Apostila Estatistica

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CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL 
 
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Av. Transversal Quadra 21 Conjunto “M” Lote 23 
Edifício CENED Paranoá - DF CEP: 71.572-113 
 
 
 
Formação continuada do profissional 
Aperfeiçoamento e atualização em diversas áreas 
Cursos de aperfeiçoamento para o público 
 
 
 
 
 
 
 
I N T R O D U Ç Ã O À E S T A T Í S T I C A 
Carga horária: 180 horas 
 
 
 
 
 
 
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Brasília, Distrito Federal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INFORMAÇÕES DO CURSO 
 
Curso: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Quantitativo de seções: 4 
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Introdução à Estatística 2 
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Objetivos 5 
Introdução 6 
 
SEÇÃO 1 
 
A Organização e o Resumo de Dados 
1.1. Os Tipos de Dados 7 
1.2. Apresentação de Dados 8 
1.3. Séries Estatísticas 13 
1.4. Dados Absolutos e Dados Relativos 16 
1.5. Gráficos 19 
Verificação da Aprendizagem 1 26 
 
 
SEÇÃO 2 
 
A Distribuição de Freqüência 
2.1. Elementos de uma Distribuição de Freqüência 32 
2.2. Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe 36 
2.3. Representando Graficamente uma Distribuição de Freqüência 37 
2.4. Alguns Estudos de Caso 39 
Verificação da Aprendizagem 2 45 
 
 
SEÇÃO 3 
 
A Descrição dos Dados por Médias 
3.1. A Média Aritmética 51 
3.2. A Moda 58 
3.3. A Mediana 61 
3.4. Alguns Estudos de Caso 67 
Verificação da Aprendizagem 3 70 
 
 
SEÇÃO 4 
 
A Descrição da Variabilidade 
4.1. A Dispersão dos Dados 74 
4.2. Amplitude Total 74 
4.3 Variância e Desvio Padrão 77 
4.4. Coeficiente de Variação de Pearson 84 
Verificação da Aprendizagem 4 85 
Introdução à Estatística 3 
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SEÇÃO 5 
 
A Distribuição Normal 
5.1. Propriedades da Curva Normal 87 
Verificação da Aprendizagem 5 91 
 
 
SEÇÃO 6 
 
População e Amostra 
6.1. População 93 
6.2. Amostra 93 
6.3. Amostragem 93 
Verificação da Aprendizagem 6 97 
 
APÊNDICE A - Tabela de Números Aleatórios 99 
APÊNDICE B – O Arredondamento de Números Reais 100 
APÊNDICE C – Proporções de Área sob a Curva Normal Padronizada 101 
 
Respostas das Verificações da aprendizagem 103 
Referências Bibliográficas e Eletrônicas 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução à Estatística 4 
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OBJETIVOS 
 
Desenvolver os inúmeros sistemas utilizados para observação, coleta e análise dos 
dados, que se referem a um fenômeno, possibilita uma série de aplicações em todas as áreas 
do conhecimento humano. 
Identificar os procedimentos e os métodos colocados à disposição pela Estatística que 
permeiam as relações quantitativas ou qualitativas necessárias para o exercício de qualquer 
atividade que necessite de uma base e interpretações corretas sobre conjuntos de 
informações. 
Apresentar algumas construções pertinentes à Estatística Descritiva de modo 
comentado e por alguns estudos de caso, para afastar a apreensão causada, na maioria dos 
estudantes, por alguns aparatos instrumentais que se referem a cálculos complicados. 
Destacar o caráter pedagógico que envolve a apresentação de conceitos básicos em 
Estatística e que constitui preocupação constante na apresentação das definições e 
construções aqui realizadas. 
 
Introdução à Estatística 5 
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INTRODUÇÃO 
 
Com origem nas práticas sociais relativas a trocas, a compras e vendas, da contagem 
e da necessidade do estabelecimento de mecanismos que forneçam informações sobre uma 
população, os métodos estatísticos destacam-se como especialidades da Matemática 
Aplicada. O Dicionário Eletrônico Houaiss atribui a Schmeitzel (1679-1747) a introdução do 
uso do termo em alemão Statistik, com origem na palavra status (estado), do latim científico, 
adicionada à terminação -isticum. No entanto, a prática de coletar, organizar e interpretar 
dados remonta à Antiguidade, quando o registro de nascimento e morte de indivíduos ou o 
controle das riquezas faziam-se necessários para fins de coleta de impostos e das outras 
atribuições dos estadistas. Depois de seu reconhecimento como ciência, a Estatística ampliou 
consideravelmente as aplicações, estendendo-se a todos os ramos de pesquisa. 
Ao responder a questão “O que é Estatística?”, Witte (2005, p.2) analisa os papéis 
desempenhados pela Estatística Descritiva, pela Estatística Inferencial e suas sobreposições. 
Deposita na Estatística Descritiva o fazer mais antigo, que se ocupa da organização e do 
resumo de dados oriundos de observações e levantamentos realizados, por meio de tabelas, 
gráficos e médias. A seguir, fixa a estatística inferencial “como um produto do século XX, e 
que fornece uma variedade de ferramentas que permitem tirar conclusões gerais que 
extrapolam as observações existentes”. O autor alerta para a sobreposição desses dois 
métodos, pois “dependendo de sua perspectiva, um determinado conjunto de observações 
pode exemplificar tanto a estatística descritiva quanto a inferencial” (WITTE, 2005, p.3). 
Para cumprir o objetivo de fornecer o entendimento de um fenômeno a partir de dados 
observados, os números devem ser considerados inseridos em um contexto que possibilite a 
compreensão. Assim, uma escala temporal de comparação ou os métodos utilizados para 
produção de dados fornecem os contextos necessários para a criação de dispositivos 
apropriados à análise de situações diversas. Nessas inter-relações, o planejamento de 
amostras ou experimentos a serem realizados e a avaliação dos estudos obtidos constroem 
métodos formais utilizados para obter conclusões. 
A confiança atribuída às conclusões obtidas pela aplicação de inferências estatísticas 
advém da utilização da linguagem probabilística. Nesse caso, a aplicação de conceitos da 
Teoria da Probabilidade agrega à análise dos dados a certeza na aleatoriedade dos métodos 
utilizados para a obtenção desses dados. A escolha do acaso para a seleção dos sujeitos de 
um experimento permite, sempre, questionar quanto à freqüência da ocorrência de uma 
mesma resposta caso um método seja utilizado inúmeras vezes. 
Visando possibilitar o entendimento de um fenômeno e a tomada de decisões, os 
métodos estatísticos permitem estabelecer o seguinte fluxo entre os dados e as 
conseqüentes informações obtidas pormeio deles: 
COLETA ⇒ ORGANIZAÇÃO ⇒ ANÁLISE ⇒ INTERPRETAÇÃO. 
A construção das seções a seguir pretende permitir o entendimento desse percurso, 
desde a obtenção até a interpretação dos dados relativos a um experimento estatístico. 
Introdução à Estatística 6 
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SEÇAO 1 
A ORGANIZAÇÃO E O RESUMO DE DADOS 
1.1. OS TIPOS DE DADOS 
Um conjunto de observações realizadas em uma pesquisa ou experimento 
relacionados ao estudo de um fenômeno propicia o estabelecimento de dados que permitirão 
a realização de uma análise estatística. São diversas as formas em que podem ser 
apresentados os dados relativos a um fenômeno observado. Esses dados são classificados 
em grupos segundo suas características e, para denominá-los, são determinadas variáveis 
como representantes dos dados no domínio em que ocorrem. Uma variável determina o 
conjunto de resultados possíveis de um fenômeno ou experimento. 
Assim, conforme o conjunto, numérico ou não, de variação de uma variável que 
representa os dados de um experimento, essa variável pode pertencer a uma das seguintes 
categorias: 
VARIÁVEIS 
 QUANTITATIVAS QUALITATIVAS 
 Discretas Contínuas Ordinais Nominais 
 
As definições de cada uma dessas categorias são dadas a seguir: 
1.1.1. Variáveis Quantitativas. 
Provenientes de contagem, medidas ou resultado de alguma quantificação, os dados, 
que são enumerados, podem ser representados por variáveis subdivididas em duas classes: 
variáveis quantitativas discretas ou variáveis quantitativas contínuas. As variáveis discretas 
resultam de experimentos para os quais a contagem determina a utilização de dados do 
Conjunto dos Números Inteiros, enumerável. Por exemplo, o número de alunos de uma 
classe, as idades (em anos) de uma população, o número de visitantes mensais a um museu, 
etc. As variáveis contínuas refletem as medidas obtidas em um intervalo contínuo, resultados 
de medidas, como, por exemplo, os salários dos empregados de uma empresa, os pesos ou 
alturas de alunos de uma escola etc. 
 
1.1.2. Variáveis Qualitativas. 
Também denominados de categóricas, as variáveis qualitativas dividem-se em duas 
classes: as variáveis qualitativas nominais e as variáveis qualitativas ordinais. As variáveis 
qualitativas nominais são constituídas pelas categorias de dados que não permitem uma 
mensuração por revelarem atributos ou qualidades como, por exemplo, o sexo, a cor dos 
olhos, os nomes dos bairros de uma cidade etc. As variáveis qualitativas ordinais 
representam uma classificação em ordem numérica, como por exemplo, uma distribuição dos 
dados em anos ou a posição seqüencial numérica dos elementos de um conjunto 
determinando uma ordenação. 
Introdução à Estatística 7 
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1.1.3. Exemplos. 
1.1.3.1. Para os conjuntos de dados resultantes de observações individuais descritas 
em cada um dos itens a seguir, quais se referem a variáveis quantitativas (discretas ou 
contínuas) ou qualitativas (nominais ou ordinais)? 
 
 
 OBSERVAÇÕES VARIÁVEL 
(a) População de uma cidade. Quantitativa discreta. 
O número de habitantes de uma cidade é dado em números inteiros. 
(b) Idade de uma população em anos. Quantitativa discreta. 
A idade de uma população em anos é dada em números inteiros. 
(c) Esporte praticado por uma população. Qualitativa nominal. 
Os esportes praticados por uma população são listados pelo nome de cada modalidade. 
(d) Tempo para assar bolos. Quantitativa contínua. 
A medida do tempo utilizado para assar um bolo não utiliza números inteiros. 
(e) Velocidade de um automóvel. Quantitativa contínua. 
A medida da velocidade utiliza números reais, por exemplo: 72,4 km/h. 
(f) Partido político de Deputados Federais. Qualitativa nominal. 
Os partidos políticos são listados nominalmente. 
(g) Ordem de chegada dos participantes de uma maratona. Qualitativa ordinal. 
A ordem de chegada dos participantes de uma maratona é dada por: 1º lugar, 2º lugar etc. 
 
