Física - Dinâmica I - Sistema COC de Ensino

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1FísicaDinâmica I
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SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência pedagógica: Juliano de Melo Costa
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência de Relacionamento: Giovanna Tofano
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: Juliano de Melo Costa, Osvaldo 
Govone, Sandro Bonás e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Shirlei N. Dezidério
Editoria: Naylor F. de Oliveira e Tiago C. Leme
Assistente editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente administrativo: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Marcela Pelizaro, Paula de Oliveira 
Quirino e Cristian N. Zaramella
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, José S. Lara, 
Leda G. de Almeida, Maria Cecília R. D. B. Ribeiro, 
Milena C. Lotto e Paula G. de Barros Rodrigues
Capa: Pedro Gentile
Conferência e Fechamento: Edgar M. de Oliveira
Su
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CAPÍTULO 01 INTRODUÇÃO À DINÂMICA 7
1. Conceito de força 7
2. Efeitos da força 7
3. Tipos de forças 8
4. Resultante das forças 9
CAPÍTULO 02 LEIS DE NEWTON 10
1. Introdução 10
2. Conceito de inércia 10
3. Princípio da inércia ou primeira lei de Newton 11
4.	 Situações	de	equilíbrio	para	uma	partícula	 11
5. Referencial inercial 15
6. Princípio fundamental ou segunda lei de Newton 15
7. Lei da ação e reação ou terceira lei de Newton 17
8. Componentes da força resultante 19
CAPÍTULO 03 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 32
1. Introdução 32
2. Sistemas de blocos 32
3. Elevadores 39
4. Resistência do ar 42
CAPÍTULO 04 DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR 44
1. Introdução 44
2. Aplicações 44
CAPÍTULO 05 EQUILÍBRIO DE CORPO EXTENSO 50
1. Introdução 50
CAPÍTULO 06 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 54
1. Introdução 54
2. Satélite em orbita circular 59
3. Teorias planetárias 60
4. Leis de Kepler 61
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 65
Capítulo 1 65
Capítulo 2 72
Capítulo 3 103
Capítulo 4 119
Capítulo 5 128
Capítulo 6 139
GABARITO 157
Teoria
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Dinâmica I
7
Física
Iniciamos agora o estudo da dinâmica, que é o 
ramo da mecânica que estuda os movimentos 
dos corpos considerando a causa destes movi-
mentos. O fato de ocorrer variação de posição 
ou de velocidade devido à atração ou repul-
são entre sistemas, ou partes de um sistema, 
é atribuído às resultantes de forças que atuam 
sobre eles.
1. Conceito de força
Um corpo não exerce força sobre si mesmo. 
Assim, para um corpo em repouso entrar em 
movimento, é preciso que ele interaja com ou-
tro elemento (corpo) e receba a ação de uma 
força convenientemente aplicada. A partir 
desse fato, podemos concluir que:
Força é o fruto da interação entre dois corpos.
É importante lembrar que a grandeza física 
força é uma grandeza vetorial, isto é, para 
caracterizá-la precisamos definir sua intensi-
dade, sua direção e seu sentido. A figura se-
guinte ilustra o caráter vetorial de uma força.
Direção
Sentido Intensidade
FF
2. Efeitos da força
Podemos reconhecer a existência de forças pe-
los efeitos que produzem quando aplicadas a 
um corpo.
A. Deformação
A deformação é um dos efeitos causados por 
uma força. Por exemplo, quando se chuta uma 
CAPÍTULO 01 INTRODUÇÃO À DINÂMICA
bola, no ponto de contato entre o pé e a bola 
ocorre uma deformação.
Deformação
Bola restituída
B. Alteração da velocidade
Outro efeito que a força pode produzir em um 
corpo é modificar sua velocidade. 
Esse é um ponto muito importante a ser com-
preendido, pois modificar a velocidade de um 
corpo refere-se a alterar qualquer um dos três 
atributos do vetor velocidade: a intensidade, 
a direção ou o sentido. No exemplo anterior, 
além de o pé do jogador deformar a bola, si-
multaneamente, o chute altera a velocidade 
da bola.
Observa-se que, mesmo que a intensidade da 
velocidade de um corpo permaneça inaltera-
da, o simples fato de a direção do movimento 
mudar implica a existência de uma resultante 
de forças não nula agindo sobre o corpo.
C. Equilíbrio
O equilíbrio é outro efeito que resulta da atu-
ação de forças. Por exemplo, ao se prender um 
corpo por meio de um fio em um suporte, a 
força que o fio aplica no corpo produz equilí-
brio, evitando que ele caia sob a ação da gravi-
dade terrestre, conforme ilustra a figura.
Terra
Fio Ação do fio
Equilíbrio
Ação da Terra
Dinâmica I
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8
Física
3. Tipos de forças 
Todas as transformações no universo derivam 
de quatro tipos de interações básicas: gravita-
cionais, eletromagnéticas, fracas e fortes. As 
duas últimas referem-se basicamente a intera-
ções que ocorrem no íntimo da matéria, en-
quanto que as duas primeiras podem explicar 
praticamente tudo o que ocorre no universo 
que enxergamos.
Essas interações de campo, a gravitacional 
e a eletromagnética, são conhecidas como 
de ação à distância, pois ocorrem inclusive 
quando não há contato entre os corpos que 
interagem. 
Na sequência, faz-se uma breve classificação 
das forças para que possamos, a partir dela, 
identificar e representar as forças envolvi-
das nos estados de repouso ou movimento 
dos corpos.
A. Força peso
Dentre as forças de ação a distância, o exem-
plo mais simples e comum de interação é a 
força gravitacional, denominada peso (P). Ela 
é a força que a Terra troca com qualquer mas-
sa que esteja em seu campo de atuação; tem 
direção perpendicular à superfície esférica do 
planeta e sentido, no corpo e no planeta, re-
presentados na figura:
Terra
P
 
P
Outras forças podem ser classificadas como 
forças de contato. Dentre as forças de contato, 
vamos destacar as forças de tração e elástica 
– contato em um ponto – e as forças normal e 
de atrito – contato entre superfícies, a seguir.
B. Força de tração 
Um exemplo de força de contato é a força de 
tração (T), que aparece num fio, cabo ou bar-
ra, usado para puxar ou segurar um corpo. A 
direção da força é a mesma do fio ou cabo, e o 
sentido está mostrado na figura.
T
C. Força	elástica
Outro exemplo de força de contato é a força 
que surge do contato entre uma mola defor-
mada e um corpo preso a ela. Essa não é uma 
força de contato entre superfícies, mas de 
contato pontual entre a mola e o corpo, assim 
como a força de tração, vista no item anterior. 
Considere, por exemplo, um bloco em equilí-
brio sobre uma superfície horizontal e encos-
tado em uma mola presa à parede, conforme 
mostra a figura.
m
F
À medida que o bloco é empurrado contra a 
parede por uma força externa ao sistema, a 
mola é comprimida e reage aplicando no bloco 
uma força conhecida como força elástica.
Fe
D. Força normal
A força normal (N) é outro exemplo de força 
de contato, que surge da interação entre su-
perfícies em contato, e têm direção perpendi-
cular às superfícies.
N
E. Força de atrito
A força de atrito (Fa) também é dita de conta-
to, mas a direção dela é paralela às superfícies 
que se tocam.
fa
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Dinâmica I
9
Física
4. Resultante das forças
Na maioria das situações práticas, os corpos 
em estudo ficam sujeitos a várias forças que 
agem simultaneamente.
No entanto, é conveniente substituir todas as 
forças aplicadas em um corpo por uma única, 
chamada de resultante das forças ou força re-
sultante (FR). Na realidade, não substituímos 
as forças que agem no corpo, mas representa-
mos todas elas, matematicamente, por meio 
de um vetor que representa a adição vetorial 
das forças individuais. 
No caso do exemplo a seguir, se n forças agem 
simultaneamente sobre um corpo, represen-
tamos a resultante das forças pelo vetor soma 
dessas forças, ou seja:
F1
F2
F3Fn
FR
 
F FR i
i
n
= ⇒
=
∑
1
 
   
F F F FR nF FR nF F F FR nF F= +F F= +F FF FR nF F= +F FR nF F F F+ +F FF FR nF F+ +F FR nF F1 2FF1 2F FR n1 2R nF FR nF F1 2F FR nF F F FR nF F1 2F FR nF F= +1 2= +F F= +F F1 2F F= +F FR n= +R n1 2R n= +R nF FR nF F= +F FR nF F1 2F FR nF F= +F FR nF FR n...R nF FR nF F...F FR nF FF FR nF F+ +F FR nF F...F FR nF F+ +F FR nF F
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Sobre um corpo de dimensões desprezíveis, 
atuam duas forças, cujas intensidades são 
F1 = 8,0 N e F2 = 6,0 N.
Entre quais valores se situa a intensidade da 
força resultante?
Resolução
A resultante terá intensidade máxima, quando 
as duas forças tiverem a mesma direção e o 
mesmo sentido.
F1
F2
F2F1
FR
 FR = F1 + F2
 FR = F1 + F2 = 8,0 + 6,0
 FR = 14 N
Ou intensidade mínima quando as duas forças 
tiverem sentidos opostos:
F1 F1F2
FR F2
 FR = F1 + F2
 FR = F1 – F2 = 8,0 – 6,0
 FR = 2,0 N
 2,0 N ≤ FR ≤ 14 N
02. 
Uma partícula encontra-se sob a ação exclusi-
va de três forças, como indica a figura em es-
cala. Qual a intensidade, a direção e o sentido 
da resultante dessas forças atuantes?
Escala:
1 N
1 N
F
1
F2
F3
Resolução 
Usando-se a regra da poligonal para adição ve-
torial das forças atuantes, temos:
FR = F1 + F2 + F3
F1
F2
F3
Pela figura acima, vem: 
FR = 6 N , horizontal e para a direita.
Dinâmica I
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10
Física
CAPÍTULO 02 LEIS DE NEWTON
1. Introdução
Durante séculos, o estudo do movimento e 
suas causas tornou-se o tema central da filo-
sofia natural. Entretanto, nas épocas de Gali-
leu e Newton foram realizados extraordinários 
progressos na solução dos movimentos.
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1 
Ge
or
gi
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 K
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 Galileu Galilei Isaac Newton
O inglês Isaac Newton (1642-1727), nascido no 
natal do ano da morte de Galileu, foi o princi-
pal arquiteto da mecânica clássica. Ele conse-
guiu sintetizar as ideias de Galileu e de outros 
que o precederam, reunindo-as em três leis, 
publicadas pela primeira vez em 1686, no livro 
Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.
Para que possamos entender a essência de 
tais leis, necessitamos antes conhecer algu-
mas ideias de Galileu sobre o movimento.
2. Conceito de inércia 
Antes de Galileu, a maioria dos pensadores 
acreditava que um corpo em movimento se 
encontraria num estado forçado, enquanto o 
repouso seria o seu estado natural.
A experiência diária parece confirmar essa 
afirmativa. Quando depositamos um livro so-
bre uma mesa, é fácil constatar seu estado 
natural de repouso. Se colocarmos o livro em 
movimento, dando-lhe apenas um rápido em-
purrão, notaremos que ele não se moverá in-
definidamente: o livro deslizará sobre a mesa 
até parar. Ou seja, é fácil observar que cessada 
a força de empurrão da mão, o livro retorna ao 
seu estado natural de repouso. Logo, para que 
o livro se mantenha em movimento retilíneo 
uniforme, pensava-se ser necessária a ação 
contínua de uma força.
Galileu, entretanto, foi contra essa ideia de o 
movimento ser um estado necessariamente for-
çado, argumentando que o livro só interrompeu 
seu deslizamento (vindo a parar) em razão da 
existência de atrito com a mesa. Isto é, se o livro 
fosse lançado sobre uma mesa menos áspera, 
haveria menos resistência ao seu deslizamento. 
Se o seu lançamento ocorresse sobre uma mesa 
perfeitamente polida, livre de atritos, o livro 
manter-se-ia em movimento retilíneo uniforme 
indefinidamente, sem a necessidade de estar 
sendo continuamente empurrado.
Em virtude disso, Galileu concluiu ser uma ten-
dência natural dos corpos a manutenção de 
seu estado de repouso ou de seu estado de 
movimento uniforme, promovendo aos corpos 
uma propriedade denominada inércia.
Inércia consiste na tendência natural que os cor-
pos	possuem de	manter	velocidade	constante.
Assim, todo corpo em repouso tende a per-
manecer em repouso, e todo corpo em mo-
vimento tende a permanecer em movimento 
retilíneo uniforme. 
No cotidiano, notamos essas tendências ao 
observar uma pessoa de pé no interior de um 
ônibus. Quando o ônibus arranca, o passagei-
ro, por inércia, tende a permanecer em repou-
so em relação ao solo terrestre. Como o ôni-
bus vai para a frente, a pessoa que não estava 
se segurando cai para trás no ônibus.
Agora, se o ônibus estivesse em movimento e 
de repente freasse, a pessoa cairia para a fren-
te. Graças à inércia, o passageiro exibe, nesse 
caso, sua tendência de continuar em movi-
mento em relação ao solo terrestre: o ônibus 
para, o passageiro não.
Por isso, o cinto de segurança nos automóveis 
tem a função de proteger o passageiro da inér-
cia de seu movimento, no caso de uma freada 
brusca ou colisão.
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Dinâmica I
11
Física
3. Princípio da inércia ou 
primeira lei de Newton 
Sintetizando a ideia de inércia de Galileu, Newton 
enunciou sua primeira lei nestas palavras:
Todo corpo continua no estado de repouso ou de 
movimento retilíneo uniforme, a menos que seja 
obrigado a mudá-lo por forças a ele aplicadas.
Tradução do Principia
Notamos, no enunciado acima, a clara intenção 
de se definir força como o agente que altera a 
velocidade vetorial do corpo, vencendo assim 
a inércia (tendência natural de manter veloci-
dade vetorial constante). Podemos concluir, en-
tão, que um corpo livre de ação de forças, ou 
com resultante de forças nula, conservará (por 
inércia) sua velocidade vetorial constante. 
Ou seja:
Todo corpo em equilíbrio mantém,
por inércia, sua velocidade vetorial constante.
Em resumo, podemos esquematizar o princí-
pio da inércia assim:



