PESQ_Volume 9 - Operação Econômica e Planejamento

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1877Q
OPERAÇÃO ECONÔMICA
E PLANEJAMENTO
CURSO DE ENGENHARIA 
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
- SÉRIE PTI -
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Analise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J/Wagner Kaehler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão II - Eelix A. Farret
4 - Dinâmica das Maquinas Elétricas I - Somdhai Apsuj,
Ar 1 ilnd0 R . Maye r
5 - Dinâmica das Máquinas Elétricas II - ElVip Rátenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M. Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaehler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M.Ivone Brenner
Supervisão técnica: Somchai Ansuj
Coordenação geral: Arlindo R. Mayer
Norberto U. de V. Oliveira 
Waldemar C. Fuentes
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S. A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
E PIÂNEJAMENTO
W . F. B’RELLS 
N. D. REPPEN 
R. J. RINGLEE 
J. M . UNDRIL 
C. K. PANG
Tradução: Paulo R. W ilson
Dr. Prof. Vlsit. do 
CPG em Eng. Elétrica 
da UFSM
CURSO DE ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I. .----------
SANTA MARIA - RS - 1979 *.J' \
; T R 0 B R Á S
‘ ocum^ntação Técnica - D O T f
■ -.121TO í. ã
' - ..........
Titulo do original:
Scheduling and Economic Operation
Direitos para ò Brasil reservados a Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio de Janeiro - RJ
1979
F I C H A C A T A L O G F A F I C A
061 B'Rells,_W. F.
Operação econômica e planejamento /por/ 
W. F. B'Rells /e/ outros. Trad. /de/ Pau­
lo R. Wilson. Santa Maria, 1979.
333p. ilust. 23cm. (Curso de En­
genharia em Sistemas Elétricos de Potên­
cia - Série PTI, 9)
Título original: Scheduling and Economic 
Operation.
1. Eletricidade - geração. 2. Energia E- 
lêtrica. I. B'Rells,W.F. II. Wilson Paulo R. 
(Trad.) III. Título.
CDD 621.31 
CDU 621.311
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Hã cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na ãrea de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento • de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen-' 
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e à conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
É constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre- outras ações, têín sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atendimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas.
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady -USA, 
a ministração de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam âs Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário âs suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRÂS de­
cidiu adquirir ao P.T.I. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Ba^balho 
Presidente da ELETROBRÂS
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de realizar a estafante, porém atraente tarefa de tradução 
revisão e acompanhamento na impressão do Curso organizado 
por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direitos de re­
produção foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta tare­
fa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de pro­
fessores que, além de suas atividades docentes,administra­
tivas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais essa im­
portante tarefa.
É nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elaboração 
dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do 
Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo 
Diretor da Imprensa Universitária, Prof. José Antonio Ma­
chado, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica, 
Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio 
UFSM/ELETROBRÁS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como tam­
bém pelos Professores Waldemar Correia Fuentes, Nilton Fa- 
bbrin e Norberto V. de Oliveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica - CEEE- 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e'os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos â Professora Celina Fleig 
Mayer por seus serviços de revisão e à Jornalista Veronice 
Lovato Rossato pelos serviços de revisão e Assessoria de E- 
ditoração. E ã Professora June Magda Scharnberg pelo seu 
auxílio na organização das fichas catalogrãficas dos vários 
volumes.
Nossos agradecimentos, também, ao datilõgrafo U- 
byrajara Tajes e aos desenhistas EngÇ Delcio Bolzan e Fran­
cisco Ripolli Filho.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e He- 
lic Mokarzel, da Escola Federal de Engenharia de Itajubã , 
agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradução 
parcial de alguns volumes, os quais serviram como valiosas 
referências em nosso trabalho.
Finalmente, ê nosso dever deixar registrado nos­sos agradecimentos a Centrais Elétricas Brasileiras S.A. - 
ELETROBRÃS,por seu apoio e confiança em nós depositados.
Derblay Galvão 
Reitor
SUMÁRIO
Capítulo 1 - CONCEITOS DE OPERAÇÃO ECONÔMICA............ 1
1.0 - Introdução e Escopo.......................... 1
1.1 - Descrição da entrada-saída ................. 2
1.2 - Modelos para usinas hidráulicas............. 10
1.3 - Despacho econômico - Igual carregamento in­
crementai ................................... 12
1.4 - Despacho econômico - Efeito das restrições
de carga do gerador........................... 18
1.5 - Despacho econômico - Perdas incrementais
de transmissão................................ 22
1.6 - Efeitos das perdas de transmissão no despa­
cho econômico - Exemplo numérico............. 26
1.7 - Solução da Equação de coordenação - Métodos
de Gauss-Seidel............................... 31
1.8 - Aplicações On-Line..... 41
1.9 - Resumo da notação e relações üteis........... 49
BIBLIOGRAFIA.................. 52
Apêndice I - Método de Lagrange para determinar
um extremo com restrições............. 55
Apêndice II - Desenvolvimento analítico de uma
fórmula de perdas..................... 57
Apêndice III- Exemplo numérico do uso da formula
de perdas........... 85
Apêndice IV- Componentes da matriz B .............. 88
Apêndice V - Dedução da equação quadrãtica........ 89
Apêndice VI - Avaliação de R_J/ e X ” ................ 92
Capitulo 2 - MODELOS PARA INTERCÂMBIO E PARA DESPA­
CHO MULTIÃREA............................. 9 7
2.0 - Introdução.................................. 97
2.1 - Representação da interconexão nas fórmulas
de perda............ 98
2.2 - Perdas incrementais - Interconexões......... 100
2.3 - Perdas incrementais de circulação e custos
de incrementos de perda...................... 102
2.4 - Modelos para fluxos de ligação.............. 105
2.5 - Equações de coordenação de área múltipla.... 109
2.6 - Negociações de intercâmbio....................113
BIBLIOGRAFIA....................................... 118
Apêndice I - Ajuste de curvas de entrada-saída e
de curvas da taxa incrementai de ca­
lor nos dados do teste de entrada- 
-saída................................. 120
Capítulo 3 - TÓPICOS SOBRE A SEGURANÇA DA OPERAÇÃO--- 125
3.0 - Introdução.................................... 125
3.1 - Regimes de operação das partes componentes
do sistema.......................... 125
3.2 - Fatores de distribuição - Mudança de ge­
ração......................................... 139
3.3 - Fatores de distribuição - Saída de ramo..... 155
3.4 - Aplicações dos fatores de distribuição...... 161
3.5 - Estimativa de VAR/VOLTS com algoritmos de
Newton........................................ 175
3.6 - Fluxos de carga do operador.................. 179
Apêndice - Método para determinar o deslocamento
de geração remediador para a correção
da sobrecarga da linha................. 181.
BIBLIOGRAFIA....................................... 188
Capítulo 4 - MODELAGEM DE RECURSOS ENERGÉTICOS E
COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA................. 190
4.0 - Introdução .................................. 190
4.1 - Modelos hidráulicos.................. '...... 191/
4.2 - Modelos de carga para analise de, recur­
sos x carga ................................ 203
4.3 - Conceitos de coordenação hidrotérmica..... 211
Caso 1 - Sistema de duas usinas............ 212
Caso 2 - Operação de nivelamento da carga.. 214
Caso 3 - Coopdenação de altura fixa das
usinas hídricas e térmicas....... 217
4.4 - Modelos para a programação de armazena­
gem com bombeamento........................ 222
4.5 - Critérios para sistemas totalmente hidro­
elétricos................................... 238
BIBLIOGRAFIA...................................... 246
Apêndice I - A formulação variacional........... 248
Desenvolvimento da teoria......... 248
Problema ilustrativo do sistema.... 250 
Tratamento das restrições......... 25 3
Apêndice II - Métodos gradiente variacionais.... 254
Teoria.............................. 254
Algoritmo de hidroprogramação õ- 
tima................................ 255
Apêndice III"- Formulação da programação dinâ­
mica................................ 259
Desenvolvimento da teoria.......... 259
Problema ilustrativo do sistema.... 261
Apêndice IV - Programação hidrotérmica........... 269
Hidroconvencional.................. 270
Hidroarmazenagem bombeada......... 272
Capítulo 5 - PROGRAMAÇÃO DA GERAÇÃO.................. 2 75
5.0 - Introdução.................................. 275
5.1 - Modelos de reserva de geração e as
exigências................................... 275
5.2 - Métodos de custos de operação e de
partida
5.3 - Métodos de ordenação........................ 292
5.4 - Procedimentos de melhoria da seleção....... 306
BIBLIOGRAFIA....................................... 326
Apêndice I - Métodos lógicos de pesquisa para
determinar o melhor despacho para
uma unidade simples................ 32 8
Apêndice II - Método do gradiente para determi­
nar o melhor despacho para uma 
unidade simples
CAPITULO 1
CONCEITOS DE OPERAÇÃO ECONÔMICA
Seção 1.0 - Introdução e Escopo
Destina-se esta unidade do curso a dar uma in­
trodução à operação dos sistemas elétricos de potência, con 
siderando os aspectos que permitem à programação e ao des­
pacho irem, de um modo seguro e eficiente, de encontro âs 
contínuas variações na demanda de energia elétrica. Mais 
particularmente, estes capítulos considerarão a programação 
e o despacho de geração de energia associados com suprimen 
to de energia em blocos. Entre os tõpicos a serem conside­
rados estão métodos para o desenvolvimento de um despacho 
econômico, procedimentos para o planejamento das reservas 
de operação, ambas, tanto fria como girante, procedimentos 
para o despacho econômico em sistemas interligados e méto­
dos para a estimativa de perdas na transmissão.
