Lista de Geofísica - Gravimetria e Análise Vetorial

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Prof. Dr. Dionísio Uendro Carlos 
Disciplina:EMI5BN-ESA 
1ª Lista de Geofisica – Gravimetria e Revisão de Análise Vetorial 
 
1. (Petrobras/2006) – Dada a equação: 𝐹 = 𝐺
𝑀1𝑀2
𝑑2
, que representa a Lei da Gravitação de Newton, o 
valor de G (constante gravitacional universal), se dada nas unidades de 
𝑁𝑚2
𝑘𝑔2
 o valor de G e da ordem 
de: 
(A) 1,45 × 10−11 
(B) 3,62 × 10−11 
(C) 6,67 × 10−11 
(D) 9,85 × 10−11 
(E) 15,95 × 10−11 
 
2. (Petrobras/2006) A aceleração devida a gravidade é medida em Gal (Galileu), mais normalmente em 
mGal (miliGal), a milésima parte do Gal. Qual o valor da aceleração da gravidade de 1 Gal? 
(A) 0,1
𝑐𝑚
𝑠2
 
(B) 1
𝑐𝑚
𝑠2
 
(C) 10
𝑐𝑚
𝑠2
 
(D) 100
𝑐𝑚
𝑠2
 
(E) 1000
𝑐𝑚
𝑠2
 
 
3. A equação de movimento de uma partícula é dada pela seguinte expressão: �⃗� = (4𝑡2 + 6𝑡 + 5)�̂� 
O valor de sua aceleração é: 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 8�̂� 
(D) 4𝒋̂ 
(E) 6 
 
4. (Petrobras/2010) 
 
 
 
 
2 
 
O método de Nettleton pode ser aplicado para estimar a densidade das rochas subjacentes sem a 
necessidade de amostragem física do material ou utilizar densidade de dados de geofísica de poço. A 
partir da análise da figura acima, conclui-se que a melhor estimativa de densidade, em Mg/m3, é de: 
(A) 2,8 pois apresenta a menor correlação negativa com o relevo. 
(B) 2,3 pois apresenta a menor correlação absoluta com o relevo. 
(C) 1,8 pois apresenta a maior correlação positiva com o relevo. 
(D) 1,8 para a região de relevo abaixo do datum, e de 2,8 Mg/m3, para a região de relevo acima do 
datum, pois apresentam a maior correlação positiva e a menor correlação negativa com o relevo, 
respectivamente. 
(E) 2,8 para a região de relevo abaixo do datum, e de 1,8 Mg/m3, para a região de relevo acima do 
datum, pois apresentam a menor correlação negativa e a maior correlação positiva com o relevo, 
respectivamente. 
 
5. (Petrobras/2010) No método de prospecção gravimétrica, são consideradas as perturbações do campo 
gravitacional relativas a: 
(A) sua componente horizontal 
(B) sua componente vertical 
(C) suas componentes horizontal e vertical 
(D) suas componentes horizontais, ortogonais entre si 
(E) três componentes ortogonais entre si, duas horizontais e uma vertical 
 
6. (Petrobras/2008) Enquanto a geologia estuda a Terra a partir da análise dos materiais terrestres, a 
geofísica o faz a partir das medidas geofísicas que refletem variações nas propriedades físicas dos 
materiais terrestres. Acerca desse assunto, assinale a opção correta. 
(A) Susceptibilidade magnética, resistividade e elasticidade são propriedades físicas relacionadas aos 
métodos da eletrorresistividade, magnético e sísmico, respectivamente. 
(B) Resistividade, densidade e permeabilidade elétrica são propriedades físicas relacionadas aos 
métodos da eletrorresistividade, gravimétrico e sísmico, respectivamente. 
(C) Resistividade, susceptibilidade magnética e elasticidade são propriedades físicas relacionadas aos 
métodos da eletrorresistividade, magnético e sísmico, respectivamente. 
(D) Susceptibilidade magnética, elasticidade e resistividade são propriedades físicas relacionadas aos 
métodos eletromagnéticos, da eletrorresistividade e sísmico, respectivamente. 
(E) Permeabilidade magnética, susceptibilidade magnética e elasticidade são propriedades físicas 
relacionadas aos métodos eletromagnético, magnético e da eletrorresistividade, respectivamente. 
 