F v

F v

pouso
ou MRUR
F vRF v
equilíbri
= ⇔F v= ⇔F v =








0F v0F v= ⇔0= ⇔F v= ⇔F v0F v= ⇔F v
( )equilíbri( )equilíbrio( )o
constante
Re
Um corpo (ponto material) em equilíbrio apre-
senta variação de velocidade nula, ou seja, ele 
não possui aceleração. O equilíbrio pode ser 
estático ou dinâmico. 
O equilíbrio estático ocorre quando o corpo se 
encontra em repouso, e o equilíbrio dinâmico 
ocorre quando o corpo está em movimento 
sem aceleração. Isso só acontece no movi-
mento retilíneo uniforme (MRU). 
Um corpo em repouso tende a permanecer 
em repouso, e um corpo em movimento tende 
a permanecer em movimento. A tendência de 
um corpo de permanecer em equilíbrio (re-
pouso ou MRU) é denominada inércia. Con-
cluímos da primeira lei de Newton que:
Se a resultante das forças aplicadas em um 
corpo for nula, então ele estará em equilíbrio 
estático ou dinâmico.
 

F F equilíbrio
estático
ou
dinâmico
R∑ = = ⇒




0
4. Situações de equilíbrio 
para uma partí cula
A. Equilíbrio básico
Se apenas duas forças agem em um corpo, 
seu equilíbrio ocorre quando as forças pos-
suem mesma intensidade, mesma direção e 
sentidos opostos, isto é, quando essas forças 
são opostas.
FR = F1 + F2 = 0 ⇒ F1 = –F2
F2 F1
Sendo que, em módulo: F1 = F2
B. Equilíbrio	de	partí	cula	sob	a	
ação de três ou mais forças
Consideremos, por exemplo, uma partícula 
sob a ação de três forças coplanares e não co-
lineares, conforme mostra a figura.
F1
F2
F3
Podemos observar que qualquer uma das for-
ças é a equilibrante do sistema formado pelas 
outras duas forças.
R23
F2
F1
F3
F1 = –F23
De modo geral, a resultante das forças será nula 
quando a linha poligonal formada pelos vetores 
que representam as forças for fechada.
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12
Física
F1
F2
F3
F1
F2F3
Equilíbrio ⇒ FR = F1 + F2 + F3 = 0
Se escolhermos dois eixos (x;y) perpendiculares entre si e efetuarmos as projeções de todas as 
forças nos dois eixos, no plano, a condição de equilíbrio ocorrerá quando a resultante das forças, 
tanto em x quanto em y, forem nulas.
Veja um exemplo no quadro a seguir.
Situação de mais de três forças
β
α
F1
F2
F3
F4
Etapas de resolução de problemas com mais de 3 forças
1ª Nesse caso, iniciamos a resolução por meio da decomposição de todas as forças que se encontram inclinadas em relação aos eixos x e y.
2ª
 
y
xβ
α
F1y
F2y
F2x
F1
F1x
F4
F3
F2
Assim, temos:
F1x = F1 · cos a
F1y = F1 ·sen a
F2x = F2 · cos β
F2y = F2 · sen β
3ª
Em seguida, determinamos as expressões que nos dão o equilíbrio da partícula. Lembrando que 
o somatório das forças deve ser igual a zero, escrevemos:
F1x + F2x – F3 = 0 e F1y – F2y – F4 = 0
Ou seja: as resultantes, tanto no eixo x como no eixo y, devem ser iguais a zero.
Portanto, o equilíbrio de uma partícula sujeita a um número qualquer de forças pode ser 
expresso pelas relações: 
Σ Σ
   
F eΣ ΣF eΣ Σx yF ex yF eΣ ΣF eΣ Σx yΣ ΣF eΣ ΣΣ ΣF eΣ Σ= =Σ ΣF eΣ Σ0 0Σ Σ0 0Σ ΣΣ ΣF eΣ Σ0 0Σ ΣF eΣ ΣF0 0Fx y0 0x yΣ Σx yΣ Σ0 0Σ Σx yΣ ΣF ex yF e0 0F ex yF eΣ ΣF eΣ Σx yΣ ΣF eΣ Σ0 0Σ ΣF eΣ Σx yΣ ΣF eΣ ΣFx yF0 0Fx yF= =0 0= =Σ Σ= =Σ Σ0 0Σ Σ= =Σ ΣΣ ΣF eΣ Σ= =Σ ΣF eΣ Σ0 0Σ ΣF eΣ Σ= =Σ ΣF eΣ ΣF= =F0 0F= =F
Observe que forças nos sentidos contrários às orientações dos eixos são negativas.
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Dinâmica I
13
Física
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. ITA-SP
Um bloco de peso P é sustentado por fios, 
como indica a figura.
Calcular o módulo da força horizontal F .
FC
P
Resolução
O esquema de forças no ponto C é:
C F
T
θ
P
Para que o ponto C esteja em equilíbrio, a re-
sultante no ponto C deve ser nula.
FR = P + T + F = 0
Portanto, o polígono das forças P, T e F deve 
ser um triângulo retângulo.
F
T θ P
Da figura:
tg FP F P tgθ θ= ⇒ = ⋅
02. 
Um objeto de peso 50 N é equilibrado por duas 
cordas, que formam 30° com a horizontal.
30° 30°C
50 N
A tração em cada corda tem módulo, em 
newtons, de:
a. 25
b. 50
c. 70
d. 100
e. 200
Resolução
O esquema de forças no ponto C é:
C
T T
P
30° 30°
50 N
Projetando todas as forças na direção verti-
cal, vem:
P
T · sen 30° T · sen 30°
Para o equilíbrio na direção vertical, temos:
2 30 50
2 1
2
50
T sen
T
· ° =
⋅ =
T = 50 N
Resposta
B
Dinâmica I
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14
Física
03. UFS-SE
A figura abaixo representa um carro de massa 
igual a M, submetido à força de atrito fa , à for-
ça peso P e à força normal N, subindo uma la-
deira com velocidade constante, v, de módulo 
igual a 60 km/h.
fa
F
N
P
Desprezando a resistência do ar, é correto afir-
mar que:
a. a soma das forças que agem sobre o 
carro é igual à soma P + fa .
b. a soma das forças que agem sobre o 
carro é igual ao peso do carro, P.
c. a soma das forças que agem sobre o 
carro é igual à força normal ao plano.
d. a soma das forças que agem sobre o 
carro é igual à força de atrito, fa .
e. a soma das forças que agem sobre o 
carro é igual a zero.
Resolução
Força é grandeza vetorial, assim:
FR = P + fa + N
Como a velocidade é constante, tem-se:
FR = 0
Resposta
E
04. 
Um ponto material está em equilíbrio sob a 
ação de três forças, conforme mostra a figura.
Dados:
sen 37° = cos 53° = 0,60 e sen 53° = cos 37° = 0,80
F1
y
x
37o53o
F2
F3
a. Sendo F3 = 200 N, determine F1 e F2.
b. O ponto material está em repouso ou 
em movimento? Justifique.
Resolução
a. Se o corpo está em equilíbrio, temos: FR = 0
. Assim:
 FRX = 0 ⇒ F1 · cos 37° = F2 · cos 53° 
 0,80 · F1 = 0,60 · F2 (1)
 FRY = 0 ⇒ F1 · sen 37° + F2 · sen 53°= F3
 0,60 · F1 + 0,80 · F2 = 200 (2)
 Em (1): F2 = 
4
3 · F1
 Substituindo em (2), obtemos:
 0,60 · F1 + 0,80 · 
4
3 · F1 = 200 ⇒ F1 = 120 N
 Sendo F2 = 
4
3 · F1 ⇒ F2 = 
4
3 · 120 ⇒ F2 = 160 N
b. O equilíbrio pode ser estático ou dinâmi-
co. Assim, o corpo pode estar em repouso ou 
em movimento retilíneo uniforme.
05. 
O filósofo grego Aristóteles (384 a.C.- 322 a.C.) 
afirmava aos seus discípulos:
“Para manter um corpo em movimento, é neces-
sária a ação contínua de uma força sobre ele.”
Esta proposição é verdadeira ou falsa?
Resolução 
Falsa; se o corpo em movimento estiver livre 
da ação de forças (ou a resultante das forças 
atuantes for nula), ele se manterá em movi-
mento retilíneo uniforme indefinidamente, de 
acordo com o princípio da inércia.
06. 
Observe a figura a seguir.
I.
. .
.
Sobre uma mesa horizontal lisa, uma esfera 
deixa de executar seu movimento circular uni-
forme e sai tangente à curva, após o rompi-
mento do fio que garantia sua circulação.
Qual o tipo de movimento que a esfera realiza 
após o rompimento do fio? Justifique.
Resolução
Após estar livre da força de tração do fio, que 
a obrigava a alterar a direção de sua velocida-
de, a esfera segue, por inércia, em movimento 
retilíneo uniforme.
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Dinâmica I
15
Física
5. Referencial inercial
Os referenciais definidos com base na primeira 
lei de Newton (lei da inércia) são chamados de 
referenciais inerciais. Assim, qualquer referen-
cial que se move com velocidade vetorial cons-
tante, em relação a um referencial inercial, tam-
bém é classificado como um referencial inercial.
Sistema de referência inercial é aquele relativo 
a um corpo que permanece em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme, quando nenhu-
ma força (ou resultante) atua sobre ele. Isto é, 
um referencial inercial é aquele em que a pri-
meira lei de Newton descreve corretamente o 
movimento de um corpo em equilíbrio.
Normalmente, adota-se como sistema de 
referência inercial todo sistema de referên-
cia em repouso ou em translação retilínea 
e uniforme em relação às estrelas fixas, que 
são estrelas que aparentam manter fixas suas 
posições no céu após muitos séculos de ob-
servações astronômicas.
Referencial inercial é aquele que torna válida 
a lei da inércia, ou seja, sistema de referên-
cia que não possui aceleração em relação às 
estrelas fixas.
Para a grande parte dos problemas de dinâmi-
ca, envolvendo movimentos de curta duração 
na superfície terrestre, podemos considerar 
um sistema de referência fixo na superfície da 
Terra como inercial, apesar de a Terra não ser 
um perfeito referencial inercial por causa da 
sua rotação e translação curvilínea.
Quando um ônibus arranca, freia ou executa 
uma curva, ele possui aceleração em relação 
ao solo. Nessas situações, os passageiros 
não podem justificar seus comportamentos 
pela dinâmica newtoniana, quando tomam 
o ônibus como referencial. Em tais casos, 
cada passageiro deve ter seu movimento 
analisado em relação ao solo terrestre (refe-
rencial inercial).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. UEPG-PR
O movimento de um corpo visto por um observa-
dor depende do referencial no qual está situado. 
Sobre esse assunto, assinale o que for correto.
01. Um referencial é totalmente inercial 
quando está completamente imóvel 
em relação ao universo como um todo.
02. Um corpo que se desloca junto com o 
referencial está em repouso em relação 
ao mesmo.
04. De um referencial que se desloca com 
velocidade constante, a uma determi-
nada altura, é solto um corpo. A traje-
tória por ele descrita, vista desse refe-
rencial, é retilínea.
08. As leis de Newton são válidas para qual-
quer referencial, sejam eles inerciais ou 
não inerciais.
Resolução
01. Correta, ele pode estar em movimento 
junto com o universo, vrelativa = 0
02. Correta
04. Correta
08. Incorreta. As leis de Newton somente são 
válidas para os referenciais inerciais.
Resposta
07 (01 + 02 + 04)
6. Princípio fundamental ou segunda lei de Newton
Enquanto a primeira lei de Newton está relacionada ao equilíbrio de um corpo (força resultante 
nula), a segunda lei de Newton está relacionada aos corpos acelerados (força resultante não nula). 
Para a segunda lei de Newton, precisamos do conceito de massa de um corpo:
A massa de um corpo é uma medida quantitativa 
da inércia desse corpo.
Dinâmica I
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16
Física
A segunda lei de Newton estabelece que a razão 
entre a resultante das forças aplicadas em um 
corpo e a aceleração que o corpo adquire resul-
ta em uma constante que é a massa do corpo:






F
a
F
a
F
a
mR R R1 2
1 2
= = = =... constante
FR = m · a
Note que, como a massa é constante e sem-
pre positiva, a aceleração de um corpo está na 
mesma direção e sentido que a resultante das 
forças que agem sobre ele:
RF

a

Isso significa que, sendo a massa do corpo 
constante, a força resultante e a aceleração 
produzida possuem intensidades diretamente 
proporcionais. Ou seja, quantomais intensa 
for a força resultante, maior será a aceleração 
adquirida pelo corpo.
Daí, pode-se enunciar a segunda lei de 
Newton como:
A resultante das forças que agem num corpo é 
igual ao produto de sua massa pela aceleração 
adquirida.
FR = m · a
No caso da figura anterior, a resultante das 
forças está na direção horizontal e aponta 
para a direita. O vetor aceleração também 
tem a mesma direção e sentido da força: ho-
rizontal e para a direita. No caso da resultan-
te das forças estar numa direção qualquer, 
significa que a aceleração pode também ser 
obtida a partir de suas componentes que es-
tarão cada uma na mesma direção e sentido 
de cada componente da resultante. Vejamos 
um exemplo escrito de forma vetorial, nas 
componentes dos vetores força e aceleração 
no espaço tridimensional:
FR = Fx + Fy + Fz ou ainda, FR = Fx î + Fy 	ĵ	+	Fzĸ^
FR = m · ax î + m · ay ĵ	+	m	·	az ĸ^
FR = m · (ax î + ay ĵ	+	az ĸ^ )
aR = ax î + ay ĵ	+	az ĸ^
Voltando à forma de se expressar a resultan-
te como o produto da massa e da aceleração, 
tem-se que a relação entre intensidades de 
FR e a constitui uma relação linear, em que a 
massa é numericamente igual à declividade 
da semirreta do gráfico FR versus a, ou seja, 
tan θ =N m.
A. Massa: medida da inércia
Os gráficos a seguir representam a relação for-
ça resultante x aceleração adquirida para dois 
corpos A e B de massas diferentes (gráficos 
com declividades diferentes).
FR
F
0
a
aA aB
B
A
FR
Observe que, para um mesmo valor (F) de 
força resultante, a intensidade da aceleração 
adquirida pelo corpo A é menor que a adqui-
rida por B, ou seja, o corpo A tende a variar 
menos a sua velocidade que B. Isso evidencia 
que o corpo A oferece maior resistência à al-
teração de sua velocidade, isto é, o corpo A 
possui maior inércia. A partir do gráfico aci-
ma, temos:
m Fa
m Fa
a a
A
A
B
B
A B
=
=






< ⇒ mA > mB
Portanto, a massa de um corpo deve ser vista 
como uma propriedade da matéria que indica 
a resistência do corpo à alteração de sua ve-
locidade.
A unidade de medida de massa no SI é o quilo-
grama (kg) e a de força, o newton (N), como o 
produto de 1 kg por 1 m/s2.
Ou seja:
Um newton (1 N) é a intensidade de força que 
produziria, numa massa de um quilograma
(1 kg), uma aceleração de módulo um metro 
por segundo (1 m/s2).
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Dinâmica I
17
Física
7. Lei da ação e reação ou 
terceira lei de Newton
Como as forças representam a interação entre 
corpos, elas sempre serão representadas por 
pares, com características comuns, de forma 
que ambos os corpos ficam sujeitos a uma das 
forças do par, denominado ação e reação. 
O princípio da ação e reação constitui a tercei-
ra lei de Newton e pode ser enunciado assim:
Se um corpo A aplicar uma força sobre um 
corpo B, aquele receberá deste uma força de 
mesma intensidade, mesma direção e sentido 
oposto à força que aplicou em B.
Dois fatos importantes a serem observados:
01. Ambas as forças do par ação e reação 
têm sempre a mesma natureza, ou 
seja, se uma for de atração gravita-
cional, a outra também será; se uma 
for força de contato, perpendicular à 
superfície, N, a outra também será de 
contato e normal à superfície, e assim 
por diante, sempre com mesma inten-
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
sidade, mesma direção, mas sentidos 
contrários. 
02. As forças de ação e reação sempre es-
tão aplicadas em corpos distintos, ou 
seja, nunca a ação e a reação aparecem 
no mesmo corpo, de forma que jamais 
poderão se equilibrar. Além disso, em-
bora o nome do par possa sugerir que 
uma anteceda a outra, a interação é 
sempre simultânea. 
Podemos observar essa troca de forças entre 
dois corpos, por exemplo, na colisão abaixo.
A B
Par ação-reação
FABFBA
A força que o corpo A exerce em B (FAB) e a 
correspondente força que B exerce em A (FBA) 
constituem o par ação-reação dessa interação.
FABFABF = –FBA
01. 
Um caminhão trafega em uma avenida com ve-
locidade constante de 20 m/s e transporta, em 
sua carroceria, uma caixa de 30 kg. Ao avistar 
um sinal de "pare" a 100 m, o motorista aciona 
os freios uniformemente e para junto ao sinal. 
Sabendo-se que a caixa não se desloca sobre a 
carroceria, o módulo da força resultante sobre 
ela é, em newton:
02. 
Um corpo de massa 5,0 kg, inicialmente em re-
pouso, sofre a ação de uma força resultante du-
rante 20 s e adquire uma velocidade de 30 m/s. 
O módulo da força resultante é:
a. 5,0 N
b. 7,5 N
c. 10 N
d. 12 N
e. 15 N
Resolução
A aceleração do corpo é dada por:
a v
t
a a m s= ⇒ = − ⇒ =∆∆
30 0
20
1 5,
E, de acordo com a 2ª lei de Newton, o módulo 
da força resultante é:
FR = m · a ⇒ FR = 5,0 · 1,5 ⇒ FR = 7,5 N
Resposta
B
a. 30 b. 50 c. 60 d. 80 e. 100
Resolução
Durante o período de frenagem, a aceleração 
do caminhão é dada por:
v2 = v02 + 2 · a · ∆s ⇒ 0 = 202 + 2 · a · 100 
a = –20 m/s2
Como a caixa não se movimenta sobre a carro-
ceria, ela possui a mesma aceleração do cami-
nhão. Portanto, o módulo da força resultante 
sobre a caixa é:
FR = m · a ⇒ FR = 30 · |–2,0| ⇒ FR = 60 N
Resposta
C
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18
Física
03. 
Três forças, de módulos iguais a 50 N, agem 
em um ponto material de massa 2,0 kg, con-
forme mostra a figura.
Determine:
a. o módulo da força resultante das três 
forças dadas;
b. o módulo da aceleração do ponto ma-
terial.
Resolução
a. Na horizontal (eixo x), temos: FRX = 50 – 30 
 FRX = 20 N (da esquerda para a direita).
 E na vertical (eixo y), temos: FRY = 50 – 40 
 FRY = 10 N (para cima).
 Portanto, o módulo da força resultante é 
dado por:
 
