PESQ_Volume 9 - Operação Econômica e Planejamento

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1877Q
OPERAÇÃO ECONÔMICA
E PLANEJAMENTO
CURSO DE ENGENHARIA 
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
- SÉRIE PTI -
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Analise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J/Wagner Kaehler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão II - Eelix A. Farret
4 - Dinâmica das Maquinas Elétricas I - Somdhai Apsuj,
Ar 1 ilnd0 R . Maye r
5 - Dinâmica das Máquinas Elétricas II - ElVip Rátenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M. Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaehler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M.Ivone Brenner
Supervisão técnica: Somchai Ansuj
Coordenação geral: Arlindo R. Mayer
Norberto U. de V. Oliveira 
Waldemar C. Fuentes
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S. A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
E PIÂNEJAMENTO
W . F. B’RELLS 
N. D. REPPEN 
R. J. RINGLEE 
J. M . UNDRIL 
C. K. PANG
Tradução: Paulo R. W ilson
Dr. Prof. Vlsit. do 
CPG em Eng. Elétrica 
da UFSM
CURSO DE ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I. .----------
SANTA MARIA - RS - 1979 *.J' \
; T R 0 B R Á S
‘ ocum^ntação Técnica - D O T f
■ -.121TO í. ã
' - ..........
Titulo do original:
Scheduling and Economic Operation
Direitos para ò Brasil reservados a Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio de Janeiro - RJ
1979
F I C H A C A T A L O G F A F I C A
061 B'Rells,_W. F.
Operação econômica e planejamento /por/ 
W. F. B'Rells /e/ outros. Trad. /de/ Pau­
lo R. Wilson. Santa Maria, 1979.
333p. ilust. 23cm. (Curso de En­
genharia em Sistemas Elétricos de Potên­
cia - Série PTI, 9)
Título original: Scheduling and Economic 
Operation.
1. Eletricidade - geração. 2. Energia E- 
lêtrica. I. B'Rells,W.F. II. Wilson Paulo R. 
(Trad.) III. Título.
CDD 621.31 
CDU 621.311
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Hã cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na ãrea de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento • de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen-' 
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e à conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
É constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre- outras ações, têín sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atendimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas.
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady -USA, 
a ministração de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam âs Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário âs suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRÂS de­
cidiu adquirir ao P.T.I. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Ba^balho 
Presidente da ELETROBRÂS
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de realizar a estafante, porém atraente tarefa de tradução 
revisão e acompanhamento na impressão do Curso organizado 
por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direitos de re­
produção foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta tare­
fa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de pro­
fessores que, além de suas atividades docentes,administra­
tivas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais essa im­
portante tarefa.
É nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elaboração 
dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do 
Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo 
Diretor da Imprensa Universitária, Prof. José Antonio Ma­
chado, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica, 
Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio 
UFSM/ELETROBRÁS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como tam­
bém pelos Professores Waldemar Correia Fuentes, Nilton Fa- 
bbrin e Norberto V. de Oliveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica - CEEE- 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e'os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos â Professora Celina Fleig 
Mayer por seus serviços de revisão e à Jornalista Veronice 
Lovato Rossato pelos serviços de revisão e Assessoria de E- 
ditoração. E ã Professora June Magda Scharnberg pelo seu 
auxílio na organização das fichas catalogrãficas dos vários 
volumes.
Nossos agradecimentos, também, ao datilõgrafo U- 
byrajara Tajes e aos desenhistas EngÇ Delcio Bolzan e Fran­
cisco Ripolli Filho.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e He- 
lic Mokarzel, da Escola Federal de Engenharia de Itajubã , 
agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradução 
parcial de alguns volumes, os quais serviram como valiosas 
referências em nosso trabalho.
Finalmente, ê nosso dever deixar registrado nos­sos agradecimentos a Centrais Elétricas Brasileiras S.A. - 
ELETROBRÃS,por seu apoio e confiança em nós depositados.
Derblay Galvão 
Reitor
SUMÁRIO
Capítulo 1 - CONCEITOS DE OPERAÇÃO ECONÔMICA............ 1
1.0 - Introdução e Escopo.......................... 1
1.1 - Descrição da entrada-saída ................. 2
1.2 - Modelos para usinas hidráulicas............. 10
1.3 - Despacho econômico - Igual carregamento in­
crementai ................................... 12
1.4 - Despacho econômico - Efeito das restrições
de carga do gerador........................... 18
1.5 - Despacho econômico - Perdas incrementais
de transmissão................................ 22
1.6 - Efeitos das perdas de transmissão no despa­
cho econômico - Exemplo numérico............. 26
1.7 - Solução da Equação de coordenação - Métodos
de Gauss-Seidel............................... 31
1.8 - Aplicações On-Line..... 41
1.9 - Resumo da notação e relações üteis........... 49
BIBLIOGRAFIA.................. 52
Apêndice I - Método de Lagrange para determinar
um extremo com restrições............. 55
Apêndice II - Desenvolvimento analítico de uma
fórmula de perdas..................... 57
Apêndice III- Exemplo numérico do uso da formula
de perdas........... 85
Apêndice IV- Componentes da matriz B .............. 88
Apêndice V - Dedução da equação quadrãtica........ 89
Apêndice VI - Avaliação de R_J/ e X ” ................ 92
Capitulo 2 - MODELOS PARA INTERCÂMBIO E PARA DESPA­
CHO MULTIÃREA............................. 9 7
2.0 - Introdução.................................. 97
2.1 - Representação da interconexão nas fórmulas
de perda............ 98
2.2 - Perdas incrementais - Interconexões......... 100
2.3 - Perdas incrementais de circulação e custos
de incrementos de perda...................... 102
2.4 - Modelos para fluxos de ligação.............. 105
2.5 - Equações de coordenação de área múltipla.... 109
2.6 - Negociações de intercâmbio....................113
BIBLIOGRAFIA....................................... 118
Apêndice I - Ajuste de curvas de entrada-saída e
de curvas da taxa incrementai de ca­
lor nos dados do teste de entrada- 
-saída................................. 120
Capítulo 3 - TÓPICOS SOBRE A SEGURANÇA DA OPERAÇÃO--- 125
3.0 - Introdução.................................... 125
3.1 - Regimes de operação das partes componentes
do sistema.......................... 125
3.2 - Fatores de distribuição - Mudança de ge­
ração......................................... 139
3.3 - Fatores de distribuição - Saída de ramo..... 155
3.4 - Aplicações dos fatores de distribuição...... 161
3.5 - Estimativa de VAR/VOLTS com algoritmos de
Newton........................................ 175
3.6 - Fluxos de carga do operador.................. 179
Apêndice - Método para determinar o deslocamento
de geração remediador para a correção
da sobrecarga da linha................. 181.
BIBLIOGRAFIA....................................... 188
Capítulo 4 - MODELAGEM DE RECURSOS ENERGÉTICOS E
COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA................. 190
4.0 - Introdução .................................. 190
4.1 - Modelos hidráulicos.................. '...... 191/
4.2 - Modelos de carga para analise de, recur­
sos x carga ................................ 203
4.3 - Conceitos de coordenação hidrotérmica..... 211
Caso 1 - Sistema de duas usinas............ 212
Caso 2 - Operação de nivelamento da carga.. 214
Caso 3 - Coopdenação de altura fixa das
usinas hídricas e térmicas....... 217
4.4 - Modelos para a programação de armazena­
gem com bombeamento........................ 222
4.5 - Critérios para sistemas totalmente hidro­
elétricos................................... 238
BIBLIOGRAFIA...................................... 246
Apêndice I - A formulação variacional........... 248
Desenvolvimento da teoria......... 248
Problema ilustrativo do sistema.... 250 
Tratamento das restrições......... 25 3
Apêndice II - Métodos gradiente variacionais.... 254
Teoria.............................. 254
Algoritmo de hidroprogramação õ- 
tima................................ 255
Apêndice III"- Formulação da programação dinâ­
mica................................ 259
Desenvolvimento da teoria.......... 259
Problema ilustrativo do sistema.... 261
Apêndice IV - Programação hidrotérmica........... 269
Hidroconvencional.................. 270
Hidroarmazenagem bombeada......... 272
Capítulo 5 - PROGRAMAÇÃO DA GERAÇÃO.................. 2 75
5.0 - Introdução.................................. 275
5.1 - Modelos de reserva de geração e as
exigências................................... 275
5.2 - Métodos de custos de operação e de
partida
5.3 - Métodos de ordenação........................ 292
5.4 - Procedimentos de melhoria da seleção....... 306
BIBLIOGRAFIA....................................... 326
Apêndice I - Métodos lógicos de pesquisa para
determinar o melhor despacho para
uma unidade simples................ 32 8
Apêndice II - Método do gradiente para determi­
nar o melhor despacho para uma 
unidade simples
CAPITULO 1
CONCEITOS DE OPERAÇÃO ECONÔMICA
Seção 1.0 - Introdução e Escopo
Destina-se esta unidade do curso a dar uma in­
trodução à operação dos sistemas elétricos de potência, con 
siderando os aspectos que permitem à programação e ao des­
pacho irem, de um modo seguro e eficiente, de encontro âs 
contínuas variações na demanda de energia elétrica. Mais 
particularmente, estes capítulos considerarão a programação 
e o despacho de geração de energia associados com suprimen 
to de energia em blocos. Entre os tõpicos a serem conside­
rados estão métodos para o desenvolvimento de um despacho 
econômico, procedimentos para o planejamento das reservas 
de operação, ambas, tanto fria como girante, procedimentos 
para o despacho econômico em sistemas interligados e méto­
dos para a estimativa de perdas na transmissão.
0 Capítulo 1 considera a operação de usinas de 
geração de energia como um processo contínuo ou em fluxos 
que converte recursos de um dado valor em energia elétrica 
para transmissão até pontos de distribuição da energia em 
blocos. A operação econômica de um sistema de energia en­
volve a questão de alocação de fontes e meios de geração 
que vão de encontro âs demandas. Tal alocação precisa con­
siderar os preços variáveis dos combustíveis, a variedade
de eficiências entre usinas, e os meios de transmissão ' da
- 1 2 12 energia eletrica. ' '
Seção 1,1 - Descrição da entrada-saída
A descrição de uma usina de energia como um 
processo começa com a especificação da energia de entrada 
requerida para produzir uma quantidade de energia elé­
trica como saída. Tal informação é obtida fazendo uma se­
rie de testes em estado permanente em uma planta de ener­
gia. Fazendo testes em vãrios níveis de entrada para a usî 
na, ê possível desenvolver uma curva de entrada/saída como 
a ilustrada na figura 1.11 para o gerador com turbina de 
vapor movida por combustão de material fõssil.^ ^ ^
Entrada-Saída líquida 
Figura 1.11
A ordenada na figura 1.11 mostra a entrada de combus 
tível convertida de libras/hora ou toneladas/hora para 
seu valor equivalente de aquecimento em termos de milhões 
de Btu por hora. A abscissa ê estabelecida em termos de 
saída integrada por hora em quilowatts ou quilowatts hora/ 
hora.
O termo saída líquida foi selecionado para enfatizar a dife­
rença entre a real saída do gerador,, como seria medida por 
um medidor de quilowatt hora colocado nos terminais do gera 
dor, e o balanço da entrada/saída de energia que seria obti 
do desenhando uma linha imaginaria ao redor da usina e me­
dindo a entrada de combustível para a estação e a saída de 
energia elétrica sobre as linhas de transmissão de energia. 
A diferença entre a saída total e a saída líquida é repre - 
sentativa da energia requerida para acionar os vários equi­
pamentos auxiliares requeridos pelo gerador com turbinas a 
vapor gerado por combustão de material fóssil. Exemplos des 
ses equipamentos auxiliares incluemas bombas dos condensa- 
dores de água fria e as bombas de alimentação da caldeira , 
pulverizadores de combustível, ventiladores e precipitado - 
res.
Da curva de entrada/saída,um parâmetro comum utiliza 
do para descrever o desempenho de uma unidade geradora ê a 
taxa de calor que ê a relação para uma saída líquida especd. 
ficada da entrada em Btu/hora dividida pela saída em quilo­
watt hora. A taxa de calor, então, ê uma medida da eficiên­
cia da estação térmica produtora e é, de fato, geralmente 
expressa em Btu/quilowatt-hora. É computada pela divisão do 
conteúdo total de Btu do combustível queimado por um perío­
do especificado(ou do calor liberado por um reator nuclear) 
pela resultante dos quilowatt-hora gerados. Taxa de calor 
líquida = I/P líquida.1.10. A curva da taxa de calor para o 
exemplo mostrado na figura 1.11 é ilustrada na figura 1.12. 
Vai ser notado que a taxa de calor ê mínima no ponto de me­
lhor eficiência da operação para o gerador com turbina mo­
vida a caldeira.
A taxa de calor depende da eficiência da caldeira 
da turbina, do gerador e do Ciclo de Rankine descrevendo a 
operação do sistema de vapor por combustão de material fós­
sil, assim como das necessidades de energia para o equipa - 
mento auxiliar, tal como bombas de alimentação, ventilado - 
res, etc.
Figura 1.12
A taxa de calor constitui um meio conveniente para 
comparar a performance entre as varias usinas e para auxili­
ar na determinação de quais usinas devem ser colocadas em 
serviço para suprir uma determinada carga. É necessário um 
parâmetro adicional quando desejamos considerar o despacho 
de várias usinas sincronizadas. Para este propósito, a ta­
xa incrementai de calor ê o parâmetro mais ütil. A taxa in 
cremental de calor é formada tomando-se a razão do aumento 
adicional na entrada,requerido para alcançar uma variação 
adicional na saída, isto ê, a inclinação da curva de entra 
da de calor para a saída elétrica é conhecida como taxa in 
cremental de calor. A determinação
Taxa incrementai de calor = dl/jr% 1.11dP
da taxa incrementai de calor para o conjunto gerador-turkâ 
na-caldeira ilustrado na figura 1.11 ê transportada para a 
figura 1.13 mostrando uma área de taxas incrementais de ca 
lor para esta unidade. A taxa incrementai de calor tem a 
propriedade de que a área sob a curva da taxa incrementai de 
calor represente a modificação na entrada entre dois níveis 
de saída. Por exemplo, na figura 1.13, a diferença na en-
d
l/
 d
P 
B
tu
/k
W
-h
trada requerida para produzir uma saída de uma hora no ní­
vel P^ comparada com a do nível ê igual à ãrea achurea-
da mostrada. Esta ãrea representa a diferença na taxa de 
entrada de energia.calorífera no nível de saída de potência 
de P^ megawatts sobre a taxa de entrada de energia para o
nível de saída de P^ Megawatts.
TAXA INCREMENTAL DE CALOR 
Figura 1.13
Vamos repetir,para enfatisar, que a curva da taxa in­
crementai de calor ê,na realidade, a inclinação da curva de 
entrada/saída. Taxa incrementai líquida de calor = dl/dP ; 
Btu/KwHr.
A taxa incrementai de calor, a taxa de calor e as 
curvas de entrada/saída, têm significado primeiramente co­
mo medidas do grau de performance em estado permanente. De­
ve-se tomar cuidado em interpretar adequadamente o efeito 
de mudanças rápidas nas condições de carregamento em um 
conjunto gerador-turbina-caldeira para levar em conta os e-
feitos transitórios de mudanças no armazenamento de calor. 
Métodos para determinar as taxas incrementais de calor vão 
ser discutidos com mais detalhes no capitulo 2.
Antes de fazermos algumas considerações sobre o des 
pacho de unidades comprometidas, vamos primeiro definir u- 
ma propriedade que vai ter grande utilidade na discussão 
do despacho. Uma curva de entrada/saída ê convexa em um in 
tervalo, digamos P . até P como mostra a figura 1.14 ,
se, e somente se, dois pontos arbitrários, e P2' podem 
ser escolhidos em qualquer parte do intervalo, ata
Pmax' ta:*-s <ãue a int^^P°lação por linha reta entre o ponto 
P^ e o ponto nunca subestimara a curva de entrada/saída.
Notemos que uma linha reta da função entrada/saída vai ser u- 
ma forma limitante da curva convexa.
Figura 1.14
Curvas de entrada/saída para unidades de geração por 
combustão de material fóssil não são necessariamente conve 
xas. Turbinas desenhadas com um arco parcial de admissão 
de vapor exibem características de entrada/saída que não 
são convexas. Como cada válvula ê "fendida",os resultados 
da aceleração são um aumento adverso na entropia no fluxo 
de vapor através da válvula "fendida". A entrada resultan­
te requerida por unidade de saída ê maior neste ponto, no 
qual a válvula ê fendida, "ponto da válvula", do que para 
as posições de válvula com menos estrangulamento.
A figura 1.15 ilustra a influência das perdas de es­
trangulamento sobre uma unidade geradora de turbina a vapor 
por combustão de material fóssil.
d l/d P
TAXA INCREMENTAL OE CALOR I - ENTRADA M B tu /h
Figura 1.15
Ilustração de uma Função Entrada/Saída Não-Convexa 
Causada por Perdas de Aceleração da Válvula.
A curva entrada/saída para uma unidade geradora po­
de ser convertida para uma "curva de custo de combustível" 
ou custo de produção em dõlares/hora para uma dada saída 
em MWhr/hr, multiplicando a taxa de entrada de calor I pe­
lo custo por unidade de calor para o combustível empregado 
(dõlares/MBTU). Taxa de Custo(F(P)) em dõlares/hora = pre­
ço do combustível(dõlares/MBTU) Entrada(MBTU/hora)
F(P) = ai 1.12
Do mesmo modo,um custo médio de produção para ener­
gia, F/p, dõlares/M^^r pode ser formado pelo produto da ta
xa de calor e do preço do combustível.
Jp =
Custo Medio de Produção = al/p = F/p $/MWh
( 1.13)
Com significado para o despacho econômico é o cus­
to adicional de produção, comumente designado como "custo 
incrementai", formado pelo produto do preço do combustível 
e da taxa incrementai de calor:
dF _ . dl ç, 
dP dP *xMWh (1.14)
Notemos que o Custo Médio de Produção e o Custo Incre 
mental de Produção estão na mesma proporção que a taxa de 
calor e a taxa incrementai de calor respectivamente.
O Custo Médio de Produção e o Custo Incrementai de 
Produção para uma unidade são dependentes do carregamento 
da unidade e são como a taxa de calor e a taxa incrementai 
de calor, iguais em um ponto de carregamento da unidade, o 
ponto de melhor eficiência da operação.
0 custo adicional do combustível pode ser expressa 
do em milésimos de dolar por quilowatt-hora ou dólares por megawatt- 
hora, assim, o custo incrementai de combustível no ponto 
de melhor eficiência para o gerador-turbina-caldeira ilus­
trado na figura 1.11 seria US$ 2,70 por megawatt-hora como 
mostra a figura 1.16 para um preço do combustível de 30 
centavos por milhão de BTU.
Figura 1.16
Os custos do combustível formam a principal parte 
dos custos de produção associados com um gerador com turbi^ 
na a vapor por combustão de material fóssil. Os custos ad.i 
cionais de produção incluem mão de obra e suprimentos asso 
ciados com a manutenção e a operação. Em alguns casos, es­
ta parte dos custos adicionais, que variam com a saída,tem 
sido considerada como um ajuste de uma porcentagem fixa 
aos custos dos combustíveis para operação da usina; em ou­
tros casos, eles têm sido ignorados e o despacho ê feito 
com base somente nos custos incrementais dos combustíveis.
Custo de Produção: F(P) = Fator de Ajuste x Preço 
dos combustíveis x Taxa de Entrada de Calor = Ajuste x a x I
(1.15)
É uma pratica comum representar o preço do combuíB 
tível por seu valor em centavos por milhão de Btu, assin^ 
em um ponto de entrega,o carvão pode custar, digamos, 20-46 
centavos por milhão de Btu, o gãs natural 30-45 centavos 
por milhão de Btu, e óleo com pouco residual de enxofre 50 
-60 centavos por milhão de Btu, considerando que o combus­
tível de jato ou o combustível da turbina a gãs podem atin 
gir de 80-90 centavos por milhão de Btu. O custo do combus 
tível no ponto de entrega precisa ser ajustado para refle­
tir oscustos de tratamento e de manuseio do combustível.
0 custo deve também refletir créditos para a venda de sub 
produtos da combustão como compostos sulfüricos recuperá­
veis e cinzas da combustão de materiais fósseis, e refle­
te débitos devidos aos custos variáveis da eliminação dos 
produtos de combustão não recuperáveis.
Com relação a plantas nucleares, despesas de car 
regamento de materiais físseis formam uma parte proeminen 
te dos custos de operação. Segue-se, portanto, que o "cus 
to do combustível" para combustível "queimado" em um rea­
tor nuclear depende da programação para a substituição de 
materiais físseis, do total do material queimado dentro 
do programa e do líquido de créditos menos débitos para o 
combustível gasto e os produtos residuais. Tipicamente,cus
tos com combustível nuclear podem variar de 16 até 20 cen­
tavos por MBtu.
Seção 1.2- Modelos para Usinas Hidráulicas
Os modelos de entrada-saída com geradores de tur­
binas acionadas hidraulicamente são usualmente expressos 
em termos de taxa de fluxo de agua como entrada( no nível 
especificado) e cavalos-força da turbina como saída. Com 
o conhecimento da eficiência do gerador, são disponíveis 
curvas da taxa de fluxo de água versus saída em megawatts 
para a geração por turbinas acionadas hidraulicamente,como 
ê ilustrado nas referências 4,5,6e7. A referênci.a 7 ilus­
tra o uso das curvas de taxa incrementai de agua expressas 
em armazenamento em pês acre versus megawatt-hora de gera­
ção em níveis especificados. Modelos de entrada-saída para 
a geração com turbinas acionadas hidraulicamente freqüente 
mente empregam coeficientes de conversão de água,como 
lustrados nas Referências 5 e 8. Os efeitos do nível 
algumas vezes aproximados pelo uso de curvas relacionadas 
com as estações do ano, "curvas de guia". Sob essa condi - 
ção, os coeficientes de conversão da variação sazonal da ã- 
gua podem ser aplicados para predizer a saída da geração 
para um dado volume de entrada de agua. Hã uma analogia es 
pecífica que pode ser notada, com as aproximações utiliza­
das, com a geração por turbinas acionadas a vapor por com­
bustível de material fóssil, em que os efeitos da tempera­
tura da água de refrigeração do condensador que afetam as 
pressões posteriores da turbina variam de acordo com as es 
tações do ano e estes efeitos são aproximados por ajustes 
sazonais das curvas de entrada-saída preferencialmente ao
tratamento da temperatura do condensador ou da pressão pos«terior do condensador como uma variável na previsão da cur 
va entrada-saída.
O conjunto turbina-bomba aplicado em projetos de 
armazenamento oferece um interessante desafio em que a cur
va de entrada-saída pois tal unidade precisa incluir tanto 
a ãrea do primeiro quadrante da taxa de entrada de água 
versus a salda em megawatts, como uma ãrea do terceiro qua 
drante ilustrando a entrada de bombeamento para o reserva­
tório superior versus a entrada de energia para a bomba do 
motor. A curva de entrada-saída para uma turbina-bomba ê i. 
lustrada na figura 1.21 e as taxas incrementais de agua pa 
ra tal instalação, na figura 1.22 (10,11).
BOMBA - TURBINA 
ENTRADA - SAÍDA
Figura 1.21
Despacho da geração por turbina acionada hidrau­
licamente com geração por turbina acionada com vapor por 
combustão de material fóssil tem sido feito por técnicas 
que desenvolvem um valor equivalente para a futura capabili- 
dade de substituição do combustível do armazenamento de e 
nergia hidráulica. Métodos para o despacho hidráulico vão
ser considerados no Capítulo 4 juntamente com as técnicas 
para a determinação do valor equivalente de substituição 
de combustível de um armazenamento de energia hidráulica , 
na seção de programação hidráulica.
BOMBA -TURBLNA 
TAXA INCRE MENTAL DE AGUA
Figura 1.22
Seção 1.3- Despacho Economico- Igual Carregamento Incremen 
tal.
Para ilustrar os princípios envorvidos na progra­
mação ou no despacho com igual carregamento incrementai, 
consideremos o problema de uma carga alimentada por dois 
geradores em uma sõ barra como é ilustrado no lado esquer­
do da figura 1.31.
Suponhamos que a capacidade das duas unidades gerado­
ras conectada à barra seja suficiente para satisfazer as 
necessidades de reserva e carga. Cada unidade geradora tem 
um ponto de carga mínima e um ponto de carga máxima. Há 
muitos modos pelos quais a saída do gerador N9l mais o ge-. 
dor N92 seria suficiente para alcançar a carga, L. 0 locus 
desses modos ê esquematizado como a linha de carga mostran 
do PI + P2 = L, na porção superior direita da figura 1.31. 
Neste esquema,, a saída de energia do gerador n9l é mostra­
da como a abcissa,e a saída do gerador n?2 como a ordenada. 
Os pontos de operação aplicáveis para os geradores 1 e 2 
ficam dentro do retângulo pontilhado, formado pela saída 
máxima e mínima para o gerador n9l e a saída máxima e míni­
ma para o gerador n92. Assim, o locus dos pontos aplicáveis 
de saída do gerador, que satisfazem a demanda L /sâo mostra­
dos pela porção da linha inclinada que fica dentro do re­
tângulo pontilhado.
Figura 1.31
Exemplo de Despacho por Dois Geradores
Consideremos agora que as características dcPcusto incremen - 
cal para os dois geradores são do modo que são mostradas 
na figura 1.32. A curva de custo incrementai para a entra- 
da/saída, para a unidade 1 aparece no lado direito e para 
a unidade 2 no lado esquerdo. O preço dos combustíveis e 
as características do custo incrementai dos dois geradores 
vêm a seguir:
C
U
S
TO
 
IN
C
R
E
M
E
N
T
A
L
- 
S 
/M
W
-
CUSTOS INCREMENTAIS DE COMBUSTÍVEL PARA O EXEMPUD DE DESPACHO P/DOIS GERADORES
Figura 1.32
Gerador 1 
Pmin = 80 MW
Pmax = 400 MW
Custo de Produção: F^(P^) = 150+P^(2,00+0,00125 P-^)$/h
Custo Incrementai:
dP n
2,00 + 0,0025 Px
Preço do combustível: 30 centavos/MBtu
$/MWh
Gerador 2 
Pmin = 60 MW
Pmax = 300 MW
Custo de produção: F2 (P2)= 100+P2 (2,3 + 0,0015 P2)
dF (P )
Custo Incrementai: ------- = 2,30 + 0,003 P_
- ^ 2
Preço do Combustível: 32 centavos / MBTU
Consideremos um despacho teste com o gerador 1 
carregando 400 megawatts e o gerador 2 carregando 200 mega 
watts para atender uma carga total de 600 megawatts.Sob es 
tas condições, o custo operacional para o gerador 1 seria 
1150 dólares/hora e para o gerador 2,620 dõlares/hora,para 
um custo total de operação de 1770 dõlares/hora. Neste pon 
to da operação, o custo incrementai para o gerador 1 seria 3 dólares/ 
MW hora e, para o gerador 2, 2 dólares e noventa centavos/MW hora. A- 
gora, desviemos o despacho nos dois geradores para o ponto em que o 
custo incrementai dos dois ê o mesmo. Por meio de grafico ou por 
meios algébricos lineares pode-se determinar que o ponto 
de custo incrementai igual para estes dois geradores, para 
uma carga total de 600 megawatts, ocorre em um custo incre­
mentai de 2,9545 dõlares/megawatt hora.Pai^a este custo in­
crementai de combustível, o gerador 1 teria uma saída de 
381,818* megawatts e o gerador 2, 218,182 megawatts.O des­
vio na programação traz uma redução de 54,1337 dólares/ho­
ra na operação do gerador 1 e um aumento de 53,2230 dólares 
/hora na operação do gerador 2 para um custo líquido de o 
peração de 1.769,0909 dólares por hora.
Nota-se que as economias podem ser vistas no 
grafico da figura 1.32, comparando-se a ãrea achureada no 
plano do gerador n?l com a ãrea achureada no gerador n9 2. 
Enquanto o custo incrementai para operar o gerador n9 1 
for maior que para o gerador n9 2, uma redução na carga no 
gerador 1 e a correspondente elevação desta na unidade 2 , 
vai resultar em uma nítida redução no custo da operação.
* - Precisão de 3 e 4 decimais somente com propósitos didã 
ticos.
A redução torna-se progressivamente menor quando os custos 
incrementais de operação para as duas unidades aproximou- 
se do mesmo valor. No ponto do custo incrementai igual , 
2,9545 dõlares/megawatt hora, uma mudança muito pequena na 
saída de qualquer usina equilibrada por uma mudança corres 
pondente na saída da outra usinavai resultar em nenhuma 
alteração no custo de operação. Assim, o ponto no qual am­
bas as usinas operam com igual custo incrementai e o que ê 
conhecido como um ponto estacionário, no qual pequenas mu­
danças ou pequenas perturbações do despacho sobre o ponto 
de custo incrementai igual, que satisfaz os requerimentos 
da demanda, vão resultar em pequenas mudanças de segunda 
ordem no custo de operação. Desse modo, a inclinação de va 
riação do custo com a perturbação ê zero no ponto de opera 
ção incrementai igual*
Na carga total de 600 megawatts,o custo incrementai 
para os dois geradores carregando a carga combinada de 600 
megawatts, foi 2,9545 dólares por megawatt hora. É interess 
sante notar que se as cargas fossem aumentadas levemente , 
uma boa estimativa de custo adicional para produzir
*- Matematicamente falando, as condições necessárias e su­
ficientes para um ponto extremo, custo mínimo de entrada 
de combustível para alcançar a saída de 600 megawatts, ê 
que as usinas operem em um ponto estacionário ou, neste ca 
so, em um ponto de igual custo incrementai. Isso decorre 
das propriedades de funções convexas objetivas; a soma dos 
custos de entrada para as duas plantas mais uma constante 
arbitraria vezes a restrição linear da demanda formam uma 
função convexa da geração das usinas. Das propriedades das
funções convexas,particularmente o teorema de Kuhn e 
9Tucker , a condição de igual custo incrementai representa as 
condições necessárias e suficientes para um extremo no cus 
to operacional. Se uma curva de entrada-saída falha no tes 
te de convexidade,então,as condições de custo incrementai 
igual seriam necessárias mas não suficientes para estabele 
cer um extremo no custo de operação.
uma carga adicional em excesso de 600 megawatts seria pre­
visível pelo produto da mudança de carga vezes 2,9545 dõla 
res por megawatt hora. Para ilustrar este ponto consideremos 
um aumento de um megawatt na carga total. As condições de 
operação para um mínimo estacionário neste caso mudam a
carga no gerador 1 para 382,3634 megawatts e no gerador 2 
para 218,6365 megawatts. 0 novo custo incrementai neste 
ponto, seria 2,95591 dólares. 0 novo ponto de operação vai 
ter um custo de operação de 1772,0459 dólares. Comparando 
estes resultados ao ponto de operação prévio para 600 mega 
watts, nota-se uma mudança de 2,9550 dólares no custo de o 
peração total por hora. Assim, o custo incrementai no des­
pacho mais econômico tem freqtientemente indicado o preço a 
ser pago pela compra do próximo megawatt hora de energia , 
isto ê, o preço de equilíbrio relativo para gerar esse me­
gawatt hora de energia em um sistema próprio e para com­
prar esse megawatt hora de energia de uma fonte externa.Se 
o preço oferecido pela fonte externa é menor que 2,9545 do 
lares por megawatt hora, seria mais econômico comprar do 
que gerar essa energia. Se, entretanto, o preço externo 
for maior que 2,9545 dólares por megawatt hora, seria mais 
vantajoso gerar este pequeno aumento de energia pelo siste 
ma comprometido.
Vamos recapitular as idéias que foram discutidas. Co­
meçaremos com as comparações de despachos alternativos 
que devem ser feitos na mesma base, isto ê, na mesma carga.
O termo restrição de demanda tem sido aplicado para
esta condição. Em segundo lugar, quando as funções entrada 
/saída para cada usina são convexas, então, a condição ne­
cessária e suficiente para que ocorra o despacho econômico 
é que o custo incrementai para cada saída da usina seja o- 
brigatoriamente o mesmo, considerando que a soma das saí­
das das usinas iguale a geração desejada. Em terceiro lu­
gar, a mudança no custo da operação devido a mudanças na 
geração desejada e muito aproximada pelo produto do custo 
incrementai no despacho mais econômico vezes a mudança na 
geração desejada em megawatt hora. Por convenção, o custo 
adicional no ponto estacionário e denominado, X , assiiry a 
condição para o valor estacionário ou despacho econômico 
para o sistema c duas máquinas pode ser expressada como 
mostrado ia equa io 1.300
dF0 (P9)
— = X ( 1.300 )*
dP2
Geração desejada = DG ( 1.310 )
A equação 1.300 e considerada como a equação de co­
ordenação e a equação 1.310 como a restrição de demanda pa 
ra a condição de despacho econômico ignorando as perdas da 
transmissão.
Seção 1.4 - Despacho Econômico - Efeito das Restrições de 
Carga do Gerador
• Suponhamos que a geração desejada tenha sido aumentada 
para 650 MW. A inspeção da figura 1.32 vai revelar que um 
despacho incrementai igual,na geração desejada de 650 MW , 
não ê possível sem violar o limite superior de carregamen­
to, 400 MW, no primeiro gerador.
Para ilustrar este ponto, consideremos o que acontece 
ao carregamento mais econômico nos geradores 1 e 2 enquan­
* - Condição para um valor estacionário para geradores que 
não estão bloqueados em um limite de carregamento.
dF1 (P1)
dPT~
P1 + P2
to a geração desejada ê modificada de 600 para 650 MW; co 
meçemos o estudo no ponto de geração desejada de 600 MW. 
Uma mudança de 0,01 dólares/ MW hora no custo incrementai 
viria corresponder a aumentos de carga de 0,01/0,0025 ou 
4 MW no gerador 1 e, 0,01/0,003 ou 3,333 MW no gerador 2 
para um aumento de 7,333 MW no sistema de geração. Assim, 
para pequenas mudanças na geração desejada nota-se que o 
gerador numero 1 deve suprir 4/7,333 ou 54,54% da mudança 
desejada, e que o gerador numero 2 deve elevar 3,333/7,333 
ou 45,45%. Desse modo, notamos que a mudança no custo in­
crementai pela mudança de 1 MW no sistema, de geração dese 
jada ê 0,01/7,333 ou 0,0013636 dõlares/MWh /MW.
Estas mudanças incrementais estão diretamente rela 
cionadas com as inclinações das curvas de custo incremen­
tai no despacho econômico de referencia ou "ponto base" pa 
ra cada unidade geradora. Assim, o fator de participação e 
conômica para o gerador 1 pode ser determinado como se se­
gue, dada a referencia ou ponto base.
Passo 1; encontre as mudanças do custo incremen - 
tal para aumentos pequenos 6P^ , ôP^ nas saídas dos gerado
res e coordene os aumentos <$P̂ , SP^/ tal que as mudanças
de custo incrementai sejam iguais:
(1.400)
Agora encontre a mudança correspondente na geração desejada 
do sistema:
<5 DG = 6P1 + 6P2
d Fl<pl)
dP, 2
Então, determine a mudança no custo incrementai por mudança 
de 1 MW na geração desejada:
a (Pj) d V P2>
dP 2
(1.420)
= 1/ (1/0,0025 + 1/0,003) = 1/733= 0,0013636 $/MWh/MW
(1.4^1)
Note que a segunda derivada do custo de entrada é uma cons^ 
tante nesse exemplo.
Passo 2: encontre a participação porcentual para ca­
da unidade participante:
í ! i
6DG x 1 0 0 (1.430)
. dP.
x 1 0 0
(1.440)
( -Q--Q0 2 5 ) ( 0,001364 ) x 100 = 54,54% (1.441)
62 i
6DG
x 1 0 0 (1.450)
(1.460)
= ( ) ( 0,001364 ) x 100 = 45,45% (1.461)0,003
Agora,comece o exercício com a geração desejada no 
sistema em 600 MW, tal que a referência ou ponto ba-
se para o despacho econômico de geração e 318,818MW para o 
gerador n9 1 e 218,181 MW para o gerador n9 2.
Utilizando os fatores de participação econômica jã 
determinados, vamos ver quais seriam os carregamentos das 
unidades para os vários níveis do sistema, de geração dese 
j ada.
TABELA I - Pontos Base de Geração
Geração Mudança na Alocação da mudança Ponto base da Geração
Desejada geração Econanica
desejada Gerador Gerador Gerador Gerador
1 2 1 2
MW MW m MW m MW
600 0 0 0 381,818 218,181
610 + 1 0 5,454 4,545 387,272 222,726
620 + 2 0 10,909 9,090 392,727 227,271
630 +30 16,363 13,535 398,181 231,716
633,333 +33,333 18,181 15,1515 399,999 233,333
640 40 18,182 21,818 400,00 240
650 50 18,182 31,818 400,00 250
Note-se que,quando a geração desejada no sistema al­
cança 633,33 MW,o carregamento econômico no gerador 1 igua 
la seu limite de carregamento de 400 MW. Qualquer aumento 
na geração desejada no sistema além de 633,333 MW teria 
que ser carregado pelo gerador n92. No nível de geração de 
sejada acima de 633,333 MW, o limite superior de carrega 
mento no gerador n91 torna-se uma " restrição ativa".Como 
resultado, o custo incrementai para o gerador n91 não ê 
mais igual a A, o"custo incrementai do sistema", mas ê in­
ferior a ele. Consideremos a condição na geração desejada de 
650 MW, 400 MW no gerador 1 e 250 MW na unidade 2 como mos 
tra a Tabela I. O custo incrementai para o gerador n91 vai
ser 3,00 dõlares/MW hora. Neste nível de geração desejada, 
o custo incrementai do sistema,X, vai ser 3,05 dólares/MW 
hora,jã que qualquer mudança pequena na geração desejada 
precisa ser carregada pelo gerador n92.
Sendo assim, a condição custo incrementai igual para 
despacho ótimo mantem-se somente para unidades geradoras 
livres para serem despachadas, isto ê, unidades geradoras 
que não estão bloqueadas em um limite de carregamento. Co 
mo resultado, precisamos aumentar a condição para o valor 
estacionário como ê dado na equação 1.300 pelas seguintes 
condições, para geradores bloqueados nos limites de carre 
gamento superior e inferior:
Condições para Despacho Econômico, perdas de transmis 
são negligenciadas:
1) Para geradores "j” que não estão no limite de car­
regamento superior ou inferior:
d F ( P ^
dP .D
(1.470)
2) Para geradores "u" que estão bloqueados no limite 
de carregamento superior: P^ = Pmaxu
(1.471)
dPu
3) Para geradores "a" que estão bloqueados no limite 
de carregamento inferior: P^ = Pmin^
dF*(p«>
~ is\ ~
> X (1.472)
Seção 1.5 - Despacho Econômico - Perdas Incrementais de 
Transmissão
A representação de perdas de transmissão torna 
-se significante para o despacho quando a razão da energia
suprida em um barramento gerador, para a energia recebida 
em um barramento específico de carga, difere consideravel­
mente para os vários barramentos geradores na área de des­
pacho . Consideremos um estudo do fluxo de energia de transfe­
rência de pequenos aumentos de energia através de uma rede 
de transmissão. As transferências devem ser feitas com to­
das as outras cargas e as potências dos geradores mantidas 
constantes, assim como todas as tensões dos geradores que 
também devem ser mantidas constantes. Vamos considerar ôP^
como mudança no gerador "i" para entregar 6R para o barras
mento S . Em geral, a razão ôRg/ 6P^ vai ser menor que a
unidade se a transferência incrementai envolver um aumento
nas perdas do sistema,e vai ser maior que a unidade se a
transferência resultar em uma diminuição nas perdas do sis;
tema. Agora, façamos a mudança nas perdas do sistema para
a transferência incrementai ser <5P_ , tal que a estimativa
Lis
para a energia suprida, a recebida e o custo seja dada como:
6 P. = ô P. l L. + 6 R ( 1.500 )is s
e
<5 P.L.
1 is ( 1.501 )
ô Rs
No limite, quando a transferência de energia torna-se arbitraria 
mente pequena,a relação 6 Rg / 6 toma-se:
ou para primeira ordem: 
6 R = G. 6P.Cf 1 C 1
( 1.502 )
Agora, suponhamos que o custo incrementai do barramento pa­
ra energia suprida pelo barramento gerador "i" seja Cl.
A notação (1 para indicar o custo incrementai de barramento no 
barramento "i" ê utilizada para dar meios para distinguir entre o cus­
to incrementai do barramento e o custo incrementai da unidade geradora, 
dF ~Vai ser considerado, a nao ser que se diga o contrario, que as u-* 
nidades geradoras conectadas ao mesmo barramento elétrico vão ser to­
das carregadas ao mesmo custo incrementai. Assim, o custo incrementai 
do barramento para suprir o próximo pequeno aumento na energia do bar­
ramento "i" ê Cl. Este aumento vai ser dividido entre as unidades ge­
radoras conectadas ao barramento "i", tal que o despacho incrementai i 
gual seja mantido entre essas unidades livres para serem despachadas.O 
custo de suprir <5Rg para o barramento s do barramento gerador "i" seria:
ô R 6 R
6 Custo. -C. IP. = C. ( 1.503 )
I S
e o custo incrementai de potência recebida no barramento s seria
( 1.504 )(Cs’i
« y i 6 R
<S Custo.
-1 = C./G.r is
Agora suponhamos que outro barramento, "j” também possa suprir po­
tência para "s". O custo incrementai de suprir energia para s de "j"é
(C ) . Se (C ) e (C ) são iguais, então, os barramentos geradores
j S j S i
"i" e "j" estão coordenados com relação à entrega de energia para o 
barramento "s".
Por comparação de (C ) e (C ) , a decisão pode ser feita de
s i s j
modo a determinar qual o gerador que deve suprir o próximo aumento 
na energia para o barramento s.
As unidades geradoras no barramento "i" e barramento "j" estão
coordenadas se em cada barramento o custo incrementai de produção da
unidade, dF/^, ê igual ao custo incrementai do barramento, C, e se
(C ) e (C ) são iguais ao custo incrementai no barramento, C :s . s . s
dFPara cada unidade no barramento "i", livre para despacho, =(y 
e para cada barramento
C./ G. ' = C./ G. = C 1 is j js s (. 1.5Q5 l
Neste ponto podemos afirmar uma condição geral para operações 
coordenadas de um conjunto de unidades geradoras com curvas convexas 
de entrada - salda. Uma área de despacho esta operando em um despacho 
econcmico se , e somente se, o custo de entrega de um aumento infini- 
tesimal de energia para qualquer barramento selecionado arbitrariamen 
te na ãrea é o mesmo para qualquer unidade geradora na área livre a 
ser despachada.Notemos que 1.505 é verdadeira para qualquer barramen­
to "s" e, portanto, deve ser verdadeira para todos os barramentos.
A recíproca de G^g ê frequentemente designada o fator de penali
dade, PF. , com referencia ao barramento s. rs
Unidade : $ x PF. = CdP is s
Barramento : PF. C. = C ( 1.5Q6 )rs í s
Modelos de perda são convenientemente desenvolvidos para presun 
ções especificas com relação às tensões do barramento e fatores de po 
tência. O modelo de perda de " coeficiente B" faz a presunção de " um
centro de carga hipotético" e os fatores de penalidade estão relacio­
nados com esse centro de carga hipotético. Cem esse modelo de perda , 
o custo no centro de carga hipotético sob as condições de operação 
coordenada ê X sem sub-índice, tal que a equação coordenada para uma 
unidade no barramento i torna-se
PF dFi dP. 1
X ( 1.507 )
onde
PF.í 1/ (1-
8 PL 
8 P.l
( 1.508 )
Seção 1.6 - Efeitos das Perdas de Transmissão no Despacho 
Econômico - Exemplo Numérico
*2*V>
© :
v
1
■ 100 millw* j
)— S =0,014 p.U. pa 
100 MVA bo— { ■ 4
©
o»
SISTEMA SIMPLES 290 KV
«2
Figura 1.61
As equações coordenadas para este sistema são
dF, 9 P,__± + p -- —dPx 2 8 Z>± = CL
^2
dP0
( 1.601 )
= CL
Não considerando o efeito de carregamento, as perdas da linha de 
transmissão são:
PL = |I| X R = P1 - %
Eí
2 „ 2 2 P1 + Q1x R = -- i-,--,— x "R
2 2 , vao geralmente ser muito menores que 6,0011
da por unidade é aproximadamente:
PT = R P,2 = 0,014 P 2li X ±
= 1,0, a per
( 1.602 )
onde P^ é a entrada para o barramento L por unidade, PL sãc 
as perdas por unidade e
9 P 9 P
■5-=^ = ---- = 0,028 P. ( 1.603 )
1 a p x
i o aumento das perdas de transmissão por unidade de inje­
ção de potência no barramento 1 ( uma quantidade sem dimen
são ). Com as características do gerador, como na Seção 1.3, 
páginas 18 e 19, as equações (1.601) tornam-se:
2.0 + 0,0025 PL + C2 (0,028 x P ^ = C2
( 1.604 )
2,3 + 0,003 P 2 = C 2
Para o gerador 1:
2.0 + 0,0025 Px
c 2= ------------—
1 - 0,028 Px
Assim, as equações coordenadas são:
2,0 + 0,0025 Pĵ
— - ç,
- 0,028 P ^
C
U
ST
O
 
IN
C
R
E
M
E
N
TA
L 
D
E 
E
N
E
R
G
IA
 -
 S
 /
( 
M
W
h
/M
W
)
2,3 + 0,003 P2 = c2 ( 1.605 )
A figura 1.62 mostra o custo incrementai (C p a r a a potên
cia suprida para a carga pelos geradores 1 e 2. A linha 
pontilhada mostra o custo incrementai para o gerador 1 com 
perdas de transmissão não consideradas.
É aparente que com perdas de transmissão incluídas se 
ria econômico desviar a geração da unidade 1 para a unidade 
menos eficiente 2 que estã mais próxima da carga.
P - s a íd a l íq u id a d o GERADOR — MW 
CUSTOS INCREMENTAIS PARA UM SISTEMA DE DOIS GERADORES
Figura 1.62
A figura 1.63 mostra o despacho econômico como uma função 
da carga total. O despacho obtido pelas perdas de transmi£
D
ES
P
A
C
H
O
S
 
P.E 
P~
 
-
 
M
W
são não consideradas ê mostrado para comparação. ( A figura 
1.63 ê obtida diretamente da figura 1.62 projetando e
Bjpde C igual versus a carga L = P^ *+ p^ - 0,014 P1 x 1Ò0.
Por exemplo, o despacho econômico para uma carga total de 
500 MW ê resumido abaixo. A economia no custo dos combustí. 
veis, pela inclusão das perdas de transmissão na equação 
coordenada, ê também avaliada.
DESPACHO ECONÔMICO COMO FUNÇÃO DO NÍVEL DA CARGA
Figura 1.63
1 - Perdas de Transmissão não Consideradas 
Px = 335 MW
P2 = 181 MW
L = pi + p2 " 0,014 x x 100 = 500,2885 ~ 500 MW 
Custo de Produção:
F1 = 150 + 335 ( 2 + 0,00125 x 335 ) = 960,30 $/h
F2 = 100 + 181 ( 2,3 + 0,0015 x 181 ) = 565,44 $/h
F1 + F2 = 1.525,74 $/h
2 - Perdas de Transmissão Incluídas
Px = 290 MW
P2 = 222 MW
L = p! + p2 ~ 0,014 P 2 x 100 = 500,2260 ~ 500 MW
Custo de Produção:
Fx = 150 + 290(2 + 0,00125 x 290) = 835,13 $/h 
F2 = 100 + 222(2,3 + 0,0015 x 222) = 684,52 $/h 
F1 + F2 = 1.519,65 $/h
As economias pela inclusão das perdas de transmissão 
são 1.525,74-( 1519,65 + 0,17 ) = $ 5,92/hora ou aproxima 
damente 0,4 %. ( 0,17 dólares compensam para a diferença 
de fração na carga suprida nos dois casos ).
As equações (1.602) e (1.603) podem ser reafirmadas 
mais geralmente:
= B11
3 P 
3""p
L
1
a p
*-FL - 2Bn 5i
onde representa os dados do sistema, neste caso a re­
sistência da linha. A derivação de uma formula aproximada 
para perdas incrementais para um sistema geral com multi-
barramento ê oferecida no Apêndice II. A fórmula tem a for 
ma
nPL = Z i=l
n
2 P . P. B ., k=l i k ík
n
.I, P.B. + B i=l 1 ío oo ( 1.606 )
3PL
9Pi
= 2B..P . +li 1 2? B., P, + B.k=l xk k 10 
k^ i
2Ã i Bikpk < 1-607 >
onde P^P^. s^° Potências de barramento e ê um elemento
da assim chamada Matriz dos coeficientes B introduzida por 
Kron em 1951. ( Referência 13 ). O cálculo eficiente dos
demais elementos da matriz B ê o oferecido na referência
16.
As equações coordenadas para cada unidade de geração, 
"iu", no barramento i aparecem como:
dF
dPiu
X ( 1.608 )
onde
unidade n
P. = 2*4 n ( 1.609 )Í JLU ,unidade 1 no barramento í
3Pte, substituindo o termo da perda incrementai — ±i p0r 1607,
api
dF
dP. + XIU
Seção 1.7
(2J i Bil A + Bl°’ * * ' 1,6101
- Solução da Equação de Coordenação - Métodos de 
Gauss-Seidel
Suponhamos que alguém procura meios para solucio
nar o sistema de equações coordenadas 1.610 ilustradas na 
seçlío 1.5 para um sistema de n - usinas com um modelo de 
perda de transmissão por coeficiente B e com curvas de cus 
to incrementai como ilustrados na figura 1.71.
As equações de custo - saída correspondendo aos segmen 
tos da taxa incrementai de calor na figura 1.71 são ilu£ 
tradas nas equações 1.700 e 1.701 para um caso de duas plan 
tas. As equações coordenadas são mostradas nas equações 1.703- 
1.706. Notemos que a parte do custo incrementai deste sistema 
de equações foi modelada por segmentos lineares, onde os coe 
ficientes dos termos lineares vão depender do nível da ope 
ração das unidades geradoras. Com o propõsito de ilustrar, 
o sistema vai ser composto de duas usinas geradoras com u- 
ma unidade geradora em cada usina.
F1<P1> ■ F10 + F11P1 + \ F12p J ( 1.700 )
F2(P2) = F20 + F21P2 + | F22P2 ( 1.701 )
Consideremos uma formula de perda associada com as duas usinas
PL ' B11P? + + B22P2 ( 1.702 )
A equação coordenada torna-se:
F11 + F12F1 + 2 X <B11P1 + B12P2> = X ( 1.703 )
F21 + F22F2 + 2 a B̂12P1 + B22P2* = A ( 1.704 )
Figura 1.71
Remanejando 1.703 e 1.704 para desenvolver ex­
pressões explícitas para de 1.703/e para P2 de 1.704:
te com a saída da unidade geradora ê representada pela se­
gunda derivada dos termos de perda quadrãticos e pela incidi 
nação da curva de custo incrementai. A curva de custo incre 
mental mais os termos lineares em perda, na realidade,for­
mam um sistema de equações algébricas lineares por partes. 
O método de solução para o despacho que satisfaz as equações 
coordenadas e que satisfaz as demandas da carga precisa 
ser um método que possa tratar a solução, por partes, de e 
quações lineares.
O método de Gauss - Seidel ê um método que tem sido 
utilizado com sucesso para a solução das equações coordena 
das. 0 procedimento computacional ê aplicado para a 
áolução de um despacho econômico, como ê ilustrado na figu­
ra 1.72. Em particular, essa discussão centraliza-se em tor 
no desta parte do procedimento computacional chamada a So­
lução Gauss - Seidel das Equações Coordenadas. Vamos con­
siderar que um valor tenha sido designado para X. Gostaria 
mos agora de encontrar os valores das saídas dos geradores 
que vão satisfazer o sistema de equações lineares coordena 
das 1.705-6. A formula de perda para o sistema de transmiss 
são ê dada na equação 1.707.
1.705 )
1.706 )
A parte da equação coordenada que varia linearmen
PL = 0,0000677P^ + 0,0000332P1P2 + 0,0000638P2
( 1.707 )
A determinação dessa formula de perda ê dada no Apêndice 
III.
Quando aplicado ao despacho econôn.Tco/o método iterati- 
vo de Gauss - Seidel determina uma variável de potência de 
cada vez. Cada equação coordenada é utilizada para solucio 
nar a potência na usina para a qual a equação coordenada 
se aplica. Isto assegura um sistema de equações com termos 
mütuos lineares positivos para potência; isso ê um requi. 
sito essencial na aplicação do método de Gauss - Seidel.
Para iniciar a resolução vamos encontrar, sucessiva - 
mente, novos valores de e P2 considerando que as condi­
ções iniciais são uma afirmação arbitraria P^ =0, P^ = 0.
A equação 1.705 antecipa a utilização de Gauss - Seidel:to 
dos os coeficientes de P^ têm sido combinados em um termo
que aparece no lado esquerdo da equação. Todas as outras 
potências, nesse caso P2, foram colocadas no lado direito;
todas as variáveis no lado direito vão ser tomadas como os 
valores iniciais ou presumidos. Um valor para P^ ê agora 
encontrado, o qual satisfaz a equação 1.705 com P2 = 0. Este 
valor de P^ ê agora substituído de volta na equação coorde
nada 1.706,que foi resolvida para P^ cm termos de P^. Uma 
solução para P^ ê procurada, de modo que satisfaça a equa­
ção 1.706, que ê a equação coordenada para a usina 2. A 
primeira iteração de Gauss - Seidel esta agora completa.
