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Métodos Computacionais Avançados Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado para a disciplina Métodos 
Computacionais Avançados 
 
Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
Alunos: 
Rodrigo Almeida Freitas 
Moisés Dias Silva 
Leandro Magalhães Mariani 
 
Professor 
Dr. Fernando Pedro Simões da Silva Dias Simão 
 
Métodos Computacionais Avançados Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
 
 
Coimbra, março, 2015 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 3 
2. AÇÕES EM ESTRUTURAS EXPOSTAS AO FOGO ..................................................... 3 
2.1. Método de cálculo estrutural em relação ao fogo ............................................................ 3 
2.2. Ações térmicas para análise de temperaturas .................................................................. 3 
2.3. Ações mecânicas para análise estrutural ......................................................................... 3 
2.4. Propriedades dos materiais em situação de incêndio....................................................... 4 
2.4.1. Aço ............................................................................................................................... 4 
2.4.1.1. Resistência ao escoamento e módulo de elasticidade do aço de armadura passiva a 
altas temperaturas ....................................................................................................................... 4 
2.4.1.2. Resistência ao escoamento e módulo de elasticidade do aço de armadura ativa a 
altas temperaturas ....................................................................................................................... 4 
2.4.1.3. Propriedades térmicas e físicas ................................................................................ 4 
2.5. Ação correspondente ao incêndio .................................................................................... 5 
3. PROJECTO DE ESTRUTURAS DE AÇO ....................................................................... 5 
3.1. Generalidades .................................................................................................................. 5 
3.2. Propriedades dos materiais em situação de incêndio....................................................... 5 
3.3. Verificação da resistência ao fogo ................................................................................... 6 
3.3.1. Modelos de cálculo simplificados ................................................................................ 6 
3.3.2. Modelos de cálculos avançados ................................................................................... 7 
4. MODELAGEM NUMÉRICA ............................................................................................ 7 
4.1. Descrição do elemento de viga ........................................................................................ 7 
4.2. Casos simulados .............................................................................................................. 9 
4.3. Resultados ...................................................................................................................... 10 
5. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 14 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 14 
 
 
Métodos Computacionais Avançados Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Este estudo consiste na modelagem modelação de um elemento viga de Bernoulli restringida 
sob a ação de um aquecimento uniforme. Busca-se ainda realizar uma breve análise numérica 
de forma descritiva com a aplicação da literatura lecionada em sala de aula. Inicialmente, este 
relatório apresenta um resumido referencial teórico. 
 
2. AÇÕES EM ESTRUTURAS EXPOSTAS AO FOGO 
 
A norma portuguesa que trata das ações em estruturas expostas ao fogo é o Eurocódigo 1 em 
sua Parte 1-2 (EN 1991-1-2). 
2.1. Método de cálculo estrutural em relação ao fogo 
 
A norma portuguesa leva em conta os seguintes passos para verificação da resistência ao fogo 
em estruturas: 
 
• Seleção dos cenários de incêndio de cálculo relevantes; 
• Determinação dos incêndios de cálculos correspondentes; 
• Cálculo da evolução da temperatura no interior dos elementos estruturais; 
• Cálculo do comportamento mecânico da estrutura exposta ao fogo. 
 
2.2. Ações térmicas para análise de temperaturas 
 
A norma portuguesa apresenta o método de cálculo das ações térmicas para análise de 
temperaturas. Para a avaliação do incêndio de cálculo e análise térmica, a norma portuguesa 
apresenta as curvas de incêndio nominais e modelos de incêndio natural. Nos anexos, são 
apresentados as curvas nominais, os modelos de incêndio e os métodos de cálculo da 
densidade de carga de incêndio e do tempo equivalente de exposição ao fogo. 
 
2.3. Ações mecânicas para análise estrutural 
 
A norma portuguesa descreve as generalidades da análise estrutural, todavia remete o 
dimensionamento às partes de dimensionamento ao fogo das EN 1992, EN 1996 e EN 1999. 
Para o cálculo das ações em temperatura normal a norma cita a EN 1990. 
 
Métodos Computacionais Avançados Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
2.4. Propriedades dos materiais em situação de incêndio 
2.4.1. Aço 
2.4.1.1. Resistência ao escoamento e módulo de elasticidade do 
aço de armadura passiva a altas temperaturas 
 
A norma europeia descreve valores da Classe X para os parâmetros da relação tensões-
extensões. Tal classe é recomendada para uso com valores de resistências a temperaturas 
elevadas verificadas experimentalmente. 
 
