Propriedades de Linearidade e Princípio da Superposição

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INTRODUÇÃO
Este trabalho segue a norma de apresentação e formatação de trabalhos acadêmicos NBR – 14724/2011.
Neste trabalho serão apresentados e discutidos as propriedades de linearidade e o princípio de superposição aplicado a circuitos elétricos. Estas duas propriedades permitem simplificar vários tipos de rede e deste modo obter um número menor de equações e variáveis a serem calculados para resolução do circuito, considerando-se o efeito das fontes independentes de forma isolada e somando-se as soluções correspondentes.
PROPRIEDADE DA LINEARIDADE
A propriedade de linearidade descreve a relação linear entre causa e efeito. Considerando circuitos elétricos ela se aplica aos seus componentes básicos, quando os efeitos secundários tais como efeitos de saturação, temperatura, etc. são desprezados. A linearidade é uma combinação da propriedade de homogeneidade e da propriedade aditiva. A homogeneidade expressa o fato de que se a entrada de um sistema for multiplicada por uma constante, a saída também será multiplicada pela mesma constante. Tendo como exemplo um resistor linear, a relação tensão-corrente será dada pela Lei de Ohm. Considerando a corrente como entrada e tensão como saída, existe a seguinte relação entre entrada e saída:
v = R.i
Onde R é uma resistência constante. É lícito afirmar que circuitos resistivos, com fontes de tensão ou corrente independentes ou mesmo com fontes de corrente e tensão dependentes, são um sistema de funções lineares, onde as propriedades matemáticas das funções lineares podem ser aplicadas, incluindo capacitores e indutores, possuindo energia inicial armazenada igual a zero, são também regidos por relações lineares, resultando em um circuito de funções lineares. 
Se a corrente for multiplicada por um fator k, a tensão irá apresentar o mesmo comportamento:
R ⋅ (k ⋅ i) = k ⋅ (R ⋅ i) = k ⋅ v
A propriedade de adição expressa o fato de que a resposta de um sistema à uma entrada constituída pela soma de várias será a soma das respostas individuais consideradas separadamente. Por exemplo, considerando a resposta de um resistor a uma entrada constituída de duas correntes, obtém-se a seguinte relação para as respostas individuais a cada uma das correntes:
v = R ⋅ i1
v = R ⋅ i2
Por outro lado, a resposta para a soma das correntes será: 
v = R ⋅ (i1 + i2) = R ⋅ i1 + R ⋅ i2
v = v1 + v2
Desta forma, pode-se afirmar que o resistor linear possui uma relação tensão-corrente que satisfaz tanto a propriedade de homogeneidade como a propriedade aditiva. 
Um circuito será considerado linear se todos os seus componentes possuírem a propriedade de homogeneidade e a propriedade aditiva. Circuitos que possuem fontes independentes, fontes dependentes, capacitores lineares, indutores lineares e resistores lineares é um circuito linear. 
Para circuitos lineares, a resposta estará linearmente relacionada com a entrada. Como entrada podem-se considerar as fontes independentes e como saída podem-se considerar as tensões e correntes em todos os seus componentes. 
As propriedades de homogeneidade e aditiva não se aplicam à potência, mas apenas a correntes e tensões. Isto pode ser entendido considerando-se a fórmula da potência, expressa pela seguinte relação:
Pela equação acima, a relação entre potência e corrente é do tipo não-linear. Portanto, a potência dos componentes do circuito não pode ser obtida somando-se as potências individuais relacionadas com cada fonte. A potência deve ser calculada considerando-se a corrente e a tensão total.
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
O princípio de superposição é uma consequência da propriedade de linearidade, e, portanto, se aplica a circuitos lineares. 
Em um circuito com mais de uma fonte, sejam essas de tensão ou corrente, o princípio de superposição estabelece que a resposta “total” do circuito com todas as fontes operando pode ser obtida a partir da resposta individual do circuito a cada uma das fontes operando de forma isolada.
