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Prof. Luiz Felix UNIDADE I Matemática Aplicada Expressões numéricas Uma sequência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: potenciações e radiciações; multiplicações e divisões; adições e subtrações. E as seguintes prioridades: parênteses – ( ); colchetes – [ ]; chaves – { }. Exemplo: [(52 – 6.22).3 + (13 – 7)2 : 3] : 5 [(25 – 6.4).3 + 62 : 3] : 5 [(25 – 24).3 + 36 : 3] : 5 [1.3 + 12] : 5 [3 + 12] : 5 15 : 5 = 3 Expressões numéricas Envolvem números, letras e operações indicadas entre eles. As letras, em uma expressão algébrica, representam qualquer número real. Elas são chamadas de incógnitas. y + 10 5 . k 5 . (x + 2) – 8 . x b2 – 4 . a . c Simplificação de expressões algébricas: x + x = 2x 3k – 5k = – 2k 3 (x + 2) – 7 . X 3x + 6 – 7x = – 4x + 6 Expressões algébricas Determine a expressão que representa o perímetro (a medida do comprimento de um contorno) da seguinte figura: 4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x = 12x + 2 Operações com expressões algébricas 2x 4x + 1 Determine a expressão que representa a área (medida de uma superfície) da seguinte figura: (2x).(4x + 1) = 8x² + 2x Se x = 2 m, qual é o valor da área? 8x² + 2x 8.2² + 2.2 8.4 + 4 32 + 4 = 36 m² Operações com expressões algébricas 2x 4x + 1 Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através de uma divisão. Exemplo: na sala de aula de uma faculdade há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembrando que razão é divisão): 20 = 4 Significa que para 4 rapazes existem 5 moças. 25 5 Lê-se “4 está para 5” ou “4 para 5” Qual a razão entre o número de moças e o número de rapazes? 25 = 5 Significa que para cada 5 moças existem 4 20 4 rapazes Razão É a igualdade entre duas razões. Exemplo: Para fazer 10 bolos, uma confeiteira utiliza 20 xícaras de açúcar. Para fazer 4 bolos, uma confeiteira utiliza 8 xícaras de açúcar. R1 = 10 = 1 R2 = 4 = 1 20 2 8 2 Então 10 = 4 10.8 = 20.4 80 = 80 20 8 Logo, R1 = R2 Proporção Calcule o valor da seguinte expressão: [– (–2)3 – 23] a) 0 b) 1 c) 8 d) –8 e) –16 Interatividade Calcule o valor da seguinte expressão: [– (–2)3 – 23] a) 0 Resolução: [– (–2)3 – 23] = [– (–8) – 8] = [8 – 8] = 0 Resposta 5% = 5 = 0,05 100 30% = 30 = 0,3 100 Calcule: 30% de 80 30 . 80 = 0,3 . 80 = 24 100 Calcule: 5% de 350 5 . 350 = 0,05 . 350 = 17,5 100 Porcentagem Exemplo: em uma loja de móveis, um conjunto de estofados custa R$2.200,00. Ele foi vendido com um lucro de R$330,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de venda? x . 2200 = 330 100 22.x = 330 x = 330 / 22 = 15 Logo, o lucro foi de 15% Porcentagem Exemplo: um doce teve seu preço reajustado de R$ 2,50 para R$ 2,80.Qual é a taxa percentual de aumento? x . 2,50 = 0,30 2,50.x = 0,30.100 2,50.x = 30 x = 30 = 12 100 2,50 Logo, o aumento foi de 12% Porcentagem A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais: o aumento de uma implica o aumento da outra; a redução de uma implica a redução da outra. Exemplo: intensidade do sol e o fator do protetor solar. Grandezas inversamente proporcionais: o aumento de uma implica a redução da outra; a redução de uma implica o aumento da outra. Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem. Regra de três Na regra de três simples, duas grandezas estão envolvidas. Na regra de três simples é necessário que três valores sejam apresentados para que assim se descubra o quarto valor. Exemplo: uma usina produz 500 litros de álcool com 6.000 kg de cana de açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15.000 kg de cana. Litros de álcool e Kg são grandezas diretamente proporcionais 6000 = 500 6 = 500 6.x = 15 . 500 15000 x 15 x 6x = 7500 x = 7500/6 x = 1250 Regra de três simples Exemplo: uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas? Professores e dias são grandezas inversamente proporcionais. 30 = 12 30.x = 12 . 