2.4.1.2. Resistência ao escoamento e módulo de elasticidade do 
aço de armadura ativa a altas temperaturas 
 
A norma europeia afirma que as propriedades de resistência e de deformação do aço de pré-
esforço (aço de armadura ativa) a temperaturas elevadas são calculadas a partir do mesmo 
modelo matemático utilizado para o aço para betão armado. 
 
A norma europeia descreve os valores para os parâmetros a altas temperaturas para aço de 
pré-esforço endurecido a frio (fios e cordoalhas) e para aço de pré-esforço temperado e 
revenido (barras). Descreve ainda como calcular o valor do coeficiente β para valores para a 
aço de pré-esforço de classe. 
 
Quanto a simulação de incêndio natural, a norma europeia cita que os valores das relações 
tensões-extensões descritas na norma podem ser utilizadas para o ramo descendente da curva 
de temperaturas com aproximação suficientemente precisa. 
 
2.4.1.3. Propriedades térmicas e físicas 
 
A norma europeia descreve as expressões para cálculo da extensão térmica do aço para betão 
armado para as temperaturas de 20 oC a 750 oC, 750 oC a 860 oC (constante) e para 860 oC a 
1200 oC. 
 
Para o aço de pré-esforço a norma europeia descreve a expressão para cálculo para as 
temperaturas de 20 oC a 1200 oC. 
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2.5. Ação correspondente ao incêndio 
 
Para verificação das estruturas em situação de incêndio, a norma portuguesa se baseia nos 
requisitos de resistência estrutural ao fogo (R), estanqueidade (E) e isolamento (I). 
 
O requisito de resistência estrutural ao fogo pode ser verificado por meio do tempo requerido 
de resistência ao fogo para a estrutura, o qual é calculado conforme método de cálculo do 
tempo equivalente prescrito na EN 1991-1-2. 
 
3. PROJECTO DE ESTRUTURAS DE AÇO 
 
A norma portuguesa que trata da verificação da resistência ao fogo em projeto de estruturas de 
aço é o Eurocódigo 3 em sua Parte1-2 (EN 1993-1-2). 
3.1. Generalidades 
A norma europeia prescreve a verificação da resistência dos elementos estruturais em situação 
de incêndio, tendo em vista exposição ao fogo padrão. Todavia, os modelos apresentados não 
são exclusivos para verificação apenas à exposição ao fogo-padrão, exceto quando a própria 
norma especifica. 
3.2. Propriedades dos materiais em situação de incêndio 
 
A norma adotada no Brasil remete o gráfico tensão-deformação (tensão-extensão) à norma 
europeia correspondente (Figura 1). Sendo que a norma europeia apresenta o gráfico e 
descreve as funções referentes á cada domínio de tensão à temperaturas elevadas. À 
temperatura normal, a norma europeia remete à consulta à EN 1993-1-1. 
 
 
 
Figura 1 - Diagrama tensão-deformação dos aços estruturais à temperatura θ (EN 1993-1-2:2010) 
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Ambas as normas apresentam as equações para cálculo do fator de redução para a tensão de 
cedência efetiva (resistência ao escoamento) e redução do módulo de elasticidade (inclinação 
da reta do domínio elástico). Somente a norma europeia apresenta o cálculo e os valores 
referentes ao fator de redução para a tensão limite da proporcionalidade. 
 
A norma europeia apresenta um cálculo alternativo para temperaturas inferiores à 400º C, 
sendo considerado o endurecimento do aço de forma a alargar as relações tensões-
deformações. 
 
As propriedades do aço carbono referente à massa específica, condutibilidade térmica, 
extensão térmica e calor específico, são apresentadas por ambas as normas de maneira 
análoga. 
 
A norma europeia apresenta em seus anexos as propriedades mecânicas e térmicas do aço 
inoxidável. Quanto aos materiais de proteção contra incêndio, ambas as normas remetem a 
ensaios experimentais. 
 
3.3. Verificação da resistência ao fogo 
3.3.1. Modelos de cálculo simplificados 
 
A norma europeia cita que os métodos de cálculo para a determinação da capacidade 
resistente em situação de incêndio, deve ser comparada com a combinação de ações relevante, 
conforme o prescrito na EN 1991-1-2. 
 