 
1.2. APRESENTAÇÃO DE DADOS. 
Para determinar as principais características de um conjunto de dados, basta construir 
formas de agrupamento que tornem mais fácil o seu manuseio, visualização e compreensão. 
Quando é realizado um experimento para explicar um certo fenômeno, os dados 
resultantes aparecem, em geral, desordenados, pois não receberam qualquer tratamento. 
Nesta forma são denominados Dados Brutos e têm pouca utilidade, pois não permitem a 
aplicação de ferramentas estatísticas que determinem informações importantes sobre o 
conjunto de dados disponíveis. 
 
Como exemplo de um grupamento de dados brutos, podem ser tomadas as idades dos 
alunos da turma do 1º semestre do curso de Administração da Faculdade X, agosto de 2007: 
 
Introdução à Estatística 8 
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21 17 19 23 18 17 19 32 23 23 
18 35 23 22 18 19 34 26 21 21 
19 26 27 31 29 22 23 22 18 17 
25 27 45 28 18 20 19 27 30 18 
 
Os dados discriminados, acima, são dados brutos por não terem sido submetidos a 
qualquer forma de tratamento. No entanto, basta tomar as quarenta observações em ordem 
crescente ou decrescente para que seja possível perceber uma série de informações antes 
indisponíveis. Quando apresenta os dados ordenados, a tabela é denominada rol. Assim, 
tomadas em ordem crescente, as idades dos alunos do curso de Administração da Faculdade 
X são as seguintes: 
 
17 18 18 19 21 22 23 26 28 32 
17 18 19 19 21 23 23 27 29 34 
17 18 19 20 22 23 25 27 30 35 
18 18 19 21 22 23 26 27 31 45 
 
Nesta nova disposição dos dados, é possível perceber facilmente que a menor idade é 
de 17 anos e a maior é de 45 anos. Neste caso, a diferença entre as idades, denominada 
amplitude total do conjunto de observações, é obtida pelo cálculo da diferença entre o maior 
dado e o menor dado: 45 – 17 = 28 anos. 
Mesmo nesta nova configuração de apresentação dos dados, aparecem dificuldades 
na delimitação da faixa etária e contagem de quantos alunos têm uma certa idade. Para 
aperfeiçoar as informações originárias desse conjunto de dados, eles podem ser agrupados 
em classes ou intervalos, observadas as seguintes determinações: 
- todos os dados devem constar em algum dos intervalos; 
- um dado não pode pertencer a dois intervalos distintos; 
- o extremo superior de um intervalo coincide com o extremo inferior do intervalo 
seguinte; 
- o número de intervalos deve ser maior do que cinco e inferior a vinte e cinco. 
Para a determinação do número eficaz “k” de intervalos que representarão 
convenientemente um conjunto de “n” observações, basta utilizar a expressão: 
 
nk log32,31+= , no qual o logaritmo é calculado com base 10. 
 
 
Introdução à Estatística 9 
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Esta relação é obtida pela aplicação do logaritmo base 10 à igualdade 12 −= kn , que 
determina as k possíveis divisões de um intervalo ao meio. Assim: 
 
 
 
 
No exemplo das alturas, o cálculo para o número de classes fornece: 
 
 
Logo, é suficiente tomar 7 classes para determinar uma boa distribuição dos dados. 
Para precisar o comprimento ou amplitude, de cada um dos intervalos, basta dividir a 
amplitude total 28 das alturas do experimento pelo número calculado para as classes. Assim: 
 
h = 28 : 7 = 4 
 
Com esta escolha, somando 4 a cada limite inferior, as classes serão as seguintes: 
 
A LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR 
1ª 17 21 exclusive 
2ª 21 25 exclusive 
3ª 25 29 exclusive 
4ª 29 33 exclusive 
5ª 33 37 exclusive 
6ª 37 41 exclusive 
7ª 41 45 
 
Neste caso, o sétimo intervalo incluirá o dado 45, ficando, portanto, fechado em seus 
dois extremos: a cota inferior e a cota superior. 
 
Em algumas situações, é necessário reajustar o comprimento dos intervalos para obter 
resultados que melhor se adaptem à combinação a ser descrita. Por exemplo, se 
estrategicamente for determinado que o comprimento dos intervalos, que descreverão as 
idades dos alunos, deve ser 5, a descriçãodada acima conduzirá à seguinte divisão de 
intervalos: 
 
nknknkkn log32,31
301,0
log1
2log
log12log)1(log +=⇒+=⇒=−⇒−=
31,660,1.32,3140log32,31 =+=+=k
Introdução à Estatística 10 
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B LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR 
1ª 17 22 exclusive 
2ª 22 27 exclusive 
3ª 27 32 exclusive 
4ª 37 42 exclusive 
5ª 42 47 
 
Ou, devido à necessidade de um melhor ajuste dos intervalos, podem ser tomados os 
limites de 15 a 45, de modo a obter cinco classes que dependem de uma combinação mais 
compatível com a utilização da base dez. Embora tenha início em 2 unidades a menos do que 
a menor idade do conjunto de observações, esta escolha permitirá um maior equilíbrio entre 
os dados: 
 
C LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR 
1ª 15 20 exclusive 
2ª 20 25 exclusive 
3ª 25 30 exclusive 
4ª 35 40 exclusive 
5ª 40 45 
 
Para descrever o experimento das idades dos alunos em cada uma das divisões dadas 
acima, anota-se pelo símbolo ├ , que identifica a inclusão da cota inferior do intervalo e a 
exclusão da cota superior, que passa a participar da classe seguinte. Assim, obter-se-á para 
os casos A, B e C: 
 
 
 
Faixa etária Nº de 
alunos 
Faixa etária Nº de 
alunos 
Faixa etária Nº de 
alunos 
17 ├ 21 15 17 ├ 22 18 15 ├ 20 14 
21 ├ 25 11 22 ├ 27 11 20 ├ 25 12 
25 ├ 29 7 27 ├ 32 7 25 ├ 30 8 
29 ├ 33 4 32 ├ 37 3 30 ├ 35 4 
33 ├ 37 2 37 ├ 42 0 35 ├ 40 1 
37 ├ 41 0 42 ├ 47 1 40 ├ 45 1 
41 ├ 45 1 TOTAL 40 TOTAL 40 
TOTAL 40 
 
Tabela 1.1. Distribuição das freqüências das idades dos alunos da turma do 1º semestre do curso de 
Administração da Faculdade X, em agosto de 2007, casos A, B e C. 
Fonte: dados hipotéticos. 
B C A 
Introdução à Estatística 11 
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Em qualquer uma das três situações analisadas acima, a soma das freqüências deve 
ser igual a quarenta, que representa o número total de observações no experimento das 
idades. 
É visível a melhor distribuição de freqüências obtida no caso C da Tabela 1.2.1, uma 
vez que nenhuma das classes tem ocorrência zero e a diferença entre o máximo (14) e o 
mínimo (1) do número de ocorrências é menor do que em A e B. 
 
1.2.1. Tabelas 
Para sintetizar as informações obtidas no experimento, os valores correspondentes a 
cada uma das classes podem ser apresentados em uma tabela constituída por um quadro 
que resume um conjunto de observações. Uma tabela é composta pelos seguintes 
elementos: 
 
NOME DESCRIÇÃO 
Corpo É o espaço da tabela constituído por linhas e colunas 
que contêm os dados do experimento 
Cabeçalho É a linha situada acima do corpo da tabela e que 
especifica o conteúdo de cada uma das colunas. 
Coluna Indicadora É a primeira coluna, com especificação do conteúdo 
de cada uma das linhas da tabela. 
Linhas São as retas imaginárias horizontais contendo os 
dados correspondentes a cada uma das colunas. 
Casa ou célula É o espaço destinado a uma única informação, como 
correspondente ao entrecruzamento de uma coluna e 
uma linha. 
Título É o total das informações necessárias para informar 
ao quê, onde e quando correspondem os dados 
tabelados. Aparece no topo da tabela. 
Numeração Utiliza-se uma numeração para identificar a tabela 
em futuras referências. 
Fonte, notas de rodapé Correspondem a informações complementares sobre 
o assunto tratado, bem como da origem dos dados. 
Aparece no rodapé da tabela, em fonte menor do que 
a usada para o corpo dela. No caso de dados que 
são utilizados somente para exemplificar uma 
situação descrita, utiliza-se: dados hipotéticos ou 
fonte fictícia. 
Introdução à Estatística 12 
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Tabela 1.2. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade 
X. Agosto de 2007 
 
O detalhamento do exemplo das idades, determina a seguinte tabela, na qual cada 
uma das colunas, linhas ou células pode ser nominada, no Brasil, conforme determinações do 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística: 
 
 
 
 
 
Faixa etária 
Nº de 
alunos 
15 ├ 20 14 
20 ├ 25 12 
25 ├ 30 8 
30 ├ 35 4 
35 ├ 40 1 
40 ├ 45 1 
TOTAL 40 
 
 
 
Assim, existem normas para a disposição dos dados nas tabelas que se destinam a 
apresentar estatísticas. Como um exemplo, para apresentar um valor nulo, é utilizado um 
travessão, três pontos quando os valores são desconhecidos, um sinal de interrogação 
quando existem dúvidas quanto ao valor exato e zero quando o valor é insignificante em 
relação aos demais dados. 
 
1.3. SÉRIES ESTATÍSTICAS. 
A tabela 1.2. fornece uma razoável melhoria na qualidade de informação obtida na 
análise das idades dos alunos. No entanto, existem outras quantidades que podem ser 
relacionadas às classes e vir a fornecer um melhor entendimento do experimento realizado. 
Uma tabela que exponha uma distribuição de um conjunto de dados estatísticos é 
denominada série estatística. Uma série estatística pode apresentar uma distribuição de 
dados em função da época, do local ou das categorias envolvidas no experimento e será, 
assim, classificada como histórica, geográfica ou categórica. 
 
1.3.1. SÉRIES HISTÓRICAS (ou cronológicas, ou temporais). 
Quando o período de ocorrência dos dados é informado segundo intervalos de tempo, 
a série histórica recebe a denominação de Série Histórica. 
 