Com o novo valor de P2,o procedimento ê repetido novamente.
O procedimento ê continuado atê que nenhuma mudança sensí­
vel ocorra nos valores sucessivos para P^ ou P2 -
Saída de erro
Figura 1.72
Estudo Típico do Algoritmo de Despacho Econômico
O procedimento ê convergente para^problemas de despa 
cho econômico, desde que os segmentos de curva de custea in 
cremental não tenham partes planas. As curvas de custo in 
cremental que têm passos planos requerem métodos de uni­
formização tais como o ajuste exponencial em cada nova po 
tência estimada para assegurar estabilidade. 0 seguinte 
exemplo ilustra o calculo manual de uma repetição para e
P2,utilizando ò método de Gauss - Seidel.
Consideremos um valor de custo incrementai que tenha si­
do selecionado como 2,5477 dôlares/MW h . Notamos que este 
valor foi obtido no decorrer de um despacho das usinas 1 
e 2 para alcançar a carga de 500MW dado o preço do combus­
tível de 0,25 $/MBTT para a unidade 1 e de 0,30 Í/MBTU para a uni­
dade 2. Vamos considerar o carregamento mínimo para as tentativas i- 
niciais de P^, ,P£
P1 = 80 MW P2 = 60 MW
Pára a usina 1, 1.705 toma a seguinte forma:
(0,25 I12 + (2) (2,5477) (0,0000677))PX = 2,5477 - 0,25 I £
- (2) (2,5477) ( 0,0000332 ) (60)
Nao podemos, explicitamente, assinalar valores pa­
segmento da curva da taxa incrementai de calor vai requerer 
a solução para P^. Para facilitar a solução, dividir pelo 
custo unitário do combustível, 0,25:
Para selecionar o segmento correto da curva da taxa 
de calor da figura 3.11 rearranjar 1.708 na forma
ra I12/ *1 1 ' enquanto ainda não estamos seguros de qual
(I12 + 0,00138)Px 10,1503 - I ( 1.708 )
= 10,1503 - 0,00138 P
Tentar 350 <_ £ 375 como o intervalo. Para este intervalo,
os coeficientes para1 ^ e I ilustrados na figura 1.71 
são
I11 = 9'3429
I12 = (11,4571 - 9,3429)/25 = 0,0846
dlj/ dPx= 9,3429 + 0,0846 (P - 350)
Substituindo esses valores em 1.708
0,0846(P^ - 350) + 0,00138 Px = 10,1503 - 9,3429
P1 - 350 = (0,8074 - 0,00138 x 350)/ 0,08598 = 3,78 
ou = 353,78 MW. Desde que este valor para P^está dentro
dos limites, aceitamos a solução.
Notar que o valor de I^2 determinado e aplicado é re­
ferido ao lado esquerdo do intervalo 350 £ P-̂ £ 375.
dl
dP
1
1
9,3429 + 0,0846(P1 - 350)
Agora, substituir este valor de P^ na equação 1.706.
Para facilitar os parenteses do intervalo para P2, réescre
ver 1.706 como: 
dl0
0,30 + 2 (2,5477) (0,0000638)P2 = 2,5477 - 2(2,5477)
aP2 (0,0000332) (353,78)
ou
dl0
-s— =• + 0,001083 P0 = 8,300 (1.709)dP2 2
Supor que 150 <_ P2 £ 200 e obter da figura. 1.71
corrigir a saída dos geradores para que os mesmos atendam 
à carga. Algumas vezes, valores arbitrários são considerados e, en­
tão, a correção é determinada pela interpolação ou extrapolação line­
ar, dependendo de quão grande foi o valor arbitrado comparado com o 
erro final, Esse método tem sido utilizado com sucesso em programas de 
despacho econômico; despachos econômicos sucessivos dão um 
meio de projetar a mudança na saída versus mudança no cus­
to incrementai do sistema. A curva de saída versus o custo 
incrementai dá os meios para a correção linear de A. Veja 
CORR ilustrado na figura 1.72.
Retornando à figura 1.72, nota-se que um laço duplo for 
ma o cálculo do despacho econômico total. O laço interno ê 
a iteração de Gauss - Seidel para resolver as equações co­
ordenadas para valores específicos de custos incrementais. 
0 laço externo varia o custo incrementai para satisfazer a 
demanda. Uma vez que esse custo incrementai apropriado te­
nha sido selecionado, então satisfaz a demanda e pode ser 
resumido como o despacho mais econômico para satisfazer as 
demandas de potência. Notemos que o cálculo da demanda vai en 
volver a soma das saídas do gerador, a diminuição das per­
das para aquelas saídas dos geradores e a comparação de 
carga líquida entregue com a carga desejada. Dado este pon 
to básico ou ponto de referência para o despacho, ê possí­
vel, como ê ilustrado na seção 1.4, predizer à primeira or 
dem,o que uma mudança pequena na demanda vai requerer do 
despacho econômico. A taxa da mudança na saída do gerador 
com relação a demanda tem sido designada como " fator de 
participação econômica". A utilização do cálculo do ponto 
base e do fator de participação econômica então permite a 
investigação do efeito no despacho de pequenas mudanças na 
demanda. Para aplicações on-line,o método do ponto base e 
de participação dá um meio de predizer, para a primeira or­
dem, ccmo o despacho do sistema deve mudar para acompanhar as 
mudanças na demanda do sistema.
Seção 1.8 ~ Aplicações On-Line
A discussão na seção 1.7 está relacionada com a solu-
ção das equações coordenadas para cargas específicas. Em #uma situação em linha ou operante, a carga ê raramente medi. 
da e não pode ser inferida diretamente de medidas da gera­
ção sobre o sistema. Conseqüentemente, um enfoque alterna­
tivo ê utilizado para gerar despachos econômicos. Desde 
que as perdas representam uma parte pequena da geração to­
tal sobre um sistema, ê razoável utilizar a geração total 
do sistema como um " numero da geração desejada". Alêm disi 
to, para aplicações em linha,o despacho ê realizado para u- 
ma geração desejada igual à soma da geração real no siste­
ma, mais o requisito da área,como ê ilustrado na equação 
].800.
Despacho para a geração desejada:
N
DG = 7 PGA. + A.R. MW ( 1.800 )
±=i 1
Requisito da Ãrea:
AR = IE - KfAf MW ( 1.801 )
Erro de interconexão:
IE = Intercâmbio Líquido Programado - Intercâmbio 
Real Líquido
= Distorção de Freqüência MW/0,1 Hz ( 1.802 )
Af = Freqüência Real - Freqüência Desejada
Para despachar a geração desejada empreguemos o modelo total 
de carga requerida nas equações coordenadas, como ê ilustra 
do na equação 1.803.
a
dl .. __1
3 dP. 
3
+ X ( 1.803 )
O típico algoritmo de Despacho Econômico para apli­
cações em linha ê ilustrado na figura 1.81. Uma técnica 
discreta é ilustrada para correções estimativas para o cus
to incrementai sat ■ fazer a geração desejada. Sobre um 
despacho dado no custo incrementai X, um novo despacho ê 
feito em X + AX, onde AX é escolhido para dar um aumen­
to na creração desejada com variação de 0,5% a 2%. Um modo 
especialmente -simples ê manter a tabela de custa incremen­
tai passado bem como de geração desejada. Entãp,o fator de 
correção ê tomado como a razão da mudança na geração dese­
jada dividida pela mudança no custo incrementai,como ilus­
trado na figura 1.804.
"CORR" ê o termo de "sensibilidade" a ser utilizado como 
feed-back multiplicador para o procedimento repetitivo.
Consideremos a freqüência com que os despachos econòimi 
cos são requeridos nas aplicações em linha: Não é necessá­
rio, em uma base de segundo em segundo,realizar continuamen 
te despachos econômicos. É preferível que os despachos eco 
nômicos sejam preparados cada 5 a 15 minutos de acordo com 
o ponto base e fatores de participação econômica, e estes 
fatores utilizados para projetar o despacho para : .ter o 
sistema em primeira ordem na base de operação econômica.
Fatores de participação econômica podem ser determi­
nados pela mesma técnica que a utilizada para corrigir o 
custo incrementai para atender a geração desejada. Por exem­
plo, um desvio no custo incrementai, correspondente a uma mudan 
ça estimada na geração desejada de, digamos, dois por cento, 
ê utilizado para desenvolver desvios de geração para todas 
as unidades geradoras livres para participar:
CORR = ADG/AX ( 1.804 )
ÔX = 0,02 x DG/CORR ( 1.805 )
Despachos são formados por^reduções 
X- = X - ôX ( 1.806 )
e aumentos
X = X + 6X
no custo incrementai*
( 1.807 )
i 1 (jura 1.81
Despacho econômico típico para aplicações em linha
Vamos considerar 6P. eD-
potência de saída individual 
mudança no custo incrementai
respectivamente. Consideremos
ôPj+ como sendo os desvios na
do gerador correspondendo à 
de X para X_ e de X para X+ ,
<5 DG_ = I<5P ■
L 3 " ( 1.808 )
6DG+ = £<SP .
L 1 + ( 1.809 )
Define-se fatores de participação econômica como a 
proporção de mudança da unidade geradora com 6X em relação 
à mudança total na geração desejada.
epfj_ = 6Pj _/6DG_ ( 1.810 )
e?fj+ = ÔPj+/ÔDG+ ( 1.811 )
Mudanças positivas e negativas nos fatores de partici 
pação econômica são introduzidas para permitir o reconhecí 
mento de tais efeitos como limites de carregamento da uni­
dade geradora e mudanças na inclinação das curvas das taxas 
incrementais de calor.
Vamos ver como o fator de participação econômica ê u- 
tilizado. Suponhamos que, como resultado de um despacho e- 
conômico,um conjunto de valores de geração ê encontrado e 
tem uma soma igual à geração desejada, e satisfaz indiv.i 
dualmente as equações coordenadas para um custo incrementai 
especificado. Suponhamos que o calculo do despacho econômico 
foi realizado com alguns minutos de antecedência. No tempo 
atual, a geração total terá se desviado ou para cima ou pa­
ra baixo dos valores desejados no momento do despacho econômico. Se o 
desvio na geração desejada é pequeno, então, o desvio na geração indi­
vidual da unidade pode ser previsto pela utilização dos fatores de par
ticipeição econômica. Isto ê, os delta P são dados na equa 
ção 1.812. A nova geração,por unidade,desejada ê,então, a 
soma dos desvios na geração, mais a antiga geração no ponto ba­
se estabelecida pelo despacho econômico, como ê ilustrado 
na equação 1.813.
AP . = 1
P . = 1
epf±_ ADG
epfi+ -ADG
Pi base + APi
(ADG< 0) 
(ADG> 0) (1.812)
(1.813)
A figura 1.81 dã um resumo dos passos contidos 
em um programa de despacho econômico em linha para alcançar 
os pontos base e os fatores de participação econômica; notemos, 
na parte superior do diagrama,que este programa é freqüen- 
temente iniciado por um lapso de tempo ou por uma mudança 
degeração, ou de acordo com as requisições do despachante.
0 primeiro passo ê retificar a geração histórica e possi­
velmente as leituras em megawatt da interconexão, para for 
mar valores aplicáveis ao pequeno intervalo de tempo adian 
te. Produtos de termos de perda envolvendo valores fixos 
de geração e de elos, que não se espera variarem no 
próximo período, são então formados de uma sõ vez e colo­
cados a parte. A geração desejada é formada e o custo incre 
mental ê atualizado a partir do último valor obtido,no de_s 
pacho econômico anterior. Então,os limites permitidos nas 
mudanças do carregamento para a geração,com controle basea 
do no intervalo de tempo aplicável, são estabelecidos. É im 
portante reconhecer este ponto, tal que a geração por com­
bustão de material fóssil, que sõ pode mover 1 a 3% por mi. 
nuto, não seja convocada para mover nada além do permitido 
durante o próximo intervalo de tempo, entre sucessivos d e s _ 
pachos econômicos. As equações coordenadas são agora resol 
vidas para os pontos base de geração, para o custo incremen 
tal especificado, pelos métodos de Gauss - Seidel. Esta i- 
teração ê utilizada até que a previsão da geração não mude 
sensivelmente de uma iteração de Gauss - Seidel para a prô
xima.
A seguir,o erro ou diferença entre a geração deter 
minada para o custo incrementai dado e a geração desejada 
é testado para verificar se um despacho satisfatório jãfoi 
alcançado. Se isso não ocorrer,o custo incrementai ê ajus­
tado baseado no fator de correção CORR e no erro existente. 
Uma vez que o erro esteja dentro da tolerância, os valores 
de geração determinados pelas equações coordenadas são as­
sinalados como pontos base e os fatores de participação e- 
conômica então são determinados para cada unidade sob con­
trole .
Deve ser evidente que o total do calculo necessá­
rio para determinar a geração unitária desejada para acom­
panhar mudanças na carga, em uma base de segundo em segun­
do, ê mais simples de realizar do que seria uma se­
rie de despachos econômicos. A justificativa para esta 
conclusão resulta da linearização das equações coordenadas 
sobre um dado ponto base de operação. Assim, a técnica ê 
restrita a relativamente pequenas mudanças na geração dese 
jada, usualmente da ordem de 1 a 3%. Na seção 1.4 foi iluŝ 
trado um exemplo em que o intervalo de aplicação de fatores 
de participação cobria uma porção substancial do real in­
tervalo de carregamento das unidades de geração. Isto ocor 
re porque a curva de custo incrementai para cada unidade e 
ra uma linha reta. Curvas segmentadas e limites de carrega 
mento das unidades servem para encurtar o intervalo de apli_ 
cabilidade dos fatores de participação econômica.
Consideremos que o resultado de um despacho em linha 
dos dois geradores, exemplificados na seção 1.7,ê como ê da
na tabela que vem a seguir •
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) CUSTO 1/PF
1 80,0 400,0 353,625 830,606 0,946864
2 60,0 300,0 158,292 467,216 0,968062
TOTAL = 511,917 MW. CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA=2,547746
Suponhamos,a seguir, que os despachos econômicos a- 
dicionais foram feitos em A = 2,490 e X = 2,6 06 dõlares/MWh, 
dando respectivamente
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) iCUSTO l/PF
1 80,0 4 00/0 356,159 836,788 0,946258
2 60,0 300,0 166,166 486,848 0,966970
TOTAL = 522,325 MW. CUSTO INCEEMENTAL DO SISTEMA= 2,606000
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) CUSTO - l/PF
1 80,0 400,00 351,110 924,605 0,947463
2 60,0 300,00 150,467 448,125 0,969142
TOTAL = 501,577 MW .CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA = 2,490000
Dos despachos adicionais temos os seguintes fatores de par
ticipaçao
ePfi+ = 0,24346 ePf!_ = 0,24323
epf2+ = 0,75653 ePf2- = 0,75676
Pbase-^= 353,625 MW
Pbase2= 158,292 MW
Agora, suponhamos a geração desejada do sistema
da da soma de Pbase^ + Pbase^ = 511,917 para 532,708 
P1 = (0,24346) (20,791) + 353,625 = 358,687 
P2 = (0,75653) (20,791) + 158,292 = 174,021 
Um despacho econômico para esta geração desejada dà
ria
V 1 = 358,689 
P2 = 174,019
Seção 1.9 - Resumo de Notação e Relações Oteis
Entrada - Saída:
Saída P MW
Entrada I(P) MBTU/h
Exemplo: Função Quadrãtica Simples
I(P) = Aq + AXP + \ A2 P2
Taxa de Calor:
HR = I(P)/ (1.10)
Exemplo: Função Quadrãtica Simples 
HR = Aq/P + A1 + \ A2P
A
A Taxa de Calor, Mínima em = 0 = - —j + 1/2 A^ , desde
que o ponto de inclinação zero fique dentro do intervalo
de carregamento permitido.
Taxa Incrementai de Calor:
Taxa Incrementai de Calor = ^ ̂ (1.11)
dP
Exemplo: — = A, + A^P 
dP
Custo de Produção:
F(P) = Preço do combustível x Taxa de Entrada 
= a x I (P)
Exemplo: F(P)= Preço do Combustível x 
x (A0 + AlP . i A 2 P Í
(1 . 12)
Custo Incrementai:
dF(P) 
dPCusto Incrementai: ■■ = Preço do Combustível x
d K P ) = 
x dP c
Exemplo: = a x (A^ + a 2P)
Custo Incrementai do Barramento: C
(1.14)
Equações Coordenadas sem Perdas de Transmissão:
Para unidades de geração livres para programação:
dF . (P .)— 3—— 3— = xdP.
3
(1.47)
Para unidades de geração bloqueadas no limite de carrega­
mento superior
dF (P )
— %■■■ — < A : P = PmaxdP ' u uu
(1.48)
Para unidades de geração bloqueadas no limite de carrega­
mento inferior
dEV EV
dP „ > A; P^ = Pmin£ (1.49)
Equações coordenadas com perdas de transmissão
Fator de penalidade com referência ao barramento s:
PFls ' V ( 1 - = 1/G.I S (1.508)
PL = Função das Perdas de Transmissão
Unidade de geração livre para programação 
dF. (P.)
PFls T f - = Cs <1.50^)
Unidades de geração bloqueadas no limite superior
PF
dF (P ) u u
us dPu ^ Cs;
Pmax • u
Unidades de geração bloqueadas no limite inferior
dW
PF*s -aarf i cs'-p* Pmin^
Equações coordenadas com o método de formula de perda e a 
presunção da carga conforme, oara distribuição de carga:
dF.íu
dP.íu
+ X Ü L8P.l
= X (1.608)
P . = Unidade no barramento gerador iíu ^
Pi = ^piu (1.609)
Unidade no barramento i
X = Custo incrementai no centro de carga hipo 
têtico..
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APÊNDICE I
mStodo de lagrange para determinar um extremo oom restrições
Dado um custo de operação do sistema, S.O.C., como 
a soma dos custos de operação C ^ P ^ d o s geradores comprome­
tidos i = 1,2 -- NGEN:
NGEN
S.O.C. = l $/h
i—1
dada a restrição de demanda, que a carga mais perdas ê satis 
feita pela soma das saídas dos geradores comprometidos 
NGEN
l P± = Carga + PL 
i=l
onde P ê a perda de transmissão considerada aqui como.sen- 
do uma função da geração; então, a primeira condição neces­
sária para que um despacho de geração seja o mais econômico, 
sendo que o despacho satisfaz a restrição de demanda,ê que 
exista um multiplicador X tal que a seguinte função denomi­
nada Lagrangeana, ^ , seja estacionaria com relação às varia­
ções nas variáveis independentes P^, — P^, — PNGEN:
NGEN NGEN
+ X Carga + P - £ P.
L i=l 1
i= 1,2 — NGEN
Isto leva à condição
i
para i— 1,2, — NGEN
De um ponto de vista geométrico, o multiplicador 
X ê um fator de escala que relaciona a variação de custo de
usina ôP±.
Imaginemos o custo de operação do sistema como uma 
superfície em um espaço multidimensional de dimensões NGEN+ 
+ 1. Enquanto cada despacho de (P^,— P^,— Pn GEN^ feito, o
custo de operação do sistema,resultante, definirá um ponto 
na superfície.
Agora, no mesmo espaço multidimensional,imaginemos 
uma área da geração menos as perdas para o despacho corres 
poridente. Assim, também formar-se-ia uma superfície. Em 
um nível na área correspondente à carga especificada como 
"LOAD", o locus dos despachos que satisfazem a restrição de 
demanda formaria uma "linha" no espaço. No despacho mais 
ecônomico ao longo da "linha” de demanda,a direção do gra­
diente da superfície de restrição da demanda deve ser para 
leia ao gradiente da superfície de custo de operação do 
sistema.
bida (1- ) 6P^ para uma mudança pequena no despachõ da
i
APÊNDICE II
DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DE UMA FÓRMULA DE PERDAS
Equações da Matriz para as Perdas do Sistema
Perdas em um ramo (liijKa)
Figura II-l
Se todas as correntes dos ramos (linhas) (I^em um sistema de 
"b" ramos são conhecidas, as perdas ativas totais do sistema 
são:
b 2
P = l (|l.| R.) (II.1)
^ i=l 1 1
onde "b" ê o número total de ramos. Perdas reativas são si 
milarmente:
° L - ! 1 ' l I i | 2 (II.2)
As perdas complexas totais são,então:
SL = PL + ^QL V
Se AE^ e a tensão através do rarao i:
(II.3)
SL = PL +
b
= Ii=l
l± (sEl) (II.4)
As equações(II.1)ate(II.4)expressam as perdas em 
termos de valores de ramo. Entretanto, as perdas da re­
de podem ser expressadas também simplesmente em termos de 
valores de barramento.
Figura II-2
Considere-se a rede de 6 barramentos na figuraII- 
2. A caixa contêm todos os elementos em série da rede. As­
sim, as perdas totais da rede serão a diferença entre a e 
nergia suprida para a rede e a energia retirada da rede(ou 
a energia líquida suprida para a rede).
Mas, desde que a soma de todas as correntes que 
entram na rede é zero, uma corrente de barramento pode ser 
eliminada como uma variável independente. Nõs vamos elimi­
nar a corrente no barramento 1 e chamar esse barramento de 
barramento referência(R),como mostra a figura II.2.Então:
rR = h = - (12 + I3 + :4 + r5 + V ' - J 2 (II-6)
ER * E1
As perdas da rede são,então:
6
Ii=2- PL + jQL =j , V V + < 1 ( I i" V
'i*'11! ' V (II-7>
Isto ê, as perdas da rede igualam a soma dos produtos da 
corrente conjugada do barramento e do desvio da tensão do 
barramento referência(a barra de - referência pode ser arbi­
trariamente escolhida). A equação II.7 não inclui perdas 
em qualquer dos elementos de derivação. A potência reativa 
suprida pelo carregamento da linha ê levada em conta na re 
presentação das linhas por seus equivalentes tt e tendo seus 
efeitos incluídos na corrente de barramento 1^. A figura
II.3 mostra a composição da corrente de barramento em um 
barramento- gerador típico. A 'corrente de barramento em um 
barramento de carga contêm os mesmos elementos, com P + jQ 
então representando as quantidades de carga.
COMPOStÇÃO-GA CORRENTE- OÇ: BARRA EM UMA., BARRA OE GERAÇÃO
I------
Composição da Corrente de Barramento em um Barramento Gerador
Corrente de barramento = I = - -E (Y_, + icoC)---------------------- E* sh
Onde: C ê um meio da soma das capacitâncias da linha pa
ra todas as linhas conectadas ao barramento.
Y ^ representa outra possível admitância de deri­
vação.
A representação do sistema definido pelas figuras 
II.2 e II.3 ê a utilizada na definição da matriz de barra­
mento Z (mátriz de impedância nodal) descrita nos Capítu 
los 1 e 10 do curso de Analise de Circuitos de Sistemas de Potência. 
Para a rede na figura II.2, a matriz do barramento Z ê definida 
como se segue:
—
E2 ‘ e r Z22 Z23 Z26
E3 - e r Z32 Z33 — Z36
E4 - e r = • ' ‘
E5 - e r • •
E6 - e r Z62 Z63 — Z 6 6J
I2
I3
I4
I5
I
(II.8)
ou simbolicamente:
[E ' E J -
Utilizando os símbolos matriciais da equação (II. 8a),a per­
da complexa da potência da rede dada pela equação(II.7)pode 
ser escrita de dois-modos:
(II.8a)
1. Forma Linear:
SL -■ O * ? [E - E.
2. Forma quadrãtica:
■ H * [z
(II.9)
(II.10)
A equação (II.10) ê o ponto inicial para a deriva 
ção da fórmula de perda do coeficiente B. Um bom entendi­
mento desta equação bãsica e dos fundamentos da representa 
ção do sistema é requerido para comprender o restante des— 
te capítulo. Para a rede da figura í.2,a equação expandi­
da é:
7 22 Z23 — Z26
7 7 ---Z*32 33 *36
Z62 Z63 ' - Z66
I
I
2
3
I6
(II.10a)
Somente a porção real de ê de interesse no.despacho econômico.
PT = Re I* (II.11)
A Equação do Coeficiente - 3
Uma fórmula de perda pratica para a utilização no despa­
cho econômico de preferência não deve conter outras variáveis indepen 
dentes alêm da saída líquida de potência das usinas geradoras conside 
radas no problema do despacho. Uma equação que satisfaz este critério 
é a formula do coeficiente - B,
tPT = P B PL
Onde [p] ê o vetor coluna das potências dos geradores. Para um siste­
ma de três geradores, a equação desenvolvida é
B, _ B B.^ ’P ’
- -1 11 12 13 1
PL = _PlP2P3j B21 B22 B23 P2
B31 B32 B33_ P3_
Esta equação dã uma expressão exata às perdas totais de 
transmissão no estado específico do sistema base*,para o 
qual os coeficientes B são computados, e ê util na estima­
tiva das perdas durante os estados do sistema que diferem 
moderadamente do estado base.
* - Um Estado do Sistema específico ê definido dando a magnitude da 
tensão e. o ângulo em cada barramento no sistema. Isto, por sua vez,defi 
ne um único fluxo de corrente no sistema resultando em um único conjun 
to de fluxos de potência ativa e reativa em cada barramento. Em geral, um 
estado de sistema pratico ê unicamente definido pela especificação em 
cada barramento de duas das quatro quantidades | E |, ô (ângulo de tensão), 
P e Q. Este ê o procedimento utilizado quando especifica-se os dados 
de entrada para um programa de fluxo de carga. A solução do programa 
de fluxo de carga (solução do sistema)ê uma descrição completa do es­
tado do sistema.
A equação(II.12)pode também ser escrita(g geradores ):
(11.14;PT = l l P.B..P. 
L 1=1 k=l 1 lk k
da qual as perdas incrementais oodem ser derivadas, pressu-
9Bikpondo coeficientes B constantes --- = 0)
3P ^
— - = 2 l B.,P, 3P . , b lk ki k=l
(11.15)
ou na forma matricial:
ÜLap.i
= 2 B. n B . 0 íl i2 B . , -- B.lk ig :iI.16)
As duas equações (II.11) e (11.12)
PT = ReJL
t
Pr = P B PL
(11.11)(11.12)
são de forma similar e (II.12)pode ser derivada defll.ll) 
pela eliminação da lista de variáveis independentes:1)quan 
tidades de carga, 2)potências reativas dos geradores e 3) 
tensões do barramento. A eliminação das variáveis precisa 
ser baseada em uma serie de presunções que vão estar impll^ 
citas na matriz B.
Os elementos da matriz B podem ser obtidos pela execu 
cução de uma serie de transformações da matriz iniciando 
com a equação de perda exata(II.11).
Conceito de Transformação da Matriz
Consideremos as três formas quadrãticas dadas em 11.17
que expressam o fasor da potência:
SL Z" I
(11.17 )
Consideremos que as quadrãticas devem todas igualar a mesma 
quantidade, S^; isto ê,SL ê invariável com relação à esco 
lha do conjunto das variáveis independentes 1,1* e I". 
Vamos expressar a relação entre I e I* pela transformação 
linear 11.18.
I* (11.18)
onde C ê uma matriz de constantes; então,vai ser mostra
do que 
formação
Z 1
c*
esta relacionada a 
t
pela regra de trans -
Uma segunda transformaçao, utili­
zando a mesma regra de transformação, vai transformar^ 
em [z"] dada a transformação linear entre [ l e[i"J . As re 
gras de transformação requeridas para transformar a matriz 
Z - barra em matriz B (equações { II. 11) e (11.12) são 
derivadas a seguir.
A descrição do sistema contêm três quantidades 
básicas,E,I e Z, que estão relacionadas pela equação matri­
cial:
(11.19)
Se representa as quantidades definidas do sistema( por
exemplo, corrente do barramento ), um novo vetor pode
ser definido pela equação
(II.20)
onde ê chamado matriz de transformação. Sob a restrição
da potência invariável, um novo conjunto de quantidades
r ie Z* pode ser derivado,tal que:
E'
r i r i r ■
|e ' = \z' i ' ( 11 . 21)
ft. restrição de invariância da potência requer que 
a potência total do sistema(e perdas de potência) possam 
ser computadas de ambos os conjuntos de variáveis, utili­
zando equações da mesma forma:
T *
LE
= i'* t E*
_ L J _ _ _ (11. 22)
ou
Z E'
(11.23)
É necessário que as relações envolvendo as quanti_ 
dades transformadas E',Z' e I* sejam da mesma forma que 
as relações correspondentes envolvendo as quantidades orí 
ginais do sistema E,Z e I. Este requisito ê incorporadç no 
par de equações (11.19) , (11.21) è nas equações (II.22)e(II.2 3) 
As relações entre as quantidades transformadas e 
originais são dadas pela matriz de transformação [cje pelas 
regras de transformação para E->E*e Z - + Z 9 . Estas regras são 
facilmente deduzidas:
De (2.406) [l*]t [e] = [l'*]t [e ’J
De (2.404)* [l*]t= [I’*]t [C*]t
* - Regra de reversão mais conjugação -»ver notas das matrizes
Então: Jj r ' [ c * ^ [ e = [ i '*]*1 [ E 'J
que dá a regra de transformação para E->-E'
(11.24)
Substituindo |eJ da equação (11.19):
[e -] = [c*Jfc [z 1
Substituindo [e '3 = [z'3 £l'J e [ij = [c] [ i '3 nos dá: 
Assim/a regra de transformação para Z + Z1:
[ , ] . [ c f [.] (11.25)
Na seção seguinte,o uso repetitivo das equações(II 
.20) (11.24) e (11.25) vai transformar a representação exa 
ta da impedância de barra em um sistema reduzido onde so­
mente as variáveis de interesse (potências dos barramentos 
geradores) são retidas. A parte inteligente deste processo 
envolve a determinação da matriz de transformação \c] para 
cada passo, isto e, a presunção requerida para a elimina­
ção das variáveis não desejadas.
Dedução da Matriz - B (Enfoque de Kron)*
A matriz B ê desenvolvida desprezando o efeito 
de autotransformadores nominais - livres. Transformado­
res nominais-livres podem ser considerados utilizando as 
técnicas descritas por H.H.Happ**. Durante a leitura desta 
seção,pode ser ütil uma referência ao apêndice III que dã 
a solução numérica para um problema de amostra com 4 bar­
ras de carga, e 2 barras de geração.
GERADORES CARGAS -
I
Referência para a Representação do Sistema Original
Figura II.4
* G.Kron, "Tensorial Analysis of Integrated Transmission Systems -
%parte I The Six Basic Reference Frames", AIEE Paper 51-22 5 , 
(1951)
** H.H.Happ, "Analysis of Netwòrks with Complex Autotransformers 
parte II", IEEE Transactipns on Power £pparatus and Systems, 
Novembro de 1963, paginas 958/965.
Na figura II.4,os barramentos 2 e 3 são barramen- 
tos geradores e os barramentos 4,5 e 6 são barramentos de 
carga. 0, barramento de referência pode ser qualquer barra- 
mento no sistema de transmissão, mas para esta derivação , 
vai ser considerado o barramento gerador com a barra nume­
ro 1.
Eliminação de Quantidades do Barramento de Carga
As quantidades do barramento de carga podem ser e 
liminadas da equação do sistema por duas transformações se 
qüenciais. A primeira transformação ê geralmente baseada 
na seguinte suposição:
Suposição: Todas as correntes de carga permanecem 
uma fração (complexa) constante da carga total do sistema.* 
A matriz de transformação C-̂ pode, então, ser definida:
I* (II.26a)
- -
I2~ "l 0“ 0“ I2~ T2
h 0 1 0 h I3— —
i r "0 Cf £ fl l A I4 4 4 L
ir 0 0 £_ T ílrIT5 o L * 5 L
1̂ 0 0 £r 2. .16 6 6 L_ i -1
(II.26b)
* Cargas que não se ajustam razoavelmente com esta suposi­
ção são as vezes denominadas "não conformes". Como mos - 
traremos mais tarde, a formula de carga pode ser refina­
da para melhor representar tais cargas não conformes.
onde: I é a corrente de carga total do sistema;L»
e são frações supostas da carga total
retiradas nos barramentos 4, 5 e 6.
(Notemos os colchetes' únicos verticais ( ] ) utilizados para 
as submatrizes colunas. Este símbolo e o colchete corres - 
pondente horizontal (»— » ) para as submatrizes linha vão ser 
utilizados a seguir).
Para qualquer corrente de carga do sistema IT ,aLj
corrente de carga no barramento i ê:
*i = W V (I4 + X5 + V (11.27)
Consequentemente:
l i±= 1.0 (11.28)
todos os
barramentos de carga
O novo vetor de tensão E 1 pode ser computado de acordo com 
a regra de transformação:
(II.29a)
[E']
— — — — —
p °1 P
0
° í V e r E2-ERL° d b 0 0 J
X
E3-ER
=
E3"ER
Io °i
*
l"4
*
*5
*
*6|
E4_ER 
F -E
E -E L R
E5 R L —
E6_ER
■ h (E4 - V - *5 ®5 - ER> + h < V ER>
(II-29b)
onde: (11.30)
Utilizando (11.28):
-e e ■ % V
*
i r - E +
l 6 E6 ER
Todos os
barramentos de carga
(11.31)
A nova matriz do sistema Z'
[z-]
esta de acordo com a equação
Z C1
(11.25): 
(11.32)
E 1,Z1eI1 define um sistema reduzido que em nosso exemplo 
tem quatro barramentos, como ê mostrado na figura II.5.
A equação ampliada do sistema e
E
E
EL-ER
(11.33)
GERADORES
Figura II.5
Deve ser notado que a matriz Z' transformada não ê 
simétrica.(0 apêndice I mostra que o componente diagonal 
simétrico de [Z'Jê provocado pela ocorrência de elementos 
complexos na matriz £cjde transformação). Deste modo,não 
ê possível construir uma rede elétrica passiva que repre­
sente propriamente o sistema transformado representado pe­
la matriz Z *.
Com referência à figura II.5, ê aparente que I pode 
ser eliminado como uma variável explícita pela movimenta­
ção do ponto de referência para o barramento L. As quan - 
tidades elétricas no barramento R vão então aparecer ex - 
plicitamente na nova equação do sistema. Se o barramento 
R(barramento 1) ê introduzido na equação do sistema (II. 33), 
a matriz Z* vai ser expandida por uma linha e uma coluna 
contendo sé zeros.
V e r
■ ° o o
i 
°
!
XR
E2_ER 0 J2
E3'ER 0 Z * Z3
e iT e r 0 w JL
- -
(II.34a)
[E1] = [Z1] [l'J (II.34b)
A expansão da equação (11.33) não introduz nova informação e 
os símbolos E1,Z*e I' vão ser utilizados também para as matrizes am­
pliadas (11.34) como ê mostrado. 0 ponto de referência pode ser movi­
do do barramento R para L por meio de uma segunda transformação na
relação física:
*1 - - ? / i - - (IR + *2 + Vl = l
(11.35)
A equação (11.35) pode ser incluída na matriz de 
transformação que define um novo vetor 1,1",que inclueso- 
mente correntes dos* barramentos geradores.
[ ! • ] - [C2] [ ! " ] (II.36a)
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
-1 -1 -li
As regras de transformação conduzem ao novo vetor de tensão:
(II.36b)[E"] = c! 1 [E-] (II.37a)
0"] =
—
1 0 0 -1 E E_-E_R R R L
0 1 0 -1 E2_ER =' E2-EL
0 0 1 -1 E ~-E_ e ,-e t3 R 3 L
- . -
E -E«L R
(II.37b)
e a matriz Z" transformada:
[Z“] - [c * ]t [Z ’] [ c 2] • [cá] 1 f[c i ] t w [ci ]
(11.38 )
onde, tanto £z'~] quanto [z] tem uma coluna e uma linha de 
zeros representando o antigo ponto de referência R (barra- 
mento 1). Apôs a segunda transformação,a equação do siste­
ma ê :
[e "J = (II.39a)
e r ‘e l Z"RR ZR2 ZR3 XR
E2~EL = Z2R Z22 Z23 I2 (II • 39b)
E3~EL Z3R Z32 Z33 X3
Esta matriz Z" ê também não simétrica*. A figura 11.6 mos-
tra esquematicamente o sistema descrito por (11.39).
Referência do Sistema Após a Segunda Transformação 
Figura II.6
* Apesar de conter somente elementos reais, a compo­
nente diagonal simétrica de \z ’] conduz a [z"J .
Desde que as regras de transformação foram baseadas na 
invariabilidade de potência(perdas), a perda total de potên­
cia do sistema está nos símbolos da figura II.6
PL = Re [z"J [i"]} (II.40a)
PL j ii * j ii *2 3 Z"
> (II.40b)
III3
onde o barramento referência anterior ê referido como bar- 
ramento 1.
A equação (11.40) dã as perdas de potência como uma 
função das correntes do barramento gerador. Para encontrar 
PL em termos de potência do barramento gerador, P, consi - 
deremos a figura II.7
Diagrama Fasorial das Quantidades do Barramento Gerador
Figura II.7
A potência ativa P em um barramento gerador particular ê:
P 111 |e ( cos (11.41)
ou
Kl
I
p
E | cos (J)
Peja
E cos
(11.42)
Esta expressão para I pode,então,ser substituída na equa - 
cão (11.40):
PT = Re<Li E
-ja
Pe
cos <j>
Peja
C O S (j)
►
(11.43)
jaonde (— — ----) representa o gerador "i" na matriz colu-
| E | cos <(>
i
na I". Se agora todas as variáveis em (11.42) exceto P estão in­
cluídas em [z"] conduzindo à matriz Qz" , (11.43) pode
ser escrita:
PL = Re [Z--] [P] ^ (11.44)
O U
PL = [p] t [b] [p] (11.45)
onde [p] é o vetor coluna da potência do gerador e [b] ê a 
matriz B desejada.
[Z"] pode ser decomposta em componentes simétricos (+) e 
diagonais simétricos (-) , reais (RM) e imaginários (X") como 
se segue:
[zB] = [r;]+ j [x;] + j p rj d i . 46) 6
6 mostrado no Apêndice V que somente o componente simé - 
trico real (R̂ ) e o diagonal simétrico imaginário (X") con­
tribuem para P . Denominando os elementos desses componen- L
tes da matriz como R" e X" ,os elementos (B )da matriz
ik+ ik- ik
B são: ( a dedução detalhada da equação (11.47) i dada no 
Apêndice V)
ik
R" cos(a - a ) + X" sen(a -a ) 
ik+______ i k_____ ik-______ i k
IE. I x |e, I cos <f>. x cos <j>,1 K 1 K
(11.47)
A equação (11.47) mostra que a matriz B ê simétrica:
Xki- sen â]<i “ = (“X7k_) (-sen (a,.-ak ))= X?k_sen (0̂ - 01̂ )
A avaliação de e X" é oferecida no Apêndice VI.
Resumo da Fórmula de Perdas
As perdas ativas totais do sistema P como umai_i
função das potências do gerador [p] são: 
PL = [pf [B] [P] (11.45)
onde os elementos da matriz B são:
B ., = ik
Rik+cos(ai_ak)+
E . E. COS <p . COS <j>. í .k 3. k
(11.47)
R1.', = R., + Hl., + Hl, . + Wik+ ik ik kl
onde:
g+Jl g+£
I Ii=g+l k=g+l» - 1 i - 'u i + i2i t2k»Rik
q+í. q+l
H1ik- " L , Rijtlj > H1ki= ‘^ * 1 = 3 “ jj=g+i
(VI.8)
(VI.5)
(VI.7)
xttik- - rj=g+l
(VI.16)
Explicação dos Símbolos:
[p] - vetor coluna das potências dos geradores 
| E^ | - Magnitude de tensão do barramento
<J>̂ - Angulo de fase entre a tensão e a corrente 
(ver figura II.7) no barramento i
a ^ ~ diferença de ângulo entre as correntes do 
barramento 1^ e 1^ da figura II.7
a ., = a . ik 1 - a. - <i±-4i)- < V
= ô .. — (j) . t (j),ik Yi k
onde 6 ^ ê o ângulo de tensão
entre os barramentos i e k.
(ângulo de fase)
£l^ e £2^ - são os componentes reais e imaginários 
das taxas complexas £^ da corrente de
carga no barramento i com relação à 
corrente total de carga ̂̂ _ ^i^
1 IL
R ^ - o componente resistivo da impedância mútua
entre os barramentos i e' k na matriz de bar­
ramento Z
Suposições Requeridas para uma Fõrmula Prática de Perdas
A fõrmula de perdas desenvolvida ê útil somente se os 
coeficientes B p o d e m ser considerados constantes. Em con-
seqüência, a precisão da fõrmula de perdas durante as va -
riações nas potências dos geradores e na carga total do 
sistema ê dependente da validade das seguintes suposições:
1 - A corrente de carga em cada barramento de carga
permanece uma fração complexa constante da corren­
te total de carga do sistema = constante ).
2 - As magnitudes de tensão nos barramentos geradores
(| | ) permanecem constantes.
3 - 0 ângulo de fase entre as tensões dos barramentos 
geradores (ô^) permanece constante.
4 - 0 ângulo de fase entre a tensão e a corren -
te em um barramento gerador permanece constante. 
Esta suposição ê algumas vezes afirmada em termos 
de um fator de potência constante ( cos <p ) ou uma 
razão constante entre Q e P ( Q/P=arctan <j> ) .
A mais questionável das suposições ê geralmente a 
numero 1 (conformidade de carga) e a numero 4 (potência rea­
tiva) . A próxima seção descreve uma formula modificada dos 
coeficientes B que facilita o uso de suposições mais ver­
sáteis para a conformidade de carga e a potência reativa 
do barramento gerador.
Resumo de Transformações Importantes na Dedução da Matriz B 
1. Rede Atual
GERAÇÃO CARGA
2.1 Correntes de Carga Individual Eliminadas (Suposição)
3 Correntes de Carga Total Eliminadas (Exata)
I
H
z"
H R
II
Ponto de 
Referência
PL = R. { [ I"*]t [Z"][‘ ‘] }
/T 7
4 . I = F (P) (Suposições)
P
Formula Mais Versátil de Perdas
0 procedimento delineado na seção anterior pode ser 
utilizado para criar uma fórmula de perdas modificada que 
facilite o uso de representações mais versáteis de potênci­
as reativas do barramento de carga e do barramento gerador.
1 . Cargas (S = P + jQT) podem ser representadas pela
JLj Li L i
soma de um componente constante (PT_ + jQT/0.) e um
L iO JLiO
componente (P£ + jQ^) que varia com a carga conforme 
total.
PL + « L - PL0 4 3q l o * PL + 3Qi III-48)
2 . As potências reativas do barramento gerador (Qç)podem
ser representadas pela soma de um componente constan­
te (Q_.J / um componente que varia com a carga confor-
me (Q') e um componente que ê proporcional a potência G
do gerador (sPç).
°G * °G0 * - SPG U I -491
Agora vamos considerar um barramento "geral" tanto 
com geração comò carga,como o mostrado na figura II.8 onde 
a carga e a potência do gerador são definidas como positi­
vas para dentro do sistema.
(a) (b)
Representação do Barramento Geral 
Figura II.8
P + jQ = Pr. + jQr_ + PT. + jOT (11.50]
- P (! + js) + jQGQ + jQg + PL0 + 3Qlo+ Pl+ jQí,
Reorganizando, podemos dividir a potência total do barra - 
mento em três partes:
P + jQ = p (1 +js) -(Potência variável do gerador)G
+ PT/~+j (QT_ + Q~,J ~( Potência fixa do gerador)
L iU J_iU G U
+ Pt +j(Qy + QA) -(Carga conforme)1* 1. G ( 11 . 51 )
Formalmente/ podemos também dividir o barramento em 
três componentes, como ê mostrado na figura II.8b, Na repre­
sentação inicial do sistema da figura II.4, cada barramento 
geral vai, então,ser representado por: l)um barramento gera­
dor de potência variável para ser despachada; 2) um barramento 
gerador de potência constante que também representa uma parte 
constante da carga; 3)um barramento de carga que está de 
acordo com a carga conforme total e inclui o componente 
conforme de carga da potência reativa do gerador. Com 
estas representações ampliadas do sistema, o procedimento 
delineado na Seção"Dedução da Matriz B (Enfoque de Kron)" 
vai eliminar os barramentos de carga conforme,e resultar 
em uma formula de perdas ampliada, do tipo:
+
mas a submatriz
PT = 3gg] [p gJ +2 [p o] [b o g_ _p g_ + _po_ _Boo] [po]
( 11.53 )
onde
ê o vetor coluna das potências dos geradores a serem 
despachados.
ê o vetor coluna das potências fixas dos geradores 
incluindo os componentes de carga constante.
ê idêntico à matriz B na Seção "Dedução da Matriz 
B" .
incluem,no caso geral,tanto o barramento 
geração quanto o de carga.
de
Desdeque os elementos de |~P0j são conhecidamente constan­
te s 2
PL = [Pg] [BGg][PG
onde:
[b ’> e Bq é uma constante única.
Apesar de sua complexidade,a equação (11.54) ê fre- 
qüentemente preferida em detrimento da simples fórmula qua- 
drãtica ( 11.12 ). O esforço computacional ê freqüentemente 
reduzido pela utilização das suposições mais gerais parasor 
mente uns poucos barramentos. Por exemplo, o termo Q* da
VJ
suposição da potência reativa do gerador ê geralmente omi­
tido.
A porção mais consumidora de tempo do desenvolvimen­
to da fórmula ê a analise do sistema requerida para selecio­
nar as melhores suposições de carga e de potência do gerador. 
A suposição de potência reativa ê geralmente selecionada 
com base em uma série de estudos do fluxo de carga conduzirr-
+2 + BO ( 11.54 )
do a Qg como uma função de PG
Perdas Incrementais
Considerando o, coeficiente B constante
3B.., ik
k3P.1
0)
as perdas incrementais sao:
Forma Quadrática Simples; ( II>12 )
3PL
3Pi
2 ! lr = B.,ik
(11.15)
Forma Gerais (11,54)
3PX
3P.l
= 2 Bik pk + 2 b ' ( 11.55)
k=l
A fórmula para PL pode se tornar exata no estado ba­
se para a qual ê desenvolvida, e serve como uma boa aproxi­
mação das perdas totais do sistema para estados moderadamen­
te diferentes. As equações para as perdas incrementais con- 
3B.,
sideram que — — = 0 , o qual implica que:
3P.í
1.
86,
8P.
= O Ângulos de tensão 6^ são considerados 
independentes de P^
3 E
3 P . 1
= 0 Magnitudes de tensão são consideradas 
independentes de P^
3.
9Pi
= 0 ou 3sk 80k— - 0 °nde * -
i k
Desde que nenhuma das três suposições estão estri­
tamente corretas (ângulo de tensão, por exemplo, ê umafun­
ção mais direta das potências do barramento), as perdas in­
crementais dadas por ( II.15 ) e ( II.55 ) não são exatas 
mesmo no estado base.
APÊNDICE III
EXEMPLO NUMÉRICO DO USO DA FÕRMULA DE PERDAS
Linha R X
1 - 2 0,014 0,14 0,150
1-3 0,007 0,07 0,075
3-4 0,007 0,07 0,075
4-5 0,014 0,14 0,150
5-6 0,007 0,07 0,075
2 - 6 0,007 0,07 0,075
230 KV - Base 100 MVA
Figura III-l
A matriz B do sistema mostrado na figura III-l 
serã avaliada para o seguinte estado base do sistema (so­
lução do fluxo de carga):
Quantidades de Barramento Definindo o Estado Base do Sistema
Potência Reativa *
Barramento 1 E 1 (graus) P Qc Q
1 1,05 0 . 2,1086 0,3846 0,136
2 1,05 2,028 3,0000 0,4818 0,234
3 1,023 -8,809 -1 , 0 0 0 0 0,1569 0 , 0 0 0
4 1,008 -14,003 -1,5000 -0,0214 -0,250
5 1 , 0 1 1 -12,707 -1 , 0 0 0 0 0,1300 -0 , 1 0 0
6 1,014 -8,094 -1,5000 -0,0458 -0 , 2 0 0
r Q ê a potência reativa fornecida â linha 
 ̂Qc inclui o carregamento da linha
PL Estado de base
6
l P . = 0,1086 pu = 1 0 , 8 6 MW 
1=1 1
A porção resistiva da matriz Z barra ê mostrada 
abaixo (barramento 1 ê o barramento de referência):
1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0,0105 0,0018 0,0035 0,0070 0,0088
3 0 0,0018 0,0061 0,0053 0,0035 0,0026
4 0 0,0035 0,0053 0,0105 0,0070 0,0053
5 0 0,0070 0,0035 0,0070 0,0140 0,0105
6 0 0,0088 0,0026 0,0053 0,0105 0,0131
Para a formula de perda quadrãtica simples, os coefi­
cientes de conformidade de carga podem ser tomados como 
sendo idênticos âs relações das correntes das barras dfe 
carga individuais 1 ̂para a corrente de carga total do 
sistema:
I. P - jQ jô.1 J r* J i£i = ---- onde I. = — r=— i e
i i* 1 iEii
Note-se que, desde que a matriz Z-barra não contêm a 
capacitância de Shunt equivalente da linha de transmissão, 
a corrente de barra deve ser computada de Qc mais propria- 
mentQ do que da potência reativa fornecida para o barra­
mento. As razões l são:
Barramento 11 12
3 0,1983 0,0298
4 0,2998 -0,0335
5 0,2019 0 , 0 1 1 1
6 0,2999 -0,0074
Com base nos coef Ücientes i e [rJ , a constante W é compu­
tada da equação ( VI. 5 ) f-
W = 0,00722
e a matriz da equação ( VI * 8 ):
0,00722
0,00179
0,00179
0,00685
De forma similar, da equação ( VI.16 ):
0 0,00005
-0,00005 0
Calculando 
(11-47):
<j>. como arctan(Q /P) 1 c
[ » ]
0,00677 
0,00166
a matriz 
0,00166“
0,00638
B ê calculada de
As perdas totais para o estado base do sistema são,então: 
PL =[P]t [B] [p] = 0,00677 x (2,1086) 2+ 2 x 0,00166 x
x 2,1086 x 3,0 + 0,00638 x (3,O) 2 = 0,1086 pu
o que concorda com a solução do fluxo de carga definindo
o estado do sistema.
As perdas incrementais para os geradores 1 e 2 são com­
putadas da equação ( 1 1 . 1 2 ):
B12P2) = (0'0 0 677 x 2»1086 + 0,00166 x 3,0) x 2 =
= 0,03854
B22P2) = (0,0 0 1 6 6 x 2 '1 0 8 6 + 0,00638 x 3,0) x 2 =
= 0,04529
3P1 2(B11P1+
ÜI3P, ‘ 2 (B21P1+
APÊNDICE IV
COMPONENTES DA MATRIZ B
*Daremos os componentes contribuintes à matriz B=Ĉ . AC cano uma 
função das propriedades simétricas complexas A e C. A e B são ma­
trizes Quadradas. C ê uma matriz complexa geral.
Matriz C 
Matriz A
Real 
C = Cl
Complexa 
C = Cl + jC2
Simétrica 
Real 
A - Al
B = BI B = BI + jB2_ 
(Hermitiana)
Diagonal Simétri­
ca Real 
A = Al_
B = Bl_ B = Bl_+ jB2+
Simétrica 
Imaginaria 
A = A2+
B = jB2+ B = Bl_+ jB2+
Diagonal Simétri­
ca Imaginaria 
A = A2_
B = j B2_ B = Bl++ j Bl_
Simétrica
Complexa
A = Al++ jA2+
B = Bl++ jB2+
B = Bl++ jB2+ 
> + Bl_+ jB2_Diagonal Simétri­
ca Complexa 
A = Al_+ jA2_
B = Bl_+ jB2_
APÊNDICE V
Dedução da equaçao quadrãtica complexa:*
P = Re (A*tBA) (V.l)
onde A ê uma matriz coluna e B ê uma matriz quadrãtica com­
plexa. Os elementos são:
ja±
a.e = a. (cosa. + j sena.)i í í J í
P = Re
j3±k
bike = bik(coseik + => sen6 ik}
ll a.(cosai - j senai)b±k(cos6 ik + j sen6 ik) 
ik
a^lcosa^. + j sena^) ( v . 2 ;
Remanejando e extraindo o componente real:
1 . P = H a . b ., a cosa . cosB . cosa
1 1 K K 1 1 K k
2- +n - aibikakcosaisenSiksenak
(V. 3)
3. +II+a • b ., a, sena . cos$ sena,1 1K K 1 ÍK K
* Neste apêndice,as letras maiusculas expressam matrizes, 
e as letras minúsculas elementos de matrizes.
4. +Y Y+a . b .. a, sena . sen3 . , cosa,^ í ík k í ik k
ou
p =IIdlik + n<32ik +ilâ3 k + U á 4 
ik 1K ik 1K ik 1 ik 1K
onde dl^' d^ik' ^^ik e ^ i k r e Pre s e n ta m os elementos sob
os duplos somatórios em (V.3).
