 
mulheres brasileiras nos anos 1980 a 2002. Em outras palavras, 
apenas o tempo é variável.
Na série geográfica, territorial ou de localidade, o fator geográfico 
é o elemento variável. Por exemplo: a taxa de desemprego por 
região em outubro de 2016. Nesse exemplo, o que varia é o local. 
Na série específica ou categórica, os dados estão em 
correspondência com categorias ou espécies. É o caso da 
receita líquida das empresas de tecnologia no Brasil em 2016. 
Nesse caso, as empresas, que são as categorias ou espécies, é 
que variam. 
Podemos representar quase todos os tipos de séries por meio 
do gráfico de colunas. Já quando queremos representar séries 
temporais, o gráfico adequado é o de linhas. A figura a seguir 
ilustra os dois tipos de gráficos. 
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ESTATÍSTICA
Fonte: jijomathaidesigners, Shutterstock, 2017.
Os gráficos de linhas são utilizados 
para representar as séries temporais, 
principalmente quando abrangem um 
longo período.
Os recursos tecnológicos para análise de em banco de dados 
são essenciais, principalmente quando nossa população ou 
amostra são grandes. Diante disso, você obteve uma noção 
básica sobre ferramentas apropriadas para a exploração dos 
dados e construção de gráficos, com ênfase ao Excel, por ser 
muito conhecido e de fácil manuseio. 
Na próxima unidade, você estudará a distribuição de frequências 
de variáveis discretas. 
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ESTATÍSTICA
Ferramentas computacionais para a 
análise estatística
Ao longo das unidades anteriores, você conseguiu perceber 
como a estatística está presente em muitas áreas, não é mesmo? 
A informática também. Por isso, várias ferramentas tecnológicas 
têm sido desenvolvidas para utilização em diversos segmentos, 
seja por empresas públicas ou privadas e pelo público acadêmico. 
Tratam-se dos chamados softwares estatísticos, que auxiliam 
a análise estatística dos dados nas tomadas de decisão e nas 
pesquisas científicas. 
Fonte: jannoon028, Shutterstock, 2017.
A estatística e a tecnologia
Você já sabe que a estatística é uma ciência exata que nos 
fornece recursos para coletar, resumir, organizar, analisar e 
interpretar dados, correto? Agora, você verá como a tecnologia 
nos auxilia a interpretar e analisar informações por meio de 
tabelas e gráficos.
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ESTATÍSTICA
Segundo Lapponi (2005), a estatística é mais do que trabalhar 
com números porque, mesmo com toda a praticidade dos 
programas estatísticos, que fornecem resultados rápidos na 
organização dos dados e construção de gráficos, os analistas 
devem saber interpretar os resultados. 
Na prática, o que isso significa? Perceba que, mesmo com 
ferramentas cada vez mais práticas para a análise de dados 
estatísticos, devemos ser prudentes ao utilizá-las, não agindo de 
forma mecanizada, mas, sim, sabendo interpretar os resultados 
obtidos. Suponha uma pesquisa, com a amostra já coletada. A 
partir dela, já podemos realizar a análise exploratória dos dados, 
fazer gráficos e inferências, inclusive por meios tecnológicos. 
Imagine agora, que, nessa mesma amostra, existem dados 
discrepantes (os chamados outliers), que não são retirados do 
conjunto de dados na hora de fazer a análise. Assim, possivelmente 
teremos resultados que não condizem com a realidade e faremos 
conclusões erradas sobre o estudo em questão. 
Dessa forma, apesar de toda a facilidade que as ferramentas 
tecnológicas proporcionam, devemos sempre estar baseados na 
teoria para identificar possíveis incoerências.
Os recursos tecnológicos facilitam 
a coleta, organização, análise e 
interpretação de dados estatísticos.
A seguir, você conhecerá alguns softwares estatísticos.
Softwares estatísticos
Muitos softwares ou programas estatísticos são compostos por 
ferramentas criadas para pessoas que possuem conhecimento 
na área da estatística. 
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ESTATÍSTICA
Fonte: Scanrail1, Shutterstock, 2017.
Esses softwares funcionam em computadores comuns, porém 
são capazes de rodar também em computadores e servidores 
de alta performance, ampliando sua capacidade de manipulação 
de dados para milhões de registros de informações.
Triola (2008) cita os seguintes exemplos.
Statdisk: desempenha várias funções e testes estatísticos e 
pode gerar histogramas e diagramas de dispersão. Não é um 
software livre.