0 Capítulo 1 considera a operação de usinas de 
geração de energia como um processo contínuo ou em fluxos 
que converte recursos de um dado valor em energia elétrica 
para transmissão até pontos de distribuição da energia em 
blocos. A operação econômica de um sistema de energia en­
volve a questão de alocação de fontes e meios de geração 
que vão de encontro âs demandas. Tal alocação precisa con­
siderar os preços variáveis dos combustíveis, a variedade
de eficiências entre usinas, e os meios de transmissão ' da
- 1 2 12 energia eletrica. ' '
Seção 1,1 - Descrição da entrada-saída
A descrição de uma usina de energia como um 
processo começa com a especificação da energia de entrada 
requerida para produzir uma quantidade de energia elé­
trica como saída. Tal informação é obtida fazendo uma se­
rie de testes em estado permanente em uma planta de ener­
gia. Fazendo testes em vãrios níveis de entrada para a usî 
na, ê possível desenvolver uma curva de entrada/saída como 
a ilustrada na figura 1.11 para o gerador com turbina de 
vapor movida por combustão de material fõssil.^ ^ ^
Entrada-Saída líquida 
Figura 1.11
A ordenada na figura 1.11 mostra a entrada de combus 
tível convertida de libras/hora ou toneladas/hora para 
seu valor equivalente de aquecimento em termos de milhões 
de Btu por hora. A abscissa ê estabelecida em termos de 
saída integrada por hora em quilowatts ou quilowatts hora/ 
hora.
O termo saída líquida foi selecionado para enfatizar a dife­
rença entre a real saída do gerador,, como seria medida por 
um medidor de quilowatt hora colocado nos terminais do gera 
dor, e o balanço da entrada/saída de energia que seria obti 
do desenhando uma linha imaginaria ao redor da usina e me­
dindo a entrada de combustível para a estação e a saída de 
energia elétrica sobre as linhas de transmissão de energia. 
A diferença entre a saída total e a saída líquida é repre - 
sentativa da energia requerida para acionar os vários equi­
pamentos auxiliares requeridos pelo gerador com turbinas a 
vapor gerado por combustão de material fóssil. Exemplos des 
ses equipamentos auxiliares incluemas bombas dos condensa- 
dores de água fria e as bombas de alimentação da caldeira , 
pulverizadores de combustível, ventiladores e precipitado - 
res.
Da curva de entrada/saída,um parâmetro comum utiliza 
do para descrever o desempenho de uma unidade geradora ê a 
taxa de calor que ê a relação para uma saída líquida especd. 
ficada da entrada em Btu/hora dividida pela saída em quilo­
watt hora. A taxa de calor, então, ê uma medida da eficiên­
cia da estação térmica produtora e é, de fato, geralmente 
expressa em Btu/quilowatt-hora. É computada pela divisão do 
conteúdo total de Btu do combustível queimado por um perío­
do especificado(ou do calor liberado por um reator nuclear) 
pela resultante dos quilowatt-hora gerados. Taxa de calor 
líquida = I/P líquida.1.10. A curva da taxa de calor para o 
exemplo mostrado na figura 1.11 é ilustrada na figura 1.12. 
Vai ser notado que a taxa de calor ê mínima no ponto de me­
lhor eficiência da operação para o gerador com turbina mo­
vida a caldeira.
A taxa de calor depende da eficiência da caldeira 
da turbina, do gerador e do Ciclo de Rankine descrevendo a 
operação do sistema de vapor por combustão de material fós­
sil, assim como das necessidades de energia para o equipa - 
mento auxiliar, tal como bombas de alimentação, ventilado - 
res, etc.
Figura 1.12
A taxa de calor constitui um meio conveniente para 
comparar a performance entre as varias usinas e para auxili­
ar na determinação de quais usinas devem ser colocadas em 
serviço para suprir uma determinada carga. É necessário um 
parâmetro adicional quando desejamos considerar o despacho 
de várias usinas sincronizadas. Para este propósito, a ta­
xa incrementai de calor ê o parâmetro mais ütil. A taxa in 
cremental de calor é formada tomando-se a razão do aumento 
adicional na entrada,requerido para alcançar uma variação 
adicional na saída, isto ê, a inclinação da curva de entra 
da de calor para a saída elétrica é conhecida como taxa in 
cremental de calor. A determinação
Taxa incrementai de calor = dl/jr% 1.11dP
da taxa incrementai de calor para o conjunto gerador-turkâ 
na-caldeira ilustrado na figura 1.11 ê transportada para a 
figura 1.13 mostrando uma área de taxas incrementais de ca 
lor para esta unidade. A taxa incrementai de calor tem a 
propriedade de que a área sob a curva da taxa incrementai de 
calor represente a modificação na entrada entre dois níveis 
de saída. Por exemplo, na figura 1.13, a diferença na en-
d
l/
 d
P 
B
tu
/k
W
-h
trada requerida para produzir uma saída de uma hora no ní­
vel P^ comparada com a do nível ê igual à ãrea achurea-
da mostrada. Esta ãrea representa a diferença na taxa de 
entrada de energia.calorífera no nível de saída de potência 
de P^ megawatts sobre a taxa de entrada de energia para o
nível de saída de P^ Megawatts.
TAXA INCREMENTAL DE CALOR 
Figura 1.13
Vamos repetir,para enfatisar, que a curva da taxa in­
crementai de calor ê,na realidade, a inclinação da curva de 
entrada/saída. Taxa incrementai líquida de calor = dl/dP ; 
Btu/KwHr.
A taxa incrementai de calor, a taxa de calor e as 
curvas de entrada/saída, têm significado primeiramente co­
mo medidas do grau de performance em estado permanente. De­
ve-se tomar cuidado em interpretar adequadamente o efeito 
de mudanças rápidas nas condições de carregamento em um 
conjunto gerador-turbina-caldeira para levar em conta os e-
feitos transitórios de mudanças no armazenamento de calor. 
Métodos para determinar as taxas incrementais de calor vão 
ser discutidos com mais detalhes no capitulo 2.
Antes de fazermos algumas considerações sobre o des 
pacho de unidades comprometidas, vamos primeiro definir u- 
ma propriedade que vai ter grande utilidade na discussão 
do despacho. Uma curva de entrada/saída ê convexa em um in 
tervalo, digamos P . até P como mostra a figura 1.14 ,
se, e somente se, dois pontos arbitrários, e P2' podem 
ser escolhidos em qualquer parte do intervalo, ata
Pmax' ta:*-s <ãue a int^^P°lação por linha reta entre o ponto 
P^ e o ponto nunca subestimara a curva de entrada/saída.
Notemos que uma linha reta da função entrada/saída vai ser u- 
ma forma limitante da curva convexa.
Figura 1.14
Curvas de entrada/saída para unidades de geração por 
combustão de material fóssil não são necessariamente conve 
xas. Turbinas desenhadas com um arco parcial de admissão 
de vapor exibem características de entrada/saída que não 
são convexas. Como cada válvula ê "fendida",os resultados 
da aceleração são um aumento adverso na entropia no fluxo 
de vapor através da válvula "fendida". A entrada resultan­
te requerida por unidade de saída ê maior neste ponto, no 
qual a válvula ê fendida, "ponto da válvula", do que para 
as posições de válvula com menos estrangulamento.
A figura 1.15 ilustra a influência das perdas de es­
trangulamento sobre uma unidade geradora de turbina a vapor 
por combustão de material fóssil.
d l/d P
TAXA INCREMENTAL OE CALOR I - ENTRADA M B tu /h
Figura 1.15
Ilustração de uma Função Entrada/Saída Não-Convexa 
Causada por Perdas de Aceleração da Válvula.
A curva entrada/saída para uma unidade geradora po­
de ser convertida para uma "curva de custo de combustível" 
ou custo de produção em dõlares/hora para uma dada saída 
em MWhr/hr, multiplicando a taxa de entrada de calor I pe­
lo custo por unidade de calor para o combustível empregado 
(dõlares/MBTU). Taxa de Custo(F(P)) em dõlares/hora = pre­
ço do combustível(dõlares/MBTU) Entrada(MBTU/hora)
F(P) = ai 1.12
Do mesmo modo,um custo médio de produção para ener­
gia, F/p, dõlares/M^^r pode ser formado pelo produto da ta
xa de calor e do preço do combustível.
Jp =
Custo Medio de Produção = al/p = F/p $/MWh
( 1.13)
Com significado para o despacho econômico é o cus­
to adicional de produção, comumente designado como "custo 
incrementai", formado pelo produto do preço do combustível 
e da taxa incrementai de calor:
dF _ . dl ç, 
dP dP *xMWh (1.14)
Notemos que o Custo Médio de Produção e o Custo Incre 
mental de Produção estão na mesma proporção que a taxa de 
calor e a taxa incrementai de calor respectivamente.
O Custo Médio de Produção e o Custo Incrementai de 
Produção para uma unidade são dependentes do carregamento 
da unidade e são como a taxa de calor e a taxa incrementai 
de calor, iguais em um ponto de carregamento da unidade, o 
ponto de melhor eficiência da operação.
0 custo adicional do combustível pode ser expressa 
do em milésimos de dolar por quilowatt-hora ou dólares por megawatt- 
hora, assim, o custo incrementai de combustível no ponto 
de melhor eficiência para o gerador-turbina-caldeira ilus­
trado na figura 1.11 seria US$ 2,70 por megawatt-hora como 
mostra a figura 1.16 para um preço do combustível de 30 
centavos por milhão de BTU.
Figura 1.16
Os custos do combustível formam a principal parte 
dos custos de produção associados com um gerador com turbi^ 
na a vapor por combustão de material fóssil. Os custos ad.i 
cionais de produção incluem mão de obra e suprimentos asso 
ciados com a manutenção e a operação. Em alguns casos, es­
ta parte dos custos adicionais, que variam com a saída,tem 
sido considerada como um ajuste de uma porcentagem fixa 
aos custos dos combustíveis para operação da usina; em ou­
tros casos, eles têm sido ignorados e o despacho ê feito 
com base somente nos custos incrementais dos combustíveis.
Custo de Produção: F(P) = Fator de Ajuste x Preço 
dos combustíveis x Taxa de Entrada de Calor = Ajuste x a x I
(1.15)
É uma pratica comum representar o preço do combuíB 
tível por seu valor em centavos por milhão de Btu, assin^ 
em um ponto de entrega,o carvão pode custar, digamos, 20-46 
centavos por milhão de Btu, o gãs natural 30-45 centavos 
por milhão de Btu, e óleo com pouco residual de enxofre 50 
-60 centavos por milhão de Btu, considerando que o combus­
tível de jato ou o combustível da turbina a gãs podem atin 
gir de 80-90 centavos por milhão de Btu. O custo do combus 
tível no ponto de entrega precisa ser ajustado para refle­
tir oscustos de tratamento e de manuseio do combustível.
