Aula 2 - Dupla projeção ortogonal

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Curso: Graduação em Engenharia Civil - UNIFACEX
Fabrício Lira Barbosa
Dupla projeção ortogonal e 
convenções de sinais
http://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=Ba4dFoleAE2QqM&tbnid=49Bsc12vyg0ZAM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=https://twitter.com/unifacexbr&ei=9r60Uf38ObCO0QGNpoBI&psig=AFQjCNFNTCUVNDZTBMvK22qaIqlkmp1vkw&ust=1370886262978608
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Sobre as projeções
 Centro projetivo
 Raios projetantes
 Figuras objetivas
 Figuras projetadas
Cônica Cilíndrica 
obliqua
Cilíndrica 
Ortogonal
Centro de projeção
Próprio ou impróprio
• Também conhecidas como projeções centrais ou
perspectivas, tem como principal característica raios
projetantes divergentes que partem de um centro próprio.
• As projeções cônicas são aplicadas em:
• Sombras (em um ou mais planos)
• Perspectivas com um, dois ou três pontos de fuga
Projeções
Sistemas projetivos
• Também conhecidas como projeções paralelas, a principal
característica deste tipo de projeção é que seus raios
projetantes são paralelos entre si e o centro de projeção é
impróprio, ou seja, encontra-se no infinito.
• Originam os diversos sistemas de representação utilizados pelo
desenho técnico.
• Classificam-se em ortogonais ou oblíquas, em relação ao
ângulo formado pelos raios projetantes e o plano de projeção.
Sistemas projetivos
• Projeção Cilíndrica Ortogonal – os raios projetantes são
paralelos e ortogonais em relação ao plano de projeção,
originando os seguintes sistemas:
Sistema Mongeano - Projeções ortogonais
Sistemas projetivos
• Projeção Cilíndrica Ortogonal – os raios projetantes são
paralelos e ortogonais em relação ao plano de projeção,
originando os seguintes sistemas:
Sistema Axonométrico – Projeções isométricas, dimétricas,
trimétricas
Sistemas projetivos
• Projeção Cilíndrica Oblíqua – os raios projetantes são
paralelos e oblíquos em relação ao plano de projeção, ou seja,
formam ângulos diferentes de 90º como plano. Este tipo de
projeção origina o sistema ortoblíquo, representado através
da perspectiva cavaleira.
Sistemas projetivos
1. No Sistema de Projeções Cônicas, as dimensões da projeção
não correspondem às dimensões reais do objeto. Ou seja, o
objeto não é representado em VG.
2. No Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, o objeto é
representado em VG, mas como o ângulo das projetantes
com o plano de projeção pode assumir qualquer valor, a
projeção pode se localizar em muitas posições diferentes.
3. No Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, o objeto
também é representado em VG e, além disso, há somente
uma posição em que a projeção pode se localizar, uma vez
que as projetantes só podem assumir uma direção. Por esse
motivo, o sistema mais utilizado em Geometria Descritiva e em
Desenho Técnico é o Sistema de Projeções Cilíndricas
Ortogonais.
Sistemas projetivos
1. Sistema de Projeções Cônicas.
2. Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas
3. Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais
Sistema mongeano
A projeção ortogonal de um objeto em um único plano não é
suficiente para a determinação da forma e da posição deste objeto
no espaço.
Sistemas mongeano
A projeção ortogonal de um objeto em um único plano não é
suficiente para a determinação da forma e da posição deste objeto
no espaço.
Sistema mongeano
Gaspard Monge solucionou este problema com a criação
de um sistema duplo de projeção que leva seu nome: Projeções
Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção.
Através da aplicação dos conceitos básicos de Projeções
Mongeanas , qualquer objeto, seja qual for sua forma, posição ou
dimensão, pode ser representado no plano bidimensional, por
suas projeções cilíndricas ortogonais .
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla
projeção cilíndrico-ortogonal, onde 2 planos , um horizontal e
um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função
de suas posições, perpendiculares entre si.
A intersecção desses planos determina uma linha
chamada Linha de Terra (LT). Esses planos determinam no
espaço 4 diedros numerados no sentido anti-horário.
Monge imaginou dois planos que se interceptam
perpendicularmente dividindo o espaço em quatro diedros,
numerados de forma anti-horária (no sentido trigonométrico).
Nestes planos os objetos estudados são projetados
ortogonalmente e então, o sistema é planificado.