Minitab: possui um ambiente completo para a análise de dados, 
por exemplo, estatística descritiva,análise das séries temporais, 
correlação, regressão, controle estatístico de processo, 
planejamento de experimentos, análise de sobrevivência, entre 
outros. O Minitab possui boa parte dos principais métodos 
estatísticos em uma interface gráfica bem organizada e pode 
gerar todos os tipos de gráficos estudados na unidade 4. Não é 
um software livre.
Excel: é o software de planilha eletrônica mais conhecido e 
utilizado. Possui ferramentas que possibilitam muitas análises 
estatísticas, como cálculo de estatísticas descritivas, testes 
estatísticos, a juste de regressão linear, correlações, distribuições 
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ESTATÍSTICA
de probabilidade, entre outros. Pode gerar histogramas, 
polígonos de frequência, gráficos de colunas, linhas, setores ou 
pizza e diagramas de dispersão. Não é um software livre, mas seu 
valor é mais acessível se comparado a outros softwares pagos 
mencionados nesta Unidade. Além disso, temos o Libre Office, 
que traz uma planilha de cálculos similar e é livre.
Clique na figura para assistir ao vídeo
Outros softwares também amplamente conhecidos são listados 
a seguir. 
SPSS: um dos softwares mais utilizados na área acadêmica e por 
pesquisadores das ciências sociais, é bastante completo para a 
análise de dados. Não é um software livre.
BioEstat: utilizado nas diversas áreas de conhecimento por 
estudantes e pesquisadores, mas com maior frequência na área 
de ciências biológicas. É prático e de fácil manuseio, além de ter 
licença gratuita para utilização.
O avanço tecnológico de hardwares 
e softwares possibilita o constante 
crescimento das análises estatísticas 
em uma velocidade e volume de dados 
cada vez maior.
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ESTATÍSTICA
Você já utilizou ou ao menos ouviu falar em quais desses 
softwares? Exploraremos mais o Excel, por ser mais acessível e 
de fácil utilização. Vamos começar? 
Utilizando o Excel
Você já explorou ao menos um pouco o Excel? Que tal aprofundar 
um pouco seus conhecimentos?
Com um pouco de conhecimento e 
prática, o Excel é uma ferramenta 
extremamente útil para análises 
estatísticas e manipulação da 
base de dados.
Esse software dispõe de várias funções úteis para o manuseio 
e a análise de dados: planilhas, tabelas, gráficos e ferramentas 
estatísticas para análise exploratória dos dados. 
As planilhas são organizadas em linhas numeradas e colunas 
identificáveis por letras (A, B, C, D etc.). Cada um dos espaços 
é chamado de célula ou casela. Veja um exemplo na figura a 
seguir. Note as colunas A, B, C e D,... e as linhas numeradas em 
ordem crescente.
Fonte: Peter Sobolev, Shutterstock, 2017.
Nessas planilhas, inserimos os bancos de dados provenientes 
das pesquisas realizadas e, a partir deles, realizamos consultas, 
cálculos estatísticos, gráficos, entre outras atividades. 
A partir de agora, você aprenderá como utilizar esse software.
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ESTATÍSTICA
Análise descritiva de dados
A estatística descritiva nos possibilita organizar e descrever 
um conjunto de dados por meio de tabelas e gráficos, que você 
conhecerá ao longo desta aula. Vamos começar entendendo o 
que são as tabelas.
Tabelas estatísticas
Você sabe no que podemos utilizar as tabelas? Em artigos 
científicos, órgãos governamentais, empresas, jornais, entre 
outros, justamente por transmitirem informações rápidas aos 
leitores e possibilitarem comparações.
Segundo Triola (2008), quando trabalhamos com grandes 
conjuntos de dados, muitas vezes é útil organizar e resumi-los 
com a construção de uma tabela que liste os seus diferentes 
possíveis valores (individualmente ou em grupos), juntamente 
com suas frequências correspondentes (ou contagens). Para a 
sua construção, algumas regulamentações devem ser seguidas.
Fonte: karelnoppe, Shutterstock, 2017.
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ESTATÍSTICA
Segundo Tiboni (2010), a tabela é um conjunto de observações 
sobre um determinado assunto, organizadas e distribuídas num 
quadro que apresenta a seguinte estrutura: o título, que explica 
o que a tabela contém, o cabeçalho, que especifica o conteúdo 
de cada coluna, e o rodapé, que traz demais informações sobre 
a tabela e a fonte dos seus dados. Veja um exemplo a seguir.
Ano População Total
1980 119.002.706
1991 146.825.475
1996 157.070.163
2000 169.799.170
2010 190.755.799
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2017. (Adaptado). 
A tabela é um quadro que representa 
de forma sintética um conjunto de 
dados numéricos para facilitar seu 
entendimento e leitura.
