CALCULO APLICADO A UMA VARIAVEL UNIDADE 02

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introduçãoIntrodução
Neste capítulo, daremos continuidade ao estudo de limite, evidenciando sua importância, principalmente,
para de�nir um operador matemático: a derivada de uma função. Introduziremos este conceito por meio da
taxa de variação instantânea, como a velocidade em um determinado instante. Além disso, mostraremos a
interpretação geométrica da derivada, como coe�ciente angular da reta tangente a uma curva em um dado
ponto. Por meio do cálculo da derivada de uma função, podemos resolver uma in�nidade de problemas
relacionados a várias áreas de conhecimento, por exemplo, os problemas de otimização: custo mínimo, lucro
CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVELCÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL
CÁLCULO DE DERIVADASCÁLCULO DE DERIVADAS
Autora: Me. Ivana Barreto Matos
R e v i s o r : R o s a l v o M i ra n d a
I N I C I A R
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máximo, maximização de volume e outros. Podemos aplicar, também, em problemas que envolvem a taxa de
variação como velocidade e aceleração.
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Nesta unidade, veremos como calcular limite, como algumas indeterminações matemáticas, dando ênfase ao
tipo 0/0. Posteriormente, de�niremos a função derivada como uma taxa de variação instantânea, por meio
da interpretação geométrica.
Propriedades de Limites e Cálculo de Limites
Para calcular limites, é imprescindível conhecer suas propriedades operatórias. Veri�que, a seguir, essas
propriedades e exempli�cações.
Se , então:
P1. 
P2. 
P3. 
P4. 
P5. 
P6. 
P7. 
P8. 
Velocidade Instantânea,Velocidade Instantânea,
Limites 0/0 e Conceito deLimites 0/0 e Conceito de
DerivadasDerivadas
k ∈ R,     f (x) = L e  g (x) = Mlim
x→a
lim
x→a
k = klim
x→a
k ⋅ f (x) = k ⋅ f (x) = k. Llim
x→a
lim
x→a
(f ± g) (x) = f (x) ± g (x) = L ± Mlim
x→a
lim
x→a
(f ⋅ g) (x) = f (x) ⋅ g (x) = L ⋅ Mlim
x→a
lim
x→a
( ) (x) = = ,  M ≠ 0lim
x→a
f
g
f(x)lim
x→a
g(x)lim
x→a
L
M
= =lim
x→a
[f (x)]n [ f (x)]lim
x→a
n
Ln
  = = n ∈ .  Se n   par ent o L ≥ 0.lim
x→a
f (x)
− −−−√n f (x)lim
x→a
− −−−−−−
√n L,  
−−−√n ℵ∗ é a~
cos (f (x)) = cos( f (x)) = cos (L)   (vale para outras fun es trigonom tricas) .lim
x→a
lim
x→a
o~ é
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Agora, veremos alguns exemplos de cálculo de limites utilizando as propriedades supracitadas.
Aplicação P1: o limite de uma constante é a própria constante 
Exemplos:   ;   
;   .
Aplicação P2: o produto entre uma constante e uma função 
Exemplos:   ; 
.
Aplicação P3: o limite da soma é igual à soma dos limites 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P4: o limite do produto entre duas funções é o produto entre o limite de cada uma
destas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P5: o limite do quociente entre duas funções é o quociente entre o limite de cada uma
delas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P6: o limite do quociente entre duas funções é o quociente entre o limite de cada uma
destas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P7: o limite da função potência é igual à potência do limite da função. 
Exemplos: ;   
.
Aplicação P8: o limite da função trigonométrica de uma função é igual ao valor da função
trigonométrica aplicada ao valor do limite da função 
Exemplos: ; 
5 = 5lim
x→10
11 = 11lim
x→−1
(ln5) = ln5lim
x→4
2 ⋅ (x + 1) = 2 ⋅ (x + 1)  lim
x→1
lim
x→1
5 ⋅ = 2 ⋅lim
x→−7
x
2
lim
x→−7
x
2
( + 9x) = + 9x lim
x→1
x
3
lim
x→1
x
3
lim
x→1
(8x − 5 ) = 8x − 5  lim
x→−3
x
2
lim
x→−3
lim
x→3
x
2
2 ⋅ ( ⋅ ) = ⋅  lim
x→3
1
x√3
x
5
lim
x→3
1
x√3
lim
x→3
x
5
(4x ⋅ )   = 4x ⋅  lim
x→−7
x
−−
√ lim
x→−7
lim
x→−7
x
−−
√
=  lim
x→6
7x8
3x
7lim
x→6
x
8
3xlim
x→6
=lim
x→1
5x+9
x
5x+9lim
x→1
xlim
x→1
=  lim
x→6
7x8
3x
7lim
x→6
x
8
3xlim
x→6
=lim
x→1
5x+9
x
5x+9lim
x→1
xlim
x→1
=  lim
x→1
(8x)7 [ (8x)]lim
x→1
7
=lim
x→−2
(33 − 4)x2
51 [ (33 − 4)]lim
x→−2
x
2
51
cos (2x + π) = coslim
x→0
[ (2x + π)]lim
x→0
sec  (2x + ) = seclim
x→0
π
4
[ (2x + )]lim
x→0
π
4
.
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Para �nalizar os cálculos, temos um importante teorema de�nido, a seguir, que facilitará os cálculos de
limites.
Teorema
Se p(x) é uma função polinomial de�nida em um intervalo real, com valores reais, então, .
Esse teorema decorre do fato de toda função polinomial ser contínua.
Veja, a seguir, alguns exemplos de cálculo de limites e veri�que que todos os seus resultados são números
reais.