7. (Petrobras/2008) Para que as medidas geofísicas associadas a determinado método geofísico 
consigam representar as variações da distribuição de determinada propriedade física dos materiais de 
subsuperfície, elas normalmente precisam ser submetidas a um ou mais tipos de correções. Nesse 
sentido, assinale a opção correta. 
(A) O método magnético, ou magnetometria, requer a correção de altitude, de maré e da variação 
diurna. 
(B) A correção estática utilizada no método sísmico é normalmente aplicada nos dados de 
levantamentos terrestres e marinhos. 
(C) Os métodos magnético e gravimétrico são métodos potenciais e as medidas geofísicas nos dois 
métodos são submetidas aos mesmos tipos de correção. 
(D) A correção estática, aplicada nos sismogramas, tem a função de corrigir as variações no tempo de 
chegada das reflexões, devido a topografia e presença da camada de alta velocidade associada ao manto 
de intemperismo. 
 
 
3 
 
(E) O método gravimétrico, ou gravimetria, requer as correções de maré, de latitude, de elevação, de 
Bouguer, topografia e da deriva (drift) do gravímetro. 
 
8. (Petrobras/2008) Os métodos geofísicos exploram propriedades físicas dos materiais terrestres e 
podem ser aplicados na prospecção de bens minerais ou recursos naturais. Acerca desses métodos, 
julgue os itens seguintes. 
I. Os métodos da eletrorresistividade e eletromagnéticos são utilizados na exploração de água 
subterrânea. 
II. Os métodos eletromagnéticos de alta frequência são importantes na exploração de petróleo, pois 
permitem a obtenção de imagens de alta resolução da subsuperfície, mesmo quando os refletores estão 
a grandes profundidades. 
III. Os métodos eletromagnéticos de fonte induzida ou natural são utilizados na exploração de minerais 
metálicos. 
IV. O método gravimétrico permite o reconhecimento de feições regionais do relevo do embasamento 
de bacias sedimentares bem como a localização de intrusões ígneas ou domos salinos. 
V. O método sísmico de refração é o método geofísico mais amplamente utilizado na indústria para 
prospecção de petróleo. 
Estão certos apenas os itens: 
A. I, II e V. 
B. I, III e IV. 
C. I, IV e V. 
D. II, III e IV. 
E. II, III e V. 
 
9. (Petrobras/2008) Um corpo de massa m repousa sobre a superfície de um planeta de forma esférica e 
homogênea de raio R e massa M. Sendo G a constante gravitacional, qual a forca mínima necessária 
para transporta-lo até um ponto distante 2R do centro desse planeta? 
(A) 𝐺
𝑀𝑚
𝑅
 
(B) 𝐺
𝑀𝑚
2𝑅
 
(C) 𝐺
𝑀𝑚
3𝑅
 
(D) 2𝐺
𝑀𝑚
𝑅
 
(E) 3𝐺
𝑀𝑚
𝑅
 
 
10. A Equação de Clairaut é dada pela seguinte expressão: 
 
𝛾 = 𝛾𝐸(1 + 𝑘1𝑠𝑖𝑛
2(𝜑) + 𝑘2𝑠𝑖𝑛
2(2𝜑)) 
 
explique cada termo dessa equação. 
 
11. A Fórmula Internacional da Gravidade apresenta algumas configurações dependendo do tipo de 
trabalho ou a precisão desejada por quem a utiliza. A Fórmula Internacional da Gravidade de 1967 é 
escrita da seguinte maneira 𝛾 = 978031,8(1 + 0,0053024𝑠𝑖𝑛2(𝜑) − 0,0000059𝑠𝑖𝑛2(2𝜑)), porém, 
muitas vezes pode-se utilizar uma forma em que não é utilizado o dobro da latitude e é mais precisa 
como nessa expressão abaixo: 
𝛾 = 978031,846(1 + 0,0055278895𝑠𝑖𝑛2(𝜑) + 0,000023462𝑠𝑖𝑛4(𝜑)). 
A partir dessas informações resolva o seguinte exercício: 
 
 
4 
 
a. Calcule os valores da Fórmula Internacional da Gravidade para ambas as expressões para uma 
latitude de 25º. 
b. Compare os valores de ambas as expressões calculando o erro percentual entre os valores 
encontrados. 
c. Calcule utilizando a expressão mais precisa, os valores da F.I.G. para as latitudes de 40º e 50º. 
Interprete os resultados obtidos em relação a geometria da Terra, o que é possível afirmar? 
 