Tipos de gráficos 
Conseguiu compreender o que é uma tabela? Mas ela não é a 
única forma de representação de dados numéricos. Conforme 
Magalhães e Lima (2015), muitas vezes, a informação contida 
nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada em gráficos.
De acordo com Tiboni (2010), os principais tipos de gráficos são 
os seguintes.
Gráfico de linhas: representa séries cronológicas de um período 
grande, por exemplo, comparativos de temperaturas, série 
histórica do número de habitantes de determinado local ao 
longo de vários anos e consumo de energia elétrica.
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ESTATÍSTICA
Gráfico de colunas ou barras: faz correspondências entre 
elementos de uma série estatística e a figura geométrica de um 
retângulo, que pode ser vertical (colunas) ou horizontal (barras). 
Usado para representar a taxa de fecundidade de uma mulher 
(número médio de filhos), a população de um local em vários 
anos etc.
Gráfico de setores ou pizza: é representado por um círculo 
dividido em setores para comparar o valor de cada setor com 
o total. Usado, por exemplo, para ilustrar escolaridade, sexo, 
receita municipal, produção pecuária, entre outros. 
Fonte: RomanR, Shutterstock, 2017. (Adaptado).
Histograma: ilustra uma distribuição de frequência por meio de 
retângulos justapostos, cada um relacionado a uma classe da 
distribuição de frequências. Como exemplos, estão a distribuição 
do número de filhos por famílias e a espessura de peças 
produzidas por uma empresa em um determinado mês.
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ESTATÍSTICA
30
25
20
15
10
5
0
Fr
eq
uê
nc
ia
Polígono de frequências: gráfico de configuração linear obtido 
quando calculamos o ponto médio de cada intervalo de classe 
e o marcamos na parte superior do retângulo do histograma. Ao 
unirmos todos os pontos médios, obtemos a linha do polígono 
de frequências. Um exemplo é o polígono de frequência da 
distribuição do número de filhos por famílias.
30
25
20
15
10
5
0
Fr
eq
uê
nc
ia
Ogiva: gráfico que representa a frequência acumulada, útil para 
determinar valores que estão abaixo de outro, por exemplo, o 
polígono de frequência acumulada da distribuição do número de 
filhos por famílias.
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ESTATÍSTICA
120
100
80
60
40
20
0
Fr
eq
uê
nc
ia
 a
cu
m
ul
ad
a
Diagrama de dispersão: é representado pelos eixos cartesianos 
x e y, cada um correspondendo às variáveis que poderão estar 
correlacionadas no estudo. No eixo vertical, temos y, a variável 
dependente, e no das abcissas, x, a variável independente. Você 
verá o assunto com mais profundidade em outras aulas.
Clique na figura para assistir ao vídeo
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ESTATÍSTICA
Va
riá
ve
l D
ep
en
de
nt
e
Variável Independente
Os gráficos estatísticos são 
representações visuais que possibilitam 
uma análise mais rápida dos dados 
estatísticos.
Tipos de séries e séries estatísticas do IBGE
Você já ouviu falar em séries estatísticas? Elas são muito 
úteis para representar dados como a expectativa de vida das 
mulheres e as taxas de desemprego, de alfabetização, de juros, 
entre muitos outros exemplos. Mas o que são?
A distribuição de um conjunto de dados 
em função da época, espécie e local é 
chamada série estatística.
De acordo com Tiboni (2010), as séries estatísticas são 
tabelas representadas por um conjunto de dados estatísticos, 
classificadas nos tipos a seguir.
License-516599-28480-0-7
ESTATÍSTICATemporal: também chamada de cronológica, histórica ou evolutiva, é a série na qual os dados 
são observados segundo a época de ocorrência. Por exemplo, o consumo de energia elétrica 
durante o ano em determinada cidade de 1970 a 2010.
Geográfica: também chamada de espacial, territorial ou de localização, é a série na qual os 
dados são observados segundo a localidade da ocorrência. Um exemplo é o número de empresas 
fiscalizadas em determinado ano por estado.
Específica: também chamada de categórica, é a série na qual os dados são observados segundo 
a modalidade de ocorrência, como ao mostrar o número de matrículas no Ensino Superior 
realizadas por área de ensino em 2016.
Distribuição de frequências: é a série estatística na qual os dados são agrupados com suas 
respectivas frequências absolutas. Alguns exemplos são: o número de acidentes por dia na Rua 
X em julho de 2017 e a altura dos alunos da classe escolar x em março de 2017.