No entanto, nem sempre obtemos um valor real para o limite. Pode acontecer de obtermos as seguintes
indeterminações matemáticas:
               
p (x) = p (a)lim
x→a
reflitaRe�ita
Diante das propriedades e teorema supracitados, para
cada exemplo anterior, re�ita sobre o valor �nal de
cada limite apresentado. Para tanto, basta substituir o
valor da tendência da variável x na função função
polinomial.
( ) = = = = 1lim
x→4
lo (3x − 4)g2
x + 5
− −−−−
√
lo (3x − 4)lim
x→4
g2
 lim
x→4
x + 5
− −−−−
√
lo 8g2
9
–√
3
3
cos( ) = cos(   ) = cos( ) = cos (0) = 1lim
x→1
− 4x + 3)x2
2x + 1
lim
x→1
− 4x + 3)x2
2x + 1
0
3
= = = = 32lim
x→4
2 4x+9√ 2
4x+9lim
x→4
√
2 25√ 2 5 ~
= = = =lim
x→3
− 4x + 7x2
+ 2x − 6x2
− −−−−−−−−−
√  lim
x→3
− 4x + 7x2
  + 2x − 6x2
− −−−−−−−−−−−−−
√  lim
x→3
9 − 12 + 7
 9 + 6 − 6
− −−−−−−−−−−−
√ 4
9
−−
√ 2
3
0
0
±∞
±∞ ∞ − ∞ ∞ × 0 1
∞ 00 ∞0
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Nesse caso, a indeterminação não signi�ca que o limite não exista. Devemos utilizar recursos matemáticos
para trabalhar a função e obter o valor do limite. Neste tópico, então, estudaremos a indeterminação   .
Inicialmente, entendamos, gra�camente, o que ocorre. Seja a função racional   , cujo domínio é
. Veja, a seguir, o grá�co desta função.
É fácil veri�car, pelo que você já estudou sobre limites, que o limite desta função, quando a variável 
aproxima-se de 2, é igual a 4. No entanto, ao resolvermos o limite:
Isso signi�ca que o limite não existe?
Obviamente, não, pois você já veri�cou que o valor do limite, gra�camente, é igual a 4. Como podemos
resolver esse limite sem a análise grá�ca? Simpli�cando a função. Veja os cálculos, por fatoração, a seguir.
Sendo assim, quando a função racional é a razão entre duas funções polinomiais, e o limite é igual a ,
precisamos fatorar os polinômios para simpli�car a função.
LEMBRETE: fatorando polinômios de grau 2
, que e são as raízes do polinômio do 2º grau.
Exemplo: resolvendo o limite por fatoração
 Indeterminação?
Fatorando, temos:
0
0
f (x) = −4x
2
x−2
R − {2}
Figura 2.1 - Indeterminações 0/0
Fonte: Elaborada pela autora.
x
=lim
x→2
− 4x2
x − 2
0
0
= = (x + 2) =  4lim
x→2
lim
x→2
− 4x2
x − 2
lim
x→2
(x − 2) (x + 2)
x − 2
lim
x→2
0/0
− = (x + a) (x − a)x2 a2
a + bx + c = a  (x − )   (x − )  x2 x′ x′′ x′  x′′
= =lim
x→−1
−1x2
+3x+2x2
−1(−1)
2
+3(−1)+2(−1)
2
0
0
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No caso de termos polinômios de grau maior do que 2, devemos utilizar o teorema de D’Alembert para a
fatoração.
Teorema de D’Alembert
Se P(x) é um polinômio e a é uma de suas raízes, então, P(x) é divisível por (x-a).
Veri�que, na Figura 2.2, que, ao dividir o polinômio P(x) por (x-a), podemos reescrevê-lo como 
, em que é o quociente, e r(x) é o resto da divisão. No entanto,
por meio do teorema de D’Alembert, o resto da divisão sempre será igual a zero.
A seguir, descreveremos uma regra prática para efetuarmos a divisão.
Regra de Briot-Ruffini
Observe a Figura 2.3, para entendera regra de fatoração do polinômio , com
�nalidade de resolver o limite indicado.
Siga os seguintes passos:
1. coloque, no diagrama, a raiz (2), que é sempre igual à tendência do limite.
2. na parte superior, você deve colocar os coe�cientes do polinômio, lembrando de colocar zero,
quando os termos daquele grau que está omitido (1; 0; -6 e 4).
= = = =   − 2lim
x→−1
− 1x2
+ 3x + 2x2
lim
x→−1
(x + 1) (x − 1)
(x + 1) ( + 2)x
lim
x→−1
(x − 1)
( + 2)x
−1 − 1
−1 + 2
P (x) = Q (x)   (x − a)   + r (x) Q (x)
Figura 2.2 - Divisão de Polinômios
Fonte: Elaborada pela autora.
P (x) =   − 6x + 4x3
Figura 2.3 - Regra de Briot-Ruf�ni
Fonte: Elaborada pela autora.
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3. repetir o primeiro coe�ciente na linha inferior (veja a repetição do algoritmo 1).
4. em seguida, inicia-se a operação, multiplicando a raiz (2) pelo primeiro algoritmo da segunda linha
(1) e somando com o segundo algoritmo da primeira linha (0), colocando o resultado (2).
5. repete-se a operação sucessivamente, como mostra as setas no diagrama, até encontrar o resto
zero.
6. após a operação, obtém-se os coe�cientes do quociente Q(x), na segunda linha do diagrama, que
possui sempre um grau menor do que o polinômio P(x). Nesse caso, e,
portanto, 
7. resolver o limite
Veja outro exemplo de indeterminação 0/0, em que utilizamos, como artifício matemático, a multiplicação
pelo conjugado.