F F F F
F N
R RX RY R
R
= + ⇒ = +
=
2 2 2 220 10
10 5
( ) ( )
b. De acordo com a 2ª lei de Newton, o mó-
dulo da aceleração do ponto material é:
 FR = m · a ⇒ 10 5 = 2,0 · a ⇒ a = 5 5 m/s²
04. 
O cinto de segurança é um equipamento de 
uso obrigatório para todos os ocupantes de 
um veículo, pois ele tem contribuído para 
evitar tanto acidentes graves quanto mortes. 
Com base nas três leis de Newton, julgue as 
afirmativas seguintes relacionadas ao uso do 
cinto de segurança.
I. De acordo com a 2ª lei de Newton, o cin-
to de segurança, de massa m, exerce so-
bre o corpo de um ocupante do veículo 
uma força dada por F = m · a, no sentido 
contrário ao movimento do veículo.
II. O cinto de segurança é um dispositivo 
usado para neutralizar a lei da inércia, 
evitando que os ocupantes do veículo 
continuem deslocando-se para frente, 
quando o carro diminui sua velocidade 
bruscamente.
III. O cinto de segurança funciona com 
base na 3ª lei de Newton, pois o veículo 
exerce uma força no cinto e ele reage, 
aplicando na pessoa uma força igual e 
de sentido contrário.
Assim:
a. somente a afirmativa I é correta.
b. somente a afirmativa II é correta.
c. somente a afirmativa III é correta.
d. somente as afirmativas I e II são corretas.
e. somente as afirmativas II e III são corretas.
Resolução
I. Incorreta. Não é a massa do cinto de segu-
rança.
II. Correta
III. Incorreta. As forças citadas não formam um 
par ação-reação.
Resposta
B
05. 
Em uma avenida, ocorre um choque frontal 
entre um caminhão de 5,0 toneladas e um car-
ro de 1,0 tonelada.
a. Em qual deles atua uma força mais in-
tensa?
b. Para um mesmo intervalo de tempo, 
qual deles sofre a maior variação de 
velocidade?
Resolução
a. De acordo com a 3ª lei de Newton (ação 
e reação), a intensidade da força é a mesma 
tanto no caminhão quanto no carro.
b. De acordo com a 2ª lei de Newton: 
 F m a m v
t
= ⋅ = ⋅ ∆∆
. Portanto: ∆ ∆v F tm=
⋅
 Sendo F e ∆t iguais para os dois móveis, 
temos que a variação de velocidade é inversa-
mente proporcional à massa do veículo. Como 
o carro possui massa menor que a do cami-
nhão, ele sofrerá maior variação de velocidade.
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Dinâmica I
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Física
8. Componentes da força resultante
Sabemos que a aceleração (a) de um móvel 
pode ser definida pela composição vetorial da 
aceleração tangencial (at) com a aceleração 
centrípeta (ac), isto é: a = at + ac.
Substituindo-se essa relaçãona expressão da 
segunda lei de Newton, temos:
FR = m · a
FR = m · (at + ac) ⇒ FR = m · at + m · ac
Ao produto m · at denominamos componente 
tangencial (Ft) da força resultante, e ao produto 
m · ac, componente centrípeta (Fc) dessa força.
Isso significa que podemos aplicar o princípio 
fundamental em duas direções, separada-
mente: na direção tangente à trajetória (Ft 
produz at) e na direção normal à trajetória (Fc 
produz ac). Ou seja:
Quando o movimento é acelerado, a acelera-
ção e a resultante tangencial se orientam no 
mesmo sentido da velocidade do móvel; quan-
do retardado, orientam-se em sentido oposto 
ao da velocidade do móvel. 
Retardado
Acelerado
v
FR ar
vFR ar
B. Resultante centrípeta
Nos movimentos curvilíneos uniformes, a for-
ça resultante é centrípeta (perpendicular à ve-
locidade), pois nesses movimentos há apenas 
aceleração centrípeta (a = ac). Ou seja: 
FR = Fc ⇒ FR = m · ac
em que ac = v2/R (R: raio instantâneo da curva).
No MCU, os vetores força resultante e acele-
ração centrípeta mantêm-se perpendiculares 
à velocidade do móvel, ambos com sentido 
voltado para o centro da curva.
MCU
R
v
FR
FR
v ac
ac
FR = Ft + Fc
Ft = m · at
FC = m · ac
Ft
FR
at
ac
Fc
A. Resultante tangencial
Nos movimentos retilíneos acelerados ou 
retardados, a força resultante é tangencial 
(mesma direção da velocidade), já que esses 
movimentos possuem apenas aceleração tan-
gencial (a = at). Ou seja:
FR = Ft ⇒ FR = m · at
em que at = |a|(módulo da aceleração escalar).
No MRUV: at = |a|=|∆v/∆t|
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Um veículo de massa 1.200 kg freia brusca-
mente quando se movia a 90 km/h (ou seja, 
25 m/s) numa pista horizontal. Devido ao tra-
vamento de suas rodas, nota-se que o carro 
deslizou retilineamente por 62,5 m até pa-
rar. Admitindo-se que sua desaceleração seja 
constante, calcule a intensidade da força de 
atrito responsável pela sua frenagem.
Resolução 
Usando-se a equação de Torricelli, vem:
v2 = v02 + 2 · a · ∆s
02 = 252 + 2 · a · (62,5) ⇒ a = –5,0 m/s2
Como o movimento é retilíneo retardado, a re-
sultante das forças (atrito) é tangencial. Logo, 
pela segunda lei de Newton, temos:
FR = m · at (onde at = |a|)
Fa = 1.200 · 5 = 6.000 N ⇒ Fa = 60 kN
Dinâmica I
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Física
02. 
A figura a seguir mostra uma mesa horizontal 
lisa (vista de cima) sobre a qual uma pequena 
esfera de massa 0,50 kg, presa a um barban-
te horizontal, executa movimento uniforme 
numa trajetória circular de raio igual a 1,0 m.
Barbante1,0
 m
a. Faça um esquema, desenhando numa 
posição qualquer da trajetória circular os 
vetores velocidade (v), aceleração (a) e 
força resultante (FR) pertinentes à esfera.
b. Determine a intensidade da força de 
tração que o barbante exerce na esfera, 
considerando que ela se mova a 2,0 m/s.
Resolução 
a. v: tangente à trajetória
 a = ac: aceleração centrípeta
 FR: resultante centrípeta
v
FRac
b. A força resultante centrípeta desse MCU é 
a força de tração do barbante. Logo, por meio 
da segunda lei de Newton, temos:
 
F m a em que a vR
T m vR T N
R c c= ⋅ =




= ⋅ = ⋅ ⇒ =
2
2 2
0 50 2 01 0 2 0,
,
, ,
C. Resumo das interações
Vimos que as forças trocadas entre os corpos podem ser de contato ou de campo. Nos dois casos, 
elas sempre ocorrem aos pares como enunciado pela terceira lei. Os exemplos a seguir mostram, 
para algumas interações básicas, a representação das duas forças de cada par. 
Interações de campo Interações de contato
++
Par de forças
gravitacionais
Par de forças
elétricas
Par de forças
magnéticas
P
–P
–Fe
Fm
–Fm
Fe
m
S
S
N
N
Par de forças
de tração
Par de forças
normais
Par de forças
de atrito
–T
–N
–fa
T
N
fa
Note que elas sempre estão aplicadas a corpos distintos.
Vamos agora entender um pouco mais sobre cada uma das forças tratadas anteriormente, em 
contextos nos quais a identificação de cada uma delas assim como as implicações das leis de 
Newton são imprescindíveis na resolução de problemas.
D. Força peso
Denomina-se força peso (P) a força de campo gravitacional que a Terra exerce sobre qualquer 
objeto colocado próximo à sua superfície. Ela tem direção vertical e sentido para baixo. 
Quando a força peso é a única força presente em um corpo (numa queda livre, por exemplo), este 
adquire uma aceleração vertical (para baixo) denominada aceleração da gravidade (g). Logo, pela 
relação causa-efeito contida na segunda lei de Newton, podemos obter a intensidade P da força 
peso sobre um corpo de massa m , assim:
PV
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Dinâmica I
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Física
P
Terra
g
(m)
P = m · g
Para facilidade de cálculo, é usual adotarmos o 
valor 10 m/s2 para a intensidade da aceleração 
gravitacional (g) próximo da superfície da Ter-
ra. Assim, um corpo de massa m kg teria peso 
P = m · 10 N. Por exemplo, um corpo de massa 
2,0 kg pesa 20 N.
D.1. Diferença entre massa e peso
No cotidiano, é comum observarmos uma pes-
soa utilizar o verbo “pesar” quando se refere 
ao ato de medir a massa (em kg) por meio de 
uma balança. Esse erro conceitual, difundido 
há muito tempo, pode ser explicado por dois 
motivos:
01. as balanças comuns avaliam a massa de 
uma pessoa por meio de seu peso apa-
rente (m = P/g), ou seja, normalmente 
são dinamômetros (medidores de for-
ça) adaptados como balança;
02. uma antiga unidade de força denomi-
nada quilograma-força (kgf) associava 
o valor numérico do peso de um corpo 
na Terra ao valor numérico de sua mas-
sa, ou seja, um corpo de massa 1 kg pe-
sava, na Terra, 1 kgf. Dessa forma, uma 
pessoa de massa 60 kg teria peso de 
60 kgf, fato que permitia, facilmente, 
a confusão verbal entre massa e peso.
No entanto, é importante lembrar que essas 
duas grandezas físicas, massa e peso, se rela-
cionam por meio da aceleração da gravidade 
do local onde um corpo está, P = m · g, e g, por 
sua vez, é uma característica do astro, enquan-
to a massa é característica do corpo. 
Assim, um corpo de massa m terá um peso 
P se estiver próximo da superfície da Terra, e 
um peso P’ = P/6 se for levado para a Lua, por 
exemplo, que tem cerca de 1/6 da aceleração 
da gravidade do nosso planeta.
E. Força normal
Partindo de uma situação de equilíbrio, vamos 
estudar um pouco mais um tipo de interação 
que aparece entre corpos apoiados uns sobre 
os outros: a força normal.
A figura a seguir mostra um bloco de massa m 
em repouso sobre uma rampa com inclinação 
θ, em relação à horizontal. No bloco agem duas 
forças: a força peso (P), pelo fato de o bloco ser 
atraído pela Terra, e a força de contato (C), que 
impede que o bloco penetre na rampa.
C
P
θ
Como o bloco encontra-se em uma rampa, a 
força peso, além de pressionar a rampa, age 
no sentido de fazer o bloco deslizar rampa 
abaixo. Mas o bloco está em repouso e diz-se, 
nesse caso, que a força peso é equilibrada pela 
força de contato, ou seja: C = P. 
Essa é uma forma de escrever o equilíbrio de 
forças no bloco e envolve somente a intensi-
dade de cada uma das forças que atuam nele. 
No entanto, veja que foram omitidas as forças 
“de reação” de ambas: peso e contato. Veja a 
figura a seguir que mostra também as forças 
que foram omitidas na primeira figura: 
C
P
θ
– C
– P
θ
Terra
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22
Física
Recordando o que foi estudado anteriormen-
te: forças de ação e reação nunca se equili-
bram, pois embora sejam de mesma natureza, 
intensidade e direção, e com sentidos contrá-
rios, sempre estão aplicadas a corpos distintos. 
É importante compreender que, para facilitar 
a nossa visualização das forças aplicadas no 
corpo que se deseja estudar e poder “ope-
rar” matematicamente com os vetores que 
as representam, muitas vezes omitem-se nas 
figuras as reações delas. Isso, no entanto, não 
pode absolutamente implicar no erro de se 
considerar que duas forças de naturezas dis-
tintas, como peso e contato, formariam um 
par ação e reação.
Embora, nas situações de equilíbrio, essas for-
ças tenham a mesma intensidade, mesma di-
reção e sentidos contrários,como no exemplo 
dado, uma das forças é de campo – ou seja, de 
ação à distância já que o bloco nem está em 
contato com a superfície do planeta, onde se 
representaria a reação desta força –, e outra 
surge da interação de contato entre o bloco e 
o plano inclinado, onde se representa a reação 
dela, vista na segunda figura.
Agora, para entender como o bloco permane-
ce em repouso e não escorrega rampa abaixo, 
vamos decompor a força de contato em duas: 
01. uma, (Cy), perpendicular à superfície de 
contato (rampa), impede a penetração 
do bloco na rampa;
02. outra, (Cx), paralela à superfície de con-
tato, impede o bloco de deslizar rampa 
abaixo.
C
Cx
Cy
P
x
θ
θ
A componente Cy recebe o nome de força nor-
mal (N) e é sempre perpendicular à superfície 
de contato; a componente Cx recebe o nome 
de força de atrito e será estudada num tópico 
que trata exclusivamente das componentes pa-
ralelas às superfícies de contato, mais adiante.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Uma pedra lunar de massa 2,0 kg, encontrada 
por astronautas americanos do projeto Apollo, 
foi transportada para a Terra. Admitindo-se a 
aceleração da gravidade terrestre com intensi-
dade gT = 10 m/s2, e a lunar, com intensidade 
gL = 1,6 m/s2, explique o que ocorreu com a 
massa e o peso da pedra, devido a essa mu-
dança de lugar.
Resolução 
A massa da pedra não depende do local. As-
sim, ao chegar à Terra, a sua massa continua a 
mesma (2,0 kg).
O peso da pedra, aqui na Terra, é maior (a acelera-
ção da gravidade terrestre é mais intensa). Isto é:
 PL = m · gL = 2,0 · 1,6 ⇒ PL = 3,2 N
 PT = m · gT = 2,0 · 10 ⇒ PT = 20 N
 Nota-se que o peso da pedra aqui na Ter-
ra é mais de seis vezes o valor de seu peso na 
Lua. Ou seja, o peso da pedra aumentou.
02. UFTM-MG
Em 1971, no final da última caminhada na su-
perfície da Lua, o comandante da Apollo 15, 
astronauta David Scott, realizou uma demons-
tração ao vivo para as câmeras de televisão, 
deixando cair uma pena de falcão de 0,03 kg e 
um martelo de alumínio de 1,32 kg. Assim ele 
descreveu o experimento:
Bem, na minha mão esquerda eu tenho 
uma pena, na minha mão direita, um mar-
telo. Há muito tempo atrás Galileu fez uma 
descoberta muito significativa sobre obje-
tos em queda em campos gravitacionais, e 
nós pensamos: que lugar seria melhor para 
confirmar suas descobertas do que na Lua? 
Eu deixarei cair a pena e o martelo (...)
Depois de abandonados simultaneamente e 
da mesma altura a pena e o martelo, Scott co-
mentou: 
O que acham disso? Isso mostra que 
o Sr. Galileu estava correto em sua des-
coberta.
PV
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Dinâmica I
23
Física
A descoberta de Galileu, comprovada pelo as-
tronauta David Scott na superfície da Lua, foi 
de que:
a. na Lua não há gravidade e, portanto, a 
pena e o martelo flutuaram.
b. em queda livre, um corpo mais pesado, 
como o martelo, chega ao solo em me-
nos tempo do que um mais leve, como 
a pena.
c. ambos os objetos chegam juntos ao 
solo, pois como a gravidade lunar é 
desprezível, não importa qual objeto 
tem maior massa.
d. na ausência de resistência do ar, o cor-
po mais pesado (martelo) chega pri-
meiro ao solo, pois a gravidade de um 
planeta é diretamente proporcional à 
massa do corpo que cai.
e. na ausência de resistência do ar, mes-
mo com massas diferentes, eles levam 
o mesmo intervalo de tempo para che-
gar ao solo, pois caem com a mesma 
aceleração.
Resolução
Livres da resistência do ar, a força que acelera 
os objetos é a força peso, P = m · g, de modo 
que Pmartelo ≠ Ppena ,mas a aceleração de ambos 
é a mesma.
Resposta
E
03. 
Uma caixa de 10 kg encontra-se em repouso so-
bre uma mesa horizontal. Considere g = 10 m/s2.
a. Quais forças agem na caixa? Quais os 
seus módulos?
b. Explique a interação que dá origem a 
cada uma delas.
Resolução
a. Na caixa agem duas forças: peso e normal, 
conforme mostra a figura.
P
N
 
