força interna e externa

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NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DIDÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de produção NEAD 
Curso: Física 
Coordenador: Elvio Machado Martins Junior 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 
Prof. Conteudista: Reniene Maria dos Santos Bandeira 
Designer Instrucional: Roberta Prevedello 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Capítulo 6. Corpos Rígidos 
 
Para início de conversa… 
 
Olá! 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem iremos discutir o conceito de forças externas e 
internas existentes em um corpo rígido. Essas forças, também denominadas por 
cargas são responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido ocasionando 
movimento ou simplesmente o mantendo em repouso. 
Quando um corpo rígido é submetido a cargas de diversas origens é possível 
determinar a força resultante equivalente. Nesta Unidade de Aprendizagem são 
apresentados os métodos para a determinação das resultantes dos sistemas de 
forças. Outro ponto importante do estudo é a redução de um carregamento distribuído 
simples em uma força resultante e a determinação do ponto de aplicação dessa força. 
Outro foco desta Unidade de Aprendizagem é introduzir o conceito do diagrama de 
corpo livre para um corpo rígido em equilíbrio, em que serão apresentadas as 
equações de equilíbrio da estática para fins de cálculo. 
Fundamentado neste estudo você estará apto para iniciar o estudo de momentos que 
ocorrem devido a ação de forças além de conseguir identificar e analisar forças em 
elementos estruturais da engenharia. 
 
Então, vamos começar? 
 
 
 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
- Identificar forças de natureza estática, externas e internas, que atuam sobre um 
corpo rígido. 
 
- Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Forças internas e externas 
 
O conceito de força é introduzido na Mecânica Clássica como sendo a ação de um 
corpo sobre outro, causando deformação ou movimento. Esta ação se manifesta por 
contato ou distância, como é o caso das forças gravitacionais – pesos – que têm 
sempre sentido vertical para baixo. As forças encontradas na natureza, são 
distribuídas sobre os elementos de seu volume (o peso de um corpo), ou sobre os 
elementos de superfície (pressão de água sobre as paredes de um recipiente que a 
contém). Na Mecânica Vetorial, a força é tratada como concentrada, idealização que 
tem precisão suficiente na grande maioria dos casos. (Junior et. al, 1999). 
 
As forças atuantes em um corpo podem ser nomeadas como forças externas e 
internas. 
 
No estudo da Física o conceito de forças externas refere-se a fatores externos que 
executam algum tipo de esforço sobre um sistema. E o conceito de forças internas 
refere-se aquelas que fazem parte de um sistema. 
 
Por exemplo: Consideremos um determinado sistema formado pela Lua e a Terra. 
Dessa forma, podemos conceituar as forças externas como o sol e o restante dos 
planetas sobre a Terra e a Lua. Quanto às forças internas podemos conceitua-las 
como a atração mútua entre a Terra e a Lua. 
 
No estudo de estruturas e mecânica dos sólidos as forças internas ocorrem devido 
interações entre partículas dentro de um corpo rígido e são forças que ocorrem em 
pares colineares iguais, mas opostos e, dessa maneira são canceladas por 
consequência da terceira lei de Newton. 
 
O estudo de forças internas é realizado quando deseja-se projetar um membro 
estrutural ou mecânico e faz-se necessário conhecer a carga interna no membro uma 
vez que o objetivo é certificar que o material possa resistir a essa carga. 
 
As forças internas são conhecidas como esforços provindos de tensões produzidas 
pelos materiais que compõem os corpos rígidos e possuem a função de manter unidos 
os inúmeros pontos materiais que formam o corpo rígido. 
 
Segundo Plesha, et al. (2014) as forças internas são desenvolvidas dentro de 
elementos estruturais e/ou materiais devido a forças externas que são aplicadas. O 
conhecimento das forças internas que um elemento deve suportar é essencial antes 
que ele possa ser projetado. 
 