Título 
Numeração 
Cabeçalho 
Coluna indicadora 
 Linhas 
 Célula 
Fonte: dados hipotéticos. Rodapé 
Introdução à Estatística 13 
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1.3.1.1. Exemplo. O preço do petróleo, no Brasil, em alguns dias do mês de novembro 
de 2000, pode ser visualizado como a seguinte série histórica: 
 
 
Tabela 1.3 EVOLUÇÃO DO PREÇO DO BARRIL DE PETRÓLEO – Novembro 2000 
 
DIA PREÇO MÉDIO 
(US$) 
1º 30,51 
14 33,17 
29 32,68 
FONTE: IBGE 
 
1.3.2. SÉRIES GEOGRÁFICAS (ou espaciais, ou territoriais, ou de localização). 
Sendo especificadas segundo locais ou regiões de acontecimento em um período de 
tempo fixo, as séries recebem a denominação de Série Geográfica. 
1.3.2.1. Exemplo. Num levantamento para empreendimentos turísticos são apontados 
os locais mais procurados pelos brasileiros. Assim, a série é dada por: 
 
Distribuição dos Estados brasileiros que as pessoas 
gostariam de conhecer – 1999 
 
ESTADOS BRASILEIROS Nº PESSOAS 
Rio Grande do Sul 80 
Minas Gerais 170 
Rio de Janeiro 380 
São Paulo 320 
Bahia 190 
Paraná 60 
FONTE: fictícia 
 
1.3.3. SÉRIES CATEGÓRICAS (ou específicas). 
Na medida em que os dados são classificados segundo especificações ou categorias 
próprias, a série estatística é denominada Série Categórica. Desse modo, as séries 
qualitativas podem ser avaliadas em situações que preservem as características dos dados, 
de acordo com seu universo. 
 
1.3.3.1. Exemplo. O número de alunos matriculados no 1º ano do Ensino Médio em 
certa escola, segundo o gênero, determinará quantas alunas e quantos alunos efetivaram a 
matrícula em 2006, na Escola X: 
 
Introdução à Estatística 14 
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GÊNERO Nº DE ALUNOS 
Feminino 1241 
Masculino 1135 
 
 
1.3.4. SÉRIES CONJUGADAS. 
Em um grande número de apresentações dos resultados de um experimento, é 
necessário exibir mais de uma variável na mesma tabela. Neste caso, é realizada uma 
conjugação de mais de uma série. Ficam, então, estabelecidas classificações em duas 
ordens, uma designada pelas linhas da tabela (classificação horizontal) e a outra pelas 
colunas da tabela (classificação vertical). 
Como exemplo, é apresentado, por meio de uma tabela conjugada, um estudo de 
algumas comparações entre área, população, PIB, exportações e importações dos países 
participantes do Mercosul com o total mundial. 
 
Indicadores Macroeconômicos do Mercosul, 2004. 
 
Indicador Mercosul Total Mundial Unidade 
Área 11.863 133.378 mil km2 
População 226 6.300 milhões 
PIB 776,5 40.887 US$ bilhões 
Exportação* 106 7.274 US$ bilhões 
Importação * 67 7.557 US$ bilhões* dados de 2003 
Fonte: Mercosul (2004); BNDES (2004); (http://www.desenvolvimento.gov.br/sitio/secex/secex/) 
 
Neste caso, a série conjugada é denominada série geográfica-categórica, pois 
relaciona os locais com as categorias que determinam informações sobre a performance dos 
países que formam o Mercosul frente ao total de outros países. Em outras situações, é 
necessário estabelecer séries geográfica-históricas, por relacionar os locais (países) com 
os períodos que determinam temporalmente os acontecimentos. Podem-se também construir 
séries categórica-históricas ou qualquer outra combinação útil para melhor descrever as 
informações disponíveis sobre algum fenômeno estudado. 
 
MATRÍCULA NO 1º ANO DO 
ENSINO MÉDIO – Escola X 
2006 
Fonte: fictícia 
Introdução à Estatística 15 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
1.3.4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS. 
Este tipo de tabela será analisada com muitos detalhes na Seção 2, mas já foi 
apresentada na Tabela 1.2. sobre as idades de um grupo de estudantes. 
 
1.4. DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS. 
1.4.1. Como resultado da coleta direta de dados resultantes de um experimento, os 
dados absolutos resultam de contagens ou medidas que não foram previamente tratadas. 
Embora deixem transparecer fielmente o resultado de um experimento, os dados 
absolutos, em geral, não permitem a apresentação conclusiva procurada. Assim, são 
construídos os dados relativos, como uma comparação entre as partes e o todo do universo 
determinado pelo experimento em estudo. 
 
1.4.2. As razões (divisões ou quocientes) estabelecidas entre os dados absolutos 
obtidos em um experimento e o total de dados são denominadas dados relativos. 
Na realidade, os dados relativos permitem realizar comparações entre os dados e são 
representados por formas porcentuais, por coeficientes ou taxas. 
 
1.4.2.1. Porcentagem. 
Retomando as informações obtidas na Tabela 1.2., as quantidades de alunos por faixa 
etária podem ser comparadas com 40, o número total de alunos participantes do experimento 
das idades. 
 
FAIXA ETÁRIA Nº ALUNOS CÁLCULO DA PORCENTAGEM 
Idade de 15 a 20, exclusive 14 
Idade de 20 a 25, exclusive 12 
Idade de 25 a 30, exclusive 8 
Idade de 30 a 35, exclusive 4 
Idade de 35 a 40, exclusive 1 
Idade de 40 a 45, exclusive 1 
Os cálculos acima realizados podem, então, ser dispostos em uma tabela que 
considerará somente as informações referentes às porcentagens, como dados relativos, pois 
comparam cada uma das quantidades de alunos com o total 40. 
 
%35
40
1400
40
10014
==
×
%30
40
1200
40
10012
==
×
%20
40
800
40
1008
==
×
%10
40
400
40
1004
==
×
%5,2
40
100
40
1001
==
×
%5,2
40
100
40
1001
==
×
Introdução à Estatística 16 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Tabela 1.4. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade 
X. Agosto de 2007. 
 
 
 
 
Faixas 
etárias 
Nº de 
alunos 
Alunos 
(%) 
15 ├ 20 14 35,0 
20 ├ 25 12 30,0 
25 ├ 30 8 20,0 
30 ├ 35 4 10,0 
35 ├ 40 1 2,5 
40 ├ 45 1 2,5 
TOTAL 40 100,0 
 
 
A utilização dos dados percentuais é muito útil para determinar, comparativamente, a 
quantidade de alunos em cada faixa etária. 
 
1.4.2.2. Coeficientes. 
Os coeficientes são as razões obtidas entre o número de ocorrências em dada classe e 
o total de observações. Ao invés de tomar 100% como representante do todo, toma-se 1 
como base de comparação, de modo que a Tabela 1.3. apresentará os seguintes dados 
relativos: 
 
 
 
 
Faixas 
etárias 
Nº de 
alunos 
Alunos 
(coeficientes) 
15 ├ 20 14 0,350 
20 ├ 25 12 0,300 
25 ├ 30 8 0,200 
30 ├ 35 4 0,100 
35 ├ 40 1 0,025 
40 ├ 45 1 0,025 
TOTAL 40 1,000 
 
 
Para obter os coeficientes acima descritos, basta realizar os seguintes cálculos: 
 
Tabela 1.3. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade X. 
Agosto de 2007 
Fonte: Fictícia. 
Fonte: Fictícia. 
Introdução à Estatística 17 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
FAIXA ETÁRIA Nº ALUNOS CÁLCULO DA PORCENTAGEM 
Idade de 15 a 20, exclusive 14 
Idade de 20 a 25, exclusive 12 
Idade de 25 a 30, exclusive 8 
Idade de 30 a 35, exclusive 4 
Idade de 35 a 40, exclusive 1 
Idade de 40 a 45, exclusive 1 
 
Alguns coeficientes são usualmente determinados pela sua denominação, como por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Há outros coeficientes comuns nas análises de diversos dados econômicos ou sociais. 
Cada um desses coeficientes tem valores entre 0 e 1. 
 
1.4.2.2. Índices. 
Quando as grandezas que estão sendo comparadas não se referem à mesma unidade 
de medida, as razões obtidas nessa comparação são denominadas índices. Alguns 
exemplos usuais de índices são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
350,0
40
14
=
300,0
40
12
=
200,0
40
8
=
100,0
40
4
=
025,0
40
1
=
025,0
40
1
=
população da total
snascimento de número
natalidade de eCoeficient
osmatriculad alunos de número
sdesistente alunos denúmero
escolar evasão de eCoeficient
=
=
população
produçãodatotalvalor
Capitaperodução
x
=
=
=
Pr
100
acronológic idade
mental idadelIntelectua Quociente
região da superfície
região da populaçãoaDemográfic Densidade
Introdução à Estatística 18 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Tabela 1.5. Idades dos alunos 
da turma do 1º semestre do 
curso de Administração da 
Faculdade X. Agosto de 2007 
GRÁFICO EM BARRAS 
GRÁFICO EM BARRAS 
 
1.5. GRÁFICOS 
Como uma importante forma visual de apresentação de dados, um gráfico estatístico 
tem como objetivo permitir uma rápida percepção do fenômeno em estudo. Para tanto, os 
gráficos devem ser apresentados de modo simples, com clareza e ser determinados por uma 
extrema veracidade. Os gráficos mais utilizados para apresentação de dados são os 
diagramas, que são classificados como: Gráficos em Colunas ou em Barras, Gráficos em 
Colunas ou em Barras Múltiplas, Gráficos em Linha ou Curva ou Gráficos em Setores. 
 
1.5.1. Gráficos em Colunas ou em Barras 
A apresentação dos dados por meio de gráficos em colunas ou em barras prevê a 
apresentação de cada uma das classes envolvidas nas informações obtidas no experimento e 
são feitas pela utilização de retângulos dispostos em colunas ou na posição horizontal. No 
caso da disposição em colunas, as bases dos retângulos correspondem ao comprimento das 
classes determinadas no experimento e as alturas dos retângulos são proporcionais aos 
dados. Na disposição em barras, as disposições das bases dos retângulos ficam invertidas, 
como mostra o seguinte exemplo, que corresponde ao experimento das idades mostrado na 
Tabela 1.2.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classes Faixas etárias 
Nº de 
alunos 
1ª 15 ├ 20 14 
2ª 20 ├ 25 12 
3ª 25 ├ 30 8 
4ª 30 ├ 35 4 
5ª 35 ├ 40 1 
6ª 40 ├ 45 1 
 TOTAL 40 
GRÁFICO EM COLUNAS 
Gráfico 1.1. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da 
Faculdade X. Agosto de 2007. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
Classes
Nº
 d
e 
al
un
os
0 5 10 15
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
Classes
Nº de alunos
Fonte fictícia 
Fonte fictícia 
Introdução à Estatística 19 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Tabela 1.6. Idades dos alunos da turma do 1º semestre 
do curso de Administração da Faculdade X. 
Agosto de 2007. 
GRÁFICO EM COLUNAS GRÁFICO EM BARRAS 
 
Existe uma exigência quanto ao comprimento dos espaços entre colunas ou barras: 
não deve ser menor do que a metade da largura dos retângulos nem maior do que dois terços 
dessa largura. 
Uma simples visualização gráfica demonstra a densa concentração das idades 
inferiores a 30 anos. 
 
