Aula-26-03-20 (1)

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FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 
Dúvidas: geraldo.krebsbach@up.edu.br 
 Considere uma superfície plana submersa em um líquido em repouso. Pelo Teorema de 
Stevin, a pressão exercida pelo líquido (pressão hidrostática ou efetiva) é diretamente 
proporcional à profundidade do ponto considerado: p = γ ∙ h. 
Caso a superfície seja vertical ou inclinada, a pressão em cada ponto da superfície 
variará linearmente com a profundidade. 
Assim, a pressão reinante sobre a superfície será variável. 
 
DETERMINAÇÃO DA INTENSIDADE DA FORÇA 
 
Lembrando da definição de pressão p = F / A, em que A é a área da placa, pode-se 
obter a expressão da força que age em cada ponto da superfície: F = p ∙ A, sendo assim 
também a força variável de um ponto para outro. 
Sendo a variação da pressão linear, é possível provar que a força poderá ser calculada 
a partir da pressão média, que age no centro geométrico da placa, que coincide com seu 
centro de gravidade, a se supor que a placa seja homogênea e de espessura constante. 
Assim: F = pmédia ∙ A, sendo pmédia = γ . hCG, em que hCG é a profundidade do centro de 
gravidade. 
F = pCG ∙ A = γ ∙ hCG ∙ A 
 
DETERMINAÇÃO DO PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA 
 
Considere particularmente uma 
placa com formato retangular (cujo 
centro de gravidade situa-se então no 
ponto de encontro das diagonais). 
Como referência, considera-se um eixo 
y, passando pelo CG, com origem na 
intersecção de tal eixo com a superfície 
livre do líquido, conforme mostra a 
figura. 
O ponto de aplicação da resultante das forças de pressão exercidas pela água sobre a 
placa denomina-se CENTRO DAS PRESSÕES (CP). A coordenada de tal ponto designa-se 
por 𝑦 ou por yCP e pode ser obtida pela expressão: 
𝑦!" = 𝑦!" + 
𝐼!"
𝑦!" ∙ 𝐴
 
em que ICG é o momento de inércia da placa relativamente ao eixo y. No caso da placa 
retangular 𝐼!" = 
!ℓ!
!"
, em que ℓ é o comprimento da placa (dimensão medida na direção do 
eixo y) e b é a sua largura (dimensão medida perpendicularmente ao plano do papel. 
 Sugestão para leitura: paginas 30, 31 e 32 do livro MECÂNICA DOS FLUIDOS, 2a 
edição, de Franco Brunetti, você encontrará a demonstração pormenorizada das expressões 
da força hidrostática e do seu ponto de aplicação. 
 
APLICAÇÕES 
A título de exemplo, serão resolvidos a seguir os exercícios de números 01, 02, 06 e 07 
da lista de exercícios 4, ficando propostos, sobre o mesmo tema, os exercícios de números 03, 
04, 05 e 08. 
Sugestão: Acompanhe explicações verbais das resoluções a seguir, assistindo o arquivo 
em Powerpoint com áudio que está sendo anexado na aba do 1o bimestre. 
 
01. (BRUNETTI – 2a edição – pg. 32) Na placa retangular da figura, de largura 2 m, determinar 
a força devida à água numa de suas faces e seu ponto de aplicação (γ = 10.000 N/m3). 
 
 Solução: 
Da figura: sen 30o = 1 / x = 1 / 2 => x = 2 m 
sen 30o = hCG / 4,5 = 1 / 2 => hCG = 2,25 m 
F = pCG ∙ A = γ ∙hCG∙A = 104 ∙ 2,25 ∙ 5 ∙ 2 = 225 kN 
 𝒚𝑪𝑷 = 𝒚𝑪𝑮 + 
𝑰𝑪𝑮
𝒚𝑪𝑮∙𝑨
, sendo: 
yCG = 4,5 m, A = b ∙ 𝓵 = 2 ∙ 5 = 10 m2 e ICG = b𝓵3 / 12 = 2∙53 / 12 = 20,83 m4 
yCP = 4,5 + 20,83 / (4,5∙10) = 4,96 m 
 
02. Na questão, anterior, estando a placa 
articulada em seu extremo inferior, apoiada em 
uma parede vertical lisa em seu extremo 
superior e considerando a existência de líquido 
apenas na parte superior da placa, determine a 
intensidade da força exercida na parede e as 
componentes horizontal e vertical das reações 
na articulação. Despreze o peso da placa. 
 