Taxa de Variação Instantânea e o Conceito
de Derivada
Suponha que você tenha feito uma viagem de 200 quilômetros em 2 horas. Se perguntarem qual foi a
velocidade média realizada nessa viagem, é claro que você responderia 100 km/h, sendo a função espaço
tempo , e a velocidade . Codi�cando, matematicamente, de�nimos a velocidade média
da seguinte forma:
, se esse limite existir.
Veri�que, na Figura 2.4, a interpretação grá�ca.
Q (x) =   + 2x − 2x2
P (x) =  ( + 2x − 2)  (x − 2) .x2
= = = =lim
x→2
− 6x + 4x3
x2−4
lim
x→2
 ( + 2x − 2)  (x − 2)x2
(x − 2) (x + 2)
lim
x→2
 ( + 2x − 2)x2
(x + 2)
 ( + 2 (2) − 2)22
(2 + 2)
3
2
= × = =lim
x→2
3 − 7 + x
− −−−−
√
(x − 4)
lim
x→2
3 − 7 + x
− −−−−
√
(x − 4)
3 + 7 + x
− −−−−
√
3 + 7 + x
− −−−−
√
lim
x→2
−32 ( )7 + x− −−−−√ 2
(x − 4) ( 3 + )7 + x− −−−−√
= = = −lim
x→2
9 − (7 + x)
(x − 4) ( 3 + )7 + x− −−−−√
lim
x→2
− (x − 4)
(x − 4) ( 3 + )7 + x− −−−−√
lim
x→2
−1
( 3 + )7 + x− −−−−√
−1
 3 + 3
1
6
s = s (t) v = v (t)
v (t) = =Δs
Δt
lim
t→t0
s(t)−s( )t0
t−t0
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Agora, se a pergunta fosse “qual foi a velocidade exatamente em 1,5 hora de viagem?”, nesse caso, você não
responderia, pois seria necessário olhar no velocímetro do carro naquele momento. Essa velocidade pontual
é denominada velocidade instantânea.
Definição da Derivada
Dizemos que a derivada de uma função em um ponto , denotada por ou , é igual ao limite 
, se esse limite existir.
Veri�que a interpretação grá�ca na Figura 2.5.
Analisando a Figura 2.5, veri�que que a reta azul é uma reta secante à curva , uma vez que passa
por dois pontos P e Q. Observe que, quando tende a , o ponto P tende ao ponto Q. Portanto, fazendo 
, a reta secante tende à reta tangente à curva no ponto P. Passando o limite, temos o
valor exato da taxa instantânea de variação da razão incremental , que resulta na velocidade
instantânea.
Dessa forma, ao derivarmos a função espaço tempo, aplicada a um tempo especí�co, obtemos a função
velocidade. Similarmente, ao derivarmos a função velocidade, encontramos a função da aceleração. Por
Figura 2.4 - Taxa Média de Variação
Fonte: Elaborada pela autora.
t0 ( )s′ t0 ( )
ds
dt
t0
(t) =s′ lim
t→t0
s(t)−s( )t0
t−t0
Figura 2.5 - Taxa Instantânea de Variação
Fonte: Elaborada pela autora.
s = s (t)
t t0
Δt  → 0 s = s (t)
Δs(t)
Δt
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outro lado, geometricamente, a derivada da função f(x), aplicada a um ponto P, é igual ao coe�ciente angular
da reta tangente à curva neste ponto. Isso signi�ca que a derivada da função aplicada ao ponto é igual à
tangente do ângulo formado por essa reta e o eixo das abscissas, como mostra a Figura 2.6.
Dessa forma, por meio da função derivada, é possível determinar a equação da reta tangente no ponto 
 e, consequentemente, a equação da reta normal à curva nesse ponto. A Figura 2.7 mostra,
geometricamente, essas retas, que são de�nidas como:
reta tangente: 
reta normal: 
Diante de tantas de�nições, vermos alguns exemplos para ajudá-lo a internalizar esses novos conhecimentos.
Exemplos:
1) encontre a derivada da função no ponto , usando a sua de�nição.
   
2) calcule a derivada da função no ponto e para um ponto qualquer.
3) calcule a equação da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto 
Figura 2.6 - Reta tangente e reta normal à curva
Fonte: Elaborada pela autora.
P ( ,   )x0 y0
(y − ) = ( )   (x − )y0 f
′ x0 x0
(y − ) =   −   (x − )y0
1
( )f ′ x0
x0
f (x) = + 3x2 = 1x0
(1) = = = = = (x + 1f ′ lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
lim
x→1
( + 3) − 4x2
x − 1
lim
x→1
− 1x2
x − 1
lim
x→1
(x − 1)   (x + 1)
x − 1
lim
x→1
f (x) = + 3xx2 = 2x0 x0
( ) =f ′ x0 lim
x→x0
( + 3x) − ( + 3x2 x02 x0)
x − x0
= lim
x→x0
( − ) + 3(x −x2 x02 x0)
x − x0
= = 2 + 3lim
x→x0
(x − ) (x + ) + 3(x −x0 x0 x0)
x − x0
x0
(2) = 2 × 2 + 3 = 7f ′
f (x) = x2  = 1.x0
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Solução:
Para , obtemos que . Portanto, o ponto 
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal:
4) a equação do movimento de uma partícula é dada por , em que s está em metros, e t está
em segundos. Encontre as funções de velocidade e aceleração em função de t.
