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Gabarito da APX1 – Segunda parte (questões discursivas) – 2020.1 Métodos Determińısticos I Orientações para envio da APX1: I 1. A solução deve estar manuscrita; não serão aceitas questões digitadas. 2. Você deve utilizar apenas caneta preta ou azul, de escrita bastante viśıvel. 3. As páginas de solução deverão ser escaneadas ou fotografadas, e convertidas em formato PDF; não serão aceitos arquivos enviados em outros formatos. Também não serão aceitas questões com qualquer ind́ıcio de edição ou retoque eletrônico. 4. Todas as folhas deverão conter seu nome, matŕıcula e polo. 5. Você deve enviar cada questão em uma única página, em tamanho máximo A4, enviadas em um total de no máximo 4 arquivos. As páginas deverão ser ordenadas e numeradas e em cada página deve também constar o número total de páginas utilizadas. 6. Atenção: apresente as questões e itens, e suas respectivas páginas, na ordem em que aparecem na prova. 7. Todas as respostas deverão conter todos os cálculos e justificativas. Apresente suas soluções de forma organizada e com redação clara. 8. Antes de enviar a atividade, certifique-se de que todas as folhas de solução tenham sido anexadas e que as respostas estejam facilmente leǵıveis. 9. Após o envio, você deve certificar-se de que que sua atividade esteja com status ”enviada”. 10. Após enviar sua resolução, a atividade não será mais aberta para edição. 11. Não deixe para resolver e enviar a prova nos últimos instantes. A Plataforma pode apresentar instabilidades, já que serão muitas provas encerrando-se neste mesmo horário. A prova (parte objetiva + parte discursiva) foi dimensionada para ser resolvida em 2 horas; o prazo de 24 horas para resolução e envio leva em conta esta a possibilidade de eventuais problemas de acesso e congestionamento da Plataforma e/ou acesso à internet. 12. Não serão aceitos envios que não cumpram alguma das regras acima. Lembre-se de que esta atividade corresponde apenas a uma parte da prova. Você também deve responder à atividade ”Primeira Parte da APX1 - Parte Objetiva”. APX1 – Segunda parte (questões discursivas) — Métodos Determińısticos I – 2020.1 Código da disciplina EAD 06075 Questão 1 (1.5 pt) Represente, em um único diagrama de Venn, 4 conjuntos não vazios A, B, C e D, satisfazendo às condições abaixo e de forma que cada região (conjuntos, suas partes e interseções) representada neste diagrama seja, necessariamente, não nula. i. ∀x ∈ A, x /∈ C ii. ∀x ∈ D, x ∈ C iii. ∃x ∈ A, x ∈ B iv. ∃x ∈ A, x /∈ B v. ∃x ∈ C, x /∈ B ∧ x /∈ D vi. D 6⊂ B vii. ∃x ∈ B, x ∈ C ∧ x /∈ D viii. B 6⊂ A ∪ C ix. D 6⊂ C −B Solução: Antes de começarmos a esboçar, vamos tentar entender um pouco melhor o que é dito em algumas condições: i. ∀x ∈ A, x /∈ C: Aqui é dito que todo elemento de A não é elemento de C. Isto implica que A e C tenham interseção vazia, pois, caso houvesse algum elemento na interseção, ele seria um elemento de A que estaria em C, contradizendo a condição dada. ii. ∀x ∈ D, x ∈ C: Todo elemento de D é elemento de C, logo D ⊂ C (D está contido em C). iii. ∃x ∈ A, x ∈ B: Existe algum elemento de A que está em B, ou seja A ∩B 6= ∅. iv. ∃x ∈ A, x /∈ B: Existe algum elemento de A que não está em B, ou seja A 6⊂ B. v. ∃x ∈ C, x /∈ B ∧ x /∈ D: Existe algum elemento de C que não está nem em B e nem em D. vi. D 6⊂ B: D deve ter algum elemento fora de B. vii. ∃x ∈ B, x ∈ C ∧ x /∈ D: Existe algum elemento de B que está em C, mas não em D. viii. B 6⊂ A ∪ C: B possui pelo menos um elemento que não está em A e nem em C. ix. D 6⊂ C−B: D não está contido no conjunto C−B, ou seja, possui pelo menos algum elemento que não está em C −B. Pelas condições i e ii, devemos desenhar conjuntos A e C disjuntos (sem interseção), e D contido em C. Note ainda que, pela condição v, não podemos ter D = C (existe pelo menos um elemento de C que não está em D). Até agora, temos: Métodos Determińısticos I Gabarito da APX1 3 Pelas condições iii e iv, o conjunto B intersecta A, mas não o contém. Pela afirmação vii, B intersecta C, mas, pela afirmação v, B não contém C. Além disso, pela afirmaçãoviii, B possui elementos fora de A e de C. Até agora, temos as possibilidades abaixo: Na primeira possibilidade (mais à esquerda), B não chega a intersectar D. Na terceira (mais à direita), B contém D. Pela condição vi, a terceira possibilidade está descartada. Na