0 custo deve também refletir créditos para a venda de sub 
produtos da combustão como compostos sulfüricos recuperá­
veis e cinzas da combustão de materiais fósseis, e refle­
te débitos devidos aos custos variáveis da eliminação dos 
produtos de combustão não recuperáveis.
Com relação a plantas nucleares, despesas de car 
regamento de materiais físseis formam uma parte proeminen 
te dos custos de operação. Segue-se, portanto, que o "cus 
to do combustível" para combustível "queimado" em um rea­
tor nuclear depende da programação para a substituição de 
materiais físseis, do total do material queimado dentro 
do programa e do líquido de créditos menos débitos para o 
combustível gasto e os produtos residuais. Tipicamente,cus
tos com combustível nuclear podem variar de 16 até 20 cen­
tavos por MBtu.
Seção 1.2- Modelos para Usinas Hidráulicas
Os modelos de entrada-saída com geradores de tur­
binas acionadas hidraulicamente são usualmente expressos 
em termos de taxa de fluxo de agua como entrada( no nível 
especificado) e cavalos-força da turbina como saída. Com 
o conhecimento da eficiência do gerador, são disponíveis 
curvas da taxa de fluxo de água versus saída em megawatts 
para a geração por turbinas acionadas hidraulicamente,como 
ê ilustrado nas referências 4,5,6e7. A referênci.a 7 ilus­
tra o uso das curvas de taxa incrementai de agua expressas 
em armazenamento em pês acre versus megawatt-hora de gera­
ção em níveis especificados. Modelos de entrada-saída para 
a geração com turbinas acionadas hidraulicamente freqüente 
mente empregam coeficientes de conversão de água,como 
lustrados nas Referências 5 e 8. Os efeitos do nível 
algumas vezes aproximados pelo uso de curvas relacionadas 
com as estações do ano, "curvas de guia". Sob essa condi - 
ção, os coeficientes de conversão da variação sazonal da ã- 
gua podem ser aplicados para predizer a saída da geração 
para um dado volume de entrada de agua. Hã uma analogia es 
pecífica que pode ser notada, com as aproximações utiliza­
das, com a geração por turbinas acionadas a vapor por com­
bustível de material fóssil, em que os efeitos da tempera­
tura da água de refrigeração do condensador que afetam as 
pressões posteriores da turbina variam de acordo com as es 
tações do ano e estes efeitos são aproximados por ajustes 
sazonais das curvas de entrada-saída preferencialmente ao
tratamento da temperatura do condensador ou da pressão pos«terior do condensador como uma variável na previsão da cur 
va entrada-saída.
O conjunto turbina-bomba aplicado em projetos de 
armazenamento oferece um interessante desafio em que a cur
va de entrada-saída pois tal unidade precisa incluir tanto 
a ãrea do primeiro quadrante da taxa de entrada de água 
versus a salda em megawatts, como uma ãrea do terceiro qua 
drante ilustrando a entrada de bombeamento para o reserva­
tório superior versus a entrada de energia para a bomba do 
motor. A curva de entrada-saída para uma turbina-bomba ê i. 
lustrada na figura 1.21 e as taxas incrementais de agua pa 
ra tal instalação, na figura 1.22 (10,11).
BOMBA - TURBINA 
ENTRADA - SAÍDA
Figura 1.21
Despacho da geração por turbina acionada hidrau­
licamente com geração por turbina acionada com vapor por 
combustão de material fóssil tem sido feito por técnicas 
que desenvolvem um valor equivalente para a futura capabili- 
dade de substituição do combustível do armazenamento de e 
nergia hidráulica. Métodos para o despacho hidráulico vão
ser considerados no Capítulo 4 juntamente com as técnicas 
para a determinação do valor equivalente de substituição 
de combustível de um armazenamento de energia hidráulica , 
na seção de programação hidráulica.
BOMBA -TURBLNA 
TAXA INCRE MENTAL DE AGUA
Figura 1.22
Seção 1.3- Despacho Economico- Igual Carregamento Incremen 
tal.
Para ilustrar os princípios envorvidos na progra­
mação ou no despacho com igual carregamento incrementai, 
consideremos o problema de uma carga alimentada por dois 
geradores em uma sõ barra como é ilustrado no lado esquer­
do da figura 1.31.
Suponhamos que a capacidade das duas unidades gerado­
ras conectada à barra seja suficiente para satisfazer as 
necessidades de reserva e carga. Cada unidade geradora tem 
um ponto de carga mínima e um ponto de carga máxima. Há 
muitos modos pelos quais a saída do gerador N9l mais o ge-. 
dor N92 seria suficiente para alcançar a carga, L. 0 locus 
desses modos ê esquematizado como a linha de carga mostran 
do PI + P2 = L, na porção superior direita da figura 1.31. 
Neste esquema,, a saída de energia do gerador n9l é mostra­
da como a abcissa,e a saída do gerador n?2 como a ordenada. 
Os pontos de operação aplicáveis para os geradores 1 e 2 
ficam dentro do retângulo pontilhado, formado pela saída 
máxima e mínima para o gerador n9l e a saída máxima e míni­
ma para o gerador n92. Assim, o locus dos pontos aplicáveis 
de saída do gerador, que satisfazem a demanda L /sâo mostra­
dos pela porção da linha inclinada que fica dentro do re­
tângulo pontilhado.
Figura 1.31
Exemplo de Despacho por Dois Geradores
Consideremos agora que as características dcPcusto incremen - 
cal para os dois geradores são do modo que são mostradas 
na figura 1.32. A curva de custo incrementai para a entra- 
da/saída, para a unidade 1 aparece no lado direito e para 
a unidade 2 no lado esquerdo. O preço dos combustíveis e 
as características do custo incrementai dos dois geradores 
vêm a seguir:
C
U
S
TO
 
IN
C
R
E
M
E
N
T
A
L
- 
S 
/M
W
-
CUSTOS INCREMENTAIS DE COMBUSTÍVEL PARA O EXEMPUD DE DESPACHO P/DOIS GERADORES
Figura 1.32
Gerador 1 
Pmin = 80 MW
Pmax = 400 MW
Custo de Produção: F^(P^) = 150+P^(2,00+0,00125 P-^)$/h
Custo Incrementai:
dP n
2,00 + 0,0025 Px
Preço do combustível: 30 centavos/MBtu
$/MWh
Gerador 2 
Pmin = 60 MW
Pmax = 300 MW
Custo de produção: F2 (P2)= 100+P2 (2,3 + 0,0015 P2)
dF (P )
Custo Incrementai: ------- = 2,30 + 0,003 P_
- ^ 2
Preço do Combustível: 32 centavos / MBTU
Consideremos um despacho teste com o gerador 1 
carregando 400 megawatts e o gerador 2 carregando 200 mega 
watts para atender uma carga total de 600 megawatts.Sob es 
tas condições, o custo operacional para o gerador 1 seria 
1150 dólares/hora e para o gerador 2,620 dõlares/hora,para 
um custo total de operação de 1770 dõlares/hora. Neste pon 
to da operação, o custo incrementai para o gerador 1 seria 3 dólares/ 
MW hora e, para o gerador 2, 2 dólares e noventa centavos/MW hora. A- 
gora, desviemos o despacho nos dois geradores para o ponto em que o 
custo incrementai dos dois ê o mesmo. Por meio de grafico ou por 
meios algébricos lineares pode-se determinar que o ponto 
de custo incrementai igual para estes dois geradores, para 
uma carga total de 600 megawatts, ocorre em um custo incre­
mentai de 2,9545 dõlares/megawatt hora.Pai^a este custo in­
crementai de combustível, o gerador 1 teria uma saída de 
381,818* megawatts e o gerador 2, 218,182 megawatts.O des­
vio na programação traz uma redução de 54,1337 dólares/ho­
ra na operação do gerador 1 e um aumento de 53,2230 dólares 
/hora na operação do gerador 2 para um custo líquido de o 
peração de 1.769,0909 dólares por hora.
Nota-se que as economias podem ser vistas no 
grafico da figura 1.32, comparando-se a ãrea achureada no 
plano do gerador n?l com a ãrea achureada no gerador n9 2. 
Enquanto o custo incrementai para operar o gerador n9 1 
for maior que para o gerador n9 2, uma redução na carga no 
gerador 1 e a correspondente elevação desta na unidade 2 , 
vai resultar em uma nítida redução no custo da operação.
* - Precisão de 3 e 4 decimais somente com propósitos didã 
ticos.
A redução torna-se progressivamente menor quando os custos 
incrementais de operação para as duas unidades aproximou- 
se do mesmo valor. No ponto do custo incrementai igual , 
2,9545 dõlares/megawatt hora, uma mudança muito pequena na 
saída de qualquer usina equilibrada por uma mudança corres 
pondente na saída da outra usinavai resultar em nenhuma 
alteração no custo de operação. Assim, o ponto no qual am­
bas as usinas operam com igual custo incrementai e o que ê 
conhecido como um ponto estacionário, no qual pequenas mu­
danças ou pequenas perturbações do despacho sobre o ponto 
de custo incrementai igual, que satisfaz os requerimentos 
da demanda, vão resultar em pequenas mudanças de segunda 
ordem no custo de operação. Desse modo, a inclinação de va 
riação do custo com a perturbação ê zero no ponto de opera 
ção incrementai igual*
Na carga total de 600 megawatts,o custo incrementai 
para os dois geradores carregando a carga combinada de 600 
megawatts, foi 2,9545 dólares por megawatt hora. É interess 
sante notar que se as cargas fossem aumentadas levemente , 
uma boa estimativa de custo adicional para produzir
*- Matematicamente falando, as condições necessárias e su­
ficientes para um ponto extremo, custo mínimo de entrada 
de combustível para alcançar a saída de 600 megawatts, ê 
que as usinas operem em um ponto estacionário ou, neste ca 
so, em um ponto de igual custo incrementai. Isso decorre 
das propriedades de funções convexas objetivas; a soma dos 
custos de entrada para as duas plantas mais uma constante 
arbitraria vezes a restrição linear da demanda formam uma 
função convexa da geração das usinas. Das propriedades das
funções convexas,particularmente o teorema de Kuhn e 
9Tucker , a condição de igual custo incrementai representa as 
condições necessárias e suficientes para um extremo no cus 
to operacional. Se uma curva de entrada-saída falha no tes 
te de convexidade,então,as condições de custo incrementai 
igual seriam necessárias mas não suficientes para estabele 
cer um extremo no custo de operação.
