CfVV - derivadas direcional 3

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Universidade Paulista – UNIP
CFVV
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Profa. Isabel Espinosa
Universidade Paulista – UNIP
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Derivada direcional
Parte 3
Profa. Isabel Espinosa
Taxa máxima de variação
Taxa máxima de variação = módulo do vetor gradiente
maior valor da derivada direcional = | f (x0 , y0) |
ocorre na direção de f(x,y)
Taxa máxima de variação
Exemplos:
Exemplo 1:
Encontrar a taxa máxima de variação no ponto P(2,3) da 
função f(x,y) = x3 . y -2.
Em que direção ocorre.
calculando as derivadas parciais em P (2,3)
Taxa máxima de variação
f(x,y) = x3 . y -2
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥2. 𝑦−2 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
3𝑥2
𝑦2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥3. (−2)𝑦−3 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
2 𝑥3
𝑦3
Taxa máxima de variação
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
3𝑥2
𝑦2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
2 𝑥3
𝑦3
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(2,3) =
3 . 22
32
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(2,3) =
4
3
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(2,3) = −
2 . 23
33
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(2,3) = −
16
27
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(2,3) = 1,33
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(2,3) = −0,59
Taxa máxima de variação
ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(2,3) = 1,33
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(2,3) = −0,59
∇𝑓 2,3 = 𝑓𝑥 (2,3). Ԧ𝑖 + 𝑓𝑦(2,3) . Ԧ𝑗
∇𝑓 2,3 = 1,33. Ԧ𝑖 + (−0,59). Ԧ𝑗
∇𝑓 2,3 = 1,33. Ԧ𝑖 − 0,59 . Ԧ𝑗
∇𝑓 2,3 = (1.33 ,−0.59)
Taxa máxima de variação
Taxa máxima de variação = | f (x0 , y0) |
Valor máximo da derivada direcional é 1,45
Ocorre na direção do vetor
|∇𝑓 2,3 | = 1,332 + (−0,59)2
|∇𝑓 2,3 | = 1,45
∇𝑓 2,3 = 1,33. Ԧ𝑖 − 0,59 . Ԧ𝑗
∇𝑓 2,3 = 1,33. Ԧ𝑖 − 0,59 . Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
Exemplo 2:
Encontrar a taxa máxima de variação no ponto P(-1,3) da 
função f(x,y) = 2 x2 y – x . y.
Em que direção ocorre.
calculando as derivadas parciais em P (-1,3)
Taxa máxima de variação
f(x,y) = 2 x2 y – x . y
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2 .2𝑥. 𝑦 − 𝑦 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥2. 1 − 𝑥 . 1 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥. 𝑦 − 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥2 − 𝑥
Taxa máxima de variação
𝜕𝑓
𝜕𝑥
−1,3 = 4. −1 . 3 − 3
𝜕𝑓
𝜕𝑥
−1,3 = −12 − 3
𝜕𝑓
𝜕𝑦
−1,3 = 2 −1 2 − (−1)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
−1,3 = 2 + 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(−1,3) = 3
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥. 𝑦 − 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥2 − 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
−1,3 = −15
Taxa máxima de variação
ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
−1,3 = −15
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(−1,3) = 3
∇𝑓 −1,3 = 𝑓𝑥 (−1,3). Ԧ𝑖 + 𝑓𝑦(−1,3) . Ԧ𝑗
∇𝑓 −1,3 = −15 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗
∇𝑓 −1,3 = (−15, 3)
Taxa máxima de variação
Taxa máxima de variação = | f (x0 , y0) |
Valor máximo da derivada direcional é 15,30
Ocorre na direção do vetor
|∇𝑓 −1,3 | = (−15)2+ 32
|∇𝑓 −1,3 | = 15,30
∇𝑓 −1,3 = (−15 , 3)
∇𝑓 −1,3 = −15 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
Exemplo 3:
Uma placa metálica tem sua distribuição de temperatura
no plano xy dada pela função T(x,y )= 3x2 – x y + 2y,
com T em graus Celsius e x e y em metros.
