Capitulo 1 - 2 - representacao e operacao com vetores

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Capítulo 1:
1.0 - Representação euclidiana dos Vetores Físicos:
 Até agora associamos os elementos de Rn com pontos de geometrias euclidianas, ou não, vamos agora introduzir as relações entre os vetores físicos e estas associações.
 Vimos também que, escolhido um ponto geométrico como origem, centro, podemos representar, a partir do mesmo, todas as classes de vetores.
 Consideramos este centro como a origem dos vetores e os demais pontos como a extremidade do vetor. Vamos associar os vetores físicos a n-uplas de Rn e a pontos de En.
1-1 - Vetores e o conjunto R, eixo real:
 Vamos considerar uma reta euclidiana e determinar um ponto na mesma como origem dos vetores colineares com a reta, ou seja, na mesma direção.
 Escolhendo um vetor da reta como unidade = , temos: a origem do vetor é associada ao número real zero, 0, e a extremidade à unidade real, 1, de maneira análoga ao que fizemos com a representação geométrica de R.
 Vide a figura a seguir:
Figura: 1.1/1:
 = 
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 r
 centro/origem unidade
 É usual, quando trabalhamos com vetores chamarmos as unidades vetoriais, os versores, de , , .
 Desta maneira podemos associar todos os vetores na direção de r, o sentido e o módulo são dados pelo número real associado.
 Observe a figura a seguir:
Figura: 1.1/2: = 
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 r
 
 O vetor tem a direção e sentido de = e modulo 3 e escrevemos: = 3..
 O vetor tem a direção de , sentido oposto e módulo 2 e escrevemos:
= -2..
- Eixo real:
 Desta maneira temos um eixo de vetores que está associado ao eixo dos reais.
 É evidente que, para cada direção escolhida, temos um eixo.
 Podemos também considerar o vetor como um operador, função, e no exemplo anterior podemos escrever: (0) = 3.
 É usual dizermos que somamos o ponto 0 ao vetor e obtemos o ponto 3 ou :
0 + = 3.
 Se o vetor for aplicado ao ponto A e associa o ponto B representamos por:
(A) = B ou ainda = B – A, e o módulo é dado por |B – A |.
 Ppor exemplo temos: (2) = 5 || = | 5 – 2 | = 3 e se (8) = 2 
 || = | 2 – 8 | = 6. 
 Seja (A) = B é muito comum indicarmos o vetor por: = , onde A é a origem e B a extremidade.
 Esta forma é útil em aplicações geométricas e considerar o vetor como um operador e é prática principalmente quando trabalhamos com geometrias não euclidianas e na Física.
 Vejamos um exemplo:
 Se a nossa “reta” é uma parábola e temos o conjunto dos reais associado, como já visto, podemos considerar os vetores como operadores conforme a figura a seguir:
Figura: 1-1/3: 
 0 
 2 Temos (0) = 2
 
 
 Este conceito de vetor, operador, pode ser utilizado inclusive em geometrias finitas. 
 Na prática utilizamos usualmente as representações euclidianas, pois elas possuem grandes aplicações nas engenharias, nos softwares gráficos e na maioria das representações do cotidiano.
 O leitor só deve tomar cuidado quando for trabalhar com grandes distâncias, no macro-cosmo e no micro-cosmo.
1.1.1 - Vetores e o conjunto R2:
 Seja um plano , euclidiano, e vamos escolher um ponto O para centro, origem, das direções dos vetores em .
 Vamos escolher dois eixos de vetores com origem em O, ortogonais com vetores unidades e dizemos que temos um sistema de referência.
 Tomemos um vetor conforme a figura a seguir:
Figura: 1.1.1/1:
 