1.5.2. Gráficos em Colunas ou em Barras Múltiplas 
Para representar simultaneamente dois ou mais fenômenos com a finalidade de 
compará-los, são dispostas colunas ou barras que determinam uma proporcionalidade entre 
os dados estatísticos e as áreas dos retângulos que formam as colunas e as barras que os 
representam. 
 
 
 
Classes Faixa etária Nº de alunos 
Alunos 
(%)1ª 15 ├ 20 14 35,0 
2ª 20 ├ 25 12 30,0 
3ª 25 ├ 30 8 20,0 
4ª 30 ├ 35 4 10,0 
5ª 35 ├ 40 1 2,5 
6ª 40 ├ 45 1 2,5 
 TOTAL 40 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
Faixa Etária
Al
un
os Nº de alunos
%
Fonte: Fictícia. 
0 10 20 30 40
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
Faixas 
Etárias
Alunos %
Nº de alunos
Gráfico 1.2. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade X. 
Agosto de 2007 
Fonte: Fictícia. 
Introdução à Estatística 20 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Gráfico 1.3. Idades dos alunos da turma do 1º semestre do 
curso de Administração da Faculdade X. Agosto de 2007. 
É interessante observar que, neste exemplo, as colunas ou barras que se referem às 
porcentagens preservam entre si a proporcionalidade existente entre os dados. Este fato não 
poderia deixar de ocorrer, pois, conceitualmente, as porcentagens preservam uma proporção 
com os dados que as originam. No entanto, nem sempre é assim. Quando são comparadas 
situações excludentes ou que não possuem uma relação entre si, essas variações, em geral, 
têm comportamentos independentes. 
 
1.5.3. Gráficos em Linha ou Curva 
Para representar os dados obtidos em um experimento por meio de um sistema de 
coordenadas cartesianas, que se caracteriza por ter os eixos coordenados formando ângulo 
de 90º e interceptando-se na origem dos eixos, basta tomar as classes como abscissas 
(representadas no eixo das abscissas ou eixo x) e os dados como ordenadas 
(representados no eixo das ordenadas ou eixo y). 
No exemplo das idades, pode ser tomada a seguinte representação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os dados referentes a cada faixa etária são plotados por pontos que, interligados, 
formam uma poligonal. Esta poligonal recebe a denominação de gráfico em linha ou gráfico 
em curva. 
É interessante observar, mais uma vez, a densa concentração das idades inferiores a 
30 anos, que ocorre na representação das primeiras faixas etárias. 
1.5.4. Gráficos em Setores 
Pela divisão de um círculo em setores, é possível construir visualmente a participação 
de um dado no todo do universo considerado no experimento. O total é representado pela 
área do círculo, dividido em tantos setores quanto forem as partes, com áreas proporcionais 
aos dados representados nesses setores. A proporcionalidade é construída a partir de uma 
regra de três que considera os 360º do círculo como o todo. Não é recomendado construir 
uma representação gráfica em setores para experimentos com mais de sete classes. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
Classes
Nº
 d
e 
al
un
os
Fonte: Fictícia 
Introdução à Estatística 21 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Tabela 1.7. Idades dos alunos da turma do 1º semestre 
do curso de Administração da Faculdade X. 
Agosto de 2007 
No exemplo das idades, a partir da tabela anteriormente analisada e agora renomeada 
como Tabela 1.4., é possível construir um gráfico em setores que considera os percentuais 
abaixo calculados. 
 
 
 
 
Classes Faixa etária Nº de alunos 
1ª 15 ├ 20 14 
2ª 20 ├ 25 12 
3ª 25 ├ 30 8 
4ª 30 ├ 35 4 
5ª 35 ├ 40 1 
6ª 40 ├ 45 1 
 TOTAL 40 
 
 
As proporções dos dados de cada faixa etária em relação ao total 40 tomado 
comparativamente a 360º são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sexto setor repete a proporção do quinto setor. É interessante observar que: 
126º + 108º + 72º + 36º + 9º + 9º = 360º 
Fonte: Fictícia 
º126
40
º36014
14
º36040
11
1
=⇒
×
=⇒
−
−
xx
x
º108
40
º36012
12
º36040
11
1
=⇒
×
=⇒
−
−
xx
x
º72
40
º3608
8
º36040
11
1
=⇒
×
=⇒
−
−
xx
x
º36
40
º3604
4
º36040
44
4
=⇒
×
=⇒
−
−
xx
x
º9
40
º3601
1
º36040
55
5
=⇒
×
=⇒
−
−
xx
x
Introdução à Estatística 22 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Assim, o gráfico em setores associados a cada um desses ângulos é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se os dados forem fornecidos em formas percentuais, basta multiplicá-los por 3,6 para 
obter o ângulo interno de cada um dos setores. A representação gráfica será a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.5. Histograma 
Para melhor representar dados quantitativos referentes a variáveis contínuas, é 
interessante apresentá-los em um gráfico que demonstre a proximidade dos agrupamentos. 
Assim, o gráfico mais comum para variáveis contínuas é o histograma. 
 
Gráfico 1.4 Idades dos alunos da turma do 1º semestre do curso de 
Administração da Faculdade X. Agosto de 2007 
Fonte: Fictícia. 
Fonte: Fictícia. 
Gráfico 1.5. Idades dos alunos da turma do 1º semestre do curso de 
Administração da Faculdade X. Agosto de 2007. 
Faixas Etárias
14
12
8
4
1 1
15 ├ 20
20 ├ 25
25 ├ 30
30 ├ 35
35 ├ 40
40 ├ 45
Faixas Etárias
34%
30%
20%
10%
3% 3%
15 ├ 20
20 ├ 25
25 ├ 30
30 ├ 35
35 ├ 40
40 ├ 45
Introdução à Estatística 23 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Gráfico 1.6. Idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade X.
 Agosto de 2007
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15 ├ 20 20 ├ 25 25 ├ 30 30 ├ 35 35 ├ 40 40 ├ 45
Faixas Etárias
Nº
 d
e 
Al
un
os
Também apresentado em colunas, o histograma caracteriza-se por não apresentar 
intervalos entre essas colunas, de modo a evidenciar a continuidade dos dados. Na Seção 2 
os histogramas serão estudados com maior profundidade. 
No exemplo das idades, pode ser construído o seguinte histograma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.6. Considerações sobre a utilização de gráficos. 
A construção de gráficos para melhor descrever dados estatísticos exige a escolha de 
algumas estratégias que possibilitem a melhor organização e apresentação dos dados. Em 
primeiro lugar, é necessário examinar as características de cada variável e as relações com o 
universo analisado. Depois, realizar alguns resumos dos dados e simular gráficos 
correspondentes. É preciso lembrar que os gráficos constituem apenas um recurso pictórico 
com vistas a auxiliar o entendimento de um fenômeno em análise. 
Os gráficos em barras ou colunas apresentam uma visualização rápida e uma 
conseqüente comparação entre as categorias determinadas no experimento, enquanto um 
gráfico em setores permite visualizar a parte de cada categoria no todo. A construção de um 
gráfico em setores exige a inclusão de todas as categorias que contribuem para formar o 
total. Assim, para comparar apenas alguns segmentos de certo universo, é interessante 
utilizar um gráfico em barras ou colunas, que apresenta uma maior flexibilidade por não 
precisar refletir as informações relativas a todos os segmentos envolvidos, além de não exigir 
uma ordem na representação. Em geral, as categorias são representadas em ordem 
alfabética, ordenadas temporalmente, por ordem de importância ou pela preferência do 
analista de dados. 
O gráfico em linhas é considerado um dos mais importantes para apresentar dados 
observados ao longo do tempo, em intervalos igualmente espaçados, ou não. Essas 
seqüências são denominadas séries históricas ou séries temporais. 
 
Fonte: Fictícia. 
Introdução à Estatística 24 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Em geral, os pontos correspondentes aos dados são unidos por segmentos de reta de 
modo a formar um linha poligonal, embora não exista uma correspondência de observações 
intermediárias. 
Um gráfico em barras ou colunas que apresente as categorias ordenadas de modo 
decrescente é denominado diagrama de Pareto. Neste caso, o objetivo é tornar evidentes as 
observações numericamente superiores. 
Apresentados como um conjunto de retângulos com as bases dividindo um eixo 
horizontal de acordo com o comprimento das classes, as colunas de um histograma devem 
ter a mesma largura e cobrir toda a extensão dos valores que caracterizam a variável, sem 
espaço entre elas, a não ser que exista alguma classe com atribuição do valor nulo (ou 
vazia). 
Na apresentação de um gráfico em colunas ou barras, é conveniente construir aaltura 
do eixo vertical com o mesmo comprimento do eixo horizontal. Lembrar que esse tipo de 
gráfico é utilizado para representar dados qualitativos ou dados quantitativos discretos e que 
são semelhantes a histogramas, exceto pelo fato de não representarem a continuidade dos 
intervalos. Isto ocorre pela existência de lacunas entre os retângulos. 
Para representar uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe, é usual 
tomar um diagrama em que os valores assumidos pela variável são representados por 
segmentos de reta verticais, com alturas proporcionais às respectivas freqüências. 
Também é importante não esquecer de fornecer os rótulos para os eixos e um título 
para o gráfico. 
Introdução à Estatística 25 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
 VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1 
 
1. Analise o gráfico a seguir, escolhendo a opção que reflita uma falha na representação dos 
dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) as linhas auxiliares horizontais não auxiliam a observação dos dados. 
(b) a altura do eixo vertical é muito grande em relação ao comprimento do eixo horizontal. 
(c) o gráfico mais indicado para dados quantitativos discretos não é o histograma. 
(d) o gráfico mais indicado, no caso, é o de barras. 
(e) o gráfico mais indicado, no caso, é o de setores. 
 