A equação (V.3) pode ser simplificada baseando-se 
no fato de que
yj d., = 0 s e d . . = 0 ed., = -d, . ̂ t -í i ir ir iik n ik ki
Se B e simétrica:
b., = b, .ik ki
ik pki
Então,para a soma de segunda mais a quarta somatória
d2.,+ d4.,= a . a, b ., sen 3 ., (-cosa . sena,+sena . cosa, )
l K I K 1 K l k l k 1 k 1 K
= aiakbiksenBi]tsen(ai-ak)
Neste caso:
d2 ..+ d4.. = 0 porque sen(a.-a. ) = 0li li ^ í í
d2 k±+ d 4 ki= aiakbkisen6kisen(ak - ai)= - (d2 ± k + ^
Portanto:
U â 2 ik ♦ Í[d4ij(.0
ik ik
As somas remanescentes 1 e 3 produzem
P+ ^ aiakbikCOsB ikcos (a ) ( V . 4 )
Correspondentemente, se B é diagonal simétrica:
b . . = 
n
0
b — - b ,
í k k i
II•H
GQ
3 k i
Neste caso,o primeiro somatório mais o terceiro não contri­
buem para p,e:
P. ^ aiakbikseneiksen (a . -a, ) 1 X ( V . 5 )
A matriz complexa geral B pode ser decomposta numa componen­
te simétrica e numa componente diagonal-simêtrica, o que 
resulta
B = B+ + B_ 
ou
p = n a 1ak (bikoo.6ik)+cos(«±-«k)
+ b̂iksen^ikL sen(ai"ot]c)
( V. 6
Observando que:
(b^^.cos3^^)+ = b l ^ + = componente real dos elemen­
tos em B ,
<biksenBik>- = b.2 ̂ = componente imaginário dos e-
lementos em B
p pode ser reescrito
IIaiakblik+cos(ai“°:k)+b2 ik-sen(o,i“ok)
( V . 7 )
Observe-se que nem o componente imaginário de B+ nem o 
componente real de B_ contribuem para p.
APÊNDICE VI
AVALIAÇÃO DE R" e
A avaliação de e X" provêm da equação 11.38, aqui repe­
tida :
(II .38)
As deduções são grandemente simplificadas, reconhecendo-se 
as propriedades gerais de uma matriz complexa do tipo 
[bJ = [C ^[À] [c] como esta estabelecido no Apêndice IV.
Dedução de R^
Desde que [ĉ ] = [cjteremos ( Apêndice IV):
[< ] ' [C2] ' P ] [ C!]
K ] " <[<J‘ [VI [<=!]'> (VI»2a)
onde [r +] = Re { \_z\ } isto é, o componente resistivo da ma­
triz Z barramento.
(Observanos que tanto a matriz Z como a matriz C-̂ contêm o 
ponto de referência original (R)).
Equação ( VI-2a) desenvolvida:
(VI.2b)
Asdimensões das submatrizes estão indicadas aqui por subs­
critos g e £, onde g é um numero de barramentos de gerador 
e £ ê o numero de barramentos de carga.
Por exemplo:
M g l
ê uma matriz unitária g por g 
e uma matriz toda de zeros g por £
l] ê a matriz coluna de £ taxas de corrente de carga
£ .1
I.1
Icarga
e contêm as proporções resistivas das aüto e mú­
tuas impedâncias para os barramentos do gerador e de carga 
respectivamente. £Rç-̂ j e £RLg] cont^m os componentes resiís-
tivos das impedâncias mútuas entre barramentos de geradores e 
de carga. Desconsiderando os subscritos das submatrizes e 
multiplicando:
(VI.3)
onde: Ll e o componente real de
W
g-Ht g+£
W = l l
i=g+l k=g+l
(,i. £1, +12 . 12. ) R.. k 1 k ík
(VI-4)
( VI.5 )
onde = £l^ + j 5,2̂ i a relação de corrente de carga esti­
mada na barra "i".
Equação ( VI.1 ) é agora desenvolvida.
A matriz H1 indicada tem dimensão g por g. Os elementos
Hl., da linha i desta matriz são todos iguais: ík
CJ+ £
Hl., = - l R. • £1. (VI. 7)lk *JU-\ 1 3 ■ 3todos os k 3~^ x
Os elementos desejados de Tr^I,então, serão:
R£k ‘ Rik + " h k * H1ki + w (VI.8 )
Dedução de
O procedimento é similar ao anterior e é expres­
so sem comentários por:
VI.9 )M - N M M
Do Apêndice IV:
*[xj = Im {[Cj x Re { } x jcj } (VI 10)
Este triplo-produto foi avaliado na fórmula VI-3.
= Im <
M [r g l x l J
" — 1 
— 1 [RL gJL i ü l l [ r l l ] l]i
► (VI 11)
Desde que:
Im í h V i k + V A i 1 * 0
Im {i L [rll] e]>- (VI.12)
i
g+1 , g+ 1
- 1
- 1
M = [0] + [Rgl] L2j r l-l. . .-3- L2 [r l g ]
J - 1
[H2]
CH2]t
M = [H2] - M t
onde:
g+£
H2 = -7 R. . x 12.ík L D
todos os k j=<?+l
donde
g+£
XV, = - ) (R . . -R, . ) .lk- j=g+l ^ k=>
( VI.13 )
+ [0]
VI.14 )
VI.15 )
VI.16 )
CAPITULO 2
MODELOS PARA INTERCÂMBIO E 
PARA DESPACHO MULTIÁREA
Seção 2.0 - Introdução
Este pequeno capítulo serve para introduzir o 
assunto de modelagem de intercâmbios e despacho de ener -• 
gia para ãcomodar o intercâmbio programado, e o despacho 
de energia, em sistemas de ãreas múltiplas, tais como "po- 
olsMde energia. De interesse específico são as técnicas dis­
poníveis para representar a influência de intercâmbios e 
desvios de geração sobre fluxos dos elos de ligação e so­
bre perdas de transmissão. Estes efeitos vão ser conside­
rados em termos de impacto sobre os custos de transferên­
cia de energia e sobre o despacho.
Quando duas companhias elétricas interconecta - 
das trocam energia, a influência do intercâmbio ê obser - 
vada sobre as linhas (tanto linhas internas quanto linhas 
dos elos de ligação) das partes ativas na troca, e também 
das partes passivas tais como as outras companhias elétri­
cas na mesma interconexão . Por exemplo, quando uma in- 
tertroca de energia ocorre entre Hydro-Ontãrio e as com­
panhias elétricas do Pool de Energia de Nova York, a in­
fluência da intertroca ê observada nas linhas de ligação 
entre Ontãrio e Michigan, assim como nas linhas de liga - 
ção entre as companhias de Nova York e as companhias da 
Pennsylvania. O total da influência ê dependente da dis­
tribuição das mudanças de geração em Ontãrio e em Nova
York para acomodar a intertroca. Outro exemplo ilustran­
do a extensão pela qual a influência pode ser distribuída 
geograficamente tem relação com os fluxos nas linhas do 
conselho de coordenação dos Sistemas do Oeste, WSCC, que 
incluem o terço oeste dos Estados Unidos. O sistema de 
transmissão no WSCC foi descrito como um toro com nevada 
localizada no centro. Intertroca entre a costa noroeste 
e a Califórnia influenciam os fluxos de linhas das compa­
nhias em Idaho, Utah, Colorado e 1Arizona, assim como as 
companhias em Washington, Oregon e Califórnia. Para intro­
duzir o assunto, o capitulo considera primeiro a modelagem 
do efeito do fluxo de energia nas linhas de ligação nas 
perdas de transmissão. A seguir, modelos para a represen - 
tação das mudanças no fluxo de ligação introduzidas pelos 
desvios na geração e mudanças na exportação de ãrea são 
considerados. A representação de equações coordenadas para 
o despacho de área múltipla e para reconhecimento das mu­
danças nos elos de ligação em despachos de ãrea são apre - 
sentados. Finalmente, uma breve discussão dos aspectos do 
custo de energia de transações de intercâmbio ê desenyòl - 
vida para comprometimento fixo de geração das unidades ge­
radoras, (transações econômicas Tipo A).
Seção 2.1 - Representação da Interconexão nas Fórmulas de 
Perda
Transferência de energia nas interconexões pode 
ser representada como fontes geradoras equivalentes para 
a representação da fórmula de perdas. Por convenção,a e- 
nergia saindo de um sistema via uma interconexão ê deno - 
minada positiva,enquanto a entrada de energia em uma in - 
terconexão ê negativa. Isto em contraste, naturalmente, à 
convenção de sinais para salda de energia de um gerador 
que ê considerada como positiva entrando no sistema.Assim, 
a formação de uma matriz de perda com geração e interco -
nexões ou elos de ligações pode ser desenvolvida pelas 
técnicas ilustradas no Capítulo correspondente, com uma 
mudança no sinal necessário em todos os termos da fórmula 
de perda mütuos, envolvendo um gerador e um barramento de 
ligação. Por exemplo, consideremos o sistema ilustrado no 
Apêndice III do Capítulo I. Vamos supor que a ligação ^ 1 
estã conectada ao barramento 3 e a ligação ^ 2 esta conec­
tada ao barramento 5. Utilizando as técnicas descritas nes­
te Apêndice, uma nova fórmula de perda pode ser desenvol - 
vida, fórmula em que as duas primeiras linhas ou colunas 
representam os geradores no barramento 1 e 2 respectivamen­
te, enquanto a terceira e quarta linhas e colunas represen­
tam as ligações conectadas aos barramentos 3 e 5 respecti­
vamente. A fórmula de perda ê ilustrada na próxima tabela.
PL =
[Bi j] [Bik]
MM
.Ps -2U L J ““ ík BikTkPi +£ 2 1K K 1 k i B*kTkT*
< 2 . 1 0 0 )
Geradores Ligações
Barra­ Barra­ Barra­ Barra­
mento mento mento mento
1 2 3 5
0,00677 0,00166 0,00278 -0,00148
0,00166 0,00638 -0,00070 +0 , 0 0 0 0 2
+0,00278 -0,00070 0,00457 -0,00224
-0,00148 0 , 0 0 0 0 2 -0,00224 0,00361
Base 100 MW
Os coeficientes ilustrados nesta tabela são para 
as mesmas condições de operação que as ilustradas no Capí­
tulo 1, Apêndice III com exportação ou importação zero nas 
ligações. A fórmula de perda pode ser dividida em três com­
ponentes, uma geração, uma geração por ligação e um com­
ponente de ligação como o ilustrado na equação 2.100. Os 
coeficientes ilustrados na tabela de perda estão na base de 
100 MW. Assim, a dimensão do elemento individual ê ( 100 
megawatts )
Seção 2.2 - Perdas Incrementais - Interconexões
Vamos considerar que o sistema mostrado no Capí­
tulo I, Apêndice III ê operado com os geradores ^ 1 e ^ 2, 
com características comc sts descritas no Apêndice I deste 
capítulo, conectados respectivamente aos barramentos ^ 1 e 
^ 2. Um despacho para 500 MW esta para ser feito com flu­
xo zero nas ligações. Tal despacho ê ilustrado na tabela 
intitulada "Despacho Original",Notemos que este despacho ê
Despacho Original
Barra-
mento PM3N PMAX PG ÓTI­ 9PL apLN9 (MW) (MW) MA (MW) CUSTO 1/PF 3PG 3PT
Gera­ f 1 80,0 400,0 353,6 830,61. 0,9469 0,0531dores U 60,0 300,0 158,3 46?, 21 0,9681 0,0319
Liga­ P 0,0 0 , 0 0 0,9826 -0,0174
ções 15 0,0 0 , 0 0 1,0104 +0,0104
TOTAL = 511,9 m. P ESPECIFICADA ( EXPORTAÇÃO ) OOOII 1 MW
PERDAS DO SISTEMA = 11,923 MW. CUSTO INCREMEWTAL DO SISTEMA = 2,547745
precisamente o despacho obtido no exemplo na seção 1.7 e, 
além disso, a formula de perda ilustrada contêm a fórmula 
de perda utilizada na Seção 1.7 na matriz dois por dois do 
lado superior esquerdo. Notemos que no despacho econômico as 
perdas incrementais de transmissão estão no nível de 5% pa­
ra o gerador ^ 1 e 3% para o gerador ^ 2. Notemos também que 
as perdas incrementais são negativas para a ligação no bar- 
ramento 3 e são positivas para a ligação no barramento 5. Para ver o 
que isto significa, vamos olhar para a expressão analítica dasperdas 
incrementais nas ligações, dada na formula de perda da equação 2 .2 0 0 .
= - 2 I B...p. + 2 y bí k i L TIk í ( 2. 200 )
Consideremos o significado da mudança na perda com mudança no 
fluxo de salda da ligação. A derivada parcial na equação 
2 . 2 0 0 implica que a entrada de toda a geração e a saída de 
todas as ligações, com exceção da ligação K, sejam mantidas 
constantes. Como, fisicamente, o fluxo pode ser modificado na 
ligação K,quando toda a geração e todos os outros valores 
de ligação são mantidos constantes? Somente se as mudanças 
de carga do sistema se dão de um modo complementar às mu­
danças em T^; isto e, a mudança na saída de fluxo de ener­
gia de K ê compensada pelas mudanças proporcionais em ca­
da barramento de carga, de acordo com a suposição de carga 
conforme. Assim,a redução na carga do sistema âs expensas 
de um .fluxo de saída do barramento 3 vai diminuir as per­
das totais do sistema, enquanto que uma redução na carga do 
sistema, com a correspondente excessão de um fluxo de saí­
da sobre a ligação no barramento 5, vai resultar em um au­
mento nas perdas do sistema, todos os outros valores de 
geração e de ligação permanecendo constantes.
O requerimento de carga com interconexões é mais 
convenientemgptfe. escrito separando a geração como valores 
de P e os fluxos de ligação como valores de T, como ê ilus­
trado na equação 2.201. A soma da geração no sistema deve 
ser igual à soma da exportação sobre as
I P.= l T + L + PL ( 2.201 )
i i k K L
ligações, mais a carga do sistema,mais as perdas do sistema. 
Devemos utilizar os termos "intercâmbio líquido" e expor - 
tação ou PE,como ê mostrada na equação 2.203, para a repre­
sentação do intercâmbio com outros sistemas. I
I T. = PE 
k k
( 2.202 )
Seção 2.3 - Perdas Incrementais de Circulação e Custos____ de
Incrementos de Perda
Ê interessante perguntar qual ê o efeito da 
mudança devida à potência e circulação através de um sistema 1 
Alguma indicação do efeito sobre as perdas pode ser obtida 
do simples exemplo mostrado na seção 2.2. Por meios analí­
ticos, pode-se determinar o efeito de uma exportação de
-ôMW na ligação K e de uma exportação +ÔMW na ligação l 
sobre as perdas dentro do sistema. A estimativa para pri­
meira ordem da mudança na perda ê ilustrada nja equação 
2.300.
9PL 
ÔPL= 9T, (-6MW) +
X.PL
9T7 (+ 6MW) (2.300)
, 3PL 
saída
9PL
3T ) 6MWentrada Circulado*
(2.301)
Assim,vemos que,se carregamos uma carga de rodízio 
a partir do barramento k ate o l,a mudança de primeira or­
dem na perda por megawatt trocado ê igual â diferença das 
perdas incrementais com relação ao barramento no ponto de 
entrega menos o valor no barramento no ponto de recepção 
por megawatt de potência trocada. Por exemplo,vamos estimar 
o efeito nas perdas do sistema ao circular um megawatt de 
potência do barramento 3 para o barramento 5. Olhando na 
tabela do despacho original,notamos que a perda incremen­
tai para a ligação no barramento 3 ê -0,0174 e para a li­
gação no barramento 5 é + 0,0104. Substituindo estes va­
lores na equação 2.301, chegamos à equação 2.302 que indica 
que um aumento vai ocorrer na!s perdas do sistema de 
0,0278 megawatt por megawatt circulado-
ÔPL
6MW =0,0104-(-0,0174)=0,0278 MW perda/MW CirculadoCirculado (2.302)
As estimativas dos custos de circulação são dadas na 
equação 2.303, novamente para primeira ordem,para mudanças 
pequenas na potência de circulação.
Custo de circulação=X (||t— - «MWcirculado (2.303)
saída entrada
- 2-55<°-°278>-*'°71/™circulaao
Desde que o custo incrementai do sistema no ponto de 
operação ê 2,55 dólares por megawatt-hora, a equação 2.303 
calcula que os custos de circulação sejam de aproximadanen- 
te 7,1 centavos por megawatt circulado devido ao aumento 
nas perdas no sistema. As expressões dadas nas equações 
2.302 ate 2.303 sõ são validas para mudanças muito peque­
nas na potência de circulação. Para avaliar adequadamente 
um desvio substancial, um novo despacho econômico vai ser 
requerido, uma vez que ê provável que ocorrerão tanto u- 
ma mudança de perda como um desvio na geração para acomo­
darem a circulação.
Exemplo: Custo de circulação de 20 MW do barramento 3 
para o barramento 5.
Antes da Circulação de 20 MW
Custo do Sistema = 1297,83 $/h
Perdas do Sistema •- 11,923 MW
Custo Incrementai do Sistema _ $2,5477/MW h
Custo Limítrofe do Barramento 3= ̂ 0,9826 x 2,5477 = $2,50/MW h
Custo Limítrofe do Barramento 5= 1,0104 x 2,5477 = $2,58/MW h
Circulação de 20 MW do Barramento 3 para o Barramento 5
Barra­
mento PMIN PMAX pg Ót i ­ dPL
N9 (MW) (MW) m a (MW) CUSTO l/PF 9Tk
1 80,0 400,0 353,6 830,54 0,9451 -
2 60,0 300,0 158,9 468,82 0,9683 -
3 Fluxo de salda sobre
a ligação 3 OoCN1 0,9798 -0 , 0 2 0 2
5 Fluxo de saída sobre
a ligação 5 +2 0 , 0 1,0127 +0,0127
TOTAL = 512,5 MW. P(EXPORTAÇÃO ESPECIFICADA)= 0,000 MW 
PERDA DO SISTEMA = 12,550 MW.
CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA = 2,551780 
Custo do Sistema = $ 1299,36/h
Custo do Despacho para a Circulação = 1299,36-1297,83=$ 1,53/h
Estimativa Linear do Custo de Circulação:
Custo Limítrofe Medio do Barramento 3 =
1 Antes Depois
= ^(0,9826 x 2,5477 + 0,9798 x 2,5518)*= $ 2,5014/MW h
Custo Limítrofe Medio do Barramento 5 =
Antes Depois
= -1(1,0104 x 2,5477 + 1,0127 x 2,5518) = $ 2,5767/MW h
Estimativa Linear do Custo de Circulação =
Barramento 3 Barramento 5 
= (-20) (2,5014) + (+20) (2,5767) = $ 1,51/ h
Custo Liquido de Circulação =
= l (Fluxo de saída em MW causado pela circulação)
"tdusto Limítrofe)
* Para alcançar a avaliaçao do custo de uma troca e necessário integrar 
o custo incrementai vezes o incremento adicional na potência. Uma apro­
ximação linear da variação do custo incrementai ccm o aumento na potên­
cia tem sido utilizada na preparação da estimativa linear do custo de 
circulação. Assim, o custo incrementai médio para a transação (media de 
antes e depois da transação) vezes a transação de potência mede o cus­
to de transação.
Seção 2.4 - Modelos para Fluxos de Ligação
Freqüentemente, mais que uma ligação e envolvi­
da em uma troca com um sistema vizinho, e mais que duas li­
gações estão envolvidas na energia circulada. As represen­
tações de situações tais como estas têm sido alcançadas u- 
tilizando fatores de distribuição para predizer a divisão 
da carga circulada ou a exportação pelas varias ligações 
envolvidas. Fatores de distribuição têm sido tratados por 
muitos autores - 1,2,3,4. Varias alternativas se apresentam 
no uso dos fatores de distribuição. Primeiro, conjuntos de 
fatores de distribuição podem ser determinados através de 
fluxos de carga ou da linearização dos fluxos de carga,pa­
ra tipos específicos de transferência de energia, como por 
exemplo, para a circulação de uma companhia para outra ou 
para exportar do seu prõprio sistema para sistemas vizinhos 
específicos. Aproximações analíticas mais gerais são ofe­
recidas na referência 4 e no Capitulo III.
A mudança no fluxo em um dado conjunto de li­
gações conectando um conjunto de ãreas pode ser expressa 
em termos da mudança na geração dentro de cada ãrea dada 
com uma mudança compensadora no centro de carga equivalen­
te de cada ãrea, e a mudança na exportação liquida em ca­
da uma das ãreas com uma mudança compensadora no centro de 
carga na ãrea referência. Um relacionamento ê referido co­
mo uma "matriz-inter-ãrea". Consideremos o caso da intertroca de 
potência mostrado na figura 2.41 para uma intertroca de 
potência entre as ãreas C e A. A intertroca verdadeira po­
de ser representada por uma exportação positiva da ãrea A 
para a ãrea referência e uma exportação negativa da ÃreaC 
para a ãrea referência. Mudanças no fluxo nas ligações,to­
das as outras condições de geração permanecendo constantes, 
são, então, representadas em forma geral na equação 2.400 e 
especiaímente para este caso na 2.401:
3T = [ IAM ̂
3 PA 
3 PB 
3 PC 
3 PR 
3PEA 
3PEB 
3PEC
( 2.400 )
onde 3PA ê o vetor coluna de mudanças na potência do gera­
dor na área A e 3PEA é a mudança na exportação da ãrea A. 
3Te o vetor coluna de mudanças nos fluxos de ligação. 3 PA/
3PB# 3PC/ 3PR são tomados com mudanças de exportação zero.
Figura 2.41
8TkO elemento iam^j = deve ser avaliado em uma base espe­
cifica ou condição de referência de fluxo de potência para 
transferência incrementai especifica.
3T = £ IAM]
OPA).
( 2.401 )
A matriz inter-ãrea, IAM, ê determinada sob con­
dições similares às suposições empregadas no capitulo I pa­
ra desenvolver a formula de perda* Por exemplo, deixemos que 
o efeito de uma variação de saída de 1 MW de um gerador es­
pecífico em uma dada ãrea seja determinado com uma mudança 
correspondente na carga tomada no centro de carga equiva - 
lente. Elementos da £ IAM ]] correspondem à distribuição de 
MW desta variação sobre os circuitos e ligações. Similar­
mente, os elementos das colunas de exportação da £iamQ são 
determinados a partir dos efeitos nas ligações de uma va­
riação de 1 MW na exportação da ãrea provocada por uma in­
jeção no centro de carga e com a exportação transmitida 
para o centro de carga da ãrea em referência. Novamente , 
esta.é o mesmo centro de carga utilizado no capítulo 1 pa­
ra o desenvolvimento da formula de perda. Assim, a matriz 
inter-ãrea pode ser utilizada para sintetizar as mudanças 
na distribuição do fluxo nas ligações para eventos especí­
ficos, tais como exportação de uma ãrea para outra. Como 
foi citado acima, uma exportação da ãrea A para a ãrea C, 
como ê ilustrada na figura 2.41, ê atingida tomando-se 6PA 
e 6PEA positivos para representar a elevação da geração 
na ãrea A para a correspondente exportação, enquanto que 
6PC e 6PEC vão ser negativos para corresponder a uma queda
na geração nas ãreas C e uma importação de potência para a 
ãrea C; mudanças na geração das ãreas B e de referencia seri­
am requeridas para acomodar a mudança de perda dentro da 
ãrea B e da ãrea de referência causada por circulação.
Os modelos descritos conduzem a que a distribui - 
ção de fluxo sobre as interconexões vai depender do modo 
especifico de geração e exportação nas ãreas interconecta- 
das. É importante notar que a variação do fluxo de ligação 
com o desvio em geração e em exportação vai afetar as per­
das incrementais previstas para cada barramento gerador e 
cada barra de ligação. Este efeito ê ilustrado na equação 
2.402 onde as derivações implícitas estão incluídas para 
considerar a dependência do fluxo de ligação da distribui­
ção da geração e da carga. Para a influência sobre as per­
das da ãrea As
Derivações
Explicitas
Derivações
Implicitas
Devida ao 
BarramentO' 
gerador i s
3PL_A
P1 T Const
+£(iam 
k
9PL7V___A
ki 3T. k
) (2.402)
Devido à 
Exportação 
na Ãrea J
3PL„A
3 PEJ
[iam
k kEJ
3PLa
9Tk
(2.403)
onde k e somado sobre as ligações da ãrea A.
As derivadas explicitas ilustradas no lado direi­
to de 2.402 se referem aos termos contendo o gerador P^ ex- 
pllcitamente, e não vão ser diferentes de zero somente se o barramen­
to i for representado na ãrea A. A soma de termos no lado direi­
to da equação 2.402 contêm as derivadas implícitas e pode 
ser interpretada como se segue. Suponhamos que a geração em 
uma usina ê modificada enquanto que as gerações em todas as 
outras usinas e a exportação de cada ãrea são mantidas cons­
tantes e mudanças complementares são feitas nas cargas de 
ãrea. A distribuição desta mudança nos circuitos de trans­
missão e ligações ê prevista pelos elementos apropriadosna 
coluna da matriz inter-ãrea que envolve a usina. Uma rela­
ção total das mudanças nas perdas do sistema com a geração 
deve, portanto,incluir o efeito das conseqüentes mudançasda 
ligação; fluxos de ligação podem ser considerados como va­
riáveis dependentes em que a geração e a exportação são 
considerados como variáveis independentes. A equação 2.403 
mostra a influência de uma mudança na exportação da ãrea J 
(para a ãrea de referência)sobre as perdas na ãrea A. O 
efeito ê visto através da mudança nos fluxos de ligação cau­
sados pela exportação. As equações de coordenação da multi- 
ãrea são oferecidas na próxima seção.
Seção 2.5 - Equações de Coordenação de Ãrea Múltipla
Esta discussão considera vãrias ãreas operando 
como um pool, sob um conceito de ligação de fluxo livre, em 
que a geração vai ser despachada para minimizar o custo de 
operação do pool e as economias vão ser compartilhadas pe­
los membros do pool. Uma aproximação para a operação coorde­
nada ê tratar o pool como uma ãrea única, para desenvolver 
um modelo de perda para o pool como um todo, e para despa - 
char o pool como um todo. Com a formula de perda descrita no 
capítulo l,tal modelo possui duas desvantagens distintas. 
Primeiro, uma suposição deve ser feita considerando a dis - 
tribuição da 'carga através de todo o pool para permitir o
desenvolvimento da formula de perda. Segundo, a função de
controle do despacho da ãrea local precisa ser pré-esgotada
pelo controle de despacho do pool. Uma aproximação alterna-*
tiva, de ãrea múltipla, estã sendo utilizada pelo Pool de 
Energia de Nova York e pela Interconexão Pennsylvania- Nova 
Jersey- Maryland.
Nesta aproximação, uma formula de perda envol­
vendo as energias de geração e de ligação ê utilizada para
cada ãrea, uma matriz "inter-ãrea" ê usada para medir os 
desvios em todos fluxos de ligação de ãrea.com geração e 
exportações de ãrea, e um custo incrementai equivalente ê 
desenvolvido para um barramento referência em cada ãrea. O 
método vai ser ilustrado para um pool de três ãreas.
Para cada ãrea, a carga mais a exportação precisa 
ser satisfeita pela geração menos as perdas.
JA
0A - l PAj - PLft - PRa - PEa = 0
Para o pool, a soma das exportações de ãrea pre­
cisa ser igual à intertroca desejada do pool, P .P
0P = PEa + PEb + PEC - PEp = 0 ( 2.501 )
A mudança no fluxo de ligação com a mudança na 
geração e exportação ê dada pelos relacionamentos lineares 
inter-ãrea
u A
l PB. 
3 J
- PL„ - PFL, - PE„ = 0B B B
(2.500)
J C
I PC,
j
- PL - PR„ - PE„ = 0
(3T) = £ IAM ] ( U I ) ( 2.502 )
onde (3T) ê o vetor dos desvios de ligação e (8PE) repre - 
senta o vetor dos desvios nas exportações de ãrea e (3PG)o 
vetor das mudanças de geração. É necessário tomar os des - 
vios de geração e de exportação com relação ao centro de 
carga equivalente na ãrea dada. A exportação pode ser trans­
mitida para um centre arbitrário, fora do pool.
Os custos da operação para o pool são a soma dos
custos de operação para as ãreas:
JA JB JC
CUSTO = y F (PA ) + l F, (PB,) + l F (PC ) (2.503). a a . d jd . c c 
3 3 3
Um lagrangeâno,£, ê formado pela agregação das 
condições laterais de 2.500 a 2.502 e as equações de coor­
denação, deduzidas pela primeira condição necessária de que o 
lagrangeano seja estacionário com relação ás variações ar­
bitrárias de geração e exportação.
CUSTO - XA 0A - XB 0B - Ac 0C - Ap 0p (2.504)
Variando ̂ c o m relação à geração da área, alcançamos as e- 
quações. de coordenação da área ô^/ôPA :
dF
dPA + I A
3PL, 3T,
K, A 3r PA- + I
dPLr 3T.KB
B 3T
B Kt
3 PA + lx(
aPL, 3TKc
3T 9PA
a pl
- XA (1 - (2.505)
a
e expressões similares para as ãreas B e C. Notemos que os
9Tkbtermos - - são os elementos da matriz inter-ãrea. Vari-d Ir Ad
ando í> com relação à exportação da área,chegamos ás" equa­
ções de coordenação inter-ãrea" 6^/6PE^
aPL 8Tk 3pl 9Tk aPL 9TkX , V, ___A ___A y ___B ___B y ___C ___C = x
A L A 3T aPE / ÁB 3T 3PE / C 3T apE p 
ka ka a k b k b a k c k c a
(2.506)
e equações similares para variações com relação a PE^ e 
PE^. As três equações inter-áreas ilustradas por
2.506 expressam um relacionamento linear entre os três cus­
tos incrementais de área nos centros de carga da ãrea res­
pectivos. As relações dos custos incrementais vão ser vis­
tas como sendo uma função dos termos de perda incrementai 
pesados pelos elementos da matriz inter-ãrea expressando a 
influência da exportação sobre a mudança no fluxo de liga­
ção.
As equações de coordenação de ãrea 2.505 possuem ter­
mos envolvendo custos de perdas incrementais para as outras 
ãreas nopool; especificamente/custos de perdas incrementais 
nas ãreas B e C aparecem nas equações de coordenação para a 
ãrea A.
Em alguns casos ê razoável negligenciar todos os ter­
mos de perda incrementai de transmissão em 2.505 da forma
9PLz 3Tr z
Xz 3 T - 3 P Ã - '• z = A 'B 'C Kz a
na base que,para uma rede composta de circuitos com razões 
X/R iguais,os termos tendem a somar zero. Isto implica que 
o éfeito líquido de incluir ou negligenciar o efeito de
carregar o desvio de geração sobre as ligações, com a mudan 
ça concomitante nas perdas da ãrea ê equilibrado quando so­
mada sobre o pool como um todo.^'^ Em outras palavras, uma
9Tk zequação de coordenação, em que os termos - são negligen - 
ciados,ê equivalente à suposição de que os fluxos de liga­
ção são constantes com um desvio de geração dentro de uma 
ãrea dada. Se as perdas incrementais dentro da ãrea para 
este modo de desvio de geração são equivalentes âs perdas incremen­
tais dentro do pool, quando os fluxos de ligação podem par­
ticipar do desvio de geração, então se justifica a suposi­
ção. A suposição pode não ser justificada dependendo da topolo­
gia da ãrea. Por exemplo, se os circuitos de transmissão da 
ãrea estão efetivamente paralelos por circuitos de impedân- 
cia por unidade mais baixa em uma ãrea adjacente, então, a
suposição torna-se fraca. No caso dos estudos relatados pe­
lo pool de energia de Nova York,a suposição ê justificada.
Seção 2.6 - Negociações de Intercâmbio
O Capitulo 1 considerou as condições para intertroca 
econômica de energia, baseado nos custos incrementais de 
geração no próprio sistema versus o custo incrementai de 
energia adquirida de fora. Com perdas,os custos incremen - 
tais da energia recebida no centro de carga precisam ser 
referidos aos custos limítrofes para a ãrea, para compara­
ção adequada. Consideremos a recepção de uma potência incre­
mentai de exportação no ponto de ligação " K ". Com refe­
rência à equação 2.201 de requerimento de carga, a ligação 
carrega uma pequena exportação de ôT̂ .* A mudança na ge­
ração do centro de carga, ôP^, é dada tomando-se a vari­
ação da equação 2.201 com uma mudança na ligação e ê
ilustrada na equação 2.600.
5P* ■ 5Tk + ü r STk
■ < 1 + Ifj ,STk MW (2.600)
Assim, o termo 1 + -̂7=— representa a mudança na geração no
kcentro de carga equivalente por unidade de exportação so­
bre a ligação K. O custo desta exportação, 6T^, é dado na 
equação 2.601,assumindo que o custo do centro de carga 
equivalente ê À:
Custo de exportação = A(1
Para uma troca finita deve-se 
na ligação com e sem troca. A
+ ÍTT)<6Tk)$/h ' X5PÍ
(2.601)
encontrar os custos limites 
média dos custos limites in-
crementais vezes a troca liquida no limite nos dá a esti­
mativa linearizada do custo da exportação.
Se varias ligações estão envolvidas na exportação , 
então,a distribuição da exportação sobre as ligações pre­
cisa ser prevista. Os fatores de distribuição são uma
aproximação utilizada para esta previsão. Estes fatores 
são os mesmos elementos da matriz inter-ãrea(Equação 2.401) 
para a coluna de exportação. A estimativa da mudança no 
fluxo de ligação ê dada na equação 2.602
6Tr = d^ô exportação (2.602)
onde
d, = iam - iamR
^Cia.Exportadora Cia. Importadora
Para cada ligação, K, o custo de exportação para inter - 
troca ê
~ ~ 3PLCusto de exportação da ligação K = X (1 + *^-“) ôT^
(2.603)
Para desenvolver o custo limite para exportação <$, sanam-se os 
custos de exportação para todas as ligações e então divide-se 
o total pela exportação 6.
O custo de exportação ê dado pela soma na equação
2.603, e o custo de exportação incrementai médio (custo li­
mite) ê definido nas equações 2.605 e 2.606.
~ r 3PL.‘.Custo de exportação = £ôTkX(l +
k k
= <5 Exportação l dkA(l+ 3PL,
3Tk
(2.604)
Custo de Exportação Incrementai Médio =
= (Custo de Exportação)/Exportação
(2.605)
apL
8Tk
(2.606)
Cada termo na soma de (2.606) representa o custo li­
mite para uma dada ligação multiplicado pela fração de ex­
portação que vai fluir sobre esta dada ligação. A estima­
tiva do custo de exportação, então, pode ser obtida do custo 
de exportação incrementai médio com e sem a intertroca ve­
zes o valor de exportação em megawatts, como ê ilustrado na 
equação 2.605. O exemplo seguinte, utilizando o problema 
estudado na seção 2.3 vai ilustrar o caso. Aqui estamos 
considerando que uma exportação a partir do sistema vai 
ser dividida 40% na ligação ^ 1 no barramento 3, e 60% na 
ligação /= 2 no barramento 5. Antes da troca,o custo limite 
para o " despacho original ", ilustrado na seção 2.3, ê do 
modo que se segue. Para a ligação / 1 no barramento 3, o 
custo limite anterior à troca ê 2,50 $/MW h , enquanto pa­
ra a ligação / 2 no barramento 5, o custo limite ê 2,58 $/
MW h . Para a divisão 40/60 considerada entre as ligações 
/ 1 e /= 2 respectivamente, o custo de exportação incremen­
tai inicial ê 2,546 $/MW h . Após a troca ter sido efetua­
d a ^ custo incrementai do sistema se elevou para 2,84 $/MW 
h ; assim,o novo custo de exportação incrementai ê 2,842$/ 
MW h . O custo da troca de 50 MW ê aproximadamente 134,69 
$. Comparando os custos antes e depois da troca, baseado
no despacho total, vemos que após a troca o custo de ope­
ração do sistema ê 1432,49 $, que precisa ser comparado ao 
custo antes da troca de 1297,83 $/h . A diferença líquida 
resultante é um aumento no custo de operação de 134,66 $/
MW h . A diferença entre nossa estimativa do custo de tro­
ca e o custo total verdadeiro de troca representa o erro
inerente na aproximação média do custo incrementai antes e 
depois da troca ( bastante pequeno neste exemplo). Em re­
sumo, comparações para trocas econômicas de energia podem 
ser baseadas nas estimativas dos custos limites para im­
portação e exportação de energia, como ê dado nas equações 
2.605 e 2.606.
Estes custos são prontamente desenvolvidos 
a partir dos parâmetros desenvolvidos pelos cálculos do 
despacho econômico. Estes parâmetros são o custo incrementai 
do sistema e os termos de perda incrementai envolvendo a 
exportação.
Exemplo: Custo de exportação de 50 MW, em que 20 MW 
vão ser tomados do barramento 3 e 30 MW do 
barramento 5.
Antes da Troca de 50 MW
Custo do Sistema = 1297,83 $/h
Perdas do Sistema= 11,923 MW
Custo Limite no Barramento 3 =
= (1 - 0,0174)2,5477 = 2,50 $/MW h
Custo Limite no Barramento 5 =
= (1 + 0,0104) 2,5477 = 2,58 $/MW h
Custo no Limite para Exportação Incrementai:
Custo Limite de Troca =
= 0,4 ( 2,50 ) + 0,6(2,58)= $ 2,546/MW h 
Com a' Troca de 50 MW
BARRA­
* 3PtMENTO PMIN PMAX PG ÓTI­ L
N9 (MW) (MW) MA (MW) CUSTO l/PF 3Tk
1 80,0 400,0 366,4 863,06 0,9441
Gerador
2 60,0 300,0 197,6 569,43 0,9624
3 -20,0 0,00 0,9829 -0,0171
Ligação
5 -30,0 0,00 1,0120 +0,0120
TOTAL = 564,0 MW. P(EXPORTAÇÃO) ESPECIFICADA = 50,000 MW
PERDA DO SISTEMA = 13,976 MW.
CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA = 2,840640
Custo do Sistema = 1432,49 $/h
Custo limite de troca =
= 0,4x0,9829x2,841+0,6x1,012x2,841 = $ 2,842/MW h 
Estimativa linear do Custo de Troca de 50 MW:
Custo Estimado de 50 MW =
|(2,546 + 2,842)(50) = $ 134,69/h
Custo Real baseado nos despachos:
Custo de 50 MW =
= (1432,49 - 1297,83) = $ 134,66/h
Transações de intertroca, tais como as ilustra - 
das aqui, são comumente denominadas transações em duas par­
tes. No arranjar transações de duas partes,os custos incre­
mentais são ajustados para perdas de linhas ao ponto li­
mite entre as duas partes. É habitual deixar um pequenodi- 
ferencial de preço "tampão" entre o acréscimo de custo do 
vendedor e o decréscimo do comprador ajustado ao limite.
O tampão destina-se a cobrir tais itens como inconsistên­
cias, omissões, e incertezas quanto à fixação do preçode 
cada parte.
Os exemplos citados tratam somente do custo da e- 
nergia para a transação. Dependendo do tipo de transação,o 
custo de energia pode, ou não, ser tudo o que esta envolvi­
do na transação. Por exemplo, se "Energia Econômica" é com­
prada, isto ê, energia ê comprada da reserva operante do 
vendedor, então,esteacordo pode ser cancelado a qualquer 
momento, dependendo das necessidades no sistema do vendedor.
Por outro lado, um acordo pode ser feito para
comprar energia firme, isto ê, energia que não ê retirada 
da reserva operante do vendedor. Neste caso, um custo adicio­
nal é levado em conta para a capacidade adicional requeri­
da no sistema do vendedor para cobrir a transação.
Nossa discussão tem sido restrita à estimativa do 
custo de intertroca com comprometimento de unidade fixo. 
Isto ê, a intertroca tem sido considerada como realizan­
do-se fora das reservas girantes do sistema. Este tipo de 
intertroca tem sido denominado Economia tipo A. Quando 
a intertroca requer mudanças no comprometimento das uni­
dades (Intertroca Econômica Tipo B), os custos da inter­
troca devem incluir os custos das partidas das unidades e 
as mudanças nos custos de operação associados com as dife­
rentes unidades em linha. O conceito de custo medio de ex­
portação definido na equação 2.605 ainda se mantêm, desde 
que o custo de exportação inclua o custo de produção com 
exportação menos o custo de produção sem exportação. Os 
custos associados com as partidas das unidades precisamser 
estabelecidos por MWh de exportação.
BIBLIOGRAFIA
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Superposition" AIEE Transactions Part III, Power
Apparatus and Systems Vol.80, August 1961,pp. 827-831.
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Using Superposition", Proceedings of the Power Systems 
Computation Conference,Queen Mary College, London , 
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3. H.H. Happ and J.M. Undrill, "Multi Computer Configurati- 
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IEEE Transactions Vol. PAS-88 N9.6, June 1969, pp. 789 
-796.
4. H.H. Happ, "The Inter-Area Matrix: A Tie Flow Modelfor 
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5. L.K. Kirchmayer/ "Economic Control of Interconnected 
Systems", New York: Wiley, 1959.
6. H.H. Happ, "Multicomputer Configurations and DiakoptiJcst 
Dispatch of Real Power in Power Pools", IEEE Transac- 
tions, Vol.PAS-88, May 1969/ pp. 764-772.
APÊNDICE I
AJUSTE DE CURVAS DE ENTRADA-SAlDA E DE CURVAS DA TAXA IN- 
CREMENTAL DE CALOR NOS DADOS DO TESTE DE ENTRADA-SAÍDA
Consideremos uma tabulação dos resultados do tes­
te de entrada em MBTU/h , I, para a salda correspondente
em MW, P. Seja cada ponto do teste (Ij,Pj) para j = l,2-- N
definido pelas coordenadas de um plano dos dados experi­
mentais. Definimos uma operação diferença no lado direito, 
A, como se segue:
AI.
3 •j+i i .D ( 1-1 )
AP. = P. . - P. ( 1-2 )D D+l D
A. Verificação de Primeira Ordem dos Dados
Formemos a razão AI./AP.; esta razão deve tender pa- 
ra uma sequência monótona crescente com "j" aumentando se 
a curva de entrada-salda for convexa. Se as primeiras di­
ferenças do lado direito forem utilizadas como inclinações, 
então, a estimativa da curva entrada-salda entre os pontos 
do teste vai ser linear.
Acréscimo Acréscimo Acréscimo
Ponto do de de Taxa de
teste Entrada Saída Entrada Saída Calor
j I .3 P .3 AI.3 AP . 3 AI./APj
MBTU/h MW MBTU/h MW MBTU/MW h
Capítulo 1 Unidade
1 1188 100 774 100 7,74
2 1962 200 810 100 8,10
3 2772 300 846 100 8,46
4 3618 400 882 100 8,82
5 4500 500 454,5 50 9,09
6 4954, 5 550
Capítulo 4 3 Unidade 1
1 1040 80 148 20 7,4
2 1188 100 380 50 7,6
3 1568 150 400 50 8,0
4 1968 200 420 50 8,4
5 2388 250 440 50 8,8
* 6 2828 300 460 50 9,2
7 3288 350 260 25 10,4
8 3548 375 292 25 11,68
9 3840 400
Capítulo 4 3 Unidade 2
1 785 60 231 30 7,7
2 1016 90 474 60 7,9
3 1490 150 430 50 8,6
4 1920 200 465 50 9,3
5 2385 250 245 25 9,8
6 2630 275 265 25 10,6
7 2895 300
Nota-se que todos os três exemplos de curvas passam 
no teste de primeira diferença para convexidade.Modelos li­
neares segmentados de entrada-saída podem ser desenvolvi -
dos a partir destas tabelas de primeiras diferenças/ le­
vando às relações de entrada-saída.
I = Ij + (P-Pj) Alj/AP^-Pj < P < Pj+1 (1-3)
B. Modelos de Segundo grau
Uma curva de segundo grau pode passar através de 
três pontos j, j+1, j+2 com coeficientes
1 = Xj0+ Fjl(p-pj> + Ij2(p-pj)2 (I-4)
I
I
para P . < P < p . „ 3 - - j+2
- AIj/APjl/íiPj + APj+1)
11 > AIj/APj ' APjIjj
(1-5)
(1-6)
Ou alternativamente, uma curva de segundo grau com incli­
nação inicial especificada,Sj,pode ser ajustada aos dois 
pontos j, j+1
I - Ij0+ Sj(p-p.) + IjjIP-Pj)' (1-7)
Para P . < p < P ... 3 - - 3+1
I., = (AI./AP. - S.)/AP. (1-8)
J J J J
Notemos que a inclinação do final do segmento ê
Sj+1 = S. + 2I.2AP.
= 2AIj/APj - Sj
(1-9)
Por escolha cuidadosa de podemos construir uma 
curva de taxa incrementai de calor razoável para a unida­
de. Exemplos vão ser desenvolvidos para o Capitulo 3, uni­
dades 1 e 2. Notemos que o problema ê trivial para os dados da 
unidade do Capitulo 1.
Aqui há um modo que tem funcionado com razoável con­
sistência para o escritor, considerando que os dados te­
nham sido ajustados e tenham sido testados para a convexi­
dade :
Passo 1 - Ajustar uma parábola através dos primeiros 
três pontos:
Unidade 1 Pt AP . 3 AI./AP. 3 : I12 Z11 S2
1 20 7,4 0,002857 7,3429 7,457
2 50 7,6
Passo 2 - Ajustar parábolas com inclinações adequadas
através dos pontos restantes utilizando a
formula S . , , = 2AI./AP.-S.D+l 3 3 3
Notamos que os Sj são valores tabulares das taxas 
incrementais de calor nos pontos de saída de potência cor­
respondentes, P j.
Pt p . 3 AI./AP. 3 3 s . 3 i—1 + •r-i 
CO
1 80 7,4 7,3429 7,4571
2 100 7,6 7,4571 7,7429
3 150 00 o 7,7429 8,2571
4 200 00 8,2571 8,5429
5 250 CO00 8,5429 9,0571
6 300 9,2 9,0571 9,3429
7 350 10,4 9,3429 11,4571
8 375 ' 11,68 11,4571 11,9029
9 400 11,9029
Procedendo do mesmo modo para a Unidade 2
iiCMCMH (7,9 - 7 V0 O II O ,002222
S1 = A21 = 7/7 ” 0/002222 x 30 = 7,6333
pt P .D AI./AP. 3 3 s .D sj+i
1 60 7,7 7,6333 7,7667
2 90 7,9 7,7667 8,0333
3 150 8,6 8,0333 9,1667
4 200 9,3 9,1667 9,4333
5 250 9,8 9,4333 10,1667
6 275 10,6 10,1667 11,0333
7 300 11,0333
Os traçados da taxa incrementai de calor para estas duas 
unidades geradoras são oferecidos na figura 1,71.
CAPITULO 3
TÓPICOS SOBRE A SEGURANÇA DA OPERAÇÃO
Seção 3.0 - Introdução
A finalidade deste capítulo ê de proporcionar um 
breve resumo não só dos fatores que afetam a segurança da 
operação, mas também das técnicas de estimativa de adequação 
das condições de operação de qualquer sistema de potência 
particular. Os tópicos tratados neste capítulo incluem os 
limites de segurança, tais como os limites térmicos para as 
linhas aéreas de transmissão, os cabos, o transformador, o 
interruptor e barramento, e os geradores, bem como os li­
mites de tensão do equipamento e os limites de transferên­
cia da rede, para manter uma operação estável. Os métodos 
de avaliação do desempenho da rede nas condições de con­
tingência são considerados em termos de reserva de linha, 
devida à perda da linha e perda do gerador, bem ccmo em termos da res­
posta de tensão da rede, devida aos mesmos tipos de perdas. 
Discutir-se-ã, em poucas palavras, as facilidades para a 
avaliação de saídas programadas ou de contingências, tais 
como fluxos de carga operadores.
Seção 3.1 - Regimes de Operação das Partes Componentes do 
Sistema
Nesta discussão serão distinguidos os regimes dos 
componentes e do sistema. Dois fatores significantes afetam
os regimes dos componentes. Um fator ê o limite térmico de 
operação para os componentes,e o segundo ê o limite da ten­
são de operação. Quando considerados como parte de um sis­
tema , certos componentes, como as linhas, trazem restrições 
adicionais aos regimes, tais como os limites de transferên­
cia de operação para proteger a rede contra a instabilidade 
e defeitos em cascata, na presença de distúrbios do sistema 
Enquanto os limites de estabilidade, ou os limites de trans­
ferência, são uma função do sistema, os limites térmicos são, 
de costume, identificáveis com os componentes separados. A 
determinação de regimes de operaçãopara os componentes de­
ve levar em consideração quatro amplos aspectos:
a) a circunvizinhança, tal como a temperatura ambiente 
e a velocidade do vento;
b) o mecanismo de transferência do calor que afeta a 
elevação de temperatura como uma função da carga e 
do tempo físico: a armazenagem do calor, a radiação, 
a convexão, a condução;
c) a temperatura mãxima aceitável nas. condições nor­
mais e nas emergências; e
d) a perda aceitável da durabilidade previsível do com­
ponente para as condições de emergência, conforme ê 
afetada pela freqüência e pela duração da emergência.
A natureza das condições de emergência relaciona-se 
com as causas e com as medidas restaurativas ou remediáveis 
disponíveis. Por exemplo, os circuitos de transmissão podem 
alcançar, em alguns casos, um regime de emergência de 15 mi­
nutos, ou de 24 horas e um regime normal ou continuo iden­
tificado tanto para as condições do ambiente de verão como 
de inverno. O regime de 15 minutos relaciona-se às açõespos 
slveis nas estações de geração e nas subestações tripuladas 
e na ligação remotamente controlada por supervisor;os re­
gimes de emergência de 24 horas relacionam-se aos procedi - 
mentos de restauração, tais como de subestação por intermé­
dio de transformador movei, conserto da linha, etc. Os re­
paros do transformador podem ser de uma duração muito dife-
rente daqueles citados para os circuitos aéreos. Por exem­
plo, 'um conserto maior de transformador pode resultar numa 
duração de emergência de seis meses, enquanto a substitui­
ção de um grande transformador de transmissão por um sobres- 
salente, pode ser na- ordem de um mês;o conserto de um defei­
to de uma torre de transmissão pode precisar de uma semana; 
uma contingência de perda com gerador, linha de transmissão 
ou barramento, pode estender-se por um dia, enquanto uma e- 
mergência,que envolve a perda de uma secção do barramento, 
pode alcançar de duas a dez horas. Dois fatores entram em 
consideração para o rigor de uma emergência. São eles: a) a 
relação da duração da emergência com as maiores constantes 
térmicas de tempo, visto que essas afetam as elevações de 
temperatura no componente durante o período de sobrecarga, 
e b) o risco associado com a emergência e com as tempera­
turas mantidas acima do normal. Um condutor aéreo reage de 
duas maneiras ao excesso de temperatura. Em primeiro lugar 
hã uma expansão térmica normal que resulta numa maior fie - 
cha entre os pontos de suspensão, reduzindo, assim, o espa­
ço para os outros objetos e, em segundo lugar, hã um reco- 
simento, ou alteração nas propriedades de resistência do 
condutor, assim que acontece uma deformação suplementar
que leva a uma deformação residual e uma flecha residual na 
sua volta às temperaturas normais. Por exemplo, o livro de 
Referência de Transmissão de Distribuição Elétrica, publica 
do pela Westinghouse, sugere que, para fins de projeto, tan­
to para o condutor de cobre como' para o de ACSR, os limites 
normais nas temperaturas totais sejam usualmente tomados co­
mo sendo de 75°C; o uso deste valor tem dado uma boa per­
formance ao condutor, do ponto de vista de recozimento,sen­
do o limite de aproximadamente 100°Ç, pois, nessa tempera - 
tura, o alumínio eo cobre começam a recozer. Em alguns ca­
sos, as companhias elétricas projetaram para curtos perío­
dos de emergência, tomando uma temperatura de mais de 125°C. 
Se a duração for suficientemente curta, a exposição à alta 
temperatura não alcança um grau prejudicial de cozimento e 
de deformação. Uma lista de referências para projetos com
condutores aéreos ê oferecida na tabela 3.1 .
As temperaturas máximas permisslveis para desconec 
tar chaves para emergências que duram 24 horas, ou menos, 
foram fixadas em 110°C para as juntas mecânicas condutoras 
e em 90°C para todas as peças nos comutadores fabricados pa­
ra elevação de 30°C. Esses números excedem por 20°C as tempe­
raturas máximas permisslveis normais. Mais uma vez, a ques­
tão de recozimento e de deformação ocupam o primeiro lugar 
na consideração de uma temperatura máxima permisslvel.
No caso dos sistemas de isolamento à base de óleo, 
ou papel com oleo, ao estabelecer-se os limites de tempera­
tura para a operação normal e a de emergência, devem ser le­
vadas em consideração a cura (envelhecimento) térmica e a 
decomposição química. Os sistemas de isolamento com papel 
oleado passam pelas mudanças de envelhecimento e químicas, 
cujo grau depende da temperatura de operação. Um modo prã - 
tico, seguidamente citado, ê que a taxa de envelhecimento , 
acima de 95°C, dobra a cada 8°C de aumento de temperatura. 