Quando ordenadas em um determinado intervalo, as informações 
constituem as séries estatísticas históricas, que nos permitem 
verificar mudanças em indicadores como saúde, educação, 
habitação, trabalho, demografia e economia e aprimorar a 
metodologia para coleta dos dados. 
Você sabe onde visualizar algumas séries estatísticas? Uma 
fonte importante é o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE). O IBGE tem como principal objetivo divulgar 
para os diversos públicos, como a área acadêmica, órgãos 
governamentais e setores privados, informações provenientes 
de suas pesquisas, demonstrando a realidade socioeconômica 
e demográfica do país, úteis como ferramentas para tomada de 
decisões e para agregar conhecimentos. 
O gráfico a seguir mostra um exemplo de série histórica com 
dados do IBGE. Nela, verificamos o comportamento da taxa de 
analfabetismo de pessoas com 10 anos ou mais de 1992 a 2011 no 
Brasil.
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ESTATÍSTICA
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1992 1995 1998 1999 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2009 2009 2011
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2011. (Adaptado).
Você chegou ao final desta aula, que o ajudou a reconhecer 
a importância das tabelas, gráficos e séries estatísticas. 
Posteriormente, você verá os recursos tecnológicos que podem 
ser aproveitados para a análise estatística em sua construção. 
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ESTATÍSTICA
Conceitos gerais da experimentação 
e tipos de amostragem
Dependendo das questões que pesquisaremos e do público 
disponível e acessível para uma pesquisa, uma série de 
considerações devem ser feitas para decidir qual método de 
amostragem usar. Vamos investigar esse assunto!
Conceitos gerais da experimentação
Como definir quais elementos da população vão compor uma 
amostra? Bolfarine e Bussab (2005) alertam que precisamos 
pesquisar, planejar, executar, corrigir e analisar de forma 
adequada o procedimento proposto e usado de coleta de dados. 
A forma de planejar um experimento não é fechada como uma 
receita de bolo, pois depende dos objetivos de pesquisa e dos 
resultados que pretendemos obter com ela, do conhecimento 
acerca da população etc.
Vamos voltar aos tipos de estudos abordados na unidade 
anterior para explorá-los um pouco mais e observar suas formas 
de condução.
Os conhecimentos que você obteve em 
unidades anteriores sobre classificação 
de variáveis e tipos de estudos vão 
ajudá-lo a delinear seus experimentos 
de forma mais clara.
Critérios para determinação de experimento
Você se lembra dos conceitos de estudos observacionais e 
experimentais? O que os difere é que, nos experimentais, há 
interferência no sujeito objeto do estudo, diferentemente dos 
observacionais. 
Vamos aprofundar um pouco esse tema. Dentro dos estudos 
experimentais, há algumas variações, de acordo com os 
seguintes critérios apresentados por Triola (2008): controle de 
efeito, réplica e aleatorização.
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ESTATÍSTICA
O controle de efeito se refere às formas de contornar possíveis 
efeitos que não são necessariamente provocados pela variável 
de estudo. Para contorná-los, Triola (2008) sugere os seguintes 
experimentos: cegos, nos quais o sujeito submetido ao estudo não 
sabe se está recebendo um tratamento ou placebo (tratamento 
sem efeito), e em blocos, em que grupos de participantes são 
submetidos a diferentes tratamentos.
Em experimentos com unidades de experimento vivas, como 
testes com vacinas e medicamentos em humanos, a pesquisa 
pode contar aplicadores, isto é, pessoas designadas apenas para 
administração dos tratamentos que compõem o experimento. 
Quando esses aplicadores não são os próprios pesquisadores, 
é possível executar o experimento duplo-cego, uma vez que 
o pesquisador tem a informação de qual tratamento será 
administrado, mas não a repassa nem aos aplicadores nem aos 
sujeitos do estudo. Porém, quando o tratamento é aplicado ao 
sujeito pelo próprio pesquisador, esse recurso do duplo cego 
fica inviável.
Quando tanto o sujeito da pesquisa 
quanto o aplicador não sabem qual é 
o tratamento usado, temos um estudo 
duplo-cego. 
Triola (2008) cita como exemplo o estudo de eficácia da vacina 
Salk, contra a poliomielite. Segundo Campos, Nascimento e 
Maranhão (2003), ela era produzida a partir do vírus morto e 
começou a ser utilizada no Brasil a partir de 1955. A partir da 
década de 1960, foi substituída pela vacina Sabin. Como você 
lidaria com os possíveis efeitos em um experimento similar? 
Existem várias formas, como mostra o diagrama a seguir.
• Somente os pacientes não sabem se estão recebendo tratamento ou placebo.