uma carga adicional em excesso de 600 megawatts seria pre­
visível pelo produto da mudança de carga vezes 2,9545 dõla 
res por megawatt hora. Para ilustrar este ponto consideremos 
um aumento de um megawatt na carga total. As condições de 
operação para um mínimo estacionário neste caso mudam a
carga no gerador 1 para 382,3634 megawatts e no gerador 2 
para 218,6365 megawatts. 0 novo custo incrementai neste 
ponto, seria 2,95591 dólares. 0 novo ponto de operação vai 
ter um custo de operação de 1772,0459 dólares. Comparando 
estes resultados ao ponto de operação prévio para 600 mega 
watts, nota-se uma mudança de 2,9550 dólares no custo de o 
peração total por hora. Assim, o custo incrementai no des­
pacho mais econômico tem freqtientemente indicado o preço a 
ser pago pela compra do próximo megawatt hora de energia , 
isto ê, o preço de equilíbrio relativo para gerar esse me­
gawatt hora de energia em um sistema próprio e para com­
prar esse megawatt hora de energia de uma fonte externa.Se 
o preço oferecido pela fonte externa é menor que 2,9545 do 
lares por megawatt hora, seria mais econômico comprar do 
que gerar essa energia. Se, entretanto, o preço externo 
for maior que 2,9545 dólares por megawatt hora, seria mais 
vantajoso gerar este pequeno aumento de energia pelo siste 
ma comprometido.
Vamos recapitular as idéias que foram discutidas. Co­
meçaremos com as comparações de despachos alternativos 
que devem ser feitos na mesma base, isto ê, na mesma carga.
O termo restrição de demanda tem sido aplicado para
esta condição. Em segundo lugar, quando as funções entrada 
/saída para cada usina são convexas, então, a condição ne­
cessária e suficiente para que ocorra o despacho econômico 
é que o custo incrementai para cada saída da usina seja o- 
brigatoriamente o mesmo, considerando que a soma das saí­
das das usinas iguale a geração desejada. Em terceiro lu­
gar, a mudança no custo da operação devido a mudanças na 
geração desejada e muito aproximada pelo produto do custo 
incrementai no despacho mais econômico vezes a mudança na 
geração desejada em megawatt hora. Por convenção, o custo 
adicional no ponto estacionário e denominado, X , assiiry a 
condição para o valor estacionário ou despacho econômico 
para o sistema c duas máquinas pode ser expressada como 
mostrado ia equa io 1.300
dF0 (P9)
— = X ( 1.300 )*
dP2
Geração desejada = DG ( 1.310 )
A equação 1.300 e considerada como a equação de co­
ordenação e a equação 1.310 como a restrição de demanda pa 
ra a condição de despacho econômico ignorando as perdas da 
transmissão.
Seção 1.4 - Despacho Econômico - Efeito das Restrições de 
Carga do Gerador
• Suponhamos que a geração desejada tenha sido aumentada 
para 650 MW. A inspeção da figura 1.32 vai revelar que um 
despacho incrementai igual,na geração desejada de 650 MW , 
não ê possível sem violar o limite superior de carregamen­
to, 400 MW, no primeiro gerador.
Para ilustrar este ponto, consideremos o que acontece 
ao carregamento mais econômico nos geradores 1 e 2 enquan­
* - Condição para um valor estacionário para geradores que 
não estão bloqueados em um limite de carregamento.
dF1 (P1)
dPT~
P1 + P2
to a geração desejada ê modificada de 600 para 650 MW; co 
meçemos o estudo no ponto de geração desejada de 600 MW. 
Uma mudança de 0,01 dólares/ MW hora no custo incrementai 
viria corresponder a aumentos de carga de 0,01/0,0025 ou 
4 MW no gerador 1 e, 0,01/0,003 ou 3,333 MW no gerador 2 
para um aumento de 7,333 MW no sistema de geração. Assim, 
para pequenas mudanças na geração desejada nota-se que o 
gerador numero 1 deve suprir 4/7,333 ou 54,54% da mudança 
desejada, e que o gerador numero 2 deve elevar 3,333/7,333 
ou 45,45%. Desse modo, notamos que a mudança no custo in­
crementai pela mudança de 1 MW no sistema, de geração dese 
jada ê 0,01/7,333 ou 0,0013636 dõlares/MWh /MW.
Estas mudanças incrementais estão diretamente rela 
cionadas com as inclinações das curvas de custo incremen­
tai no despacho econômico de referencia ou "ponto base" pa 
ra cada unidade geradora. Assim, o fator de participação e 
conômica para o gerador 1 pode ser determinado como se se­
gue, dada a referencia ou ponto base.
Passo 1; encontre as mudanças do custo incremen - 
tal para aumentos pequenos 6P^ , ôP^ nas saídas dos gerado
res e coordene os aumentos <$P̂ , SP^/ tal que as mudanças
de custo incrementai sejam iguais:
(1.400)
Agora encontre a mudança correspondente na geração desejada 
do sistema:
<5 DG = 6P1 + 6P2
d Fl<pl)
dP, 2
Então, determine a mudança no custo incrementai por mudança 
de 1 MW na geração desejada:
a (Pj) d V P2>
dP 2
(1.420)
= 1/ (1/0,0025 + 1/0,003) = 1/733= 0,0013636 $/MWh/MW
(1.4^1)
Note que a segunda derivada do custo de entrada é uma cons^ 
tante nesse exemplo.
Passo 2: encontre a participação porcentual para ca­
da unidade participante:
í ! i
6DG x 1 0 0 (1.430)
. dP.
x 1 0 0
(1.440)
( -Q--Q0 2 5 ) ( 0,001364 ) x 100 = 54,54% (1.441)
62 i
6DG
x 1 0 0 (1.450)
(1.460)
= ( ) ( 0,001364 ) x 100 = 45,45% (1.461)0,003
Agora,comece o exercício com a geração desejada no 
sistema em 600 MW, tal que a referência ou ponto ba-
se para o despacho econômico de geração e 318,818MW para o 
gerador n9 1 e 218,181 MW para o gerador n9 2.
Utilizando os fatores de participação econômica jã 
determinados, vamos ver quais seriam os carregamentos das 
unidades para os vários níveis do sistema, de geração dese 
j ada.
TABELA I - Pontos Base de Geração
Geração Mudança na Alocação da mudança Ponto base da Geração
Desejada geração Econanica
desejada Gerador Gerador Gerador Gerador
1 2 1 2
MW MW m MW m MW
600 0 0 0 381,818 218,181
610 + 1 0 5,454 4,545 387,272 222,726
620 + 2 0 10,909 9,090 392,727 227,271
630 +30 16,363 13,535 398,181 231,716
633,333 +33,333 18,181 15,1515 399,999 233,333
640 40 18,182 21,818 400,00 240
650 50 18,182 31,818 400,00 250
Note-se que,quando a geração desejada no sistema al­
cança 633,33 MW,o carregamento econômico no gerador 1 igua 
la seu limite de carregamento de 400 MW. Qualquer aumento 
na geração desejada no sistema além de 633,333 MW teria 
que ser carregado pelo gerador n92. No nível de geração de 
sejada acima de 633,333 MW, o limite superior de carrega 
mento no gerador n91 torna-se uma " restrição ativa".Como 
resultado, o custo incrementai para o gerador n91 não ê 
mais igual a A, o"custo incrementai do sistema", mas ê in­
ferior a ele. Consideremos a condição na geração desejada de 
650 MW, 400 MW no gerador 1 e 250 MW na unidade 2 como mos 
tra a Tabela I. O custo incrementai para o gerador n91 vai
ser 3,00 dõlares/MW hora. Neste nível de geração desejada, 
o custo incrementai do sistema,X, vai ser 3,05 dólares/MW 
hora,jã que qualquer mudança pequena na geração desejada 
precisa ser carregada pelo gerador n92.
Sendo assim, a condição custo incrementai igual para 
despacho ótimo mantem-se somente para unidades geradoras 
livres para serem despachadas, isto ê, unidades geradoras 
que não estão bloqueadas em um limite de carregamento. Co 
mo resultado, precisamos aumentar a condição para o valor 
estacionário como ê dado na equação 1.300 pelas seguintes 
condições, para geradores bloqueados nos limites de carre 
gamento superior e inferior:
Condições para Despacho Econômico, perdas de transmis 
são negligenciadas:
1) Para geradores "j” que não estão no limite de car­
regamento superior ou inferior:
d F ( P ^
dP .D
(1.470)
2) Para geradores "u" que estão bloqueados no limite 
de carregamento superior: P^ = Pmaxu
(1.471)
dPu
3) Para geradores "a" que estão bloqueados no limite 
de carregamento inferior: P^ = Pmin^
dF*(p«>
~ is\ ~
> X (1.472)
Seção 1.5 - Despacho Econômico - Perdas Incrementais de 
Transmissão
A representação de perdas de transmissão torna 
-se significante para o despacho quando a razão da energia
suprida em um barramento gerador, para a energia recebida 
em um barramento específico de carga, difere consideravel­
mente para os vários barramentos geradores na área de des­
pacho . Consideremos um estudo do fluxo de energia de transfe­
rência de pequenos aumentos de energia através de uma rede 
de transmissão. As transferências devem ser feitas com to­
das as outras cargas e as potências dos geradores mantidas 
constantes, assim como todas as tensões dos geradores que 
também devem ser mantidas constantes. Vamos considerar ôP^
como mudança no gerador "i" para entregar 6R para o barras
mento S . Em geral, a razão ôRg/ 6P^ vai ser menor que a
unidade se a transferência incrementai envolver um aumento
nas perdas do sistema,e vai ser maior que a unidade se a
transferência resultar em uma diminuição nas perdas do sis;
tema. Agora, façamos a mudança nas perdas do sistema para
a transferência incrementai ser <5P_ , tal que a estimativa
Lis
para a energia suprida, a recebida e o custo seja dada como:
6 P. = ô P. l L. + 6 R ( 1.500 )is s
e
<5 P.L.