2. Certa concessionária de automóveis registra o número de dias que 50 proprietários de 
automóveis zero quilômetros, vendidos em janeiro de 2007, levam para realizar a primeira 
revisão do carro. Os dados observados são apresentados na tabela a seguir: 
107 204 62 54 135 110 88 94 51 67 
65 124 45 91 54 115 121 56 12 54 
56 112 68 64 103 120 81 65 72 87 
78 92 56 72 66 72 68 58 101 82 
93 65 72 81 59 181 63 102 86 90 
 
Neste caso, qual é a afirmativa verdadeira? 
(a) A unidade utilizada para representar os dados é a quilometragem do automóvel. 
(b) A apresentação, dada acima, informa os dados brutos, de modo que não facilita a 
descrição de padrões interessantes para análise do experimento. 
(c) As freqüências apresentadas são relativas, de modo a facilitar a descrição de padrões 
interessantes para análise do experimento. 
(d) O menor prazo observado para a realização da primeira revisão foi de 51 dias. 
(e) Os dados apresentados são qualitativos e não podem ser descritos em classes 
numéricas contínuas. 
Idades dos participantes de um concurso 
fotográfico, Cidade X, 2007.
0
5
10
15
20
25
12 14 16 18 20 22 24
Idades
N
º d
e 
pa
rt
ic
ip
an
te
s
Fonte: fictícia 
Introdução à Estatística 26 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
3. Um diagrama de Pareto: 
 
(a) é um gráfico em barras ou colunas que apresenta as categorias ordenadas de modo 
decrescente. 
(b) é um gráfico em barras ou colunas que apresenta as categorias ordenadas de modo 
crescente. 
(c) tem como o objetivo esconder as observações numericamente superiores. 
(d) é um gráfico em setores, que permite uma melhor comparação entre as partes e o todo 
do fenômeno observado. 
(e) é apresentado como um conjunto de retângulos adjacentes, de modo a representar 
convenientemente uma variável contínua. 
 
4. A distribuição do número de inscritos no vestibular para os três cursos oferecidos por uma 
faculdade, no primeiro semestre de 2004, foi plotado em um gráfico de setores, conforme 
apresentado abaixo. Qual das seguintes informações pode ser inferida por uma análise visual 
do que está graficamente representado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) A soma das porcentagens representadas no gráfico não reflete o total do número de 
candidatos inscritos para o vestibular dos dois cursos. 
(b) O gráfico não responde às questões: O quê? Onde? Quando? 
(c) Os dados seriam melhor representados por um histograma. 
(d) É maior o número de candidatos inscritos para os vestibulares de Letras e Pedagogia do 
que para o curso de Administração. 
(e) É maior o número de candidatos inscritos para o vestibular de Administração do que para 
os cursos de Letras e Pedagogia. 
 
Candidatos inscritos no vestibular, Faculdade X, 
Primeiro Semestre de 2004
51%
29%
20%
Administração
Letras
Pedagogia
Fonte: dados fictícios 
Introdução à Estatística 27 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
5. A tabela dada abaixo apresenta duas distribuições para os graduados na Faculdade X, em 
2004, por área de estudo. Assim, uma das colunas informa as freqüências de graduados do 
sexo masculino e, a outra, do sexo feminino. 
 
 
GRADUADOS EM 2004 POR ÁREA DE ESTUDO E SEXO, 
FACULDADE X. 
ÁREA DE ESTUDO MASCULINO FEMININO 
Administração 37 28 
Letras 9 24 
Pedagogia 4 18 
Total 50 70 
 
 
 
Os dados plotados na tabela permitem inferir que: 
 
(a) foram vinte e quatro os graduados em Letras, em 2004, na Faculdade X. 
(b) os dados apresentados na tabelas são relativos. 
(c) mais da metade dos graduados da Faculdade X, em 2004, são do curso de Administração. 
(d) 70% dos graduados pela Faculdade X, em 2004, são do sexo feminino. 
(e) o curso de Letras apresenta o menor número de formandos da Faculdade X, em 2004. 
 
6. No endereço http://www.ibge.com.br/cidadesat/default.php podem-se obter informações 
disponibilizadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE - sobre os 
municípios brasileiros, obtidas em 01.04.2007. Para o DF, com área de 5.802 km2 e 
população informada de 2.455.903 habitantes, é possível concluir que: 
 
(a) existem 2.455 habitantes por km2. 
(b) a densidade demográfica é de menos de 424 habitantes por km2. 
(c) a densidade demográfica é de 0,2%. 
(d) a densidade demográfica é de 2.455 mil habitantes. 
(e) existem 2 famílias por km2. 
 
Fonte: dados fictícios 
Introdução à Estatística 28 
http://www.ibge.com.br/cidadesat/default.php
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
7. A representação política na cidade de Águas Lindas de Goiás, em 2004, foi escolhida por 
voto direto de 48.039 eleitores. Para comparar os votos válidos com os votos inválidos, os 
dados foram plotados no gráfico a seguir. Pode-se afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) o gráfico foi construído em linhas. 
(b) 40% dos votos foram considerados válidos. 
(c) o gráfico em barras constitui uma boa escolha para plotar dados quantitativos discretos. 
(d) foram tomadas três classes para analisar os votos: a dos votos válidos, a dos votos 
inválidos e a do número total de votos. 
(e) é impossível comparar os votos válidos com os votos inválidos. 
 
8. Dentre as tabelas dadas abaixo, determine a que melhor representa o seguinte gráfico de 
colunas múltiplas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEIÇÃO PARA REPRESENTAÇÃO POLÍTICA, 
ÁGUAS LINDAS DE GOIÁS - GO, 2004
(Em 1.000 votos)
0 10 20 30 40 50
Votos válidos
Votos
inválidos
PLANTAÇÃO E PRODUÇÃO DE 
BANANA, LUZIÂNIA - GO, 2003 E 2005
0
50
100
150
200
250
2003 2005
Quantidade
Produzida
(em toneladas)
Área Plantada
(em hectares)
Fonte: IBGE 
Fonte: IBGE 
Eleitores (em 1.000) 
Introdução à Estatística 29 
CENED – Centro de Educação Profissional 
(a) 
ANO Quantidade Produzida (em toneladas) 
Área Plantada 
(em hectares) 
2003 120 15 
2005 200 25 
(b) 
ANO Quantidade Produzida (em toneladas) 
Área Plantada 
(em hectares) 
2003 180 15 
2005 200 25 
(c) 
ANO Quantidade Produzida (em toneladas) 
Área Plantada 
(em hectares) 
2003 200 25 
2005 200 15 
(d) 
ANO Quantidade Produzida (em toneladas) 
Área Plantada 
(em hectares) 
2003 200 15 
2005 120 25 
(e) 
ANO Quantidade Produzida (em toneladas) 
Área Plantada 
(em hectares) 
2003 120 25 
2005 200 15 
 
9. Pelo gráfico abaixo, qual é a quantidade de pessoas sem água encanada na África, se, no 
total, foram contabilizadas 1,1 bilhão de pessoas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 28 milhões de pessoas. 
(b) 280 milhões de pessoas. 
(c) 308 milhões de pessoas. 
(d) 616 milhões de pessoas. 
(e) 1,1 bilhão de pessoas. 
Fonte: OMS 
População sem água encanada (em bilhões)
28%
2%
63%
7%
África Europa Ásia América Latina e Caribe
Introdução à Estatística 30CENED – Centro de Educação Profissional 
 
10. Dada a tabela abaixo, classifique cada uma das variáveis consideradas: 
 
Nome Sexo Idade (em anos) Função Salário 
Preferência 
para Férias 
Anjos, Gabriel dos M 23 Auxiliar R$ 900,00 9º 
Bitencourt, Mateus M 34 Diretor R$ 3.500,00 1º 
Goya, Maria F 35 Professora R$ 2.400,00 8º 
Martins, Ana F 24 Secretária R$ 1.300,00 3º 
Santos, Carolina F 43 Professora R$ 2.400,00 4º 
Silva, Felipe M 31 Assistente R$ 1.700,00 2º 
Vieira, Moacir M 25 Professor R$ 2.400,00 5º 
Sain, Dora F 30 Professora R$ 2.400,00 6º 
Dario, Gabriela F 26 Professora R$ 2.400,00 7º 
 
(a) 
Nome Variável quantitativa nominal 
Sexo Variável quantitativa nominal 
Idade Variável quantitativa discreta 
Função Variável quantitativa nominal 
Salário Variável quantitativa contínua 
Férias Variável qualitativa ordinal 
(b) 
Nome Variável qualitativa discreta 
Sexo Variável qualitativa discreta 
Idade Variável quantitativa nominal 
Função Variável qualitativa discreta 
Salário Variável quantitativa contínua 
Férias Variável qualitativa ordinal 
(c) 
Nome Variável qualitativa nominal 
Sexo Variável qualitativa nominal 
Idade Variável quantitativa discreta 
Função Variável qualitativa nominal 
Salário Variável quantitativa discreta 
Férias Variável qualitativa ordinal 
 
(d) 
Nome Variável qualitativa nominal 
Sexo Variável qualitativa nominal 
Idade Variável quantitativa discreta 
Função Variável qualitativa nominal 
Salário Variável quantitativa contínua 
Férias Variável qualitativa ordinal 
 
 
(e) 
Nome Variável qualitativa nominal 
Sexo Variável qualitativa nominal 
Idade Variável quantitativa contínua 
Função Variável qualitativa nominal 
Salário Variável quantitativa contínua 
Férias Variável qualitativa ordinal 
 
 
 
Introdução à Estatística 31 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
SEÇÃO 2 
A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
2.1. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. 
Os dados estatísticos resultantes de um experimento, cujas variáveis são quantitativas, 
são ordenados e contados em suas repetições, com a finalidade de dotá-los de uma estrutura 
condizente com os objetivos do experimento. Denomina-se freqüência ao número 
relacionado às vezes em que a variável aparece em determinada classe. A tabela que 
representa essa configuração dos dados é chamada distribuição de freqüência. Quando a 
variável é contínua, costuma-se agrupar os dados em intervalos. 
 
2.1.1. Classe 
Os intervalos estabelecidos para variação da variável são denominados classes de 
freqüência ou classes. 
Para denominar uma determinada classe, é utilizada a notação i, com i = 1, 2, ..., n, 
sendo n o número total de classes. 
Na Tabela 1.2., que se refere ao exemplo das idades dos alunos da turma do 1º 
semestre do curso de Administração da Faculdade X, em agosto de 2007, foram construídas 
seis classes. Neste caso, n = 6 e i varia de 1 a 6. 
 