Figura 2.7 - Cálculo reta tangente e reta normal à curva
Fonte: Elaborada pela autora.
= 1x0 f (1) = = 11
2  = (1, 1) .P0
(1) = = = = (x + 1) = 2f ′ lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
lim
x→1
− 1x2
x − 1
lim
x→1
(x − 1) (x + 1)
x − 1
lim
x→1
(y − 1) = (1)   (x − 1) → (y − 1) = 2  (x − 1)   → y = 2x + 1f ′
(y − 1) =   −   (x − 1) → (y − 1) =   −   (x − 1)   → y = x +
1
(1)f ′
1
2
1
2
3
2
s (t) = − 1t2
v (t) = = =
d s (t)
dt
lim
t→t0
s (t) − s ( )t0
t − t0
lim
t→t0
− 1 −   ( − 1)t2 t0 2
t − t0
= = = 2lim
t→t0
( − )   −  1 + 1t2 t0 2
t − t0
lim
t→t0
(t − ) (t + )t0 t0
t − t0
t0
a (t) = = = = 2 = 2
d v (t)
dt
lim
t→t0
v (t) − v ( )t0
t − t0
lim
t→t0
2t −  2t0
t − t0
lim
t→t0
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Agora, é com você! Teste o seu conhecimento.
praticarVamos Praticar
1) Encontre a equação da reta tangente e normal à curva no ponto .
As equações encontradas para a reta tangente ( ) e reta normal ( ), respectivamente, são:
a) 
b) 
saiba maisSaiba mais
Acredita-se que Isaac Newton estava observando o movimento
curvilíneo de corpos celestes. Ele imaginou que, em vez de
estudar as curvas elípticas que apresentavam grau de di�culdade,
poderia estudar pequenos segmentos de retas, ou seja, as curvas
poderiam ser representadas por esses segmentos, facilitando o
estudo de inúmeros processos físicos. Conheça mais sobre sua
história e sobre o cálculo diferencial e integral no link a seguir.
ACESSAR
f (x) =  x−−√ = 4x0
Fonte: Elaborada pela autora.
rT rN
:   − 4x + 18 e  = + 1rT rN
x
4
:   − 2x + 9 e  = + 1rT rN
x
2
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm
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c) 
d) 
e) 
:   − x + 11 e  = x + 1rT rN
:  4x + 18 e  = − + 1rT rN
x
4
:   − 3x + 16 e  = + 1rT rN
x
3
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Agora, vamosdar continuidade ao estudo da função derivada, cujo cálculo será facilitado, por conta da
utilização das regras de derivação e da tabela de derivadas de funções elementares.
Tabela de Derivadas de Funções Elementares
A seguir, apresentaremos a tabela de derivadas das funções elementares. Vale ressaltar que a tabela foi
construída a partir da de�nição da derivada, por meio do limite, como já mostrado anteriormente. Essas
demonstrações são encontradas na maioria dos livros de cálculo. Aqui, apresentaremos os resultados na
Tabela 2.1 e utilizaremos-na para derivar funções não elementares.
Veja um exemplo: a derivada da função constante é igual a zero.
De fato: se , então, 
.
Similarmente, são calculadas as derivadas de outras funções apresentadas na Tabela 2.1.
Derivadas Imediatas eDerivadas Imediatas e
Regras de DerivaçãoRegras de Derivação
f (x) = c  (c ∈ R)
(x) = = = = 0 = 0f ′ lim
x→x0
f(x)−f( )x0
x−x0
lim
x→x0
c−c
x−x0
lim
x→1
0
x−x0
lim
x→x0
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Fonte: Adaptada de Fleming (2007, p. 158).
Considere  a, c e n constantes
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1. y = c ,  c ∈ R = cy ′
2. y = x  = 1y ′
3. y =  1  x  = −y
′  1 
   x2
4. y =   (n ≠ 0)  xn = ny ′ xn−1
5. y = (a > 0,  a ≠ 1)ax = ⋅ ln (a)y ′ ax
6. y = ex = lne =y ′ ex ex
7. y = lo x,  a > 0,  a ≠ 0ga =y
′  1 
 x  ln(a) 
8. y = ln (x) ,  a > 0,  a ≠ 0 = =y
′  1 
 x  ln(e) 
1
x
9. y = sen (x) = cos (x)y ′
10. y = cos (x) = −sen (x)y ′
11. y = tg (x) = se (x)y ′ c2
12. y = cotg (x) = −cosse (x)y ′ c2
13. y = sec (x) = sec (x) ⋅ tg (x)y ′
14. y = cossec (x) = −cossec (x) ⋅ cotg (x)y ′
15. y = arcsen (x) =y
′ 1
1−x2√
16. y = arccos (x) = −y
′ 1
1−x2√
17. y = arctg (x) =y ′ 11−x2
18. y = arccotg (x) = −y ′ 11−x2
19. y = arcosec (x) ,   |x| ≥ 1 = , x| ≥ 1y
′ 1
|x| −1x2√
20. y = arccossec (x) ,   |x| ≥ 1 = − , x| ≥ 1 y
′ 1
|x| −1x2√
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Resta-nos tomar conhecimento das regras de derivação com as operações usuais, que serão apresentas a
seguir.
Regras de Derivação
Sejam u e v funções deriváveis de x, bem como c e n constantes, para entender os exemplos, a seguir, consulte
a Tabela 2.1, para derivar as funções elementares.
1. A derivada da soma é a soma das derivadas
Exemplo:
2. A derivada do produto entre duas funções
Exemplo:
3. A derivada do produto entre uma constante e uma função
Veri�que que, ao aplicar a regra anterior, o primeiro termo sempre é anulado. Resulta que 
, ou seja, a derivada de uma constante por uma função é igual
ao produto entre a constante e a derivada da função.