Depois da cura, o isolamento de papel perde a resistência 
mecânica. Nos sistemas fechados, os produtos de decomposi - 
ção, isto ê, a ãgua, o monóxido de carbono e certos hidro- 
carbonetos, também podem provocar um aumento no fator de po­
tência do isolamento. A deterioração da resistência mecâni­
ca do papel foi estudada hã muito tempo e chegou-se à con­
clusão de que a mesma obedece à lei de proporção de reação 
química de Arrhenius, assim, pode-se fazer prediçoes razoá­
veis da perda de resistência mecânica com a historia de tem- 
peratura-tempo conhecida. Na base da perda de resistência 
mecânica conhecida, foram desenvolvidas regras de carrega­
mento para os transformadores de potência que permitem ci - 
cios de carregamento com picos que excedem o regime nominal 
da placa indicadora do transformador, dependendo da carga 
média, da temperatura ambiente e do grau de perda da dura­
bilidade permitidos pelo ciclo de carregamento. Os métodos 
de classificação e de determinação do desempenho do trans­
formador constam no Guia para Carregamento de Transformado­
res de Potência, Guia USASI C57.92 para transformadores mer­
gulhados em óleo, elevação media de enrolamento de 55°C, e 
no Guia NEMA para carregamento dos transformadores com ele­
vação media de enrolamento de 65°C, Deve-se notar que ambos 
os guias baseiam-se na teoria da taxa de reação química de 
Arrhenius e que o USASI C57.92 para os transformadores de 
elevação media do enrolamento de 55°C são bem conservadores 
comparando com o Guia NEMA para os transformadores de ele­
vação media do enrolamento de 65°C. Consultar as figuras 3. 
11, 3.12 e a tabela 3.11.
As temperaturas máximas projetadas de carregamento 
e de emergência, para os cabos sólidos, impregnados de óleo, 
isolados com papel e com cobertura de chumbo são especifica 
das no Guia AEIC n9 1-68. Por exemplos A temperatura máxima 
do condutor, ou ponto quente do condutor, ê limitada para 
95°Ç, para o condutor múltiplo blindado e para o cabo de condutor 
simples com tensão nominal de 9kV de fase-a-fase, ou menos. 
Uma operação de emergência para curtos períodos de tempo ê 
permitida, a 115°C. Esses valores aplicam-se nas seguintes 
condições: - Para as cargas normais, "essas temperaturas má­
ximas (sempre na parte real mais quente da linha ou do cir­
cuito) podem ser usadas nos cálculos de ampacidade, quando 
for conhecida uma informação adequada sobre as característi­
cas térmicas gerais dos arredores do cabo, de modo a asse­
gurar que essas temperaturas não serão excedidas. Na ausên­
cia dessa informação, as temperaturas permisslveis do con­
dutor devem ser reduzidas de 10°C, ou de acordo com os da­
dos disponíveis". - Para a operação de emergência, "as tem­
peraturas de emergência" são baseadas nas seguintes suposi­
ções: a sua aplicação não excederá um máximo de 3 períodos de emergên­
cia em quaisquer 12 meses consecutivos, nem um máximo de um período de 
emergência por ano, tomado por media sobre a vida útil do cabo; a du­
ração máxima de cada período de emergência não excederá 36 horas.
Deste modo, resumindo, a ampacidade ou a capabili- 
dade em MVA dos componentes, sejam eles uma linha aérea, um 
equipamento terminal, um cabo, transformadores ou equipamen­
to interruptor de circuito, dependem geralmente de tempera-
turas de operação seguras, as quais, em circunstâncias nor­
mais, resultarão num desempenho satisfatóriodo equipamentcy 
durante longo período de tempo (30 a 40 anos). Junto aos re­
gimes normais, geralmente estão vários regimes de emergên­
cia, ou um procedimento de carga, no caso de aparelhos mais 
complexos, tais como transformadores. 0 procedimento de 
carga reflete a história do carregamento, recentemente pas­
sada, as condições de temperatura ambiente e as constantes 
térmicas de tempo para o equipamento. O estabelecimento de 
regimes de emergência leva, geralmente, em consideração:
a) A resposta de temperatura do equipamento à sobre­
carga- tempo
b) O risco de ocorrência de uma dada condição de so­
brecarga
c) A duração provável da condição de emergência que 
causa a sobrecarga.
Em consideração ativa em algumas aplicações, esta 
a medição das temperaturas do ponto mais quente do oomponen- 
te para o uso no carregamento e na ação de controle de car- 
• ga. Por exemplo, dá-se uma séria importância ao controle de 
temperaturas do transformadores de transmissão, mais impor­
tantes ou mais destacados, bem como ao controle dos cabos 
subterrâneos de transmissão mais importantes para uso no es­
tabelecimento de procedimentos de operação, que reflitam 
os ambientes imediato e de operação para o componente. Por 
exemplo: leva-se em consideração a medição da corrente de 
carga do transformador e a temperatura máxima de óleo do cu­
me do transformador.
De posse dessas informações, cuidadosamente exami­
nadas em base periódica, pode-se predizer a tençeratura do ponto 
quente do enrolamento, quando a elevação do ponto quente do enrola- 
mento sobre o óleo do cume ê conhecida em alguma condição particular 
de carga, tal cano a carga nominal constante da chapa indicadora.A e- 
levação do ponto quente acima da temperatura ambiente na carga"k" por 
unidade, ê igual â sana da temperatura do óleo do axne mais a e- 
levação da bobina acima do óleo do cume, A elevação da bobina ê 
uma função da perda i^R elevada a um expoente "n". (î R)n
j— PERDA DE DURABILIDADE EM % POR HORA
CURVAS DE PERDA DE DURABILIDADE DO ISOLAMENTO
MODELO DE TEMPERATURA DO ENROLAMENTO DO 
TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA
O ponto mais quente de enrolamento, 0^g
o. „ = 0 + 0 + ehs a o g
0 = temperatura ambientedi
Qo = eleva9ao da temperatura do óleo de cume, sobre o ambiente
9o * (V V 11 - e'tA) + «i
0^ = Temperatura do õleo do cume em t = o
0u = Limite de temperatura mãxima de õleo do cume para a da­
da carga e ambiente
0U = 0fl[(K2R+l)/(R+l)]n
0 = Elevação do ponto quente do enrolamento sobre o õleo
do cume
0g = ©g(f1)K2n
K: unidade de carga
j,
2 "R: 1 ^ Rf q/ Perda sem carga
~0,8 autoarrefecido, OA
n:
'1,0 FOA
x constante térmica de tempo
_ rLimite de mudança de armazenagem de calor y
T ^Mudança nas perdas totais
Em aditamento aos limites térmicos nos componentes 
há, naturalmente, limitações práticas na operação dos equi­
pamentos em condições anormais. Os exemplos incluem a ope­
ração em sub ou sobrefreqüência, operação com carga dese­
quilibrada e a operação além dos limites de tensão. Deixan­
do de lado as limitações obvias de isolamento na tensão de 
operação dos componentes, também deve-se levar em conside - 
ração o impacto que a operação, fora dos limites da tensão, 
terá nas perdas e nas temperaturas resultantes para o equi­
pamento elétrico. Por exemplo, ê normal que se fixe o limi­
te da tensão de operação, na freqüência nominal para os 
transformadores de potência, nos 110% de tensão nominal no 
enrolamento primário com cargas de fator de potência retar­
dado. Além da excitação de 110% poderá haver um aumento mar­
cante nas exigências da corrente excitadora para o transfor­
mador e um aumento substancial no campo excitador resultan­
do em aumentos de perdas de dispersão em várias estruturas 
de aperto e de suporte nas bobinas e no núcleo do transfor­
mador. Essas perdas de dispersão podem causar o aquecimento 
excessivo de certas partes do isolamento e da estrutura de 
suporte das bobinas do transformador. Um exemplo desse ti­
po surge com o prê-aquecimento do gerador, ou com a prê-fa- 
diga durante a operação da partida. Por exemplo: se o equi­
pamento de regulagera for deixado na tensão normal ou nomi­
nal > quando o gerador estiver girando mais lentamente do que 
a velocidade nominal, a exigência real de fluxo no transfor­
mador de elevação da voltagem do gerador, será bem maior do 
que o fluxo de crista nominal. Essa condição de operação 
provoca a elevação das perdas de dispersão e de superaquecjL 
mento, e resulta em falha de isolamento em certos transfor­
madores de elevação da voltagem do gerador. Da mesma forma, 
as tensões de operação excessivas no equipamento de prote­
ção, tais como pára-raios, podem resultar na falha do com­
ponente, devido à inabilidade de suportar a sobretensão que 
segue as supressões. Por outro lado, a operação com ten­
são reduzida pode causar dificuldades para a tração indus­
trial e, naturalmente, pode reduzir os limites na capabili-
dade de transferência.
Em aditamento aos limites nas cargas de componen - 
tes, existem, freqüentemente, limites de transferência nas 
combinações de circuitos. Estes limites são postos para man­
ter a estabilidade do sistema nas condições de transferên­
cia de potência em condições de distúrbio, tais como nas 
falhas do sistema ou na perda de geração. Nesse caso,os li­
mites de transferência nos grupos de circuitos podem ser 
postos abaixo dos limites térmicos de carregamento,para pro­
teger o sistema durante as possíveis condições de distúrbio
Assim sendo, costuma-se prover monitores de carre­
gamento como uma parte de operações de despacho e, particu­
larmente, nos centros de controle de energia, para prevenir 
a operação com carga, perto dos limites térmicos ou perto 
dos limites de segurança de transferência. É um habito co­
mum prevenir-se quando a carga, num circuito ou componente 
particular, chegar dentro de 85 a 90% do seu limite, jã quê 
para preservar a segurança do sistema, deve-se proceder às 
alterações do despacho ou a outras ações de controle de carga. E- 
xemplos de funções do tipo monitor são a "segurança do sis­
tema" e o "monitor de megawatt" usados tanto pelo Pool de E- 
nergia de Nova York como pelo Centro de Controle de Inter­
ligações PJM.. As funções do monitor de megawatt são ilustra­
das nas tabelas 3.2 e 3.3. Mais sobre os programas de segu­
rança serã revelado na próxima seção, referente â analise da 
contingência para avaliar a capabilidade de reserva, tanto 
na capabilidade de transferência como na capabilidade de 
pick-up de carga nas unidades geradoras.
TABELA 3.1
ARTIGOS SOBRE A PERDA DE RESISTÊNCIA DO CONDUTOR E O EFEITO 
DE DEFORMAÇÃO GRADUAL
1. The Aluminum Association, Aluminum Electrical Conductor 
Handbook.
2. F.M. Fullerton, R. Sheridan, E.S. Zobel, "Evaluation of 
Conductor to Ground Clearances for Normal and Emergency 
Operations at Elevated Temperatures", IEEE Paper 71CP169- 
-PWR .
3. G.A. Davidson, P.R.H. Landrieu, T.E.Donoho, R .T .McElhaney 
and J.H. Saeger, "Short-Time Thermal Ratings for Bare 
Overhead Conductors", IEEE Paper 68TP69-PWR.
4. G.M. Beers, H.W. Lis, S.R. Gilligan and J.M. Schamberger, 
"Transmission Conductor Ratings1', IEEE Trans. Power Appa- 
ratus and Systems Vol. 82, pp. 767-772.
5. J.R. Harvey, "Effect of Elevated Temperature Operation on 
the Strength of Aluminum Conductors", IEEE Paper T72 189-4.
6. J.R. Harvey and R.E. Larson, "Creep Equations of Conduc­
tors for Sag-Tension Calculations", presented at IEEE 
Winter Power Meeting, New York City, february 1972.
7. W.B. Howitt and T.E. Simpkins, "Effect of Elevated Tem­
perature on the Performance of Conductor Accessories", 
presented at IEEE Winter Power Meeting, New York City, 
february 1972.
8. J. Endrenyi and N.J. McMurtrie, "Determination of Con­
ductor Ampacity by Digital Simulation of Load, Weather 
and Ageing History", CIGRE Paper N9 23-04.
9. J.R. Harvey, "Creep of Transmission Line Conductors",
IEEE Trans. Power Apparatus and Systems Vol. 87, pp.281- 
286, abril 1969.
10. J. R. Harveyand R.E. Larson, "Use of Elevated Tempera­
ture Creep Data in Sag-Tension Calculations", IEEE Trans. 
Power Apparatus and Systems, Vol. 88, pp. 380-386, march 
1970.
11. Alcoa Conductor Engineering Handbook, Section 8, 1961.
Capítulo 3 Tópicos Sobre a Segurança da Operação
TABELA 3.2
SEGURANÇA DQ SISTEMA
Sistemas de monitores para:
- Desvios de freqüência
- Desvios de freqüência do programa
- Desvios da linha de interconexão do programa
- Mudança significativa na produção da estação
Para desvios excedendo os limites:
- Aciona o alarme
- Examina as linhas de transmissão com monitor pa­
ra sobrecarga
- Reporta a condição do sistema ao despachante
- Analisa o sistema para formação de ilhas
- Registra os dados do sistema.
TABELA 3.3
MONITOR MEGAWATT
Sistema de monitores para:
- Linhas de transmissão excedendo os limites
- Sub-ãreas excedendo os limites de transferência
- Condições de reserva instantânea
- Erros dos dados de entrada
Simula:
- As contingências da linha e do gerador e detecta 
as linhas excedendo os limites
Para cargas excedendo limites:
- Aciona o alarme
- Analisa o sistema para mudanças de geração que 
aliviarão as sobrecargas
- Transmite as condições do sistema e as mudanças 
de geração ao despachante
- Registra os dados do sistema
Seção 3.2 - Fatores de Distribuição - Mudança de Geração
Freqtientemente deseja-se saber como a corrente da 
rede de transmissão e o fluxo de potência podem mudar em 
conseqílência de mudanças de geração, mudanças na posição de 
derivação do transformador, ou em conseqüência da remoção ou 
inserção de um ramo ou de um elemento de derivação na rede. 
0 método do fator de distribuição tem sido usado durante mui­
to tempo para fornecer estimativas a respeito de tais raudan- 
ças^ Evidentemente, o método mais preciso e mais direto pa­
ra determinar estas mudanças ê o que utiliza a analise do 
fluxo de potência (fluxo da carga). Pela comparação dos ca­
sos de base e de mudança, o impacto de uma mudança pode ser 
acuradamente avaliado, pelo menos, tanto quanto as condições 
do caso base se adaptam ao problema presente e uma vez que 
o caso da mudança represente as condições mudadas. Cedo foi 
usado o fluxo de carga para formar os fatores de distribui­
ção GKL_g ^ue meãiam a mudança no fluxo do circuito KL,de­
vida a uma mudança na geração da barra de referência à bar­
ra, de gerador "g", como estã ilustrado na figura 3.21.
A19
Para condições normais de tensão d^ rede elétrica, 
os fluxos var da linha são de importância secundaria, con- 
seqüentemente, as constatações do fluxo da linha eram fre- 
qüentemente dedicadas ao fluxo de potência da linha,e os fa-
tores de distribuição da mudança de geração eram desenvol­
vidos para as condições do caso base, expressando a mudança 
por unidade pela mudança de geração, a partir da barra de 
referência ate a barra de geração especifica:
JKl-g
APKL
AP. (3.201)
Tais fatores de distribuição da mudança de geração 
podem ser determinados por meio de pequenas e decrescen­
tes mudanças através do uso do modelo de barra Z da rede e- 
lêtrica. As tensões E da barra do caso base e as correntes 
de injeção I são representadas por
(Ê - ÊR) = [Z] í (3.202)
onde
[Z] = [Y]_1 , (3.203)
[y ] ê a matriz de admitância da barra e ê o fasor de ten­
são da barra de referência. Se uma mudança na injeção da 
corrente A í for impressa sobre a rede, então, uma mudança 
na tensão da barra A Ê deve aparecer orientada por uma re­
lação similar
AE = [Z]AI
Para a barra K, a influência de uma mudança 
na barra g aparece como segue, supondo que todas as 
correntes de carga e de gerador são constantes.
AÍgoutras
AEK = ZKgAIg (3.204)
onde z ê o elemento de [z] na fileira K, coluna g.
De modo semelhante para a barra L,
AEt = ZT AI L Lg g (3.205)
Como uma nota ao pê da pagina, podemos dizer que a 
hipótese de injeções de barras constantes pode ser mudada 
por admitâncias de derivação de barras equivalentes e cons­
tantes. Somente em analogias de fluxo de tensão "d.c." ou 
linear pode a potência constante ser preservada.
A mudança de corrente no ramal da serie KL, AÍKL 
ê dada por
a*kl â r k “ a®l ̂ ^ zk-l (3.206)
onde Z ê a impedância em serie do ramal que liga K a L . K—L
Substituindo os valores para AÊV , AÊT de 3.204 e 3.205 emJ\ 1j
3.206, resulta
Aí = (Zr9 " Zl2- Aí 
KL ZK-L ^
(3.207)
O fator complexo de distribuição da corrente ÍGKL_g ê sim­
plesmente
IG.KL-g
AÍKL = ZKg~ZLg
AI. K-L
(3.208)
Desta forma, a mudança na corrente do ramal KL sobre um ca­
so de referência ê dada pela adição fasorial complexa.
Nova I = base Í__T + (IGVT ) (Aí )KL KL KL-g g (3.209)
As expressões 3.206 e 3.207 são exatas para inje - 
ções arbitrarias de corrente AÍ^ e o fator complexo de dis­
tribuição de corrente ÍGKL_^ depende somente da configura - 
ção da rede, das impedancias e da seleção da barra de referên­
cia. Os fatores de distribuição ÍG não são influenciados
pelas condições do fluxo de potência da base. Desta manei -♦ ~ra, dado um estado "on line", os fatores de distribuição de 
corrente podem ser usados para prever os efeitos da mudança 
de geração.
Exemplo 1
Determinar a distribuição da corrente devida â in­
jeção de corrente, na barra 2, na seguinte rede de três bar­
ras:
BARRA 2 E2
BARRA 1
*1 El
/
N ro
II <—
. 0
__
__
1
» J ° > 2
Z 2 . 3 = j ° , 0 5
1 3
/
‘ | ______
BARRA 3 E3
Notemos que a rede não tem nenhum elemento de deri­
vação ligado ao solo (foram cortados e substituídos por in­
jeções de corrente fixas equivalentes). Tomando a barra 1 
como ponto de referência a aplicando a injeção de corrente, 
as relações de tensão de barra são como segue:
xi = ^ e f " - (I3+I2>
12 = ( E ^ E ^ / Z ^ + (E2-E3)/Z2_3
13 = (e 3-e 1)/z3_1 + (e 3-e 2)/z2_3
O U
-j30 + j20 
+j20 - j25
Resolvendo para E, em termos de I
/ w
M U 3 -E1
E2"El\ 
E3-ElJ
Para estabelecer o efeito de uma mudança ém injeção 
de corrente da barra de referência para uma das outras bar­
ras, consideremos uma injeção AI2 de 1 amp na barra 2 e -1 
amp na referência. Primeiramente, encontrar o efeito desta 
injeção nas tensões de barra. Sendo AE2 a mudança na tensão 
de barra 2 relativa à barra da referência
A E 2 = Z22AI2 = ^14 X 1 
Da mesma forma
AE3 = z 3 2 A I 2 = ^ 3 5 X 1
Em segundo lugar, encontrar o efeito desta injeção 
sobre as correntes do ramo. Sendo ^ 2 - 3 0 efeito de AI2 so”
bre o fluxo do ramal 2-3
AI2-3 = (AE2-AE3)/Z2-3
(Z22~Z32)AI2^Z2-3
= 2/7 AI2 = 2/7
onde, com base na figura, a impedância do ramal ^2 - 3 = j0,05. 
De modo semelhante,
Al2-1 “ AE2/Z2-1 Z22/Z2-l AI2
= 5/7 AI2 = 5/7
ai3_1 AE3/Z3_1 Z32^Z3-1 AI3 2//?
Notemos que a relação da corrente no ramo, para in­
jeção de corrente na barra, define um fator de distribui­
ção da corrente, IG;
IG23-2 =(z22-Z32)/Z2-3= 2^
onde I&23-2 a a fraÇao da corrente de injeção da barra . 2 
que flui no ramal 2-3. De modo semelhante,
e
IG21-2 = (z22) /Z2_1 = 5/7
IG31-2 Z32/Z3-1 * 2/7
Antes do advento do estimador do estado de fluxo 
de potência, o fluxo de carga em linha e/ou as medidas do 
ângulo da fase da barra em linha, havia a necessidade de pro 
videnciar meios escalares para predizer o impacto das mudan­
ças de geração. Isso era feito predizendo a mudança na po­
tência real do circuito com mudança na geração, como ficou 
ilustrado em 3.201 . Meios analíticos para avaliar estes fa­
tores de influência ou fatores de distribuição da mudança de 
geração, têm sido empregados com sucesso dentro dos limites 
de aproximação utilizados. O método procede diretamente dos 
fatores, analiticamente exatos, de distribuição de corrente:
-i-** j w y ̂ n-'
dada por
§g = (Êr + V V (3'210)
onde í * ê o complexo conjugado do fasor da corrente de in­
jeção da barra I . De modo semelhante, o fasor complexo da 
potência, que entra no ramal serie KL em K, é
KL * <Er + V I * KL (3.211)
onde
KL r (Sk i > (3.212)
Agora, considerando a pequena injeção de corrente
AIg: para a primeira ordem, a mudança no fasor da potência 
injetada na barra g ê
ASg a (Êr+ Êg) Alg* (3.213)
e, de modo semelhante, para a primeira ordem no ramal sé­
rie KL
ASKL (Êr + V AlKL* (3.214)
Dal, de 3.212, 3.213 e 3.208 
SG ASKL Er+EK -. = — — = (— — - ) (ig* )
KL“9 AS fi +fi KL“9)g r g
(3.215)
Notemos que, estritamente falando,a relação da mu­
dança de potência no ramal KL, para a potência injetada na 
barra g, não ê a parte real de Sg,,t , mas ê mais ou menosI\1j—ÇJ
. , r (aSk l > , « H V g K)as*K W )Alq*)
KL"9 R(ü5 ) R((Ê +E ) 41 *)9 r y y
(3.216)
Costuma-se selecionar AÍg de tal forma que a magnitude de 
Êr+Èg permaneça constante. Isso significa que, geralmente , 
não é possível simplesmente mudar a potência do gerador sem 
uma mudança compensatória na excitação do gerador(injeção 
var) para manter a tensão.
Uma técnica padrão para manter constante a tensão 
da barra ê requerer que, para pequenas mudanças na potência 
do gerador,AP, a mudança nos vars do gerador seja -jsAP, de 
tal forma que
AIg (1-js) AP/(ĝ *+ (3.217)
O coeficiente s ê escolhido para adequar AQ/^p pa­
ra magnitude constante da tensão da barra. Admitindo que
Aotg seja o avanço da fase de AÍ^, com respeito a Êr + ,
admitamos que e ò sejam os ângulos da fase das tensões 
& 9das barras "g" e "K", respectivamente, e que seja o ân - 
guio na forma polar do fator de distribuição da corrente com 
plexa, 3.208.
Então, 3.216 se reduz â expressão
E + Ej
‘W r - n r - r , 'igkl|e +1 r
[COS((̂ K ~ ^ + gKL~Aaq} 
Cos (Aag)
(3.218)
Ora, normalmente, a relação das- tensões da barra não di­
fere da unidade por mais de + 10%. Alêm disso, para as re­
lações de ramo X/R de 3 ou mais $KL * 0 ou n . Se a diferen­
ça da fase da barra <í>K-<f>g for pequena, então, justifica-se 
a utilização dos fatores de distribuição de corrente para 
fazer uma estimativa dos fatores de distribuição da mudança
de geração. Esta ê uma hipótese comumente empregada para os
2modelos de mudança de geraçao com objetivos de despachos .
Um paralelo muito semelhante pode ser feito com as 
aproximações "d-c” ou aproximação dos ângulos-potência usa­
das para modelar os fluxos de potência da rede.
Por exemplo, consideremos a forma que a fórmula 
3.211 assume, se for admitido
a) pequenas diferenças de ângulo entre as barras 0 -0 < .2K L
b) r k-l/z k-l -* 01
c)* lêr + êk I = 1, 0 pu
Notemos ^ue *KL “ (êK% - ê l > ' V l
então, SKL = (fir ♦ ÊK> (SK-ÊL»* / ZK-L
Mas, Ê + r ÊK = 1 *1 + j$K
e ÊK - fiL" j t»K- * L >
também ZR_L « jXR_L
Portanto, PRL = R(SRL)
= R((l+j$R)($r -$l )/Xr_l)
A injeção de potência da barra K, PR ê
PK = ^PKL 
L/K
$K bKK + bLK
L^K
onde bRR = J]l/XL_R
L^K
e LK ■ W w
na forma matricial
(P) = [B] ($)
onde (P) e ($) são os vetores de colunas das injeções de po­
tência e dos ângulos da fase da barra, respectivamente, e 
[b ] ê a matriz dos termos de suscetância bLR.
Notemos que ê costume apagar a injeção de potên­
cia na barra de referência e o ângulo de fase da mesma bar­
ra dos vetores de coluna, desde que o ângulo de fase da bar­
ra de referência seja fixo e geralmente marcado com o valor 
zero. Dessa forma, numa rede de N barras, [b ] êdimensionado 
(N-l) x (N-l).
Fator de distribuição da mudança de geração - Exemplo 2
Consideremos a seguinte aproximação para uma rede 
de transmissão de extra-alta tensão, como estã demonstrado 
na seguinte figura:
A figura acima mostra um sistema puro de 345 kV re­
presentado pelas reatâncias da linha. (Os efeitos do carre­
gamento da linha sobre as tendões da barra podem ser acura­
damente incluídos nas computações, mas aqui foram excluídos 
para simplificar). As cargas ativas e reativas, e a geração 
de potência ativa programada são indicadas. A solução do 
fluxo de potência para esse caso estã ilustrada na tabela 
3.21 com a barra 1 como referência. Notemos, nesse exemplo 
simplificado, que os elementos em derivação da rede foram
substituídos por injeções de corrente equivalentes. A matriz 
de admitância da barra [y ] e a matriz de impedância da bar­
ra [z] são ilustradas nas tabelas 3.22 e 3.23, com a barra 
1 como barra de equilíbrio,e o solo como referência.
SAÍDA DA SOLUÇÃO ITERATIVA DO FLUXO DE CARGA 
TABELA 3.21
F R 0 M M A G . A N G . T 0 M A G . A N G . P Q
B U S V V B U S I I
1 1 . 0 0 0 0 . 2 2 . 2 1 8 - 2 8 * 9 1 * 9 4 3 1 . 0 7 1
3 1 . 2 1 5 - 2 9 * 6 1 * 0 5 7 0 . 6 0 0
2 0 . 9 4 3 - 7 . 1 0 1 1 2 . 2 1 8 1 5 1 . 1 - 1 . 9 4 3 - 0 . 7 7 6
3 0 . 8 8 1 - 3 0 . 2 0 . 7 6 4 0 . 3 2 6
4 0 . 9 7 7 - 2 9 . 2 0 . 8 5 4 0 . 3 4 6
5 1 . 8 7 0 - 2 9 . 9 - 1 . 6 2 5 0 . 6 8 3
3 0 . 8 9 3 - 1 6 . 5 0 2 1 1 . 2 1 5 1 5 0 . 4 - 1 . 0 5 7 - 0 . 2 4 6
2 0 . 8 8 1 1 4 9 . 8 - 0 . 7 6 4 - 0 . 1 8 6
4 0 . 5 8 5 - 2 0 . 0 0 . 5 2 1 0 . 0 3 2
4 0 . 8 9 2 - 1 7 . 6 2 7 2 0 . 9 7 7 1 5 0 . 8 - 0 . 8 5 4 - 0 . 1 7 4
3 0 . 5 8 5 1 6 0 . 0 - 0 . 5 2 1 - 0 . 0 2 2
5 0 . 2 0 3 - 3 2 . 5 0 . 1 7 5 0 - 0 4 6
5 0 . 8 8 1 - 2 0 . 6 8 6 2 1 . 8 7 0 1 5 0 . 1 - 1 . 6 2 5 - 0 . 2 6 3
4 0 . 2 0 3 1 A 7 . 5 - 0 . 1 7 5 - 0 . 0 3 7
TABELA 3.22
[ Y ] =
Barra
2
3
4
5
-j36,llll 
j 5,555
j 5,555 
j 8,333
j 5,555 
-j43,055
j33,333
0
j 5 , 5 5 5
-j33,333
j 8,333 
0
j 4,166
Matriz de Admitância da Barra
-j43,055 
j 4,166 -j12,4999
TABELA 3.23
Barra Z MATRIZ
1 0 0 0 0 0
2 0 j0,05057 jO,03774 jO,04031 jO,04016
3 0 j0,03774 j0,08918 j0,07889 j0,05145
4 0 jO,04031 j0,0789 jO,09518 jO,05859
5 0 jO,04716 j0,05145 jO,05858 jO,13103
Matriz de Impedância da Barra
Uma tabela dos fatores de distribuição da corren­
te (equação 3.208), para injeções na barra 2, ê oferecida na 
tabela 3.24. Os elementos da matriz de impedância da barra 
são obtidos da tabela 3.23.
TABELA 3.24
Injeção 
da Barra De Para
Elementos da Ma­
triz de Impedân- 
cia da Barra
Impedância 
do Ramo
Fator de Dis­
tribuição da 
Corrente
g K 1 ZKg Z-,ig ZK-1 IGKl-g
2 2 1 j0,0506 - j0,06 + 0,843
2 2 3 j0,0506 j0,0377 j0,18 0,072
2 2 4 j0,0506 j0,0403 j0,18 0,057
2 2 5 j0,0506 j0,0471 j0,12 0,029
2 3 1 j0,0377 - j0,24 0,157
2 3 4 j0,0377 j0,0403 j0,03 - 0,086
2 4 5 j0,0403 j0,0471 1,24 - 0,028
Construção de Fatores de Distribuição 
de Mudança de Geração
Exemplo 3 - Tratamento dos Elementos em Derivação de Impe- 
dância Fixa
^Consideremos o exemplo numérico apresentado na fi­
gura III-Í, do Apêndice III, do Capitulo 1 "Conceitos de 0- 
peração Econômica”. Neste exemplo, o carregamento da linha 
forma o elemento em derivação fixo para ilustrar os pontos 
de interesse. Escolhendo a terra como referência,pode-se ex­
pressar a relação entre o fasor das tensões de barra e as 
correntes de injeção, como:
(I) = [Y] (E)
onde (I) e (E) agora são vetores de coluna 6x1 ,e Y ê umama- 
triz complexa 6x6, cujas partes reais e imaginarias, G+jB , 
são mostradas nas tabelas 3.25 e 3.26, respectivamente.
A relação inversa, envolvendo Z 
na seguinte expressão, na qual X]3arra e R 
tabelas 3.27 e 3.28, respectivamente.
barra'
barra
ê mostrada 
são dadas nas
(E) Jbarra (I)
A próxima tarefa ê investigar o impacto de uma in­
jeção de corrente AIg na barra g, com uma mudança comple­
mentar na barra 1. Seguiremos o mesmo procedimento dos dois 
primeiros exemplos desta seção. O impacto sobre a tensão da 
barra 2 ê:
= zLg AIg + ZL1 (_AIg)
= (z_ - zT1) AILg LI g
e para a barra 1:
^ 1 = (zlg - zll) AIg
Notemos que o potencial da barra 1 muda com as in­
jeções em g e em 1. Agora, a corrente no ramo K-L, devido à
injeção AÎ . em g e -AÎ . em 1, torna-se:
AIKL = ((zKg “ ZK1) “ (ZLg” ZL1)}* AIg/ZL-K 
Entãot o fator de distribuição da corrente é
*GKL-g *zKg“ “Kl - zLg + ZLl>'Zr.-L-K
e percebe-se que essa expressão difere de 3.208 pelo apare­
cimento de elementos de impedância mutua entre as barras K 
e L e a barra de referência (1).
Encontra-se o fator de distribuição da corrente 
para a linha 4-5, ocasionado por uma injeção na barra gera­
dora 2: K=4, L=5, g=2
* * I45-2 (Z42 " Z41 " Z52 + Z51)/Z4-5
Da figura III-l
z4«5 = 01014 + j 0 #14 
Das tabelas 3.28 e 3.27
r42 = -0/00241 x,~ = 0/80872 42
r41 = ~°'00077 X/ll = 0/82565 41
r52 = -0/00077 X52 =
r51 = -0/00241 xcl = 0/80872 51
Conseqüentemente,z,0 - z A1 - zco + zc1 = -0/00328 + j0/03386 42 41 52 51 J
Portanto/ .
I45-2 = “ (°/°0328 + j0,03386)/(0,014 + jO,14) =-0,242
Ignorando a corrente da carga, teríamos esperado 
I45_2 = “I/4'# conseqüentemente, neste exemplo, o efeito da 
corrente de carga ê relativamente menor.
Podemos definir uma nova impedância
Z.^ = Z, " z, T Kg kg kl
formada pela subtração da primeira coluna de [z] de todas 
as outras colunas de Z. O resultado dessa subtração esta i- 
lustrado na tabela 3,29 para r ^ e 3,30 para . Agora, o
fator de distribuição da corrente aparece assim:
ÍGKL-g = (zKg) ~ ZLg))//ZL-K
Cuidado: não ê matriz da impedância da barra, formada
com a barra k como referência. Notemos que a tensão da bar­
ra 1 muda com a corrente injetada nas barras 2 a 6.
G MfiTRIX 2.12100 -0.70700 -1.41400 fi.00000 Õ.00000 0.00000 0.000
-0.707O0 2.12100 3.00000 6.00000 0.00000 -1.41400 -l.klk
-1.41400 0.00000 2.32006 -1.41400 0.0OOÔ0 0.00000 0.000
0.00000 0.00000 -1.4140Õ 2.12100 -0.70700 0.00000 0.000
0.00000 0.00000 0.00000 -0.70700 2.12160 -1.414O0 -l.hlk
0.00000 ,-1.41400 0.00000 0.00000 -1.41400 2.82860 2.828
TABELA 3.25
B MfiTRIX -21.43560 7.07600 14.14000 0.00000 3.00000 0.00603
7.07060 -21,43500 0.06000 Ü.00000 0.00000 14.14000
14.14000 0.00000 -23.43006 14.14000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 14.14000 -21.43506 7.07000 0.00000
0.90060 0.00000 0.00000 7.07000 -21.43506 14.14000
0.00000 14.14000 0.00000 0.00000 14.14006 -23.43600
X MflTRIX 
0.S7749 0.82583 0.34712 0.32565 0.80372 0.81308
0.82533 0.87749 O.31300 8.30872 0.32565 0.84712
0.34-12 0.81300 0.37753 0.34712 0.813Õ0 0.80876
0.32565 0.8G372 0.84712 0.37749 0.82533 0 . S I 300
0.30372 Õ.32565 0.313Ü0 0.32583 0.87749 0.84712
0.813Ô0 0.34712 0.3Õ376 y.81300 0.84712 0.87753
TABELA 3.27
R MfiTF.IX
0.G0435 -0.00074 0.00134 -0.00077 -0.0O241 -0.0Õ199
-0.60374 0.00435 -0.00199 -0.00241 -8.0C077 0.80134
0.0O134 -0.00199 C .00435 0.0O134 -0.O0199 -0.00240
-0.03077 -0.00241 0.00134 0.00435 -0.0G074 -0.00199
-0.00241 -0.O0077 -O.00199 -0.00074 0.00435 0.00134
-0.80199 O.00134 -0.0024O -0.03199 0.O0134 O.0O435
TABELA 3.28
BUS 1 hS REFEPENCE 
NEW R íífiTRIX
0.00000 -0.00508 -0.00301 -0.00512 -0.00675 -0 .00633
0.00000 0.005OS -0.00125 -0.00167N -0.00003 0.00207
0.00000 -0.00332 0.00302 0.00000 -0.00332 -0.00374
0.00000 -0.00164 0.00211 0.00512 . 0.00003 -0.Õ0122
Ô.00000 0.00164 0.00042 0.00167 0 . 0 0 6 ^ 0.08374
0.00000 0.00332 -0.00041 0.00000 0.GO333 0.ÕO634
TABELA 3.29
KEIfí X rfiTRIX
0.00000 -0.05167 -0.03037 -3.05134 *0.06377 -Õ.06449
0.00000 0.05167 -0.01232 -3.01710 -0.00017 0.Õ2130
0.00000 -0.03412 0.03840 0.00000 -O.03412 -0.O3337
0.00000 -0.O1693 0.02147 Õ.05134 0.00017 -C.01265
0.08800 0.O1693 0.O0428 0.01713 0.06877 0.O384O
6.00000 0,034:2 -0.08425 0.Ô8080 Õ.03412 0.06453
Seção 3>3 - Fatores de Distribuição - Salda de Ramo
A redistribuição de fluxos, devida à perda de um 
circuito, pode ser predita pela superposição. Nòvamente, o 
método ê exato para redistribuição da corrente e aproximado 
para a redistribuição da potência. Vamos ilustrar, agora, a 
perda de um circuito no interior da rede. Presume-se que o 
circuito particular não fornece carga radialmente conectada 
nem geração radialmente conectada. Notemos que tais aconte­
cimentos que causam a redistribuição de geração ou de carga 
requerem um modelo de distribuição de mudança de geração,pa­
ra representar as condições que seguem a perda do circuito. 
Essa condição serã discutida na seção 3.4 com a aplicação de 
fatores de distribuição.
Aqui estã uma ilustração do impacto da remoção de 
uma ramificação em serie, no interior de uma rede. Conside­
remos o esboço, figura 3.31, no qual a ramificação em serie 
r, s foi identificada para remoção. Vamos admitir que, se­
guindo a remoção da ramificação, as correntes de injeção da 
barra do gerador permanecem constantes. Como no caso da mu­
dança de geração, varias opções são possíveis. Uma possibi­
lidade ê manter constantes as injeções da barra da carga. 
Outra possibilidade ê manter constante a impedância da car­
ga. Para esta discussão, admitiremos que tanto as injeções 
da geração como as da carga permaneçam constantes. Esta hi­
pótese ê consistente com o modelo da "analogia d.c.", como 
visto na seção 3.2.
Com ramificação r-s no lugar
3rs ■ (Er - V /Zr-s (3-301)
Antes da remoção da ramificação, a simulação dos 
fluxos básicos, com a rede reduzida dentro do retângulo es­
boçado na figura 3.31, exigira, uma injeção de -í no bar­
ramento r e uma injeção de +í no barramento s. Agora, va- 
mos achar as alterações de tensão do barramento, AE causa -
das pelas injeções iguais e opostas +í no barramento "r"r s
e -I no barramento "s"; Aí rs —
AE = Z' AI (3.302)
ê a matriz da impedância do barramento sem a rami- 
r-s.
A mudança no fluxo, na ramificação K-L, devida à 
AI, ê dada por:
AÍrl = (AÊr - Aê l )/zK-l (3.303)
A expressão explicita para AÉR na 3.3(jf2 ê
onde Z' 
ficação
injeção
4 g K ‘ z ' K r ( + A W +
= (z\, - z' ) AIKr Ks rs (3.304)
portanto,
AlKL AÍrs(z'Kr “ 2'Ks 2'Ir + 2'l s )/ZK-L
Deixando o ILT,TKL-rs
ção da ramificação:
(3.305)
ser o fator de distribuição da interrup-
ZLKL-rs AI.
A lKL z 'K r “ Z ' k s Z , L r + ■z ' l s
rs K-L
(3.306)
3Stagg e El-Abiad mostram na tabela 4.1 que, se a 
"impedância negativa" -Z for adicionada em paralelo âim-37“" S
pedância existente +Zr_g podem ser usadas formulas de adi­
ção de linha para determinar os elementos da matriz da im­
pedância do barramenta para a matriz reduzida, diretamente 
dos elementos de impedância na matriz original ou não modi­
ficada. Quando for feito isso, o fator de distribuição tor- 
nar-se-ã:
■^KL-rs
Z r zT, - zT, - z-, + z..r-s Kr Ks Ir ls______
L T z - z -z + z -Z K-L L rr rs sr ss r-s
(3.307)
Exemplo: A alteração de circulação da linha 5-4 devidoàin­
terrupção da ramificação 3-4.
Usando a equação 3.307 e a tabela 3.23 para os 
elementos da matriz para a impedância do barramento, resulta em:
r = 3, s = 4, K = 5, L = 4 
Z!
Zr-s = Z3-4 = j0'03
"K-L Z5-4 j0,24
ZKr _ ZKs “ ZLr + = 3(0,0514 - 0,0586 - 0,0789 + 0,0951)
= j0,0090
z — z — z + z -Z = rr rs sr ss r-s
= j(0,0891 - 0,0789 - 0,0789 + 0,0951 -0,03) =
= j0,0036
t t , = - x = + 0 313^54-34 j0,24 X -j0,0036
Como com^ os fatores da distribuição de deslocamen - 
to de geração, os fatores da distribuição da interrupção da 
ramificação podem ser normalizados para relacionar a alte­
ração da circulação de potência na ramificação "K-L" devida 
à perda da ramificação "r-s". A normalização deve ser feita
ao redor de um caso bãsico, e as aproximações referentes às 
pequenas alterações nos ângulos de fase, no barramento, de­
vem ser invocadas. Especialmente, deve-se notar que os fa­
tores de distribuição da interrupção do ramal, dados pelas 
equações 3.306 e 3.307, são idênticos aos fatores que são 
revelados pela analogia da corrente continua (P = [y]<5), com 
a condição de que as proporções da ramificação X/R sejam al­
tas (3 ou mais) e de que as diferenças de ângulos fãsicos do 
barramento, através das ramificações da rede, sejam peque - 
nas, mantendo válida a aproximação sen Aó = Aô- A aproxi - 
mação comum, feita para relacionar a alteração do fluxo de 
potência devido à interrupção da linha, ê:
KL-rs = R [l£KL-rs ] (3.308)
AP KL LKL-rsPrs
depois 
da inter­
rupção r-s
(3.309)
antes da 
interrup­
ção r-s
O método de desenvolver os fatores de distribui -
ção da interrupção do ramal, pelo método da matriz de impe-
~ 4dancia do barramento, foi generalizado por H. E. Brown .
Brown nota que o efeito duma contingência, tal como a in­
terrupção de uma ramificação, pode ser modelado pela super­
posição das soluções de tensão da rede, que surgem de duas 
injeções de corrente equivalente . O seu método ê o seguin­
te:
Suponha-se que todas as cargas são substituídas 
por impedâncias constantes. Deixa-se que uma corrente,1 por 
unidade, seja injetada no barramento "r" e removida na bar­
ra de referência. Em tais condições, a circulação na rami­
ficação"rs", na rede original ou básica, serã
rs = 1 (zrr ' zsr)/Zr-s (3.310)
Suponhamos, nas condições básicas, que a circulação no ra­
mal "rs", í^rs f ê vezes o valor predito -pela equação 3. 
310
K, = I /í' b r3x rs (3.311)
Agora, uma corrente igual a K, ê injetada no bar- 
ramento "r", o que resulta numa corrente Io / na ramifica­
ção "rs". No ramal KL, a corrente resultante da injeção 
seria
i<dKl = gb (ZKr ZLr)//ZK-L (3.312)
A seguir imprime-se a mesma corrente na rede modificada, is­
to ê, na rede, com a ramificação removida:
4 2> ‘ *b (Z 'Kr - Z ' l r > /ZK-L (3.313)
A diferença nas correntes, I (D - I ( 2 )‘KL "KL e a alteraçao 
corrente do ramal K, devido â abertura do ramo "rs"
na
AIK = Kb (2Kr - z - z ’Kr + z1Lr )/zK_K-L (3.314)
De acordo com isso, o método de Brown dá o fator de distri­
buição da corrente da ramificação interrompida, como:
ILKl-rs
5 ( 1 = ^ (ZKf ~ ZLr - Z>Kr + Z'lc) 
ZK-L Zrr “ zsr
(3.315)
e, pelos métodos de Stagg e El Abiad, ref. 3, página 90, Z' ,JsT
Z ’Lr pode ser eliminado, dando:
“ KL-:rs
r-s
K-L
z — z — z + z Kr Ks Lr Ls________
(z + z -z - z -Z ) rr ss sr rs r-s
(3.316)
Agora, a 3.316 vai ser encarada como idêntica à 
3.307, provando assim a equivalência dos métodos.
O método de Brown pode ser generalizado para tra-
tar da remoção de ramificações em serie e em derivação dos 
equivalentes tt de circuitos e transformadores, tendo a ter­
ra como referência. Para formar a rede modificada, o método 
exige a remoção tanto da ramificação em serie como dos ele­
mentos de derivação. Recomenda-se que a modificação da rede 
seja feita, em primeiro lugar, modificando a matriz de ad- 
mitância de barra e depois, se for necessário, formando so­
mente aquelas colunas da matriz de impedância do barramen- 
to, que são exigidas para determinar os fatores de distri - 
buição.
Métodos eficientes para formar colunas simples da 
matriz de impedância do barramento são disponíveis utilizan 
do os métodos de fatoração triangular sobre a matriz espar­
sa de admitância do barramento. Deve-se dar ênfaseâespar- 
sidade da matriz do barramento "Y". Por ordenação quase õtima, os fa­
tores triangulares do barramento ”Y" são da mesma forma es­
parsos, permitindo uma armazenagem eficiente e um calculo 
rápido das colunas individuais do barramento "Z". Por exem- 
pio: Suponhamos que a r. coluna do barramento "Z" ê deseja­
da e que MY" ê disponível na forma fatorada.
L [DUj = [Y]
onde "L" ê a matriz triangular inferior com ."uns" na diago­
nal, "D" ê a matriz diagonal e "U" ê a matriz triangular su­
perior com "uns" na diagonal.
Para calcular a "K^" coluna do barramento "Z"in­
jeta-se uma corrente de 1 por unidade no"K9" barramento(ze­
ros em todas as outras injeções de barramento) e os resul­
tantes fasores das tensões de barramento [e ]k são iguais âs 
impedâncias na "K^" coluna do barramento "Z":
[l]K = (0, 0, 0 - -, IR = 1, 0 - - - 0)
Resolver:
M k = Y M k = M [do] [e]k
Passo 1 : Pela substituição em avanço (começando com a solu­
ção para a^ = I ̂na fila 1) , resolver para [a]
W k = L W
Passo 2 : Pela substituição em retrocesso (começando com a solu­
ção para En = an/d na ultima fila), resolver para
M k
[a] - [DO] [E]K
Seção 3.4 - Aplicação dos Fatores de Distribuição
Ate aqui, a discussão era referente à formação de 
formas fundamentais dos fatores de distribuição: os deslo­
camentos de geração para, e a partir de, um barramento de re­
ferência, e a redistribuição do fluxo da linha devida às in­
terrupções dos ramais. A discussão volta agora para o uso 
destes fatores fundamentais de distribuição em certas apli­
cações praticas. Consideram-se três aplicações:
a) Falha do gerador
b) Interrupção do circuito
c) Interrupção do transformador
a) Falha do Gerador
Considerando o efeito de uma falha do gerador,pre1- 
cisam ser identificados três períodos de tempo, na discussão 
do impacto. O primeiro período de tempo ê o instante que se­
gue a falha ou a perda da unidade. Neste instante, presume- 
-se que os encadeamentos do fluxo e a velocidade do rotor ou 
a velocidade angular do campo sejam constantes. Um equiva­
lente comum ê a tensão interna constante atras da reatância 
"subtransitôria". O impacto no fasor da tensão terminal do 
gerador ê quase instantâneo e propaga-se através da rede e- 
lêtrica interligada. Ê mantido o equilíbrio da potência ele-
trica entre a salda da geração elétrica e a carga. Uma vez 
que a entrada da potência mecânica ao sistema tenha mudado 
pela perda do dado gerador de turbina, e desde que a salda 
da potência elétrica de um gerador seja afetada pela alte­
ração do fasor da tensão terminal, haverá uma mã combinação 
entre a entrada de potência mecânica da turbina e a salda de 
potência elétrica do gerador. Ademais, desde que o impacto 
na tensão do terminal do gerador seja mantido através de to­
da a rede elétrica interligada, a resultante distribuição de 
potência serã afetada fora das fronteiras da ãrea de contro­
le, dentro da qual ocorreu a perda do gerador. Para a repre­
sentação da distribuição inicial de potência, torna-se ne­
cessário providenciar nas estimativas dos fluxos sobre as 
linhas de união que ligam a ãrea de controle com o resto da 
rede interligada, bem como as alterações de salda elétrica, 
em cada gerador sincronizado dentro da ãrea de controle.Is­
to quer dizer que a alteração da circulação num circuito, 
devida â interrupção do gerador, exigirã a especificação da 
distribuição daquela perda de potência entre os geradores na 
ãrea de controle, bem como a especificação da circulação de 
potência que virã pelas uniões das unidades geradoras, no 
resto da rede interligada.
Um segundo período de tempo persiste do instante 
inicial, através de vários segundos, atê o tempo quando o 
declínio da velocidade ou da freqüência sincrônica do sis­
tema for detido pela ação de regulador na rede interligada.
A primeira,,oscilação" durante este segundo perío­
do é, de costume,a mais severa se o sistema interligado for 
estável para as condições de distúrbio. A grandeza da osci­
lação relaciona-se com a distribuição dos primeiros dese­
quilíbrios de potência do gerador (diferença entre a salda 
elétrica e a entrada mecânica). A circulação oscilante da 
potência sobre as linhas de união ê afetada pela rigidez da 
rede e pelas relativas inêrcias dos geradores dentro e fora da 
ãrea de controle. Cedo, neste período, cada gerador aparece 
como uma magnitude de voltagem constante atrãs da sua rea-
tância transitória. O desequilíbrio da potência do sistema 
impele a freqüência do sistema a declinar ate que as carac­
terísticas de regulação de velocidade do regulador de tur­
bina e a capabilidade de reação de tempo reduzido do for­
necimento de energia equilibrem a carga. Desta forma,os mo­
delos devem reconhecer a importação de potência para as ã- 
reas deficientes pelas linhas de união, bem como a distri­
buição do restante entre os geradores sincronizados dentro 
daquela ãrea de controle deficiente.
O terceiro período cobre o tempo alêm do período 
de poucos segundos atê o período de 1 a 5 minutos, durante 
o qual o sistema do controle automático de geração dirige as 
unidades geradoras para aumentar a carga e a velocidade, a 
fim de corrigir o déficit pela realocação da carga entre os 
geradores dentro da ãrea de controle deficiente. Neste pon­
to supõe-se que a redistribuição da geração ocorre dentro da 
ãrea de controle, de modo que a transferência líquida sobre 
os elos de interligação ê retornada ao valor programado.
Em resumo, devem ser considerados dois tipos de 
modelos. 0 primeiro modelo inclui a distribuição da defici­
ência, em parte, para as unidades geradoras de fora da ãrea 
de controle e, em parte, para as unidades internas dessa ã- 
rea, de tal modo que os fluxos resultantes no circuito re­
flitam tanto o desvio do intercâmbio, relativo â programa - 
ção, como também a mudança da geração dentro da ãrea de con­
trole. Esta redistribuição tem sido feita, em certos casos* 
pela alocação proporcionalentre as unidades geradoras den­
tro da ãrea e as linhas de união da interligação, ou os bar- 
ramentos equivalentes fora da ãrea de controle, conforme ê 
mostrado na equação 3.401, na qual a alocação ao gerador"G", 
dentro da ãrea de controle, ê proporcional a vezes a per- 
da de potência, e a alocação ao elo ê proporcional a aT ve­
zes a perda de geração.
ÕP
ÔT
G
T
aGPPerda 
= ~»TPperda
(3.401)
£ctG + JaT = 1 (3.401)
Ger Uniões
Supondo que os fatores de distribuição para os 
deslocamentos da geração de cada barramento do gerador e de 
cada barramento de união de interligação foram determinados 
para deslocamentos relativos à referência, o efeito liqui­
do do deslocamento composto sobre um dado circuito ê forma­
do somando o fator de distribuição de geração ponderado, para 
cada injeção do barramento, conforme ilustrado em 3.402.
^^LK-g perdida"” ^LK-g perdida"1" ^ aGGLK-G+ ̂ a*TGLK-T
° 1 (3.402)
Outra vez, a estimativa da distribuição da gera­
ção sobre as ãreas externas e sobre as linhas de união da 
interligação deve ser feita da simulação dinâmica das con­
dições de disparo e de recuperação do gerador. Numa interli­
gação grande, a deficiência causada pela perda de uma uni­
dade geradora individual, numa ãrea de controle relativamen­
te pequena, serã removida principalmente pelas unidades ge­
radoras nos sistemas interligados fora da ãrea de controle.
Seguindo a reação corretiva pelo sistema de con­
trole automático de geração, para fazer o intercâmbio retor­
nar ao programa, a distribuição de geração serã uma função 
da capabilidade de reação das unidades, dentro da ãrea de 
controle. Neste caso, o deslocamento na carga, no circuito 
KL, serã dado na expressão 3.403.
^LK ~ GLK-g perdido^ ^ g perdidô . + ^ GLK-g ^ g (3.403)y
Y AP •= AP ...“ g g perdrdo
B. Interrupção do Circuito
Na seção 3.3 foram determinados os fatores de dis-
tribuição da salda do ramal para a rede em serie, sem ter­
mos de derivação. Este modelo ê suficiente para a analogia 
de corrente continua para os modelos do fator de distribui­
ção de potência real. Para o modelo de corrente ê necessã - 
rio reconhecer os termos do circuito de derivação, confor­
me ilustrado na figura 3.41.