2.1.2. Limites de uma Classe 
Os pontos extremos de uma classe recebem o nome de limites de classe, sendo il o 
limite inferior da classe e iL o limite superior da classe. Essas nomenclaturas são lidas 
como l índice i e L índice i. 
Ainda analisando a Tabela 1.2., os limite da 1ª classe são: limite inferior 15 e limite 
superior 20. Para a segunda classe, o limite inferior é 20 e limite superior 25, e assim por 
diante. Conforme foi salientado anteriormente, o limite superior de uma classe fica excluído 
dessa classe e integra a classe seguinte, como limite inferior. 
 
2.1.3. Amplitude de uma Classe 
O comprimento da classe i, ou seja, a diferença ii lL − é denominado amplitude do 
intervalo da classe i e é anotada por hi, como diferença entre o limite superior e o limite 
inferior da classe. Assim: 
iii lLh −= 
 
No exemplo das idades, o comprimento da 1ª classe é dado por: 
 
h1 = L1 – l1 = 20 – 15 = 5 anos, valor que se repete nas outras cinco classes. 
 
Introdução à Estatística 32 
CENED – Centro de Educação Profissional 
2.1.4. Amplitude Total da Distribuição 
A diferença entre o limite superior da última classe (denominado Lmáx) e o limite inferior 
da primeira classe (denominado lmin) é chamada de amplitude total da distribuição e 
anotada por AT. Desse modo: 
AT = Lmáx - lmin 
 
No exemplo das idades, a amplitude total da distribuição é: 
AT = 45 – 15 = 30 anos. 
O experimento contemplou uma variação de 30 anos entre a menor e a maior idade 
dos alunos participantes. 
É interessante observar que existe uma relação entre a amplitude total da distribuição, 
o número de classes e a amplitude de cada intervalo de classe. 
 
2.1.5. Ponto Médio de uma classe 
O ponto obtido pelo cálculo da média aritmética entre o extremo inferior da classe i é 
chamado ponto médio dessa classe e é anotado por xi. Portanto: 
 
 
No exemplo das idades, o ponto médio da primeira classe é: 
 
2.1.6. Freqüência Simples (ou Absoluta) 
A freqüência de um valor ou da classe i, numa distribuição, é dada pelo número de 
observações relativas a esse valor ou classe e é anotada por fi , que é descrita por f índice i. 
No exemplo das idades, f1 = 14; f2 = 12; f3 = 8; f4 = 4; f5 = 1; f6 = 1. Observa-se que 
 
 
representa a soma de todas as freqüências e o total das observações realizadas no 
experimento. 
 
2.1.7. Freqüência Relativa 
O resultado da razão entre a freqüência simples da classe i e a freqüência total é 
denominado freqüência relativa da classe i. 
 
No exemplo das idades, conforme apresentado na Tabela 1.7., a freqüência relativa da 
primeira classe é: 
 
 
 
2
ii
i
Llx +=
anosx 5,17
2
2015
1 =
+
=
∑
=
=
6
1
40
i
if
⇒=
∑ if
ffr 11 %.3535,040
14
11 oufrfr =⇒=
Introdução à Estatística 33 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Do mesmo modo, podem ser calculadas as freqüências relativas das outras classes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A adição de todas as freqüências relativas fornece o total de 1 ou 100%. 
 
2.1.8. Freqüência Acumulada 
A freqüência acumulada Fi da classe i é a soma das freqüências das classes k com 
ik ≤ , isto é, 
 
 
No exemplo das idades, é fácil calcular que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sempre será obtido o valor total de observações envolvidas no experimento, no cálculo 
da última freqüência acumulada. Observando os dados, pode-se inferir, entre outras 
informações, que existem 26 alunos que têm idades inferiores a vinte e cinco anos e 39 
alunos não completaram quarenta anos. 
∑
=
=++++=
i
k
kiii fFouffffF
1
321 ...
40139
39138
38434
34826
261214
14
6543216
543215
43214
3213
212
11
=+=+++++=
=+=++++=
=+=+++=
=+=++=
=+=+=
==
ffffffF
fffffF
ffffF
fffF
ffF
fF
%3030,0
40
12
22
2
2 oufrfrf
ffr
i
=⇒=⇒=
∑
%2020,0
40
8
33
3
3 oufrfrf
f
fr
i
=⇒=⇒=
∑
%1010,0
40
4
44
4
4 oufrfrf
ffr
i
=⇒=⇒=
∑
%5,2025,0
40
1
55
5
5 oufrfrf
f
fr
i
=⇒=⇒=
∑
%5,2025,0
40
1
66
6
6 oufrfrf
f
fr
i
=⇒=⇒=
∑
Introdução à Estatística 34 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
2.1.9. Freqüência Acumulada Relativa. 
A freqüência acumulada Fi da classe i, ao ser dividida pelo número total de elementos 
observados no experimento, dá origem à freqüência acumulada relativa Fri da classe i. 
O experimento das idades fornecerá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores obtidos nos cálculos das freqüências acumuladas relativas formam uma 
seqüência crescente e o último valor deve ser, sempre, igual a 1, por resultar da comparação 
do número total de observações consigo mesmo. 
Como um apanhado final dos conceitos desenvolvidos nesta seção, pode-se construir 
o seguinte quadro-resumo: 
 
SÍMBOLO NOME DESCRIÇÃO 
xi Ponto médio da i-ésima classe. É a média dos extremos da classe i. 
n Número de observações. É a quantidade total de observações. 
fi Freqüência da i-ésima classe. Total de observações da classe i. 
fri Freqüência relativa da classe. Obtida pela divisão de ni por n. 
Fi Freqüência acumulada até a i-ésima 
classe. 
Indica a quantidade de observações 
inferioresao limite superior da classe. 
Fri Freqüência acumulada relativa. Obtida pela divisão de Fi por n. 
 
É comum, por parte de quem estuda estes conteúdos pela primeira vez, enganar-se 
quanto ao papel da freqüência simples, da freqüência acumulada e de suas relativas. 
Portanto, é interessante ater-se um pouco a esses conceitos, pois serão largamente utilizados 
no cálculo das medidas de posição tratadas na Seção 3. 
 
Estendendo-se esses conceitos ao estudo das idades dos alunos, pode-se construir o 
quadro completo das freqüências do caso C da Tabela 1.1, apresentadas agora na Tabela 
2.1.: 
 
.1
40
4098,0
40
39
95,0
40
3885,0
40
34
65,0
40
2635,0
40
14
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
======
======
======
∑∑
∑∑
∑∑
ii
ii
ii
f
F
Fr
f
F
Fr
f
FFr
f
F
Fr
f
FFr
f
FFr
Introdução à Estatística 35 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
 
 
 
Classes xi fi fri Fi Fri 
15 ├ 20 17,5 14 0,35 14 0,35 
20 ├ 25 22,5 12 0,30 26 0,65 
25 ├ 30 27,5 8 0,20 34 0,85 
30 ├ 35 32,5 4 0,10 38 0,95 
35 ├ 40 37,5 1 0,03 39 0,975 
40 ├ 45 42,5 1 0,03 40 1 
TOTAL 40 1 
 
 
2.2. Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe. 
Quando os dados de um experimento são qualitativos ou definidos por uma variável 
discreta, não é necessário referenciar-se a intervalos para denominar as classes de variação 
dos valores analisados. Neste caso, a distribuição é denominada distribuição sem 
intervalos de classe. 
Pode ser tomado como exemplo as classificações de doze filmes apresentados na 
cidade X durante um mês: 
 
14 anos 18 anos 12 anos 14 anos 
18 anos 14 anos 18 anos livre 
livre 18 anos 18 anos 12 anos 
 
Assim, para n = 12, a distribuição de freqüências pode ser estabelecida por: 
 
 
 
 
i Classificação (xi) fi fri Fi Fri 
1 12 anos 2 0,17 2 0,17 
2 14 anos 3 0,25 5 0,41 
3 18 anos 5 0,41 10 0,83 
4 livre 2 0,17 12 1,00 
 12 1 
 
Tabela 2.1. Distribuição das freqüências das idades dos alunos da 
turma do 1º semestre do curso de Administração da Faculdade X, 
em agosto de 2007, caso C. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Tabela 2.2. Distribuição das freqüências das classificações de 
filmes exibidos na cidade X, em agosto de 2007. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 36 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
2.3. Representando graficamente uma Distribuição de Freqüência. 
Muito importantes para informar padrões de dados ou para caracterizá-los visualmente, 
as formas de representação gráfica de uma distribuição de freqüência recebem as 
denominações de histograma, polígono de freqüência, polígono de freqüência 
acumulada ou curva de freqüência. Cada uma dessas representações é determinada por 
eixos coordenados cartesianos ortogonais, com a variável independente representada no eixo 
horizontal (das abscissas). O crescimento da variável contínua é representado da esquerda 
para a direita, no eixo horizontal, e de baixo para cima, no eixo vertical. 
 
2.3.1. O histograma. 
Utilizado para visualizar dados quantitativos contínuos, um histograma é apresentado 
por barras adjacentes. Assim, a não existência de espaço entre as colunas vizinhas acentua a 
idéia de continuidade de dados quantitativos que representam variáveis quantitativas 
contínuas. Por outro lado, a apresentação das classes com a mesma largura determina que a 
diferenciação visual entre as características de cada classe realize-se pela comparação entre 
as alturas das colunas. 
A distribuição das idades analisada anteriormente será representada pelo seguinte 
histograma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É conveniente verificar, como foi analisado nas argumentações antecedentes, que, por 
meio de uma simples visualização gráfica, pode ser visualizada a densa concentração das 
idades inferiores a 30 anos na distribuição de freqüência. O polígono de frequência, obtido a 
partir desse polígono. 
Gráfico 2.1. Distribuição das freqüências das idades dos alunos da 
turma do 1º semestre do curso de Administração da Faculdade X, 
em agosto de 2007, caso C. 
0
4
8
12
16
15 ├ 20 20 ├ 25 25 ├ 30 30 ├ 35 35 ├ 40 40 ├ 45
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 37 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
2.3.2. O polígono de freqüência. 
Como uma variação do modo de representação dos dados em um histograma, o 
polígono de freqüência, no entanto, pode ser construído diretamente de uma distribuição de 
freqüência. Para construí-lo, basta tomar os pontos do histograma correspondentes ao ponto 
médio xi de cada uma das classes e tomar o gráfico de linha por eles determinados. 
No exemplo das idades, os pares ordenados considerados serão (17,5; 14), (22,5; 12), 
(27,5; 8), (32,5; 4), (37,5; 1) e (42,5; 1), conforme os valores discriminados na Tabela 2.1. 
Uma transição pode ser construída entre a obtenção do histograma e do gráfico de linha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um polígono de freqüência pode apresentar os seguintes formatos típicos: 
 
SIMÉTRICA (ou NORMAL) FORMA DE U 
 
ASSIMÉTRICA POSITIVA ASSIMÉTRICA NEGATIVA 
 
 
0
5
10
15
15 ├ 20 20 ├ 25 25 ├ 30 30 ├ 35 35 ├ 40 40 ├ 45
0
5
10
15
15 ├ 20 20 ├ 25 25 ├ 30 30 ├ 35 35 ├ 40 40 ├ 45
Gráfico 2.2. Distribuição das freqüências das idades dos alunos da 
turma do 1º semestre do curso de Administração da Faculdade X, 
em agosto de 2007, caso C. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 38 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
 
BIMODAL MULTIMODAL 
 
CURVA EM JOTA CURVA EM JOTA INVERTIDO 
 
 
2.4. ALGUNS ESTUDOS DE CASO 
Com a intenção de construir uma análise abrangente dos conteúdos desenvolvidas 
nesta seção, os exemplos a seguir retomam vários conceitos a partir de uma situação simples 
para, finalmente, obter um gráfico que melhor descreva os dados analisados. 
 