 2 P(3, 2)
 1 1 2 3
 o(0,0) 
 O vetor possui origem em O ou no ponto (0, 0) e extremidade no ponto P ou (3, 2). 
 É usual chamarmos o par (3, 2) de o vetor v = (3, 2) sem a seta. 
 Desta maneira, trabalhando com o plano das direções, podemos associar cada vetor do plano a cada ponto do plano euclidiano e este a cada par de R2.
 Podemos trabalhar com os pares ordenados no lugar dos vetores e também utilizarmos os teoremas e propriedades da geometria euclidiana concomitantemente e aplicar as relações algébricas conhecidas.
 Devemos lembrar que na geometria euclidiana é válido o Teorema de Pitágoras, as relações trigonométricas, além de todas as representações geométricas das funções conhecidas desde o ensino médio.
 Este processo gerou o que chamamos de geometria analítica euclidiana, que estudaremos em detalhes.
Observação:
 Se considerarmos o vetor como um operador que associa o ponto O(0, 0), origem ao ponto P(3, 2) ou (0, 0) = (3, 2), podemos aplicar as representações anteriores de 2 numa superfície qualquer, não euclidiana.
 Analogamente, ao feito para podemos representar o vetor (A) = B por 
 = e seu módulo será dado por || = | B – A |.
 Por exemplo: se (0, 0) = (3, 2), temos || = | (3, 2) – (0, 0)| = |(3, 2)| e neste caso teremos que dizer como calculamos |(3, 2)|.
 Veremos adiante, nas relações métricas, que o cálculo desse módulo depende da métrica utilizada, ou seja, da geometria.
 Se for euclidiana utilizamos um cálculo, se for Riemanniana ou esférica, usamos outros.
1.1.3 - Vetores e Rn :
 Analogamente ao elaborado para o plano euclidiano, podemos escolher um ponto do espaço euclidiano En e escolher n direções distintas e gerarmos n eixos com versores , ,.....,.
 A origem dos vetores será associada ao ponto do espaço escolhido e será considerado como O(0, 0,....,0).
 Da mesma maneira já vista associamos as extremidades dos vetores aos pontos de En e às n-uplas de Rn e teríamos: u = (,,....,),.
 Temos então associados: um vetor, um ponto de En e uma n-upla de Rn e poderemos trabalhar com qualquer um deles.
 Se considerarmos o espaço euclidiano E3, podemos tomar um ponto de E3 como origem e três eixos ortogonais com versores , , e associarmos a uma terna de 3.
 Por exemplo: P = v = (2, 3, 4) significa que o ponto P de E3 está associado à terna (2, 3, 4) de R3 e ao vetor com origem em O(0, 0, 0) e extremidade em (2, 3, 4).
Observação:
1) Podemos tomar eixos não ortogonais, mas estas representações às vezes geram cálculos algébricos e geométricos mais complicados.
 Como é indiferente a escolha dos eixos, na prática, trabalhamos quase sempre com os eixos ortogonais.
 Veremos adiante como podemos mudar de eixos, no processo chamado de mudança de base.
2) Podemos continuar a considerar o vetor como um operador ou (0, 0, 0) = (2, 3, 4).
 Esta forma de considerar os vetores facilita quando trabalhamos com geometrias não euclidianas infinitas ou finitas.
3) Generalizando: Se tivermos dois pontos A = (,,....,) origem do vetor e
 B = (,,....,) extremidade do vetor escrevemos: (A) = B ou
(,,....,) = (,,....,) ou = B – A ou ainda 
 = (-,-,......,-).
 O cálculo do módulo do vetor dependerá da métrica ou da geometria estudada.
1.2: Operações com vetores:
 Vamosiniciar as operações com vetores com a Adição e usaremos como base os conceitos já conhecidos da Física do ensino médio.
 A definição a seguir é válida para a adição de vetores colineares, de um mesmo plano ou espaços de quaisquer dimensões.
 Usaremos a representação num plano, pois a folha que usamos é plana.
1.2.1 - Adição de vetores:
 Dados dois vetores e quaisquer conforme a figura a seguir:
Figura: 1.2.1/1:
 
 
 A adição dos vetores é obtida, definida, da seguinte maneira:
a) Escolhe-se um representante de um deles, no nosso caso , toma-se um representante do outro, , com origem coincidindo com a extremidade do primeiro assim:
Figura: 1.2.1/2: C
 
 A B 
b) O vetor soma = + , é o vetor com origem na origem do primeiro, , e extremidade na extremidade do segundo, , como na figura a seguir:
 Se o vetor = e o vetor = , então = + = 
Figura: 1.2.1/3:
 = + C
 A B 
 Veja os exemplos a seguir:
Figura: 1.2.1/4:	C
 