1 is ( 1.501 )
ô Rs
No limite, quando a transferência de energia torna-se arbitraria 
mente pequena,a relação 6 Rg / 6 toma-se:
ou para primeira ordem: 
6 R = G. 6P.Cf 1 C 1
( 1.502 )
Agora, suponhamos que o custo incrementai do barramento pa­
ra energia suprida pelo barramento gerador "i" seja Cl.
A notação (1 para indicar o custo incrementai de barramento no 
barramento "i" ê utilizada para dar meios para distinguir entre o cus­
to incrementai do barramento e o custo incrementai da unidade geradora, 
dF ~Vai ser considerado, a nao ser que se diga o contrario, que as u-* 
nidades geradoras conectadas ao mesmo barramento elétrico vão ser to­
das carregadas ao mesmo custo incrementai. Assim, o custo incrementai 
do barramento para suprir o próximo pequeno aumento na energia do bar­
ramento "i" ê Cl. Este aumento vai ser dividido entre as unidades ge­
radoras conectadas ao barramento "i", tal que o despacho incrementai i 
gual seja mantido entre essas unidades livres para serem despachadas.O 
custo de suprir <5Rg para o barramento s do barramento gerador "i" seria:
ô R 6 R
6 Custo. -C. IP. = C. ( 1.503 )
I S
e o custo incrementai de potência recebida no barramento s seria
( 1.504 )(Cs’i
« y i 6 R
<S Custo.
-1 = C./G.r is
Agora suponhamos que outro barramento, "j” também possa suprir po­
tência para "s". O custo incrementai de suprir energia para s de "j"é
(C ) . Se (C ) e (C ) são iguais, então, os barramentos geradores
j S j S i
"i" e "j" estão coordenados com relação à entrega de energia para o 
barramento "s".
Por comparação de (C ) e (C ) , a decisão pode ser feita de
s i s j
modo a determinar qual o gerador que deve suprir o próximo aumento 
na energia para o barramento s.
As unidades geradoras no barramento "i" e barramento "j" estão
coordenadas se em cada barramento o custo incrementai de produção da
unidade, dF/^, ê igual ao custo incrementai do barramento, C, e se
(C ) e (C ) são iguais ao custo incrementai no barramento, C :s . s . s
dFPara cada unidade no barramento "i", livre para despacho, =(y 
e para cada barramento
C./ G. ' = C./ G. = C 1 is j js s (. 1.5Q5 l
Neste ponto podemos afirmar uma condição geral para operações 
coordenadas de um conjunto de unidades geradoras com curvas convexas 
de entrada - salda. Uma área de despacho esta operando em um despacho 
econcmico se , e somente se, o custo de entrega de um aumento infini- 
tesimal de energia para qualquer barramento selecionado arbitrariamen 
te na ãrea é o mesmo para qualquer unidade geradora na área livre a 
ser despachada.Notemos que 1.505 é verdadeira para qualquer barramen­
to "s" e, portanto, deve ser verdadeira para todos os barramentos.
A recíproca de G^g ê frequentemente designada o fator de penali
dade, PF. , com referencia ao barramento s. rs
Unidade : $ x PF. = CdP is s
Barramento : PF. C. = C ( 1.5Q6 )rs í s
Modelos de perda são convenientemente desenvolvidos para presun 
ções especificas com relação às tensões do barramento e fatores de po 
tência. O modelo de perda de " coeficiente B" faz a presunção de " um
centro de carga hipotético" e os fatores de penalidade estão relacio­
nados com esse centro de carga hipotético. Cem esse modelo de perda , 
o custo no centro de carga hipotético sob as condições de operação 
coordenada ê X sem sub-índice, tal que a equação coordenada para uma 
unidade no barramento i torna-se
PF dFi dP. 1
X ( 1.507 )
onde
PF.í 1/ (1-
8 PL 
8 P.l
( 1.508 )
Seção 1.6 - Efeitos das Perdas de Transmissão no Despacho 
Econômico - Exemplo Numérico
*2*V>
© :
v
1
■ 100 millw* j
)— S =0,014 p.U. pa 
100 MVA bo— { ■ 4
©
o»
SISTEMA SIMPLES 290 KV
«2
Figura 1.61
As equações coordenadas para este sistema são
dF, 9 P,__± + p -- —dPx 2 8 Z>± = CL
^2
dP0
( 1.601 )
= CL
Não considerando o efeito de carregamento, as perdas da linha de 
transmissão são:
PL = |I| X R = P1 - %
Eí
2 „ 2 2 P1 + Q1x R = -- i-,--,— x "R
2 2 , vao geralmente ser muito menores que 6,0011
da por unidade é aproximadamente:
PT = R P,2 = 0,014 P 2li X ±
= 1,0, a per
( 1.602 )
onde P^ é a entrada para o barramento L por unidade, PL sãc 
as perdas por unidade e
9 P 9 P
■5-=^ = ---- = 0,028 P. ( 1.603 )
1 a p x
i o aumento das perdas de transmissão por unidade de inje­
ção de potência no barramento 1 ( uma quantidade sem dimen
são ). Com as características do gerador, como na Seção 1.3, 
páginas 18 e 19, as equações (1.601) tornam-se:
2.0 + 0,0025 PL + C2 (0,028 x P ^ = C2
( 1.604 )
2,3 + 0,003 P 2 = C 2
Para o gerador 1:
2.0 + 0,0025 Px
c 2= ------------—
1 - 0,028 Px
Assim, as equações coordenadas são:
2,0 + 0,0025 Pĵ
— - ç,
- 0,028 P ^
C
U
ST
O
 
IN
C
R
E
M
E
N
TA
L 
D
E 
E
N
E
R
G
IA
 -
 S
 /
( 
M
W
h
/M
W
)
2,3 + 0,003 P2 = c2 ( 1.605 )
A figura 1.62 mostra o custo incrementai (C p a r a a potên
cia suprida para a carga pelos geradores 1 e 2. A linha 
pontilhada mostra o custo incrementai para o gerador 1 com 
perdas de transmissão não consideradas.
É aparente que com perdas de transmissão incluídas se 
ria econômico desviar a geração da unidade 1 para a unidade 
menos eficiente 2 que estã mais próxima da carga.
P - s a íd a l íq u id a d o GERADOR — MW 
CUSTOS INCREMENTAIS PARA UM SISTEMA DE DOIS GERADORES
Figura 1.62
A figura 1.63 mostra o despacho econômico como uma função 
da carga total. O despacho obtido pelas perdas de transmi£
D
ES
P
A
C
H
O
S
 
P.E 
P~
 
-
 
M
W
são não consideradas ê mostrado para comparação. ( A figura 
1.63 ê obtida diretamente da figura 1.62 projetando e
Bjpde C igual versus a carga L = P^ *+ p^ - 0,014 P1 x 1Ò0.
Por exemplo, o despacho econômico para uma carga total de 
500 MW ê resumido abaixo. A economia no custo dos combustí. 
veis, pela inclusão das perdas de transmissão na equação 
coordenada, ê também avaliada.
DESPACHO ECONÔMICO COMO FUNÇÃO DO NÍVEL DA CARGA
Figura 1.63
1 - Perdas de Transmissão não Consideradas 
Px = 335 MW
P2 = 181 MW
L = pi + p2 " 0,014 x x 100 = 500,2885 ~ 500 MW 
Custo de Produção:
F1 = 150 + 335 ( 2 + 0,00125 x 335 ) = 960,30 $/h
F2 = 100 + 181 ( 2,3 + 0,0015 x 181 ) = 565,44 $/h
F1 + F2 = 1.525,74 $/h
2 - Perdas de Transmissão Incluídas
Px = 290 MW
P2 = 222 MW
L = p! + p2 ~ 0,014 P 2 x 100 = 500,2260 ~ 500 MW
Custo de Produção:
Fx = 150 + 290(2 + 0,00125 x 290) = 835,13 $/h 
F2 = 100 + 222(2,3 + 0,0015 x 222) = 684,52 $/h 
F1 + F2 = 1.519,65 $/h
As economias pela inclusão das perdas de transmissão 
são 1.525,74-( 1519,65 + 0,17 ) = $ 5,92/hora ou aproxima 
damente 0,4 %. ( 0,17 dólares compensam para a diferença 
de fração na carga suprida nos dois casos ).
As equações (1.602) e (1.603) podem ser reafirmadas 
mais geralmente:
= B11
3 P 
3""p
L
1
a p
*-FL - 2Bn 5i
onde representa os dados do sistema, neste caso a re­
sistência da linha. A derivação de uma formula aproximada 
para perdas incrementais para um sistema geral com multi-
barramento ê oferecida no Apêndice II. A fórmula tem a for 
ma
nPL = Z i=l
n
2 P . P. B ., k=l i k ík
n
.I, P.B. + B i=l 1 ío oo ( 1.606 )
3PL
9Pi
= 2B..P . +li 1 2? B., P, + B.k=l xk k 10 
k^ i
2Ã i Bikpk < 1-607 >
onde P^P^. s^° Potências de barramento e ê um elemento
da assim chamada Matriz dos coeficientes B introduzida por 
Kron em 1951. ( Referência 13 ). O cálculo eficiente dos
demais elementos da matriz B ê o oferecido na referência
16.
As equações coordenadas para cada unidade de geração, 
"iu", no barramento i aparecem como:
dF
dPiu
X ( 1.608 )
onde
unidade n
P. = 2*4 n ( 1.609 )Í JLU ,unidade 1 no barramento í
3Pte, substituindo o termo da perda incrementai — ±i p0r 1607,
api
dF
dP. + XIU
Seção 1.7
(2J i Bil A + Bl°’ * * ' 1,6101
- Solução da Equação de Coordenação - Métodos de 
Gauss-Seidel
Suponhamos que alguém procura meios para solucio
nar o sistema de equações coordenadas 1.610 ilustradas na 
seçlío 1.5 para um sistema de n - usinas com um modelo de 
perda de transmissão por coeficiente B e com curvas de cus 
to incrementai como ilustrados na figura 1.71.
