GRA1594 Cálculo Aplicado Várias Variáveis

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26/02/2020 Minha Disciplina
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Usuário ELIANA VIEIRA NORTE
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 17/02/20 16:36
Enviado 18/02/20 21:14
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 28 horas, 37 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto,
sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto.
Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular
no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima
de aumento da densidade no ponto .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é
, concluímos que a taxa máxima de aumento da
densidade é .
Pergunta 2
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Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis 
 e , isto é, e . A derivada da função com relação à
variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de 
 com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é: .
Pergunta 3
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de
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1 em 1 pontos
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função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis,
temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável
dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e 
 e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das variáveis 
 e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 4
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resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função 
 o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o
vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
 . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto
 .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas
parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 5
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável
(ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio
corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto 
 .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
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IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 6
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio
é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis ,
precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
1 em 1 pontos
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III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, apenas.
I, apenas.
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Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função,
temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições 
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
afirmativa.
Pergunta 7
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resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta
tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a
cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com
relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa
direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por
 . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função
 no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja .
Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a
derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional procurada é
.
Pergunta 8
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resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável
pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido
desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e 
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitário na direção de é o vetor . Portanto,a derivada
direcional é .
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Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h12min02s BRT
Pergunta 9
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resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa
por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode
ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais
no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim,
trocando essas informações na equação do plano 
 obtemos 
.
Pergunta 10
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resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma
constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O
volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de 
 por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos 
, , e . Derivando a função com relação
ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 
. Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
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26/02/2020 Minha Disciplina
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Usuário ELIANA VIEIRA NORTE
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 18/02/20 22:20
Enviado 18/02/20 23:06
Status Completada
Resultado da tentativa 8 em 10 pontos 
Tempo decorrido 45 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas
derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial
possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro
lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
F, V, V, F.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação
diferencial, temos que sua solução geral é:
. Assim: 
Afirmativa IV: Falsa. Para , temos que .
Portanto, é a solução da equação diferencial dada.
Pergunta 2
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“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma 
 , onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é
dita linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo .
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
 
 
A equação diferencial tem solução .
A equação diferencial tem solução .
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Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial 
, escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa
equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para . Como as
raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada
como .
Pergunta 3
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resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi
primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por
Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos
os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação
diferencial . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação
separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como
. Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 4
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resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda
ordem, consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições iniciais da forma 
 e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes
obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a
seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois: 
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são
 (duas raízes reais e distintas). 
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber
1 em 1 pontos
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, a solução geral é expressa por . A partir das condições
iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 5
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resposta:
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo,
podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da
classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na
equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece
na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de
classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior
derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação
pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
Pergunta 6
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resposta:Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados
matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a
seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número
de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento
dessa população.
 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte
equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que depende
do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos .
Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde e são constantes e . Como temos
1 em 1 pontos
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. Portanto, a função que descreve o
crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 7
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resposta:
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções
particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos
obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um
dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de
Valor Inicial (PVI) .
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.b
r/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim,
podemos resolvê-la separando as variáveis e , integrando ambos os lados da
igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na
solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é 
.
Pergunta 8
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resposta:
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou
se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida
possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação
diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma
função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043%
após 15 anos. 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e IV, apenas.
I e II, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação
diferencial separável , temos que: 
1 em 1 pontos
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26/02/2020 Minha Disciplina
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Afirmativa III: incorreta. A quantidade de substância no tempo (em anos) é dada pela
função . O tempo de meia-vida é tal que , o qual
concluímos anos. 
Afirmativa IV: incorreta. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é reduzida
em 0,043%, o que resulta no valor de .
Pergunta 9
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resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se
diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma
equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira,
não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função é solução da equação diferencial .
II. A função é solução da equação diferencial .
III. A função é solução da equação diferencial .
IV. A função é solução da equação diferencial .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de
uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que 
 Trocando na equação diferencial, temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e 
. Trocando , e na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 10
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução
de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por
exemplo, equações diferenciais escritas na forma são ditas equações
diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a
seguir: 
 