Figura 3.41
Claramente, se o I que deixa o barramento "r",e2T S
I que deixa o barramento Ms" são conhecidos, então, o im­
pacto sobre a rede reduzida com a remoção dos elementos em 
serie ou em paralelo do circuito "rs" pode ser determinado, 
conforme ê ilustrado na equação 3.404.
AÊ = [Z1] Aí (3.404)
0 impacto no fasor tensão do barramento "K", devido à remo­
ção de "rs", ê ilustrado na equação 3.405.
“ * * * ' » • * r s + z ' k s ( 3 - 4 0 5 )
A alteração na corrente no ramal "K" ê dada pela equação 
3.406, a qual ê análoga à equação 3.405 para a rede sem os 
termos de derivação.
A*KL ( ( Z 'Kr- Z 'Ltr) * r s + (Z ' ks “ Z ' l s ) * s r )//ZK-L
(3.406)
Deve ser notado que, a não ser que as correntes 
sejam medidas em ambas as extremidades do circuito a ser re­
movido, ou a não ser que uma estimativa do estado da rede 
permita os cálculos das tensões do fasor de barramento,ou que 
exista um fluxo de carga no caso base, definindo as tensões 
do fasor de barramento, a expressão 3.406 não poderã ser a- 
plicada. Esta situação ê evitada com a analogia de corrente 
continua, tanto mais que as grandezas de tensão são supos­
tas neste modelo e somente os termos da ramificação em se­
rie são preservados.
C. Interrupção do Transformador
As saldas de transformador devem ser tratadas de 
maneira semelhante às interrupções de circuito, para refle­
tir os elementos de d,erivação no equivalente II para o trans 
formador. Um esboço do equivalente II de transformador ê o- 
ferecido na figura 3.42. A admitância de oposição serie, de 
enrolamento para enrolamento, ê Ŷ _. A proporção complexa de 
espiras por unidade ã provoca o surgimento de admitâncias e 
impedâncias assimétricas de seqüência positiva. Portanto, a 
matriz de admitância do barramento e a matriz de impedância 
do barramento, na presença do transformador de deslocamento 
da fase, tornam-se assimétricas. Uma aplicação interessante 
do enfoque do fator de distribuição ocorre com a represen­
tação dos transformadores de deslocamento de fase com a al­
teração da derivação sob capabilidade de carga. Por exemplo: 
Consideremos o. transformador com deslocamentos de fase pu - 
ros, no qual a relação de espiras permanece constante na 
grandeza da unidade, enquanto o ângulo da fase desloca-se. Consi­
deremos uma mudança de derivação que resulte num desloca­
mento da relação de transformação de 1/0 para 1/g .
Sob as condições iniciais, a taxa de deslocamento 
de fase do transformador estã em 1/0 e as tensões iniciais 
do barramento são Er e Eg . Sob as condições de mudanças 
de derivação, a relação de° transformação do transformador 
estã em 1/g e as novas tensões de barras são Êr e Eg , re-
sultando, pois, em uma variação de AÊ^ = - etc.
Figura 3.42
As correntes iniciais que afluem ao deslocador de
fase I e I sao para a = 1/0:rs_ sr s ^ L—o o
I = (E - E ) Y, rs r s to o o
(3.407)
í = (Ê - Ê ) Y, sr s^ r to o o
As correntes finais que afluem ao deslocador da fase devem sa­
tisfazer para ã = 1/3 :
i rs - (®r - Ese:ie) Yt ' (3 .408)
*sr ' (Es - Sre'j6> Yt
As aparentes alterações da corrente que fluem para fora dos 
barramentos "r" e "s", devido à mudança de derivação, são:
Alrs = ’ Jrs = (AÊr " } Yt (3*409)o o
AÍsr = 1 Sr ~ 1sr = (AÊs ' +jeÊr } Yt O o
onde foi invocada a suposição para o ângulo pequeno e*^~l+j3 . 
Porem, uma mudança de injeção age reciprocamente com a rede, 
para causar uma alteração da tensão do barramento:
AE = -AI r rs rr -AIsr rs (3.410)
AE = -AI s rs sr - AIsr ss
onde as apóstrofes dos elementos de autoimpedância e de irrpe- 
dância mutua do barramento referem-se â rede reduzida sem 
transformador de deslocamento da fase.
Portanto, se AÉr , AÊg forem eliminados de 3.409 
pela 3.410, os efeitos mútuos farão nascer o sistema de equa­
ções, mostrado na 3.411.
(1+Yt (z'rr~z'sr)) Alrs+Yt ^ ' r s ^ W &1sr = "j^ Et s
(3.411)
Y. (z1 - z'rr) AI +Y (1+Y, (z1 -z* ) AI = jBY Et sr rs r t ss rs' sr JP t ro
Resolvendo simultaneamente as equações 3.411, resulta em:
4 1 -Ss d « t <z'ss- * W > + (2'ss-z'rs> rtrs o o
jgY. 1+Y. (z' +z' -z' -z1 )t rr ss rs sr (3.412)
~ -E (z' -z' )-Y.+E (1+Y. (z' -z* ))AI s rr sr t r t rr srsr _ o_______.________ o_________________
l+Y^z' + z' - z' - z’ )tv rr ss rs sr
ou nos termos das correntes iniciais, as tensões
AErs
-E + I (z1 - z' )s^ rs_ ss rso o
jgYHt 1 + y. (z1 + z* - z' - z* )Jt rr ss rs sr
0.413)
AI E + I (z' - z' )sr rr srsr ______o_____o__________________
*^Yt 1 + Y (z1 + z' - z1 - z' )t rr ss rs sr
O impacto duma mudança de derivação de + jg , no ângulo da 
fase, então, ê dado pors
^ ‘ - 4lrs z 'k t - t ísr z*Ks l3' 414>
0 ponto importante a ser enfatizado ê que a predição do 
efeito duma mudança de derivação sobre a distribuição do flu 
xo da rede exige suficientes medições do estado da rede,is­
to ê, das tensões do fasor terminal.
Na sua publicação "Operação em Linha dos Desloca- 
dores de Fase, Usando os Computadores do Centro de Controle 
de Energia", submetida à apresentação no Encontro de Inver­
no em Sistemas de Potência, IEEE, os Srs. Thanikachalan, Sul- 
zberger, Van Olinda e Wrubel prepararam um método aproxima­
do para predizer o deslocamento nos fluxos de potência do 
circuito, devido a uma mudança no ângulo da fase.
A analogia de corrente continua ê empregada com
a reatância em serie de cada circuito retida no modelo.Pre­
sume-se que as tensões terminais dos deslocadores de fase , 
ficarão em 1 pu, e que o efeito da mudança de derivação re 
sultarã num deslocamento de fase puro, e*3 .̂
O modelo usado pelos autores ê o mostrado no es­
boço que segue:
Vamos deixar que X'eq = a reatância equivalente
do resto do sistema, observado dos barramentos rs. X ’ =eq ^
=X' + x' -X' -X' , , onde os elementos, com apôs-rr ss rs sr
trofe, de reatância são para a rede sem os ramais"r,s".
Deixemos que X = a reatância total no transfor- rs
mador e nos circuitos r,s. O transformador liga-se ao bar- 
ramento "r".
Se p deslocador de fase for aumentado por um pe­
queno ângulo 3, a mudança na corrente, no circuito "rs" ,
AI , serã dada primeiro porrs *
AIrs * * /(X'eq + Xrs> (3‘415)
Vamos deixar que S.,, „ seja o fator de distribui-j\x , r s
ção do deslocador de fase, medindo a mudança na corrente no 
circuito Kl, por unidade de alteração no ângulo do desloca­
dor de fase em "r,s" :
AI.rs
rs,rs " 1/(X'eq + w (3.416)
Ademais, os fatores de distribuição do deslocador de fase são 
relacionados por:
SKl,rs Srs,rs **1 ,rs (3.417)
onde é o fator de distribuição da interrupção de li-JaX f r s
nha dado na 3.308.
Os autores notam que, se a corrente +1 pu for in­
jetada no barramento "r", e a -1 pu for injetada no barra-
mento "s", o fluxo no circuito "rs", AI , será
JT s
rs Ĝrs,r ~ Grs,ŝ (3.418)
onde G ê definido na 3.218. Notemos que G foi defi- rs,r rsfr
nido com elementos de impedância passiva, isto ê, com qual­
quer diferença de tensão do deslocador de fase, j6 , corta­
da.
Para o modelo no esboço,, a corrente AI' é dada por
“ 'rs * xW <X'eq + W (3.419)
portanto,
G - G = X'_/(X' + X )rs,r rs,s eq eq r-s (3.420)
- + W
e, se (X1 + X ) da 3.420 for substituído em 3.416, resul-eq rs
tarã:
Srs,rs ^ " G + G rs,r rs,s)/\.s (3.421)
Os seguintes algarismos e tabelas ilustram os pas­
sos e os dados exigidos para a implementação de um progra - 
ma de análise de contingência em linha.
AVALIAÇÃO DA CONTINGÊNCIA 
FONTES DE DADOS
Telemedidos
Casos de fluxo de carga 
Entrada manual
Arquivos de dados acumulados
MODELO DE INTERRUPÇÃO DE LINHA 
EXIGÊNCIAS
Serie de contingências 
Serie de linhas de interesse 
Fatores de distribuição: LRL rg
Fluxos da linha antes da contingência (interrup­
ção de hne, rs)
Geração antes da contingência
Regimes da linha
6Plinha K,L ILKL,rs Plinha rŝ
^KLi-rs
r-s
K-L
ZKr ~ ZKs ~ ZLr + ZLs 
Ẑrr + zss zsr zrs zr-ŝ
Z - elemento da linha i
z - elemento da matriz do barramento [z]
SAÍDA
Descrição da contingência 
Fluxos da linha antes da contingência 
Fluxos da linha depois da contingência 
Regimes excedidos
SEGURANÇA
MODELOS DE GERAÇÃO - RESERVA
Capabilidade de resposta
Exemplo: Cobrem a perda da unidade, arrastando a 
maior carga em 5 minutos.
Cobrem a perda de duas unidades mais car­
regadas em 30 minutos.
Categorias
1. Reserva girante: 5 min/30 min
2. Hidroreserva programada
3. Turbina de combustão e diesel programadas
4. Reserva quente de vapor gerado com combustível 
fóssil
5. Carga interrompível
6. Reserva fria
Ações reciprocas da rede: Engarrafamento de reserva 
Mudanças no fluxo de linhas, devidas ao deslocamento de 
geração:
K1 - GKX. - 96P9
GKL-g (ZKL~ ZLg^ K-L
AVALIAÇÃO DE CONTINGÊNCIA - MÉTODO DE ESTÜDO
- O operador invoca o programa
- Provê uma habilidade para estudar as contingências, sepa­
radamente do programa automático
- Usa os dados do sistema, presentes ou futuros
- Utiliza os fatores de distribuição pafea determinar p flu­
xo contingente em cada uma das lirih#&
- Testa os fluxos calculados da linhà, contra os regi­
mes de emergência das facilidades
AVALIAÇÃO DA CONTINGÊNCIA
Seção 3,5 - Estimativas de VAR/VOLTS com Algoritmos de New- 
ton
As estimativas de Volt-Araperes reativos e de tensão, 
nas condições de contingência, são naturalmente executadas 
da melhor forma possível com os algoritmos de fluxo de po­
tência. Em certos casos podem ser obtidos resultados üteis 
com a forma de algoritmos de fluxos de potência de Newton ,
com uma ou duas iterações. Foram propostos para esta fina-
5 4lidade os algoritmos de Newton e os algoritmos de Newton 
desacoplados. Os algoritmos de Newton e os algoritmos de 
Newton desacoplados são considerados abaixo:
Algoritmos de fluxo de potência
Newton 1
> w __
__
_1
h k n k A9K+1
1--
-
> 0 w 1 _
_
JK lk_ _avk+1/vií .
eK+1 . 0K + A0Ktl
vK+1 . vK + avk+1
Desacoplados
APK > H K A8K+1
aqk = lk avK + V.K
(3.501)
(3.502)
Os lados da esquerda da 3.501 e 3.502 representam 
as mudanças necessárias na potência de barramento e nas in­
jeções de Volt-Amperes reativos para equilibrar as cargas de 
barramento derivadas para constante P,Q e para as cargas de 
admitância constante. As equações são ilustradas para a pro­
jeção A0 , AV, para a iteração K+l^ . Os elementos da Ma­
triz Jacobiana em 3.501 são definidos como segue, onde o mo­
delo de admitância aparece na figura 3.50.
Figura 3.50
d?
H = = V V (B Cos(0 - 0 J - G Sen(0 - 0 ))rs 30 r s rs r s rs r s s
H = - 7 H rr u rs
s*r
ap
Nrs = 3^ = -VrVs(+Brs ’ 0s} + Grs ' 0s»
Nrr = I n + 2V 2 ( I G +GS)u j - s * • v y~ r a t*rs
sfr s^r (3.503)
9Qr
Jrs 30 V V (+B Sen(0 - 0 ) + G Cos(0 - 0 ))r s rs r s rs v r s = - Nrs
j = - y jrr u rs 
s^r
3QrL = V -5^- = - V V (B Cos(0 - 0 ) - G Sen(0 - 0 )) = H rs s 3Vg r s rs r s rs r s rs
L = - F L - 2V 2 ( F B + BS ) rr u rs r u rs r
00COoo
Figura 3.51
ITERAÇÃO
Figura 3.52 
- teste de 28 barrasSistema
Uma ilustração do algoritmo de Newton desacoplado 
ê oferecida no exemplo seguinte:
As condições de fluxo de potência para um sistema 
de ERT de teste com 28 barras, são ilustradas na figura 3.51.
A convergência do caso bãsico ê ilustrada na fi­
gura 3.52 com os pontos ligados por linha cheia. A interrup 
ção da linha A ê ilustrada na figura 3.52, com a convergên­
cia marcada por linhas pontilhadas, para duas iterações can- 
pletas P-ô , V-Q. Notemos que aparecem duas iterações ga­
rantidas, conforme indicado pelos desequilíbrios de VAR e 
de potência do barramento.
O algoritmo desacoplado de Newton funciona bem, 
quando os elementos das matrizes J, N são pequenos,indican­
do um fraco acoplamento Q-ô, P-V. Altas taxas X/D assegura­is.
rão esta condição, o mesmo acontecendo para iguais taxas X/R, 
an todos os ramais. O acoplamento forte tem resultado em con­
vergência precária para o método desacoplado.
Seçao 3.6 - Fluxos de Carga do Operador
O fluxo de carga ê um instrumento poderoso para os 
estudos de despacho e de programação. Em contraste com o es­
tudo de Engenharia, os programas de fluxo de carga do tipo 
em massa, o fluxo de carga do operador ê projetado para sim­
plificar o preparo de dados de entrada e providenciar for­
matos simplificados de saída, para avaliação rãpida pelo 
pessoal da programação e do despacho. Os fluxos de carga do o- 
perador têm, de costume, as seguintes características:
1. Arquivo de casos básicos
2. Lógica simplificada, interrogativa para estabele­
cer casos de mudança
3. Lógica de alocação de carga
4. Lógica de alocação de geração
5. Arranjos opcionais de saída
Uma ilustração de um fluxo de carga do despachan-
te foi provida no ensaio de Ularill, Denison e Hayward,nDis- 
patchers Load Flow for the REMVEC Dispatch Center" - Paper 
IEEE 69 CP 660 - PWR.
APÊNDICE
MfiTODÒ PARA DETERMINAR O DESLOCAMENTO DE GERAÇÃO RE MEDI APOR 
PARA A CORREÇÃO DA SOBRECARGA DA LINHA
Este memorandum delineia um método para determi­
nar o deslocamento de geração remediador, usando o método 
de projeção do gradiente. A aproximação ê geral, em que va­
rias linhas com sobrecarga podem ser tratadas simultânea - 
mente e que muitos geradores podem ser reprogramados com ca­
da projeção. A reprogramação ê uma medida remediadora dis­
ponível para aliviar as sobrecargas existentes, ou para a- 
liviar as sobrecargas que possam ocorrer nas contingências 
postuladas. A reprogramação deve ser feita dentro dos limi­
tes de operação das unidades, nas usinas dentro de uma ãrea 
de controle, enquanto satisfaz o intercâmbio líquido exis­
tente na ãrea.
Os fatores de distribuição do deslocamento da ge­
ração devem ser calculados, usando os elementos da matriz de 
impedância do barramento. Estes fatores permitem a estima­
tiva dos efeitos de mudança do despacho de geração,nos flu­
xos da linha. Conseqüentemente, os fatores proporcionam os 
meios para formar um redespacho para descarregar as linhas 
para as quais existem sobrecarga, ou para as quaisas so­
brecargas são preditas para as dadas contingências. 0 méto­
do de projeção do gradiente permite o desenvolvimento deste 
redespacho de uma maneira que aloca a mudança para aquelas 
usinas que terão a maior influência sobre as mudanças no 
fluxo da linha, e permite fazê-lo duma maneira que satisfa­
ça tanto o intercâmbio líquido como as limitações nas ou­
tras linhas.da rede.
Consideremos o despacho para cada usina, como um 
eixo geométrico em um espaço multidimensional. Os fatores 
de distribuição do deslocamento da geração podem ser consi­
derados como uma série de coeficientes de influência que me­
dem o efeito de um deslocamento nas- gerações em uma usina, 
no fluxo do circuito específico. Na forma do modelo, o ca­
minho de volta para esta mudança específica de geração apa­
rece no barramento de referência.
A condição do intercâmbio líquido constante pode 
ser vista como um plano no espaço para o qual cada dimensão 
ou variável ê medida pelo despacho de uma usina geradora es­
pecífica; assim sendo, um despacho praticável deve estar 
neste plano de cargas. O objetivo do procedimento da proje­
ção do gradiente é, então, o de determinar a melhor direção 
para mover de um ponto existente no plano de carga,para des­
carregar de maneira mais eficiente possível, uma linha de 
transmissão sobrecarregada, ou uma série de linhas de trans­
missão sobrecarregadas. Se algumas das linhas estiverem nos 
limites de operação e se os deslocamentos na geração, para 
descarregar outras linhas, forçarem as primeiras a uma viola­
ção adicional dos limites operacionais, então, o plano,nes- 
te"espaço de despacho" que representa o fluxo limite nas li­
nhas de transmissão, torna-se uma restrição adicional para 
qualquer despacho permissível. A interseção deste planoedo 
plano de carga descreve, então, a direção admissível que o 
despacho pode tomar. Deste conceito foi selecionado o termo 
"projeção do gradiente": a direção que reduz a sobrecarga , 
o mais eficientemente possível, ê projetada sobre os planos 
restritivos para produzir um gradiente reduzido, cujo com­
ponente esteja unicamente dentro dos planos restritivos.
Os métodos para aplicar a projeção do gradiente 
estão delineados numa série de passos que seguem:
Exemplo: Deslocamento da geração
Para a rede ilustrada no exemplo 2, pagina 148f su­
ponhamos que o regime normal para todos os circuitos seja 
de 1,7 por unidade. Pela tabela 3.21 nota-se que o circuito 
2-1 esta sobrecarregado e que o circuito 2-5 esta operando 
perto do regime .
Ramal
K-L
P
p.u.
Regime
p.u. GKL-2
2-1 -1,943 i,7 + 0,843
2-3 0,764 i,7 0,072
2-4 0,854 0,057
2-5 1,625 0,029
3-1 -1,057 0,157
3-4 0,521 - 0,086
4-5 0,175 >f - 0,028
Ademais, suponhamos que as usinas 1 e 2 são limi­
tadas a 4,0 p.u. Agora, a sobrecarga no ramal 2-1 ê -1,943- 
(-1,7) = -0,243 p.u. Designamos zero â sobrecarga em todos 
os outros ramais, visto que as suas cargas estão dentro do 
regime . A inspeção dos fatores de distribuição do desloca­
mento da geração revela que um aumento de 1,0 p.u., no bar- 
ramento do gerador 2, aumentara o fluxo do ramal 2-1 por 
+0,843 p.u. Como queremos impelir a sobrecarga do ramal 2-1 
para zero, "aumenta-se"o fluxo no ramal 2-1, no sentido po­
sitivo, por +0,243 p.u. Isto pode ser feito escolhendo um 
AP2 suficientemente grande:
G21-2 = +0' 243
AP2 = 0,243/0,843 = + 0,288 p.u.
Nova P-̂ = 3,0 - 0,288 = 2,712 p.u.
Nova P^ = 1/3 + 0,288 = 1,588 p.u.
Mas, ê preciso verificar o impacto deste deslocamen­
to sobre os regimens das unidades geradoras e sobre os re- 
gimens dos ramais. Em primeiro lugar cuidamos para que os
regimens das unidades geradoras de 4,0 p.u. não sejam exce­
didos. Logo depois precisamos olhar para o impacto deste des­
locamento nas cargas e nos regimens dos ramais. Notemos que 
o ramal 2-5 serã adversamente afetado pelo deslocamento:
Nova r- = velha P~ c + G0 c APn 2-5 2-5 2-5_2 2
= 1,625 + (0,029) (0,288)
= 1,633 p.u. , .*. ok
Neste caso, pode ser achado um deslocamento 
ticãvel, e a sobrecarga do ramal pode ser aliviada.
Segue a descrição de um algoritmo, usando-se 
métodos de gradientes.
pra-
os
ALGORITMO DE ALlVIO DE SOBRECARGA DE TRANSMISSÃO
0 conjunto de circuitos {£} estã sobrecarregado 
(seja uma condição de corrente, ou como uma predição de uma 
contingência). Devem ser determinados deslocamentos de gera­
ção praticáveis, para preservar o intercâmbio liquido e pa­
ra aliviar as sobrecargas. O conjunto de circuitos {C^} con- 
preendendo n^ circuitos, estão bloqueados dentro de uma to­
lerância especificada dos seus limites de carga.
OL^o : sobrecarga no circuito £-0
Passo 1
G£o-g: Fator de distribuição do deslocamento do
barramento da geraçao ôP, - G*o-g4i>g
Formar o fator de peso Wl = OL
Formar o índice de desempenho ôF = X wo<5P,
<5P,
np1
= X
geíp'}GíoV P9
ÔF = rge{p' }g
ôp
% ~ l G«o-g
£oe{£}
{P'}-é o conjunto de barramentos das usinas li­
vres para programação
np' é o número de barramentos da usina, livres 
para a programação
Passo 2
Formar um gradiente reduzido experimental, presu­
mindo que todas as usinas que não estão no {P'} estão blo­
queadas e todos os circuitos no ÍC^} são restritivos. Se 
n^, > 1 + n^,prosseguir, caso contrário, parar a cóntingên- 
cia não resolvida.
Formar a matriz B e o vetor coluna A.
A_ = — l *ageíp’} 9
A ± " ’ geL'}*9 G u ' 9
i— ; íeíC^}
Boo np '
B l° “ g s fp ' } 0* 1' 9
i=l,n f ie{Cb}
Bij =gEL . , Gíi-g G«-g i'Í“1fno ! 3E,Cb>
Resolver*para os coeficientes , para remover os gradien—
tes das restrições bloqueadas do gradiente de F: 
BA = A
Passo 3
Formar a projeção experimental
Test = -(g + A + Y A. Gn. ) g Mg o ** 1 £i-g
Para todos os circuitos bloqueados {C^} e para toa­
dos os barramentos da usina bloqueados, verificar:
Passo* 4
a) Qualquer usina para a qual o "Test " esta na 
a
carga de barramento livre de limite. Selecio­
nar para a experiência aquela "usina bloqueadd*
direção de umâ mudança no P que iria mover
com g - .^proxi^o
"Test ".g
com o maior valor absoluto do
b) Verificar o sinal dos coeficientes A., i=l,n ;í c
se alguns forem negativos seleciona-se o maior
proximo negativo.
c) Se o 'cr - .Aproximo de nenhuma usina ou o"iproximo
de nenhum circuito houver sido escolhido, pas­
sa-se para o 49 passo. Do contrario, selecio -
na-se o maior de |Test Aproximo I'Aproximo
para anulação dos respectivos conjuntos bloque­
ados e repete-se o 29 passo.
Selecionar o circuito com a maior sobrecarga,"£-max". 
Para um coeficiente de projeção, ,,escaie" como
ETest = 7 - Test *Gn
g e p ' 9 * * * * *
Se |ETest|<ETOLER, pãra-se com contingência não resolvida , 
do contrário coloca-se
escale = OL/ETest
Passo 5
Formar uma projeção experimenal:
ôP = e , *Test g^ scale g
Formar um despacho experimental:
P = P + ôP
9t * gt
P. . = P. . + y G. . *ôP = P. . + ÔP. . 11 iD “ g 1D iDt
Verificar o redespacho experimental quanto às vi­
olações de carga:
Para qualquer P fora dos limites, coloca-se:
ÔPscaleD - Min [ 9 pagiss^vel ; 0j
Para qualquer , onde ij não estava no {£}, que
violou um limite de carga,^coloca-se:
scaie , mi„ [^í , 0]
c ij
Selecionar o menor valor de "scale " e"scale." e guar-P tdar em "scale". Se o "scale" estiver dentro da pequena to­
lerância do zero, pãra-se com a contingência não resolvida, 
do contrario coloca-se:
e n = e , * scalescale scale
Formar a projeção ôP = scale * <5P e o novo
* gt
despacho
P
gnovo
Pg + ÔPg
p.. = p + 7 g .. ôp
1-)novo c g 13"g g
Passo 6
Verificar se sobrou qualquer sobrecarga de circui­
to. Se não, passa-se para o 7<?passo. Do contrário, reforma - 
-se o conjunto de circuitos sobrecarregados {£.}, o conjunto 
de circuitos bloqueados {C^} e o conjunto de usinas livres 
de limites de carga ÍP'} , e volta-se ao passo 1.
Passo 7
Expor os resultados de alivio de contingência/so-
brecarga.
Notemos que este procedimento foi desenvolvido, 
programado e depurado. A experiência tem mostrado que o 
procedimento termina com um número limitado de passos e que 
as exigências de computação são pequenas.BIBLIOGRAFIA
1. C.A. MacArthur, "Transmission Limitations Computed by
Superposition" AIEE Transactions Part III, Vol. PAS-80, 
August, 1961, pp. 827-831.
2. H. D. Limmer, "Techniques and Application of Security 
Calculations Applied to Dispatch Computers" Third Power 
Systems Computation Conferênce, Rome, 1969.
3. G. Stagg and A. El-Abiad, "Computer Methods in Power 
System Analysis" McGraw Hill Book Company, N. Y. 1968.
4. H.E. Brown, "Contingencies Evaluated by a Z Matrix Me- 
thod" IEEE Transactions, Vol. PAS-88, april 1969, pp. 
409-412.
5. N.M. Peterson, W.P. Tinney and D.W. Bree, "Iterative Li­
near AC Power Flow Solution for Fast Approximate Outage 
Studies" IEEE Transactions, Vol. PAS-91, N9 5, pp.2048- 
2056.
6. B. Stott, "Decoupled Newton Load Flow" IEEE Transactions^ 
Vol. PAS-91, N9 5, pp. 1955-1959.
7. J.M. ündrill, O.J. Denison, D. Hayward, "Dispatchers 
Load Flow for the REMVEC Dispatch Center" - IEEE Paper 
69 CP 660 - PWR.
CAPÍTULO 4
MODELAGEM DE RECURSOS ENERGÉTICOS E 
COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA
Seção 4.0 - Introdução
O capitulo 4 trata dos problemas associados com a 
operação dos projetos hidroelétricos e a sua coordenação ccm 
a geração por combustível de origem fóssil. O capítulo 
começa com uma discussão sobre os modelos de entrada/saída, 
sobre os modelos de continuidade desenvolvidos por Hilde- 
brand\ nos quais o efeito da continuidade do fluxo, retar­
do até o fluxo atingir os reservatórios rio abaixo, e tam­
bém os modelos de conversão de potência e de energia são dis­
cutidos. A primeira seção continua com a consideração dos 
programas de simulação para os projetos hidroelétricos com­
plexos e extensivos. A seção termina com a discussão sobre 
as técnicas de modelar a conversão da energia e sobre a va­
riabilidade dos recursos hídricos que ocorrem de modo natu­
ral. Leva-se em consideração a questão do valor da ãgua ar­
mazenada e as técnicas usadas para estabelecer curvas guias 
para a operação de armazenagem do reservatório para longo 
prazo, e a curva de não transbordamento. A segunda seção do 
capitulo trata das questões envolvidas na modelação de car­
gas, no preparo das previsões de carga, e na formação de 
curvas de duração de carga e de curvas de energia e carga 
para uso na alocação de recursos. A terceira seção refere- 
-se âs técnicas para a coordenação de geração hídrica e tér­
mica. Na seção final ê apresentado um exemplo detalhado pa­
ra o desenvolvimento de uma programação para a coordenação 
a curto prazo de um projeto de usina reversível com um sis­
tema térmico. São oferecidos apêndices que discutem deta­
lhadamente varias técnicas utilizadas no desenvolvimento da 
programação para projetos hidroelétricos.
Seção 41 - Modelos Hidráulicos
O ponto de vista a ser expresso neste capitulo 
refere-se à capabilidade de conversão de energia dos proje­
tos hidroelétricos e evita o tratamento da irrigação,da na­
vegação, recreação, controle da inundação e aspectos da pes­
ca que freqüentemente são encontrados como sendo uma parte 
de um projeto hidroelétrico para muitas finalidades. Enca­
rado do ponto de vista da conversão de energia, estas outras 
exigências tornam-se restrições ao uso livre ou à liberação 
da agua para a produção da potência elétrica..
0 estudo da complexa relação entre a produção de 
energia, a satisfação das exigências da navegação,o contro­
le de inundação, exigências da pesca e da irrigação, como 
pode ser encontrado em muitas e importantes vertentes de ã- 
gua, necessita do uso de modelos hidráulicos em escala e 
de modelos matemáticos para estudar ou simular os efeitos 
das mudanças na operação e das mudanças nas estruturas. Por 
exemplo, o cuidado recente com as temperaturas d*agua de ar­
refecimento condensado não circulatório das usinas geradoras 
acionadas por turbinas a vapor, nucleares ou a carvão, ne­
cessita do uso de modelos escalonados hidraulicamente, pa­
ra estudar os padrões de temperatura do escoadouro do refri­
gerante condensado, para assegurar que os padrões de fluxo e 
as temperaturas irão cumprir os requisitos regulamentares,es 
taduais e federais. Da mesma forma, foram usados modelos es­
calonados para estudar os padrões de fluxo visando assegurar 
que os tratamentos das margens do rio sejam efetivos no con­
trole da erosão.
Foram amplamente usados modelos matemáticos no es­
tudo de efeitos principais, tais como o estudo da propaga­
ção da enchente, abaixo de uma vertente d 1agua, e mesmo ain­
da mais amplamente, da operação de dia a dia, de muitos re­
servatórios em grandes lençóis d'agua, tais como, por exem­
plo, o sistema do rio Columbia, ou o sistema do rio Colora­
do, ou os sistemas do rio Tennessee. A discussão propria­
mente dita diz respeito, em primeiro lugar, aos tipos de mo­
delos úteis em predizer as mudanças nas armazenagens de re­
servatório que ocorrem como um resultado dos influxos, das 
descargas dos geradores de potência, das descargas de irri­
gação e dos transbordamentos. Tais modelos são úteis numa 
base de hora a hora, de dia a dia, para o estudo dos siste­
mas de rios e são tipificados pelo modelo descrito por Hil­
debrand1, para o rio Columbia. Hildebrand descreve a conti­
nuidade do fluxo em um rio, como o transporte de ãgua de um 
reservatório para o outro. O modelo para cada reservatório 
ê uma equação diferencial de primeira ordem que descreve a 
taxa de mudança da armazenagem, como uma função do influxo 
menos o defluxo, conforme ilustrado na equação 4.100.
Taxa de mudança da armazenagem = influxo - defluxo
Para modelar o retardo do fluxo em canais abertos do rio , 
Hildebrand propos o uso de "reservatórios incrementais",nos 
quais a liberação do reservatório ê controlada pela quanti­
dade de armazenagem no reservatório, conforme ilustrado na 
equação 4.101*.
* No caso linear: S(V) = KrV, o retardo medio do fluxo ê da­
do por 1/Kr .
(4.100)
Uma ilustração deste modelo vê-se na figura 4.11
(4.101)
Na equação 4.101, uma liberação de não-potência S(V) esta 
indicada como uma função da armazenagem, para mostrar a re­
lação entre a liberação e a equivalente armazenagem. Desta 
forma, a equivalente armazenagem de agua, num canal aberto 
do rio, ê representada pela armazenagem no reservatório in­
crementai; colocando um.numero apropriado destes reservató­
rios incrementais rio abaixo, ê possível representar o efei­
to da demora do trânsito, quando o efeito da liberação da 
agua de um reservatório rio acima ê observado em um reserva­
tório rio abaixo.
= R - Q(P,V) - S(V)
P = MW da usina
Q = Descarga da usina
V = Armazenagem do reservatório
S = Livramento de não-potência (derramamento)
y = Valor incrementai da agua
Figura 4.11
Modelo básico do reservatório e da usina hidráulica
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RESERVATÓRIOS INCREM ENTAIS
Figura 4.12
Com um tal modelo e com modelos apropriados para
as liberações de potência, pode ser executada uma simulação da
operação de um curso inteiro d'ãgua, muito satisfatoriaman-
te. Tais modelos foram aplicados numa base horária, para o
- 15estudo da programaçao da geraçao de potência e foram apli­
cados em uma base mensal,para o estudo da programação de e- 
nergia e do planejamento de recursos a longo prazo. Por e- 
xemplo, foram realizados estudos de muitos anos de duração 
com tais modelos, em extensivos cursos de agua, tais como a 
Bacia do Rio Colorado, utilizando registros histõricos dos 
recursos energéticos.
Para a discussão neste capitulo, incluiremos na 
liberação de não-potência S, na equação 4.100, todos aqueles 
livramentos para a navegação, exigências para peixes direi­
tos ribeirinhos, enchente, irrigação e percolação*, isto ê, 
todos aqueles termos que podem ser uma função do estado de 
armazenagem corrente, ou especificados como uma função do 
tempo, que não passam pela turbina. O livramento gerador de 
potência serã designado como Q. O influxo para o reservató­
rio, R, incluira todo o influxo natural no rio, entre o da­
do reservatório e o reservatório mais próximo rio acima,mais 
o livramentocontrolado do reservatório rio acima. Se o da­
do reservatório encontra-se abaixo da confluência de dois 
cursos de agua, então, o seu influxo, R, inclui os influxos 
naturais dos dois cursos de agua entre os reservatórios do 
rio acima e o reservatório especifico, mais os livramentos 
dos reservatórios do rio acima nos dois cursos de agua.
' Seguidamente, o fluxo ê especificado em pés cúbi­
cos por segundo e assim, as unidades de armazenagem,nos ter­
mos de CFSH ou pês cúbicos por segundo fluindo por uma hora, 
e CFSD ou pês cúbicos por segundo fluindo por um dia, foram 
desenvolvidas e estão em uso comum na parte oriental dos Es­
tados Unidos e do Canada. Um CFS dia abrange 86.400 pês cú-
----------- !------- ~* A evaporação foi incluída pela dedução do influxo do re­
servatório.
bicos de ãgua, ou bem perto de dois acres-pês (cobrindo um 
acre com uma profundidade de um pê). Outras nações têm pa­
dronizado o metro cúbico como unidade de medida e expressam 
os fluxos em metros cúbicos por segundo.
Com referência â figura 4.12 que mostra um esboço 
de hidrousinas, a altura bruta que age na usina de potência 
é expressa, em geral, como a elevação a montante menos a e- 
levação a jusante, conforme mostrado na equação 4.102.
Altura de carga bruta = Elevação a montante - Elevação a jusante
GH = FE - AE (.4.102)
Oi = Altura bruta
EE - Elevação a montante
AE = Elevação a jusante
A altura de carga real que age sobre a turbina ê 
chamada altura de carga liquida e ê a altura bruta menos as 
perdas na. tomada, na tubulação forçada e no difusor.
Altura liquida = Altura bruta - (Perdas na tomada,tubulação força­
da e no difusor)
NH = GH - FLO.LOS (4.103)
NH = Altura liquida 
GH = Altura bruta 
FLO.LOS = Perdas
O potencial de potência para um projeto hídrico , 
o produto da altura de carga liquida, vezes o fluxo, vezes 
a eficiência de conversão, ê ilustrado na equação 4.104*.
* Seguidamente, a relação ê expressa em termos de energia e- 
lêtrica (KW-h )por unidade de volume de livramento (acre- 
pê). Também o consumo especifico E=?acre-pê/KWh é segui­
damente utilizado na modelagem de hidrousinas.
P = (NH) (Q) (Eff) (4.104)
= K . Q (4.105)
Esta expressão ê abreviada na forma mostrada na 
4.105, na qual a conversão de fluxo para potência ê dadanos 
termos de um simples coeficiente K, onde deve-se reconhecer 
que K seria uma função do fluxo e da altura de carga, bem 
como da eficiência do gerador e da turbina. A forma da e- 
quação 4.105 ê freqüentemente utilizada em estudos de longo 
prazo, como o meio de estimativa da energia numa quantidade 
especificada de ãgua. Baseado na operação de dia a dia, um 
coeficiente de conversão media, K, ê seguidamente usado, o 
qual reflete as varias condições de operação, tanto na cota de 
montante como no fluxo, de modo que o coeficiente de conversão, 
na realidade, expressa a conversão da ãgua armazenada para 
energia elétrica em megawatts-horas. Hildebrand sugere usar 
os valores de K, que variem com a altura a montante ou com 
a armazenagem do reservatório, que variem lentamente e que 
dependam ligeiramente do fluxo refletindo as perdas na ad­
missão, na tubulação e no difusor, bem como a elevação na
1"altura de montante devida ao fluxo
O grau de influência das perdas de fluxo, confor­
me ilustrado na equação 4.103, ê amplamente variável depen­
dendo do tipo e do comprimento da tubulação forçada,do com­
primento do difusor, da forma do canal que parte do difusor, 
do numero de turbinas e da configuração do verteaor. Vamos 
considerar o que fazem estes efeitos. Para as usinas com al_ 
tura de carga relativamente baixa, por exemplo, alcançando 
de 50 a 100 pês de altura bruta, uma elevação de poucos pês 
na altura a jusante pode ter um efeito mensurável sobre a 
capabilidade de potência da usina. A capabilidade de salda 
de uma usina ê afetada durante os tpmpos, quando o fluxo do 
rio excede a capabilidade de engolimento da usina, de modo 
que deve ocorrer um transbordamento. Em usinas com pouca al­
tura de carga, quando o fluxo ê muito alto, ocorre uma sé­
ria redução da capacidade normal. Um esboço deste efeito ê
ilustrado na figura 4.13. As usinas com grandes alturas de 
carga, em geral,não são afetadas pela elevação de altura a 
jusante, ou pelas perdas no difusor, mas podem ter elevadas 
perdas na tubulação forçada, se a usina for localizada a cer­
ta distância, longe do reservatório.
Os resultados compostos, típicos para as usinas de 
grande altura de carga (400-440 pês), são ilustrados na fi­
gura 4.14. As "taxas de âgua" incrementais, expressas em a- 
cre-pê por megawatt-hora, foram planejadas e ajustadas com 
curvas, usando a técnica ilustrada no Apêndice I do Capitu­
lo 3 . A usina de Flaming Gorge tem três geradores movidos a 
turbina e a usina de Glen Canyon tem oito,. As curvas com­
postas para a múltipla operação das unidades em cada usina 
deve refletir os efeitos mútuos das perdas hidráulicas e da 
elevação na altura a jusante, com a descarga da usina. Uma 
elevação da taxa de agua incrementai, com a crescente pro­
dução da usina.,, resulta da elevação na altura a jusante com 
o fluxo aumentado.
Atê este ponto, a discussão sobre os modelos pre­
sumiu que o influxo ou o fluxo natural no curso de agua fos­
se uma quantidade conhecida. O conhecimento relativo da ta­
xa de fluxo do recurso, em algum tempo futuro, tende a. di­
minuir com o aumento do tempo da previsão. Alêm disso,o tem­
po da maior disponibilidade de recurso não coincide, neces­
sariamente, com os períodos de maior demanda. Os reservató­
rios de armazenagem são construídos para represar o recur­
so e permitir seu livramento nos tempos mais favoráveis pa­
ra atender a demanda. Desta forma, as decisões sobre a ope­
ração de armazenamento ou de represamento para os recursos 
hidráulicos devem depender das previsões das futuras deman­
das e das previsões de reposição do recurso, pelos futuros 
afluxos.
Os modelos da variabilidade dos recursos hídricos 
são desenvolvidos dos dados históricos sobre os fluxos.
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.SAÍDA DA UNIDADE - MW
Figura 4.14
FLUXOS MÉDIOS ANUAIS SINTETIZADOS DO TRONCO PRINCIPAL DO RIO COLORADO, PARA O 
COMPACT P O IN T , PERTO DE LEES FERRY EM ARIZONA
Figura 4.15
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peração E
conôm
ica e Plan
ejam
en
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A figura 4.15 ilustra os dados para a "Estação de 
Medição" de Compact Point no Rio Colorado, para 37 anos. A 
correlação de fluxos da primavera e do verão com a neve flu­
tuante do inverno, e a correlação dos fluxos nos cursos de 
agua, durante o período de verão, devidos â queda pluvial 
anteriormente medida, foram usadas para auxiliar na progra­
mação dos livramentos de agua dos reservatórios de regula­
rização anual. Para estudos a longo prazo, são utilizados 
"anos de agua" históricos para proporcionar uma simulação 
das políticas de geração de potência, na presença de fluxos 
variáveis com os modelos, tais como foram descritos por Hil- 
debrand\ Podem ser feitos testes de eficiência de políticas 
de operação peculiares. 0 comportamento de uma política de 
operação, numa serie histórica de anos de fluxos de agua, 
proporciona um meio de testar a adequação. Por exemplo, a 
história do fluxo d*agua, digamos de 37 anos, de 1914 ate 1950, 
ê registrada; na ausência de qualquer tendência no clima, 
terreno ou cobertura do solo, pode-se presumir que os flu­
xos observados durante este período de 37 anos representam 
uma boa amostra dos fluxos a serem provavelmente encontra­
dos no futuro. Com tal suposição (que ê encontrada mais tar­
de como a suposição fundamental em que esta baseado o proces­
so estatístico), os fluxos registrados, para cada ano his­
tórico, tornam-se igualmente prováveis com todos os outros 
anos. Pode-se dizer que a história do fluxo que ocorreu du­
rante o período de 1949 e 1950 tem uma oportunidade, igual­
menteprovável, de ocorrer outra vez como os fluxos que o- 
correram no ano 1929-30. Dentro do período de 37 anos,al­
gum ano representa o ano mais seco a algum ano é o de maior 
enchente. Os anos mais secos e os anos das maiores enchen - 
tes formam os limites dos testes que seguidamente são usa - 
dos para os modelos de simulação para ver se os planos de 
ação da geração protegerão satisfatoriamente contra as con­
dições de enchente excessiva e providenciarão a energia e- 
xigida para tender os compromissos futuros de fornecimento 
â carga. Desta forma, o ünico ano critico para a Autori­
dade do Vale de Tennessee e o período critico de três anos
para a bacia do rio Columbia foram selecionados entre os a- 
nos mais secos registrados para formar a base para estabe - 
lecer a carga firme que pode ser suprida pelas usinas hi-
- - 4droeletricas nos dados lençóis de agua. Alem disso, a o- 
peração de armazenagem nos projetos hidroelétricos ê compe­
lida a prover o volume de armazenagem para controlar um ni- 
vel especificado de enchentes durante dadas estações do ano." 
Finalmente, a operação de armazenagem, conforme foi discuti 
do na seção 3, procura utilizar o influxo da maneira mais e- 
ficiente, para evitar a necessidade de desperdiçar o poten- ̂ 4ciai hidroelétrico através do transbordamento .
Em aditamento à técnica do ano histórico para a 
modelagem de recursos de cursos de ãgua, têm sido aplicadas 
técnicas que utilizam os modelos de Markov. A modelagem do 
processo estocãstico de disponibilidade do recurso,numa ba­
se de intervalo a intervalo, por exemplo, de mês a mês,to­
mou a forma de um processo aleatório composto, utilizando 
um processo aleatório de curto prazo, para refletir a influ­
ência recente de condições atmosféricas e de precipitações, 
e um processo de longo prazo ou estacionai, para Represen­
tar a acumulação da estação de neve r de receita e de salda 
de agua da estação. Por exemplo, Arvenitidis e Rosing, nas 
referências 20 e 21, propuseram o uso do modelo de Massê pa­
ra a seqüência estocãstica para os fluxos naturais do rio. 
Neste modelo, o influxo mensal subseqüente depende somente do 
precedente. Este modelo de curto prazo ê combinado com um 
modelo de longo prazo de disponibilidade anual de recurso , 
que depende de uma variável tal como a neve flutuante em re­
giões montanhosas. Assim, com este modelo, a descrição do 
potencial de recurso para um reservatório serã determinada 
por três variáveis, assim chamadas de "estado": a armazena­
gem real em um ponto no tempo, o influxo do mês precedente 
e uma medida da neve flutuante da estação passada.
O uso ponderado dos recursos de ãgua que envolvem 
a produção de potência com um dos objetivos, requer a melhor 
previsão possível da disponibilidade de recursos e a previ-
são da demanda de potência. Os modelos de demanda de potên­
cia serão levantados na seção seguinte.
Seção 4.2 - Modelos de Carga para Analise de Recursos xCarga
Esta seção descreve os três modelos largamente usados 
para representar a carga nos estudos de alocação de recur­
sos para as cargas. Eles constituem a previsão de cargas que
ocorrem cronologicamente, a previsão de duração da carga e
2 3a previsão da carga x energia ' .
Um exemplo da previsão cronológica da carga para 
um projeto de armazenagem de rio, em 1975, para os Estados 
Unidos, ê ilustrado na figura 4.21 para um período de carga 
de inverno. Esta curva representava uma previsão para dez 
anos, no futuro, no tempo quando foi preparada. A forma da 
curva foi baseada em experiência na região, no tempo da pre­
visão, e inclui o crescimento esperado para as cargas da ã- 
rea para o período de inverno de 1975. A figura 4.21 ilus­
tra um modelo típico para a carga de um dia de semana. Com­
binando cinco destes modelos de dias üteis com um modelo de 
fim de semana, formar-se-ã um modelo apropriado para o es­
tudo das semanas. Os modelos foram preparados baseados nas 
experiências das estações do ano, para cada uma das 52 sema­
nas do ano. Costuma-se, conforme ê ilustrado na figura 4.21, 
prever a carga horária integrada, isto ê, os megawatts hora 
de energia, dentro do período de uma hora.
Previsões cronológicas de cargas integradas hora- 
riamente são utilizadas no planejamento a curto prazo, tais 
como no comprometimento da geração para atender a demanda e 
na distribuição horária de carga entre varias usinas. Pre­
visões de cargas cronológicas são usadas onde a seqüência de 
tempo ê importante. Previsões cronológicas de carga são e- 
xigidas se o objetivo for a determinação dos tempos de parti­
da e de parada para a geração com turbina de um lado, e são 
também exigidas quando deve ser estudada a variação da al­
tura de montante, devida à operação da acumulação de proje­
tos hidroelétricos. Os dados cronológicos de carga e de e- 
nergia serão sempre usados quando o efeito integrado das a- 
locações de um projeto hidroelétrico for significante. O e- 
feito surge, por exemplo, quando as limitações na operação 
dos níveis de montante afetam o procedimento da alocação.
As curvas da duração de carga podem ser usadas pa­
ra períodos de tempo onde a alocação integrada de recursos 
não estiver sensivelmente afetada pelas limitações na acu­
mulação de recursos. Uma curva de duração de carga ê ilus­
trada na figura 4.22 para os dados cronológicos de cargare- 
velados na figura 4.21. As curvas de duração de carga são 
feitas, arranjando todas as cargas integradas hor ar iamente , 
durante um período de tempo, neste caso, de um dia, na or­
dem decrescente da carga e somando as horas, para formar u- 
ma duração cie carga acuruulativa. Isto ê, a curva prossegue 
da carga mãxima com mais curta duração, à mínima carga, 
a qual ê sempre igualada ou excedida. Por exemplo, na figu­
ra 4.22, a carga mãxima de 1260 megawatts ocorre por uma ho­
ra, durante o dia. A carga ê igual a, ou maior do que,o va­
lor mínimo de 460 megawatts por 24 horas do dia. As curvas 
de duração de carga podem ser preparadas para qualquer pe­
ríodo de tempo, tal como um ano, um mês, uma semana, a me­
tade de um dia, como for necessário.
A curva de duração de carga delineia as horas cu­
mulativas de operação com uma carga dada, ou mais alta, du­
rante o período de tempo especificado. Ê um traçado muito 
util na determinação da quantidade do tempo de operação pa­
ra atender um nivel de carga especificado. Por exemplo, se 
100 megawatts de geração de ponta devessem suprir os 100 MW 
mais altos da curva, na figura 4.22, aquele equipamento se­
ria requisitado para operar pelo menos durante quatro horas.
Um terceiro traçado util,que achou uma considerável
aplicação na alocação de hidroenergia, ê a curva de carga-
-energia, conforme ê ilustrada na figura 4.23, para a his-
2rória da carga derivada da figura 4.21 .
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CURVA ENERGIA - CARGA
Figura 4.23
TABELA 4.21
PREVISÃO DE CARGA
Carga Horas de Duraçao Energia
MW Cumulativa Cumulativa MWh
1260 i 20990
1250 2 20980
1240 3 20960
1170 4 20750
1100 6 20470
1060 7 20230
1040 3 20090
1020 9 19930
1000 10 19750
960 13 19310
940 14 19050
860 15 17930
850 16 17780 •
690 17 15220
620 18 14030
550 19 12770
480 20 11440
460 24 11040
A curva de carga-energia indica o valor da ener­
gia sob a curva de carga, neste nível de carga ou menos.Co­
mo tal, ela ê a ãrea, sob a curva da duração de carga, que 
se encontra abaixo da linha de carga especificada. O valor 
de energia dada no traçado da curva de carga-energia ê a 
quantidade de megawatts-horas que deveriam ser fornecidos 
para atender o dado ciclo de carga, na carga especifiçada ou
menos. A curva da energia proporciona um meio rãpido para 
achar a energia requerida para servir um nivel especificado 
de carga. Por exemplo/ a geração de ponta, III1,tem que for­
necer a ultima centena de megawatts do ciclo diário de car­
ga, ilustrado na tabela 4.21. A energia exigida para a ge­
ração de ponta ê a complementação da energia no nível de
cargade 1160 MW. A complementação ê formada subtraindo a 
energia abaixo do nível de 1160 MW da energia abaixo do ní­
vel máximo. A diferença na energia ê de 20.990 menos 20.710, 
ou 280 megawatts-horas. Reciprocamente, 280 MW horas da e- 
nergia de ponta reduzirão a exigência de capacidade,no res­
to da geração, por 110 MW.
Conforme serã mostrado mais tarde, a energia hi­
droelétrica ê freqüentemente usada para a geração de ponta 
num sistema elétrico combinado hidrotêrmico. Ê seguidamente 
encontrado o caso em que a hidroenergia disponível para a 
usina hidroelétrica ê menor do que a quantidade de energia 
que a usina poderia converter, operando com fator de capaci­
dade de 100% (operando a toda a capacidade na plena duração). 
A curva de carga-energia fornece um meio conveniente para 
determinar, para o caso de energia limitada, qual seria a 
capabilidade de ponta efetiva para um projeto hidroelétrica 
Por exemplo, suponhamos que, para suprir a ponta do dia,se­
jam disponíveis 1240 megawatts-horas de energia hidroelétrica, 
ilustrado na figura 4.21. Se esta energia fosse alocada pa­
ra servir às cargas de ponta, conforme ilustrado na figura 
4.23, poder-se-ia usar a hidroenergia para fornecer todas as 
cargas excedendo 1000 megawatts. Portanto, a carga resultan­
te, apresentada para os restantes recursos de geração, não 
iria exceder 1000 megawatts. A capabilidade hídrica efetiva 
da ponta, para esta quantidade de hidroenergia, ê,portanto, 
de 260 megawatts. A hidrocapabilidade efetiva ê,naturalmen~ 
te, limitada ao menor valor entre a capabilidade efetiva dè ponta e 
a capacidade real da placa da usina. Portanto, a curva da 
carga-energia serã destinada a oferecer um meio conveniente 
de determinar a capabilidade efetiva de energia das instala­
ções hidroelétricas limitadas pela energia, e de executar a
alocação de recursos^'^.