Experimento cego
Experimento duplo-cego
• Nem os médicos que aplicam as vacinas nem os pacientes sabem se a aplicação da
 vacina é um placebo ou um tratamento.
Experimento em blocos
• Mais tratamentos podem ser testados ao mesmo tempo, possibilitando verificar
 melhores formulações ou marcas.
Fonte: Baseado em Triola (2008).
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ESTATÍSTICA
Compreendeu o controle de efeito? A próxima questão abordada 
por Triola (2008) é a réplica, que se refere à repetição de grupos 
de elementos no experimento para aumentar o tamanho amostral 
e para que os resultados possam ser confirmados ou verificados. 
Imagine um trecho de terra, dividido em vários quadrantes. 
Nele, um pretendemos testar diferentes tipos de adubos. Para 
ter certeza de que os resultados obtidos não vêm de uma porção 
de terra muito irrigada do quadrante ou que tenha sido exposta 
a mais sol que as demais, podemos cultivar várias mudinhas em 
um mesmo quadrante, apenas variando o local do plantio. Assim, 
colocamos algumas plantas mais na borda, outras no centro do 
quadrante. Cada uma dessas mudas de um quadrante específico 
é uma réplica do mesmo tratamento.
Por fim, a aleatorização diz respeito à forma como os dados 
são coletados, para que não haja viés na coleta. Segundo Triola 
(2008), a amostra aleatória é aquela em que os elementos são 
selecionados da população, com a mesma probabilidade. Vamos 
supor um caso clássico: o sorteio de bolas numeradas em uma 
urna. Para um sorteio justo, todas as bolas devem ter condições 
iguais de serem sorteadas: mesmo peso, formato e volume. 
Dessa forma, se tivermos seis bolas nessa urna, numeradas de 
1 a 6, a chance de sortear qualquer uma necessariamente é 
de 1/6 ou cerca de 0,167. Entretanto, em certas situações, por 
exemplo, pesquisas com doenças raras, a aleatorização e a 
réplica ficam inviáveis.
Tipos de amostras
Bolfarine e Bussab (2005) citam dois tipos de amostras: as não 
probabilísticas e as probabilísticas. Você consegue imaginar as 
diferenças entre elas? 
Conforme Triola (2008), as não probabilísticas são aquelas 
que proporcionam fácil acesso aos dados, sem qualquer outra 
preocupação. Já as probabilísticas são aquelas em que cada 
sujeito tem chance conhecida (mas não necessariamente 
igual) de ser selecionado. Além disso, esse tipo de amostra nos 
possibilita tirar conclusões acerca da população, desde queseja 
executada com todo rigor necessário. 
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ESTATÍSTICA
Bolfarine e Bussab (2005) dividem em dois tipos as amostras 
não probabilísticas. O primeiro é a amostra criteriosa, quando 
utilizamos algum critério de seleção, mas que não chega a tornar 
a pesquisa probabilística. Um exemplo é a seleção de alunos da 
3ª série do Ensino Médio para participar de uma pesquisa sobre 
a qualidade da escola. Podemos selecionar apenas aqueles com 
75% de presença e que, portanto, usufruem mais dos espaços e 
serviços da escola do que os demais. Ainda assim, essa amostra 
não seria coletada de forma aleatória, por isso, não é considerada 
probabilística. 
O segundo é a amostra intencional, quando a seleção dos 
participantes é feita pela identificação ao gosto do pesquisador, 
muito mais que a criteriosa. Podemos citar como exemplo a 
seleção dos maiores especialistas em determinada doença para 
a validação de um instrumento de pesquisa. 
Quanto às amostras probabilísticas, podemos dividi-las em 
quatro tipos, conforme o quadro a seguir. 
Amostra Descrição
Aleatória simples Uma amostra de n sujeitos é coletada aleatoriamente.
Sistemática
Escolhe-se um ponto inicial e, a seguir, é selecionado cada k-ésimo 
elemento da população.
Estratificada
A amostra tem estratos condizentes com os populacionais, por exemplo, 
gênero e faixa etária.
Por conglomerado
A população é dividida em seções e, após o sorteio de n seções, todos os 
sujeitos das seções serão pesquisados.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em Triola (2008).
Quer entender melhor? Observe as figuras a seguir, que 
representam as ideias das amostras probabilísticas.
Fonte: Ajay Kumar Singh, Shutterstock, 2017. Fonte: flydragon, Shutterstock, 2017. (Adaptado). Fonte: ESB Professional, Shutterstock. (Adaptado).