Determine a direção e sentido do maior crescimento de
temperatura e o valor da taxa máxima de crescimento
da temperatura, no ponto ( 1,2).
taxa máxima de variação T(x,y) = 3x2 – x y + 2y,
no ponto P( 1,2)
Derivada direcionalTaxa máxima de variação
𝑇𝑦 = − 𝑥. 1 + 2 . 1
𝑇𝑥 = 6 𝑥 − 𝑦
𝑇𝑥 1,2 = 6. 1 − 2
𝑇𝑥 1,2 = 4
𝑇𝑥 = 3.2 𝑥 − 1. 𝑦
𝑇𝑦 = −𝑥 + 2
𝑇𝑦 1,2 = − 1 + 2
𝑇𝑦 1,2 = 1
taxa máxima de variação T(x,y) = 3x2 – x y + 2y,
no ponto P( 1,2)
taxa máxima:
Direção da taxa máxima:
Derivada direcionalTaxa máxima de variação
𝑇𝑥 1,2 = 4 𝑇𝑦 1,2 = 1
∇𝑇 1,2 = 4Ԧ𝑖 + 1Ԧ𝑗
|∇𝑇 1,2 | = 42 + 12
|∇𝑇 1,2 | = 17
|∇𝑇 1,2 | = 4,12
∇𝑇 1,2 = 4Ԧ𝑖 + 1Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
Exemplo 4:
Suponha que a função represente
uma distribuição de temperatura no plano xy, sendo T 
em graus Celsius e x e y em metros.
Pede-se:
a) Derivada direcional da temperatura no ponto P(2,1) e 
na direção de
𝑇 𝑥, 𝑦 =
40
(𝑥2 + 𝑦2)3
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
ou𝑇 𝑥, 𝑦 =
40
(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑇 𝑥, 𝑦 = 40 (𝑥2 + 𝑦2)−3
𝑇𝑥 = 40 . −3 . 2𝑥 . (𝑥
2 + 𝑦2)−3−1
𝑇𝑥 = −240 𝑥. (𝑥
2 + 𝑦2)−4
𝑇𝑥 2,1 = −240 . 2. (2
2 + 12)−4
𝑇𝑥(2,1) = - 0,77
Taxa máxima de variação
ou
ou
𝑇 𝑥, 𝑦 =
40
(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑇 𝑥, 𝑦 = 40 (𝑥2 + 𝑦2)−3
𝑇𝑦 = 40 . −3 . 2𝑦 . (𝑥
2 + 𝑦2)−3−1
𝑇𝑦 = −240 𝑦. (𝑥
2 + 𝑦2)−4
𝑇𝑦(2,1) = −240 . 1. (2
2 + 12)−4
𝑇𝑦 2,1 = −0,38
∇𝑇 2,1 = −0,77 Ԧ𝑖 − 0,38 Ԧ𝑗 ∇𝑇 2,1 = (−0.77,−0.38 )
Taxa máxima de variação
𝑢 =
Ԧ𝑣
| Ԧ𝑣|
𝑢 =
1, 3
|(1, 3)|
𝑢 =
(1, 3)
10
𝑢 =
1
10
,
3
10
| Ԧ𝑣 | = 12 + 32
| Ԧ𝑣 | = 10
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
𝑢 =
1
10
,
3
10
∇𝑇 2,1 = (−0.77,−0,38)
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
𝐷𝑢𝑓 2,1 = (−0.77,−0,38).
1
10
,
3
10
𝐷𝑢𝑓 2,1 = −0,60
Taxa máxima de variação
b) Qual a direção de maior crescimento da temperatura 
no ponto P(2,1)?
maior crescimento na direção do vetor gradiente,
∇𝑇 2,1 = −0,77 Ԧ𝑖 − 0,38 Ԧ𝑗
Taxa máxima de variação
c) Qual a taxa máxima de variação de temperatura no 
ponto P(2,1)?
Taxa máxima de variação = |∇𝑇 2,1 |
∇𝑇 2,1 = (−0,77)2+(−0,38)2
∇𝑇 2,1 = 0,86
Exercícios propostos
Escolha 1 dos 3 exercícios, resolva e entregue quando 
solicitado.
1) Encontrar a taxa máxima de variação no ponto P(-2,2) 
da função f(x,y) = x3 y2 – 3 x . y. Em que direção ocorre.
2) Encontrar a taxa máxima de variação no ponto P(-1,-1) 
da função f(x,y) = 3 x y – exy . Em que direção ocorre.
3) Encontrar a taxa máxima de variação no ponto P(-1,-2) 
da função f(x,y) = x y + Ln (x . y).
Em que direção ocorre.