12. Dados os vetores posição dos pontos P e Q, respectivamente, �⃗� 𝟏 = 2�̂� + 3𝒋̂ − �̂� e �⃗� 𝟐 = 4�̂� − 3𝒋̂ +
+2�̂�. Determinar PQ em função dos vetores unitários �̂�, 𝒋̂ e �̂� e encontrar o seu módulo. 
 
13. Achar um vetor unitário paralelo a resultante de �⃗� 𝟏 = 2�̂� + 4𝒋̂ − 5�̂� e �⃗� 𝟐 = �̂� + 2𝒋̂ + 3�̂� 
 
 
14. Calcule os seguintes produtos escalares: 
a. �̂� ⋅ �̂� = 
b. �̂� ⋅ �̂� = 
c. �̂� ⋅ 𝒋̂ = 
 
15. Achar a projeção do vetor �⃗⃗� = �̂� − 2𝒋̂ + �̂� sobre o vetor �⃗⃗� = 4�̂� − 4𝒋̂ + 7�̂�. 
 
16. Um geólogo elaborou uma seria de medidas sobre o terreno e para entender cada uma das correções 
aplicadas aos dados gravimétricos terrestres calculou cada uma dessas correções, utilizando a altura 
ortométrica igual a 100 metros. A partir dessainformação calcule: 
a. qual a correção Ar-Livre a ser aplicada? 
b. qual a correção Bouguer? 
c. qual o valor da anomalia Ar-Livre? 
d. qual o valor da anomalia Bouguer? 
 
17. Os fundamentos de entender as correções gravimétricas não é o valor final em si, mas o significado 
físico de cada uma dessas equações. Utilize a figura abaixo retirado de Kearey et al. (2012) e explique 
cada uma delas. 
 
 
 
18. A análise vetorial é uma disciplina fundamental na área de geociências. Dessa forma, a aplicação 
dessa disciplina é diária em muitas tarefas executadas na vida profissional do geólogo ou do engenheiro 
de minas. Veja alguns exemplos das derivadas vetoriais. Dada a equação �⃗� = 𝑠𝑖𝑛(𝑡)�̂� + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝒋̂ +
𝑡�̂� calcule: 
a. 
𝑑�⃗⃗� 
𝑑𝑡
 
b. 
𝑑2�⃗⃗� 
𝑑𝑡2
 
c. |
𝑑�⃗⃗� 
𝑑𝑡
| 
 
 
5 
 
d. |
𝑑2�⃗⃗� 
𝑑𝑡2
| 
 
19. O movimento de uma partícula é dado pela equação �⃗� = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)�̂� + 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝒋,̂ onde 𝜔 é uma 
constante. 
(a) Mostre que a velocidade 𝒗 ⃗⃗ ⃗da partícula é perpendicular a �⃗� . 
(b) A aceleração �⃗⃗� é dirigida para o centro da trajetoria e sua magnitude é proporcional a sua distância 
de origem. 
(c) �⃗� × �⃗⃗� = constante 
 
20. Se �⃗⃗� = (2𝑥2𝑦 − 𝑥4)�̂� + (𝑒𝑥𝑦 − 𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥))𝒋̂ + (𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑦))�̂�. Calcule: 
a. 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
 
b. 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦
 
c. 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
 
d. 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑦2
 
e. 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
f. 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
 
21. Se �⃗⃗� (𝑢) = (𝑢 − 𝑢2)�̂� + 2𝑢3𝒋̂ − 3�̂�. Encontre: 
a. ∫ �⃗⃗� (𝑢)𝑑𝑢 
b. ∫ �⃗⃗� 
2
1
(𝑢)𝑑𝑢 
 
O operador vetorial 𝜵 é definido por: 
 