 = + A 	B
 A B C A B 
 = + = + 
 C 	C
 = + C A B
 A B = + 
 Sabemos da geometria euclidiana que duas retas concorrentes determinam um plano, logo a soma de vetores na geometria euclidiana é feita sempre num plano. A adição de vetores, usualmente, é feita no plano das direções, o que facilita a integração com as demais representações.
 Esta representação dá origem à regra do paralelogramo para a adição de vetores.
1.2.2 - Regra do paralelogramo:
 Sejam dados os vetores e vamos representá-los no plano das direções, escolhendo como origem o ponto O, conforme a figura a seguir:
Figura: 1.2.2/1:	B
 
 
 O 	A
 Traçamos pela extremidade de um representante de e pela extremidade de um representante de formando assim um paralelogramo, onde são válidas todas as propriedades e teoremas dos paralelogramos da geometria euclidiana.
 Obtemos a figura a seguir:
Figura: 1.2.2/2: B C
 = + 
 O	A
 
 A regra do paralelogramo nos dá de imediato uma propriedade da adição de vetores que é a comutatividade, pois da própria figura temos: + = + .
 Observe que quando usamos a regra do paralelogramo não temos:
 + = , pois temos + e não podemos determinar o vetor soma somente a partir dos pontos A e B.
 Dependendo do problema e dos vetores utilizamos a regra de Adição mais conveniente.
 A adição de mais de dois vetores é feita de maneira equivalente à dos números: soma-se dois, o resultado com o terceiro e assim por diante.
 Exemplos:
1) Sejam os vetores: 
 
 A soma será dada por:
Figura 1.2.2/3:
 +
 O (+)+
 
Exemplo 2: Sejam os vetores:
 
 
 A soma é dada por:
Figura: 1.2.2/4 
 	O	
 +
 
	(+)+ 
Observações:
1) Se os vetores são colineares não temos um paralelogramo e nestes casos utilizamos o processo anterior.
2) Quando trabalhamos com vários vetores é melhor utilizar o processo anterior.
Exemplo 3: Vejamos um teorema da geometria plana:
 As diagonais de um paralelogramo encontram-se mutuamente ao meio.
Observe a figura:
Figura: 1.2.2/5: B	C
 M
 
 O A
 Da figura temos:
 1) = + = = + - = - .
 2) = + = = + - = - , logo
de1) e 2) temos: - = - = -(- ) = -(- ) = -+,
logo: - = -+ 2. = 2. = .
 Analogamente para: = . 
1.2.3 - Exercícios:
1) Dados os vetores: e calcular:
a) + , b) + c) - d) - e) (-) + (-).
2) Mostre graficamente que: + = + .
3) Seja o vetor (A) = B calcule o módulo do vetor nos seguintes casos:
a) A = 3 e B = 1; b) A = 0 e B = -6; c) A = ½ e B = - ¾; d) A = -1 e B = -2.
4) Ache a soma dos veotres indicados nas figuras :
a) 
 
b) 	
c) 	
		 
5) Dados os pontos A = 3 e B = 18 obtenha o ponto P tal que = 2. .
6) Seja o vetor (A) = B tal que (-2) = 28. Determine os pontos que dividem o segmento em 4 partes congruentes.
1.3 - Relação entre adição de vetores e adição de n-uplas:
 Já vimos que podemos associar a cada vetor do espaço das direções uma n-upla de n ou (0,0,...,0) = (,,....,) ou (,,....,).
 Esta relação, entre vetores e n-uplas, nos permite transferir os cálculos com vetores para o cálculo de n-uplas, o que facilita bastante os mesmos.
 Podemos então usar a notação mais conveniente em cada caso.
 Vejamos inicialmente, como podemos relacionar a regra do paralelogramo com operações em 2 e o plano euclidiano.
 Usamos este modelo, pois é o mais acessível e conhecido do leitor.
 Vamos considerar os vetores e tais que: (0, 0) = (x1, y1) e (0, 0) = (x2, y2) e calcular a sua soma pela regra do paralelogramo e relacionar com operações de pares conforme a figura a seguir: 
Figura: 1.3/1:
 B3 y R(x, y)
 B2 y2 Q S
 