5 30x = 60 5 x x = 60/30 = 2 A equipe de 30 professores levará 2 dias para corrigir as provas. Regra de três simples Professores Dias 5 12 30 x Dos alunos de uma escola, 30% prestaram vestibular para a faculdade de Matemática e 60% desses, que são 180 alunos, entraram na faculdade. Quantos alunos tinha essa escola? a) 300 alunos b) 600 alunos c) 900 alunos d) 1000 alunos e) 1200 alunos Interatividade Dos alunos de uma escola, 30% prestaram vestibular para a faculdade de Matemática e 60% desses, que são 180 alunos, entraram na faculdade. Quantos alunos tinha essa escola? d) 1000 alunos Resolução: 30% = 0,3 60% = 0,6 60% de 30% dos alunos da escola são 180 alunos 0,6 . (0,3 . x) = 180 0,18x = 180 x = 180/0,18 x = 1000 Resposta Uma regra de três é composta quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema. Exemplo: 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com uma jornada de 8 horas diárias, produzem 36m de tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido com o dobro da largura, trabalhando 6 horas por dia? Operários Dias Horas/dia Metros 12 90 8 36 15 x 6 24 Note que o problema pede 12 metros de tecido e não 24. Para facilitar o cálculo, foi dobrado o comprimento. Assim, não se acrescentou uma nova grandeza – a largura. Regra de três composta Operários Dias Horas/dia Metros 12 90 8 36 15 x 6 24 Determinação da proporcionalidade direta e inversa: A primeira providência é estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada grandeza e a grandeza a ser determinada. Regra de três composta Operários Dias Horas/dia Metros 12 90 8 36 15 x 6 24 Com o aumento do número de operários, a quantidade de dias deve diminuir. Logo, trata-se de uma relação inversamente proporcional. Portanto, você deve inverter a coluna dos operários. Temos, assim, provisoriamente: Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 8 36 12 x 6 24 Regra de três composta Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 8 36 12 x 6 24 Agora, a coluna das horas/dia – quanto mais horas trabalhadas por dia, menos dias serão necessários. Logo, você deve inverter a coluna das horas/dia. Temos, assim, provisoriamente: Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 6 36 12 x 8 24 Regra de três composta Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 6 36 12 x 8 24 Agora, a coluna metros – quanto mais dias trabalhados, mais metros serão produzidos. Ou seja, as duas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, não mexemos na última coluna. Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 6 36 12 x 8 24 Regra de três composta Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 6 36 12 x 8 24 Dias Operários 90 15 x = 90 . 12x 12 15 Dias Horas/dia 90 6 x = 90 . 8 x 8 6 Dias Metros 90 36 x = 90 . 24 x= 90.12.8.24 = 64 dias x 24 36 15.6.36 Regra de três composta Designa-se conjunto uma coleção de objetos, podendo ser representado de três modos: Representação ordinária – os elementos do conjunto são explicitamente listados. A = 0, 1, 2, 3, 4 Representação abstrata – é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos. A A = x Z 0 x 4 Representação por diagramas de Venn. Conjunto A = conjunto das vogais. A = {a, e, i, o, u} representação ordinária. A = {x / x é uma vogal} representação abstrata Pertinência: : elemento pertence ao conjunto. u A : elemento não pertence ao conjunto. 3 A Conjunto, elementos e pertinência Interseção: elementos comuns. Dados os conjuntos A=1,2,3,4,5,6 A B = 5,6 B=5,6,7,8,9,10 União: composição de todos os elementos. Dados os conjuntos A=1,3,5 e B=4,5 A B = 1,3,4,5 Diferença: elementos de A que não pertencem a B. Dados os conjuntos A=2,4,7 e B=1,4 A – B = 2,7 Operações entre conjuntos 1 3 4 5 2 7 Em uma padaria, 8 confeiteiros preparam 20 bolos especiais em 5 dias. Quantos bolos especiais serão preparados por 4 confeiteiros em 16 dias? a) 17 b) 24 c) 32 d) 39 e) 42 Interatividade Em uma padaria, 8 confeiteiros preparam 20 bolos especiais em 5 dias. Quantos bolos especiais serão preparados por 4 confeiteiros em 