Exemplo: 
f (x) = u (x) ± v (x)   → (x) = (x) ± (x)f ′ u′ v′
f (x) = + x + 6x4
(x) = + + = 4 + 1 + 0 = 4 + 1f ′ ( )x4 ′ (x)′ (6)′ x4−1 x1−1 x3
f (x) = u (x) ⋅ v (x)   → (x) = (x) ⋅ v (x) + u (x) ⋅ (x)f ′ u′ v′
f (x) = (sen (x)) ⋅ (cos (x))
(x) = ⋅ (cos (x)) + (sen (x)) ⋅f ′ (sen (x))′ (cos (x))′
=  cos (x) ⋅ cos (x) + sen (x) ⋅ (−sen (x))
=   −(cos (x))2 (sen (x))2
=  co (x) − se (x)s2 n2
f (x) = c ⋅ u (x)   → (x) = ⋅ u (x) + c ⋅ (x) = 0 + c ⋅ (x)f ′ c′ u′ u′
f (x) = c ⋅ u (x)   → (x) =  c ⋅ (x)f ′ u′
f (x) = 3 ⋅ tg (x)   → (x) = 3 ⋅ = 3 ⋅ se (x)  f ′ (tg (x))′ c2
f (x) = 3 + 9 + sen (2π)x10 x2
−−√3
f (x) = + 9 +(3 )x10
′ (  )x2/3
′
(sen (2π))′
(x) = 3 ⋅ 10 ⋅ + 9 ⋅ ⋅f ′ x10−1 23 x
2/3−1
(x) = 30  + 6f ′ x9 x−1/3
(x) = 30  +f ′ x9 6
x√3
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4. A derivada do produto quociente entre duas funções
Exemplo: derive 
Solução:
Agora, vamos mostrar mais alguns exemplos, para demonstrar como aplicar as regras de derivação e, a seguir,
vamos propor uma atividade para você praticar.
Exemplo: dada a função , encontre  o valor da .
Solução:
praticarVamos Praticar
Encontre a derivada da função $f\left( x \right)~=~\frac{2-{{x}^{2}}}{3{{x}^{2+1}}}$, usando as regras de derivação
adequadas. O valor encontrado é igual a:
a) 
f (x) =   → (x) =
u(x)
v(x)
f ′
(x)⋅v(x)−u(x)⋅ (x)u′ v′
[v(x)]
2
f (x) = 2 −4x
3 x2
3 +x5 x2
(x) =f ′
(3 + )−[(2 −4 )  ](2 −4 )x3 x2 ′ x5 x2 x3 x2 (3 + )x5 x2 ′
[3 + ]x5 x2
2
=
(6 −8x) (3 + )−[(2 −4 ) (15 +2x)]x2 x5 x2 x3 x2 x4
[3 + ]x5 x2
2
=
18 +6 −24 −8 −30 −4 +60 +8 )]x7 x4 x6 x3 x7 x4 x6 x3
[3 + ]x5 x2
2
= −12 +36 +2x
7 x6 x4
9 +6 +x10 x7 x4
= −12 +36 +2x
3 x2
9 +6 +1x6 x3
f (x)   =   − tg (x)
3sen(x)
x
(π)f ′
(x) = − se (x)f ′
3  (x)−[(3sen(x))  ](sen(x))′ (x)′
[x]
2 c
2
= −
3 x cos(x) −[3sen(x)]
x2
1
co (x)s2
= −
3 x cos(x) −3sen(x)
x2
1
co (x)s2
(π) = − = − = − 1 = − − 1 = −( )f ′ 3 π cos(π) −3sen(π)
π2
1
co (π)s2
3 π (−1) −3(0)
π2
1
(−1)
2
−3 π 
π2
−3  
π
3−π
π
(x) =  f ′   −14x
(3 +1)x2 2
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b) 
c) 
d) 
e) 
(x) =  f ′   −11x
2
(3 +1)x2 2
(x) =  f ′   15x
(3 +1)x2
2
(x) =  f ′   −24
(3 +1)x2 2
(x) =  f ′   −1
(3 +1)x2 2
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Você aprendeu a derivar muitas funções, porém, até aqui, trabalhamos apenas com funções não compostas,
em que a variável x aparece isolada ( Agora, você
vai aprender a derivar as funções compostas, por exemplo, 
Nesses exemplos,
veri�que que há composições de funções trigonométricas com funções polinomiais, funções exponenciais
compostas com polinomiais, funções   logarítmicas compostas com funções trigonométricas e, até mesmo,
composição de funções polinomiais com funções polinomiais.
A Figura 2.8 ilustra a composição entre a função g com a f. Nesse caso, veri�que, no diagrama, que a função f
leva um elemento a pertencente ao seu domínio da f a f(a) pertencente ao seu contradomínio J. Para que haja
a composição, o domínio da g deve coincidir com a imagem de f. Assim, g leva um elemento f(a) à g(f(a))
pertencente ao conjunto Q. Portanto, escrevemos gOf (a) = g(f(a)).
A Regra da Cadeia
Funções Compostas eFunções Compostas e
Regra da CadeiaRegra da Cadeia
cos (x) ,   ,  tg (x) ,   ,  ln (x) ,  sec (x) ,  etc.  ).  x3 ex
cos ( + 1) ,   ,  tg ( + 2x + 7) ,   ,  ln (sen (x)) ,  sec ( ) .  x2 (5x)3 x5 e +1x
2
x2
Figura 2.8 - De�nição da Função Composta
Fonte: Elaborada pela autora.