1º Diedro
2º Diedro
3º Diedro
4º Diedro
Assim, tem-se a épura, a qual é o
sistema de representação criado por
Monge, obtida através do
rebatimento do plano horizontal de
projeção sobre o plano frontal de
projeção. A épura apresenta
diferentes projeções de um mesmo
objeto, portanto, a épura é a
planificação do sistema X,Y,Z.
Diedro Abcissa Afastamento Cota
I -/+ ..... +....... +
II -/+ ..... -....... +
III -/+ ..... -....... -
IV -/+ ..... +...... -
Observações:
Abcissa: Seta à esquerda indica abcissa negativa, à direita indica
abcissa positiva;
Afastamento: Seta apontando pra baixo indica afastamento
positiva, seta pra cima indica afastamento negativa;
Cota: Seta apontando pra cima indica cota positiva, seta pra baixo
indica cota negativa.
POSIÇÕES DO PONTO
Posição Afastamento Cota
1º Diedro + +
2º Diedro - +
3º Diedro - -
4º Diedro + -
PH anterior + Nula
PH posterior - Nula
PV Superior Nulo +
PV Inferior Nulo -
Ponto da LT nulo nula
São positivas as cotas dos pontos localizados acima do plano vertical de 
projeção e negativas as cotas dos pontos localizados abaixo;
São positivos os afastamentos dos pontos anteriores ao plano vertical de 
projeção e negativos os afastamentos dos pontos posteriores.
1º
Diedro
2º
Diedro
3º
Diedro 4º
Diedro
Coordenadas descritivas do ponto
O conhecimento da cota e do afastamento de um ponto
determinam com precisão as distâncias do ponto aos planos de
projeção (¶) e (¶’).
Se, numa mesma épura, for necessário representar as
projeções de vários pontos ou de pontos distintos que tenham
afastamentos e/ou cotas iguais e de mesmo sinal, torna-se
importante conhecer a posição relativa entre eles no espaço.
A posição de cada ponto fica facilmente determinada pela
distância da linha de chamada de cada um dos pontos a um
ponto fixo da linha de terra.
Abcissa
Coordenadas descritivas do ponto
d (Oo, Ao) = abcissa de A
d (Oo, Bo) = abcissa de B
d (Oo, Co) = abcissa de C
d (Oo, Do) = abcissa de D
Coordenadas descritivas do ponto
Abcissa, afastamento e cota.
As medidas positivas de 
cotas (y’) serão sempre 
marcadas acima da linha 
de terra
Coordenadas descritivas do ponto
P (x, y, z)
x : Abcissa de P = d (Oo, Po)
y : Afastamento de P = d (Po, P)
Z: cota de P = d (Po, P’)
Projeções do ponto
1º diedro
P (x, y, z)
x : Abcissa de P = d (Oo, Po)
y : Afastamento de P = d (Po, P)
Z: cota de P = d (Po, P’)
Projeções do ponto
2º diedro
P (x, y, z)
x : Abcissa de P = d (Oo, Po)
y : Afastamento de P = d (Po, P)
Z: cota de P = d (Po, P’)
Projeções do ponto
3º diedro
P (x, y, z)
x : Abcissa de P = d (Oo, Po)
y : Afastamento de P = d (Po, P)
Z: cota de P = d (Po, P’)
Projeções do ponto
4º diedro
Exercícios
01) Utilizando uma mesma linha de terra, construa as projeções dos
seguintes pontos:
(A):[2; 3;5], (B):[6; ‐2; 3,5], (C):[9; 3; ‐3], (D):[12; ‐4; ‐2], (E):[16; 0; 4] e
(F):[19; 0; 0]
02) Construir a épura dos pontos abaixo considerando abcissa,
afastamento e cota as coordenadas (x, y, z)
A (3, 4, z=Y)
B (6, y=z, 6)
C (8, 4, z=-y)
D (12, 6, -z=y)
E (14, 8, z=y-2)
F (16, 0, 4)
Exercícios
04) Construir as projeções do triângulo (ABC), sabendo‐se que: (A):[4; 2; 4],
(B):[7; 5; 1,5] e (C):[1; 3; 4,5]
05) Construir as projeções do triângulo (ABC), localizado no 2º diedro,
utilizando os módulos das coordenadas descritivas do exercício 04.
06) Construir as projeçõesdo triângulo (ABC), localizado no 3º diedro,
utilizando os módulos das coordenadas descritivas do exercício 04.
07) Construir as projeções do triângulo (ABC), localizado no 4º diedro,
utilizando os módulos das coordenadas descritivas do exercício 04.