A modelação de carga e a previsão de carga envol­
vem um amplo grau de habilidade e de bem senso apoiados , em 
um grau modesto, pela técnica cientifica. Felizmente,a car­
ga revela eficazes padrões cíclicos diários, mensais e de 
estação do ano, bem como mudanças correlacionãveis com os 
parâmetros de condição atmosférica para permitir uma preci­
são razoável na previsão de ciclos de carga de curto prazo 
ou diários. Uma pratica comum na modelagem e na previsão de 
curto prazo, para as cargas integradas de hora em hora, ê a 
de utilizar a historia recente para formar os padrões diá­
rios de carga; por exemplo, certas companhias usam padrões 
de carga com características de inverno, de primavera,de ve­
rão e de outono. Para aplicar os padrões na previsão de car­
ga são usados fatores de escala para refletir a experiên­
cia recente. Por exemplo, o ciclo de carga, conforme ilus­
trado na figura 4.21, representa uma série de 24 previsões 
de carga integradas em cada hora. Este padrão de carga de um 
dia de semana de inverno pode ser ajustado por fatores a- 
propriados de escalação, para ajustar ou escalar o padrão 
de carga â experiência corrente. Muitas companhias usam vá­
rios tipos de dias; por exemplo, um modelo de segunda-feira, 
um modelo de terça a quinta-feira, um modelo de sexta-feira, 
bem como modelos de sábado e de domingo, para refletir os 
diferentes padrões cíclicos do uso da energia durante a se­
mana. Cada tipo de dia tem uma tabela de 24 estimativas de 
carga integradas em cada hora e escaladas a algum valor nor­
mal. Assim, sendo, uma previsão de ciclo diário de carga po­
de ser composta selecionando, do arquivo prõprio de tipos de 
dia e de estação, os 24 valores de carga horária integra­
da e escalando-os para representar a experiência recente.
Os fatores não cíclicos, tais como o impacto da 
demanda sensível âs condições do tempo, receberam, recente­
mente, muita atenção. Foi desenvolvida uma série de téc­
nicas, usando os métodos de regressão estacionaria e os mé­
todos de analise de séries temporais, para formar tanto os 
modelos como as predições de demanda sensível às condições
atmosféricas. Um exemplo da preparação de um modelo sensí­
vel às condições atmosféricas e a sua aplicação ê descrito 
no Apêndice IV deste capitulo. A aplicação especifica na pre­
visão diária de carga máxima da Virginia Electric and Power 
Company ê discutida no ensaio contido no apêndice. Aplica­
ções dos modelos com componentes sensíveis às condições do 
tempo necessitam da preparação de dois componentes horários, 
do componente básico ou insensível às condições do tempo e 
de um componente sensível às condições do tempo. Isto ê, 
para um modelo de carga diária haveriam 24 componentes 
básicos junto com 24 fatores refrigerantes da demanda. En­
tão, o componente de condições de tempo da carga ê forma­
do pelo produto do fator refrigerante de demanda e do com­
ponente de condições de tempo previsto. Os principais fato­
res de condições do tempo, na variável de condições atmos­
féricas para o tempo de verão, são a temperatura ponderada 
de bulbo seco e a umidade, conforme ilustrado na figura 4 do 
ensaio. No tempo de inverno, os componentes principais são 
a temperatura ponderada de bulbo seco e a velocidade do vento.
Os métodos de ajustamento de funções e os métodos 
de analise de séries de tempo foram propostos para melhorar 
a estimativa dos parâmetros para os modelos de carga e para 
fornecer as previsões baseadas nas presentes condições do 
tempo e nas informações de carga. '
Seção 4.3 - Conceitos de Coordenação Hidrotérmica
Aproximando-se dos conceitos de coordenação hídri­
ca e térmica, antes, olha-se os sistemas nos quais os pro­
jetos hídricos devem ser coordenados com a geração térmica 
aquecida a combustível fõssil. Presume-se que a geração térmi­
ca tem uma característica de enti^ada/salda, que ê convexa. 
Além disso, presume-se que o projecto hídrico tem uma quan­
tidade especificada de acumulação de agua disponível num pe­
ríodo de tempo especificado. Isto ê, as armazenagens dos 
pontos de começo e de fim para o hidroprojeto são especifi-
cadasi
Devemos ter um motivo para usar a propriedade das 
funções convexas. O custo medio para vários niveis de ope­
ração de potência ê sempre maior do que, ou igual, ao custo 
da operação no nível medio de potência. Por exemplo, o cus­
to de operação de duas horas de 950 megawatts serã sempre 
menor ou igual à soma dos custos de operação de uma hora 
com 900 e de uma hora com 1000 megawatts, respectivamente, 
numa usina com uma função convexa de entrada-salda e com um 
alcance de operação que abranje de 900 a 1000 megawatts.Es­
te simples exemplo serve para ilustrar o fato de que sempre 
que for usada energia hidroelétrica para deslocar a energia 
elétrica gerada termicamente, o melhor custo de operação pos­
sível ê realizado quando a geração térmica ê "nivelada" pa­
ra o período do compromisso de geração térmica. Sob tais cir­
cunstâncias, a geração hídrica serve como geração de ponta. 
Agora serão considerados vários casos de coordenação hidro 
e térmica.
Caso 1 - Sistema de Duas Usinas (Figura 4.31A)
P = MW da usina 
Q = Descarga da üsina 
V = Acumulação do reservatório 
y = Valor incrementai da agua
Figura 4.31A
Modelo elementar do sistema hidrotêrmico
Presumindo que o sistema seja predominantemente 
hídrico, deduzimos que a capacidade hídrica ê sempre maior 
do que a potência máxima do sistema, mas que a energia hí­
drica disponível ê menor do que a exigência integrada do 
sistema. Vamos supor que a hidrogeração opera, essencialmen- 
te, com eficiência constante, sobre uma extensão de cargas 
que correspondem a qualquer carga exigida pelo sistema.Pre­
suma-se que o objetivo de operação ê de minimizar os custos 
de operação do sistema, por um período de tempo especifica­
do. Nesse caso, os custos de operação do sistema, para o pe­
ríodo de tempo especificado, são uma função da alocação de 
âgua e são iguais à soma dos custos do combustível para mo­
ver a usina térmica mais os custos de mão de obra para ope­
rar ambas as usinas, isto ê, a térmica e a hídrica.
<oz
Figura 4.31B
Caso 1-Operação da AcumulaçãoVamos presumir que o custo da mão de obra esteja 
fixo, de modo que o objetivo ê de minimizar os custos tér­
micos, para cobrir o déficit de energia entre as demandas 
de carga do sistema e a energia disponível do recurso hídri­
co. Para esse caso restritivo não ê difícil de mostrar que 
o custo mais baixo de operação do sistema, durante o perío­
do de tempo, ocorre quando a usinà térmica ê movida, no seu 
ponto de melhor eficiência, durante o numero de horas neces­
sárias para fornecer os megawatts-horas requeridos pela car­
ga, menos os megawatts-horas de capabilidade hídrica, natu­
ralmente sob a condição de que o tempo resultante seja me­
nor do que a duração do período para a programação. O modo 
de operar para esse caso ê ilustrado na figura 4.31B.
Se esse período de tempo for bem longo,ou se a dis 
ponibilidade do recurso hídrico contiver uma notável incer­
teza, então, a prudência dita que a usina térmica seja aci­
onada durante o começo do período de tempo, e parada quando
for razoavemente estabelecido qüe sobra hidroenergia sufi-4ciente para atender o compromisso. A prova para esse modo 
de operação estã um tanto evidente. Para esse caso,ê ne­
cessário que seja fornecido um numero especificado de mega­
watts-horas pela usina térmica. Até que a capabilidade da 
usina for suficiente, esses megawatts-horas são fornecidos 
de maneira mais eficiente, operando a usina no seu melhor 
desempenho.
Caso 2 - Operação de Nivelamento da Carga
Neste caso, suponhamos que a capabilidade da hi- 
drousina é menor do que a ponta do sistema e, ainda mais, 
que a hidroenergia ê insuficiente para operar a hidrousina 
no fator de plena capacidade. Vamos presumir, alêm disso,que 
ê necessário acionar a usina térmica, em todo o tempo duran­
te todo o período de programação. Em tais circunstâncias, a 
operação mais eficiente para o sistema ê de usar a hidroe­
nergia para nivelar as exigências térmicas. Temos presumido 
a exigência de que o sistema térmico esteja em funcionamento
durante todo o tempo. Portanto, o melhor modo de operação 
ocorre quando as exigências térmicas, conforme ilustrado na 
figura 4.32, estiverem niveladas.
Isso ê análogo, como jã foi ‘citado anteriormente, 
a achar a programação da hidrousina, para usar a energia 
de tal modo que a hidrocapabilidade efetiva seja levada ao 
máximo. A prova para esse tipo de operação baseia-se na pro­
priedade convexa presumida para a função de entraaa-saida da 
usina térmica. Notemos que, nesse caso, a exigência térmica 
nivelada não deve, necessariamente, resultar num carregamento 
térmico na melhor eficiência, mas que os custos térmicos in­
tegrados para o período sejam mínimos. A exigência térmica ni­
velada implica um custo incrementai, com o qual a hidroe- 
nergia devera ser alocada. Em tais casos, o valor da hidro 
ê igual ao preço marginal no hidrobarramento, o qual supri­
ra o centro de carga ao custo incrementai correspondente à 
"linha de nivelamento" ou à exigência térmica nivelada.Essa 
técnica foi usada nos sistemas práticos de despacho na li­
nha; por exemplo, a Philadelphia Electric Company tem usado 
este método no despacho do reservatório Conowingo, para o- 
perações diárias de ponta com essa usina. Baseado na dispo­
nibilidade de hidroenergia, a usina opera quando o custo in­
crementai do sistema excede um nível especificado e se car­
rega para tentar manter o custo incrementai no valor especi­
ficado.
Quando ê disponível a hidroenergia suficiente,en­
tão, ê possível que a .operação de aplanamento de ponta re­
sulte em algumas horas de operação da hidrousina, com a má­
xima capabilidade; este caso ê mostrado na curva mais bai­
xa, ou na curva de carga "B", na figura 4.32. Aqui, a exi­
gência térmica eleva-se acima do valor nivelado somente pa­
ra aquelas horas nas quais a hidrousina esta com a sua ca­
pacidade mãxima. O custo incrementai para despachar a hidro 
ainda corresponde à porção nivelada da exigência térmica. 0 
compromisso de hidrounidades de pequena capacidade em car­
regamento na melhor eficiência, geralmente otimiza o valor 
da hidroenergia para a ponta.
Ponta de Hidro
Caso 3 - Coordenação de Altura Fixa, das Usinas Hídricas e 
Térmicas
Suponhamos que um sistema ê composto dê uma hi- 
drousina e de uma usina térmica, como na figura 4.31A. Os 
modelos de transmissão e de carga serão conforme ilustrado 
no Capitulo 3, Seção 1. Suponhamos que queremos preparar u- 
ma programação diãria para a operação da usina hídrica e da 
usina térmica, dado que uma quantidade especificada de hi- 
droarmazenagem pode ser tomada durante o período de 24 ho­
ras. 0 problema ê, então, determinar a melhor programação de 
operação das usinas hídrica e térmica, de maneira que a quan­
tidade de armazenagem seja removida e a quantidade de com­
bustível consumido na usina térmica seja minimizada. A es­
pecificação da retirada de ãgua cumulativa para a produção 
de potência na hidrousina fornece um elo entre as decisões 
de despacho para todas as 24 horas na programação.Agora se­
rão preparadas as equações de coordenação para satisfazer as 
exigências de ãgua e para minimizar a quantidade de combus­
tível usado durante as 24 horas. Devemos usar o método de 
Lagrange para desenvolver as equações de coordenação e co­
locarmos a exigência de uso de ãgua como uma condição adi­
cional lateral no problema. Para iniciar a discussão, a ad­
missão de combustível â usina aquecida por carvão de pedra 
serã dada pela equação 4.300, na qual presume-se que a ad­
missão do combustível seja uma função convexa da salda da u- 
sina térmica. Permitiremos que o subscrito j indique as con­
dições para a hora j. Da mesma forma, suporemos que o flu­
xo d 1 ãgua, através da turbina, seja uma função convexa da 
salda da hidrousina, conforme mostra a equação 4.301. Note­
mos que a extensão do problema, para tratar de casos de al- 
tura variavel, foi incluída no Apendice I.
Fj = F (PTj) (4.3Q0)
Qj = Q (PHj) (4.301)
A exigência de carga para a hora j ê ilustrada na 
equação 4.302, na qual a carga mais as perdas são supri­
das pela salda da usina térmica e da hidrousina.
PTj + PHj = Lj + PLj j=l, — 24 (4.302)
Agora, as exigências referentes aos livramentos da 
hidrousina são que eles somem a uma retirada total W, con­
forme ilustrado na equação 4.303.
24
w = X Qj (4.303)
j=l
O objetivo da operação eficiente do sistema ê mi­
nimizar o custo de operação do sistema S.C., conforme ilus­
trado na equação 4.304,
24
S.C. = X F(PT.) (4.304)
j=l 3
na qual os custos de operação horários são somados para o 
periodo de 24 horas.
Evidentemente, se os custos do sistema, para o pe­
ríodo de 24 horas, devem ser o iriinimo, então, a alocação da 
hidroenergia deve ser de tal forma que mantenha os custos 
térmicos horários tão baixos quanto possível dentro da con­
dição lateral da quantidade de agua usada. Para resolveres- 
se problema de minimização restringida, torna-se necessário 
introduzir 25 condições laterais na equação 4.304. Ha 24 e- 
quações individuais de exigência de carga para as 24 horas, 
conforme mostra a equação 4.302. A 25^ condição ê dada pe­
la equação 4.303, na qual o livramento total dè agua, para 
a produção de potência, deve ser igual â retirada W. Ê for­
mada uma Lagrangeana usando os multiplicadores para cada uma 
das 25 condições laterais, como mostra a equação 4.305.
24
£ = X ÍF(PT.) - X . (PT. + PH. j=l 3 3 3 3
24
-YÍW- Z Q(PH.)> 
j=l 3
(4.305)
a exigência de carga da hora j e que um multiplicador y foi 
usado na restrição de uso d 1agua. Para uma programação es­
tacionaria ê necessário que a primeira variação da Lagran­
geana, dada na 4.305, seja estacionaria, isto ê, zero, com 
respeito âs variações arbitrarias da salda da usina térmica 
ou da hidrousina para qualquer hora j. Tomemos a primei­
ra variação ou derivada parcial da Lagrangeana com respeito 
à salda térmica de j? hora. A variação referente a PT^ ê 
mostrada na equação 4.306. O resultado da diferenciação ê a 
equação de coordenação familiar, para uma usina aquecida acarvão de pedra.
hora. A seguir tomemos a derivada parcial da Lagrangeana ocm 
respeito à salda da hidrousina. Una vez que a Lagrangeana de­
ve ser estacionaria para as variações arbitrarias na salda 
da hidrousina, a resultante equação 4.307- dã a equação de 
coordenação equivalente para a hidrousina.
mica. Elas são idênticas quando se designa ao multiplicador 
gama (y) um preço por unidade de armazenagem de agua, exa­
tamente como c e o preço de unidade de combustível que,mul­
(4.306)
Haverã 24 equações de coordenação, uma para cada
(4.307)
Agora comparemos a equação de coordenação para a 
hidrousina, com a equação de coordenação para a usina têr-
tiplicado pela taxa do calor incrementai, dã o custo incre­
mentai para a usina térmica. Correspondentemente,o preço da 
unidade de agua, gama, vezes a taxa de agua incrementai,dQ/ 
dPH, dã o custo incrementai no barramento da hidrousina.Po­
rém, como determinaremos o valor para a agua, gama? No con­
texto deste problema, o valor da agua ê exatamente aquele 
valor que substituira a geração térmica, hora por hora, de 
tal modo que a descarga integrada da hidrousina seja igual 
ao valor W. Meios de computação são sugeridos pelas equações 
4.306 e 4.307. Suponhamos que seja arbitrado um valor incre­
mentai para a ãgua e seja elaborada uma série de 24 despa­
chos, usando as equações de coordenação 4.306 e 4.307. Os 
despachos resultantes serão "ótimos" para este valor de ã- 
gua incrementai. Podemos, agora, verificar para ver se os 24 
despachos horários da hidrousina usaram ãgua demais ou ã- 
gua de menos. Se foi usado demais, então o preço da ãgua foi 
estabelecido baixo demais. Se, ao contrário, foi usadp de 
menos, o preço da ãgua foi estabelecido alto demais. Ajus­
tando o valor incrementai da ãgua, e tentanto outra vez, ê 
possível resolver tanto o despacho como o valor da ãgua in­
crementai que irã utilizar a retirada especifica do reser­
vatório no período de 24 horas. Assim, um programa para cal­
cular o despacho para um sistema hidrotérmico irã tomar a 
forma de um programa iterativo de 4 laços,ilustrado na fi­
gura 4.32. 0 laço mais interno para o programa serã a solu­
ção de Gauss-Seidèl das equações 4.306 e 4.307, para as ho­
ras especificadas e para os valores especificados lambda e 
gama. O segundo laço irã variar o custo incrementai,lambda, 
para a hora especifica, para determinar o despacho horário. 
0 terceiro laço serã o laço da hora para estender-se pelas 
24 horas, para o despacho do dia. O quarto laço irã verifi­
car o uso de ãgua e variar o valor de ãgua incrementai,gama, 
para utilizar satisfatoriamente a acumulação de ãgua. O 
gráfico de operação para essa computação ê ilustrado na fi­
gura 4.32A. Esta técnica tem sido aplicada a vãrios hidropro- 
jetos relativamente grandes^. Foi utilizada para o sistema 
da Southern Califórnia Edison e para o sistema da TVA.
MÉTODO DE ITERAÇÃO DE LIMITE
Inicializar os Contadores
Figura 4.32A
A discussão da aplicação da Southern Califórnia 
serâ encontrada no Apêndice I. Naquela ocasião foram encon­
tradas dificuldades de computação com o método. O ajustamen­
to de valores de agua incrementais para um sistema de multi- 
usinas requer um grande cuidado. Ademais, a presença de res­
trições referentes à quantidade de vazão , tais coto as res­
trições quanto ao mínimo e ao máximo da altura de montante, 
requerem uma atenção cuidadosa. Foi usada uma série de mé­
todos para tratar dos problemas numéricos associados com o 
problema de coordenação hídrica e térmica. Entre esses es­
tavam a programação dinâmica com aproximações sucessivas^ , 
- 7os métodos gradientes , e os métodos gradientes variacio- 
8 9nais ' . O método gradiente variacional e usado pela inter- 
conexão Pennsylvania-New Jersey-Maryland para a programação 
do sistema de quatro usinas no Rio Susquehanna, compreenden­
do os reservatórios de Safe Harbor, Holtwood e Conowingo,
14juntos com a instalaçao de armazenagem bombeada de Muddy Run . 
Esses quatro reservatórios e usinas formam um sistema com 
forte acoplamento hidráulico. Nessas circunstâncias, hã for­
tes ações reciprocas entre os programas de cada usina com os 
programas das outras usinas. Breves discussões sobre a pro­
gramação dinâmica, com o método de aproximação sucessiva,são 
oferecidas no Apêndice III, e o método gradiente variacio­
nal ê descrito no Apêndice II.
Seção 4,4 - Modelos para a Programação de Armazenagem com 
Bombeamento
As usinas com armazenagem por bombas representam 
um tipo de banco de energia disponível para os sistemas de 
potência. Bombeando agua de um reservatório mais baixo para 
um mais alto, por intermédio de uma bomba movida a motor, ê 
possível livrar a ãgua mais tarde, num tempo mais favorável, 
para acionar um turbo-gerador para devolver a energia elé­
trica. As antigas instalações européias utilizaram turbo-ge- 
radores e unidades de bomba movidas a motor, separadas para 
as funções de geração e de bombeamento.
Nos anos de 1950 foram desenvolvidas turbinas-bom­
bas reversíveis que possuiam eficiência suficiente, tanto 
nos usos da bomba como nos da turbina, para garantir a ins­
talação de unidades simples reversíveis de turbina-bomba.As 
instalações de armazenagem bombeada têm, agora, uma ampla 
aplicação com o desenho da turbina-bomba reversível. No de­
senvolvimento dum modelo para a unidade de turbina-bcxnba,es­
tende-se o modelo usado para a hidrousina, mantendo a po­
tência gerada como positiva, e a descarga através da turbi­
na como positiva. Desse modo, a relação entre a potência ge 
rada e a descarga através da turbina ê conforme ilustrado 
na primeira das equações 4.400, para o Q positivo. A apli­
cabilidade da equação 4.400 seria, num entorno perto da me­
lhor eficiência, para cada unidade na usina.
PH=
KpQ
Q>0
Q<0
(4.400)
Ke = KG/Kp (4.401)
No modo de gerar hã um intervalo de geração rela­
tivamente grande,para a qual a relação que assume o coefi­
ciente de conversão constante e a eficiência ê uma boa a- 
proximação. Quando o eixo ê invertido e o gerador ê usado 
como o acionamento de motor síncrono, aplica-se a segunda e- 
quação 4.400, para o Q, agora negativo, e ê necessária para 
a usina potência negativa ou motriz. Para relacionar a en­
trada da potência do motor com a descarga da bomba, ê neces­
sário um coeficiente de conversão diferente. A proporção dos
coeficientes de conversão K para K ê definida como a efi-_ 9 Pciência de conversão para a usina*. Isso pode ser visto da 
seguinte maneira: cada megawatt-hora de admissão de bombea- 
mento armazena 1/K unidades de armazenagem no reservatório
* Seguidamente denominada eficiência de ciclo de usina com 
armazenagem bombeada.
superior. Correspondentemente, cada megawatt-hora de geração
exige 1/K de unidades de armazenagem. Assim sendo, um mega- y ^
watt-hora de admissão bombeada resultará em K dividido por9K megawatts-horas de geraçao. A proporção de entraia à saldar
para a usina de armazenagem bombeada ê, então, a eficiência 
de conversão. Com as unidades de turbina-bomba são possíveis 
as eficiências de conversão totais de 75 a 80%. Quando tam­
bém são incluídas as perdas de transmissão, e o efeito da 
unidade de bombeamento é referido ao centro da carga, são, 
normalmente, encontradas eficiências de conversão na ordem 
de 2/3 a 3/4. As relações de armazenagem e de fluxo, para o 
reservatório superior de uma usina de armazenagem bombeada, 
são dadas na equação 4.402, na forma discreta para um sistema
sem influxo natural.
Vj+1 = Vj - QAT (4.402)
Seguidamente ê conveniente expressar a armazena­
gem no reservatório superior dum projeto de armazenagem bom­
beada em termos de megawatts-horas de geração que a armaze­
nagem representa. Nesse caso, o coeficiente de conversão
ê posto igual a 1 e o coeficiente de conversão K ê posto ̂ Pigual ao recíproco da eficiência de conversão 1/K^. Tanto a 
capabilidade de armazenagem, como a de potência duma usina 
de armazenagem bombeada, são limitadas. A limitação da ar­
mazenagem ê mostrada na equação 4.403 e aslimitações na car­
ga de bombeamento mais negativa e na capabilidade mãxima de 
geração são ilustradas na equação 4.404.
V . < V < Vm m ~ ~ max (4.403)
Bombeamento Mínimo < PH < Geração Mãxima (4.404)
Os projetos de armazenagem bombeada servem tanto 
como reservas econômicas como reservas de emergência.A esse 
respeito ocorre freqüentemente que a limitação na descar­
ga para a programação econômica ê instituída para proteger o
sistema, isto ê, obrigar a programação a deixar uma certa 
quantidade mínima dè armazenagem para permitir que a ope­
ração cubra baixas imprevistas de outros equipamentos. As 
programações de operação para os projetos de armazenagem 
bombeada variam conforme o tamanho do reservatório superi­
or. Alguns projetos são bastante grandes para permitir a pro­
gramação estacionai, para outros são permitidas programações 
semanais para seguir o ciclo de carga semanal, ao passo que 
em outros, a operação nos ciclos diários ê indispensável,de 
modo que tudo o que foi gerado durante o dia deve ser repos­
to na noite seguinte.
Começaremos com a ilustração de um projeto para o 
qual se estabeleceu a armazenagem entre um ponto inicial e 
um ponto final durante um dia. Quer dizer, seja qual for a 
geração econômica determinada para um dado dia, acima e alem 
do permitido pela mudança da armazenagem, deve ser reposta 
durante o período de carga baixa do próximo anoitecer.
Para ilustrar a programação de um projeto de ar­
mazenagem bombeada com um sistema aquecido a carvão de pe­
dra, consideremos um modelo de carga de pique de um dia da 
semana, semelhante ao modelo ilustrado na tabela 4.41 e na 
figura 4.41. Presumimos que uma programação de compromisso 
para a geração térmica corresponde aos custos incrementais, 
conforme ilustrado na Tabela 4.42.e na figura 4.42. As ca­
racterísticas para a usina são modeladas-aproximadamente se 
gundo o projeto de Niãgara Falis, envolvendo uma bomba-tur- 
bina reversível no progeto de armazenagem bombeada de Tus- 
carora, que tem uma altura de carga relativamente baixa e 
que coordena com a altura de carga mais alta da hidrogera- 
ção de Robert Moses. A altura de carga mais baixa para o bom- 
beamento, combinada com a equivalente altura de carga alta 
para o livramento, isto ê, através dos turbo-geradorek de 
Tuscarora e Robert Moses, em série, dâ um ciclo combinado 
coh uma eficiência equivalente de perto de 93%«Consideremos* 
para a programação, um período de tempo das 08:00 h do dia de 
pique da semana, até as 08:00 h do próximo’dia da semana.
TABELA 4.41
Programação da Carga do Sistema e da Hidrousina
Tempo Sabado Domingo
Carga Liquida Carga Liquida
MW MW
24 1609,13 1345,89
2 1211,06 1005,61
4 1095,49 735,95
6 1493,56 1005,61
8 1714,23 1339,48
10 1982,05 1641,23
12 1795,85 1714,23
14 1714,17 1422,93
16 1969,21 1714,23
18 2425,06 1879,32
20 2104,04 1714,23
22 1714,23 1666,91
Ponta em dia da semana Dia útil de semana, medio
24 1634,82 1621,97
2 1243,16 i 1281,684 1211,06 1230,32
6 1770,17 1714,23
8 3054,27 2880,92
r 10 3349,61 3163,43
12 3060,70 2874,50
14 2932,29 2733,24
16 3054,27 2874,50
18 3439,50 3182,68
20 2900,18 2701,14
22 2014,15 1905,00
Curva de Custo Incrementai do Sistema Térmico
Figura 4.42
TABELA 4.42
Custo do Combustível do Sistema Térmico 
Exemplo 1 - Hidrousina com armazenagem bombeada
DIA NÚMERO 1
CARGA
3439,500
3349/610
3060,700
3054,270
2932,290
2900,000
2014,150
1714,230
1621,970
1281,680
1230,320
CUSTO INCREMENTAL
5.229
5.229 
4,089 
4,086 
4,035 
4,021 
3,604 
3,446 
3,397 
3,038 
2,965
O custo incrementai do combustível varia linearmente 
os pontos sucessivos na tabela.
entre
TABELA 4.43
Características
da usina com armazenagem bombeada
Coeficiente de conversão de agua K_ = 1,0 MWh/MWh
V j
Eficiência da conversão da usina reversível Kg = 0,93
Limites de armazenamento do reservatório 0 < V < 16.600 MWh
Regime da usina Entrada maxima da banba = 1088 MW (Equivalente
à capabilidade de 2 usinas)
Saída maxima geração = 1055 MW (Equivalente 
à capabilidade de 2 usinas)
Armazenagem inicial 8,00 h 16.400 MWh
Armazenagem final 8,00 h 14.503,44 MWh
Retirada durante o período de 24 horas 1896,56 MWh
TABELA 4.44
Tabela de duração-cárga máxima em dia de
Classe Hora
Carga
MW
X
$/MWh
1 18-20 3439,5 5,229
2 10-12 3349,61 5,229
3 12-14 3060,70 4,089
4 8-10 3054,27 4,086
5 16-18 3054,27 4,086
6 14-16 2932,29 4,035
7 20-22 2900,18 4,021
8 22-24 2014,15 3,604
9 6-8 1714,23 3,446
10 24-2 1621,97 3,397
11 2-4 1281,68 3,038
12 4-6 1230,32 2,965
semana
Energia
MWh
59306.06 
59126,28 
57970,64
57932.06 
56712,26 
56326,94 
43922,80 
39124,08 
37463,40 
30657,60 
29527,68
Notamos que o período de carga mais baixa, durante a noite 
que segue, ocorre entre as 04:00 h e 06:00 h, com 1230 me- 
gawatts. Os custos incrementais do combustível de admissão, 
com esta carga, pela Tabela 4.42, para o sistema térmico, ê 
um pouco superior a $ 2,94 por megawatt-hora. A carga máxi­
ma para o dia da semana de maior carga mãxima, ê 3439 mega- 
watts. O custo incrementai para o sistema térmico ê cerca 
de $ 5,23 por megawatt-hora. Se for gerado um megawatt-hora 
de energia na ponta, vamos deslocar $ 5,23 de custos de ge­
ração térmica. Agora, comparando as armazenagens, p.or este 
período, vemos que 1896,56 MW-hora de armazenamento podem 
ser usados em geração, durante este período. Mãxima econo­
mia resultará se esta geração for aplicada a horas de maior 
custo incrementai operacional. A curva de duração de carga 
para esse dia ê dada na tabela 4.44. Se distribuirmos essa 
geração às dez horas correspondentes às cargas 1-4 na tabe­
la ordenada, podemos nivelar a carga mãxima em 3002,015 MW.
O custo incrementai a esse nível de carga seria aproximada­
mente 4,0642/MWh. Referindo-nos à Tabela 4.44, que mostra 
os gráficos de carga-energia e de duração - carga, notamos 
que, baixando 1899 MWh, o gráfico de energia de carga cor­
responde a uma carga de aproximadamente 3000 MW. o programa 
resultante ê mostrado na Figura 4.41 como linha A-A*. Este 
programa satisfaz as exigências do armazenamento do reserva­
tório para o período das 8 h às 8 h. Serã ele necessaria­
mente o melhor, ou o programa de menor custo que se poderia 
obter?
Para examinar este ponto e ilustrar um algoritmo 
para encontrar um programa melhor, devemos prosseguir passo 
a passo, através do procedimento de exame e de uma técnica 
para mudar para um esquema melhor se possível.
Primeiro, um esquema melhor pode ser encontrado? 
Comparemos o maior e o menor custo incrementai no dia, para 
o programa dado.
O maior custo incrementai ê $ 4,0642/hW h «— 3002,015 MW
O menor custo incrementai ê $ 2,9646/MW h ♦— 1230,32 flW
Agora, 1 MWh de energia bombeadora, a um nivel de
carga de 1230,32 MW (4 às 6 horas) , custaria $ 2,9646. üm
MWh de energia bombeadora aumentaria o armazenamento de â- 
gua no reservatório superior, por uma quantidade equivalen­
te a 0,93 MWh de geração (isto ê, a energia bombeadora ve­
zes a eficiência de conversão da usina). Mas, 1 MWh de pro­
dução pela usina reversível pode deslocar geração térmica 
com uma economia de $ 4,0642; conseqüentemente, 0,93 MWh de 
produção podem deslocar $ 3,7797 de produção térmica. Por 
esta razão, pelo menos incrementalmente, uma economia de $ 
3,7797 - $ 2,9646 ou $ 0,8151 serã atingida para cada MWh 
de bombeanj/ento e 0,93 MW hora de geração. O bombeamento e 
a produção deveriam ser aumentados, enquanto houvessem tem­
pos para os quais a proporção de custo incrementai, do mais 
baixo para o mais alto valor, fosse menor que a eficiência 
de conversão do projeto:
Teste
V g > XP
V g - -P- A
V g < x
Banba/ação geradora a tonar 
Aumentar a ação (Suboperada) 
Programação estacionária atingida 
Reduzir a ação (Sobreoperada)
Por isso, os programas de bombeamento e produção 
deveriam ser ampliados. Uma maneira conveniente de escolher 
os incrementos ê permitir que os programas de geração e bom­
beamento mudem até que o nível de produção ou o de bombea - 
mento atinja o próximo passo da cargana tabela carga/dura- 
ção (interpolação linear para energias pode ser feita entre 
os passos de carga).
Por exemplo, 51,36 Mí de bombeamento, das 4 h às 6 
h, levantaria a exigência da produção térmica para um nível 
igual ao carregamento das 2 h às 4 h. Dal, devemos verificar 
se seria vantajoso bombear por duas horas para armazenar 2 x 
51,36 x 0,93 = 95,53 MWh equivalentes em geração. Para re­
alizar o exame devemos distribuir energia para diminuir a 
exigência da maior produção térmica (isto ê , distribuir os 
95,53 MWh entre os períodos de 8» h âs 14 h e 16 h às 20 h , 
dez horas no total) para reduzir o nivel a 3002,015-9,553 
ou 2992,462 MW. A esse nível, o custo incrementai do siste­
ma térmico seria $4,0101/MWh. Mas, ao nivel da carga entre 2h e 4h, o 
custo incrementai do sistema térmico é de $3,0382/MWh, claramente 0,93 
x 4,0601 > 3,0392: 3,7759 > 3,0382. Assim, a ação da bcxnba/produção 
deveria ser aumentada mais no período das 2h às 6h e, possivelmente 
mais ainda. Portanto, estabeleçamos o novo requisito termioo para o pe­
ríodo das 2h às 6h, no nível do carregamento das 2h às 4h e verifique­
mos o aumento na ação bcmbeadora que estabeleça a exigência térmica mí­
nima igual ao nível de carregamento das 24h às 2h (1621,97 MW). A ener­
gia bombeadora no bloco das 2h às 6h seria (4 horas) (1621,97-1281,68)ou 
1361,16 MW horas. Este ê um armazenamento equivalente a 0,93 
x 1361,16 ou 1265,88 MW horas de geração, o que ê bem sig­
nificativo. Cónseqüentemente, seria feito um teste do efei­
to sobre a exigência térmica maior, para ver se um nivel de 
carregamento seria ultrapassado, prejudicando a interpolaçaò 
linear no armazenamento. A exigência térmica era 2992,462 MW 
no último passo e compreendeu dez horas.
Distribuindo 1265,88 MW horas entre dez horas,di- 
minuiria a exigência térmica dessas horas de 126,588 MW;sua 
exigência térmica cairia abaixo de 2932,29 MW;o proximo pas­
so na curva de duração de carga, cónseqüentemente, tenta dis­
tribuir 10 x (2992,462 - 2932,29) MW horas ou 601,72 MW ho­
ras entre as dez horas, e os restantes 664,16 MW horas, no 
período de doze horas. A exigência térmica seria reduzida 
por 664,16/12 ou 55,34 MW, mas isto baixaria a exigência tér­
mica abaixo do nível de carga das 20 h às 22 h, então, dis­
tribui-se um adicional (.2932,29-2900,18) x 12 ou 385,32 MW 
horas, deixando 664,12-385,32 ou 278,80 MW horas para ser 
distribuída sobre o período de 14 horas, das 8 h às 22 horas. 
A exigência de produção térmica resultante torna-se 2900,18 
- 278,80/14 ou 2880,27 MW para o período das 8 h às 22 horas. 
Agora devemos examinar para ter certeza de que a distribui­
ção foi apropriada, comparando os custos incrementais da pro
dução térmica.
A 2880,27 MW, o custo incrementai ê $ 4,0124/MWh 
A 1621,97 MW, o custo incrementai ê $ 3,397/MWh 
Comparando, 0,93 x 4,0124 >3,397: 3,7315 >3,397
Conseqüentemente, a troca ê boa e a ação geradora 
da bomba pode ser aumentada. A continuação deste processo 
conduz a um programa final, com uma exigência térmica máxi­
ma de 2636,861 MW, a um custo incrementai de $ 3,897/MWh, e 
uma exigência térmica mínima de 2057,288 MW, a um custo in­
crementai de $3,624/MWh. Comparando o com A_ ,.D Va r
0,93 (3,897) = 3,624
encontra-se igualdade essencial indicando que o programa a— 
tingiu um ponto de custo estacionário com respeito a peque­
nas perturbações da ação bomba/produção. A exigência térmi­
ca foi nivelada e aparece nas linhas G-G' e P-P1 na figura 
4.41.
Este simples exemplo serviu para ilustrar um al­
goritmo eficiente para esboçar programas de reservatôrio- 
bomba. O exemplo não ilustrou dois fenômenos que deveriam 
ser mencionados. Primeiro, os limites da capacidade das u- 
sinas eram suficientemente grandes, tais que nem os limites 
da geração, nem os limites do bombeamento elétrico foram al 
cançados. A adição dessas limitações ê prontamente feita, 
simplesmente limitando o bombeamento horário, ou a geração, 
ao menor valor escolhido entre o limite elétrico bomba/gera 
dor e a diferença entre o bombeamento/produção necessário 
para nivelar a exigência térmica, e a carga horária inte­
grada. Segundo, os limites de armazenamento do reservatório 
eram suficientemente grandes e não afetavam a operação da 
usina. Quando um limite de reservatório ê alcançado, o in­
tervalo de programação deve ser parado nesse ponto e novos 
intervalos estabelecidos, com o ponto do limite do reserva­
tório colocado ccmo um ponto de limite entre os dois intervalos.
V MAX
-------- INTERVALO 1
TEMPO •
INTERVALO 2
VALOR D*AGUA 
INTERVALO 1 >
VALOR D'A6UA 
INTERVALO 2
Figura 4.43
Efeito da Restrição de Armazenagem
C
A
R
G
A
HORAS
X p 2
1------------------1
1 1
Ák
1 Tp 1
r i
!
1 1
<
CD
2
O M
W
1 1 
i X p - i
CD
^PAVG. ^
ÁGUA ARMAZENADA = MW BOMBA X Tp / Kp
MWh EQUIVALENTES DE GERAÇÃO = KE X MW BOMBA X Tp
Figura 4.44
Carga Discreta de Bomba
Um exemplo desse fenômeno ê oferecido nas figuras 
4.41-3, nas quais a produção permisslvel foi limitada a 3000 
MW horas para um período diãrio. Notemos que a exigência de 
produção térmica máxima aumentou para 2898,506 MW (linha 
S-S*).
Finalmente,a técnica ilustrada nesta seção pode 
ser expandida para cobrir uma exigência pratica adicional : 
níveis de bombeamento discretos. Como um aspecto pratico , 
cargas de bombeamento são limitadas a um intervalo estreite* 
devido âs limitações hidráulicas e â eficiência. Para lidar 
com este tipo de operação, medem-se mudanças discretas na 
carga de bombeamento e determina-se o custo médio incremen­
tai para a operação da bomba. Compara-se o custo médio in­
crementai com o custo incrementai da geração deslocada, ve­
zes a eficiência de conversão da usina. Ajustamentos Vernier 
nos MW horas da bomba são feitos trocando os tempos de ini­
cio e parada para a bomba. Olhemos a figura 4.44, para uma 
ilustração do modelo com níveis discretos de bombeamento.
Seção 4.5 - Critérios para Sistemas Totalmente Hidroelétricos
Programas ótimos para sistemas hidrotêrmicos fo­
ram tratados na Seção 4.3 para modelos hidráulicos de altu­
ra de carga fixa e para modelos hidráulicos de altura vari­
ável, nos Apêndices I, II e III. A programação para fonte 
hidráulica foi facilitada pelo uso de um valor incrementai 
equivalente para a agua armazenada. Em sistemas hidrotêrmi­
cos, o valor incrementai da agua ê o valor da futura subs­
tituição de combustível por unidade de agua armazenada. Com 
retirada especifica do reservatório, o valor incrementai de 
agua ê colocado igual àquele valor que substituira a produ­
ção térmica, na medida em que a descarga integrada da usina 
hidráulica ê igual à liberação do reservatório, desejada pa­
ra o período do intervalo do programa. Assim, o valor incre­
mentai da agua assume o papel de um "custo unitário de subs­
tituição de combustível" para a usina hidráulica.
Num sistema todo hidráulico, o critério para a 
programação õtima deve, e claro, ser modificado para refle­
tir a forma da operação do sistema hídrico. Consideremos,no 
vamente, um intervalo fixo de programação [0,T] / sobre o 
qual um conjunto de cargas ê conhecido e no qual um conjun­
to de fluxos locais para os reservatórios são igualmente co­
nhecidos. Dos muitos modos de operação possíveis, dois se­
rão considerados nessa discussão: 19 Caso, todas as exigên­
cias de energia são fornecidas de dentro do sistema, com um 
uso mínimo da fonte; 29 Caso, exigências de energia do sis­
tema a serem satisfeitas com um mínimo de compras, de fora 
do sistema.
0 Caso n9 1 considera o suprimento da carga,a par­
tir do reservatório e do fluxo local, para os reservatórios 
dentro do sistema; este modelo foi investigado pelo escritor 
para o projeto do reservatório do Rio Colorado*^. Para o in­
tervalo especificado na programação, desejava-se atender a 
uma carga horária especifica para o sistema, mais uma ex­
portação especifica para uma retirada total fixa dos reser­
vatórios 1, 2 e 3, como ilustrado na figura 4.51. O crité­
rio para operação era atendera exportação horária mais a 
carga, de maneira a maximizar o armazenamento restante no 
reservatório 4, no fim do intervalo T; o reservatório 4: tor­
na-se um "reservatório de equilíbrio" nesse modelo. O pro - 
blema foi resolvido utilizando o método do Gradiente des­
crito no Apêndice II desse capitulo. O valor incrementai da 
agua, para o reservatório 4, foi especificado em T.Os va­
lores incrementais de agua, para os reservatórios 1, 2 e 3, 
foram determinados com relação ao valor incrementai da agua 
no reservatório 4 em T, tal que as saldas desejadas do ar­
mazenamento para os reservatórios 1, 2 e 3 foram atingidas. 
As equações de coordenação de potência para cada usina es­
tão ilustradas na figura 4.51. Notemos que a diferença en­
tre os valores incrementais da ãgua, rio acima e rio abaixcy 
aparece nas equações de coordenação da usina.
Maximize J = V̂ (T) (Ponto final da armazenagem no reservatório 4)
Todas as armazenagens dos reservatórios especificadas no t=Q; retira­
das da armazenagem para t=T, especificadas para os reservatórios 1,2,3; 
afluxo local especificado para todos os reservatórios; carga horária 
PR mais o intercâmbio programado PE especificados.
4
T P. = P_. + PT + P„ cada hora
J K I j
Vl(t) = V^fc-lJ+ÍRj-Sj-Q^) (At=l); V2 (t)=V2 (t-l) + (R2-S2-Q2) (At=l) 
V2(t) = V3 (t-l)+(R3-K22+S2-Q3-S2 )(At=l)
V4 (t) = V4 (t-l) + (R4-K33+S3-KJ1+S1-Q4-S4) (At=l)
Equações de coordenação das usinas para a altura fixa:
. 3Qj _ W 1 3PL .
Ayj ãPj " A ( 1 - 3P7 }
Ay4 = Y4-0; Ay3 = Y3-Y4 ; Ay2 = Y2"Y3 ' aYx = Y1~Y4
Figura 4.51
Coordenação de altura fixa para a hidroarmazenagem do sistema
Isto aparece devido ao valor da liberação, por e- 
xemplo, do reservatório 2, em termos de produção de energia, 
quando a ãgua ê liberada sucessivamente através dos reserva 
tôrios 3 e 4. Assim, o valor de uma unidade de volume de â- 
gua na represa 2 ê medido em termos de sua habilidade de 
produzir energia elétrica nas usinas 2, 3 e 4 sucessivamen­
te. Pois o reservatório 4 específico do sistema, reservatório rio abai­
xo, tem a capabilidade de acumulação muitas vezes maior que a capabili- 
dade combinada dos reservatórios 1, 2 e 3. Num caso mais típico, por e- 
xemplo, na operação de uma fonte particular de ãgua, ê mais comum que 
o reservatório superior da represa seja o maior e sirva cano acumulação 
para a bacia inferior e usinas a fio d'ãgua. Neste exemplo, pareceria 
melhor selecionar o reservatório superior, ou o reservatório de maior 
armazenamento, como a "represa de balanço" e operar o sistema para a- 
tender a carga, de modo tal que o armazenamento final ou o inventário 
da represa de balanço seja minimizado, enquanto os armazenamentos fi­
nais nas outras represas são especificados. Esta operação tende a re­
sultar em retirada mínima do armazenamento a longo prazo para atender a 
uma operação a curto prazo, para um intervalo de 0 a T.
Voltando às expressões ilustradas na figura 4.51, 
a atenção dirige-se ao aspecto variável, com tempo dos va­
lores incrementais da ãgua. 0 valor incrementai da ãgua po­
de mudar com o tempo, devido a duas causas. Primeiro, se o 
período do tempo for bastante longo, o efeito da variação do 
consumo específico com o reservatório de montante poderia 
causar um decréscimo significante do valor incrementai da 
ãgua, com tempo para o intervalo de previsão 0 a T. As ex­
pressões para a variação do valor incrementai da ãgua com o 
tempo são ilustradas nos Apêndices I e II. A segunda causa 
para a variação do valor incrementai da ãgua surge dos efei­
tos das restrições no mãximo e no mínimo do reservatório de 
montante. Este efeito foi discutido superficialmente na se­
ção 4.4 e estã sendo discutido mais detalhadamente no Apên­
dice III.
No Caso n9 2, o segundo modelo de programaçao,le­
vado em consideração nesta seção, diz respeito à determina^
ção da compra e da venda õtimas de energia e da capacidade 
firme. Um sistema inteiramente hidro, que ê interligado com 
outros sistemas, pode escolher entre fornecer uma porção es­
pecificada das exigências de energia para um intervalo es­
pecificado, 0 a T, com os recursos hídricos dentro do sis­
tema, e comprar de outros sistemas a capacidade e a energia 
restantes para atender a carga. Dependendo dos arranjos de 
interligação, podem ser realizadas as compras de capacidade 
firme D, bem como a compra e venda de energia, de hora em 
hora. Em certos casos, a compra e a venda de energia são mo­
deladas como intercâmbios econômicos, nos quais o custo in­
crementai e uma função do tamanho da venda ou da compra e 
do tempo de ocorrência durante o dia ou o fim de semana.Su­
ponhamos que o custo esteja associado com uma importação,P^, 
e o retorno esteja associado com uma venda Pg, e um custo 
de demanda associado com uma compra de capacidade firme, D, 
da qual pode ser exigido P^, a qualquer instante, para com­
pletar a exigência da carga do sistema. O objetivo nesse ca­
so, ê o de selecionar um nível de compra de capacidade firme, 
D, para o intervalo de tempo, 0 a T, referido âs descargas 
especificadas do reservatório durante este intervalo, que 
reduzira ao mínimo os custos de compra da capacidade e de 
energia para a operação. Na figura 4.52 ê ilustrado um es­
boço do diagrama de blocos para os cálculos a serem feitos 
para avaliar as variações na compra de capacidade firme. O 
procedimento ilustrado na figura emprega um método gradien­
te para determinar a direção da variação de um valor arbi­
trado de compra, de capacidade firme, D, para melhorar o 
custo de operação do sistema. A cada compra especificada de 
capacidade firme, são distribuídos os recursos hídricos do 
sistema para levar ao mínimo os gastos provenientes da com­
pra de energia suplementar.
0 procedimento ilustrado começa com uma programa­
ção hídrica especificada experimental, e com uma compra es­
pecificada de capacidade firme, D, conforme ilustrado no 
primeiro bloco, no alto da figura. Uma programação de compras 
e vendas de capacidade é ilustrada no bloco 2, com a restrição de que
Figura 4.52
(continuação)
a venda de potência não possa ocorrer simultaneamente com a 
compra de potência firme e que a importação de energia su­
plementar não poderã ter lugar se a compra de capacidade fir 
me não estiver sendo totalmente utilizada. Dada a compra de 
capacidade firme, o recurso hídrico do sistema ê redistri­
buído para reduzir ao mínimo os custos com as compras dè po­
tência suplementar, menos as vendas. Executando a distribui­
ção para dois valores de compra de capacidade firme, ê pos­
sível desenvolver um gradiente do custo dó sistema,com res­
peito à compra de capacidade firme, conforme ilustrado no 
bloco 3. Dado o gradiente dos custos de operação do sistema, 
referente a determinada compra de capacidade firme, podemos 
desenvolver um procedimento, conforme ilustrado na lógi­
ca entre os blocos 3 e 4, para determinar a direção e a mag 
nitude da correção desejada para a compra de capacidade fir­
me. A determinação de uma nova compra experimental de capa­
cidade firme ê ilustrada no bloco 4. O procedimento da com­
putação termina quando não se pode obter um melhoramento ra­
zoável no custo de operação do sistema, ou em qualquer pon­
to onde a compra de capacidade firme ê limitada por restri­
ções de importação ou exportação. Uma aplicação deste enfo­
que,para determinar o mínimo de compra de capacidade firme 
que evite um déficit de energia do sistema, ê descrito na 
referência 17. Na aplicação particular, o valor mínimo de D, 
que reduzira a soma de Pj a zero, para as vendas zero do sis 
tema, foi determinado por um procedimento de gradienteefoi 
utilizado um recurso "pseudo" para suprir o déficit re­
presentado por Pj.
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Multi-Reservoir Systems using a Composite Representa- 
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pp. 327- 335.
APÊNDICE I
A FORMULAÇÃO VARIACIQNAL 
Desenvolvimento da Teoria
Para fins ilustrativos, o problema serã inicial­
mente fraseado na sua mais simples forma quanto â otimiza­
ção do programa para uma usina de geração de força hidroe­
létrica, e para outra usina termoelêtrica. Torna-se neces­
sário baixar ao mínimo o custo de combustível gasto para a 
geração térmica, aF(Pg), durante o período de tempo 0 < t < T, 
sujeito â restrição devida ao fato de que a demanda de po­
tência L deve ser atendida continuamente pela geração tér­
mica PT e pela hidrogeração PH.
A relação entre a potência gerada e a recebida é
dada como:
L = PT + PH - PL (4.500)
PL ê a perda de transmissão e ê uma função quadrãtica da po­
tência gerada PH, PT.
O reservatório age como um integrador; o regime 
de mudança do armazenamento dV/dt é igual ao afluxo r menos 
a soma do escoamento q, descarregado pelas turbinas hidráu­
licas e pelo vertimento S que não gera potência. S pode ser 
um livramento planejado ou controlado, ou ele pode ser uma 
função da acumulação de montante, tal como o derramamento 
que pode ocorrer quando a acumulação de montante sobrepuja
a crista do reservatório.
A equação diferencial que regula o estado do re­
servatório ê dada como:
dV _ 
dt r - Q - S (4.501)
O problema de programação hidrotêrmica de curto 
prazo ê geralmente fraseado como a pesquisa para obter a 
função de descarga Q*(t), que resulta num valor estaciona - 
rio para a integral dos custos de combustível, durante ope- 
ribdo de otimização,
±
= Min ^ F (PT) dt (4.502)
sujeita â equação algébrica de restrição (4.500) e à equa­
ção diferencial de restrição (4.501). Essas duas relações de 
restrição podem ser introduzidas diretamente na integral 
(4.502), pelo uso de dois multiplicadores de Lagrange, va­
riáveis com o tempo X e y . O novo funcional, a ser reduzi­
do ao mínimo, aparece agora como:
J =
l
{ F(P) + X (L + PL - PT - PH) +
Y (gç - r + Q + S) } dt (4.503)
Da primeira variação de (4.503) desenvolve-se o conjunto de e- 
quações Euler-Lagrange:
Variações referentes a
PT: 3F _ 3PT ~ (1 -
3PL
3PT ) = 0 (4.504)
* O livramento Q deve ser tomado como uma função da armaze­
nagem e da salda liquida de potência, Q(V, PH) .
PH** — X (1 — ) + y aQ -s o
e U 3PH ' Y 3PH 0
V ! * - 5 t + t£v (0 + s) - 0
(4.505)
(4.506)
com a equação diferencial associada (4.501) e a equação al­
gébrica (4.500).
A condição adicional de limites, imposta a esse 
problema, ê que os pontos extremos do reservatório estão es­
pecificados. Desse modo, o problema ê do tipo do valor de 
limite de dois pontos. Naturalmente, a implicação ê que o 
valor do multiplicador Lagrange y em t=T ê de não zero.
Existem, naturalmente, certas restrições de ope­
ração nos intervalos das variáveis PT, Q, V nos problemas 
práticos. Essas freqüentemente podem ser colocadas na for­
ma
^min (t) < PT lt) < S T ^ (t)
Snin (t) < o (t> ‘ (t) (4.507)
Vmin (t) < v <« < (t)
O multiplicador de Lagrange Y torna-se uma cons­
tante no tempo para o problema no qual a potência de salda 
hidroelétrica depende sô fracamente da armazenagem do reser­
vatório, sendo que a variação de S com V. ê desconsiderada.
Problema Ilustrativo do Sistema
Um tal problema foi resolvido por computador di-5gital para o Southern Califórnia Edison System , que envol­
ve sete reservatórios hídricos e duas usinas a vapor equi­
valentes. As facilidades hídricas tratadas incluíam a par­
te do projeto Big Creek mostrada na figura 4.1.1, e a usina 
Hoover-Edison.