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Para derivar uma função composta, utiliza-se a Regra da Cadeia de�nida a seguir.
Definição da Regra da Cadeia
Sejam e , tal que . Se é derivável em , e é derivável em ) ,
então, é derivável em , e .
Notações:
Para deixar claro sobre como usar a regra da cadeia para derivar funções compostas, vamos mostrar alguns
exemplos.
1) Derive a função   .
Solução: veri�que, nos cálculos, que você deve usar a mesma regra vista anteriormente para derivar a função
potência e multiplicar pela derivada da parte interna .
Nesse caso, ou   .
Portanto:
2) Derive a função   .
Solução: aqui, você vai utilizar a derivada da função exponencial , então, 
.
Portanto:
3) Derive a função   .
f : I → R    g : I → R f (I) ⊂ J f a ∈ R g f(a
g ∘ f a (a) = (f (a))   ⋅ (a)(g ∘ f)′ g ′ f ′
y = f (x)
(g ∘ f) (x) = g (f (x)) ⋅ f (x) = g (y)
(x) = (f (x)) ⋅ (x)(g ∘ f)′ g ′ f ′
y = g (u)   :. u = f (x)
= ⋅
dy
dx
dy
du
du
dx
f (x) = =(3 − 4x)x4
2
− −−−−−−−−
√3 (3 − 4x)x4
2
3
f (u)   = ,n ∈ R,    u = u (x)un u = 3 − 4xx4
  = ⋅
df
dx
df
du
du
dx
(x)   = (u)   ⋅ = n  ⋅f ′ f ′ u′ (u)n−1 u′
(x) =f ′
2
3
(3 − 4x)x4
− 1
3 (3 − 4x)x4
′
(x) = (12 − 4)f ′
2
3
(3 − 4x)x4
− 1
3 x3
(x) =f ′
2  (12 − 4)x3
3   (3 − 4x)x4
− −−−−−−−−√3
f (x) = 83 +5x
2
y  = ,  a ∈ R,    u = u (x)au
  = ⋅ lna ⋅y′ au u′
(x) = ⋅ ln (8)   ⋅f ′ 83 +5x
2
(3 + 5)x2
′
(x) = ⋅ ln (8)   ⋅ (6x)f ′ 83 +5x
2
f (x) = ln(5 + 4 + 9)x3 x2
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Solução: aqui, você vai utilizar a derivada da função exponencial , então, 
.
Portanto:
4) Derive a função   .
Solução: a derivada da função trigonométrica é igual a 
.
Portanto:
5) Derive a função  
Solução: a derivada da função trigonométrica   é igual a 
.
Portanto:
Agora que você já entende a Regra da Cadeia, vamos adaptar a Tabela 1.1 de   derivadas de funções
elementares, porém generalizando para funções compostas com a regra da cadeia (Tabela 2.2).
y  = lo ,  a ∈ R,    u = u (x)ga
u
  = ⋅y′ 1
u⋅ln(a)
u′
(x) =   ⋅ = =  f ′
1
(5 + 4 + 9) ⋅ ln (e)x3 x2
(5 + 4 + 9)x3 x2
′ 15 + 8xx2
(5 + 4 + 9) ⋅ (1)x3 x2
15 + 8xx2
(5 + 4 + 9)x3 x2
f (x) = 3 tg (2x + 1)   + x−−√
y  = tg (u) ,  a ∈ R,    u = u (x)
  = se (u) ⋅y′ c2 u′
f (x) = 3 tg (2x + 1)   + x1/2
(x) = 3 se (2x + 1)   +   = 3 se (2x + 1)   (2)   +  f ′ c2 (2x + 1)′
1
2
x −1
1
2 c2
1
2
x−
1
2
(x) = 6 se (2x + 1) +f ′ c2
1
2 x−−√
f (x) =   − cosse ( )   =   −  .c2 x3 [cosse ( )]x3 2
y  = cossec (u) ,  u = u (x)
  = −cossec (u) ⋅ cotag (u)  y′ u′
f (x) =   − [cosse ( )]x3
2
(x) = −2 cossec ( )     f ′ x3 [cossec ( )]x3
′
(x) = −2 cossec ( ) ⋅ (−cossec ( ) ⋅ cotg ( ) ⋅ )f ′ x3 x3 x3  ( )x3 ′
(x) = 2 cosse ( ) ⋅ cotg ( ) ⋅ (3 )f ′ c2 x3 x3  x2
(x) = 6   ⋅ cosse ( ) ⋅ cotg ( )f ′ x2 c2 x3 x3 
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Considerea, c e n constantes, e funções reais na variável x.