2.4.1 - Para a seguinte amostra da renda anual (em milhares de reais) das famílias de 
dada região geográfica, em agosto de 2007, obter cada um dos itens abaixo: 
 
10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 
3 15 0 13 14 4 3 6 6 8 
10 1 12 13 14 2 15 5 4 10 
2 11 3 8 10 1 13 14 15 16 
8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 
5 6 7 8 9 1 12 13 14 16 
 
2.4.1.1. Agrupar os elementos em 6 classes, de amplitude 3. 
 
Introdução à Estatística 39 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Em primeiro lugar, é necessário ordenar os dados brutos fornecidos, de modo a obter 
um rol: 
0 2 3 4 5 7 9 10 13 14 
1 2 3 4 6 8 9 10 13 15 
1 3 3 4 6 8 9 11 13 15 
1 3 4 5 6 8 9 12 14 15 
2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 
2 3 4 5 7 8 10 13 14 16 
 
A segunda etapa consiste em agrupar os dados para determinar a freqüência de cada 
um deles e obter o total das observações: 
RENDA 
(Em R$ 1.000,00) 
fi 
0 1 
1 3 
2 7 
3 6 
4 4 
5 4 
6 4 
7 2 
8 5 
9 4 
10 4 
11 1 
12 2 
13 4 
14 4 
15 3 
16 2 
TOTAL 60 
 
Finalmente, ao agrupar os dados em 6 classes, cada uma com amplitude 3, obtém-se: 
 
RENDA 
(Em R$ 1.000,00) 
fi 
0├ 3 11 
3├ 6 14 
6 ├ 9 11 
9 ├ 12 9 
12 ├ 15 10 
15 ├ 18 5 
TOTAL 60 
Introdução à Estatística 40 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
2.4.1.2. Construir um polígono de freqüências. 
O polígono de freqüências, obtido para a distribuição de freqüências de 2.4.1.1. é o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.1.3. Verificar se a distribuição é simétrica. 
A distribuição não é simétrica, pois o polígono de freqüências obtido determina uma 
curva assimétrica positiva. 
 
2.4.2. - O diretor de uma IES particular deseja investigar a distribuição das idades dos 
alunos que prestaram o vestibular e conseguiram aprovação, independente do curso 
escolhido. A equipe responsável pelo estudo coletou os dados e montou a seguinte tabela: 
 
Tabela 2.3. Distribuição das Idades dos Alunos Aprovados no Vestibular 
IES X - 2002 
Idade dos Alunos No de alunos - fi xi Fi - Freq.Acumulada fri (%) Fri (%) 
 15 | 120 
| 180 
| 960 
| 1020 
| 1140 
| 1188 
| 1200 
TOTAL - - - 
FONTE: Fictícia. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0├ 3 3├ 6 6 ├ 9 9 ├ 12 12 ├ 15 15 ├ 18Re
nd
a 
(E
m
 R
$ 
1.
00
0,
00
)
Gráfico 2.3. Distribuição das freqüências renda anual (em milhares 
de reais) das famílias da região geográfica X, em agosto de 2007. 
Introdução à Estatística 41 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Sabendo que a amplitude total é igual a 42, completar as classes e obter: 
(a) os pontos médios das classes, as freqüências simples, relativas e as relativas 
acumuladas. 
(b) a porcentagem de alunos aprovados no vestibular com idades entre o limite inferior da 3ª 
classe inclusive e o limite superior da penúltima classe exclusive. 
(c) o histograma da distribuição. 
(d) o polígono das freqüências acumuladas. 
 
Solução: Sabendo-se que a amplitude total é 42, pode-se determinar a amplitude de 
cada classe, bastando, para isso, dividir 42 pelo número de classes. Portanto, 42 : 7 = 6 e as 
classes envolvidas na distribuição de freqüências são: 
 
15 | 21; 21 | 27; 27 | 33; 33 | 39; 39 | 45, 45 | 51 e 51 | 57. 
 
(a) Por outro lado, para obter os pontos médios de cada classe, basta tomar: 
 
 
 
 
 
Para calcular as freqüências absolutas, é necessário construir as subtrações entre as 
freqüências acumuladas de cada duas classes subseqüentes: 
 
f1 = 120; f2 = 180 -120 = 60; f3 = 960 -180 = 780; f4 = 1020 - 960 = 60; 
f5 = 1140 – 1020 = 120; f6 = 1188 - 1140 =48; f7 = 1200 – 1188 = 12. 
 
As freqüências relativas simples são calculadas pela proporção da freqüência de cada 
classe em relação ao total das 1200 observações: 
 
 
 
 
 
As freqüências relativas acumuladas são obtidas a partir das freqüências acumuladas 
fornecidas acima, na tabela incompleta: 
F1 = 120; F2 = 180; F3 = 960; F4 = 1020; F5 = 1140; F6 = 1188; F7 = 1200. 
 
54
2
5751;48
2
5145;42
2
4539
;36
2
3933;30
2
3327;24
2
2721;18
2
2115
765
4321
=
+
==
+
==
+
=
=
+
==
+
==
+
==
+
=
xxx
xxxx
.01,0
1200
1200;04,0
1200
1188;10,0
1200
1140
;05,0
1200
1020;65,0
1200
960;05,0
1200
180;10,0
1200
120
765
4321
======
========
frfrfr
frfrfrfr
Introdução à Estatística 42 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Portanto: 
 
 
 
 
A obtenção desses dados permite completar a tabela, conforme solicitado no 
enunciado do exemplo: 
 
Tabela 2.3 Distribuição das Idades dos Alunos Aprovados no Vestibular - IES X - 2002 
Idade dos Alunos No de alunos ( fi) xi Fi - Freq.Acumulada fri (%) Fri (%) 
15 | 21 120 18 120 10 10 
21 | 27 60 24 180 5 15 
27 | 33 780 30 960 65 80 
33 | 39 60 36 1020 5 85 
39 | 45 120 42 1140 10 95 
45 | 51 48 48 1188 4 99 
51 | 57 12 54 1200 1 100 
TOTAL 1200 - - 100 - 
FONTE: Fictícia 
 
(b) A porcentagem de alunos aprovados no vestibular com idades entre o limite inferior da 3ª 
classe inclusive e o limite superior da penúltima classe exclusive? 
Para calcular a porcentagem solicitada, basta construir uma adição entre as 
freqüências relativas da 3ª até a 6ª classe (penúltima classe): 
P(27≤x<51) = 65% + 5% + 10% + 4% = 84% 
 
(c) Qual é o histograma da distribuição? 
 
Gráfico 2.4. Distribuição das Idades dos Alunos Aprovados no Vestibular 
IES X - 2002 
 
 
 
 
 
 
.00,1
1200
1200;99,0
1200
1188;95,0
1200
1140
;85,0
1200
1020;80,0
1200
960;15,0
1200
180;10,0
1200
120
765
4321
======
========
FrFrFr
FrFrFrFr
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
 15 |- 21 21 |- 27 27 |- 33 33 |- 39 39 |- 45 45 |- 51
Nº
 d
e 
al
un
os
Introdução à Estatística 43 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
(d) Qual é o polígono das freqüências acumuladas? 
 
Gráfico 2.5. Distribuição das Idades dos Alunos Aprovados no Vestibular 
IES X - 2002 
 
 
 
 
 
 
 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
 15 |- 21 21 |- 27 27 |- 33 33 |- 39 39 |- 45 45 |- 51
Nº
 d
e 
al
un
os
Introdução à Estatística 44 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
 VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 2 
 
1. Analise o gráfico a seguir, escolhendo a opção que reflita as medidas centrais da 
distribuição de freqüência que ele representa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) a distribuição de freqüência é assimétrica. 
(b) o gráfico apresentado é um histograma. 
(c) a distribuição de freqüência é simétrica. 
(d) a amplitude da distribuição é 18. 
(e) a amplitude de cada classe é 2. 
 
2. A partir do seguinte histograma, construído para certo experimento, foram construídas as 
seguintes afirmativas: 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
0 
 
 10 20 30 40 50 60 70 80 
 
Idades dos participantes de um concurso 
fotográfico, Cidade X, 2007.
0
5
10
15
20
25
12 14 16 18 20 22 24
'
Fonte: fictícia 
Introdução à Estatística 45 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
I - o intervalo de classe que tem a maior freqüência é o compreendido entre 45 e 50. 
II - a amplitude da observação é de 65 unidades. 
III - a freqüência do intervalo de classe 10├ 15 é igual a 5. 
 
Julgue os itens: 
(a) as três afirmativas estão corretas. 
(b) apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
(c) apenas as afirmativas II e III estão corretas. 
(d) apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
(e) apenas a afirmativa I está correta. 
 
3. Foram medidas as alturas de todas as crianças participantes de um grupo de escoteiros e 
os resultados, plotados na seguinte tabela de freqüências: 
 
Classes (em cm) Freqüência 
100 ├ 120 8 
120 ├ 140 12 
140 ├ 160 16 
160 ├ 180 4 
 
Neste caso, pode-se afirmar que: 
 
I - foram observadas as alturas de 30 crianças. 
II - se fosse preenchida uma coluna com as freqüências simples relativas de cada classe, 
obter-se-ia os números 0,2; 0,3; 0,4 e 0,1. 
III - a freqüência acumulada da última classe é igual a 1. 
 