 Em módulos, temos:
 P = m · g = 10 · 10 ⇒ P = 100 N
 Como a caixa está em repouso:
 FR = 0 ⇒ N = P = 100 N
b. A força peso é uma força de ação à distân-
cia, fruto da interação entre a caixa e a Terra.
 A força normal é uma força de contato, 
fruto da interação da caixa com a mesa.
04. PUC-RJ
Três objetos são acelerados de modo que o pri-
meiro (a1) faz um movimento circular uniforme 
de raio R = 2,0 m e velocidade v = 4,0 m/s. O 
segundo objeto (a2) desce um plano inclinado 
sem atrito de inclinação a = 30°. O terceiro ob-
jeto (a3) cai em queda livre.
Considerando g = 10 m/s2, encontre a com-
paração correta para os módulos das acele-
rações acima.
a. a3 > a2 = a1
b. a3 > a2 > a1
c. a3 > a1 > a2
d. a1 > a2 = a1
e. a2 > a3 = a1
Resolução
1. MCU a v
R
a
⇒ = =
=
1
2 2
1
4
2
8 0, m/s2
2. Plano inclinado sem atrito:
 a2 = g · sen 30° = 10 · 0,50 
 a2 = 5,0 m/s2
3. Queda livre: a3 = g = 10 m/s2
 Portanto: a3 > a1 > a2
Resposta
C
05. 
Um bloco de 10 kg desloca-se em movimento 
retilíneo uniformemente acelerado, apoiado 
em uma superfície horizontal totalmente lisa, 
devido à ação de uma força F, conforme figura.
F
α
Sabe-se que a intensidade da reação normal 
da superfície de apoio sobre o bloco é 40 N. 
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
24
Física
Sendo g = 10 m/s², sen a = 0,60 e cos a = 0,80, 
a aceleração escalar do bloco é:
Sendo P = m · g = 10 · 10 = 100 N e N = 40 N, 
temos:
Na vertical: N + F · sen a = P
40 + F · 0,60 = 100
F = 100 N
Na horizontal: FR = F · cos a 
m · a = F · cos a 
10 · a = 100 · 0,80 ⇒ a = 8,0 m/s²
Resposta
C
F. Força de tração
Como vimos, uma das forças que surge da interação entre corpos recebe o nome de tração. Assim 
como a força elástica, a seguir, ela pode ser vista como uma força de contato entre partes pon-
tuais de cabos e corpos suspensos por eles ou que estão sendo puxados por uma corda ou fio, 
geralmente considerados ideais (com massas desprezíveis e inextensíveis). 
É comum, também, que esses cabos passem por polias, consideradas ideais, de modo que o tra-
tamento de sistemas de várias forças possa ser resolvido de forma simplificada. Isso nos dá uma 
ideia bastante boa de como polias e cabos podem ser utilizados para reduzir a força necessária a 
ser aplicada a um sistema, como veremos nos próximos exemplos.
G. Força	elásti	ca	
Outra força de contato, considerada pontual, é a força de mola, ou elástica. 
O cientista inglês Robert Hooke (1635-1703) empresta seu nome à relação entre a força e o deslo-
camento sofrido pela massa, F = – k · x, em que k é a constante de proporcionalidade que depen-
de basicamente das características da mola e x é a variação do comprimento da mola. 
O sinal negativo significa que as grandezas força e deslocamento possuem sempre sentidos opos-
tos. Se a força externa forçar a compressão da mola, a força elástica aparecerá no sentido contrá-
rio a essa compressão e, se a força externa tentar distender a mola, a força elástica será, também 
neste caso, contrária a essa ação.
No sistema internacional (SI), a deformação da mola é medida em metros e a constante elástica 
em newton por metro.
H. Medidores de força
Os dinamômetros são aparelhos constituídos por uma mola que, no intervalo em que atuam, 
obedecem à lei de Hooke e servem para medir a intensidade de uma força. 
A mola do dinamômetro, ao receber a ação de uma força, é deformada, possibilitando que a 
intensidade da força aplicada seja associada à essa deformação. 
newton (N)
F = 1 N
10 2 3 4
newton (N)
10 2 3 4
a. 4,0 m/s²
b. 6,0 m/s²
c. 8,0 m/s²
d. 10 m/s²
e. 12 m/s²
Resolução
A figura mostra o diagrama de forças no bloco. 
P
FN
α
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
25
Física
H.1. Dinamômetro de tração
Denomina-se dinamômetro de tração o apa-
relho utilizado para medir a intensidade de 
forças de tração. Em situações de equilíbrio, o 
peso do corpo é equilibrado pela força de tra-
ção do cabo que o sustenta e a mola interna ao 
dinamômetro permite a medida dessa força, 
de acordo com a lei da ação e reação.
Intensidade
da tração
–T
P
P
T
H.2. Dinamômetro de compressão 
Denomina-se dinamômetro de compressão o 
instrumentoutilizado para medir a intensida-
de da força normal (compressão). Nesse caso, 
o elemento elástico (mola) do aparelho será 
comprimido pela força que se pretende medir. 
Quando um corpo é apoiado sobre tal tipo de 
instrumento, este indica a intensidade da força 
normal trocada entre ele e o corpo apoiado, 
segundo o mesmo princípio da ação e reação.
Intensidade
da normal
P
–N
N
P

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Uma mola apresenta um comprimento de 20 cm quando tracionada por uma força de 20 N e um 
comprimento de 25 cm quando tracionada por uma força de 40 N. A constante elástica da mola, 
em N/m, é:
a. 100
b. 160
c. 200
d. 400
e. 500
Resolução
Sendo L0 o comprimento inicial da mola (sem deformação) e F = k · x, escrevemos:
20 = k · x1 ⇒ 20 = k · (0,20 – L0) (1)
40 = k · x2 ⇒ 40 = k · (0,25 – L0) (2)
Efetuando (2) – (1), obtemos:
40 – 20 = k · (0,25 – 0,20) ⇒ k = 20
0 05,
k = 400 N/m 
Resposta
D
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
26
Física
02. 
Para levantar uma caixa de 20 kg que se en-
contra no solo, uma pessoa utiliza uma rolda-
na e um cabo, conforme figura.
Considere g = 10 m/s² e despreze a massa do 
cabo. Se a pessoa puxar o cabo verticalmente 
para baixo, com uma força de 120 N, o valor da 
força que o solo aplicará na caixa será:
a. 320 N
b. 200 N
c. 160 N
d. 120 N
e. 80 N
Resolução
Como a força de tração que o cabo transmite 
do homem para a caixa é menor que o peso 
da caixa, o homem não consegue levantá-la. 
Nessas condições, de acordo com o diagra-
ma de forças da caixa mostrado na figura se-
guinte, temos:
P
N
T
N + T = P ⇒ N = m · g – T 
N = 20 · 10 – 120 ⇒ N = 80 N
A força de contato entre o solo e a caixa possui 
módulo de 80 N.
Resposta
E
03. EEAR-SP
A figura representa uma placa de propagan-
da, homogênea e uniforme, pesando 108 kgf, 
suspensa por dois fios idênticos, inextensíveis 
e de massas desprezíveis, presos ao teto ho-
rizontal de um supermercado. Cada fio tem 2 
metros de comprimento, e a vertical (h), entre 
os extremos dos fios presos na placa e o teto, 
mede 1,8 metros.
A tração (T), em kgf, que cada fio suporta para 
o equilíbrio do sistema, vale:
a. 48,6
b. 54,0
c. 60,0
d. 80,0
h h
θ θ
T