As equações de custo - saída correspondendo aos segmen 
tos da taxa incrementai de calor na figura 1.71 são ilu£ 
tradas nas equações 1.700 e 1.701 para um caso de duas plan 
tas. As equações coordenadas são mostradas nas equações 1.703- 
1.706. Notemos que a parte do custo incrementai deste sistema 
de equações foi modelada por segmentos lineares, onde os coe 
ficientes dos termos lineares vão depender do nível da ope 
ração das unidades geradoras. Com o propõsito de ilustrar, 
o sistema vai ser composto de duas usinas geradoras com u- 
ma unidade geradora em cada usina.
F1<P1> ■ F10 + F11P1 + \ F12p J ( 1.700 )
F2(P2) = F20 + F21P2 + | F22P2 ( 1.701 )
Consideremos uma formula de perda associada com as duas usinas
PL ' B11P? + + B22P2 ( 1.702 )
A equação coordenada torna-se:
F11 + F12F1 + 2 X <B11P1 + B12P2> = X ( 1.703 )
F21 + F22F2 + 2 a B̂12P1 + B22P2* = A ( 1.704 )
Figura 1.71
Remanejando 1.703 e 1.704 para desenvolver ex­
pressões explícitas para de 1.703/e para P2 de 1.704:
te com a saída da unidade geradora ê representada pela se­
gunda derivada dos termos de perda quadrãticos e pela incidi 
nação da curva de custo incrementai. A curva de custo incre 
mental mais os termos lineares em perda, na realidade,for­
mam um sistema de equações algébricas lineares por partes. 
O método de solução para o despacho que satisfaz as equações 
coordenadas e que satisfaz as demandas da carga precisa 
ser um método que possa tratar a solução, por partes, de e 
quações lineares.
O método de Gauss - Seidel ê um método que tem sido 
utilizado com sucesso para a solução das equações coordena 
das. 0 procedimento computacional ê aplicado para a 
áolução de um despacho econômico, como ê ilustrado na figu­
ra 1.72. Em particular, essa discussão centraliza-se em tor 
no desta parte do procedimento computacional chamada a So­
lução Gauss - Seidel das Equações Coordenadas. Vamos con­
siderar que um valor tenha sido designado para X. Gostaria 
mos agora de encontrar os valores das saídas dos geradores 
que vão satisfazer o sistema de equações lineares coordena 
das 1.705-6. A formula de perda para o sistema de transmiss 
são ê dada na equação 1.707.
1.705 )
1.706 )
A parte da equação coordenada que varia linearmen
PL = 0,0000677P^ + 0,0000332P1P2 + 0,0000638P2
( 1.707 )
A determinação dessa formula de perda ê dada no Apêndice 
III.
Quando aplicado ao despacho econôn.Tco/o método iterati- 
vo de Gauss - Seidel determina uma variável de potência de 
cada vez. Cada equação coordenada é utilizada para solucio 
nar a potência na usina para a qual a equação coordenada 
se aplica. Isto assegura um sistema de equações com termos 
mütuos lineares positivos para potência; isso ê um requi. 
sito essencial na aplicação do método de Gauss - Seidel.
Para iniciar a resolução vamos encontrar, sucessiva - 
mente, novos valores de e P2 considerando que as condi­
ções iniciais são uma afirmação arbitraria P^ =0, P^ = 0.
A equação 1.705 antecipa a utilização de Gauss - Seidel:to 
dos os coeficientes de P^ têm sido combinados em um termo
que aparece no lado esquerdo da equação. Todas as outras 
potências, nesse caso P2, foram colocadas no lado direito;
todas as variáveis no lado direito vão ser tomadas como os 
valores iniciais ou presumidos. Um valor para P^ ê agora 
encontrado, o qual satisfaz a equação 1.705 com P2 = 0. Este 
valor de P^ ê agora substituído de volta na equação coorde
nada 1.706,que foi resolvida para P^ cm termos de P^. Uma 
solução para P^ ê procurada, de modo que satisfaça a equa­
ção 1.706, que ê a equação coordenada para a usina 2. A 
primeira iteração de Gauss - Seidel esta agora completa.
Com o novo valor de P2,o procedimento ê repetido novamente.
O procedimento ê continuado atê que nenhuma mudança sensí­
vel ocorra nos valores sucessivos para P^ ou P2 -
Saída de erro
Figura 1.72
Estudo Típico do Algoritmo de Despacho Econômico
O procedimento ê convergente para^problemas de despa 
cho econômico, desde que os segmentos de curva de custea in 
cremental não tenham partes planas. As curvas de custo in 
cremental que têm passos planos requerem métodos de uni­
formização tais como o ajuste exponencial em cada nova po 
tência estimada para assegurar estabilidade. 0 seguinte 
exemplo ilustra o calculo manual de uma repetição para e
P2,utilizando ò método de Gauss - Seidel.
Consideremos um valor de custo incrementai que tenha si­
do selecionado como 2,5477 dôlares/MW h . Notamos que este 
valor foi obtido no decorrer de um despacho das usinas 1 
e 2 para alcançar a carga de 500MW dado o preço do combus­
tível de 0,25 $/MBTT para a unidade 1 e de 0,30 Í/MBTU para a uni­
dade 2. Vamos considerar o carregamento mínimo para as tentativas i- 
niciais de P^, ,P£
P1 = 80 MW P2 = 60 MW
Pára a usina 1, 1.705 toma a seguinte forma:
(0,25 I12 + (2) (2,5477) (0,0000677))PX = 2,5477 - 0,25 I £
- (2) (2,5477) ( 0,0000332 ) (60)
Nao podemos, explicitamente, assinalar valores pa­
segmento da curva da taxa incrementai de calor vai requerer 
a solução para P^. Para facilitar a solução, dividir pelo 
custo unitário do combustível, 0,25:
Para selecionar o segmento correto da curva da taxa 
de calor da figura 3.11 rearranjar 1.708 na forma
ra I12/ *1 1 ' enquanto ainda não estamos seguros de qual
(I12 + 0,00138)Px 10,1503 - I ( 1.708 )
= 10,1503 - 0,00138 P
Tentar 350 <_ £ 375 como o intervalo. Para este intervalo,
os coeficientes para1 ^ e I ilustrados na figura 1.71 
são
I11 = 9'3429
I12 = (11,4571 - 9,3429)/25 = 0,0846
dlj/ dPx= 9,3429 + 0,0846 (P - 350)
Substituindo esses valores em 1.708
0,0846(P^ - 350) + 0,00138 Px = 10,1503 - 9,3429
P1 - 350 = (0,8074 - 0,00138 x 350)/ 0,08598 = 3,78 
ou = 353,78 MW. Desde que este valor para P^está dentro
dos limites, aceitamos a solução.
Notar que o valor de I^2 determinado e aplicado é re­
ferido ao lado esquerdo do intervalo 350 £ P-̂ £ 375.
dl
dP
1
1
9,3429 + 0,0846(P1 - 350)
Agora, substituir este valor de P^ na equação 1.706.
Para facilitar os parenteses do intervalo para P2, réescre
ver 1.706 como: 
dl0
0,30 + 2 (2,5477) (0,0000638)P2 = 2,5477 - 2(2,5477)
aP2 (0,0000332) (353,78)
ou
dl0
-s— =• + 0,001083 P0 = 8,300 (1.709)dP2 2
Supor que 150 <_ P2 £ 200 e obter da figura. 1.71
corrigir a saída dos geradores para que os mesmos atendam 
à carga. Algumas vezes, valores arbitrários são considerados e, en­
tão, a correção é determinada pela interpolação ou extrapolação line­
ar, dependendo de quão grande foi o valor arbitrado comparado com o 
erro final, Esse método tem sido utilizado com sucesso em programas de 
despacho econômico; despachos econômicos sucessivos dão um 
meio de projetar a mudança na saída versus mudança no cus­
to incrementai do sistema. A curva de saída versus o custo 
incrementai dá os meios para a correção linear de A. Veja 
CORR ilustrado na figura 1.72.
Retornando à figura 1.72, nota-se que um laço duplo for 
ma o cálculo do despacho econômico total. O laço interno ê 
a iteração de Gauss - Seidel para resolver as equações co­
ordenadas para valores específicos de custos incrementais. 
0 laço externo varia o custo incrementai para satisfazer a 
demanda. Uma vez que esse custo incrementai apropriado te­
nha sido selecionado, então satisfaz a demanda e pode ser 
resumido como o despacho mais econômico para satisfazer as 
demandas de potência. Notemos que o cálculo da demanda vai en 
volver a soma das saídas do gerador, a diminuição das per­
das para aquelas saídas dos geradores e a comparação de 
carga líquida entregue com a carga desejada. Dado este pon 
to básico ou ponto de referência para o despacho, ê possí­
vel, como ê ilustrado na seção 1.4, predizer à primeira or 
dem,o que uma mudança pequena na demanda vai requerer do 
despacho econômico. A taxa da mudança na saída do gerador 
com relação a demanda tem sido designada como " fator de 
participação econômica". A utilização do cálculo do ponto 
base e do fator de participação econômica então permite a 
investigação do efeito no despacho de pequenas mudanças na 
demanda. Para aplicações on-line,o método do ponto base e 
de participação dá um meio de predizer, para a primeira or­
dem, ccmo o despacho do sistema deve mudar para acompanhar as 
mudanças na demanda do sistema.
Seção 1.8 ~ Aplicações On-Line
A discussão na seção 1.7 está relacionada com a solu-
ção das equações coordenadas para cargas específicas. Em #uma situação em linha ou operante, a carga ê raramente medi. 
da e não pode ser inferida diretamente de medidas da gera­
ção sobre o sistema. Conseqüentemente, um enfoque alterna­
tivo ê utilizado para gerar despachos econômicos. Desde 
que as perdas representam uma parte pequena da geração to­
tal sobre um sistema, ê razoável utilizar a geração total 
do sistema como um " numero da geração desejada". Alêm disi 
to, para aplicações em linha,o despacho ê realizado para u- 
ma geração desejada igual à soma da geração real no siste­
ma, mais o requisito da área,como ê ilustrado na equação 
].800.