I. A solução da equação é .
II. A solução da equação é .
III. A solução da equação é .
IV. A solução da equação é .
 
É correto o que se afirma em:
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h09min27s BRT
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resposta:
 
 
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de
solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde 
. 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: .
Integrando a equação: 
, onde .
PERGUNTA 1 
1. Três engenheiros desejam construir um prédio na cidade de Maringá (PR). Como a construção
será financiada, o único investimento imediato que os engenheiros terão será a compra do 
terreno. Eles decidiram adquirir um terreno que possui área igual à área sob a curva no 
intervalo , em que e estão em centenas de metros. Se o preço cobrado 
pelo terreno foi de R$ 15,00 o metro quadrado, quanto cada engenheiro precisou investir? 
R$ 780.000,00 
Explicação passo-a-passo: 
Precisamos descobrir a área desse gráfico através de uma integral 
nesse intervalo: 
Temos 5,2 x 100 m x 100 m = 52.000 m²: 
52.000 x 15,00 = R$ 780.000,00 
Ou seja cada engenheiro precisa investir R$ 260.000,00 
Atividade 1
28/02/2020 Blackboard Learn
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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 27/02/20 13:35
Enviado 28/02/20 12:59
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 23 horas, 23 minutos
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Pergunta 1
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As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta
tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a
cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com
relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa
direção seja fornecida por um vetor unitário. 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por
 . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função
 no ponto na direção do vetor .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da funçãosão:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja .
Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a
derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional procurada é
.
Pergunta 2
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resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa
por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode
ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais
no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim,
trocando essas informações na equação do plano 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
28/02/2020 Blackboard Learn
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 obtemos 
.
Pergunta 3
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O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função 
 o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o
vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
 . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto
 .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas
parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 4
Resposta
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A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma
constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O
volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de 
 por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos 
, , e . Derivando a função com relação
ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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. Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Pergunta 5
Resposta
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Resposta
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da
resposta:
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao
domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para
visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
A equação é uma curva de nível para a função
 para .
A equação é uma curva de nível para a função 
 para .
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos que
. Assim, igualando a função ao valor de , temos que
. Portanto, a curva de nível da
função para é dada pela equação .
Pergunta 6
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da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis 
 e , isto é, e . A derivada da função com relação à
variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de 
 com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é: .
Pergunta 7
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável ,
isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da
regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que
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1 em 1 pontos
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resposta:
precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: 
, , e . Aplicando a regra da cadeia,
obtemos a expressão da derivada desejada: 
. Trocando as expressões
de e temos
.
Pergunta 8
Resposta
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resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento
da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A
temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função 
 . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do
vetor .
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: , e . Assim, dado o
ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então a derivada
direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto,
sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto.
Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular
no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima
de aumento da densidade no ponto .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
1 em 1 pontos
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Sexta-feira, 28 de Fevereiro de 2020 12h59min58s BRT
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resposta:
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é
, concluímos que a taxa máxima de aumento da
densidade é .
Pergunta 10
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resposta:
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, 
 e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de 
 com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em
relação a , isto é, , para quando .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regrada cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
1 em 1 pontos
26/02/2020 Minha Disciplina
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Usuário
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 17/02/20 16:36
Enviado 18/02/20 21:14
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 28 horas, 37 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto,
sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto.
Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular
no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima
de aumento da densidade no ponto .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é
, concluímos que a taxa máxima de aumento da
densidade é .
Pergunta 2
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resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis 
 e , isto é, e . A derivada da função com relação à
variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de 
 com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é: .
Pergunta 3
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de
1 em 1 pontos
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função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis,
temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável
dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e 
 e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das variáveis 
 e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 4
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resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função 
 o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o
vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
 . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto
 .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas
parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 5
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável
(ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio
corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto 
 .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
1 em 1 pontos
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IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 6
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio
é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis ,
precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
1 em 1 pontos
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III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, apenas.
I, apenas.
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resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função,
temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições 
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
afirmativa.
Pergunta 7
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resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta
tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a
cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com
relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa
direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por
 . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função
 no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja .
Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a
derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional procurada é
.
Pergunta 8
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resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável
pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido
desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e 
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitáriona direção de é o vetor . Portanto, a derivada
direcional é .
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Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h12min02s BRT
Pergunta 9
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resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa
por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode
ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais
no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim,
trocando essas informações na equação do plano 
 obtemos 
.
Pergunta 10
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resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma
constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O
volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de 
 por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos 
, , e . Derivando a função com relação
ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 
. Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
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Usuário
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 18/02/20 22:20
Enviado 18/02/20 23:06
Status Completada
Resultado da tentativa 8 em 10 pontos 
Tempo decorrido 45 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas
derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial
possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro
lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, V, F.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação
diferencial, temos que sua solução geral é:
. Assim: 
Afirmativa IV: Falsa. Para , temos que .
Portanto, é a solução da equação diferencial dada.
Pergunta 2
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“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma 
 , onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é
dita linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
STEWART, J. Cálculo .
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
A equação diferencial tem solução .
A equação diferencial tem solução .
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resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial 
, escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa
equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para . Como as
raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada
como .
Pergunta 3
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resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi
primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por
Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos
os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação
diferencial . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação
separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como
. Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 4
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resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda
ordem, consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições iniciais da forma 
 e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes
obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a
seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois: 
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são
 (duas raízes reais e distintas). 
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber
1 em 1 pontos
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, a solução geral é expressa por . A partir das condições
iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 5
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resposta:
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo,
podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da
classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na
equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece
na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de
classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior
derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação
pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
Pergunta 6
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resposta:
Problemasque envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados
matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a
seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número
de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento
dessa população.
 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte
equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que depende
do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos .
Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde e são constantes e . Como temos
1 em 1 pontos
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. Portanto, a função que descreve o
crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 7
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De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções
particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos
obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um
dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de
Valor Inicial (PVI) .
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.b
r/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim,
podemos resolvê-la separando as variáveis e , integrando ambos os lados da
igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na
solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é 
.
Pergunta 8
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resposta:
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou
se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida
possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação
diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma
função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043%
após 15 anos. 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e IV, apenas.
I e II, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação
diferencial separável , temos que: 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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Afirmativa III: incorreta. A quantidade de substância no tempo (em anos) é dada pela
função . O tempo de meia-vida é tal que , o qual
concluímos anos. 
Afirmativa IV: incorreta. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é reduzida
em 0,043%, o que resulta no valor de .
Pergunta 9
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resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se
diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma
equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira,
não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função é solução da equação diferencial .
II. A função é solução da equação diferencial .
III. A função é solução da equação diferencial .
IV. A função é solução da equação diferencial .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de
uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que 
 Trocando na equação diferencial, temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e 
. Trocando , e na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 10
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução
de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por
exemplo, equações diferenciais escritas na forma são ditas equações
diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a
seguir: 
 