T

Resolução
Do equilíbrio, tem-se que:
2
2 2
108
2 1 82
60
·
,
,
T cos P
T P
cos
com cos h
T
T kgf
⋅ =
= ⋅ =
=
⋅
=
θ
θ θ
Resposta
C
04. PUC-RJ
Alberto (A) desafiou seu colega Cabral (C) para 
uma competição de cabo de guerra, de uma 
maneira especial, conforme mostrada na figu-
ra. Alberto segurou no pedaço de corda que 
passava ao redor da polia enquanto Cabral 
segurou no pedaço atado ao centro da polia. 
Apesar de mais forte, Cabral não conseguiu 
puxar Alberto, que lentamente foi arrastando 
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
27
Física
o seu adversário até ganhar o jogo. Sabendo 
que a força com que Alberto puxa a corda é de 
200 N e que a polia não tem massa nem atritos:
A
C
a. especifique a tensão na corda que Al-
berto está segurando;
b. desenhe as forças que agem sobre a po-
lia, fazendo um diagrama de corpo livre;
c. calcule a força exercida por Cabral so-
bre a corda que ele puxava;
d. considerando que Cabral foi puxado 
2,0 m para a frente, indique quanto 
Alberto andou para trás.
Resolução
a. A tensão na corda corresponde à força 
que Alberto fez, T = 200 N.
b. T
T
Fc
c. A polia está sendo arrastada quase esta-
ticamente, ou seja, em equilíbrio, portanto: 
FC = 2 · FA ⇒ FC = 400 N
 Isto pode ser visto de outro modo, dado 
que a massa da polia é:
 mp = 0: FC – 2 · T = FC – 2 · FA = mp · ap = 0
 FC = 2 · FA = 400 N. Na prática, o valor da 
força exercida por Cabral é ligeiramente me-
nor que 400 N, devido às massas finitas de po-
lias e cordas reais.
d. A polia se move de uma distância d = 2,0 m, 
a mesma percorrida por Cabral, corresponden-
te à metade da corda desenrolada por Alberto. 
Assim, a distância que Alberto percorre é o do-
bro daquela percorrida por Cabral: 4,0 m.
05. FEI-SP
Nos portos, para carregar navios, os guindas-
tes possuem um sistema de polias móveis para 
multiplicar a força, visto que as cargas a serem 
elevadas são muito pesadas. Um guindaste 
simples possui o esquema abaixo. Qual é a for-
ça que o motor deverá fazer para elevar uma 
carga de 1 tonelada?
Carga
F
a. 200 kgf
b. 100 kgf
c. 500 kgf
d. 750 kgf
e. 250 kgf
Resolução
Do equilíbrio das forças em cada fio, temos:
P
4
P
4
P
4
P
4
P
2
P
2
P
P
2
Assim, com F P
F kgf
F kgf
=
=
=
4
1000
4
250
Resposta
E
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
28
Física
06. 
A mola ideal da figura varia seu comprimento 
de 12 cm para 17 cm quando penduramos em 
sua extremidade um corpo A (em repouso) de 
peso 10 N. 
10 N
12 cm
17 cm
a. Qual a constante elástica da mola, em 
N/m?
b. Qual o comprimento dessa mola, quan-
do ela sustentar em equilíbrio um cor-
po B de peso 20 N?
Resolução 
a. A deformação ocorrida na mola vale:
 	x	=	L	− L0	=	17	−	12	=	5	cm	=	0,05	m
 Pelo fato de o bloco A estar em equilíbrio, 
vem:
 
F P
k x P
k Px
N
m k N m
=
⋅ =
= = ⇒ =
10
0 05 200, /
b. Como o peso do corpo B é o dobro do 
peso de A, a mola terá sua deformação du-
plicada (de 5 cm para 10 cm). Logo, o compri-
mento da mola, quando ela sustenta o corpo 
B, será:
 L = L0 + x = 12 + 10 ⇒ L = 22 cm
07. 
A figura mostra um dinamômetro sendo usado 
para medir o peso de um bloco.
a. Faça o diagrama de forças que agem no 
bloco.
b. Quais as forças que agem no dinamô-
metro?
Resolução
a. No bloco agem duas forças: tração do fio 
e peso. A tração do fio é igual, em módulo, à 
força elástica do dinamômetro.
P
T
b. No dinamômetro agem três forças: peso 
(vertical para baixo), tração do fio superior de-
vido ao teto (vertical para cima) e tração do fio 
inferior devido ao bloco (vertical para baixo).
08. 
Um automóvel é rebocado por um caminhão 
numa pista horizontal, com aceleração de
1,0 m/s², por meio de um cabo de aço que 
contém um dinamômetro, conforme figura.
Considere a massa do automóvel igual a
1.000 kg e as massas do cabo de aço e do dina-
mômetro desprezíveis. Sabendo que no auto-
móvel age uma força F, contrária ao movimen-
to, de 2.000 N:
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
29
Física
a. faça os diagramas de forças no automó-
vel e no dinamômetro;
b. determine a indicação do dinamômetro.
Resolução
a. As figuras a seguir mostram os diagramas 
de forças no automóvel e no dinamômetro.
T
P
F
N
T1 T2
b. O automóvel está acelerado. Assim, te-
mos:
 FR = T – F ⇒ T = m · a + F
 T = 1.000 · 1,0 + 2.000 ⇒ T = 3.000 N
 T = T1 (ação e reação). Portanto: T1 = 3.000 N
 Como a massa do dinamômetro é despre-
zível, temos:
 T1 = T2 = 3.000 N
 Portanto, o dinamômetro está tracionado 
por uma força de 3.000 N.
I. Força de atrito
Como visto anteriormente, uma das formas de interação de contato é denominada força de atri-
to. Essas forças aparecem quando existe contato entre superfícies e são sempre paralelas a elas. 
Às vezes, essas forças impedem um corpo de se movimentar sobre o outro, e, neste caso, as 
forças são chamadas de forças de atrito estático. Do contrário, mesmo na presença da força de 
atrito o movimento entre as superfícies acontece, ela é denominada força de atrito dinâmico. 
Na realidade sempre existe esse tipo de interação entre duas superfícies em contato, mas quando 
ela representa uma fração muito pequena das forças envolvidas, pode-se desprezá-la. 
I.1. Força	de	atrito	estáti	co
A força de atrito estático é devida às interações do corpo e da superfície de apoio, que impedem 
o deslizamento do bloco. De modo geral, a força de atrito estático ocorre quando o corpo é soli-
citado por uma força que não consegue colocá-lo em movimento.
No caso de um bloco em equilíbrio em um plano horizontal, sendo puxado por uma força 
Fhorizontal, a força de atrito estático Fae é horizontal e se opõe à tendência de movimento do bloco, 
conforme figura.
F
Fae
v = 0
Como o bloco está em equilíbrio, a intensidade da força de atrito estático é igual à intensidade da 
força aplicada no corpo.
Fae = F
A intensidade da força de atrito estáticovaria de zero até um valor máximo, que é proporcional 
ao módulo da força normal (N) de contato. Assim, temos:
Fae	≤	μe · N
Nessa expressão, μe é o coeficiente de atrito estático, um número sem unidades, associado a 
interações das superfícies atritadas.
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
30
Física
Se a intensidade da força aplicada for igual à 
do atrito estático máximo, o corpo está na imi-
nência de movimento. Se a intensidade da for-
ça aplicada for maior do que a intensidade da 
força de atrito estático máximo, o corpo entra 
em movimento. Nesse caso, a força de atrito 
deixa de ser estática e passa a ser cinética ou 
dinâmica.
I.2. Força	de	atrito	cinéti	co
Notamos que quando uma caixa, apoiada num 
piso horizontal, recebe um impulso, à medida 
que se movimenta, ela perde velocidade até 
parar. Isso acontece em razão do atrito exis-
tente entre a caixa e o piso. À força de atrito 
entre a caixa e o piso, enquanto a caixa está 
em movimento, damos o nome de força de 
atrito cinético (Fac )
v
Fac
v ≠ 0 
A força de atrito cinético é constante e não de-
pende da velocidade do corpo. Sua intensida-
de é diretamente proporcional à intensidade 
da força normal (N) de compressão entre o 
corpo e a superfície:
Fac = μc · N
Nessa expressão, μc é o coeficiente de atrito 
cinético. De modo análogo ao atrito estático, 
o coeficiente de atrito cinético é um número 
sem unidades, associado às superfícies atrita-
das.
Na prática, o coeficiente de atrito cinético é 
menor do que o coeficiente de atrito estático, 
ou seja: μc < μe. Isso significa dizer que é mais 
fácil manter um corpo em movimento do que 
colocá-lo em movimento. 
Para um corpo em repouso, solicitado por uma 
força F crescente, o gráfico do módulo da for-
ça de atrito Fa, em função do módulo da força 
F, é dado na figura a seguir.
Fa
Fae(máx.)
0
Fac
F 
Devemos observar que:
•	 enquanto o módulo da força de atrito 
não atingir o valor máximo, ele será 
igual ao módulo da força F;
•	 a partir do instante em que o bloco 
entra em movimento, a força de atrito 
passa a ser cinética e seu módulo per-
manece constante.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Um bloco com 50 kg de massa encontra-se em 
repouso sobre uma superfície horizontal. Os 
coeficientes de atrito estático e cinético, entre 
o bloco e a superfície, valem, respectivamen-
te, 0,30 e 0,25. Uma força horizontal F é aplica-
da no bloco. Considere g = 10 m/s². Determine 
o módulo da força de atrito no bloco nos se-
guintes casos:
a. F = 120 N;
b. F = 150 N.
Resolução
A força de atrito estático máxima é dada por:
Fae(máx.) = μe · N = μe · m · g ⇒ Fae(máx.) = 0,30 · 50 · 10 
Fae(máx.) = 150 N
E a força de atrito cinético é:
Fac = μc · N = μc · m · g ⇒ Fac = 0,25 · 50 · 10 
Fac = 125 N
a. Sendo a força aplicada (120 N) menor que 
a força de atrito estático máxima, o bloco con-
tinua em repouso. Portanto: Fa = F = 120 N
b. Sendo F = 150 N, maior que a força de 
atrito estático máxima, o bloco entra em mo-
vimento. Nessas condições, a força de atrito é 
cinética. Portanto: Fa = Fac = 125 N
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
31
Física
02. 
Um corpo de massa 10 kg desliza sobre uma 
superfície horizontal em movimento acelerado 
com a = 2,0 m/s², sob a ação de uma força hori-
zontal F = 50 N. Sendo g = 10 m/s², o coeficiente 
de atrito cinético entre o corpo e a superfície 
horizontal é:
a. 0,10
b. 0,20
c. 0,25
d. 0,30
e. 0,35
Resolução
N = P = m · g ⇒ N = 10 · 10 = 100 N
Movimento acelerado:
FR = F – Fa ⇒ m · a = F – μc · N 
10 · 2,0 = 50 – μc ·100 ⇒ μc = 0,30
Resposta
D
03. 
Um automóvel de massa 980 kg e velocidade 
de 90 km/h é brecado e percorre 50 m até pa-
rar. Determine o coeficiente de atrito entre os 
pneus do automóvel e a pista horizontal. Con-
sidere g = 10 m/s² e que no momento da fre-
nagem as rodas ficam travadas.
Resolução
Durante a fase de frenagem, a aceleração do 
automóvel é:
v2 = v02 + 2 · a · ∆s 
 0 90
3 6
2 50 6 25
2
= 