Solução: 
Da parede ao centro de pressões a distância vale d = 4,96 – x = 4,96 – 2 = 2,96 m 
A placa está em equilíbrio. Então: 
1o) ΣMFO = 0 
Tomando como positivos os momentos no sentido horário: 
+FP ∙ 2,5 – F(5 – 2,96) = 0 => 2,5 ∙ FP = 225 ∙ 2,04 => FP = 183,6 kN 
2o) ΣFx = 0 
Bx + F ∙ sen 30o = FP => Bx + 225 ∙ ½ = 183,6 => Bx = 71,1 kN 
3o) ΣFy = 0 
BZ = F ∙ cos 30o = 225 ∙ 
𝟑
𝟐
 = 194,85 kN 
 
06. (BRUNETTI – 2a edição – ex. 2.23 – pg. 57) 
Na instalação da figura, a comporta quadrada AB, 
que pode girar em torno de A, está em equilíbrio 
devido à ação da força horizontal F. Sabendo que 
γm = 80.000 N/m3 e γ = 30.000 N/m3, determinar o 
valor da força F. 
 
Solução: 
Chamaremos de M um ponto na interface dos líquidos e N um ponto no mesmo nível do 
ramo da direita. Igualando convenientemente as pressões ABSOLUTAS, com base na 
primeira consequência do Teorema de Stevin, temos: 
pN = p0 + γm . 0,6 
pM = p0 + γ .(𝓵 + 0,4), onde 𝓵 é a medida do lado da comporta quadrada. 
Assim: γ .(𝓵 + 0,4) = γm.0,6 
30.000(𝓵 + 0,4) = 80.000x0,6 
3𝓵 + 1,2 = 4,8 
𝓵 = 1,2 m 
Calculando a força devida ao líquido sobre a 
comporta: 
FL = pCG.A = γ .hCH. 𝓵2 = 30.000x(1,2/2)x1,22 = 25.920 N 
Calculando a coordenada yCP do centro de pressões: 
yCP = yCG + ICG/(yCG.A) = 0,6 + (1,24/12)/(0,6x1,22) = 0,6 + 1,22/(12x0,6) = 0,6 + 0,2 = 0,8 m 
A soma dos momentos de todas as forças que agem sobre a comporta, em reação ao 
ponto A deve ser nula. Tomando momentos horários como positivos, temos: 
+F. 𝓵 – FL.( 𝓵 – yCP) = 0 
+F.1,2 – 25.920(1,2 – 0,8) = 0 
1,2F = 25.920.0,4 
F = 8640 N 
 
07. (BRUNETTI – 2a edição – ex. 2.25 – pg. 57) A 
comporta AB da figura tem 1,5 m de largura e pode 
girar em torno de A. 
O tanque à esquerda contém água (γ = 10.000 N/m3) 
e o da direita, óleo (γ = 7.500 N/m3). Qual é a força 
necessária em B para manter a comporta vertical? 
 
Solução: 
A condição de equilíbrio é que A SOMA DOS MOMENTOS DAS FORÇAS EM RELAÇÃO 
À ARTICULAÇÃO SEJA NULA: 
Do lado da água: 
Fágua = pCG .A = γ .hCG.A = 10.000x4x2x1,5 = 120.000 N 
yCP = yCG + I/(yCG.A) = 4 + (bl3/12)/(4x2x1,5) = 
4 + (1,5x23/12)/12 = 4 + 1/12 = 49/12 m 
Do lado do óleo: 
Fóleo = pCG.A = γ .hCG.A = 7.500x1x2x1,5 = 22.500 N 
yCP = yCG + I/(yCG.A) = 1 + (bl3/12)/(1x2x1,5) = 1 + 
(1,5x23/12)/3 = 1 + 1/3 = 4/3 m 
Momentos: 
–Fágua.(49/12 – 3) + Fóleo.(4/3) + FB.2 = 0 
–120.000x13/12 + 22.500x4/3 + 2.FB = 0 
–130.000 + 30.000 + 2.FB = 0 
2.FB = 100.000 
FB = 50.000 N 
 
Para casa: Compreendidos os exemplos anteriores, faça (já!) os exercícios de números 03, 04, 
05 e 08, da lista 4. Semelhantes serão cobrados nas próximas avaliações. Forças sobre 
superfícies submersas é um tópico relevante da Hidrostática para a Engenharia.