Ao considerarmos uma estrutura com duas dimensões (Figura 1) e o objetivo é 
encontrar as forças internas que atuam na seção transversal B. Então faz-se um corte 
a partir dessa seção transversal B, separando a parte esquerda da estrutura da parte 
direita. Dessa maneira, as forças que se desenvolvem nesta seção transversal são 
denominadas forças internas, ilustradas na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Forças internas desenvolvidas em uma determinada seção transversal de 
um elemento estrutural de duas dimensões (adaptado de Plesha, 2014). 
 
Essas forças internas são ilustradas de forma detalhada e são nomeadas e 
classificadas conforme segue: 
 
 N é nomeada como força normal ou força axial é essa força que dá origem à 
deformação axial. Por convenção, adota-se o valor positivo de N 
correspondente à tensão como ilustrado na Figura 2: 
 
 
 
Figura 2: Força normal positiva (Plesha, 2014). 
 
 
 V é nomeada como força de cisalhamento ou esforço cortante. É essa força 
que dá origem à deformação de cisalhamento. Por convenção, adota-se o valor 
positivo de V como ilustrado na Figura 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Força de cisalhamento positiva (Plesha, 2014). 
 
 
 M é nomeada como momento fletor. É o momento fletor que dá origem à 
deformação de flexão. Por convenção, adota-se o valor positivo de M como 
ilustrado na Figura 4: 
 
 
 
Figura 4: Força de cisalhamento positiva (Plesha, 2014). 
 
 
Observem que nas Figuras 2, 3 e 4 adotamos um sistema de eixos, isto significa que, 
o eixo x está na direção axial e o eixo y está na direção transversal. E sempre que 
possível adotaremos no sistema de coordenadas que a posição de y esteja na origem 
(y =0) e coincida com o centroide da seção transversal. 
 
No estudo de estruturas e mecânica dos sólidos as forças externas são totalmente 
responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido, podendo causar 
movimento ou os mantendo em repouso. 
 
Como exemplo de forças externas, consideraremos as forças atuantes sobre um 
caminhão enguiçado que três pessoas puxam para frente por meio de uma corda 
amarrada no para-choque dianteiro (Figura 5). As forças externas que atuam sobre o 
caminhão estão mostradas no diagrama de corpo livre. Consideremos primeiro o peso 
do caminhão. O solo opõe-se ao movimento descendente do caminhão por meio das 
reações R1 e R2. Essas forças são exercidas pelo solo sobre o caminhão e, portanto, 
devem ser incluídas entres as forças externas que agem no caminhão. As pessoas 
que puxam a corda exercem uma força F. O ponto de aplicação da força F está sobre 
o para-choque dianteiro. A força F tende a mover o caminhão para frente em linha 
reta e realmente, o fará, já que não há forças externas opondo-se a esse movimento 
(Beer, at al. 2012). 
 
 
 
 
Figura 5: Caminhão enguiçado (Beer, at al. 2012). 
 
 
Segundo ALMEIDA (2009), as forças externas são conhecidas como ações 
solicitantes externas ativas, cargas externas, carregamentos ou simplesmente 
cargas. As forças externas a serem consideradas num projeto dependem do fim a que 
estão destinadas e são regulamentas por normas. No Brasil, as normas brasileiras 
são elaboradas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) e 
identificadas pelas letras maiúsculas NBR, seguidas de números associados aos 
assuntos abordados. Por exemplo: A norma brasileira que regulamenta as ações de 
Forças devida ao vento em edificações é a NBR 6123. 
 
De acordo com Almeida (2009), as forças externas podem ser classificadas quanto: 
 
 À posição 
• Fixas: são cargas que não mudam de posição. As cargas normalmente 
consideradas nas edificações podem ser consideradas. 
• Móveis: são cargas que mudam de posição. As ações dos veículos nas 
pontes e viadutos, por exemplo. 
 
 Quanto a duração• Permanentes: são ações permanentes em estruturas, como por exemplo, 
o peso próprio. 
• Acidentais: são provenientes das ações que podem ou não agir sobre 
as estruturas, como por exemplo a sobrecarga (peso de pessoas, 
móveis) e a ação do vento. 
 
