Geometria das Pirâmides e Troncos

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: GeoMetria das PirâMides e dos troncos de PirâMides
frente: MateMática i
016.445 – 141804/19
AULAS 50 e 51
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Geometreia da Pirâmides
V
D
C E
B A
h
Chama-se pirâmide o conjunto de pontos do espaço limitados 
por um ângulo poliédrico e por um plano que, não passando pelo 
vértice, corte todas as arestas do ângulo poliédrico. A secção plana do 
ângulo poliédrico chama-se base da pirâmide (ABCDE) e as porções 
das faces do ângulo poliédrico limitadas por essa base chamam-se 
faces da pirâmide. 0 vértice do ângulo poliédrico chama-se vértice 
da pirâmide V.
Uma rápida 
justificativa para o volume da pirâmide
A seguir, temos a decomposição de um prisma triangular em 
três pirâmides triangulares.
C
C
F F F
FE ED D D
A A
A++=
B B
(I) (II) (III)
B
B
Veja que:
• As pirâmides I e II têm volumes iguais, pois os triângulos ABD e 
BDE têm a mesma área e a distância de F ao plano ABED é única, 
isto é, as duas pirâmides têm a mesma altura.
•	 As pirâmides II e III têm volumes iguais, pois os triângulos BEF e BCF 
têm a mesma área e a distância da aresta AD ao plano BCFE é única, 
pois AD //P| (BCFE), então as duas pirâmides têm a mesma altura.
 Portanto, o volume de cada uma dessas pirâmides é igual a um 
terço do volume do prisma.
Observações:
• Pelo principio de Cavalieri, podemos garantir que duas pirâmides 
que têm mesma área da base e mesma altura, têm volumes 
iguais.
• Pirâmide reta: é a pirâmide cujo pé de sua altura coincide com 
o centro de sua base.
• Pirâmide retangular: é a pirâmide reta de base regular.
Geometria dos Troncos de Pirâmides
Cosideremos uma pirâmide cuja base tem área B e cuja secção, 
paralela à base, à distância h
t
 da base, tem área b. Chamado de h a 
distância da secção ao vértice da pirâmide, o volume do tronco, V
t
, é 
dado por: V
h
B b Bbt
T= ⋅ + +( )
3
. Veja:
h
h + h
t
h
t
B: área da base maior
b: área da base menor
h
t
: altura do tronco
h: altura da pirâmide menor
h + h
t
: altura da pirâmide maior
• Sendo a pirâmide de altura h + ht semelhante à pirâmide de 
altura h, temos:
I. As áreas dessas bases estão entre si, assim como os quadrados 
das alturas das pirâmides.
Então:
B
b
h h
h
B
b
h h
h
B
b
h
h
B b
b
h
h
h B b h b
t t t
t
t
=
+



→ =
+
→ = + →
−
= → ⋅ −( ) = ⋅
2
1
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Módulo de estudo
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II. Volume (tronco) = Volume (pirâmide maior) – Volume (pirâmide menor)
 Então:
V
B h h b h B h Bh b h
V
h B b B b B
tronco
t t
tronco
=
⋅ +( )
−
⋅
=
⋅ + − ⋅
=
⋅ −( ) ⋅ −( ) +
3 3 3
hh
V
h b B b Bh h
B b Bb
t
tronco
t t t
3
3 3
=
⋅ ⋅ −( ) +
= ⋅ + +( )
Exercícios
01. Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. 
O segmento AV , de comprimento unitário, é perpendicular 
à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos 
de 45°. Determine o volume dessa pirâmide.
02. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo 
apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a pirâmide por 
um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume 
igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre 
as alturas das pirâmides é
1
2
, determine a altura do tronco.
03. Em um tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB = DC = a e o 
triângulo ABC é equilátero com AB = b. O comprimento da altura 
do tetraedro baixada do vértice A é igual a
A) 
a b+
2
 B) 
b a b
a
3 2 2−
C) ab D) 
b a b
a b
3
4
2 2
2 2
−
−
E) a a b
a b
4 2 2−
+
04. Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. 
Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces 
laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do 
vértice vale 30º.
05. Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo 
são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. 
Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um 
paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem 
suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume 
do tetraedro é, em cm3
A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 30
06. A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 
13 cm e a área do círculo inscrito na base mede 25
2
π cm2. Dois planos, 
π
1
 e π
2
, paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos 
de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses sólidos.
07. Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de 
aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15° com o plano 
da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a.
A) 
a3
2
3 2
2 3
+
−
 B) 
a3
2
3 2
2 3
−
+
C) a3
3 2
2 3
+
−
 D) a3
3 2
2 3
−
+
E) a3
2 3
3 2
−
+
08. A área da superficie lateral de uma pirâmide quadrangular regular 
SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. 
Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o 
ângulo entre estas medianas.
09. Uma pirâmide de altura h =1cm e volume V = 50 cm3 tem como 
base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices 
do polígono traçam-se n – 3 diagonais que o decompõem em 
n – 2 triângulos cujas áreas S
i
, i = 1, 2, ..., n – 2, constituem uma 
progressão aritmética na qual S cm e S cm3
2
6
23
2
3= = ,. Então n é 
igual a
A) 22 B) 24
C) 26 D) 28
E) 32
10. A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que 
duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. 
As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. 
O volume da pirâmide é
A) S S
3
 B) 
S S
6
C) 
2
3
S S
 D) 
2
5
S S
E) 
2
3
2S
11. Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero 
convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que
AB BC= = 5, AD DC= = 2, AC = 2 e SA SB+ = 7.O volume da 
pirâmide é
A) 5
B) 7
C) 11
D) 13
E) 17
12. Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal 
menor mede 3 3cm. As faces laterais desta pirâmide formam 
diedros de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, 
em cm2, é
A) 81
3
2
 B) 81
2
2
C) 
81
2
 D) 
27
3
E) 
27
2
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Módulo de estudo
13. Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos 
perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 
30 3 2cm e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco 
de pirâmide.
A) 50 cm3
B) 42
3
3
3cm
C) 43
3
2
3cm
D) 43 2 3cm
E) 42 3 3cm
14. Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. 
A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo 
à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja
1
8
do volume 
da pirâmide original?
A) 2 m
B) 4 m
C) 5 m
D) 6 m
E) 8 m
15. Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se 
uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo 
vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases 
medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide 
são iguais. A altura (em cm) do tronco mede
A) 
a 3
5
 B) 
a 35
10
C) a 3
2 5
 D) 
a 35
10
E) 
a 7
5
Gabarito
01 02 03 04 05
* * D * D
06 07 08 09 10
* A * C A
11 12 13 14 15
B A E C B
* 01. 1
6
2 2 2−
 02. 3 3 6
21
−
 04. R
V=
+
12
5 3 3
3
 06. h cm h cm e h cm1 3 2
3
3 3
3 3
3
12
3
2 1
3
12
3 2
3
= =
−
⋅ =
−
,
 08. arccos
3
13




Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRICIO MAIA
DIG.: Aníbal – 29/08/19 – REV.: Carla Araújo