LA60 HUNTINGTON
Perfil esquemãtico de parte do projeto Big 
Creek (Southern Califórnia Edison Company)
As equações Euler-Lagrange, para esse caso, to­
mam a forma de equações simultâneas não lineares:
dF
dP
dQ
n = x d - >3 PTn
__j. = . n 3PL .
Yj dP Â 1 3PH. ’
(4.508)
(4.509)
onde
cUF\
= custo incrementai de produção para a usina térmica n 
n
3PL
9PT = perda incrementai de transmissão para a usina térmica nn
= taxa incrementai de agua para a hidrousina j
3PL
aPHj = perda incrementai de transmissão para a hidrousina j
X = custo incrementai da potência recebida
Y . = coeficiente de conversão da taxa d1 agua para hidrousi-
na j
Um diagrama lõgico simplifiçado, para a solução 
dessas equações, e dado na figura 4.32A. No laço de potên­
cia, as equações (4,508) e (4,509) são resolvidas pelo mé­
todo de iteração de Gauss-Seidel para os valores experimen­
tais X e yj• O laço X(lambda) assegura que a carga rece­
bida seja servida a uma tolerância desejada. O laço de ho­
ras provê o programa de índices, pelo numero de horas dese­
jado que, neste caso, ê 24. Em seguida, as retiradas obtidas 
são comparadas com os valores desejados. Se não for alcan­
çado um acordo satisfatório, especifica-se simultaneamente 
novos valores y (gama), pela solução de equações simultâ­
neas, que relacionam as mudanças nas retiradas, com a mudan­
ça nos valores gama.
Tratamento das Restrições
As relações de restrições dividem-se, naturalmen­
te, em duas classes. A primeira, ou asrestrições de igual­
dade, foram tratadas pelo uso dos multiplicadores Lagrange 
X e y . A outra classe trata das restrições do tipo de sa­
turação, representadas pela equação (4.507). Essas restri­
ções acontecem devido à características praticas de opera - 
dão, ou âs características físicas das usinas. As restri­
ções na geração PT, PH e na descarga Q não representam um
problema serio. Essas restrições podem ser tratadas pelomê-
13todo de Valentine que, de fato, estabelece limites na es­
colha permissível para a variãvel.
A ultima das restrições (4.507)na armazenagem,que 
nesse caso, ê a variãvel de estado, apresenta uma questão 
difícil na implantação da solução das equações de Euler-La- 
grange. Para essa classe de restrições do tipo ponto ou do 
tipo saturação, o multiplicador Lagrange y tem uma descon- 
tinuidade de salto, pois a trajetória de v deixa o limite 
V . ou o V . Para uma demonstração numérica desse fenô- 
meno, ver o Apêndice III. 0 tratamento das restrições de ar­
mazenamento requer uma mudança no método de computação que 
foi acabado de ser apresentado (a iteração de gama tende a 
desenvolver uma instabilidade numérica com a entrada/saída 
da usina e/ou as penalidades de operação que variam com a 
armazenagem). Um método que pode manusear com as restrições 
de armazenagem ê tratado mais adiante no Apêndice II.
APÊNDICE II
MÉTODOS GRADIENTE VARIACIONAIS
Teoria
Os métodos gradientes variacionais oferecem meios 
para produzir algoritmos computacionalmente estáveis para a 
programação hidrotêrmica. Podemos declarar, sem provas, que 
os processos estáveis para o estado do sistema (armazenagem) 
representado pela equação de processo (4.501) tendem a for­
necer equações instáveis para as variáveis de coestado y . 
Isto ê, se a (4.501) for fortemente amortecida no tempo de 
avanço, então, a (4.506) , serã fortemente não amortecida no 
tempo de avanço. Era tais circunstâncias, a (4.506) seria for­
temente amortecida no tempo de retrocesso.Isso levou ao pro­
cedimento de integrar a (4.506) de retrocesso, do firndo in­
tervalo de programação T, para trâs, até 0. As equações de 
processo (4.5U1) são integradas em avanço no tempo. O mé­
todo gera, sucessivamente, programações r^elhoradas, como se­
gue:
Partir com qualquer previsão praticável para as 
usinas térmicas e hidrousinas, que satisfaça a carga(4.500) 
e as restrições (4.507). Integrar a (4.501) das condições 
iniciais de armazenagem no tempo zero, até o tempo final T. 
Agora, para esse conjunto de valores de armazenagem recém 
determinados da (4.501), integrar a (4.506) de um valor "i- 
nicial', presumido em T, para trâs até o tempo zero. Com 
esses valores do y (t), determinar novos valores de PT, PH, 
que satisfaçam as (4.500), (4.504), (4,505) (visto que uma
pequena projeção ê tudo do que se necessita, selecionamos a 
projeção para PT e PH para estar na direção de satisfazer 
(4.504) e (4.505), mas devemos estar certos de que a proje- 
ção satisfaça a (4.500)).
Verificar os livramentos integrados, Q, para a no­
va programação, para assegurar a satisfação da armazenagem 
desejada de ponto extremo, e ajustar o valor incrementai d* 
agua y(t), para forçar a satisfação. Com os valores de PT, 
PH, verificar que a nova programação resulte num valor 
mais baixo para (4.502). Se a nova programação não for me - 
lhorada, devemos escalar, proporcionalmente, a projeção do 
antigo programa, isto ê, reduzir a projeção, pois ê possí­
vel que tenha havido um deslocamento longe demais, na dire­
ção certa. Quando for achada uma projeção que reduza os cus­
tos operacionais, então, a programação resultante serã to­
mada como o ponto de partida para uma nova projeção. O mé­
todo serã continuado até que não seja obtida uma melhora sen 
sível de custo, com outra projeção.
Algoritmo da Hidroprogramação Otima
O algoritmo de "gradiente variacional" ê ilustra­
do na figura 4.II.1. Notemos que o algoritmo emprega duas o- 
perações distintas; a primeira ê a simulação física e eco­
nômica do sistema e a segunda, a simulação do "co-sistema" 
ou do multiplicador e do despacho. A ultima compreende a de­
terminação do valor da futura substituição de combustível da 
hidroenergia, â determinação da diferença de coordenação da 
programação de geração hidrotêrmica dada, e, a partir desta 
diferença, a determinação da mudança apropriada na progra­
mação da geração. Notemos que esse método começa com qual­
quer programação praticável de geração, isto é, com uma que 
satisfaça as necessidades de carga e não viole os regimes 
da usina. Ê desejável, mas não necessário, que as exigênci­
as de armazenagem dos pontos terminais do reservatório se­
jam satisfeitas pela píiroÇramação inicial. Para satisfazer as 
exigências de armazenagem, o algoritmo mudará o programa de geração.
Figura 4.II.1
ROTINA AUTOMÃTICA DE HIDROPROGRAMAÇÃO
Em cada iteração, o novo programa de geração ê 
sempre mantido viãvel. Na simulação física e econômica do 
sistema ê feita uma comparação direta entre os custos do novo 
programa e do velho. Se o custo for melhorado, o controle do 
programa ê transferido para a simulação de co-sistema, se­
guindo uma verificação no numero das iterações completadas. 
Se o custo não for melhorado por uma importância prê-esta- 
belecida, a projeção da geração ê escalada a uma fração da 
quantidade inicial, sendo repetidos a simulação e o calculo 
do preço de custo. Se, depois de uma serie de escalagens, a 
melhora do custo não atingir o padrão, os cálculos são ter­
minados .
A experiência mostrou que esse é um critério sa­
tisfatório de parada, para esse programa. A investigação dos 
valores dos limites mais baixos ao valor extremo do custo 
de combustível térmico, mais a penalidade da restrição do 
reservatório, pelo uso de um problema dual, verificou que 
esse critério de convergência resulta num erro de custo in­
significante"^ .
Um outro laço lógico aparece na parte de co-sis- 
tema do programa. Depois de ter sido determinada uma comple­
ta projeção do programa, é feita uma verificação do predito 
ponto final da armazenagem do reservatório para esta nova 
programação. Se o novo ponto final cair dentro de um inter­
valo especificado em volta do desejado ponto final da arma­
zenagem, o controle do programa ê transferido para a simu­
lação do sistema, física e econômica. Se o predito ponto fi­
nal transgredir a tolerância, os valores incrementais da ã- 
gua do ponto final são regulados ou ajustados, usando um fa­
tor de pesagem linear proveniente da projeção de geração, e 
o laço do coestado ê repetido. Como anteriormente, em cada 
iteração ê permitido somente um numero máximo especificado 
de ajustes (20-100). A experiência mostrou ser o numero, em 
média, entre dois e três por iteração- O leitor notará que, 
assim, o programa pode corrigir uma dada programação expe­
rimental que contém uma retirada incorreta de armazenagem,
porém, com perda de tempo de computação.
Os métodos gradientes variacionais foram aplica­
dos com êxito na programação das usinas do Rio. Susquehanna,
14e das usinas do Upper Colorado River Storage Project
Em certos casos práticos, tais como o sistema hi­
droelétrico com armazenagem bombeada, as descargas permi­
tidas Q são limitadas a certos valores discretos, antes do 
que a uma extensão continua limitada. Nesse caso, o proble­
ma deve ser reformulado, ou no formato do Teste de .Weiers- 
trass, ou no Princípio Máximo , ou no Princípio de otima- 
lidade de Bellman
Referente ao formato do problema dado no Apêndice
* *I, este teste exige que a escolha otima PH, PT, que satis - 
faz a (4.500), deve resultar num mínimo da função.
H (PH, PT) = F (PT) + y (Q (PH, V) +• S-r)
Assim,
* *H (PH, *PT)= Min
PH, PT
H (PH,PT)
sujeito à (4.500).
APÊNDICE III
FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA
Desenvolvimento da Teoria
A programação dinâmica^ apresenta um meio para 
determinar o programa de descarga ótima, tratando o caso co~ 
mo uma seqüência de problemas de alocação horária d'água.
Para fins de discussão, voltamos novamenteao sistema de u- 
ma usina térmica e uma usina hidráulica.
Na forma discreta, a equação diferencial, que re- 
ge o estado do reservatório, ê dada por
Vn+1 - Vn + rn "n - S (V (4.701)
Vn = <Vn + Vn+1 )
onde Vn = a armazenagem do reservatório, no inicio do n— 
intervalo, e d r n , qn são o influxo e a descarga durante o 
n— intervalo. A redução ao mínimo deve ser levada sobre a 
soma discreta:
E . 
3 VN+1J • MinV Q
N
£ F (PTn) 
n=j
(4.702)
sujeito ãs equações de processo (4.500) e (4.501) e às e- 
quações de restrição (4.507). Assim, as escolhas admissíveis 
qn devem estar na região Q, a qual satisfaz as equações
(4.507). Visto que VN+ ̂ ê considerada como um valor termi­
nal fixo, o mínimo esperado do custo do combustível serã u- 
ma função da armazenagem do reservatório no início do in­
tervalo.
Formando uma seqüência de problemas de determina­
ção da distribuição ótima de descarga, para intervalos de 
tempo sucessivamente maiores, e gerada a programação ótima 
para qualquer intervalo desejado. Pelas técnicas de progra­
mação dinâmica ê desenvolvida uma relação recursiva entre os 
intervalos sucessivos:
E .(V.) = Min D J
qj£ Q
N
F (PT.) + Min Y F(PT ) 
3 “
( 4 . 7 0 3 )
= Min 
<3j£ Q
P|PV + e3+1 ‘V i ’
mas, pela (11) V j + 1 é dependente da escolha . Assim,
E. (V.) = Min 3 3 qjtQ
F (PTj) + Ej+1 (Vj+rj-q-fS (Vj) ( 4 . 7 0 4 )
Para E^, naturalmente, a escolha é restringida pa­
ra satisfazer o valor limite VN+1* Uma série de valores (V)j 
ê suposta para cada intervalo de partida j, com base no que 
a escolha ótima (q)^, para cada um dos V^, é determinada.
A extensão direta desse método, para um maior nú­
mero de reservatórios, incorre em dificuldades de cálculo e 
de memória, visto que o custo do combustível esperado, E , 
torna-se uma função do estado de cada reservatório. Assim , 
se forem consideradas K alternativas para cada reservatório 
e se houver R reservatórios, devem ser determinadas, para 
cada intervalo K , as combinações ótimas. Salvo para K mui­
to pequeno, os sistemas de R=3, ou maiores, são impraticã-
veis. Um enfoque alternativo e o uso de aproximações suces­
sivas , nas quais a investigação ê aplicada sucessivamente 
nas armazenagens em um reservatório, enquanto os valores de 
armazenagem, nos outros reservatórios, são fixos. Dessa for­
ma são achadas programações melhoradas para cada reservató­
rio, sucessivamente.
Problema Ilustrativo do Sistema
0 método de programação dinâmica tem sido aplica­
do nos dois reservatórios ligados em série no Rio Susqueha- 
nna. São consideradas as restrições de fluxo e de armazena­
gem, bem como os efeitos da altura variável e os efeitos de 
alocação das unidades.
Um diagrama de blocos simplificado ê dado na fi­
gura 4.III. 1.0 programa começa com uma programação inicial pra­
ticável, mas não ótima para as descargas da usina como fun­
ções do tempo, e executa uma busca de programação melhorada 
em cada usina, sucessivamente.
A busca começa no ultimo período de tempo e move- 
-se para trãs no tempo, comparando as descargas alternati - 
vas que resultam num custo mínimo do combustível para o res­
tante do período otimizado. Em cada período de tempo ê se­
lecionado um conjunto de armazenagens de reservatório e ê 
determinada a descarga ótima para cada armazenagem corres­
pondente, V, mais o custo do combustível associado, E, para 
o restante do período otimizado, T.
Então, esses valores são usados para desenvolver 
uma série semelhante de dados para o período de tempo mais 
cedo. A investigação continua até ficar incluído o período 
inteiro de operação. A nova programação de descarga de cus­
to de combustível mais baixo ê, então, determinada para a 
usina particular. A investigação passa, então, para a outra 
usina e o processo ê repetido. A investigação continua até 
a melhoria de custo ser menor do que o valor prê-fixado,se­
guindo a conclusão de uma iteração.
Programação dinâmica-aproximações sucessivas 
PP&L Safe Harbor e Holtwood 
Otimização de Programas de Hidrousinas
Entrar com os estados inicial e final do reservatório, 
a estimativa para a programação de agua do reservató­
rio; ccm o fluxo previsto do rio, a previsão de carga 
e o tamanho do passo da tabela.
— .. . iEstabelecer a estimativa do reservatório, com­
patível com o tamanho de passo da tabela.
— ... .....- , iCanal 1 - Iteração na usina de Safe Harbor - Construir tabelas de 
armazenagens, potências, fluxos, alturas de carga, custos para ca­
da hora que resultem em operação de custo mínimo, a partir de cada 
estado do reservatório especificado desde o início da hora ate o 
fim do período de estudo (fim da semana). Começar no fim da semana 
e trabalhar para trás._______ _______________________________
_________________ i__________________Ler as tabelas, começando com os estados
iniciais de reservatório, para elaborar 
uma programação melhorada._____________
Canal II - Iteração na usina de Holtwood - ( o 
mesmo que no cõĵ al I). ____________________
Ler as tabelas para elaborar 
uma programação melhorada.
Verificar se o custo acumulado desta iteração ê menor do que 
0,9999 do ultimo custo.
Não, chamar a entrada
Figura 4.III.1
Diagrama lógico de fluxos para 
a solução da programação dinâmica.
A identificação de turbinas individuais causa que 
a função de custo de combustível E seja multimodal. Para 
tais funções, o método de aproximações sucessivas corre o 
risco de convergir para um mínimo relativo. Os resultados 
numéricos, obtidos para esse estudo, demonstraram que o er­
ro causado* pela convergência, para um mínimo relativo, foi 
inconseqüente.
Embora a produção direta do método de programação 
dinâmica seja a programação õtima de descargas para condi­
ções particulares iniciais e finais do estado de reservató­
rio, hã informações adicionais disponíveis, tais como a de­
terminação direta do valor incrementai da agua, a partir da 
taxa de variação do custo esperado de combustível E, com a armazenagem 
do reservatório, V. Como o intervalo de tempo para cada pe­
ríodo ê reduzido, verifica-se rapidamente que, no limite, 
a derivada - ® precisamente o multiplicador y de La-
grange da formulação de Euler-Lagrange. As programações de 
desempenho típicas são apresentadas nas tabelas I e II. As 
tabulações de AE/AV são relacionadas para os dois reserva - 
tõrios na tabela II.
A tabela I apresenta o afluxo, descargas, as al­
turas, elevações de montante e armazenagens para os dois re­
servatórios. As colunas 2 a 7 são associadas com o reserva­
tório superior ou de Safe Harbor. As colunas 8—13 referem-
-se à usina Holtwood. As unidades de descarga, de armazena-
+3gens e dos afluxos estão no CFS-HS x 10
A tabela II apresenta a geração hidroelétrica e os 
valores incrementais d'agua, AE/AV, e o custo incrementalda 
geração térmica. Outros dados disponíveis da saída do com­
putador são a geração a vapor e o comprometimento unitário 
das turbinas hidráulicas.
Um resultado secundário interessante dessa inves­
tigação ê a corroboração numérica, em forma discreta,do te­
orema, na referencia 12, da posição no tempo da descontinuida 
de do valor incrementai da agua AE/AV, devido à junção da 
trajetória com um limite do espaço de fase.
PA. BG+E. SHCO ESTUDO HÍDRICO
PROGRAMA DE OPERAÇÃO DAS HIDROUSINAS DE SAFE HARBOR E DE HOLTWOOD
Código 
do dia e 
da hora
N9 de identificação do estudo 25162,N9 de iteração 21,Data deste trabalho no computador 32062
Altura 
de carga 
da usina
Influxo 
em Safe 
Harbor
Computações de Montante em Safe Harbor Computações de montante em Holtwood
Elevação
de
montante
Retirada 
da arma­
zenagem
Retirada
maxima
permisslvel
Descarga
da
usina
Altura 
de carga 
da usina
Elevação
de
montante
Retirada 
da arma­
zenagem
Retirada
maxima
permisslvel
Descarga
da
usina
Derrame
ou
vertimento
415 25,000 226,238 47,500 281,000 25,250 55,879 168,942 24,844 205,500 29,206 0,044 50,990416 25/000 226,514 34,375 281,000 11,875 57,047 168,367 42,094 205,500 29,125 0, 50,675417 25,000 226,671 26,750 281,000 17,375 57,109 167,96953,844 205,500 29,125 0, 50,189418 25,000 226,289 45,125 281,000 43,375 54,863 168,426 40,344 205,500 29,875 0, 49,860419 25,000 225,791 68,000 281,000 47,875 54,048 169,008 22,844 205,500 30,374 0,001 50,140420 25,000 225,492 81,250 281,000 38,250 54,306 169,254 15,344 205,500 30,308 0,442 50,586421 25,000 2 2 £ r3 ê ê r 86t 750 281,00(T 30,500 54,641' 169,250 15,469 205,500 29,756 0,869 50,972422 25,000 225,226 92,750 281,000 31,000 54,469 169,291 14,219 205,500 28,762 0,988 51,463423 25,000 225,243 92,000 281,000 24,250 54,882 169,152 18,469 205,500 27,768 0,732 51,879424 25,000 225,272 90,750 281,000 23,750 54,971 169,070 20,969 205,500 26,039 0,211 52,582501 25,000 225,426 84,125 281,000 18,375 55,438 168,988 23,469 205,500 20,836 0,039 54,740502 25,000 225,732 70,825 281,000 11,500 56,147 168,756 30,469 205,500 18,500 0, 55,537503 25,000 226,158 51,250 281,000 5,625 57,048 168,329 43,219 205,500 18,375 0, 55,257504 25,000 226,563 32,000 281,000 5,750 57,752 167,977 53,594 205,500 16,125 0, 55,748505 25,000 226,947 13,000 281,000 6,000 58,418 167,556 65,844 205,500 18,250 0, 54,531506 25,000 227,198 0,125 281,000 12,125 58,403 167,335 72,219 205,500 18,500 0, 54,110507 25,000 227,200 0, 281,000 24,875 57,298 167,465 68,469 205,500 21,125 0, 52,991508 25,000 227,200 0, 281-rOOO 25,000 57,275 167,422 69,719 205,500 26,250 0, 50,799509 25,000 227,200 0, 2ol,00Ò 25,000 57,295 167,317 72,719 205,500 28,000' 0, 49,919510 25,000 226,833 18,750 281,000 43,750 55,434 167,836 57,719 205,500 28,750 0, 49>775511 25,000 226,368 41,375 281,000 47,625 54,680 168,460 39,344 205,500 29,250 o, 50,109512 25,000 225,894 63,375 281,000 47,000 54,197 169,041 21,844 205,500 29,486 0,014 50,599
513 25,000 226,012 58,000 281,000 19,625 56,017 168,731 31,219 205,500 28,986 0,014 50>973514 25,000 225,741 70,250 281,000 37,250 54,647 168,996 23,219 205,500 29,250 0, 50,825
TABELA IFtef. 6
2
6
4
 
O
peração E
conôm
ica e Plan
ejam
en
to
PA, BG+E, SHCO ESTUDO HÍDRICO
PROGRAMA DE OPERAÇÃO DAS HIDROUSINAS DE SAFE HARBOR E DE HOLTWOOD 
N9 de identificação do estudo 25162, N9 da iteração 21, Data deste trabalho no computador 32062
(Jnidades MW de Hidrogeração Valor incrementai da água
Código Safe
do dia e Safe Holt- Safe Holt- Safe Holt- Incrementai
da hora Harbor Wood Harbor Wood Harbor Wood térmico
415 4, 10, 102,702416 2, 10, 49,357417 3, 10, 72,269418 7, 10, 173,097419 7, 10, 187,495420 6, 10, 150,973421 5, 10, 121,203422 5, 10, 122,782423 4, 10, 96,810424 4, 10, 94,954501 3, 8, 74,137502 2, 7, 46,980503 1, 7, 23,352504 1, 6, 24,195505 1, 7, 25,568506 2/ 7, 51,658507 4, 8, 103,879508 4, 10, 104,353509 4, 10, 104,391510 7, 10, 176,488511 7, 10, 188,863512 7, 10, 184,794513 3, 10, 79,961514 6, 10, 148,042
97,635 27,500 7,500 4>958996,791 27,250 7,625 4,722695,808 27,250 7,375 4,715796,879 27,250 6,500 5,606498 521 26,875 6,250 6,114899,346 26,125 5,875 5,530298,938 25,750 6,125 4,934097,412 24,375 7,125 4,338695,329 23,250 7,500 3,800390,805 23,000 8,875 3,436475,638 22,750 9,875 3,252168,156 22,625 9,875 3,044567,346 22,500 9,750 2,989359,641 22,375 9,625 2,969366,003 22,375 9,625 2,968466,414 22,125 9,500 3,036174,276 22,375 9,500 3,212088,506 23,625 9,375 3,599092,304 27,750 9,250 4,699994,035 29,125 9,125 5,370495,953 28,750 8,750 5,817197,526 28,250 8,375 5,835297,033 27,875 8,125 4,964597,409 27,625 8,125 5,2262
Referência 6 TABELA II
K>Ou*
C
apítulo 4 
A
pên
dice III
Neste estudo foi limitada a extensão permissível 
da armazenagem do reservatório de Safe Harbor. Notemos que, 
durante as horas 507 a 509, a trajetória para o armazena­
mento estava no limite. Notemos ainda, a mudança nos valo­
res incrementais da agua AE/AV, para a usina de Safe Harbor. 
0 programa do computador para o estudo dos dois reservatõ - 
rios foi escrito em FORTRAN e compilado para o sistema de 
monitor IBM 7ü90. O tempo de computação foi de 1,3 minutos 
por iteração em ambos os reservatórios, para um período o- 
timizado de 168 horas. O alcance de investigação para esse 
tempo de computação foi de dez retiradas alternadas do ar­
mazenamento, em adição ao valor inicial para cada hora.
A representação funcional das duas hidrousinas,i- 
lustrada neste exemplo, ê a seguinte:
FB = elevação do reservatório de montante, pes
W = retirada da armazenagem cheia, mcfs-horas (mil pes cú­
bicos por segundo, durante uma hora)
M — elevação efetiva do canal de fuga, pes
U = numero de turbinas em operação
q = descarga da usina, mcfs-horas
H = altura líquida de carga da usina (P-M)
PH = geração em MWh/h
S = vertimento sobre a represa Holtwood
h^ = altura líquida do vertimento em Holtvood
H2REF = elevação da montante, em pes, na qual ocorre o verti­
mento
scon() = coeficiente da equação do vertimento
board = ponto de quebra na curva do vertimento
Equações de Safe Harbor:
FB-ĵ = 227,2 - 0,00832S1 - 0,00001328W12; 227,2 > FB̂ >. 215,0
= 169,15 + 0,01914^ + 0,001522q2 - 0,00001393 q3 -
- (16,38 - 0,000573P2 ) Fíq^
F(qx) = 5,0 - 0,2^. + 0,0022222q2 ; 1 < q1 < 40 ; = 0,8665 -
- 0,007775q1 ; qx > 40
H1 = FB1 -
= 0,7166 + 0,00106061^ + 0,1515^-!^
(Truncar); 1 < < 10
ux = 0,65 + 0,000263^ + (0,149738 + 1,7816 x 10-4H1)q1 
(Truncar); q2 > 10; 0 < u1 < u1may
= £-2,6603 + 0,01427^ + (0,07384961^ + 0,30633)q1/u]L -
- 7,03067 x K f 6 W 6] u1, - Í.OUj^
Equações de Holtwood:
FB2 = 169,75 - 0,03202S2 - 0,00001972S22; P2 > 163 
jŷ = 107,135 + 0,2704q2 + 0,0035q2
H2 = ̂ 2 - “2
CW = u2maxa '34 + °'038H2) 
u2 = 1,52 + 0,3334q2 - Ó,012H2 (Truncar); 1 < q2 < 5
u2 = 0,66334 - 0,00094742H2 + (0,47631 - 0,0019217H2)q2 
(Truncar); q2 > 5
PH2 = £-5,2095 + 0,04601H2 + 4,8530 (q^u^ + (0,0183938H2 - 
- 1,01166) (q^u^2 - 1,4786^03 x IO-3 (q^u^4J u2 
= - Montante de referência
S = (soon(l) + (soon(2) + soonPJh^h^ x ĥ ; 0 < h2 < board
S = scon(4) + (soon(5) + sconíejh^h^ > board
APÊNDICE IV
Programação Hidrotérmica
Na simulação da operação do hidrosistema completo 
(armazenagem convencional e bombeada) o objetivo ê de redu­
zir ao mínimo os custos de operação do sistema durante o pe­
ríodo de uma semana. Executando a simulação, ê necessário 
observar várias restrições de operação como as seguintes:
- as restrições do reservatório não devem ser violadas;
- quando usar a geração, cada usina operará em um ponto 
de "melhor" eficiência, salvo para condições especiais , 
operação de geração parcial não será permitida;
- quando usar a bomba, cada usina operará Ma toda bomba 
ou absolutamente não operará.
Para levar a cabo a simulação do hidrosistema,fo­
ram feitas várias suposições, como as seguintes:
- a geração térmica tem uma característica de entrada / 
saída convexa;
- foi especificado o livramento horário da Stewart Moun- 
tain (ultimo reservatório rio abaixo);
- são especificados os pontos inicial e final das arma­
zenagens, para cada reservatório;
- cada lugar de hidrogeração tem uma característica de 
entrada/saída convexa;
- é possível livrar a água, sem passar pelas turbinas;
- altura de carga fixa.
Hidroconvencional
A figura 4.IV.1 é um diagrama geral lõgico da rotina 
de programação da hidroconvencional, com base de uma semana 
O método usado ê baseado no mais alto declive, na técnica 
gradiente com restrições, onde cada passo ê dado para obter 
a maior economia praticável do custo de combustível, para 
o menor livramento de agua.
O programa aceita como entrada o seguinte:
- descrição das unidades térmicas disponíveis para fun­
cionar por uma semana - custo de combustível sob pro­
dução mínima e mãxima em $/hora, e produção mínima e 
mãxima;
- cargas cronológicas bi-horãrias em MW a serem servidas 
pelos sistemas hidro e térmicos;
- para cada lugar hidro, as características de entrada / 
salda na forma de fluxo d*agua (AF/H versus geração 
MW/h);
- para cada reservatório: 
armazenagem mínima e mãxima em acre-pês
pontos inicial e final da armazenagem em acre-pês.
Como um primeiro passo, o programa deaenvolye uma 
característica de entrada/saída convexa. Isso ê realizado 
colocando as unidades em linha em ordemcrescente de custo 
a plena carga em $/MWh.. As unidades que "devem funcionar" 
podem ser especificadas.
Em cada hidrolugar, a ordem de carregamento das 
hidrounidades ê especificada pela entrada dos dados. O pro­
grama controla para estar certo de que a curva de uso d'ãgua 
incrementai para cada usina, proveniente das característi - 
cas dos dados de entrada, seja convexa. Quando se acha que 
a curva não ê convexa, a lógica do programa força, arbitra­
riamente a curva de uso d'agua incrementai a ser convexa.Na 
programaçao da hidroconvencional, o programa tentara operar 
cada lugar hidro em um dos seus pontos de potência dados.
PARAR
A lógica da hidro convencional
Para quando for constatado que a restrição do reserva­
tório vai ser violada, foi feita a provisão para abandonar o 
ponto de geração desejada. Como último passo da solução, a 
hidro também terá a permissão de operar em um ponto de po­
tência diferente daqueles que foram dados na entrada.
O programa tem uma provisão para livrar a água, 
sem passar pelas turbinas. Isto só pode acontecer quando o 
livramento de água exigido, em qualquer local, for maior do 
que o possível de obter, se as turbinas tivessem que operar 
toda a semana com pleno rendimento.
Para o projeto de Salt River, a descarga em qual­
quer represa, exceto na de Stewart Mountain, i uma função da 
descarga na Stewart Mountain e da mudança líquida, durante 
o período de uma semana, de todos os precedentes reservató­
rios ao longo do rio.
Hidroarmazenagem bombeada
A figura 4.IV.2 é um diagrama lógico geral da rotina 
para programação da hidroarmazenagem bombeada. A técnica u- 
sada ê extensão direta do método de programação da hidro- 
convencional. Como com a hidroconvencional, o intervalo de 
programação ê de uma semana embora a lógica do programa 
possa separar a semana em mais do que um ciclo de operação, 
se as condições assim o mandarem. O programa aceita o se­
guinte, da entrada do programa de hidroconvencional:
- característica convexa de entrada/saída térmica;
- cargas cronológicas bi-horãrias em MW, modificadas pe­
lo sistema hidroconvencional;
- para cada local hidro, característica convexa de en­
trada/saída da hidrogeração;
- para cada local hidro, programação de hidrogeração con­
vencional;
- para cada reservatório:
armazenagem mínima e máxima,
pontos inicial e final de armazenagem em acre-pés, 
padrão de armazenagem de reservatório em acre-pés;
PARAR
lógica da hidroarmazenagem bombeada
- característica de entrada/saída, na forma de fluxo d 1 
agua (AF/H) versus potência da bomba (MW/h).
Nesta técnica da simulação foi admitido que qual­
quer capabilidade de geração não usada num hidrolocal pode 
ser usada no ciclo de geração da operação. A lógica não per­
mitira bombeamento outro que não aquele discreto. Embora o 
programa tente operar os geradores num dos pontos de potên­
cia dados, isto não serã sempre o caso. No mãximo, uma fai­
xa bi-horária de tempo para cada movimento de bomba pode não 
estar em um ponto discreto.
Quando for atingido um limite de armazenamento, o 
intervalo de programação, inicialmente uma semana, deve pa­
rar neste ponto e devem ser estabelecidos novos intervalos, 
com o pontd limitador de armazenagem colocado como um pon­
to de limite entre os dois intervalos.
CAPITULO S
PROGRAMAÇÃO DA GERAÇÃO
Seção 5.0 - Introdução
Este capitulo destina-se às questões relacionadas 
com a seleção das unidades, ou a programação da geração. O 
primeiro tõpico diz respeito aos modelos de reserva e às e- 
xigências de reserva. As definições são dadas para as re­
servas de operação, de programação e as reservas girantes,e 
uma discussão e feita sobre as praticas de reservas. A se­
gunda seção considera os custos de transitórios de partida 
para a geração a vapor, baseada a carvão de pedra,enquan­
to a terceira seção refere-se aos problemas de preparo de clas­
sificação de prioridade e de listas de prioridades para os 
compromissos das unidades. São discutidas, também, as técnicas para com 
prometer usinas limitadas em energia. A quarta seção descreve um algo - 
ritmo recursivo para determinar a programação de partida/pa - 
rada para uma unidade geradora simples e discute como po­
demos usá-lo para melhorar as programações experimentais de 
comprometimento de unidades.
Os apêndices destinam-se a cobrir dois algoritmos 
adicionais (logico e de gradiente) para melhorar as progra­
mações, tentativas de compromisso das unidades.
Seção 5.1 - Modelos de Reserva de Geração e as Exigências
As operações de programação envolvem uma seqílência 
de decisões que conduzem à temporização do arranque e da pa-
rada das unidades geradoras, para assegurar uma quantidade 
de capacidade geradora adequada, mas não excessiva, sincro­
nizada para atender as demandas. Um passo de primeira impor­
tância na programação ê o preparo da previsão de demanda. 
Essa previsão geralmente assume a forma de serie tenporal de 
previsões de demandas integradas a cada hora, para um perío­
do de tempo que abrange de 24 a 168 horas. 0 período mais 
longo é freqüentemente utilizado para estudar a coordenação 
de recursos hidroelétricos com geração movida a vapor, para 
reconhecer as demandas mais baixas durante os períodos de 
fim de semana, para facilitar as decisões de arranque e de 
parada da geração movida a vapyÀr do tipo de reaquecimento e 
para acomodar a remoção do equipamento em paradas de manu­
tenção, e paradas não previstas ou não planejadas ou pa­
radas forçadas. Uma discussão muito curta das formas de pre­
visão de carga foi feita no capitulo 4, seção 2. Métodos pa­
ra o desenvolvimento de previsões serão tratados em uma u- 
ma unidade posterior, na seção que trata dos métodos de pro­
babilidade e de estatística.
Ê costume planejar-se uma capacidade adicional ou 
sincronizada da demanda, ou pronta para ser sincronizadaden 
tro de um curto período. A capabilidade em excesso aquela 
exigida para atender a carga do sistema ê definida como re­
servai" A reserva instalada ê aquela capabilidade de reser­
va instalada num sistema e e geralmente medida com relação 
à carga máxima anual. Este termo e usado no planejamento da 
capacidade. Para a programação de operação costuma-se usar 
o termo "reserva de operação". A reserva de operação e a- 
quela que estã acima da carga firme do sistema, exigida pa­
ra prover:
1 . regulação dentro duma hòra, para cobrir as va­
riações de minuto em minuto;
2 . desvio d~a carga em relação à previsão;
3. perda de equipamento não planejada;
4. proteção da ãrea local.
A reserva de operação consiste da reserva girante e da re-
serva programada ou não girante.
A reserva programada ou não girante ê aquela por­
ção da reserva de operação que ê capaz de ser sincronizada 
com o barramento e carregada dentro de um período de tempo 
especificado.Uma ilustração de reservas de operação é dada 
na figura 5.11.
CAPACIDADE INSTALADA
CAPACIDADE EM 
SAÍDA PROGRAMADA
CAPACIDADE EM 
SAÍDA FORÇADA
RESERVAS FRIAS
RESERVAS < 
cr
PROGRAMADAS £ 
O
RESERVAS 
GIR ANTES
ui
>crUJtoUJ
“ f _
r
F
zÜJCOUJ
CARGA £ 
PRESENTE £
z
(D
TEMPO 5 MIN. 30MIN. 4h.
PRESENTE Á PARTIR DO TEMPO PRESENTE
Ilustração da Reserva de Operação e da Capabilidade dè Carga
Se as previsões de demanda forem feitas na base 
de carga integrada por hora, então, o primeiro termo, regu­
lação, deve cobrir tanto as oscilações dinâmicas, minuto a 
minuto na carga, como as tendências da carga, como por e- 
xemplo, no período de alto crescimento de carga antes do pi­
co da manhã, da tarde ou da noite. Assim, a reserva girante 
exigida durante um período de rápida variação de carga,par­
ticularmente durante o crescimento da carga, pode ser maior 
do que a reserva girante exigida no tempo do pico do siste­
ma. Ê interessante notar o que outros acham da reserva gi­
rante .
2Miller expressou que a reserva girante adequa - 
da ê, provavelmente, o fator primário da segurança na ope­
ração do sistema de potência. Ele notou que a quantidade de 
reserva girante que um sistemacarrega ê uma decisão de po­
lítica baseada nos riscos e na economia.
Reservas maiores (excessivas) resultam em custos 
de operação mais altos, devido a um numero maior de unida­
des que devem ser carregadas nos pontos de operação mínimos, 
ou quase mínimos. Os custos médios insatisfatórios de ope­
ração para as unidades, em $/MWh, resultam geralmente de 
uma operação com carga mínima, ou quase mínima.
Miller também notou que a pratica de determinar a 
reserva girante, como uma porcentagem de carga máxima,ê fa­
lha por não levar em consideração os riscos reais que exis­
tem num sistema. Miller registrou tais fatores como o tempo 
necessário para pôr em serviço o equipamento térmico de ge­
ração, o desvio da carga em relação à previsão, a carga na 
unidade mais pesadamente carregada, ou quantidade da potên­
cia importada sobre as interligações e a consideração dos 
arranjos do sistema normais ou anormais.
As regras da reserva girante devem ser sensíveis 
aos fatores citados. Miller citou exemplos de reserva gir^n- 
te de 2-3 por cento cada uma, para a divergência de carga 
em relação à previsão e para o erro de regulação. Provisões 
de contingências foram incluídas para cobrir arranjos anor­
mais do sistema, devido âs perdas das facilidades de trans­
missão, previstas ou forçadas. Em alguns casos, as exigên - 
cias de reservas girantes são estabelecidas sobre uma base 
de área, devido ao tamanho do sistema e à distribuição da ge­
ração e da carga. Por exemplo, são exigidas reservas num 
centro de carga, para cobrir a geração da boca da mina, ou 
a hidrogeração que pode localizar-se longe do centro de car­
ga. A distribuição das reservas girantes relativas aos cen­
tros de carga e entre as unidadesê muito importante.Os tes­
tes na reserva girante de ãrea auxiliam a obtenção de uma 
distribuição apropriada.
A capabilidade de aumento de carga das unidades 
varia amplamente dependendo do tipo da unidade. Por exem­
plo, as usinas hidroelétricas de baixa altura, com a tubu­
lação forçada curta, podem ser sincronizadas e carregadas 
muito rapidamente. As usinas de grande altura, com a tubu­
lação forçada longa, são limitadas, no aumento de carga,pe­
la taxa de aceleração da agua na tubulação forçada; entre- 
 ̂ *tanto, o tempo e ainda bem curto. Por exemplo, as unidades 
na usina de Glen Canyon, as quais são de mais de cem mega- 
watts numa altura de carga de aproximadamente 440 pês, fo­
ram adaptadas para serem carregadas em 30% da plena capaci­
dade por minuto. A geração Diesel na ordem de 5000 kilowatts 
pode ser posta em marcha e carregada até a carga plena em 
menos de um minuto. A geração térmica com vapor reaquecido, 
por outro lado, ê geralmente, limitada ao crescimento de 
carga persistente, na ordem de 1 a 3% do regime nominal da 
unidade por minuto. Tal geração pode manejar um crescimento 
de carga repentino, na ordem de 1 0 % de regime nominal da u­
* Para os hidro-reguladores, ê adicionado um declínio tran­
sitório â regulação de velocidade,R, para proporcionar a- 
mortecimento no movimento dos distribuidores.
0 declínio transitório ê providenciado por meio de um Ha- 
mortecedor a êmbolo", o qual,por sua vez, coloca um equi­
valente da rede de retardamento adicional na função detrans 
ferência do regulador. Desacelerando o movimento do distribuidor, os 
efeitos indesejáveis, instabilizadores da inércia da tubulação for­
çada, são suavizados.
nidade numa base não persistente, isto ê, por períodos cur­
tos tais como 10 a 15 segundos, ou menos. Assim, a reserva 
girante ou a capabilidade de absorção da carga, com a qual 
uma unidade contribui para um sistema, ê marcadamente de­
pendente das características do projeto da unidade, do tipo 
do combustível usado, da carga presente na unidade e da du­
ração do tempo, no qual a capabilidade de absorção deve ser 
realizada. Os períodos de tempo usados pelos grupos de pro­
gramação variam conforme está ilustrado nas Tabelas I e II. 
Esta informação foi tirada do recente levantamento das"Pra­
ticas que afetam aJoonfiabilidade de fornecimento de potên­
cia em blocos"'*. Notemos a pratica ECAR relacionada na Ta­
bela I: dois componentes da reserva girante são expressos em 
termos de porcentagem da carga prognosticada para a hora de 
pico, mais um terceiro componente que reflete os riscos de 
perda imprevista do equipamento gerador. A carga interrompí- 
vel e a reserva de partida rãpida podem ser contadas no com­
ponente 2 , visto que o componente 3 pode incluir a capaci­
dade que pode ser posta em marcha carregando, pelo menos, 
parte de carga dentro de dez minutos.
O enfoque ECAR pode ser contrastado com o enfoque 
MAAC, e particularmente o enfoque PJM, que usa as exigências 
de reserva, baseado nos cálculos de probabilidade, reconhe­
cendo o risco de perda forçada das unidades e o risco da di­
vergência da carga com relação à previsão. A exigência de 
reserva da operação para PJM, então, ê convertida em níveis 
de megawatts, que são sensíveis aos tipos de unidades em li­
nha, bem como à hora do dia que reflete o grau de precisão 
da previsão.
NPCC coloca os níveis de reserva na base da pri­
meira e da segunda contingência. As ãreas de coordenação 
MAIN e SWPP tendem a se basear em porcentagens da carga do 
sistema como ê ilustrado na Tabela II.
As praticas de operação de emergência,para preser­
var a capabilidade do fornecimento de blocos de potência in­
cluem o seguinte: redução da tensão, interrupção da carga e 
derrame da carga.
PRÁTICAS DE RESERVA GIRANTE
ECAR
Quantidade Mínima
Componente 1, 3% do máximo pique horário prognosticado 
por dia, mais:
Componente 2, 1% do máximo pique horário prognosticado 
por dia, mais:
Componente 3, uma porcentagem especificada do máximo 
pique horário prognosticado para um ano civil e 
baseado na expectativa da media ponderada da in­
terrupção forçada.
Composição
Componente 1, capacidade em linha.
Componente 2, capacidade em linha, carga interrompível, 
reserva de partida rápida.
Componente 3, 0-100% da capacidade na linha, 0-100% da 
carga interrompível ou da capacidade de partida rá­
pida aplicável num minuto, 0-50% da carga interrom - 
pível ou da capacidade de partida rápida aplicável 
em 1 0 minutos.
MACC
Quantidade Mínima
O critêjrio seguido pelo sistema PJM ê:
Determinado pelo cálculo de probabilidade baseado 
na perda de carga num dia em dez anos, numero e 
tamanho das unidades em serviço, taxa de interrup­
ção forçada e nível de carga.
Exigência de reserva girante de aproximadamente 
1200 MW no presente.
Composição
Capacidade em linha apta a ser carregada em 10 minutos. 
A capacidade fora de linha pode ser usada como reserva 
planejada se a mesma puder ser carregada em 30 minutos.
NPCC
New York
Quantidade jllnima
A maior perda simples de contingência tem que es­
tar disponível em 5 minutos. A reserva programada 
para cobrir uma segunda perda de contingência de­
ve estar disponível dentro de 30 minutos.
New England
Quantidade Mínima
Deve estar disponível em 5 minutos um valor de 1,5 
vezes a carga na unidade mais pesadamente carre - 
gada.
Composição
A reserva não sincronizada não pode exceder 33 
1/3% da reserva da ãrea.
PRÁTICAS DE RESERVA GIRANTE
MAIN (Dividida em três ãreas separadas, como segue) 
Companhia Commonwealth Edison
Quantidade Mínima
Geração Bruta 
6000 ou menos 
6000 — 7000 
7000 ou menos
Composição
Capacidade em linha.
Area Illinois-Missouri
Quantidade Mínimà
Metade da maior unidade em operação, mais 15% da 
carga mãxima de CILCO.
Composição
Capacidade em linha.
Area dos Sistemas de Wisconsin- Alto Michigan 
Quantidade Mínima
A maior unidade em operação (presentemente 315 MW) 
Composição
50% da capacidade em linha capaz de ser carregada 
dentro de 3 minutos. O equilíbrio pode ser não gi- 
rante, se disponível dentro de 5 minutos.
Reserva Girante 
200 
250 
300
SWPP
Quantidade Mínima
6 % do pico anual prognosticado.
Composição
3 % de reserva girante e proveniente da ação do re­
gulador com não mais de 16,7% numa máquina simples. 
3 % nãogirante e disponível dentro de 1 0 minutos. 
Capacidade no barramento excedendo 16,7% nas uni­
dades individuais, turbinas hidráulicas ou de com­
bustão, entregas de energia que podem ser recupe­
radas, capacidade sob contrato pelos sistemas vi­
zinhos acima das suas exigências de reserva, ca­
pacidade disponível pelo aumento de pressão da 
caldeira ou pelo corte dos aquecedores-de água de 
alimentação.
NOTAS SOBRE A VERIFICAÇÃO DO "ENGARRAFAMENTO" DE RESERVA
Verificações escalares da capacidade
A. Testes: Pode um excedente regional ser despachado 
sobre, as interligações?
Excedente regional = CAPR - CARGAR
Necessidade da região = -MIN |Õ, CAP^ - CARGA^ - C^_-C^_l***
= Maior unidade em R 
= A segunda maior unidade em R
Exigência de interligação = MIN jExcedente regional, necessi­
dade da região]
Teste:
Exigência de V Capabilidade 
interligação - / de interligaçãôR K
Nota: A capabilidade de interligaçãoR ê a composi­
ção de todas as maiores interligações entre a 
região R e a região R, baseada nos estudos do 
fluxo de carga estática e transitória.* ** ***
B. Testes: Pode um déficit regional ser sustentado pe­
lo resto do "pool"?
Déficit regional = -MIN CAP.. - CARGAn - C. - CL
^ 2rJ
* Pode ser um teste redundante, uma vez que o excedente regional de­
ve ser > necessidade da região
** A capabilidade da interligação deve refletir a Capacidade tonada 
para apermuta esperada de economia.
*** A região, (R) representa o complemento da região (R).
Excedente de 
sustento = MIN CAPg - CARGftg capacidade de inter- ligaçãoR
Déficit regio- < ExceãentB de sustento nal ~
Procedimento de verificação:
1. Verificar cada área (o "pool" a ser dividido em re­
giões que reflitam a geração/carga)
2. Começar com a extremidade ocidental do "pool",for­
mar "nova área " de duas ãreas contíguas do extre­
mo oeste.^Vçrificar a nova ãrea em face do resto 
do "pool".
3. Adicionar a ãrea contígua para formar a "próxima 
ãrea nova" e verificar em face do resto do "pool".
4. Repetir; o resto do "pool", fora as 3 unidades, ê 
a "ãrea do extremo leste".
É de interesse citar o levantamento sobre as pra­
ticas que afetam a confiabilidade do fornecimento de blocos 
de potência. Na pagina 62, referente à redução da tensão, o 
relatório diz o seguinte:
11A habilidade de instituir procedimentos para a redução de 
tensão varia consideravelmente entre um sistema e outro. 
Tais procedimentos são instituídos mais fãcil e mais efe­
tivamente em ãreas geográficas limitadas e de alta densi­
dade de carga. Na maioria dos casos, a redução de tensão 
pode ser efetuada apenas enviando o pessoal para as subes­
tações para bloquear a regulação ou para reajustar o pon­
to de regulagem dos transformadores com troca de deriva­
ção sob carga e dos reguladores. Este procedimento pode 
exigir varias horas para ser completado. Entretanto, vá­
rios sistemas têm reduzido o tempo necessário para concre­
tizar tal ação, instalando um equipamento de controle do 
tipo supervisor.
Uma analise dos dados indica que os procedimentos 
de redução de tensão foram utilizados por sistemas em va­
rias regiões de coordenação. Algumas destas regiões são 
aquelas que experimentaram reservas instaladas menores do 
que as normais causadas pela localização da usina e pelas 
dificuldades de direitos de passagem das linhas de trans­
missão. Foi relatado que as medidas para redução de ten­
são foram somente instituídas quando a combinação das con­
dições de operação dentro de um sistema ou de uma região 
era incomum. Estas condições incluíam as perdas múl­
tiplas de capacidade de geração, as limitações de capabi- 
lidade de transmissão e a demanda maior do que a normal , 
devido ãs cargas sensíveis ao calor,quer durante as con­
dições de tempo quente, quer durante as condições de frio 
rigoroso. Geralmente os níveis de tensão foram reduzidos 
de 3% a 5% mas, em alguns casos) foi usada uma redução de
tensão de 8%.
*É difícil determinar o efeito total das medidas de 
redução de tensão. Durante os meses de verão foram rela­
tadas reduções de carga 1/ 2 % a 1 %, para uma redução de 
tensão de 1%. Durante os meses de inverno foram realiza­
das reduções de carga de 3/4% a 1^% ".
Em alguns casos, a carga desligãvel foi incluída 
como parte da reserva girante. Embora tal carga seja certa­
mente uma componente razoável da reserva, as companhias de 
utilidade publica tem sido relutantes em adotar um curto a- 
viso de interrupção aos clientes que as contrataram para es­
se tipo de serviço. Os usuários de energia industrial fe­
charam contratos com as companhias de utilidade publica e 
com as autoridades governamentais para o suprimento de car­
gas interrompíveis com energia secundaria. Por exemplo, as 
companhias de alumínio do noroeste do Pacífico têm comprado 
energia secundaria; os laminadores de aço no Vale do Ohio 
têm comprado potência com uma cláusula de interrupção no 
contrato; companhias químicas têm comprado energia, com o 
contrato rezando que a potência ê abastecida pela reserva 
girante do sistema.
Foram feitas sugestões para que se considere as 
cargas bombeadas, nos projetos de armazenagem bombeada, co­
mo cargas "interrompíveis" para fins de reserva?
Quando os planos correntes forem implantados,cer­
ca de 89% dos sistemas relacionados na Pesquisa de confia­
bilidade consentirão em aplicar, na prática, o princípio de 
derrame de carga automático^. O derrame de carga ê um des­
ligamento seletivo dos blocos da carga do sistema, baseado 
no desvio da freqüência do sistema relativo ao valor dese­
jado. Derrames de carga em degraus, ou blocos de 6 a 10% na 
carga do sistema, ê o mais comum. A magnitude total do der­
rame de carga, utilizando os planos de três degraus, geral­
mente varia entre 25% e 35%. Vãriõs sistemas relataram uma 
capabilidade de derramar ou ejetar carga em quantidades con­
sideravelmente maiores. Nos sistemas predominantemente de 
hidrogeração, os blocos de derrame de carga em pontos de fi­
xação de freqüência mais alta são menores do que nos siste­
mas de geração a vapor, e maiores blocos de carga são der­
ramados em pontos de fixação de freqüência mais baixa pelos 
hidrossistemas? Um derrame de carga típico efetua uma que­
da de carga de cerca de 1 1 % para cada um porcento de desvio
~ 4na freqüencia do sistema , em relaçao ao valor desejado.
Como aponta Miller, a distribuição da reserva gi-
rante e um fator muito importante para preservar a capabi-
lidade do sistema de responder rapidamente às mudanças de- 
2sejadas . A capabilidade de resposta e adversamente afeta­
da quando a maior parte, ou toda reserva é carregada em pou­
cas unidades marginais, ou numa só grande unidade. Quando a 
reserva ê dividida entre tantas unidades quantas possíveis, 
então, cada uma pode contribuir com a sua parte na restau­
ração das condições do sistema ao normal e para suavisar os 
riscos de uma possível instabilidade,de desligamento dos e- 
los de interligação, das sobrecargas da linha e do equipa - 
mento, os quais podem ocorrer devido às perdas não progra­
madas dos circuitos e da geração no dado sistema, ou no sis­
tema interligado. Quando as reservas estão esparsas numa 
região extensa, como ê o caso da PJM Interconnection ou do 
New York Power Pool, costuma-se verificar a capabilidade de 
reserva dentro de regiões específicas das empresas do,,pool,., 
As verificações são feitas da capabilidade das reservas gi- 
rantes e,programadas dentro de cada região, e são feitas ve­
rificações da capabilidade de importação/exportação dos cir­
cuitos que conectam a região. Uma ilustração de verificações 
de reservas por regiões e dada na Tabela III, que oferece 
técnicas para fazer verificações de "estrangulamentos de re­
serva". Os efeitos das contingências de geração e de cir­
cuito podem ser obtidos com auxílio dos fatores de distri­
buição da variação da geração, para testar a suficiência 
tanto da geração como da transmissão para manejar as varias 
contingências.
Seção 5.2 - Modelos de Custos de Operação e de Partida
Modelos deentrada-saída para cargas estáveis fo­
ram discutidos e desenvolvidos no primeiro capítulo desta
serie. Embora se reconheça que o carregamento transitório, 
necessário para seguir as variações de segundo em segundo 
na demanda do sistema, pode resultar em custos operacionais 
mais altos do que os prognosticados pelo uso de curvas de 
entrada-saída de carga estável, este fato não foi amplamen- 
te investigado e não está incluído nas decisões referentes 
ao despacho econômico. Na programação,o efeito transitório 
de pôr em funcionamento uma unidade, ê reconhecido no caso 
de uma geração a vapor à base de carvão de pedra.