16 dias? c) 32 Resposta Confeiteiros Bolos especiais Dias 8 20 5 4 x 16 Aumentando o número de confeiteiros, a quantidade de bolos aumenta. Assim, a relação é diretamente proporcional (não é preciso inverter a razão). Aumentando o número de dias, a quantidade de bolos aumenta. Assim, a relação também é diretamente proporcional (não é preciso inverter a razão). Em uma padaria, 8 confeiteiros preparam 20 bolos especiais em 5 dias. Quantos bolos especiais serão preparados por 4 confeiteiros em 16 dias? 8 20 x = 4.20 20 5 x = 20.16 4 x 8 x 16 5 x = 4.20.16 = 1280 = 32 8.5 40 Portanto, serão preparados 32 bolos especiais. Resposta Confeiteiros Bolos especiais Dias 8 20 5 4 x 16 Eixo x: eixo das abscissas Eixo y: eixo das ordenadas Plano cartesiano Fonte: Adaptado do livro-texto. Conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B A x B = (x,y) / x A e y B Exemplo: A = {1, 2, 3} B = {2, 3} A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} n(A) = 3 n(B) = 2 n(A x B) = 3.2 = 6 Produto cartesiano O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida. O conjunto de chegada “B” é chamado de contradomínio. Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x. Domínio, contradomínio e imagem Exemplo: sendo A = 2, 4, 8 e B = 1, 3, 4, 6, 7, 10, vamos criar f:A B definida por f(x) = x + 2 (que também pode ser representada por y = x + 2). A B Domínio: D(f) = A = 2, 4, 8 Contradomínio: CD(f) = B = 1, 3, 4, 6, 7,10 Conjunto imagem: é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam, ou seja, Im(f) = C = 4, 6, 10 Domínio, contradomínio e imagem 2 4 8 1 4 3 6 7 10 Números Naturais (N): é representado por todos os números positivos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} excluindo o zero Números Inteiros (Z): é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais e os números inteiros negativos. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} inteiros não nulos Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} inteiros não positivos Z*_ = {..., -3, -2, -1} inteiros não positivos e não nulos Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} inteiros não negativos Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} inteiros não negativos e não nulos Números naturais e Números inteiros Números Racionais (Q): pertencem a esse conjunto os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízima periódica. Q = {..., -100/8, -2, -0,5, 0, 1,434343, 12/5 ...} Números Irracionais (I): é formado pelos números que são dízimas não periódicas, ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após a vírgula. I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....} Números racionais e Números irracionais Números Reais: conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais. Números reais Fonte: https://www.estudopratico.com.br/conjuntos-numericos/ R Q Z N I Intervalo fechado: [–3, 5] –3 5 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: ]–3, 5] Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: [–3, 5[ Intervalo aberto à esquerda e aberto à direita: ]–3, 5[ Intervalos Intervalos [a, b] = {x R | a< x < b} (a, b] = {x R | a< x < b} [a, b) = {x R | a< x < b} (a, b) = {x R | a< x < b} a b a b a b a b A = [2, 7] = {x │2 ≤ x ≤ 7} B = [5, 9[ = {x │5 ≤ x ≤ 9} Determine A B A B = {x R│5 ≤ x ≤ 7} ou A B = [5, 7] Intervalos Fonte: http://meteorotica.blogspot.com/2012/01/exercicios- resolvidos-sobre-intervalos.html A B AՈB 2 7 5 9 5 7 X X X Na função f: → com f(x) = x² + 2x – 9, determine o valor da imagem de f(–4) e classifique a qual conjunto numérico este valor pertence. a) -1 e N. b) -1 e Z. c) -7 e I. d) -7 e Q. e) 0 e R. Interatividade Na função f: → com f(x) = x² + 2x – 9, determine o valor da imagem de f(–4) e classifique a qual conjunto numérico este valor pertence. b) -1 e Z. Resolução: f(–4) = (–4)² + 2(–4) – 9 f(–4) = 16 – 8 – 9 = – 1 Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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