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
\(9.~y=sen\left( u\left( x \right) \right)\(
➜ \)y'=cos\left( u\left( x \right) \right)\cdot u'\left( x
\right)\(
➜ 
➜ \(y'=se{{c}^{2}}\left( x \right)\cdot u'\left( x \right)\(
\)12.~y=cotg\left( u\left( x \right) \right)\( ➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
u = u (x)  e v = v (x)  
1. y = c ,  c ∈ R = cy ′
2. y = x  = 1y ′
3. y =  1  x  = −y
′  1 
   x2
4. y =   (n ≠ 0)  (u (x))n = n  ⋅ (x)y ′ (u (x))n−1 u′
5. y = (a > 0,  a ≠ 1)au(x) = ⋅ (x)   ⋅ ln (a)y ′ au(x) u′
6. y = eu(x) = ⋅ (x) ⋅ ln (e) = ⋅ (x)y ′ eu(x) u′ eu(x) u′
7. y = lo u (x) ,  a > 0,  a ≠ 0ga = ⋅ (x)y
′  1 
 u(x)  ln(a) 
u′
8. y = ln (u (x)) ,  a > 0,  a ≠ 0 = ⋅ (x) = ⋅ (x)y
′  1 
 u(x)  ln(e) 
u′ 1 
u(x)
u′
10. y = cos (u (x)) = −sen (u (x)) ⋅ (x)y ′ u′
11. y = tg (u (x))
= −cosse (x) ⋅ (x)y ′ c2 u′
13. y = sec (u (x)) = sec (x) ⋅ tg (x) ⋅ (x)y ′ u′
14. y = cossec (u (x)) = −cossec (x) ⋅ cotg (x) ⋅   (x)y ′ u′
15. y = arcsen (u (x)) = ⋅ (x)y
′ 1
1−x2√
u′
16. y = arccos (u (x)) = − ⋅ (x)y
′ 1
1−x2√
u′
17. y = arctg (u (x)) = ⋅ (x)y ′ 11−x2 u
′
18. y = arccotg (u (x)) = − ⋅ (x)y ′ 11−x2 u
′
19. y = arcosec (u (x)) ,   |x| ≥ 1 = ⋅   (x)  , |x| ≥ 1y
′ 1
|x| −1x2√
u′
20. y = arccossec (u (x)) ,   |x| ≥ 1 = − ⋅   (x)  , x| ≥ 1 y
′ 1
|x| −1x2√
u′
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Tabela 2.2 - Tabela de derivadas de funções elementares não compostas
Fonte: Adaptada de Flemming (2007, p. 158).
Veri�que que a Tabela 2.2 apresenta as funções compostas e suas derivadas. Para tanto, basta utilizar a
mesma regra da Tabela 1.1 e multiplicar por 
Agora, é com você. Consultando a tabela generalizada de derivadas, você pode obter as derivadas de
quaisquer funções.
Exemplo: usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada da função 
.
Solução:
praticarVamos Praticar
Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada da função . O valor encontrado
é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
21. ➜ 
22. ➜ 
23. ➜ 
24. ➜ 
y = u (x) ± v (x) = (x) ± (x)  y ′ u′ v′
y = u (x) ⋅ v (x) = (x) ⋅ v (x) + u (x) ⋅ (x)  y ′ u′ v′
y = c ⋅ u (x) =  c ⋅ (x)  y ′ u′
y = ,  v (x) ≠ 0
u(x)
v(x)
=   ) y ′
(x) v(x)−u(x) (x)u′ v′
[v(x)]2
(x) .u′
y = ( − 1) (3x − 1) (5 + 2x)x2 x3
= (3x − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (3x − 1)y′ ( − 1)x2
′
x
3
x
2 (3x − 1)′ x3 x2 (5 + 2x)x3
= (2x) (3x − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (3) (5 + 2x) + ( − 1) (3x − 1) (15 + 2)y′ x3 x2 x3 x2 x2
y = 2
3
( )5x+3
5 −3x
3
=y ′
−40 (5x+3)2
(5x−3)3
=y ′ −20
(5x−3)2
=y ′ −40
(5x−3)2
=   −y ′
 (5x+3)2
(5x−3)3
=y ′
−20 (5x+3)2
(5x−3)3
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Neste tópico, daremos continuação ao cálculo de derivadas, agora, mostrando como obter as derivadas de
ordens superiores, ou seja, para obter a derivada de ordem 2, devemos derivar, novamente, a primeira
derivada da função, caso esta exista. E, assim, sucessivamente, para obter as derivadas de ordem acima de 2.
Também, veremos como derivar funções dadas em forma especial, especi�camente, na forma implícita, em
que a variável y não está explícita y=f(x).
Derivadas Sucessivas
Dada a função e como sua primeira derivada, dizemos que:
a segunda  derivada da função é dada por ;
a terceira derivada da função é dada por ;
a quarta derivada da função é dada por 
Assim, sucessivamente, para encontrar as demais. No entanto, vale ressaltar que nem todas as funções
admitem as derivadas sucessivas. Existem funções contínuas que não admitem nem mesmo a primeira
derivada e, nesse caso, dizemos que essa função é de classe . No caso de a função só admitir até a
primeira derivada, sua classe é e, assim, sucessivamente, para as classes das demais funções , , 
, etc.
Exemplo:
1) seja a função , calcule .
Veri�que que, nesse caso, vamos utilizar a regra número 7 e 25 da Tabela 2.2: e 
Solução:
Derivadas Sucessivas eDerivadas Sucessivas e
Derivação ImplícitaDerivação Implícita
y = f (x) = (x)y′ f ′
y = f (x)   = (x) =y ′′ f ′′ ( (x))f ′ ′
y = f (x) = (x) =y ′′′ f ′′′ ( (x))f ′′ ′
y = f (x)   = (x) = .   y ′′′ f ′′′ ( (x))f ′′
′
C0
C1 C2 C3
C4 C5
f (x) = ln (1 + )x2 (2)f ′′
y = ln (u)   → =y′ u
′
u
y = → =u
v
y′ v−uu
′ v′
[v]
2
(x) = =     =   ⋅ (1 + ) ⋅ = ⋅ 2x =f ′ [ln (1 + )]x2
′ 1
1 + x2
(1 + )x2
′ 1
1 + x2
x2 (1 + )x2
′ 1
1 + x2
2x
1 + x
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Derivadas Implícita
Agora, você vai aprender a derivar funções dadas na forma implícita. Mas, antes, vamos exempli�car esse
tipo de função. São funções em que, em sua escrita, a variável dependente y não aparece explicitamente
como . Veja alguns exemplos a seguir. Veri�que que, em alguns casos, é possível isolar a variável y
e representá-la explicitamente. Porém, nem sempre isso é possível, justi�cando, assim, a importância de
saber derivar funções dadas na forma implícita.