Muitos trabalhos científicos têm descrito as téc­
nicas de modelagem para os custos transitórios associados 
com a partida da unidade, como uma função do tempo durante 
o qual a unidade estava parada. 5*6/7*8,15 Q de Bald-
win, Dale, Dittrich fornece um bom exemplo de modelo para 
o custo de partida. 0 custo de partida ê modelado como uma 
função de um "custo de turbina", K, que não depende do nú­
mero de horas em que a unidade esteve parada, um custo de 
partida de caldeira fria, B, que representa o limite supe­
rior de custos de partida de um estado de parada frio, um 
custo de caldeiras em reserva, B', como o custo por hora pa­
ra manter a temperatura de uma caldeira em reserva e uma 
constante de tempo de esfriamento da caldeira, a. Se "t"for 
o tempo de parada em horas, o modelo proposto por Baldwin, 
Dale e Dittrich aparece na equação 5.200 para uma partida 
a frio, e na equação 5.201 para uma partida sob condições 
de reserva (banked).
Custo de partida:
Partida resfriada ou fria = K+B(l-e ^ ) (5.200)
Partida sob reserva = K+B1 (t-1) (5.201)
Dado o trabalho para controlar a estação, a sele­
ção das condições de partida a frio, ou de partida sob re­
serva, seria feita de acordo com o menor dos dois custos. 
Um exemplo é ilustrado na figura 5.21.
Modelo de custo de partida 
Figura 5.21
A linha de baixo representaria as decisões de des- 
pacho mais favoráveis para esta unidade hipotética. As ca­
racterísticas selecionadas são tais que uma decisão deveria 
ser feita na base de tempo de parada, seja ele maior ou me­
nor de 12 horas. Para os tempos de parada mais curtos do que 
1 2 horas, seria mais econômico colocar sob reserva as cal­
deiras, para manter a temperatura. Para os tempo de parada 
que excedem 1 2 horas, seria mais econômico fazer parar e 
permitir um resfriamento normal da caldeira.
Neste modelo presume-se que uma hora ê o tempo ne­
cessário para o arranqu^/e, por isso, a quantidade (t-1 ) e 
o tempo que a caldeira leva para esfriar.
Os custos de arranque exponencialmente variáveis 
foram descritos nas referencias 5 e 6 , enquanto que o custo 
de arranque em linha reta, com o mínimo diferente de zero e 
com um máximo de saturação, e descrito na referência 7. Ca­
da um destes modelos ê uma representação do modelo ilustra­
do na figura 5.21. Deve-se frisar que se uma unidade for 
desejada para capacidade em uma hora especificada, tendo es­
tado parada por um tempo de "t" horas atrás, então, por es­
te modelo, uma hora antes do tempo em que ê desejada a ca­
pacidade, torna-se necessário que a unidade esteja com a 
temperatura e pressão corretas, pronta para ser sincroniza­
da durante a hora.
Seção 5.3 - Métodos de Ordenação
A seleção de unidades que satisfazem uma seqüen- 
cia prevista de carga foi várias vezes aludida como "compro -_ 9misso da unidade", "programaçao economica" e "pre-despacho" .
"Esta finalidade do prê-despacho ê a de selecionar 
a combinação das fontes e das unidades que supri­
rão as necessidades esperadas de um sistema, em 
um período de tempo de futuro imediato, a um cus­
to total mínimo e que proporcionarão uma margem
específica de reserva de operação. Isto requer a 
consideração dos custos de arranque e de parada 
de unidade (às vezes aludidos como custos cícli­
cos) , regras de operação, tais como o tempo míni­
mo de trabalho e o tempo mínimo de parada, e re­
gras de trabalho". O estudo científico continua: 
"O tempo mínimo de trabalho e o tempo mínimo de 
parada de uma unidade são,em grande parte, um as­
sunto subjetivo e destinam-se a proporcionar tem­
po para a equalização de temperatura dentro da u- 
nidade de turbina para, assim, manter as tensões 
devidas aos diferenciais de temperatura dentro 
dos limites seguros. As "regras de trabalho" são 
um assunto de política da empresa. Assim, se a po­
lítica ê a de manter uma turma completa de traba - 
lho somente até, por exemplo, às dez horas da noi­
te, então, podem ocorrer custos adicionais de tra­
balho, possivelmente com taxas de horas-extras,se 
a unidade for mantida em serviço durante todas as 
horas da noite e, possivelmente, mesmo se ela tra-Qbalhar somente ate às onze horas da noite" .
A seleção de um conjunto de unidades para satis­
fazer uma carga especificada e umá questão interessante e 
complexa quando se tenta levar em conta as restrições de o- 
peração e de segurança, mais os custos de arranque, mais as 
características de carregamento da unidade para alcançar u- 
ma operação mais econômica possível. O problema foi simpli­
ficado em vários graus e, talvez, o enfoque mais simples se­
ja o de elaborar uma lista prioritária e selecionar um nu­
mero suficiente de unidades em seqüência da lista ordenada, de 
modo que a soma de capacidade selecionada iguale ou exceda 
a carga mais as exigências de reserva. Por exemplo, as uni­
dades que iriam desempenhar uma função base de carga,seriam 
melhor,escolhidas de uma lista ordenada à base dos custos o- 
peracionais em dólares por megawatt-hora, no ponto de ope­
ração de melhor eficiência. Uma tal lista seria baseada na 
suposição de que os custos de arranque não seriam conside -
rados e de que as unidades com mais favorável custo opera­
cional de melhor eficiência seriam carregadas nos pontos 
ou quase nos pontos de sua melhor eficiência de operação .In- 
felizmente, dependendo dos tamanhos das unidades na lista e 
da quantidade de reserva exigida, não seria possível carre­
gar todas as unidades nos seus pontos de melhor eficiência 
de operação para satisfazer a carga especificada. Pelo me­
nos uma unidade terá uma curva de custo incrementai mais 
baixa em comparação com as outras, e pelo menos uma outra 
unidade terá a curv^de custo incrementai mais alta.Assim, 
alguma unidade ou algumas unidades serão unidades marginais 
para este compromisso particular e serão carregadas em um 
ponto de eficiência mais baixa do que a melhor. Consequen­
temente, isto não quer dizer que a seléção de unidades de 
tal lista garantirá a mais econômica escolha do compromisso.
A seleção de unidades para a operação mais econô­
mica, desconsiderando os custos de arranque, pode ser feita 
por métodos de programação dinâmica, conforme ilustrado nas 
referências 10 e 11. Entretanto, os enfoques descritos nes­
tas duas referências não incluem os custos de arranque.Por­
tanto, a formulação do problema de compromisso da unidade e 
mais complicada e requer um modelo mais sofisticado. Um bom
exemplo de um modelo que reflete a maioria dos parâmetros e
12oferecido no trabalho de Anstine , no qual as unidades sao 
selecionadas de três listas. A primeira lista inclui aquer 
las unidades que estão em uma categoria de "deve funcionar,” 
para o bloco de tempo dado. Com "deve funcionar" entende-se 
aquelas unidades que devem operar para satisfazer as exigên­
cias *de reserya de área, as exigências de tensão ou var de 
área e as unidades já operando, as quais, devido às regras 
de tempo mínimo de parada, devem continuar a operar. A se­
gunda lista inclui uma ordenação de unidades baseada nos 
custos de funcionamento de melhor eficiência em $/MWh. A 
terceira tabela contêm uma lista de unidades classificadas 
por "custos de capacidade". O "custo de capacidade" estima- 
-se pela soma dos custos de arranque, divididos pelo mínimo 
de horas de funcionamento, mais o custo de funcionamento
com carga mínima. O custo de capacidade ê ordenado na base 
decusto por MW nominal. Este custo ê uma medida mais da pro­
visão de capacidade do que de energia e reflete a operação 
da unidades marginais em um despacho econômico com a capa­
cidade comprometida igual à carga mais as exigências de re­
serva.
Desta forma, um procedimento para estabelecer uma 
tabela de prioridade pode apresentar-se da seguinte maneira 2 
Todas as unidades da tabela de "deve funcionar" seriam co­
locadas como as primeiras na linha, depois, um numero sufi­
ciente de unidades seriam selecionadas da tabela de "melhor 
eficiência" para satisfazer a carga mínima mais as necessi­
dades de reserva durante o dado intervalo de compromisso, en­
tão, seria selecionada a capacidade suficiente da "tabela 
de capacidade" para satisfazer a carga mais as necessidades 
de reserva girante, para a maior carga no intervalo de com­
promisso. A lista resultante torna-se uma lista experimental 
de prioridade para o compromisso da unidade. Conforme serã 
descrito mais tarde, serão selecionadas unidades adicionais 
da tabela de melhor eficiência, cujos custos da melhor efi­
ciência em dólares por megawatt-hora sejam menores do que o 
custo incrementai com carga máxima para a lista experimen - 
tal de prioridade. Então, estas unidades formam a base do 
teste para a seleção da lista final de prioridades. Este tó­
pico serã abordado mais detalhadamente na discussão refe­
rente à seleção de unidades que seguira na seção 5.4.
O compromisso de unidades selecionado na base de 
uma lista de prioridade tem tido uma ampla aplicação, üm e- 
xemplo de uma lista de prioridade usada em um dos estudos 
de planejamento realizado pela "Consolidated Edison Campany" 
ê ilustrado na Tabela IV. 0 numero da unidade na lista de 
prioridade é ilustrado na coluna 1. A carga mínima e o cus­
to de operação para cada unidade elstão relacionados nas co­
lunas 2 e 3 e os custos de operação de capabilidade mãxima 
e da carga mãxima estão indicados nas colunas 4 e 5. O de­
clive da linha reta que liga o custo de carga mínima com o 
custo de carga mãxima e dado na coluna 6 e ê o custo incre-
mental constante equivalente para a aproximação da linha re­
ta â curva de custo de entrada-salda da unidade. A coluna 7 
dã a proporção do custo máximo para o regimen máximo da u- 
nidade. Devido à suposição de uma linha reta do custo de en­
trada-salda, compreende-se que o ponto de operação de melhor
eficiência para cada unidade ocorre no seu regimen máximo. 
Assim, a coluna 1 mede o custo de operação em $/MWh na me­
lhor eficiência. Notemos que as três primeiras unidades 
têm os maiores cuátos de operação, na melhor eficiência, de 
todas as unidades na tabela. Estas unidades aparecem primei­
ro na lista, já que são "unidades que devem funcionar". As 
unidades 4, 5 e 6 têm o custo operacional mais baixo,na me­
lhor eficiência, enquanto as unidades 7 a 16 ilustram cus­
tos de operação da melhor eficiência crescentes. A carga mí­
nima, aplicada nesta lista de unidades para os .estudos, foi 
de 2700 MW. Assim sendo, o compromisso mínimo das unidades, 
para este estudo, inclui as unidades 1 a 6 . Todas as deci­
sões referentes ã operação das unidades adicionais, então, 
necessitariam de um estudo de custo de operação e de parti­
da. Para ps estudos particulares empreendidos, foram a car­
ga mais a exigência de reserva que determinaram o numero de 
unidades necessárias na linha.
As estimativas dos custos de operação para o sis­
tema podem ser feitas desenvolvendo-se uma curva de entrada 
-salda do custo do sistema formada por segmentos de linha 
reta entre as acumulações sucessivas nos pontos de operação 
máxima das unidades. Esta curva de custo ê ilustrada nas co­
lunas 8 e 9 da tabela IV. A coluna 8 relaciona a soma de 
saldas máximas da unidade para as unidades neste nível de 
prioridades, ou menos, e a coluna 9 -relaciona a soma corres­
pondente dos custos de operação de carga máxima. Esta Tabe­
la foi esboçada na figura 5.31. Notemos que, para todos os 
níveis de carga acima da carga mínima marcada no diagrama , 
a curva particular ê convexa*. Conseqüentemente, esta curva 
poderia ser usada como uma unidade equivalente no despacho 
e na coordenação hidrotêrmica. Notemos que a curva de custo 
incrementai de operação seria uma serie de degraus para este modelo.
TABELA IV
CUSTOS DE OPERAÇÃO DO SISTEMA PARA
(1 ) (2 ) (3) (4) (5)
N9 de ordem 
da unidade
PminMW
C . m m
$/h
Pmax
MW
Cmax
$/h
1 1 0 47,745 27 165,436
2 94 579,735 314 1876,415
3 15 105,84 92 455,42
4 2 0 0 512,474 1033 2213,46
5 2 0 0 512,474 1033 2213,46
6 262 686,34 1115 2301,069
7 58 194,97 240 589,91
8 58 194,97 240 589,91
9 125 484,614 260 933,624
1 0 2 0 0 857,70 472 1945,428
1 1 150 637,29 376 1558,240
1 2 150 637,29 376 1558,240
13 150 667,485 345 1462,50
14 225 1136,655 800 3414,805
15 350 1633,77 930 4000,170
16 96 485,01 400 1720,77
(6 )
dc
dp
$/MWh
(7)
ACmax
APmax
6,293 6,127
5,894 5,976
4,540 4,950
2,042 2,143
2,042 2,143
1,893 2,064
2,170 2,458
2,170 2,458
3,326 3,591
3,999 4,122
4,075 4,144
4,075 4,144
4,077 4,239
3,962 4,269
4,080 4,301
4,065 4,302
(8 ) (9)
Vp
L max MW .
XcL max 
MW
27 165,436
341 2041,851
433 2497,271
1466 4710,731
2499 6924,191
3614 9225,26
3854 9815,17
4094 10405,08
4354 11338,704
4826 13284,132
5202 14842,372
5578 16400,612
5923 17863,112
6723 21277,917
7653 25278,087
8053 26998,857
Figura 5.31
Modelo de custo do sistema
Felizmente, neste exemplo particular temos evita­
do a situação que ocorre seguidamente, na qual aparecem, na 
ordem de prioridade, unidades adicionais que "devem funcio­
nar", fato este que faz a curva de custo operacional não ser 
convexa. Notemos que, abaixo da carga mínima, a curva ê de­
finitivamente não convexa e que tal curva seria inapropria- 
da para o uso com métodos de despacho utilizando termos in­
crementais de custo. Isto não quer dizer que não hã métodos 
disponíveis que poderiam usar tal curva. A programação di­
nâmica e os métodos diretos de investigação podem ser usa­
dos com curvas de entrada-saída não convexas. O importante 
ê destacar que as curvas não convexas não podem ser usadas 
com os métodos incrementais, tais como aquele das equações 
de coordenação.
Infelizmente, é bem alta a freqüência com a qual 
as curvas não convexas são encontradas quando se tenta esta­
belecer o compromisso das unidades. Para tais casos hã duas 
alternativas disponíveis. Primeira, a curva pode ser ajus­
tada por uma forma convexa para, assim, permitir o uso de 
métodos incrementais de programação e de despacho. Segundo, 
se o ajuste não for aceitável, então, o método de investi - 
gação deve mudar de um algoritmo incrementai para uma forma 
discreta, na qual as mudanças no compromisso são avaliadas 
pela alteração real do custo de funcionamento do sistema. 
Tal enfoque requer a aplicação de cálculos de despacho eco­
nômico para cada condição de operação proposta.
Vamos agora voltar para as questões referentes ao 
compromisso das unidades de recursos limitados e/ou à dis­
tribuição de recursos limitados nas usinas de combustível 
múltiplo, tais como a aplicação de uma quantidade especifi­
cada de gãs natural em usina ou em usinas no sistema para o 
qual pode-se usar oleo residual para, assim, atender as ne­
cessidades do balanço de energia. Este problema esta próxi­
mo dos casos relacionados no capítulo 4, referente à progra­
mação hidroelétrica. São oferecidas duas técnicas para o 
tratamento deste problema. A discussão descrevera o compro­
misso de pequena capacidade hidroelétrica, mas as técnicas 
a serem descritas aplicam-se/ da mesma forma, para qualquer 
distribuição de recursos limitados. Vale a pena enfatizar 
que o valor dos recursos limitados deve ser medido nos ter­
mos do seu valor de "substituição do combustível", em lugar 
do seu custo ou valor anterior. O valor da distribuição tor- 
na-se um preço imaginado (Shadow Price), ou um pseudopreço, 
medido pelo valof^do recurso substituído.
Vamos supor que o recurso deve ser utilizado; pof 
isso, as considerações dos custos de partida não podemafe­
tar a questão de se a usina funciona ou não funciona, mas 
pode afetar o número de partidas durante um dado período de 
carga mãxima, digamos de um dia. Uma tal suposição ê razoá­
vel para usinas hidroelétricas e também para usinas de com­
bustível múltiplo, onde os custos de transferência proveni­
entes da mudança de um combustível para um outro são descon­
siderados. Esse procedimento será aplicado numa curva de car­
ga unimodal, isto e, com único pico durante o período em 
questão. Uma extensão das técnicas para as curvas de carga 
multimodais, ou de picos múltiplos com restrição no número 
de partidas, pode ser feita de uma maneira relativamente di­
reta, usando as técnicas lógicas, conforme esta descrito na 
referencia 1 2 .
Vamos considerar uma técnica para o compromisso de 
hidrogeração para um caso de uma usina hidroelétrica cuja 
capacidade ê pequena em comparação com a carga do sistema e 
â qual, devido âs considerações de eficiência e de operaçãc* 
seria imposto que operasse na, ou próxima da, regulagem de 
melhor eficiência para qualquer compromisso das unidades que 
for desejado. Tais unidades, em geral, não são controladas 
de acordo com a carga, mas são operadas sob programação pre­
determinada. Presumamos que a nossa tarefa seja a de achar 
tal programação de compromisso. Suponhamos que a quantidade 
do recurso disponível esteja limitada, de tal modo que a u- 
sina não possa funcionar com carga plena durante todo o pe­
ríodo de programação. Vamos, ainda, supor que a usina tenha
três geradores de turbinas hidroelétricas idênticos e que a 
pratica de operação seja a de operar na regulagem de melhor 
eficiência para 1, 2 ou 3 geradores em funcionamento. Isto 
ê, hã somente três níveis discretos de carga (mais a parada) 
permitidos, conforme é ilustrado na Tabela V-a, onde os ní­
veis de salda de Pl, P2 e P3 correspondem ao numero de uni­
dades comprometidas. Devido aos efeitos de acoplamento,tais 
como a elevação da ãgua de montante ou da ãgua a jusante , 
devida à produção da usina, a taxa incrementai de recurso 
por unidade de salda da energia aumenta com o crescente ní­
vel de compromisso de potência da unidade. Isto ê, (AR/AP)^ 
ê menor do que (AR/AP)^ e assim por diante.
TABELA V-a
Distribuição de Recursos com Níveis 
Discretos de Potência da Usina
Horas nesta salda para Taxa incrementai
Nível de salda utilizar os recursos de recurso
MW Horas Recurso/MWh
H 1 (AR/AP) 3
2 H 2 (AR/AP) 2
3 H3 (AR/AP) 3
Suponhamos que, pela quantidade de recurso dispo-^ 
nível, a usina possa funcionar H1 horas com uma unidade na 
linha; alêm disso, se tivéssemos que fazer a usina funcio­
nar com duas unidades na linha, ela poderia funcionar duran­
te H2 horas; com três unidades na linha hã bastante recurso 
para fazer a usina funcionar H3 horas. Pergunta-se, como de­
veriamos operar a usina para melhor aproveitar o recurso, 
permitindo que a usina funcione com 1, 2 ou 3 unidades na
linha, na posição do regulador na melhor eficiência? Se ti­
véssemos que fazer a usina funcionar H1 horas com saída 
Pl, obteríamos o maior numero de MWhoras do recurso, visto 
que a altura de carga líquida seria a mais alta e,presumin­
do uma semelhante velocidade do fluxo de ãgua sem ca:çga,por 
unidade, a eficiência de conversão seria a maior.
Mas os maiores MWh resultariam no custo míniirto de 
operação do sistema, ou na maximização do valor do recuso? 
Provavelmente não. A resposta dependeria da variação do cus­
to com o tempo e com os MW exigidos para que a outra fonte 
de energia fosse deslocada pela hidroelétrica. Se o custo 
incrementai de substituição X^ fosse constante, então a o- 
peração de uma unidade sõ, durante H1 horas, iria maximizar 
o valor da reposição da fonte hidráulica em:
Ym = Xr/(AR/AP)1 > Xr/(AR/AP)2 > Ar/(AR/AP)3 (5.300)
Notemos que no custo incrementai constante, Àr ,o
valor do recurso deslocado seria de X P,H1. O montante uti-
- AR ^lizado de hidroenergia ê P^ (*̂ p) ̂ Hl ' Por isso* com uma uni­
dade comprometida, o valor de cada unidade de armazenagem 
hídrica ê Ar/(AR/AP)^. Agora, consideremos o caso para o 
qual o custo incrementai do recurso a ser deslocado pelo hi- 
dro-recurso tem um custo incrementai que não ê constante, 
nem no tempo nem com o nível da exigência de recurso. Con­
sideremos a curva de carga de pico ünico, conforme ilustra­
do na figura 5.32. Presumamos também que o recurso a ser des­
locado pela ãgua ê a geração térmica por turbina a vapor,a- 
limentada com carvão de pedra. Presumimos, devido â carga 
ser a maior na hora J, que ê provável que o custo incremen­
tai para sustentar o nível de carga J pelo sistema térmico, 
seja o maior. Distribuiremos, agora, o recurso hídrico, de 
tal forma quê, ao mesmo tempo, ele eleve ao mãximo o valor 
do recurso hídrico em termos do deslocamento de combustível
térmico do sistema e baixa ao mínimo a soma dos custos ho­
rários de combustível térmico do sistema, para satisfazer 
as exigências da carga.
Fi
yu
rd
 ò
 . 
J>
2
Suponhamos que o recurso hídrico ê suficiente pa­
ra operar a usina hidroelétrica com uma ou mais usinas com­
prometidas para uma operação de várias horas. Para determi­
nar um procedimento de distribuição, testa-se, em primeiro 
lugar, a distribuição com uma unidade comprometida na usina 
hidroelétrica, em cada um dos períodos horários de I a L, 
conforme ilustrado na figura 4.32. Para cada hora testada,a 
exigência térmica do sistema seria reduzida do nível de car­
ga para ^/hora, a um valor P^ menor do que o nível de carga. 
Por exemplo, para a hora I, a exigência térmica do sistema 
iria cair de para L^-P^. Deixemos que o custo incrementai 
médio, associado com esta redução na exigência térmica seja 
representado por . 0 custo térmico deslocado pela água 
durante esta hora seria x P^ x X ^ . De forma semelhante, 
a aplicação dessa água âs horas J, K è L iria resultar em 
valores diferentes para os custos de geração térmica deslo­
cada pela hidrogeração. Vamos determinar, para cada hora, o 
valor de recurso hídrico nos termos das exigências de com­
bustível térmico deslocado. Por exemplo, o valor do recurso 
na hora I seria o custo do deslocamento térmico dividido pe­
lo montante do hidro-recurso usado. Na hora I o montante do 
hidro-recurso usado para uma unidade comprometida seria o 
produto de x (Ar/Ap )^ x H.. O valor de deslocamento desse 
recurso, então, seria a proporção do custo deslocado para o 
recurso usadc e seria X ^ dividido por (AR/AP)^. Da mesma 
forma podem ser comparados os valores da água aplicados à 
hora I, hora J, hora K e hora L. Suponhamos, agora, que o 
valor da água para uma unidade comprometida, durante a hora 
J, seja o maior e, então, comprometa um hidrogerador a esta 
hora. Isto iria consumir P1 x (AR/AP)1 x Hj unidades de re­
cursos hídricos. Isto deve ser deduzido do recurso hídrico 
total a ser distribuído e, agora, o resto do recurso hídri­
co deve ser aplicado da mesma forma para elevar ao máximo o 
valor de cada unidade de distribuição. Tendo comprometido 
uma unidade ã hora J, podemos, agora, formar o valor da pró­
xima unidade de hidrogeração distribuída durante a hora J .
Neste caso, seria a alocação do segundo gerador 
de turbina para a hora; somente agora, o resultante custo 
incrementai da potência térmica deslocada do sistema, seria 
/ e o valor desta reposição seria (P2“P^) x ^2j x Hj• 0 
valor da agua distribuída para a segunda unidade comprome­
tida seria de X2j dividido por (AR/AP)2. Agora, a pergunta
ê: serã que este ê o melhor lugar para colocar a segunda u- 
nidade de recurso hídrico? Para decidir isso, podemos com­
parar o valor da alocação da segunda unidade na hora J
contra o compromisso da primeira unidade durante a hora I,
a hora K e a hora L. Vamos supor que neste caso particular 
o valor mais alto a ser recebido para o recurso hídrico o- 
correria pelo comprometimento de uma unidade durante a hora 
K. O recurso necessário, durante a hora K, ê, então, dedu­
zido do montante total do recurso disponível e a procura e 
continuadapara achar a hora seguinte do melhor valor hídri­
co. Novamente, comparemos o comprometimento de uma unidade 
durante a hora I, de duas unidades durante a hora J, de duas 
unidades durante a hora K e de uma unidade durante a horaL. 
Vamos supor que a posição mais favorável seria a de compro­
meter uma unidade durante a hora I. Essa quantidade de re­
curso, então,ê deduzida do recurso liquido disponível e a 
investigação procede novamente. Suponhamos desta vez que a 
posição mais favorável para a próxima alocação do recurso 
seria a de comprometer a segunda unidade â hora J. A procu­
ra e a alocação procedem, ate que o recurso hídrico seja to­
talmente utilizado. A decisão em cada passo de aloca­
ção ê a de aplicar um recurso em bloco àquela hora que ma­
ximizará o valor do recurso em termos do custo de desloca­
mento do sistema térmico. O procedimento de distribuição 
continua até que a distribuição final deva ser igual a, ou 
menor que uma hora de duração. Devemos notar que não segue 
que a derradeira exigência térmica do sistema esteja abso­
lutamente nivelada. Isso acontece, naturalmente, porque es­
tamos limitados a operar a usina hidroelétrica em níveis de 
carga discretos. O resultado liquido ê que a necessidade ter 
mica do sistema tende a ser nivelada dentro da quantifica­
ção dos níveis discretos do compromisso hídrico. Se a carga 
hídrica variasse continuamente, então, a operação resulta­
ria num valor de recurso hídrico verdadeiramente nivelado , 
ou uniforme para todas as horas. Todas as horas tenderão a 
mover-se para o ponto, no qual a razão entre o resultante 
custo incrementai térmico do sistema e a taxa incrementai do 
sistema de recurso Jiídrico, À/(dR/dP), ê a mesma durante o 
compromisso. Naturalmente, com a saída da usina hidroelé­
trica bloqueada em zero, ou bloqueada no máximo, a estima­
tiva do valor incrementai hídrico não ê aplicável. Particu­
larmente, a razão entre X e a taxa incrementai do recurso 
seria baixa demais para as horas que a usina hidroelétrica 
fosse bloqueada na saída zero, e seria alta demais para as 
horas que a usina hidroelétrica fosse bloqueada na saída má­
xima.
Seção 5.4 - Procedimentos de Melhoria da Seleção
Nesta seção será feita uma breve nota sobre algu­
mas técnicas que estão sendo usadas para procurar as melho­
res programações de comprometimento. Também inclui-se nesta 
seção uma ilustração de um método de procura. Usaremos a lis­
ta de prioridade como ponto de referência na discussão so­
bre algumas técnicas de procura relatadas. Conforme notamos 
na seção 5.3, o complexo compromisso entre os custos de par­
tida das unidades e os custos de funcionamento, mais a re­
serva hora a hora e as exigências da área não se prestam pron­
tamente para a formação de um problema convexo na programa­
ção matemática. Conseqüentemente, a maioria dos enfoques de 
solução do problema de comprometimento da unidade tendem a 
usar os métodos de procura.
Um enfoque lõgico â procura da programação do com­
promisso econômico da unidade é o de examinar as economias 
em potencial que iriam resultar das mudanças na programação 
de uma unidade específica. Um exemplo de um tal enfoque lõ-
gico ê descrito na Referência n9 12 e um outro é dado na Re­
ferência n9 8. Guy, na Referência n9 16, inicia a programa­
ção comprometendo todas as unidades disponíveis. Ê determi­
nada a economia mãxima que se pode alcançar fazendo parar 
uma unidade em parte do período de tempo, sujeita a varias 
restrições e exigências. Isso se repete para cada unidade 
individual, e a unidade que tiver como resultado a maior e- 
conomia terã a sua programação implementada. Neste ponto, a 
programação de compromisso das unidades não tem mais de uma 
parada de unidade em qualquer ponto do período de tempo. A 
procura continua para achar a parada de uma segunda unidade 
que rendera a maior economia, e a procura procede até que 
nenhuma unidade mais possa ser parada. Por isso, a investi­
gação produz uma seqüência de programações com custo total 
decrescente, üm outro enfoque que estã sendo usado para pro­
curar programações de compromissos da unidade mais econômi­
cos ê o de considerar uma mudança na partida e/ou na parada 
de uma unidade específica de cada vez. A mudança serã im­
plementada quando ela produzir uma economia no custo total. 
Referimo-nos a este método como sendo um "Método Heurístico " 
e ele ê descrito nas Referências n9 7 e n9 8. Estão apresen­
tadas no Apêndice II algumas notas que descrevem o uso de um 
Método Gradiente para determinar a economia incrementai nos 
custos em uma pequena mudança no tempo de partida ou parada 
de uma unidade.
Os autorès das Referências n9s 14 e 16 propuseram 
um modelo que formula a programação das unidades como um 
problema de programação linear inteira. Esse enfoque asse­
gura a localização do custo de operação de mínimo absoluto 
para o problema proposto. Entretanto, hã duas limitações 
maiores no uso do modelo proposto e elas são inter-relacio- 
nadas. Em primeiro lugar, os custos de operação e de parti­
da da unidade devem ser representados respectivamente, por 
custos incrementais de operação em bloco e por degraus de 
custo de partida de bloco, como uma função do tempo de pa- 
ralização da unidade. Se os modelos são usados para repre­
sentar o custo de partida dependendo do tempo de paraliza- 
ção, ou o custo incrementai que varia com a saída de potên­
cia, então, o numero de variáveis necessárias para descre­
ver o problema aumentará muito. Entretanto, o método ê exa­
to dentro do contexto do modelo e pode ser estendido para 
cobrir quase qualquer exigência de restrição prática.Em se­
gundo lugar, o método sofre com as grandes dimensões das ma­
trizes requeridas para"descrever as restrições.
Tais características limitam a implementação prá­
tica do "modelo de programação linear inteira" e, por isso, 
outros métodos têm sido explorados e implantados.
A referência n9 18 apresenta um método que deter­
mina as programações econômicas de compromisso de unidade , 
sujeitas a certas restrições de segurança. Há três passos 
envolvidos neste método. O primeiro passo determina uma pro­
gramação ótima para cada intervalo no período de tempo, pe­
lo procedimento dado na referência n9 11. Este passo presu­
me que os intervalos são independentes e não dá consideração 
alguma aos custos da partida e às restrições,,tais como o 
tempo máximo e/ou mínimo de paralização ou de funcionamneto 
da unidade. No segundo passo, a programação obtida ê modi­
ficada para satisfazer as restrições de segurança especifi­
cadas. Em geral, isso requer que mais unidades sejam postas 
na linha. O ultimo passo, basicamente, verifica se resulta­
rá numa economia a ação de colocar em reserva aquelas uni­
dades quV- estão paradas.
O uso de programação dinâmica para determinar as 
programações econômicas de comprometimento da unidade, de 
modo a satisfazer a carga em dado período de tempo, foi in- 
vestigado por uma série de autores ' ' . Essencialmente, 
a técnica é recursiva, isto é, a procura de programações e- 
conômicas para o compromisso de unidade ê feita, intervalo 
por intervalo, até cobrir todo o período de tempo. Este mé­
todo de procura ê exaustivo e, para um conjunto finito de 
combinações possíveis de programações, a técnica acha amais 
econômica entre todas as programações possíveis.
Um exemplo pratico no uso de procura recursiva pa­
ra obter programações econômicas serã dado abaixo:
O seguinte esboço mostra como o método de busca 
recursiva foi implementado em um programa de compromisso de 
unidade para uma companhia de utilidade publica. O método 
recursivo usado é geralmente conhecido como " programação di­
nâmica de avanço", como o oposto da "programação dinâmica 
em recuo”. O primeiro procede do intervalo de tempo inicial 
ao intervalo final, enquanto o último procede na ordem in­
versa. O programa de comprometimento da unidade é adaptado 
para procurar as programações mais econômicas e vi­
áveis de tempos de partida e de parada para as unidadestér­
micas da companhia de utilidade acima mencionada. Uma pro­
gramação viável ê aquela para a qual a carga prevista para 
um dado período de* tempo, os objetivos de reserva girante 
e as varias restrições de operação são todos satisfeitos.
Antes de descrever o procedimento no programa de­
finem-se os seguintes termos:
Combinação:
Estado:
Uma combinação ê qualquer sub-conjunto de um dado 
conjunto de unidades. Dado um jogo de cinco u- 
nidades (todas não idênticas) hã um conjunto de 
2^-1 = 31 diferentes combinações de unidades.
Um estado define a condição das unidades indi­
viduais em um sistema. Um estado pode ser re­
presentado por um arranjo no qual o i9 elemen­
to, s^, designa o seguinte:
(i) quando si > 0, = número de horas nas 
quais a i? unidade esteve funcionando;
(ii)quando s^ < 0, = numero de horas nas
Estratégia:
quais a i£ unidade esteve parada.
Uma estratégia designa a transição de uma com­
binação, em uma hora dada, para uma combinação 
na próxima hora. Nos problemas de compromisso 
da unidade, tal transmissão pode necessitar do 
arranque ou da parada de certas unidades.
Programação: Uma programação e uma seqüência de estratégias 
que começam da combinação na hora iniciale vão 
até uma combinação na hora final.
O programa de compromisso da unidade pode ser di­
vidido em duas partes principais. A primeira envolve a for­
mação de uma.lista de seleção de unidade, que ê usada para 
limitar o numero de combinações de unidades que devem ser 
examinadas a cada hora. A outra parte consiste de um proce­
dimento de procura recursiva que determina as programações 
viáveis ótimas ou quase õtimas (custo mínimo) para um dado 
período de estudo. Um diagrama de blocos simplificado do 
programa ê dado na figura 5.41.
A finalidade de ter uma lista de seleção de uni­
dades ê a de limitar o numero de combinações de unidades que
precisam ser examinadas em cada hora. Sem qualquer li-
 ̂ Nmitaçao, um sistema com N unidades resultara em 2 -1 com­
binações possíveis de unidade em cada hora. Por exemplo, um 
sistema que tem 10 unidades iria produzir (21^-1) =1023 pos­
sibilidades. Este numero cresce exponencialmente com o nú­
mero de unidades em um sistema. Podemos ver que para fins 
práticos ê necessário restringir o numero de combinações de 
unidades.
Um enfoque para limitar o número de possíveis com­
binações de unidades a serem estudadas cada hora ê o de ela­
borar uma lista de seleção de unidades, que leva em conside­
ração várias situações de operação de unidade. O método u- 
sado no programa ê baseado na lista de prioridade de todas 
as unidades no sistema. O critério para colocar as unidades 
individuais nos vários níveis de prioridade poderia ser o do 
custo incrementai de produção. 0 procedimento geral adotado 
para fazer a lista de seleção de unidades ê bem parecido com 
aquele dado na seção 5.3.
Para ilustrar a formação da lista de seleção de 
unidades, suponhamos que haja quatro unidades que devem es­
tar na linha, em uma hora dada.
Feito
Figura 5.41
Diagrama de blocos simplificado do algoritmo de 
compromisso de unidade
Estas unidades que "devem funcionar", formarão as 
quatro primeiras unidades da lista de seleção. As unidades 
"não disponíveis',1 ou que "devem cair fora", são riscadas, e 
as unidades restantes são adicionadas na lista de seleção em 
uma ordem prê-especifiçada de prioridade. Sem perda de ge­
neralidade, numeremos as unidades de lista, 1, 2, ... , 13, 
como mostra a figura 5.42A.
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
UNIDADES EM 
ORDEM DE PRIORIDADE
DEVEM
FUNC IO NA R
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
> UNIDADES 
EM EXCESSO
>. INTERVALO 
DE PESQUISA
UNIDADES QUE 
DEVEM FUNCIONAR
( A ) ( B )
Figura 5.42
Exemplo de uma lista de seleção 
de unidades
Agora determinemos o número mínimo de unidades,na 
ordem da lista de seleção, que devem estar na linha para sa­
tisfazer a carga mais as necessidades de reserva girante to­
tal do sistema. Suponhamos que este número seja oito, então, 
a extensão de procura ê formada ao redor da unidade 8,de mo­
do que possam ser incluídas algumas unidades acima eabaixo. 
Esta extensão de procura poderia ser definida pela especi­
ficação do número de unidades abaixo da unidade 8 e o núme­
ro de unidades na extensão da procura. Se o primeiro número 
for um e o último for quatro, então serã especificada uma 
extensão de procura entre a unidade 7 e a unidade 10.Em tal 
situação, as unidades 5 e 6 tornam-se unidades que "devem 
funcionar". As unidades alêm da unidade 10 formam o que po­
de ser chamado de um conjunto de unidades em excesso; (ver 
figura 5.42B).
Para o exemplo da figura 5.42 hã, ao todo, quatro4unidades na extensão da procura que dao 2 -1 = 15 cotnbinaçpes 
de unidades a serem examinadas. Juntamente com as seis uni­
dades que "devem funcionar", algumas das combinações teriam 
capacidade suficiente para satisfazer as exigências da carga 
e da reserva girante, ao passo que as outras não a teriam. 
Para aquelas que falham, incluem-se unidades adicionais ti­
radas do conjunto de unidades excedentes, na ordem de prio­
ridade, até que seja atingida uma capacidade suficiente. Ê 
possível que, apesar da inclusão, algumas destas combinações 
ainda não tenham uma capacidade adequada. Tais casos seriam 
inaceitáveis e eles são descartados. Cada combinação de u- 
nidades, na extensão da procura junto com as unidades que 
"devem funcionar" e, se for necessário, com algumas unida­
des excedentes, formam as unidades que devem estar na linh^, 
enquanto as restantes estão paradas.
Uma vez que todas as combinações são diferentes, pode-se 
ver que todos os conjuntos correspondentes de unidades na li­
nha também são diferentes. Assim, dentro do contexto do pro­
blema, uma combinação pode ser definida como um conjunto de 
unidades que devem estar na linha. Deve-se frisar, nesta al­
tura, que não hã correspondência de um para um, entre uma 
combinação e um estado. Uma combinação, para uma hora dada, 
somente destaca estas unidades que estão na linha, daquelas 
que estão fora, naquela hora. Um estado, por outro lado, i- 
dentifica a história imediata de cada unidade, a saber, por 
quanto tempo uma unidade esteve funcionando ou esteve para­
da.
Variando a extensão da procura, poderiamos contro­
lar a extensão de procura das programações de coirpromisso econômicas e 
praticáveis da unidade. Tendo definido a extensão da procu­
ra e as combinações prováveis para cada hora no período de 
estudo, o próximo passo ê o de determinar as programações 
econômicas e viáveis de compromisso de unidade. Um método 
possível e direto para determinar a melhor provisão ou a 
programação ótima é o de examinar todas as programações pos­
síveis. Entretanto, o numero de programações possíveis po­
der ia ser enorme por ser ele igual ao produto do numero de 
combinações prováveis em cada hora. Isto pode exigir dema­
siado tempo de cálculo em computador, para ser de uso prá­
tico. O programa de compromisso de unidade usa um procedi­
mento de procura recursiva que supera a limitação acima men­
cionada. 0 método de procura recursiva usado no programa ê 
geralmente conhecido como de programação dinâmica em avan­
ço. A característica atrativa de tal enfoque ê que o proce­
dimento de procura ê efetuado hora por hora. Deixemos C0MB 
(J,K) designar a K? combinação de unidade na hora J. Quando 
C0MB (J,K) resultar em um despacho praticável, deixemos PC0ST 
(J ,K) ser o custo de produção para satisfazer a carga na ho­
ra J.Um despacho viável ê aquele que satisfaz todas as exi­
gências de reserva girante. Se um despacho praticável não pu­
der ser obtido, então, a combinação ê inaceitável e deve ser 
descartada. A transição de C0MB (J-1,L) para C0MB (J,K) ê e- 
xaminada, e isto pode necessitar de uma alteração do compro­
misso da unidade, possivelmente a partida e/ou a parada de 
certas unidades. Com estas alterações podemos incorrer em 
custos e deixar esta despesa de transição ser SC0ST(J-1,L:J,K).
Se o custo cumulativo total mínimo incorrido parachegar a 
C0MB (J-1,L) for FC0ST (J-l,L) ,, então, o custo cumulativo 
total mínimo necessário para chegar a C0MB (J,K),através de 
C0MB (J-1,L), ê igual â soma de FC0ST(J-l,L), PC0ST (J,K) e 
SC0ST(J-1,L,K). Por isso, examinando esta soma para cada com­
binação na hora J-l, o custo cumulativo total mínimo, FC0ST 
(J,K), necessário para atingir C0MB (J,K), pode ser achado. 
A equação para a determinação do FC0ST(J,K) ê dada abaixo:
FC0ST (J,K) = min {PO0ST (J,K) + SC0ST(J-1,L:J,K) + FC0ST(J-1,L) }
L
Assim, a combinação Lê , na hora J-l, que resulta no cus­
to cumulativo total mínimo para C0MB(J,K), define a melhor 
estratégia para C0MB (J,K).
Depois de ter sido achado o custo cumulativo to­
tal mínimo para cada combinação na hora J, a procura conti­
nua com as combinações na prõxima hora. O procedimento de 
procura termina na hora final do período de estudo. A pro­
gramação mais econômica de compromisso de unidade, deter­
minada pela procura, ê obtida seguindo a trilha de retorno, 
desde a combinação na hora final, com o custo mínimo acumu­
lado, ate a hora inicial.
A admissibilidade de transição de uma combinação 
a uma certa hora, para uma combinação na próxima hora,ê re­
gulada por várias restrições de operação. 0 programa de com­
promisso de unidade reconhece as restrições no tempo mínimo 
de funcionamento e no tempo mínimo de paralização das uni­
dades. As restrições de pessoal (turmas de serviço) em cer­
tas usinas também são consideradas. Estas restrições proí­
bem as partidas e/ou paradas simultâneas de duas ou mais u- 
nidades na mesma usina, e certa demora torna-se necessária, 
até que uma outra unidade, na mesma usina, possa mudar o seu 
estado.
A figura 5.43 ilustra o resultado de uma procura 
em redor da hora J. As flechas identificam as melhores es­
tratégias para as combinações individuais em cada hora.
HORA
Combinação não aceitável: Não existe despacho que possa, 
satisfazer a carga mais as exigências de reserva girante
Combinação não admissível: Existe um despacho viável,po­
rem não hã transição admissível de qualquer combinação 
aceitável na hora previa.
aj Combinação aceitável: Existe uma programação econômica 
viável que parte da combinação na hora inicial e que ter­
mina na combinação para uma hora dada. 0 numero "a" de­
signa a melhor estratégia para a combinação; a saber, a 
transição da combinação "A" na hora prévia resulta no 
mínimo custo cumulativo total.
Figura 5.43
Resultados de uma procura em 
redor da hora J
Deve-se frisar que as estratégias somente indicam 
a direção de retrocesso. Um exemplo típico ê a combinação C 
na hora J. Neste exemplo, a melhor estratégia para chegar a 
esta combinação ê pela combinação A na hora J-l. Entretantcy 
não hã instrução que indique qual ê a direção de avanço da 
combinação C na hora J, que resultará na mais econômica 
programação.
Uma vez achada a estratégia para cada combinação, 
ê especificada a estória de todas as unidades, desde a hora 
inicial até atingir cada combinação. Assim, um estado ê de­
finido em correspondência com uma combinação e sua estraté­
gia específica.
Isto ê, dentro do contexto das estratégias esta­
belecidas, existe uma relação de um-para-um entre as combi­
nações e os estados. Para testar a admissibilidade de uma 
estratégia, deve ser conhecido o estado correspondente â 
combinação na hora anterior.
O método acima tende a tornar-se limitado em com­
binações, se o numero de unidades na extensão de procura, 
para cada hora, for aumentado para muito além de seis.Assim, 
ele se limita aos sistemas de geração que não têm um numero 
muito grande de unidades.
Ê apresentado o sumário de um exemplo numérico do 
uso do programa acima destacado. Havia 17 unidades térmicas 
no sistema modelo, e estas unidades estavam instaladas em 
seis usinas diferentes. Duas usinas estavam em uma região 
e o resto estava em uma outra região. Foi executado um pe­
ríodo de estudo de três horas, e a extensão de procura, pa­
ra cada hora, consistia de três unidades; assim que, em ca­
da hora, havia sete combinações de unidades a serem exami­
nadas. As listas de seleção de unidades e as combinações en­
contradas na procura são dadas nas tabelas V e VI.
As estratégias, como foram determinadas pela in­
vestigação, são mostradas na figura 5.44, e os resultados da in­
vestigação para a hora 3 são dados na Tabela VII.
TABELA V
LISTA DE SELEÇÃO DE UNIDADE PARA V&RIAS HORAS
Lista de seleção
Hora Unidades que 
"devem funcionar"
Extensão de 
procura
Unidades em 
excesso
1 2, 4, 5,
15, 17
7, *00 6, 12, 16 10
2 5, 6, 7, 9, 15 2, 4, 17 1, 8, 10, 12, 16
3 5, 6, 7, 9, 15 2, 13, 17 1, 4, 8, 10, 12,16
COMBINAÇÃO DE UNIDADES EM VÃRIAS HORAS *
Unidades*
Hora Ccmbinação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17
i 1 0 1 0 i 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
2 0 1 0 i 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 1 0 i 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
4 0 1 0 i 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
5 0 1 0 i 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1
6 0 1 0 i 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
7 0 1 0 i 1 1 1 1 1 0 0 1 0 Q 1 1 1
2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0
3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
5 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
6 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
3 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
4 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
5 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
6 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
7 0 1 Q 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
* 1: unidade na linha; 0: unidade estã desligada
Figura 5,44
Estratégias determinadas pela investigação 
(Para maiores explicações consultar a figura 5.43)
Resultados da investigação para a Hora 3
Combinações na Hora 2
fd
uo
táC
c/)
Q)10Ord£
gOu
4 5 6 7
VCC VCC VCC VCC
Unidades 16, 17 Unidades 16, 17 Unidades 2, 4 Unidades 2, 4
VMDT Custo VMDT VMDT
Unidade 4 $15590 Unidade 16 Unidade 8
VMDT VMDT Custo VMDT
Unidade 4 Unidade 2 $15580 Unidade 8
Custo Custo VCC VCC
$16460 $16460 Unidades 2, 4 Unidades 2, 4
VCC VMDT Custo Custo
Unidades 16, 17 Unidade 2 $16470 $16430
VMDT VMDT VMDT Custo
Unidade 4 Unidade 2 Unidade 17 $15520
Custo VMDT VMDT Custo
$16530 Unidade 2 Unidade 17 $16480
VCC: Viola as restrições de pessoal
VMDT: Viola o tempo mínimo de parada da unidade
Custo: Mostra o custo cumulativo total na Hora 3
Com referência â figura 5.44, as combinações 1, 3 
e 5, na hora 1, e a combinação 1, na hora 2, foram todas i- 
naceitãveis, pela capacidade do sistema disponível ser in­
suficiente. Embora os despachos econômicos viáveis fossem a- 
chados para as combinações 2 e 3, na hora 2, e para a com­
binação 1, na hora 3, estas combinações éram inaceitáveis 
por não ter havido uma estratégia admissível que conduzisse 
destas combinações aceitáveis na hora prévia.Particularmen­
te, as razões pelas quais não se achou uma estratégia ad­
missível para a combinação 1, na hora 3, são mostradas na
primeira linha da Tabela VII. Por exemplo, a transição da
combinação 4, na hora 2, para a combinação 1, na hora 3, i- 
ria envolver a parada das unidades 16 e 17 no começo da ho­
ra 3. Entretanto, estas duas unidades estavam nà mesma usi­
na que tinha restrições de pessoal que proibiam a parada de 
mais de uma unidade dentro da mesma hora. Um exemplo de uma 
outra causa de transição inadmissível ê a da combinação 4 , 
na hora 2, para a combinação 2 na hora 3;(ver a segunda li­
nha da Tabela VII). Esta transição particular necessitaria 
do arranque da unidade 4 na hora 3, mas isto não ê permissí- 
vel, visto a unidade 4 ter estado parada somente por uma ho­
ra antes da hora 3, e o tempo mínimo de parada para esta u- 
nidade ser de onze horas.
Das seis combinações aceitáveis na hora final,is­
to ê, a hora 3, a combinação 6 tinha o custo cumulativo to­
tal mais baixo. Assim sendo, retroagindo desta combinação 
através das estratégias especificadas até a hora inicial*ob- 
tém-se a mais econômica programação de compromisso da uni­
dade. Isso ê mostrado pelas linhasem negrito na figura 5.44. 
A Tabela VIII mostra as duas programações mais econômicas 
obtidas. Neste exemplo, o custo de transição inclui somente 
o custo de partida da unidade, que dependia do tempo de pa­
rada anterior da unidade. O custo total acumulativo para a 
melhor programação era de $ 15.516,10, a programação menos 
econômica tinha um custo cumulativo total de $ 16.478,54, que 
ê aproximadamente 6% maior do que aquela da programação mais 
econômica.
PROGRAMAÇÕES DE COMPROMISSO DE DUAS UNIDADES
SCHEDULE 1
UNITS
HR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1
2 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
T0TAL CUMMULATI VE C0ST $ = 1 551 6.10
T0TAL 0PERATING C0ST $ = 14049.55
T0TAL TRAM S IT I 0MAL C0ST s = 1466.55
SCHEDULE 2
UWITS
HR I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
1 0 1 0 1 i 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1
2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
TPTAL CUMMULATI VE C0ST $ = 15 5S2 •79
TOTAL CPERATIiJG C 0ST $ = 14116. 24
T0TAL TRANSITI0MAL C0ST $ = 1466. 55
TABELA IX
Passos essenciais na programação do compromisso de unidade
1. Fazer a previsão de carga
2. Fazer a tabela de disponibilidade de unidades
3. Fazer a lista de prioridade de unidades
4. Fazer uma lista de experiência ou de seleção de unidades
5. Procurar uma programação melhorada
6. Fazer a programação de produção
Devemos lembrar que uma programação mais econômi­
ca poderia ser achada se fosse usada uma extensão de procu­
ra maior. Naturalmente, uma investigação mais extensa exi- 
giria maior esforço.
Concluindo, a determinação de uma programação e- 
conômica de compromisso de unidade envolve uma serie de pas­
sos. A maioria dos passos essenciais são dados na Tabela IX.
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APÊNDICE I
MÉTODOS LÕGICOS DE PESQUISA PARA DETERMINAR 0 MELHOR DESPA­
CHO PARA UMA UNIDADE SIMPLES
12Anstine et al descreve um procedimento logico 
para determinar a melhor programação, isto é, a programação 
de custo mínimo para a investigação de uma unidade de cada 
vez. A rotina presume que todas as outras unidades estão em 
programações de operação prê-fixadas. Os passos envolvidos 
com o método logico de procuras são destacados abaixo.
19 Passo
Verificar as "horas em que deve funcionar" para 
satisfazer as exigências de reserva girante.Impor 
uma grande penalidade pelo fato da unidade ter pa­
rado durante cada uma das "horas em que deve fun­
cionar" .
29 Passo
Achar a melhor programação de operação para cada 
"hora em que deve funcionar": Verificar o mínimo 
de tempo de funcionamento e adicionar as melhores 
horas adjacentes ao período de funcionamento para 
satisfazer a exigência do tenpo mínimo de funcionamento. 
Acumular ,na"tabela de período em que deve funcionar", os 
tempos de partida e de parada da unidade e "as economias 
de custo de operação" devidos â operação da unidade sobre 
a não-operação da unidade. Este custo não deve incluir
os ganhos, por ter evitado o custo das penalidades tipo 
"devem funcionar".
39 Passo
Fazer uma investigação para as horas de melhor e- 
conomia, fora dos períodos de "deve funcionar". 
Isto será realizado prontamente, atribuindo gran­
des economias negativas âs horas dentro dos perío­
dos de "deve funcionar" e, depois, procurando a 
melhor hora seguinte. Se as "economias das melho­
res horas", forem positivas, prosseguir para for­
mar o período econômico de operação. Se, por ou­
tro lado, a economia for negativa, omitir qualquer 
investigação referente a um período econômico de 
operação em redor desta hora. Para formar perío­
dos econômicos de operação, seguir os procedimen-
12tos apontados na obra de Anstine et al , pagina 
318, coluna 1. Depois de completar a procura, a- 
cumular os tempos de partida e de parada da uni­
dade e as economias de custo de operação na "ta­
bela de operação econômica". Suprimir as econo­
mias de custo de operação neste período e proceder 
a procura das próximas economias horárias mais po­
sitivas para formar o próximo período e operação 
econômica, e assim por diante.
49 Passo
Verificar o primeiro período de operação nas ta­
belas de "deve funcionar" e de "operação econômi­
ca". Se o período econômico ocorrer primeiro, de­
duzir o custo de partida das economias e verifi­
car as economias de operação menos o custo de par­
tida. Se a economia de operação, menos o custo de 
partida for negativo, omitir este período de ope­
ração econômica e prosseguir para o próximo. pe­
ríodo. Se o resultado for positivo, incluir este 
período de operação na programação experimental. 
Se um "deve funcionar" ocorrer primeiro, incluí­
d o na programação de partida e deduzir o custo 
de partida