I. A solução da equação é .
II. A solução da equação é .
III. A solução da equação é .
IV. A solução da equação é .
 
É correto o que se afirma em:
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
26/02/2020 Minha Disciplina
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/6
Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h09min27s BRT
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
 
 
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de
solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde 
. 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: .
Integrando a equação: 
, onde .
GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS 
ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 
Teste ATIVIDADE 2 (A2) 
Iniciado 26/02/20 21:42 
Enviado 09/03/20 08:50 
Status Completada 
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 275 horas, 8 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1
1 em 1 pontos 
 De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função 
diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor 
unitário na direção e sentido desejados”. 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 
1994. 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), 
assinale a alternativa correta. 
Resposta Selecionada: 
 na direção de . 
Resposta Correta: 
 na direção de . 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da 
função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, 
. Temos ainda que vetor unitário na direção de é o vetor . 
Portanto, a derivada direcional é . 
 Pergunta 2
1 em 1 pontos 
 A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a 
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de 
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. 
Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento 
da função. 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da 
função no ponto P(1,2). 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior 
crescimento é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O 
vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da 
função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
- 
-- 
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é . 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados 
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: 
em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um 
valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio 
corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, IV 
Resposta Correta: 
I, IV 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as 
restrições de cada função, concluímos que: 
 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o 
conjunto . 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é 
dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o 
sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função 
 represente uma distribuição de temperatura no plano (suponha medida 
em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior 
decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
Direção e taxa mínima de . 
Resposta Correta: 
Direção e taxa mínima de . 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior 
decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto 
é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal 
negativo apenas indica que a temperatura é mínima). 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são 
funções da variável , isto é, e . A derivada da função com 
relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . 
Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da 
função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas 
das funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da 
função com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes 
derivadas: , , e . Aplicando a regra da cadeia, 
obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as 
expressões de e temos . 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente 
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os 
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é 
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo 
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da 
função e o vetor gradiente são: , e . Logo, . Como a 
direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma 
direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado 
é . 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares 
 pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante real. 
Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de 
uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação é uma curva de nível para a função 
 para . 
Resposta Correta: 
A equação é uma curva de nível para a função 
 para . 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de 
nível, temos que . Assim, igualando a função ao valor de , 
temos que . Portanto, a curva de nível da função para é 
dada pela equação . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente 
em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma 
do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , 
em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , 
assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da 
densidade no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
A taxa máxima de aumento da densidade é . 
Resposta Correta: 
A taxa máxima de aumento da densidade é . 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento 
da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor 
gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto 
P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de 
aumento da densidade é . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software 
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que 
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o 
conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
Resposta Selecionada: 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Resposta Correta: 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função 
de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder 
visualizar uma representação geométrica da função no plano 
 recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do 
plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do 
plano . 
 Pergunta 10
1 em 1 pontos 
 A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), 
pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função 
 , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob 
uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão 
está decrescendo a uma taxa de por segundo. 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura 
considerando as informações anteriores. (Use ). 
Resposta 
Selecionada: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo 
no instante dado. 
Resposta Correta: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo 
no instante dado. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases 
ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, 
temos , , e . Derivando a função com relação 
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 1/6
 
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2)
GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Unidade 2
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2)
Usuário
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 27/02/20 09:12
Enviado 09/03/20 17:51
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 272 horas, 38 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Feedback
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveise são funções das variáveis e 
, isto é, e . A derivada da função com relação à variável é
obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à
variável é obtida por meio da expressão . 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada
parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial
de com relação a é: .
Pergunta 2
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e 
 são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com
relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a
 , isto é, , para quando .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_561558_1
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https://anhembi.blackboard.com/webapps/login/?action=logout
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por
um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser
escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no
ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando
essas informações na equação do plano
 obtemos 
.
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser
obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: , e 
. Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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vetor . Portanto, a derivada direcional é
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou
variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a
todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual
a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor
gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função 
 no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é .
Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas
derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
- 
- 
- 
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é .
Pergunta 7
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Feedback
da
resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume
(V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada,
considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando
a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde
, temos . Pelas informações do enunciado, temos ,
, e . Derivando a função com relação ao tempo , pela
regra da cadeia, temos: , onde e . Assim,
. Portanto, a temperatura
está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Pergunta 8
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é
uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos
verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos
que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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Segunda-feira, 9 de Março de 2020 17h53min03s BRT
resposta: Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições 
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
afirmativa.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto,
sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto.
Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no
plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado
que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é
, concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade
é .
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto
é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da
cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções
 e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: ,
, e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão
da derivada desejada: .
Trocando as expressões de e temos
.
← OK
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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09/03/2020 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, 
 e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de 
 com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em
relação a , isto é, , para quando .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que 
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 2
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio
é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis ,
precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, apenas.
I, apenas.
09/03/2020 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6
Feedback
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função,
temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições 
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
afirmativa.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função 
 o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o
vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
 . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto 
 .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas
parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função
estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa
afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor
gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função
 no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: , e 
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6
Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Feedback da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis 
 temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados 
 pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o
domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e 
 podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto
.
O domínio da função é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para
os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável
(ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio
corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto 
 .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/03/2020 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6
Pergunta 7
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento
da função em uma dada direção a partir