 Quanto a forma de aplicação 
• Concentradas: quando se admite a transmissão de uma força, de um 
corpo a outro, através de um ponto. 
• Distribuídas: quando se admite a transmissão de uma força de forma 
distribuída, seja ao longo de um comprimento ou através de uma 
superfície. 
 
 Quanto a variação com o tempo 
• Estáticas: são aquelas que, para efeito do comportamento estrutural, 
podem ser consideradas como não variando com o tempo. 
• Dinâmicas: quando a variação da ação ao longo do tempo tem que ser 
considerada, como por exemplo as ações do vento, de correntes 
marítimas, de explosões e de terremotos. 
 
 
2. Força resultante 
 
Durante a resolução de cálculos em análise de estruturas, as vezes é apropriado 
reduzir um sistema de forças agindo sobre um corpo para uma forma mais simples 
substituindo-o por um sistema equivalente que representa uma força resultante única 
que atua num ponto específico. 
 
É dito que um sistema é equivalente se os efeitos externos causados pelas forças 
ativas produzidas sobre o corpo forem iguais aos causados pelo sistema de forças 
original. 
 
Segundo Hibbeler (2011) efeitos externos de um sistema se referem ao movimento 
de rotação e translação do corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às 
forças reativas nos apoios se o corpo é mantido fixo. 
 
Um sistema de várias forças pode ser reduzido a uma única força resultante 
equivalente agindo num único ponto desde que a linha de ação da força resultante do 
momento binário resultante sejam perpendiculares. Em razão dessa condição, 
apenas sistemas de forças concorrentes, coplanares e paralelas podem ser 
simplificados. 
 
Adendo: momento binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma 
intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular. 
Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação 
ou tendência de rotação em uma direção específica (Hibbeler, 2011). 
 
O sistema de forças concorrentes consiste naquele em que as linhas de ação de todas 
as forças se interceptam em um único ponto comum O (Figura 6). Neste caso, o 
sistema de forças não produz nenhum momento em relação a esse ponto O. Dessa 
maneira, o sistema equivalente pode ser representado por uma força resultante única 
FR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Forças concorrentes (Hibbeler. 2017). 
 
 
O sistema de forças paralelas é aquele em que as forças são paralelas em relação 
ao eixo z. Dessa forma, a força resultante no ponto O necessariamente é paralela a 
esse eixo. 
 
 
 
 
Figura 7: Forças paralelas (Hibbeler. 2017). 
 
 
O sistema de forças coplanares consiste naquele em que as linhas de ação das forças 
situam-se no mesmo plano. Logo a força resultante deve pertencer ao mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Forças coplanares (Hibbeler. 2017). 
 
 
Em vista disso, de forma generalizada, as equações abaixo são utilizadas com o 
intuito de reduzir um sistema de forças a uma força resultante FR equivalente agindo 
no ponto O. 
FR = ∑F 
 
Se o sistema de forças está no plano x-y então a equação anterior torna-se em duas, 
tais como: 
(FR)x = ∑Fx 
(FR)y = ∑Fy 
 
 
Exemplo 1: Substitua o sistema de forças que agem sobre a viga (Figura 11) por uma 
força resultante equivalente (Hibbeler, 2017). 
 
 
 
Figura 9: Força resultante equivalente de uma viga (Hibbeler. 2017). 
 