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ESTATÍSTICA
Na urna, idealmente cada objeto possui a mesma chance de ser 
sorteado, representado a amostragem aleatória simples. Já as 
fichas representadas na segunda imagem podem, por exemplo, 
representar a lista de moradores dos bairros de uma cidade, da 
qual escolhemos alguns dos bairros para fazer uma pesquisa 
representando uma amostragem por conglomerado. Além disso, 
assumindo que a lista seja de elementos de uma população, a 
seleção do k-ésimo elemento a partir de um ponto de partida é 
também a representação de amostragem sistemática. Por fim, o 
exemplo ilustrado na terceira figura representa uma amostragem 
estratificada a ser executada a fim de mensurarmos, por exemplo, 
a opinião de funcionários sobre o plano de saúde oferecido como 
benefício de uma determinada empresa, mantendo a mesma 
proporção de homens e mulheres.
Independentemente do tipo de amostragem probabilística com 
a qual trabalhamos, Triola (2008) aponta um conceito muito 
importante: o erro amostral, que é a diferença entre o resultado 
amostral e o verdadeiro resultado populacional.
As diferenças que encontraremos entre os resultados gerados 
a partir do experimento com amostras são erro amostral, já 
equívocos no planejamento e na execução do experimento, 
na manipulação da base de dados e qualquer outra situação 
causada pelo pesquisador causam erro não amostral.
Erros não amostrais são originados 
quando uma ou mais das etapas 
de pesquisa são feitas de forma 
inadequada.
Chegamos ao fim de mais uma unidade! Caso tenha ficado 
curioso sobre os tipos de amostragem, não deixe de conferir a 
bibliografia da disciplina. Até a próxima! 
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ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
Classificações, fontes de dados e 
tipos de coletas
Você já conhece o conceito de amostra, certo? Vamos expandi-lo 
um pouco. Independente da forma como ela é coletada, precisa 
representar bem a diversidade encontrada na população. Vamos 
investigar mais as características atreladas aos conceitos de 
população e amostra?
Classificações
Inicialmente, vamos recapitular os conceitos de população e 
amostra apresentados na primeira unidade. De acordo com Triola 
(2008), população é o nome dado à coleção completa de todos 
os elementos a serem estudados, e amostra é um subconjunto 
de elementos da população. 
O autor apresenta dois outros conceitos importantes para o 
trabalho com dados: parâmetro e estatística. O termo parâmetro é 
empregado à medida numérica que descreve uma característica 
populacional, ao passo que estatística é o termo usado para a 
medida que descreve uma característica amostral.
Esses termos serão utilizados ao longo 
das unidades e ajudam a identificar a 
origem do conjunto de dados.
As características que um parâmetro ou estatística descrevem 
podem ser, por exemplo, a média, o desvio padrão ou a variância, 
conceitos que serão trabalhados com mais profundidade em 
unidades posteriores. 
Agora, vamos contextualizar os conceitos em um caso prático 
hipotético para que você os compreenda melhor. Primeiro, 
observe a figura a seguir. 
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ESTATÍSTICA
Fonte: egd, shutterstock, 2017.
Suponha que um pesquisador verificou que, em um trecho de 
rodovia, transitaram entre as 16 e 20 horas uma média de 3000 
carros durante todo o ano de 2015. Em 2016, ele quis verificar 
a média de carros no mesmo local e horários, porém, somente 
para o mês de dezembro. Durante a pesquisa, verificou que a 
média dessa amostra de tempo era de 2237 carros.
Considerando esse caso, qual dado é o parâmetro e qual é a 
estatística? A média verificada em 2015 é um parâmetro, pois se 
trata de toda a informação populacional. Já a média verificada 
em 2016 é uma estatística, pois é uma parte da informação 
coletada em apenas uma parte do período, isto é, uma amostra.
Fontes de dados
Coletar uma amostra exige certos cuidados para não tomarmos 
decisões equivocadas. Quer entender o porquê? Vamos considerar 
dois exemplos para identificar a ideia de representatividade 
populacional na amostra. Bolfarine e Bussab (2005) citam um 
exemplo simples do cotidiano: uma sopa.
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ESTATÍSTICA
Fonte: Liv friis-larsen, Shutterstock, 2017.
Quando cozinhamos uma sopa e desejamos testar seu tempero 
ou temperatura, não precisamos tomar tudo, basta uma 
colher. Além disso, devemos mexer a sopa antes de prová-la, 
ou poderemos tirar conclusões equivocadas. Como? Veja: se 
pegarmos uma colher da borda do prato, onde a sopa está mais 
fria, podemos julgar que toda ela está em uma temperatura 
agradável, entretanto, no centro, está quente demais para ser 
consumida.