 + = 
 B1 y1 P
 O 
 (0,0) x1 A1 A2 x2 A3 x
 Da figura temos: 
OA1P QRS = = = x1 e = = = y1, logo podemos escrever:
x = = + = x2 + x1 e y = = + = y2 + y1
Logo: (x, y) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)
 = .......................... = + 
 Isto significa que somar dois vetores equivale á adiçãode pares ordenados em 2.
 Este fato facilita bastante a análise das propriedades operacionais dos vetores. 
 Esta relação é válida para vetores de E3, E4, ...... ou R3, R4,.....
 Generalizando temos:
 Se (0, 0, ...,0) = (,,....,) e (0, 0, ...,0) = (,,....,) então:
 = + = (+,+,.....,+ ).
 Por causa desta relação, os pontos euclidianos, ou não, e as n-uplas reais, ou não, também são chamados de vetores. 
 Para não haver confusão quando falamos do vetor como n-upla não usamos a seta e indicamos assim: u = (2, 3) ou v = (1, -4, 5).
 Podemos também trabalhar com n-uplas cujos elementos não são números reais, mas com as operações de adição e produto por escalar definidas entre as mesmas.
 Usualmente são utilizadas n-uplas com elementos pertencentes a um corpo, ou a um anel, finitos ou infinitos.
1.3.1 - Adição de vetores e os eixos vetoriais em R2:
 Vamos partir da análise da relação entre vetores planos, R2, e E2 e considerar dois eixos vetoriais ortogonais. Observe a figura a seguir:
Figura: 1.3.1/1: 
 
 P(3, 2)
 2
 1 2. = 
 O 1 2 A 3 x
 3. = 
 Observe a figura: O vetor é a adição de dois vetores: = 3. () e o vetor
 = 2. (), logo podemos escrever: = + = 3. + 2. que pode ser associado à soma de pares de R2 ou (3, 2) = (3, 0) + (0,2).
 Os vetores e são chamados de componentes horizontal e vertical do vetor e também de projeções do vetor nos eixos x e y.
 Agora podemos somar dois vetores no espaço das direções ou no espaço vetorial R2.
 Sejam dois vetores: = 2. + 3. associado a P(2, 3) e o vetor = 5. - 2. 
associado a Q(5, -2) a soma dos dois é dada por: + = (2. + 3. ) + (5. - 2. ) que corresponde à adição dos pares: (2, 3) + (5, -2) = (7, 1) logo: + = 7. + 1. .
 A adição de vetores no plano das direções associado a R2 e ao E2 pode ser feita tanto vetorialmente pela regra do paralelogramo quanto pela soma dos pares ordenados.
 1.3.2 - Adição de vetores e os eixos vetoriais em R3:
 Analogamente ao caso anterior vamos tomar três eixos vetoriais ortogonais em 3 conforme a figura a seguir;
Figura: 1.3.2/1: z
 
 P(x, y, z)
 