 + ⋅ ⋅ ⇒ = −, ,a a m/s
2
Sendo FR = Fa = μc · N e N = P = m · g, temos:
m · a = μc · m · g ⇒ µ µc c
a
g
= = ⇒ =6 25
10
0 625, ,
04. 
Um bloco de massa 20 kg, em repouso sobre 
uma superfície horizontal, recebe a ação de 
uma força horizontal F. A figura seguinte mos-
tra a relação entre a intensidade da força de 
atrito e a intensidade da força F aplicada. 
Fatrito(N)
100
100
80
0 Faplicada(N)
Com base nesses dados e considerando 
g = 10 m/s², julgue as afirmativas seguintes.
I. A intensidade máxima da força de atri-
to estático é 100 N, e o coeficiente de 
atrito estático entre o bloco e a superfí-
cie horizontal é 0,50.
II. Sendo Faplic. > 100 N, então o coeficiente 
de atrito entre o bloco e a superfície é 
cinético e vale 0,40.
III. O bloco entra em movimento desde 
que Faplic. > 80 N.
Resolução
I. Correta. De acordo com o gráfico:
 Fae(máx.) = 100 N
 Sendo Fae(máx.) = μe · N e N = P = m · g, temos: 
 Fae(máx.) = μe · m · g ⇒ 100 = μe · 20 · 10 
 μe = 0,50
II. Correta. Sendo Faplic. > 100 N, o bloco entra 
em movimento. Nesse caso, a força de atrito é 
cinética. Assim: Fac = μc · N = μc · m · g. Substi-
tuindo os valores:
 80 = μc · 20 · 10 ⇒ μc = 0,40
III. Incorreta. Para o bloco entrar em movi-
mento, devemos ter: Faplic. > 100 N.
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
32
Física
1. Introdução
Neste módulo, será analisado o movimento re-
tilíneo de sistemas de blocos sobre superfícies 
horizontais e sobre superfícies inclinadas, além 
do movimento vertical de blocos suspensos. 
Para isso, usaremos as três leis de Newton. 
De modo geral, o método de análise desses 
sistemas consiste, basicamente, dos procedi-
mentos que se seguem:
01. Assinalamos em cada bloco todas as 
forças atuantes, lembrando que for-
ças trocadas internamente entre dois 
blocos do sistema constituem um par 
ação-reação, ou seja, possuem as mes-
mas intensidades.
02. Em movimentos em planos horizontais, 
as forças verticais se equilibram. Assim, 
se houver resultante de forças em cada 
bloco do sistema, ela será uma força 
horizontal, o que impõe a existência de 
uma aceleração na mesma direção do 
movimento, ou seja, horizontal.
03. Se a resultante das forças for igual a 
zero, o bloco em estudo está em equi-
líbrio, repouso ou MRU, mas se a resul-
tante das forças for diferente de zero, o 
bloco apresenta movimento com velo-
cidade variável. Nesse caso, aplicando 
a segunda lei de Newton, pode-se cal-
cular a taxa de variação da velocidade. 
Antes, porém, de analisarmos as dife-
rentes situações de aplicações das leis 
de Newton na resolução de problemas, 
vamos conhecer instrumentos capazes 
de medir a intensidade das forças.
2. Sistemas de blocos
A. Blocos tracionados em 
superfí	cie	horizontal
A figura a seguir mostra dois blocos, A e B, 
de massas iguais a 3,0 kg e 2,0 kg, respectiva-
mente, apoiados numa superfície horizontal 
isenta de atritos. O fio que liga A em B é ideal 
(massa desprezível e inextensível). Sendo o 
módulo da força horizontal, que puxa o siste-
CAPÍTULO 03 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
ma, igual a 20 N, qual é a aceleração de cada 
bloco e a tração no fio que une os blocos?
A figura ilustra as forças atuantes em cada blo-
co e no fio, bem como os pares ação-reação:
B
A
3,0 kg2,0 kg
Fio
a
F
Observando o equilíbrio das forças verticais, 
identifiquemos a intensidade da resultante 
horizontal em cada bloco:
Ação e
reação
Ação e
reação
F
PA
PB
NB
NA
T1 T1Fio –T2 T2–
AB
•	 Bloco A : FRA = F – T1 ⇒ mA · a = F – T1 (1)
•	 Fio ideal : FR(F) = T1 – T2 
 mF · a = T1 – T2 (2)
•	 Bloco B : FRB = T2 ⇒ mB · a = T2 (3)
Como o fio é ideal, (mF = 0), T1 = T2. Assim, soman-
do as expressões acima, obtemos:
( )m m a F a F
m mA B A B
+ ⋅ = ⇒ = +
Substituindo os valores numéricos, obtemos:
a a m s= + ⇒ =
20
3 0 2 0
4 0 2
, ,
, /
A intensidade da força de tração que o fio exer-
ce nos blocos pode ser obtida, por exemplo, pela 
equação (3):
T = T1 = T2 = mB · a ⇒ T = 2,0 · 4,0 ⇒ T = 8,0 N
B. Blocos empurrados em 
superfí	cie	horizontal
Consideremos um sistema formado por trêsblo-
cos, A, B e C, de massas mA = 3,0 kg, mB = 2,0 kg 
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
33
Física
e mC = 1,0 kg, em repouso, encostados entre si e 
apoiados sobre uma superfície horizontal. O con-
junto é empurrado por meio de uma força hori-
zontal F = 24 N, conforme mostra a figura. Sendo o 
coeficiente de atrito cinético entre cada bloco e a 
superfície horizontal igual a 0,20, qual é a acelera-
ção de cada bloco? Utilize g = 10 m/s².
a
F
B C
A
3,0 kg 2,0 kg 1,0 kg
Inicialmente, assinalamos as forças atuantes 
em cada bloco, conforme mostra a figura.
F
FaA FaB FaC
A B C
F1–F1 F2
NC
NB
PB
PC
NA
PA
–F2
Em cada bloco, na vertical temos o equilíbrio 
das forças, ou seja, N = P = m · g. Na horizon-
tal, o sistema de blocos acelera para a direita. 
Assim, aplicando a 2ª lei de Newton para cada 
bloco, obtemos: 
•	 Bloco A: FRA = F – F1 – FaA 
mA · a = F – F1 – μc · NA (1)
•	 Bloco B: FRB = F1 – F2 – FaB 
mB · a = F1 – F2 – μc · NB (2)
•	 Bloco C: FRC = F2 – FaC 
•	 mC · a = F2 – μc · NC (3)
•	 Somando as equações (1), (2) e (3), ob-
temos:
•	 mA · a + mB · a + mC · a =
 = F – μc · NA – μc · NB – μc · NC
•	 Isolando a aceleração a, temos:
a F N N N
m m m
a
F g m m m
m m m
c A B C
A B C
c A B C
A B C
= − ⋅ + ++ +
=
− ⋅ ⋅ + +
+ +
µ
µ
( )
( )
Substituindo os valores numéricos, obtemos o 
valor da aceleração do sistema de blocos:
a
a m s
= − ⋅ ⋅ + ++ +
=
24 0 20 10 3 0 2 0 1 0
3 0 2 0 1 0
2 0 2
, ( , , , )
, , ,
, /
Observação
Se o atrito entre os blocos e a superfície hori-
zontal for desprezível (μC = 0), a aceleração dos 
blocos é dada por:
a F
m m m
a m s
A B C
= + + = + +
=
24
3 0 2 0 1 0
4 0 2
, , ,
, /
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
A figura ilustra um avião ligado a um planador por um cabo de aço, acelerando ao longo de uma 
pista para levantar voo. 
FA
aA
aP
T
T
Sendo FA a intensidade da força que impulsiona o avião; T a intensidade da força de tração no 
cabo de aço; aA a aceleração do avião e aP a aceleração do planador, assinale a alternativa correta 
que relaciona essas grandezas.
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
34
Física
a. FA = T e aA = aP
b. FA > T e aA > aP
c. FA < T e aA = aP
d. FA > T e aA = aP
e. FA = T e aA < aP
Resolução
Para o conjunto avião + planador, temos:
F F F m m a a F
m mA R A A p
A
A p
= ⇒ = +( )⋅ ⇒ = +
A aceleração é a mesma para os dois: avião e 
planador.
A tração no cabo que interliga o avião com o 
planador é dada por: T = mp · a
Portanto: T < FA
Resposta
D
02. 
Dois carrinhos de supermercado, A e B, de 
massas 18 kg e 12 kg, respectivamente, inter-
ligados por um cabo, são puxados horizontal-
mente por uma pessoa que aplica uma força F 
de intensidade 30 N.
F
Cabo
B A
Devido a existência de rodas nos carrinhos, o 
atrito pode ser desprezado. Nessas condições, 
determine:
a. a aceleração de cada carrinho;
b. a tração no cabo que interliga os car-
rinhos.
Resolução
a. Na vertical, em cada carrinho, as forças 
peso e normal equilibram-se. Na horizontal, 
como não existe atrito, a força F é a força re-
sultante do sistema formado pelos dois carri-
nhos. Assim, a aceleração de cada carrinho, 
que é igual à aceleração do conjunto, vale:
F = FR ⇒ F = (mA + mB) · a ⇒ 30 = (18 + 12) · a
a = 1,0 m/s2
b. Observe na figura dada que a tração no 
cabo que interliga os carrinhos é a força resul-
tante no carrinho B. Assim, temos:
T = FRB ⇒ T = mB · a ⇒ T = 12 · 1,0 ⇒ T = 12 N
Obs.: para calcular a tração no cabo, podemos 
usar o bloco A no lugar de B. Nesse caso, a for-
ça resultante é dada por:
FRA = F – T ⇒ mA · a = F – T ⇒ T = F – mA · a
T = 30 – 18 · 1,0 ⇒ T = 12 N
03. 
Dois blocos, A e B, sendo mA > mB, estão em 
repouso sobre uma mesa horizontal. Uma for-
ça, de modulo F, é aplicada em A, conforme 
figura I. Em seguida, a força é aplicada em B, 
conforme figura II.
F
B
A
Figura IIFigura I
F
B
A
Desprezando os atritos, podemos afirmar que:
a. a aceleração do conjunto em I é menor 
que em II.
b. graças à 3a lei de Newton (ação e rea-
ção), a intensidade da força de contato 
entre os blocos é a mesma nas situa-
ções I e II.
c. a intensidade da força de contato entre 
os blocos é maior na situação I.
d. a aceleração dos blocos é a mesma nas 
duas situações.
e. a aceleração do bloco A é maior em I 
que em II.
Resolução
Nas duas situações, temos:
F F m m a a F
m mR A B A B
= = + ⋅ ⇒ = +( )
Portanto, a aceleração dos blocos é a mesma 
nas duas situações.
Em relação à força de contato entre os blo-
cos, temos:
Em I: FAB = mB · a
Em II: FBA = mA · a
Como mA > mB ⇒ FBA > FAB. A intensidade da 
força de contato entre os blocos é maior na 
situação II.
Resposta
D
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
35
Física
C. Blocos	em	plano	verti	cal:	
máquina de Atwood
A figura abaixo representa a montagem realiza-
da pelo físico inglês George Atwood (1745-1807) 
para estudar corpos em queda.
B
A
mA > mB
Supondo que a roldana apresente massa des-
prezível em relação às demais do sistema, te-
mos os seguintes esquemas de forças atuan-
tes, após o sistema ser liberado:
Bloco A Bloco B Roldana
T
T T
T
PA PB
T1
A BAa