Desta forma, pode-se determinar a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar algebricamente as respostas individuais ao final, obtendo-se a resposta das fontes operando simultaneamente. A utilização do princípio de superposição pode, em muitos, casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução.
EXEMPLOS
Exemplo 1 – Propriedade de Homogeneidade
Considera-se o circuito mostrado na Figura 1, onde existe apenas uma fonte de corrente de 10 A. A corrente no resistor de 4 ohms pode ser obtida pela aplicação do divisor conforme segue:
Figura 1 - Propriedade da homogeneidade
Fonte: e-lee.ist.utl.pt
Caso a corrente da fonte seja multiplicada por 5, obtém-se a seguinte corrente na resistência de 4 ohms:
Da mesma forma, as correntes e tensões nos demais componentes podem ser obtidas para esta nova situação por meio da propriedade de homogeneidade.
Exemplo 2 – Princípio de Superposição
Considera-se o circuito representado na Figura 2. Pretende-se determinar a corrente utilizando o método da superposição.
Figura 3 - Circuito Exemplificativo
Fonte: e-lee.ist.utl.pt
Desligando a fonte de tensão, a configuração do circuito é a representada na Figura 3.
Figura 4 - Circuito exemplificativo com a fonte de tensão desligada (em curto-circuito)
Fonte: e-lee.ist.utl.pt
Utilizando a relação do divisor de corrente obtém-se:
Desligando a fonte de corrente, a configuração do circuito é a representado na Figura 4.
Figura 5 - Circuito exemplificativo com a fonte de corrente desligada (em circuito aberto)
Fonte: e-lee.ist.utl.pt
Utilizando a relação do divisor de tensão e da associação em série e paralelo das resistências, a tensão u1B aos terminais de R1 é:
Como a equação característica de R1 é u1B = R1i1B, obtém-se:
A corrente i1 resultante da ação das duas fontes será, então:
Conclusão
A linearidade e a superposição são mais duas úteis ferramentas para o conhecimento engenheiro. Os teoremas ou técnicas de análise baseados na linearidade e superposição são produtos das características lineares das funções que regem um circuito composto de fontes dependentes ou independentes de tensão e corrente e resistores. Essas propriedades da função linear permitem reduzir um circuito a um modelo mais simples, que pode ser analisado com número reduzido de equações e variáveis. 
O uso dessas propriedades, em alguns casos, não necessariamente simplifica a solução, podendo resultar em mais equações, comparado com outros métodos de análise. A melhor técnica de análise e resolução depende do tipo de circuito.
REFERÊNCIAS
EECIS.UDEL. Técnicas de Análise de Circuitos. Disponível em: <https://www.eecis.udel.edu/~portnoi/academic/academic-files/circuitos-linearidade-superposicao.html>. Acesso em: 24/03/2017.
EBAH. Apostila Circuitos Elétricos. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAe0DkAI/apostila-circuitos-eletricos>. Acesso em: 24/03/2017.
CLUBEDAELETRONICA. Teorema da superposição. Disponível em: <http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/superposicao.pdf>. Acesso em: 24/03/2017.
RIO.BR. Verificação da linearidade. Disponível em: <rio.br/~mgattass/fcg/trb11/Andre_Bueno/sites.google.com/site/decobueno/trabalho1/verificacao-da-linearidade-dos-sistemas.html>. Acesso em: 24/03/2017.
LUCAS COELHO DOS SANTOS DA SILVA
PROPRIEDADES DE LINEARIDADE E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
 
Curitiba/PR
2017
lucas coelho dos santos da silva
PROPRIEDADES DE LINEARIDADE E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Trabalho dissertativo individual apresentado ao Centro Universitário Autônomo do Brasil - UniBrasil, para o 2°Semestre do Curso de Engenharia Elétrica na disciplina de Circuitos Elétricos.
Orientador: Prof. Eduardo Torres da Rocha. 
Curitiba/PR
2017