Despacho para a geração desejada:
N
DG = 7 PGA. + A.R. MW ( 1.800 )
±=i 1
Requisito da Ãrea:
AR = IE - KfAf MW ( 1.801 )
Erro de interconexão:
IE = Intercâmbio Líquido Programado - Intercâmbio 
Real Líquido
= Distorção de Freqüência MW/0,1 Hz ( 1.802 )
Af = Freqüência Real - Freqüência Desejada
Para despachar a geração desejada empreguemos o modelo total 
de carga requerida nas equações coordenadas, como ê ilustra 
do na equação 1.803.
a
dl .. __1
3 dP. 
3
+ X ( 1.803 )
O típico algoritmo de Despacho Econômico para apli­
cações em linha ê ilustrado na figura 1.81. Uma técnica 
discreta é ilustrada para correções estimativas para o cus
to incrementai sat ■ fazer a geração desejada. Sobre um 
despacho dado no custo incrementai X, um novo despacho ê 
feito em X + AX, onde AX é escolhido para dar um aumen­
to na creração desejada com variação de 0,5% a 2%. Um modo 
especialmente -simples ê manter a tabela de custa incremen­
tai passado bem como de geração desejada. Entãp,o fator de 
correção ê tomado como a razão da mudança na geração dese­
jada dividida pela mudança no custo incrementai,como ilus­
trado na figura 1.804.
"CORR" ê o termo de "sensibilidade" a ser utilizado como 
feed-back multiplicador para o procedimento repetitivo.
Consideremos a freqüência com que os despachos econòimi 
cos são requeridos nas aplicações em linha: Não é necessá­
rio, em uma base de segundo em segundo,realizar continuamen 
te despachos econômicos. É preferível que os despachos eco 
nômicos sejam preparados cada 5 a 15 minutos de acordo com 
o ponto base e fatores de participação econômica, e estes 
fatores utilizados para projetar o despacho para : .ter o 
sistema em primeira ordem na base de operação econômica.
Fatores de participação econômica podem ser determi­
nados pela mesma técnica que a utilizada para corrigir o 
custo incrementai para atender a geração desejada. Por exem­
plo, um desvio no custo incrementai, correspondente a uma mudan 
ça estimada na geração desejada de, digamos, dois por cento, 
ê utilizado para desenvolver desvios de geração para todas 
as unidades geradoras livres para participar:
CORR = ADG/AX ( 1.804 )
ÔX = 0,02 x DG/CORR ( 1.805 )
Despachos são formados por^reduções 
X- = X - ôX ( 1.806 )
e aumentos
X = X + 6X
no custo incrementai*
( 1.807 )
i 1 (jura 1.81
Despacho econômico típico para aplicações em linha
Vamos considerar 6P. eD-
potência de saída individual 
mudança no custo incrementai
respectivamente. Consideremos
ôPj+ como sendo os desvios na
do gerador correspondendo à 
de X para X_ e de X para X+ ,
<5 DG_ = I<5P ■
L 3 " ( 1.808 )
6DG+ = £<SP .
L 1 + ( 1.809 )
Define-se fatores de participação econômica como a 
proporção de mudança da unidade geradora com 6X em relação 
à mudança total na geração desejada.
epfj_ = 6Pj _/6DG_ ( 1.810 )
e?fj+ = ÔPj+/ÔDG+ ( 1.811 )
Mudanças positivas e negativas nos fatores de partici 
pação econômica são introduzidas para permitir o reconhecí 
mento de tais efeitos como limites de carregamento da uni­
dade geradora e mudanças na inclinação das curvas das taxas 
incrementais de calor.
Vamos ver como o fator de participação econômica ê u- 
tilizado. Suponhamos que, como resultado de um despacho e- 
conômico,um conjunto de valores de geração ê encontrado e 
tem uma soma igual à geração desejada, e satisfaz indiv.i 
dualmente as equações coordenadas para um custo incrementai 
especificado. Suponhamos que o calculo do despacho econômico 
foi realizado com alguns minutos de antecedência. No tempo 
atual, a geração total terá se desviado ou para cima ou pa­
ra baixo dos valores desejados no momento do despacho econômico. Se o 
desvio na geração desejada é pequeno, então, o desvio na geração indi­
vidual da unidade pode ser previsto pela utilização dos fatores de par
ticipeição econômica. Isto ê, os delta P são dados na equa 
ção 1.812. A nova geração,por unidade,desejada ê,então, a 
soma dos desvios na geração, mais a antiga geração no ponto ba­
se estabelecida pelo despacho econômico, como ê ilustrado 
na equação 1.813.
AP . = 1
P . = 1
epf±_ ADG
epfi+ -ADG
Pi base + APi
(ADG< 0) 
(ADG> 0) (1.812)
(1.813)
A figura 1.81 dã um resumo dos passos contidos 
em um programa de despacho econômico em linha para alcançar 
os pontos base e os fatores de participação econômica; notemos, 
na parte superior do diagrama,que este programa é freqüen- 
temente iniciado por um lapso de tempo ou por uma mudança 
degeração, ou de acordo com as requisições do despachante.
0 primeiro passo ê retificar a geração histórica e possi­
velmente as leituras em megawatt da interconexão, para for 
mar valores aplicáveis ao pequeno intervalo de tempo adian 
te. Produtos de termos de perda envolvendo valores fixos 
de geração e de elos, que não se espera variarem no 
próximo período, são então formados de uma sõ vez e colo­
cados a parte. A geração desejada é formada e o custo incre 
mental ê atualizado a partir do último valor obtido,no de_s 
pacho econômico anterior. Então,os limites permitidos nas 
mudanças do carregamento para a geração,com controle basea 
do no intervalo de tempo aplicável, são estabelecidos. É im 
portante reconhecer este ponto, tal que a geração por com­
bustão de material fóssil, que sõ pode mover 1 a 3% por mi. 
nuto, não seja convocada para mover nada além do permitido 
durante o próximo intervalo de tempo, entre sucessivos d e s _ 
pachos econômicos. As equações coordenadas são agora resol 
vidas para os pontos base de geração, para o custo incremen 
tal especificado, pelos métodos de Gauss - Seidel. Esta i- 
teração ê utilizada até que a previsão da geração não mude 
sensivelmente de uma iteração de Gauss - Seidel para a prô
xima.
A seguir,o erro ou diferença entre a geração deter 
minada para o custo incrementai dado e a geração desejada 
é testado para verificar se um despacho satisfatório jãfoi 
alcançado. Se isso não ocorrer,o custo incrementai ê ajus­
tado baseado no fator de correção CORR e no erro existente. 
Uma vez que o erro esteja dentro da tolerância, os valores 
de geração determinados pelas equações coordenadas são as­
sinalados como pontos base e os fatores de participação e- 
conômica então são determinados para cada unidade sob con­
trole .
Deve ser evidente que o total do calculo necessá­
rio para determinar a geração unitária desejada para acom­
panhar mudanças na carga, em uma base de segundo em segun­
do, ê mais simples de realizar do que seria uma se­
rie de despachos econômicos. A justificativa para esta 
conclusão resulta da linearização das equações coordenadas 
sobre um dado ponto base de operação. Assim, a técnica ê 
restrita a relativamente pequenas mudanças na geração dese 
jada, usualmente da ordem de 1 a 3%. Na seção 1.4 foi iluŝ 
trado um exemplo em que o intervalo de aplicação de fatores 
de participação cobria uma porção substancial do real in­
tervalo de carregamento das unidades de geração. Isto ocor 
re porque a curva de custo incrementai para cada unidade e 
ra uma linha reta. Curvas segmentadas e limites de carrega 
mento das unidades servem para encurtar o intervalo de apli_ 
cabilidade dos fatores de participação econômica.
Consideremos que o resultado de um despacho em linha 
dos dois geradores, exemplificados na seção 1.7,ê como ê da
na tabela que vem a seguir •
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) CUSTO 1/PF
1 80,0 400,0 353,625 830,606 0,946864
2 60,0 300,0 158,292 467,216 0,968062
TOTAL = 511,917 MW. CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA=2,547746
Suponhamos,a seguir, que os despachos econômicos a- 
dicionais foram feitos em A = 2,490 e X = 2,6 06 dõlares/MWh, 
dando respectivamente
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) iCUSTO l/PF
1 80,0 4 00/0 356,159 836,788 0,946258
2 60,0 300,0 166,166 486,848 0,966970
TOTAL = 522,325 MW. CUSTO INCEEMENTAL DO SISTEMA= 2,606000
GERADOR PMIN PMAX PG ÕTIMA
N9 (MW) (MW) (MW) CUSTO - l/PF
1 80,0 400,00 351,110 924,605 0,947463
2 60,0 300,00 150,467 448,125 0,969142
TOTAL = 501,577 MW .CUSTO INCREMENTAL DO SISTEMA = 2,490000
Dos despachos adicionais temos os seguintes fatores de par
ticipaçao
ePfi+ = 0,24346 ePf!_ = 0,24323
epf2+ = 0,75653 ePf2- = 0,75676
Pbase-^= 353,625 MW
Pbase2= 158,292 MW
Agora, suponhamos a geração desejada do sistema
da da soma de Pbase^ + Pbase^ = 511,917 para 532,708 
P1 = (0,24346) (20,791) + 353,625 = 358,687 
P2 = (0,75653) (20,791) + 158,292 = 174,021 
Um despacho econômico para esta geração desejada dà
ria
V 1 = 358,689 
P2 = 174,019
Seção 1.9 - Resumo de Notação e Relações Oteis
Entrada - Saída:
Saída P MW
Entrada I(P) MBTU/h
Exemplo: Função Quadrãtica Simples
I(P) = Aq + AXP + \ A2 P2
Taxa de Calor:
HR = I(P)/ (1.10)
Exemplo: Função Quadrãtica Simples 
HR = Aq/P + A1 + \ A2P
A
A Taxa de Calor, Mínima em = 0 = - —j + 1/2 A^ , desde
que o ponto de inclinação zero fique dentro do intervalo
de carregamento permitido.
Taxa Incrementai de Calor:
Taxa Incrementai de Calor = ^ ̂ (1.11)
dP
Exemplo: — = A, + A^P 
dP
Custo de Produção:
F(P) = Preço do combustível x Taxa de Entrada 
= a x I (P)
Exemplo: F(P)= Preço do Combustível x 
x (A0 + AlP . i A 2 P Í
(1 . 12)
Custo Incrementai:
dF(P) 
dPCusto Incrementai: ■■ = Preço do Combustível x
d K P ) = 
x dP c
Exemplo: = a x (A^ + a 2P)
Custo Incrementai do Barramento: C
(1.14)
Equações Coordenadas sem Perdas de Transmissão:
Para unidades de geração livres para programação:
dF . (P .)— 3—— 3— = xdP.