Resolução: 
Somatório das forças: nesta etapa, soma-se as componentes das forças: 
 
 
 
(FR)x = ∑Fx 
(FR)x = 8(3/5) = 4,80 kN → 
(FR)y = ∑Fy 
 (FR)y = - 4 + 8(4/5) = 2,40 kN ↑ 
 
A intensidade da força resultante equivalente é: 
 
FR = √ (4,80)2 + (2,40)2 = 5,37 kN 
 
O ângulo de direção da força é: 
 
θ = tg-1 (2,40/4,80) 
 
θ =26,6° 
 
O tipo mais encontrado na prática de engenharia é o carregamento distribuído 
coplanar ao longo de um único eixo (Figura 10). Para efeito de cálculo, os 
carregamentos distribuídos são definidos utilizando uma função do carregamento w 
= w(x) que representa a intensidade do carregamento ao longo da extensão de um 
membro. A unidade de medida é N/m. Estes carregamentos, que atuam num 
determinado corpo, causam efeitos externos que podem ser ilustrados por uma força 
resultante única. Essa força resultante equivalente e única é correspondente à área 
sob o diagrama do carregamento e sua posição, ou melhor, a linha de ação dessa 
força passa pelo centroide ou centro geométrico da mesma área. 
 
 
 
Figura 10: A pilha de tijolos cria um carregamento distribuído triangular sobre a viga 
de madeira (Hibbeler. 2017). 
 
 
Matematicamente, a equação que representa a força resultante é dada como: 
FR = � w(x)dx
L
= � dA
A
= A 
 
E a posição da força é resultante é: 
 
x =
∫ xw(x)dxL
∫ w(x)dxL
=
∫ xdAA
∫ dAA
 
 
A coordenada x representa o centroide da área do carregamento distribuído coplanar. 
 
Exemplo 2: Determine a intensidade e a posição da força resultante equivalente que 
agem sobre o eixo da Figura 11 (Hibbeler, 2017). 
 
 
 
Figura 11: Determinando a força resultante de um carregamento distribuído 
(Hibbeler. 2017). 
 
 
Resolução: 
 
Como w = w(x) é fornecido, então este problema é solucionado por integração. 
O elemento diferencial apresenta uma área dA = w dx = 60x2 dx. 
 
FR = � dA
A
= � 60x2dx
2m
0
= 60�
23
3
−
03
3
� = 160N 
 
A posição x de FR, medida a partir do ponto O é determinada: 
 
x =
∫ xdAA
∫ dAA
=
∫ x(60x2)dx2m0
160N
=
60 �2
4
4 −
04
4 �
160N
= 1,5m 
 
 
3. Corpos rígidos em equilíbrio 
 
No estudo de Mecânica dos Sólidos o corpo rígido é conceituado como um sólido que 
ao ser submetido por forças externas e internas, em uma análise do sistema material, 
apresentam constantes a distância entre dois pontos quaisquer e ou ângulos entre 
retas pertencentes a esse sólido. 
 
Quando identificado este conceito é necessário determinar as forças estáticas 
atuantes que atuam no corpo rígido para trabalhar o equilíbrio. Um corpo rígido está 
em equilíbrio estático quando o sistema de forças atuantes sobre ele puder ser 
reduzido a um sistema equivalente igual a zero. Matematicamente enunciado como: 
 
F�⃗ R = � F�⃗ = 0 → AUSÊNCIA DE MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO 
M���⃗ R0 = �M���⃗ 0 = 0 → AUSÊNCIA DE MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 
 
As equações acima afirmam que: 
Primeira: o somatório de todas as forças que agem sobre o corpo rígido é igual a 
zero. 
Segunda: o somatório de todos os momentos devido a todas as forças no sistema 
em relação a um determinado ponto 0 é igual a zero. 
 
Vale ressaltar que para este estudo de equilíbrio estático de corpos rígidos é 
importante compreender que: 
 Se não ocorrer ação de forças em sólidos que estão equilíbrio, significa que o 
mesmo permanecerá em equilíbrio. 
 Se ocorrer ação de uma única força a um sólido isolado em equilíbrio, significa 
que ele não permanecerá em equilíbrio. 
 
É importante evidenciar aqui, que quando se aplica as equações de equilíbrio em um 
corpo assume-se que o corpo permanece rígido, apesar de entendermos que todos 
os corpos deformam quando sujeitos a forças. No entanto, na engenharia, adota-se 
que os corpos apresentam pequenas deformações e isto posto pode-se aplicar as 
equações de equilíbrio do corpo sem introduzir nenhum erro significativo, uma vez 
que o corpo permanecerá rígido e não deformará. 
 