Ba

Como o peso do bloco A é maior que o do blo-
co B, o bloco A desce em movimento acelera-
do e o bloco B sobe em movimento acelerado, 
tal que aA = aB = a. Assim, temos:
•	 Bloco A: FR(A) = PA – T 
 mA · a = mA · g – T (1)
•	 Bloco B: FR(B) = T – PB 
 mB · a = T – mB · g (2) 
Somando-se as equações (1) e (2) e isolando a 
aceleração a, obtemos:
a m m
m m
gA Bm mA Bm m
A Bm mA Bm m
= m m−m m+m m+m mm mA Bm m+m mA Bm m
⋅
A intensidade da tração no fio que une os blo-
cos é dada por:
T = mA · (g – a) ou T = mB · (g + a)
D. Sistemas de blocos 
horizontal-verti	cal
A figura a seguir apresenta um bloco A apoia-
do numa superfície horizontal perfeitamente 
lisa e ligado, através de um fio, a um bloco B, 
que se encontra dependurado.
A
B
Graças à inexistência de atrito entre o bloco 
A e o plano horizontal, podemos afirmar que, 
qualquer que seja a massa do bloco B, os blo-
cos entrarão em movimento acelerado, sendo a 
aceleração de módulo igual para os dois blocos.
As figuras abaixo apresentam os diagramas 
das forças atuantes nos dois blocos:
PB
NA
aA
aB
PA
A BT
T
De acordo com as figuras acima, as equações 
para os dois blocos são as seguintes:
•	 bloco A: FR(A) = T = mA · a
•	 bloco B: FR(B) = PB – T= mB · a
Somando as duas equações correspondentes 
às forças resultantes, temos:
PB = mA · a + mB · a
mB · g = (mA + mB) · a ⇒ a
m g
m m
Bm gBm g
A Bm mA Bm m
= m g⋅m g+m m+m mm mA Bm m+m mA Bm m
A tração no fio que une os dois blocos é dada por:
T = mA · a
Como exemplo numérico, consideramos 
mA = 8,0 kg, mB = 2,0 kg e g = 10 m/s2. Nessas 
condições, temos:
a. a
m g
m m
a a m s
B
A B
=
⋅
+
=
⋅
+ ⇒ =
2 0 10
8 0 2 0
2 0 2
,
, ,
, /
b. T = mA · a
T = 8,0 · 2,0 ⇒ T = 16 N
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
36
Física
02. Mackenzie-SP modificado
No esquema a seguir, a polia e o fio são conside-
rados ideais e os corpos A e B se deslocam com 
velocidade escalar constante e igual a 2,0 m/s.
A
B
Sabendo-se que a massa do corpo A é 1,5 kg e 
que a massa do corpo B é 10 kg, o coeficiente 
de atrito dinâmico entre sua base de apoio e o 
plano horizontal de deslocamento é:
01. 
Dois blocos, A e B, de massas 7,0 kg e 3,0 kg, 
respectivamente, partem do repouso, confor-
me indicado na figura seguinte.
A
B
8,0 m
Considerando g = 10 m/s2, determine a veloci-
dade do bloco A ao atingir o solo.
Resolução
Nos dois blocos agem as forças peso e tração. 
Sendo PA > PB, temos:
•	 Bloco A: FR(A) = PA – T 
 mA · a = mA · g – T (1)
•	 Bloco B: FR(B) = T – PB 
 mB · a = T – mB · g (2)
Dessas duas relações, obtemos:
a m m
m m
g
a a
A B
A B
= −+ ⋅
= −+ ⋅ ⇒ =
7 0 3 0
7 0 3 0
10 4 0 2, ,
, ,
, m/s
Como o bloco A parte do repouso, sua veloci-
dade após percorrer8,0 m com aceleração de 
4,0 m/s2 é dada por:
v2 = v02 + 2 · a · h ⇒ v2 = 0 + 2 · 4,0 · 8,0 ⇒ v = 8,0 m/s
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
E. Plano inclinado
Vamos considerar agora um bloco de massa m apoiado num plano inclinado de um ângulo a em 
relação à horizontal, de modo que ele possa deslizar em movimento acelerado. O coeficiente de 
atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é μc.
A figura seguinte ilustra as forças que atuam no bloco: a força peso e as componentes da força de 
contato (normal e atrito). Considerando um sistema cartesiano (x, y), de modo que um dos eixos 
seja paralelo ao plano inclinado (eixo x) e o outro perpendicular (eixo y), podemos decompor a 
força peso nos dois eixos: Px = P · sen a e Py = P · cos a.
a. 0,10
b. 0,15
c. 0,20
d. 0,25
e. 0,30
Resolução
A B
T
PA
Fa
T
Velocidade constante:
T = PA e T = Fa
Portanto:
F P m g m ga A B A= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⇒ =
µ
µ µ1 5
10
0 15, ,
Resposta
B
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
37
Física
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
N
P x
y
Px
Py
Fa
Como há equilíbrio no eixo y, então: 
N = Py = P · cos a
No eixo x, como o bloco acelera para baixo, 
temos: 
FR = Px – Fa ⇒ m · a = m · g · sen a – μc · N
Sendo N = m · g · cos a, a aceleração do bloco 
é dada por:
a = g · (sen a – μc · cos a)
Observações
No caso de não existir atrito entre o bloco e o pla-
no inclinado, a aceleração do bloco é dada por:
a = g · sen a
Se o bloco está em repouso no plano (a = 0), 
mas na iminência de deslizar, então o coeficiente 
de	atrito	é	estático	e	o	ângulo	α	é	tal	que:
Px = Fae
m · g · sen a = μe · m · g · cos a
tg a = μe, ou seja, esse resultado também 
mostra que o coeficiente de atrito, que de-
pende basicamente da interação entre as 
superfícies do bloco e do plano inclinado, 
depende também da inclinação do plano.
01. 
Um bloco de massa 10 kg é colocado no alto de 
uma rampa inclinada 37° com a horizontal. Os 
coeficientes de atrito estático e cinético, entre 
o bloco e a rampa, são, respectivamente, 0,25 e 
0,20. O bloco permanece em repouso ou entra 
em movimento? Justifique.
Dados: g = 10 m/s2, sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80
Resolução
A figura mostra o diagrama de forças no bloco 
colocado na rampa.
N
P37o
37o
Fa
Com base na figura, temos:
N = P · cos 37° ⇒ N = m · g · cos 37° = 10 · 10 · 0,80
N = 80 N
Fae (máx.) = µe · N = 0,25 · 80 ⇒ Fae = 20 N
Fac = µc · N = 0,20 · 80 ⇒ Fac = 16 N
Px = P · sen 37° ⇒ Px = m · g · sen 37° 
Px = 10 · 10 · 0,60 
Px = 60 N
Sendo Px > Fae (máx.), o bloco entra em movimen-
to acelerado, com aceleração igual a:
FR = Px – Fac ⇒ 10 · a = 60 – 16 ⇒ a = 4,4 m/s2
02. 
Dois blocos, A e B, estão dispostos conforme 
mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o 
bloco A, de 10 kg de massa, e o plano inclinado 
é 0,15.
30o
A
B
Determine a massa do bloco B, sabendo-
se que ele se movimenta para baixo com 
a = 2,0 m/s2. Adote g = 10 m/s2, sen 30° = 0,50 
e cos 30° = 0,87.
Resolução
A figura mostra os diagramas de forças nos 
dois blocos.
30o
A
B
NA TA
PA
TB
PB
FaA
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
38
Física
Sendo TA = TB = T, para o sistema (A + B) acele-
rado, temos:
FR(AB) = PB – (PA · sen 30° + Fa(A)) 
(mA + mB) · a = mB · g – (mA · g · sen 30° +
+ µ · mA · g · cos 30°)
(10 + mB) · 2,0 = mB · 10 – (10 · 10 · 0,50 +
+ 0,15 · 10 · 10 · 0,87) 
20 + 50 + 13 = mB · (10 – 2,0) ⇒ mB = 10,4 kg
03. 
Um bloco A de massa 2,0 kg, que desliza sem 
atrito sobre um plano inclinado de 30° com a ho-
rizontal, está ligado através de um fio, que passa 
por uma polia, a um bloco B de mesma massa, 
que desliza sobre um plano horizontal liso. 
A
B
30°
Sendo 10 m/s2 o módulo da aceleração da gra-
vidade local e considerando ideais a polia e o 
fio, pede-se:
a. o módulo da aceleração do sistema;
b. o módulo da força de tração no fio.
Resolução
a. Apliquemos a 2a lei de Newton nos blocos.
B
P A ·
 sen
 θ A
30°
a
a
T

T

•	 No	bloco	A:
PA · sen 30° – T = mA · a
20 · 0,5 – T = 2 · a
10 – T = 2 · a
•	 No	bloco	B:
T = mB · a
T = 2 · a
Resolvendo o sistema de equações, por subs-
tituição, temos:
10 – (2 · a) = 2 · a
10 = 4 · a ⇒ a = 2,5 m/s2
b. T = 2 · a
 T = 2 · 2,5 ⇒ T = 5,0 N
04. 
O sistema montado na figura, formado pelos 
blocos A e B de 2,0 kg cada um, apresenta-se 
em movimento uniforme, com o bloco B em 
movimento descendente. Considere o fio e a 
polia como ideais e adote g = 10 m/s2.
Determine:
a. o módulo da força de tração do fio;
b. o módulo da força de atrito em A;
c. o coeficiente de atrito dinâmico entre o 
bloco A e o plano inclinado.
A B
30°
Resolução
a. Analisando o equilíbrio dinâmico (MRU) 
do bloco B, temos:
T = P = m · g = 2 · 10
T = 20 N
B
T
P
b. Como o bloco A também se encontra em 
equilíbrio (MRU), vem:
T = PA · sen 30° + fa
PV
2D
-1
4-
21
Dinâmica I
39
Física
20 = 20 · 0,5 + fa
fa = 10 N
P·se
n 30
°
30°
T
A
f a
c. No bloco A:
N = P · cos 30° = 20 · 3
2
10 3= N
Logo: fa = μd · N
10 = μd · 10 3
3
3
⇒ =µd
05. 
Um bloco de peso 10 N está na iminência de 
deslizar sobre o plano inclinado mostrado na 
figura abaixo. Nessas condições, determine:
a. o coeficiente de atrito estático entre o 
bloco e a superfície do plano;
b. o módulo da força total que o plano in-
clinado exerce sobre o bloco.
2,0 m
1,0 m
θ
Resolução
a. Analisando as forças em equilíbrio sobre o 
bloco, temos:
P · s
en θ
ƒ a
N
P · 
cos
 θ
θ
famáx = P · sen θ
μe · N = P · sen θ
μe · P · cos θ = P · sen θ
µ
θ
θ θ
µ θ µ
e
e e
sen
tg
tg
m
m
= =
= = ⇒ =
cos
,
,
,
1 0
2 0
0 50
b. A força total (F) que o plano exerce no blo-
co corresponde à resultante das forças normal 
e de atrito. Isto é: F = N + fa. Como o bloco 
encontra-se em equilíbrio, F deve neutralizar 
o peso do bloco. Logo, ela deve ser oposta ao 
peso e de mesma intensidade, ou seja: F = 10 N.
N f a
P
F
3. Elevadores
Para estudar a resultante das forças em situações de não equilíbrio, pode-se recorrer a um sis-
tema que se move acelerado na vertical, como, por exemplo, um corpo dentro de um elevador. 
Nesse caso, dependendo do estado de movimento de um corpo suspenso por um dinamômetro 
de tração, a indicação do dinamômetro pode ser uma força de intensidade maior, menor, ou igual 
à intensidade do peso (P) do corpo. 
Dinâmica I
PV
2D
-1
4-
21
40
Física
T
P
Se o elevador estiver em repouso ou em mo-
vimento uniforme (subindo ou descendo), o 
corpo suspenso, acompanhando estes estados 
do elevador, estará em equilíbrio. Nesses casos, 
a leitura no dinamômetro (valor da tração) será 
igual ao valor do peso do corpo suspenso.
Se o elevador possuir aceleração vertical (a) , a in-
dicação do dinamô metro poderá ser maior que o 
valor do peso do corpo (no caso da aceleração 
ser ascendente) ou menor que o valor do peso 
do corpo (quando a aceleração for descenden-
te), de acordo com a segunda lei de Newton. 
Isso ocorre independentemente do sentido de 
movimento do elevador.
T = P
P
T
 
P
a
a
P
T > P
T < P
T
T
Analogamente ao que ocorreu no estudo ante-
rior, a leitura de um dinamômetro de pressão 
(valor da normal) pode ser maior, menor ou 
igual ao valor do peso do corpo apoiado sobre 
ele. Isso dependerá do estado cinemático do 
corpo. 
•	 Vulgarmente, tais dinamômetros são co-
nhecidos como balanças de mola, já que 
podem ter suas escalas mudadas para in-
formar a massa de corpos (em equilíbrio). 
Observações
•	 A leitura dos dinamômetros (valor da 
força de tração ou da força normal) 
é, eventualmente, denominada peso 
aparente do corpo que se encontra 
suspenso ou apoiado neles.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Num local onde g = 10 m/s2, um pacote de 
massa 2,0 kg encontra-se apoiado sobre um di-
namômetro (graduado em newtons), no interior 
de um elevador, como mostra a figura.
2,0 kg
Determine a indicação do dinamômetro nos 
seguintes casos:
a. o elevador está em equilíbrio;
b. o elevador despenca em queda livre;
c. o elevador sobe acelerado, com acele-
ração de 2,0 m/s2.
Resolução 
A indicação do dinamômetro corresponde à in-
tensidade da força normal trocada entre ele e 
o