Agora, considere outro exemplo. Uma operadora de TV por 
assinatura quer realizar uma pesquisa de opinião sobre a 
qualidade do serviço. É provável que, mesmo tendo muitos 
recursos, seja inviável contatar todos os seus clientes. Inúmeras 
razões podem levar a essa falta de informação, como a 
dificuldade de encontrar os clientes no horário comercial, a 
disponibilidade deles e até mesmo seu interesse em responder a 
pesquisa. Assim, é mais adequado trabalhar com uma amostra.
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ESTATÍSTICA
O processo de trabalhar com a coleta 
de dados amostrais é denominado 
amostragem.
Após optar pela amostragem, a empresa deve decidir qual 
é o método mais adequado à pesquisa e à natureza da 
população. Trataremos dos métodos de amostragem em 
unidades posteriores, mas já é importante citar algumas 
possíveis características da população que podem influenciar 
os resultados da pesquisa por amostragem. Para tanto, veja a 
figura a seguir.
Fonte: Ollyy, Shutterstock, 2017.
Você consegue identificar 25 pessoas de diferentes etnias, gêneros, 
idades, cortes de cabelo, que utilizam ou não óculos, com e sem 
cabelos longos etc. Que outras características você consegue 
identificar? Considerando que há uma diversidade de variáveis, 
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ESTATÍSTICA
imagine o que pode acontecer ao não considerá-las na pesquisa. 
Vamos exercitar melhor essas considerações em unidades 
posteriores, quando vamos tratar dos tipos de amostragem.
Diante disso, podemos afirmarque as coletas de dados assumem 
critérios que as tornam tendenciosas ou não tendenciosas. 
Perceba que uma amostra tendenciosa não representa a 
população a qual pertence e, por essa razão, é considerada uma 
amostra ruim (TRIOLA, 2008). 
Ainda de acordo com Triola (2008), há duas fontes distintas de 
dados: estudos observacionais, quando coletamos informações, 
mas não interferimos no sujeito do estudo, ou estudos 
experimentais, quando aplicamos tratamentos e observamos 
seus efeitos no sujeito de estudo. Na próxima unidade, 
aprofundaremos esses conceitos. 
Clique na figura para assistir ao vídeo
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ESTATÍSTICA
Tipos de coleta de dados
Os dados podem ser coletados de diferentes formas e com 
propósitos variados. Bolfarine e Bussab (2005) destacam a 
importância do instrumento de coleta de dados utilizado, bem 
como a forma como o aplicador se comunica na abordagem 
da pesquisa. Por exemplo, um questionário aplicado por meio 
de uma entrevista oral é uma forma de coleta de dados com 
comunicação verbal, e a entrevista é o seu instrumento.
Telefone E-mail Coleta em campo
Fonte: Tachjang; studiostock; Sergey Nivens, Shutterstock.com
Você pode utilizar um instrumento de 
outro pesquisador, quando atender às 
suas necessidades de sua pesquisa, ou 
criar um próprio.
Além da aplicação de questionários, é possível utilizar acesso 
a bases de dados de instituições, registros como prontuários, 
entre outros. São inúmeras as formas de coletas de dados, e a 
mais adequada ao seu estudo depende do tipo de pesquisa e 
da forma com que o estudo é delineado. Na próxima unidade, 
você aprofundará seus conhecimentos sobre planejamento 
experimental e técnicas de amostragem e verá a importância 
de conduzir de forma correta seus experimentos. 
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ESTATÍSTICA
Histórico, evolução, aplicabilidade 
e definições básicas da estatística: 
população, amostra e variáveis
Não se sabe ao certo desde quando os conhecimentos e 
conceitos estatísticos são aplicados. A única certeza é de que 
o pensamento estatístico é bem antigo. Vamos ver como ele 
surgiu e evoluiu ao longo da história?
Histórico, evolução, aplicabilidade
Há registros do uso de levantamento de dados com mais de 
2.000 anos na China. Você deve imaginar, entretanto, que essa 
atividade mudou bastante ao longo do tempo. A estatística como 
conhecemos hoje é fruto de anos de dedicação de inúmeros 
pesquisadores e profissionais de diferentes áreas. Uma delas 
é Florence Nightingale, que, no século XIX, através de estudos 
estatísticos, descobriu que a alta mortalidade dos soldados 
era causada por más condições de saneamento (CONSELHO 
FEDERAL DE ENFERMAGEM, 2012). 
Em uma pesquisa na internet, você 
pode encontrar muitos outros 
profissionais que contribuíram para a 
evolução da estatística.
A partir da década de 1980, a estatística avançou rapidamente. 