 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
Quando se resolve problemas de estática envolvendo equilíbrio de corpos rígidos, o 
primeiro e mais importante passo é a construção do diagrama de corpo livre. Esse 
diagrama equivale a uma representação esquemática de um único corpo isolado, 
mostrando todas as forças aplicadas sobre ele. Se o mesmo estiver em contato com 
outros corpos acredita-se que eles foram removidos. 
 
Assim as equações de equilíbrio só devemser escritas após este diagrama ser 
primorosamente elaborado. É importante ressaltar que se o diagrama de corpo livre 
for implementado de maneira errada, o resultado da análise também estará errado. 
 
Exemplo 3: De acordo com a Figura 12 represente o diagrama de corpo livre do corpo 
isolado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Guindaste com caixa suspensa (Beer, at al. 2012). 
 
 
Resolução: 
A primeira etapa a ser cumprida para realizar a análise de um corpo rígido em 
equilíbrio é identificar todas as forças que estão atuando no mesmo com a 
representação do diagrama de corpo livre. Para isso segue-se alguns passos: 
 
Passo 1: Seleciona o corpo livre em toda extensão e o isole do solo e de todos os 
outros corpos. 
Passo 2: Mostre o ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido de cada força, 
incluindo a força peso. 
Passo 3: Mostre o ponto de aplicação e as direções e sentidos arbitrários para as 
forças desconhecidas que serão estudadas na Unidade de Aprendizagem 8 
detalhadamente. Essas forças consistem nas reações de apoio devido a conexão do 
corpo ao solo, ou a outros corpos e elas são contrárias a um possível movimento do 
corpo rígido. 
Passo 4: Por último, inclui-se as dimensões necessárias para realizar os cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
Figura 13: Guindaste com caixa suspensa e diagrama de corpo livre. (Beer, et al. 
2012). 
 
Exemplo 4: Desenho o diagrama de corpo livre da viga abaixo com massa de 10kg. 
 
 
 
 
 
Figura 14 : Viga Biapoiada (Hibbeler et al. 2011) 
 
 
Resolução: 
O objetivo aqui é representar o diagrama de corpo livre desta viga e para isso 
iremos identificar todas as forças que estão atuando na viga. 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
Figura 15: Viga Biapoiada e diagrama de corpo livre (Hibbeler et al. 2011). 
Um corpo material pode estar submetido a cargas externas e internas. A primeira é 
aplicada fora do corpo e pode alterar o estado de repouso do mesmo. A segunda tem 
a ver com os esforços internos que surgem devido a ação das forças externas 
existentes. Saber identificar essas forças é de suma importância para a etapa de 
verificação de uma estrutura. 
 
Para análise de cálculo é relevante identificar a força resultante equivalente de um 
sistema ou corpo rígido devido a ação de forças e momentos. Para isso foi 
apresentado caminhos, como por exemplo, a redução de um carregamento distribuído 
resultando numa única força resultante e sua posição de aplicação. 
 
Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de corpo livre foi exibido 
pois é de primordial importância para a resolução de problemas envolvendo equilíbrio 
de um corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
BEER, F.P.; JOHNSTON, R.E.; MAZUREK, D. F.; EISENBERG, E.R. Mecânica 
vetorial para engenheiros: Estática. Porto Alegre: Bookman, 1994-2012. v.1. (Minha 
Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 12°edição. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall. 2011. (Minha Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia; tradução Daniel Vieira. 
14°edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil. 2017. (Biblioteca Virtual) 
 
PLESHA, M. E.; GRAY, G.L.; COSTANZO, F. Mecânica para engenharia estática. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. (Minha Biblioteca) 
 
JUNIOR, M.; FERRAZ, E. Introdução à isostática. São Carlos: EESC - USP. 1999. 
 
ALMEIDA, M. C. F DE. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.