3
(1.47)
Para unidades de geração bloqueadas no limite de carrega­
mento superior
dF (P )
— %■■■ — < A : P = PmaxdP ' u uu
(1.48)
Para unidades de geração bloqueadas no limite de carrega­
mento inferior
dEV EV
dP „ > A; P^ = Pmin£ (1.49)
Equações coordenadas com perdas de transmissão
Fator de penalidade com referência ao barramento s:
PFls ' V ( 1 - = 1/G.I S (1.508)
PL = Função das Perdas de Transmissão
Unidade de geração livre para programação 
dF. (P.)
PFls T f - = Cs <1.50^)
Unidades de geração bloqueadas no limite superior
PF
dF (P ) u u
us dPu ^ Cs;
Pmax • u
Unidades de geração bloqueadas no limite inferior
dW
PF*s -aarf i cs'-p* Pmin^
Equações coordenadas com o método de formula de perda e a 
presunção da carga conforme, oara distribuição de carga:
dF.íu
dP.íu
+ X Ü L8P.l
= X (1.608)
P . = Unidade no barramento gerador iíu ^
Pi = ^piu (1.609)
Unidade no barramento i
X = Custo incrementai no centro de carga hipo 
têtico..
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APÊNDICE I
mStodo de lagrange para determinar um extremo oom restrições
Dado um custo de operação do sistema, S.O.C., como 
a soma dos custos de operação C ^ P ^ d o s geradores comprome­
tidos i = 1,2 -- NGEN:
NGEN
S.O.C. = l $/h
i—1
dada a restrição de demanda, que a carga mais perdas ê satis 
feita pela soma das saídas dos geradores comprometidos 
NGEN
l P± = Carga + PL 
i=l
onde P ê a perda de transmissão considerada aqui como.sen- 
do uma função da geração; então, a primeira condição neces­
sária para que um despacho de geração seja o mais econômico, 
sendo que o despacho satisfaz a restrição de demanda,ê que 
exista um multiplicador X tal que a seguinte função denomi­
nada Lagrangeana, ^ , seja estacionaria com relação às varia­
ções nas variáveis independentes P^, — P^, — PNGEN:
NGEN NGEN
+ X Carga + P - £ P.
L i=l 1
i= 1,2 — NGEN
Isto leva à condição
i
para i— 1,2, — NGEN
De um ponto de vista geométrico, o multiplicador 
X ê um fator de escala que relaciona a variação de custo de
usina ôP±.
Imaginemos o custo de operação do sistema como uma 
superfície em um espaço multidimensional de dimensões NGEN+ 
+ 1. Enquanto cada despacho de (P^,— P^,— Pn GEN^ feito, o
custo de operação do sistema,resultante, definirá um ponto 
na superfície.
Agora, no mesmo espaço multidimensional,imaginemos 
uma área da geração menos as perdas para o despacho corres 
poridente. Assim, também formar-se-ia uma superfície. Em 
um nível na área correspondente à carga especificada como 
"LOAD", o locus dos despachos que satisfazem a restrição de 
demanda formaria uma "linha" no espaço. No despacho mais 
ecônomico ao longo da "linha” de demanda,a direção do gra­
diente da superfície de restrição da demanda deve ser para 
leia ao gradiente da superfície de custo de operação do 
sistema.
bida (1- ) 6P^ para uma mudança pequena no despachõ da
i
APÊNDICE II
DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DE UMA FÓRMULA DE PERDAS
Equações da Matriz para as Perdas do Sistema
Perdas em um ramo (liijKa)
Figura II-l
Se todas as correntes dos ramos (linhas) (I^em um sistema de 
"b" ramos são conhecidas, as perdas ativas totais do sistema 
são:
b 2
P = l (|l.| R.) (II.1)
^ i=l 1 1
onde "b" ê o número total de ramos. Perdas reativas são si 
milarmente:
° L - ! 1 ' l I i | 2 (II.2)
As perdas complexas totais são,então:
SL = PL + ^QL V
Se AE^ e a tensão através do rarao i:
(II.3)
SL = PL +
b
= Ii=l
l± (sEl) (II.4)
As equações(II.1)ate(II.4)expressam as perdas em 
termos de valores de ramo. Entretanto, as perdas da re­
de podem ser expressadas também simplesmente em termos de 
valores de barramento.
Figura II-2
Considere-se a rede de 6 barramentos na figuraII- 
2. A caixa contêm todos os elementos em série da rede. As­
sim, as perdas totais da rede serão a diferença entre a e 
nergia suprida para a rede e a energia retirada da rede(ou 
a energia líquida suprida para a rede).
Mas, desde que a soma de todas as correntes que 
entram na rede é zero, uma corrente de barramento pode ser 
eliminada como uma variável independente. Nõs vamos elimi­
nar a corrente no barramento 1 e chamar esse barramento de 
barramento referência(R),como mostra a figura II.2.Então:
rR = h = - (12 + I3 + :4 + r5 + V ' - J 2 (II-6)
ER * E1
As perdas da rede são,então:
6
Ii=2- PL + jQL =j , V V + < 1 ( I i" V
'i*'11! ' V (II-7>
Isto ê, as perdas da rede igualam a soma dos produtos da 
corrente conjugada do barramento e do desvio da tensão do 
barramento referência(a barra de - referência pode ser arbi­
trariamente escolhida). A equação II.7 não inclui perdas 
em qualquer dos elementos de derivação. A potência reativa 
suprida pelo carregamento da linha ê levada em conta na re 
presentação das linhas por seus equivalentes tt e tendo seus 
efeitos incluídos na corrente de barramento 1^. A figura
II.3 mostra a composição da corrente de barramento em um 
barramento- gerador típico. A 'corrente de barramento em um 
barramento de carga contêm os mesmos elementos, com P + jQ 
então representando as quantidades de carga.
COMPOStÇÃO-GA CORRENTE- OÇ: BARRA EM UMA., BARRA OE GERAÇÃO
I------
Composição da Corrente de Barramento em um Barramento Gerador
Corrente de barramento = I = - -E (Y_, + icoC)---------------------- E* sh
Onde: C ê um meio da soma das capacitâncias da linha pa
ra todas as linhas conectadas ao barramento.
Y ^ representa outra possível admitância de deri­
vação.
A representação do sistema definido pelas figuras 
II.2 e II.3 ê a utilizada na definição da matriz de barra­
mento Z (mátriz de impedância nodal) descrita nos Capítu 
los 1 e 10 do curso de Analise de Circuitos de Sistemas de Potência. 
Para a rede na figura II.2, a matriz do barramento Z ê definida 
como se segue:
—
E2 ‘ e r Z22 Z23 Z26
E3 - e r Z32 Z33 — Z36
E4 - e r = • ' ‘
E5 - e r • •
E6 - e r Z62 Z63 — Z 6 6J
I2
I3
I4
I5
I
(II.8)
ou simbolicamente:
[E ' E J -
Utilizando os símbolos matriciais da equação (II. 8a),a per­
da complexa da potência da rede dada pela equação(II.7)pode 
ser escrita de dois-modos:
(II.8a)
1. Forma Linear:
SL -■ O * ? [E - E.
2. Forma quadrãtica:
■ H * [z
(II.9)
(II.10)
A equação (II.10) ê o ponto inicial para a deriva 
ção da fórmula de perda do coeficiente B. Um bom entendi­
mento desta equação bãsica e dos fundamentos da representa 
ção do sistema é requerido para comprender o restante des— 
te capítulo. Para a rede da figura í.2,a equação expandi­
da é:
7 22 Z23 — Z26
7 7 ---Z*32 33 *36
Z62 Z63 ' - Z66
I
I
2
3
I6
(II.10a)
Somente a porção real de ê de interesse no.despacho econômico.
PT = Re I* (II.11)
A Equação do Coeficiente - 3
Uma fórmula de perda pratica para a utilização no despa­
cho econômico de preferência não deve conter outras variáveis indepen 
dentes alêm da saída líquida de potência das usinas geradoras conside 
radas no problema do despacho. Uma equação que satisfaz este critério 
é a formula do coeficiente - B,
tPT = P B PL
Onde [p] ê o vetor coluna das potências dos geradores. Para um siste­
ma de três geradores, a equação desenvolvida é
B, _ B B.^ ’P ’
- -1 11 12 13 1
PL = _PlP2P3j B21 B22 B23 P2
B31 B32 B33_ P3_
Esta equação dã uma expressão exata às perdas totais de 
transmissão no estado específico do sistema base*,para o 
qual os coeficientes B são computados, e ê util na estima­
tiva das perdas durante os estados do sistema que diferem 
moderadamente do estado base.
* - Um Estado do Sistema específico ê definido dando a magnitude da 
tensão e. o ângulo em cada barramento no sistema. Isto, por sua vez,defi 
ne um único fluxo de corrente no sistema resultando em um único conjun 
to de fluxos de potência ativa e reativa em cada barramento. Em geral, um 
estado de sistema pratico ê unicamente definido pela especificação em 
cada barramento de duas das quatro quantidades | E |, ô (ângulo de tensão), 
P e Q. Este ê o procedimento utilizado quando especifica-se os dados 
de entrada para um programa de fluxo de carga. A solução do programa 
de fluxo de carga (solução do sistema)ê uma descrição completa do es­
tado do sistema.
A equação(II.12)pode também ser escrita(g geradores ):
(11.14;PT = l l P.B..P. 
L 1=1 k=l 1 lk k
da qual as perdas incrementais oodem ser derivadas, pressu-
9Bikpondo coeficientes B constantes --- = 0)
3P ^
— - = 2 l B.,P, 3P . , b lk ki k=l
(11.15)
ou na forma matricial:
ÜLap.i
= 2 B. n B . 0 íl i2 B . , -- B.lk ig :iI.16)
As duas equações (II.11) e (11.12)
PT = ReJL
t
Pr = P B PL
(11.11)