Julgue os itens: 
(a) apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
(b) apenas as afirmativas II e III estão corretas. 
(c) apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
(d) apenas a afirmativa II está correta. 
(e) apenas a afirmativa III está correta. 
 
 
Introdução à Estatística 46 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
4. A observação das estaturas, em cm, de 20 alunos de uma classe da Educação Infantil da 
Escola XX, em agosto de 2007, forneceu os seguintes dados, já ordenados: 
 
106 106 110 110 110 112 112 115 115 116 
116 116 116 118 118 118 118 120 120 121 
 
A tabela que melhor descreve a distribuição de freqüências do experimento é: 
 
(a) 
 
 
CLASSES 
i 
ESTATURAS 
(em cm) fi 
1 105├ 110 5 
2 110├ 115 4 
3 115├ 120 10 
4 120├ 125 1 
 
 
(b) 
 
 
CLASSES 
i 
ESTATURAS 
(em cm) fi 
1 105 5 
2 110 4 
3 115 10 
4 120 1 
 
 
(c) 
 
 
CLASSES 
i 
ESTATURAS 
(em cm) fi 
1 110 2 
2 115 5 
3 120 10 
4 125 3 
 
 
Fonte: dados hipotéticos. 
Tabela 4.1. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Tabela 4.2. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Tabela 4.3. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 47 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
(d) 
 
 
CLASSES 
i 
ESTATURAS 
(em cm) fi 
1 105├ 110 12,5% 
2 110├ 115 10,0% 
3 115├ 120 25,0% 
4 120├ 125 2,5% 
 
 
(e) 
 
 
CLASSES 
i 
ESTATURAS 
(em cm) fi 
1 105├ 110 2 
2 110├ 115 5 
3 115├ 120 10 
4 120├ 125 3 
 
 
5. Os pesos dos jogadores de um clube de futebol variam de 70 a 100 quilos. Qual é a 
amplitude de cada classe, se forem tomadas 5 classes para apresentar essa distribuição de 
freqüência? 
 
(a) 5. 
(b) 6. 
(c) 10. 
(d) 30. 
(e) 70. 
 
6. A interseçãodas classes de uma distribuição de freqüência deve ser vazia para que: 
 
(a) os limites superiores e inferiores das classes não sejam excluídos. 
(b) o limite inferior seja, sempre, menor do que o limite superior da classe. 
(c) os dados não sejam excluídos das classes. 
(d) um dado não seja computado duas vezes. 
(e) a variabilidade do conjunto seja discreta. 
Tabela 4.4. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Tabela 4.5. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Tabela 4.4. Distribuição das freqüências das alturas dos alunos da 
Educação Infantil da Escola XX, em agosto de 2007. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 48 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
7. Julgue as seguintes afirmativas e assinale a alternativa correta: 
 
I. Um polígono de freqüência representa uma variável discreta. 
II. Um histograma representa uma variável discreta. 
III. Tanto o histograma quanto o polígono de freqüência representam uma variável contínua. 
 
(a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
(b) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
(c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
(d) Todas as afirmativas são falsas. 
(e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
8. Um teste de inteligência, aplicado aos formandos do Ensino Fundamental da Escola XX, 
em dezembro de 2006, apresentou os seguintes resultados: 
 
 
 
CLASSES PONTOS NO TESTE Nº DE ALUNOS 
1 90├ 100 22 
2 100├ 110 58 
3 110├ 120 110 
4 120├ 130 25 
5 130├ 140 5 
 
 
 
Qual é a freqüência relativa da 3ª classe? 
 
(a) 0,05. 
(b) 0,11. 
(c) 0,22 
(d) 0,50. 
(e) 1,00. 
 
Distribuição das freqüências dos pontos obtidos pelos alunos da 
Educação Fundamental da Escola XX, em dezembro de 2006. 
Fonte: dados hipotéticos. 
Introdução à Estatística 49 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
9. Em qual dos tipos de gráfico citados abaixo são utilizadas as freqüências acumuladas de 
uma distribuição de freqüência? 
 
(a) Polígono de freqüência acumulada. 
(b) Curva de freqüência. 
(c) Histograma de freqüência acumulada. 
(d) Curva assimétrica acumulada. 
(e) Gráfico em colunas acumuladas. 
 
10. (FISCAL MG/96) A distribuição a seguir indica o número de acidentes ocorridos com 40 
motoristas de uma empresa de ônibus: 
 
Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 
Nº de motoristas 13 7 10 4 3 2 1 
 
Logo, o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes é de: 
 
(a) 3. 
(b) 6. 
(c) 10. 
(d) 27. 
(e) 30. 
Introdução à Estatística 50 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
SEÇAO 3 
A DESCRIÇÃO DOS DADOS POR MÉDIAS 
 
3.1. A MÉDIA ARITMÉTICA. 
Como medida informal para localizar o centro de uma distribuição, a média aritmética é 
a média mais importante e útil dentre as três que serão aqui analisadas. Também constitui o 
cálculo mais comum e plenamente utilizado, por fornecer o ponto de equilíbrio de qualquer 
distribuição. Em Estatística é usual diferenciar-se a média de uma população da média de 
uma amostra, porém, como este estudo tem caráter introdutório, todas as fórmulas 
desenvolvidas são aplicáveis a uma população. 
A média aritmética de um conjunto de n observações x1, x2, x3, ..., xn é anotada por 
x e é dada pelo quociente: 
 
 
Lido como: 
x barrado é o somatório da variável x dividido pelo número de observações 
A média aritmética simples também é apresentada de um modo mais compacto pela 
utilização da letra, do alfabeto grego, sigma maiúscula: 
 
 
 
Sendo: 
 
 
 
Para dados não-agrupados, o cálculo da média é realizado como uma média 
aritmética simples, cuja fórmula foi dada acima, enquanto que, para dados agrupados, é 
tomada a média aritmética ponderada, em que os pesos são tomados como sendo as 
freqüências de cada classe e o ponto xi como o ponto médio de cada classe. Devido às 
diferenças no tratamento de cada uma dessas situações, elas serão examinadas 
separadamente. 
 
3.1.1. A média para dados não-agrupados 
Para obter a média de dados não-agrupados, calcula-se a média aritmética simples 
como foi definida acima. É importante observar que, muitas vezes, o resultado obtido como 
média dos dados referentes a uma observação não coincide com nenhum dos valores 
observados. Isto pode ser entendido pelo papel de representatividade da média, embora sua 
existência não seja concreta. 
n
xxxxx n++++= ...321
∑∑∑
=
===
n
i
ii
i x
n
xoux
n
xou
n
x
x
1
11
populaçãodavaloresdenúmeroon
iávelpelaassumidosvaloresosx
aritméticamédiaax
i var
Introdução à Estatística 51 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Como exemplo, para calcular a média do abastecimento mensal de combustível do 
próprio carro, um consumidor anotou a diferença de quilometragem a cada abastecimento de 
50 litros: 
640 692 697 654 632 685 690 662 
Neste caso, a média das oito observações será: 
 
 
 
 
 
Portanto, embora o valor 669 km não tenha sido observado no experimento dos 
abastecimentos, representa o conjunto por constituir-se no valor médio de todas as oito 
medidas realizadas. 
 
3.1.2. A média para dados agrupados 
Os dados podem ser agrupados de duas maneiras: sem intervalos de classe ou pela 
utilização de intervalos de classe. 
 
3.1.2.1. Dados agrupados sem intervalos de classe 
No caso de uma distribuição de freqüências em que o número de observações 
determina um indicador para a intensidade de ocorrência de cada valor da variável, a 
freqüência dos dados observados determina o fator de ponderação de cada um desses 
dados. Assim, a média calculada é a média aritmética ponderada: 
 
 
 
 
 
 
Se for utilizada a letra, do alfabeto grego, sigma maiúscula, obter-se-á: 
 
 
Sendo: 
 
 
 
kmx
x
x
669
8
5352
8
662690685632654697692640
=
=
+++++++
=
n
fxfxfxfx
x
ou
ffff
fxfxfxfx
x
kk
k
kk
++++
=
++++
++++
=
...
...
...
332211
321
332211
i
k
i
iii
i
ii fx
n
xoufx
n
xou
f
fx
x ∑∑∑
∑
=
===
1
11
populaçãodavaloresdenúmeroon
iáveldavalorcadadefrequênciaaf
iávelpelaassumidosvaloresosx
aritméticamédiaax
i
i
var
var
Introdução à Estatística 52 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Para construir um exemplo, considere um estudo realizado em agosto de 2007 por um 
síndico, do bloco X com 36 apartamentos, que deseja saber o número médio de moradores 
por apartamento do prédio. Depois de realizado o levantamento em todas as unidades, o 
síndico obteve a seguinte tabela: 
 
 
 
Nº DE MORADORES fi 
1 6 
2 7 
3 9 
4 10 
5 3 
6 1 
 36 
 
 
O cálculo do número médio de moradores por apartamento é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o síndico pode afirmar que o bloco X tem a média de 3 moradores por 
apartamento. 
 
É costume realizar os cálculos da média pela utilização das posições dos dados na 
própria tabela. Assim, em vez da fórmula acima disposta, calcular-se-ia o produto dos pesos 
pelos valores em uma nova coluna - xifi - e as somas como resultado das adições dos 
elementos dispostos em cada posição da coluna. 
Tabela 3.1. Distribuição das freqüências do número de moradores 
do bloco X, em agosto de 2007. 
Fonte: dados hipotéticos. 
3
36
108
1310976
1635104937261
...
...
321
332211
=
=
+++++
×+×+×+×+×+×
=
++++
++++
=
x
x
x
ffff
fxfxfxfx
x
k
kk
Introdução à Estatística 53 
CENED – Centro de Educação Profissional 
 
Como uma simplificação, a Tabela 3.1. é complementada de modo que a última linha 
da nova tabela indica o numerador da fórmula acima, o número 108: 
 
 
 
Nº DE MORADORES fi xifi 
1 6 6 
2 7 14 
3 9 27 
4 10 40 
5 3 15 
6 1 6 
TOTAL 36 108 
 
A média é obtida, neste caso, pela divisão dos totais obtidos na última linha da Tabela 
3.2., ou seja: 
 
 
 
Vale observar que, neste caso, se o número obtido para a média não for um número 
inteiro, a interpretação desse resultado deve considerar a tendência dos dados, uma vez que 
não é possível considerar décimos ou centésimos de