primeira condição, D estaria contido no conjunto C − B, sombreado abaixo, que é o conjunto dos elementos de C que não estão em B. Porém, pela condição ix, isto não pode acontecer. Assim, a única possibilidade que resta é a que está abaixo: Questão 2 (1.5 pt) Um comerciante deseja vender um produto por um preço V . Porém, como sabe que seus clientes gostam de receber um desconto, anunciará o produto por um preço A, superior a V , para que, após conceder um desconto de 20% sobre o preço anunciado A, ele seja vendido ao preço V . Escreva, em função de V , qual deve ser o preço A, pelo qual o produto deve ser anunciado. Solução: Como visto no EP5, uma redução de 20% no preço A do produto implica em um preço final de 80% de A, isto é, 80%A = 80 A100 = 8A 10 . Como queremos que este preço seja igual a V temos 8 A 10 = V, Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I Gabarito da APX1 4 logo A = 10 V8 . Outra solução: Um desconto de 20% sobre o preço A resultará em um preço dado por A− 20% A = A− 20 A100 = A− 2A 10 = 8 A 10 . Como queremos que este preço seja igual a V temos 8 A 10 = V, logo A = 10 V8 . Questão 3 (1.0 pt) Escreva o número 1 + √ 2 1− √ 2 em uma forma equivalente que tenha como denominador apenas um número natural positivo. Solução: Podemos fazer 1 + √ 2 1− √ 2 = 1 + √ 2 1− √ 2 · 1 + √ 2 1 + √ 2 = ( 1 + √ 2 )2 12 − (√ 2 )2 = 1 + 2 √ 2 + 2 −1 = − 3 + 2 √ 2 1 Questão 4 (2.0 pt) Assuma como premissa que: Se a fantasia de Pierrô está cara, então a fantasia de Colombina não está barata. Ou a fantasia de Colombina está barata ou Manoel não usa fantasia de Pierrô. Ora, Manoel usa fantasia de Pierrô. (a) Escreva as proposições simples envolvidas nas premissas do enunciado acima e designe para cada uma delas uma letra diferente. A seguir, usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. (b) Considerando as premissas dadas no enunciado, classifique em verdadeiro ou falso cada uma das proposições abaixo: i. A fantasia de Pierrô está cara e a fantasia de Colombina está barata. ii. A fantasia de Pierrô está cara ou a fantasia de Colombina não está barata. iii. A fantasia de Pierrô não esta cara e a fantasia de Colombina está barata. iv. A fantasia de Pierrô não está cara e a fantasia de Colombina não está barata. v. A fantasia de Pierrô não está cara ou a fantasia de Colombina não está barata. Solução: (a) Vamos denotar as proposições simples por Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I Gabarito da APX1 5 p: A fantasia de Pierrô está cara c: A fantasia de Colombina está barata m: Manoel usa fantasia de Pierrô As premissas podem ser escritas como (vamos atribuir um número a cada uma, para podermos nos referir depois): (1) Se a fantasia de Pierrô está cara, então a fantasia de Colombina não está barata: p⇒ (∼ c) (2) Ou a fantasia de Colombina está barata ou Manoel não usa fantasia de Pierrô: c ∨ (∼ m) (3) Manoel usa fantasia de Pierrô: m (b) Primeiro vamos ver o que podemos concluir a partir das premissas. A premissa (3) nos diz que m é verdadeiro. Com isso, ∼ m é falso. A premissa (2) diz que c ∨ (∼ m) é verdadeiro, logo, como ∼ m é falso, necessariamente teremos que c é verdadeiro. A premissa (1) diz que p⇒ ( c), logo, como c é falso, temos que p deve ser falso (não se pode ter verdadeiro implicandofalso). Assim, temos: p: falso c: verdadeiro m: verdadeiro i. A fantasia de Pierrô está cara e a fantasia de Colombina está barata (p ∧ c): Falso, pois é um “e”, com p falso e c verdadeiro (falso e verdadeiro resulta em falso). ii. A fantasia de Pierrô está cara ou a fantasia de Colombina não está barata (p ∨ (∼ c)): Falso, pois é um “ou”, com p falso e ∼ c falso (falso ou falso resulta em falso). iii. A fantasia de Pierrô não esta cara e a fantasia de Colombina está barata ((∼ p) ∧ c): Verdadeiro, pois é um “e”, com ∼ p verdadeiro e c verdadeiro (verdadeiro e verdadeiro resulta em verdadeiro). iv. A fantasia de Pierrô não está cara e a fantasia de Colombina não está barata ((∼ p)∧(∼ c)): Falso, pois é um “e”, com ∼ p verdadeiro e ∼ c falso (verdadeiro e falso resulta em falso). v. A fantasia de Pierrô não está cara ou a fantasia de Colombina não está barata ((∼ p)∨(∼ c)): Verdadeiro, pois é um “ou”, com p verdadeiro e ∼ c falso (verdadeiro ou falso resulta em verdadeiro). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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