 y
 
 x
 O vetor é a soma dos três vetores: = x., = y. e = z. e escrevemos: = + + = x. + y. + z..
 Logo se o ponto P possui coordenadas (2, 3, 4), o vetor pode ser representado por: = 2. + 3. + 4..
 O vetor é o vetor (0, 0, 0) = (2, 3, 4).
 Em termos de ternas podemos escrever o vetor assim:
 (2, 3, 4) = (2, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0,4) = 2.(1, 0, 0) + 3.(0, 1, 0) + 4.(0, 0, 1).
 A generalização para n é feita naturalmente e podemos escrever:
 = + + ... + = x1. + x2. + ... + xn..
 A adição é feita associando as n-uplas de Rn.
Exemplos:
1) Sejam os vetores u = (2, 3) e v = (3, -4) então u + v = (2, 3) + (3, -4) = (5, -1).
1A) Sejam os vetores: = 2. + 3. e = 3. - 4. então += 5. - 1. .
2) Sejam os vetores: u = (-1, 2, 3) e v = (3, 4, 5) então: u + v = (2, 6, 8).
2A) Sejam os vetores : = -1. + 2. + 3. e = 3. + 4. + 5. temos:
+ = 2. + 6. + 8. . 
 Em termos operacionais é indiferente a representação vetorial utilizada.
 A representação por n-uplas facilita trabalharmos com vetores, por exemplo: 
 Seja o vetor = a. + b. ou u = (a, b) ou (0, 0) = (a, b).
 Resolver a equação: 2.u + (5, 7) = (-6, 2), a solução é dada com operações com n-uplas já conhecidas e simples:
 2.u + (5, 7) = (-6, 2) 2.u = (-6, 2) + (-5, -7) = (-11, -9) 
 u = ½.(-11, -9) = (-11/2, - 9/2) = (a, b) logo: = -11/2. - 9/2..
1.3.3 - Propriedades e estrutura algébrica da adição de vetores:
 A relação biunívoca entre os elementos do espaço das direções, vetores, os pontos do espaço geométrico euclidiano, En, e os elementos, n-upla, de Rn, nos permitirá trabalhar em quaisquer das representações. 
 Usaremos a mais conveniente em cada caso.
 Podemos resolver problemas com vetores usando os teoremas e propriedades da geometria euclidiana ou resolvê-los por processos algébricos usando as propriedades das operações em Rn.
 Vejamos agora as propriedades da adição de vetores.
1) Associativa: Temos que: ( + ) + = + ( + )
 É válida, pois a adição de n-uplas é associativa.
 Um bom exercício, para o leitor, é provar que vale a associatividade utilizando a regra do paralelogramo.
2) Elemento Neutro: O elemento neutro é o vetor nulo , pois: + = + = .
 O vetor nulo é associado à n-upla (0, 0, ...,0) e ao centro ou origem do sistema de referência.
3) Elemento Inverso: Para cada vetor existe um vetor - tal que: + (-) = ou para cada vetor (0, 0,...,0) = (, , ... , ) existe o vetor:
 -(0, 0,...,0) = (-, -, ... , -) tal que (0, 0,...,0) + (-(0, 0,...,0)) = (0, 0,...,0).
 O vetor -, tem a mesma direção e módulo de e sentido oposto, e é chamado de simétrico, oposto ou inverso aditivo.
4) Comutativa: É válido: + = + já visto e é imediata.
1.3.3.1 – Estrutura de grupo:
 A adição de vetores com estas propriedades possui a estrutura de grupo abeliano. 
 Com esta estrutura a adição de vetores possui a mesma estrutura que a adição de números relativos, racionais, reais, e complexos, da adição de funções, matrizes, polinômios...... .
 É comum em Matemática chamarmos todos os elementos desses conjuntos de vetores.
 São válidas para a adição de vetores todas as propriedades dos grupos abelianos, inclusive a lei do cancelamento.
1.3.4 - Diferença de vetores:
 Sejam os vetores e , definimos a diferença de e como a adição de com o simétrico, oposto, inverso aditivo de e representamos por: - = + (-).
 Geometricamente dados: 
 e temos:
 Figura: 1.3.4/1:
 
 - - 
 
 
 Se a representação é no plano das direções e utilizarmos a regra do paralelogramo temos a representação:
 Figura:1.3.4/2: B
 
 O A
 - - 
 C D
 Observando a figura temos que = = - , este fato nos permite representar numa mesma figura a adição e subtração de dois vetores:
Figura: 1.3.4/3: 
 B C
 
 +- 
 
 O A Da figura temos:
 = - ; = - ; = + .
Exemplos:
1) Sejam: 
 então - é dado por:
 
 O
 - 
2) A diferença de dois vetores, representados por n-uplas corresponde à diferença de n-uplas, por exemplo:
 Se u = (3, 5) e v =(2, 1) teremos u – v = (3, 5) – (2, 1) = (3, 5) + (-2,-1) = (1, 4).
1.4 - Produto de um escalar por um vetor:
 Quando associamos os vetores colineares com uma reta euclidiana e escolhemos uma origem e uma unidade, podemos associar números reais aos vetores gerando um eixo de vetores como já foi visto.
 Assim se é o vetor unidade o vetor = 3. corresponde a um vetor na mesma direção e sentido com módulo 3.
 Podemos também somar vetores iguais, ou seja:
 o vetor = 3. .
 