Exemplos de funções dadas na forma implícita:
1) 
2) 
3) 
Veri�que, nos exemplos, que a variável dependente y é uma função de x . No entanto, nas
equações apresentadas, esta é dada na forma implícita.  Dessa forma, para derivar as equações, utilizaremos
a regra da cadeia, que deriva as funções compostas. Veja os exemplos a seguir.
Exemplos:
1) encontre a derivada , em que é dada na forma implícita .
Veri�que o passo a passo.
1 - Ambos os lados da equação devem ser derivados, respeitando-se todas as regras de derivação já vistas,
inclusive, a regra da cadeia.
Regra do Produto
2 - Colocar todos os termos que possui do lado esquerdo e os demais do lado direito.
3 - Evidenciar .
(x) = = =f ′′ [ ]2x
1 + x2
′ (1 + ) − [(2x) ](2x)
′
x2 (1 + )x2
′
[1 + ]x2
2
(2) (1 + ) − [(2x) ]x2 (2x)
′
[1 + ]x2
2
= =
2 + 2   − 4x2 x2
[1 + ]x2
2
2 − 2  x2
[1 + ]x2
2
(2) = =f ′′
2 − 2 ⋅ 2 
[1 + 2]2
−2
9
y = f (x)
yx + y + 1 = x
+ = 1y3 x2
+ = 1x2 y2
y = f (x)
y′ y + y = 10y2 x2
+ ( ⋅ y =( )y2
′
x2 )′ (10)′
2y + y + ( ) ⋅ =  0y′ ( )x2
′
x2 y′
2y + (2x) y + ( ) ⋅ =  0y′ x2 y′
y′
2y + ( ) ⋅ =   − (2x) yy′ x2 y′
y′
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4 - Isolar , para explicitá-la.
Exemplos:
2) encontre a derivada , em que é dada na forma implícita .
Veri�que o passo a passo.
1 - 
Regra da Cadeia
2 - Evidenciar .
3 - Isolar , para explicitá-la.
praticarVamos Praticar
Seja a função , calcule . O valor encontrado é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
(2y + ( )) =   − (2x) yy′ x2
y′
=  y′
−2x y
2y+( )x2
y′ y cos (x + y) + tg (x + y) = 9
co (x + y) + t (x + y) =s′ g ′ 9′
−sen (x + y) ⋅ + se (x + y) ⋅ = 0(x + y)′ c2 (x + y)′
  − sen (x + y) ⋅ (1 + ) + se (x + y) ⋅ (1 + ) = 0y′ c2 y′
y′
(1 + )   [−sen (x + y) ⋅ (1 + ) + se (x + y)] = 0y′ y′ c2
y′
(1 + )   = 0y′
  = −1y′
f (x) = sen (x) + co (x)s2 (π)f ′′
(π) = πf ′′
(π) = −1f ′′
(π) = 3f ′′
(π) = −2f ′′
(π) = 2πf ′′
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indicações
Material
Complementar
L I V R O
Cálculo A: funções, limites, derivação e integração
Diva Marília Flemming  e  Mirian Buss Gonçalves
Editora: Pearson Prentice Hall
ISBN: 85-7605-115-X
Comentário: é um excelente livro de cálculo, que aborda todo o conteúdo,
elucidando a aplicação das derivadas em várias áreas do conhecimento.
Recomendo a leitura do capítulo 4, que aborda, praticamente, todo o conteúdo
desta unidade. Recomendo a resolução de alguns exercícios das seções: 4.10
(função derivável); 4.12 (derivadas de funções não compostas); 4.16
(derivadas de funções compostas); e 4.16 (derivadas sucessivas e implícitas).
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F I L M E
Cálculo I - Aula 05 - Derivada
Ano: 2016
Comentário: esse vídeo mostra a aplicação de derivadas em problemas que
envolvem a cinemática. Você terá a oportunidade de ver várias aplicações para
reforçar os seus conhecimentos, por meio da aula 05 do excelentíssimo
professor Cláudio Possani, da Universidade Virtual do Estado de São Paulo.
Além disso, recomendo, também, as aulas 07 e 08, que trabalham as regras de
derivação.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, você, caro(a) aluno(a), estudou os conceitos de derivadas, entendeu a sua de�nição por meio
do limite e, além disso, veri�cou sua aplicação como taxa de variação instantânea, importante ferramenta
para a resolução de problemas que envolvem a cinemática: velocidade e aceleração. Aprendeu, também, a
calcular derivadas por meio das regras operatórias e da tabela de derivadas. Dessa forma, o cálculo �ca
simpli�cado, evitando ter de utilizar a sua de�nição por limite para o cálculo. Além disso, você aprendeu a
derivar as funções compostas, sucessivamente, ao encontrar derivadas de ordem superior, e implicitamente:
funções dadas na forma implícita.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ANTON, H. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
COSTA, N. M. L. da. A História da Trigonometria. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em:
http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3_pdf/historia_triogono.pdf. Acesso em: 27
nov. 2019.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. 6. ed. Pearson
Prentice Hall, 2007.
O NASCIMENTO do cálculo. Ecalculo. Disponível em:
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm. Acesso em: 9 dez. 2019.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cenagage Learning, 2013.
http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3_pdf/historia_triogono.pdf
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm
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