𝜵 ≡
𝜕
𝜕𝑥
�̂� +
𝜕
𝜕𝑦
𝒋̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂� ≡ 𝜵 ≡ �̂�
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝒋̂
𝜕
𝜕𝑦
+ �̂�
𝜕
𝜕𝑧
 
 
O nome do operador 𝜵 é nabla e possui propriedades análogas as dos vetores comuns. É utilizado na 
definição de três grandezas: gradiente, divergente e rotacional. 
 
Gradiente 
Considere uma função 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida e derivavel em todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) de uma região do 
espaço. O gradiente de 𝜙 que pode ser escrito de duas formas, 𝛻𝜙 ou 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙, e é definido por: 
𝜵𝜙 = (
𝜕
𝜕𝑥
�̂� +
𝜕
𝜕𝑦
𝒋̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂�)𝜙 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
�̂� +
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝒋̂ +
𝜕𝜙
𝜕𝑧
�̂� 
Note-se que 𝜵𝜙 denota um campo vetorial. A componente de 𝜵𝜙 na direção de um vetor unitário �̂� é 
dada por 𝜵𝜙 ⋅ �̂� e é chamada de derivada dirigida de 𝜙 na direção de 𝑎. Fisicamente, representa a taxa 
de variação de 𝜙 no ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) na direção 𝑎. 
 
Divergência 
Seja a função 𝑽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉1�̂� + 𝑉2𝑗 + 𝑉3𝑘 definida e derivavel em todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) numa dada 
região do espaço (isto é, 𝑉 define um campo vetorial derivável). A divergência de 𝑽, que se escreve 𝜵 ⋅
𝑽ou div 𝑽, é definida por: 
 
 
6 
 
𝛻 ⋅ 𝑉 = (
𝜕
𝜕𝑥
�̂� +
𝜕
𝜕𝑦
𝒋̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂�) ⋅ (𝑉1�̂� + 𝑉2𝒋̂ + 𝑉3�̂�) =
𝜕𝑉1
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉2
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉3
𝜕𝑧
 
 
Note-se a analogia com o produto escalar ou interior 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝐴1𝐵1 + 𝐴2𝐵2 + 𝐴3𝐵3. 
 
 
Rotacional 
Se 𝑽(𝑥, 𝑦, 𝑥) é um campo vetorial derivável, o rotacional de 𝑽, que se escreve 𝜵 × 𝑽, ou rot 𝑽, é 
definido por: 
 
𝜵 × 𝑽 = (
𝜕
𝜕𝑥
�̂� +
𝜕
𝜕𝑦
𝒋̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂�) × (𝑉1�̂� + 𝑉2𝒋̂ + 𝑉3�̂�) =
[
 
 
 
�̂� 𝒋̂ �̂�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑉1 𝑉2 𝑉3]
 
 
 
 
 
22. Se 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦 − 𝑦3𝑧2. Calcular 𝜵𝜙 no ponto (1,-2,-1). 
 
23. Achar 𝜵𝜙 sendo: 
 
(a) 𝜙 = 𝑙𝑛|𝑟| 
(b) 𝜙 =
1
𝑟
 
 
23. Se �⃗⃗� = 𝑥2𝑧�̂� − 2𝑦3𝑧2𝒋̂ + 𝑥𝑦2𝑧�̂� 
Achar 𝜵 ⋅ �⃗⃗� no ponto (1,-1,1). 
 
24. Dado 𝜙 = 2𝑥3𝑦2𝑧4. Calcular 𝜵 ⋅ 𝜙. 
 
25. Se �⃗⃗� = 𝑥𝑧3�̂� − 2𝑥2𝑦𝑧𝒋̂ + 2𝑦𝑧4�̂�. Achar 𝜵 × �⃗⃗� no ponto (1,-1,1). 
 
26. Se �⃗⃗� = 𝑥2𝑦�̂� − 2𝑦𝑧�̂�. Calcular 𝜵 × 𝜵 × �⃗⃗� .