 Desta maneira podemos associar números reais, ou generalizando, escalares com vetores e teremos o que chamamos de uma operação externa ou: (, ) = .
 Esta operação é chamada de produto por escalar.
 Vamos defini-la mais formalmente.
Produto por escalar:
 Seja um escalar e um vetor, chamamos o vetor de produto do escalar pelo vetor se tem a mesma direção de , mesmo sentido se é positivo, sentido oposto se é negativo e módulo de é igual ao módulo de vezes o módulo de , ou: ||= ||.| |.
 Toda vez que multiplicamos um vetor por um escalar obtemos vetores colineares, ou seja, na mesma direção ou na mesma reta.
Exemplo: 
Figura: 1.4/1:
 0 
 = -3. = 2. 
 Se a representação do vetor é por uma n-upla ordenada teremos o produto de um escalar por uma n-upla já visto, ou seja: 
 Seja um escalar e o vetor dado por (,,...,) o produto é definido por:
 .(,,...,) = (., .,..., .).
Exemplo: 
Se o vetor é dado por (2, 4, -3) e o escalar é 5 temos: 5. (2, 4, -3) = (10, 20,-15). 
 Esta representação do produto por escalar facilita o estudo das propriedades do mesmo.
1.4.1 - Propriedades do produto por escalar:
 As propriedades do produto por escalar são praticamente as mesmas da segunda operação de um anel, apesar de ser um produto externo.
Propriedades:
1) “Associativa”: () = (.);
2) “Elemento Neutro”: 1 = ;
3) “Distributiva a esquerda”: (+ ) = + ;
4) “Distributiva a direita”: ( + ) = + .
 As demonstrações são imediatas e simples, o leitor pode fazê-las utilizando a notação de n-uplas.
 Usamos o nome das propriedades entre aspas, pois os mesmos são usuais para operações internas e para a segunda operação de um anel.
1.4.2 - Espaço Vetorial:
 O conjunto de vetores com as operações de adição que é um grupo abeliano e o produto por escalar com as propriedades anteriores possui o que chamamos de estrutura de Espaço Vetorial.
 É evidente que o conjunto das n-uplas de Rn também possui estrutura de Espaço Vetorial, já comentado.
 Esta estrutura aparece num grande número de operações com elementos matemáticos e é muito utilizada em Matemática, na Física, na Informática pelos softwares gráficos e outras ciências.
 O leitor interessado em ampliar o seu conhecimento pode se utilizar do texto Espaços Vetoriais, já citado.
 Como associamos cada vetor a uma n-upla podemos operar em qualquer um dos conjuntos e transferir as conclusões para o outro.
 Por exemplo, as operações com vetores planos equivalem às operações com pares ordenados de R2 e os vetores espaciais às de R3.
 Por outro lado temos que elas podem ser representadas pelos planos E3 e o espaço E3 euclidianos e nos utilizar de todos os teoremas e propriedades dos mesmos.
Propriedades do produto escalar por vetores:
1) É válida a relação: 0 = ; = .
Demonstração:
a) 0 = (0 + 0) = 0 + 0 0 + 0 = 0 + 
 0 = 0 + 0 = 
b) de maneira análoga.
2) -1 = -, imediata.
 1.4.3 – Exercícios:
1) Sejam os vetores: = 2.+ 3.+ 5., = 3.- 2.+ 0. e 
 = -5.- 6.+ 7. calcular:
a) + b) - c) ( + ) - d) ( - ) - .
2) Sejam os vetores: u = (2, 3, 5), v = (3, -2, 0) e w = (-5, -6, 7), calcular:
a) u + v b) u – v c) (u + v) – w d) (v – w) – u.
3) Sejam os vetores: = 3.- 5. , = 0. + 5. , = 0. + 0. , 
 = -3. + 0. , e = -3. + 5. , calcular: + para 1i, j5.
4) Sejam os vetores: u1= (3, -5), u2 = (0, 0), u3 = (-3, 5), u4 = (3, -5), u5 = (2, 7) e 
u6 = (1/2, -1/2), calcular:
a) (u1 + u2) + u3 , b) (u4 – u5) – u6, c) (u3 + u1) + u2, d) (u1 + u1) + u4 e 
e) (u5 + u6) – (u4 + u5).
5) Prove que: a. = 0 a = 0 ou = 0.
6) Determine na equação: 2. + 3. = 5.( + ).
7) Calcule dados u = (3, 2, 1), v = (1, 0, 0) e w = (1, -1, 2),
a) u + v , b) 2.u + 1.v + 1.w , c) 1.u – 2.v -1.w..
8) Dados dois vetores e determine o vetor tal que:
 4. - 2. = - .
9) Resolva o sistema:
 
10) Resolver: 2.u – (4, 8) = (2, -4).
11) Resolver -3.u + (-1, 8) = (2, -2) + (3, 6)
12) Seja a figura abaixo:
 C
 A D B
Temos: = 2. . Exprimir (D – B) em função de (A – B) e ( C – B).
13) Mostre que é válido sempre: - = .
14) Seja a figura abaixo: 
	C
		 N P 
 A M B
 Os pontos M, N, e P são os pontos médios de AB, BC e CA respectivamente,
exprima e em função de e .
18
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