Segundo Triola (2008), com os computadores, a estatística 
se tornou acessível e ágil. E no que podemos usá-la? Sua 
aplicabilidade é ilimitada: educação, saúde, jogos etc., pois todo 
dado coletável pode ser tratado estatisticamente.
Definições básicas da estatística: 
população e amostra
Para Magalhães e Lima (2015), estatística é um conjunto de 
técnicas que permite organizar, descrever, analisar e interpretar 
dados e é agrupada em três áreas: estatística descritiva, 
probabilidade e estatística inferencial. Cada uma será estudada 
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ESTATÍSTICA
mais profundamente em unidades posteriores. O que você deve 
saber agora é que só é possível fazer estudos estatísticos se 
conhecer bem dois conceitos: população e amostra.
De acordo com Triola (2008), população é a coleção completa 
de dados que desejamos entender. Dela, parte a amostra, que é 
um subconjunto de elementos populacionais. Dê uma olhada na 
imagem a seguir.
Fonte: Shutterstock, 2017.
Perceba que o conjunto de todas as peças do quebra-cabeça 
forma a população, e a peça destacada em vermelho é uma 
possível amostra dela.
Fique atento às diferenças entre 
população e amostra, pois nas 
próximas unidades você estudará os 
cálculos para cada situação.
Você já ouviu falar em censo, correto? Ele só pode ser feito 
quando temos acesso a todos os dados da característica de 
interesse. Assim, não há necessidade de extrapolar os dados, 
basta quantificar e apresentá-los. Quando o censo não é possível, 
seja por qualquer razão (tempo, acesso etc.), utilizamos a técnica 
de coleta de amostras, denominada amostragem, selecionando 
sob certos critérios alguns elementos da população para coleta 
de dados.
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ESTATÍSTICA
Definições básicas da estatística: variáveis
Na estatística, tratamos dados como variáveis.
Variáveis
ContínuasDiscretasOrdinaisNominais
Qualitativas Quantitativas
Fonte: TRIOLA, 2008 (Adaptado). 
Para classificar as variáveis, o primeiro passo é descobrir se são 
numéricas ou não. Caso não sejam numéricas, são classificadas 
como qualitativas e retratam qualidades das variáveis. Veja a 
foto a seguir. Quais tipos de variáveis você conseguiria detectar?
Fonte: Shutterstock, 2017.
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ESTATÍSTICA
Agora, volte ao diagrama e note que essas variáveis ainda podem 
ser classificadas em mais dois tipos: as ordinais e nominais, cuja 
ordem influencia ou não, respectivamente, o tratamento das 
informações. Tome como exemplo de variável qualitativa ordinal 
a posição em uma fila (1º, 2º e assim por diante) e de variável 
qualitativa nominal a cor de cabelo (loiro, castanho etc.).
E as variáveis numéricas? Estas são chamadas de quantitativas, 
já que expressam quantidades, e também podem ser de dois 
tipos: discretas e contínuas. As discretas são aquelas cuja medida 
é finita ou enumerável, normalmente valores inteiros, oriundos 
de contagens. Uma forma fácil de identificar sua natureza é 
verificar se é possível agrupar dados iguais. Por exemplo, as 
idades em anos e o peso em quilos.
Quando as variáveis assumem valores nos números reais, 
tidas como infinitas ou não enumeráveis, são classificadas de 
quantitativas contínuas. Segundo Triola (2008), elas resultam 
de infinitos valores possíveis que correspondem a alguma 
escala continua que cobre um intervalo de valores sem vazios, 
interrupções ou saltos. 
Fonte: Shutterstock, 2017. 
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ESTATÍSTICA
O peso pode assumir infinitos valores em um certo intervalo. 
Considere uma balança de alta precisão, onde uma pessoa 
pesa 98,5347 kg. Perceba que dificilmente outra pessoa terá 
exatamente o mesmo peso, com essa precisão.
Percebeu que uma mesma variável pode ser discreta ou contínua? 
Isso depende da sua forma de apresentação. Por exemplo, a 
idade apresentada em anos é classificada como quantitativa 
discreta, mas, se forem considerados os dias, podem surgir 
valores como 32,4 ou 25,7, tornando-a quantitativa contínua. É o 
mesmo que ocorre com o peso: considerando apenas os quilos, é 
uma variável discreta, mas, ao contar também os gramas, torna-
se contínua.
Para interpretar resultados obtidos de 
análises, a natureza da variável deve 
sempre ser considerada.
Na próxima unidade, você aprofundará seus conhecimentos 
sobre acesso e coleta de dados, considerando fontes disponíveis 
e confiáveis e a forma correta de coletar amostras.