O valor de cálculo da resistência em situação de incêndio é determinada a partir da 
modificação valor de cálculo da resistência a temperatura normal calculado conforme a EN 
1993-1-1, prescreve a norma europeia. Tal norma cita ainda como deve ser considerada a 
resistência térmica nas ligações, aparafusada ou soldada. 
 
A norma europeia, quanto aos perfis da classe 4, prescreve valores para redução de forma 
análoga à norma brasileira quanto aos perfis sujeitos à flambagem local. 
 
No caso de vigas, para o cálculo do momento fletor e da força cortante, as duas normas se 
diferem. A norma europeia, tanto para os casos aplicáveis com flambagem local ou 
flambagem lateral com torção, apresenta expressões onde são considerados o índice de 
esbeltez em situação de incêndio e vários fatores de redução e correção. 
 
Quanto ao cálculo da elevação da temperatura do aço, as expressões apresentadas por ambas 
as normas são análogas. Todavia, para consideração de material de revestimento contra fogo, 
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as expressões se diferem. Para materiais de revestimento que apresentam umidade, a norma 
europeia prescreve o método de ensaio que deve ser utilizado. 
 
Convém citar que a norma europeia prescreve o método da temperatura crítica para análise 
térmica em alternativa à verificação da função resistente. 
 
3.3.2. Modelos de cálculos avançados 
 
Ambas as normas apresentam diretrizes genéricas para a realização de métodos avançados de 
cálculo. As normas citam que os modelos avançados devem incluir: modelo de resposta 
térmica (análise térmica) e modelo de resposta mecânica (análise mecânica). 
 
Para o modelo de resposta térmica, a norma europeia dita que devem ser baseados na teoria da 
transferência de calor e considerar as ações térmicas relevantes especificadas na EN 1991-1-2, 
dentre outras diretrizes. 
 
Quanto ao modelo de resposta mecânica, a norma europeia dita que devem ser baseados na 
teoria da mecânica das estruturas, devendo ser considerados os efeitos das deformações e das 
tensões de origem térmica consequências dos aumentos consideráveis ou variações 
diferenciais da temperatura, dentre outras diretrizes. 
 
4. MODELAGEM NUMÉRICA 
 
4.1. Descrição do elemento de viga 
 
Este estudo consiste na modelagem de um elemento viga de Bernoulli restringida, sob a ação 
de um aquecimento uniforme, com modelos de degradação térmica existente no Eurocode, de 
03 (três) metros de comprimento, perfil HEB200, com uma excentricidade gerada por uma 
imperfeição na ordem de L/500, ou seja, 6 mm. 
 
 
Figura 2 – Modelo estrutural do elemento estudado 
 
 
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Nessa situação, se visa verificar o comportamento do elemento sob aumento da temperatura 
(de 200º a 1000º C), verificando-se a flecha ocorrida e a força de reação, considerando o 
coeficiente da mola e uma força axial Fx relacionada a resistência a encurvadura do elemento 
(Nb,fi,t,Rd = χfiAky,θfy/γM,fi), sendo que o material preserva suas propriedades elásticas. 
 
Para a modelagem, foi utilizado o aplicativo de elementos finitos ABAQUS, a partir de uma 
análise descritiva do aprendizado em sala de aula sobre o Elemento finito viga de Bernoulli 
com esforço axial (análise linear - formulação isoparamétrica). 
 
 
Figura 3 - Elemento de viga modelado no software Abaqus. 
 
Para a análise numérica, foi modelado 4 elementos finitos do tipo “beam” com 0.75 m de 
comprimento, totalizando a viga de 3 metros. A orientação da barra foi definida conforme 
figura 4, com imperfeição definida no eixo de menor inércia. 
 
 
Figura 4 – Elemento finito em formato beam modelado no ABAQUS 
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4.2. Casos simulados 
 
Para o estudo, foram definidos os seguintes casos, conforme o coeficiente da mola e a 
resistência a encurvadura do elemento. 
 
Caso k = nEA/L Fx = mNb,fi,t,Rd 
1 n = 0.05 m = 0.0 
2 n = 0.50 m = 0.0 
3 n = 1.00 m = 0.0 
4 n = 5.00 m = 0.0 
5 n = 0.05 m = 0.1 
6 n = 0.50 m = 0.1 
7 n = 1.00 m = 0.1 
8 n = 5.00 m = 0.1 
9 n = 0.05 m = 0.3 
10 n = 0.50 m = 0.3 
11 n = 1.00 m = 0.3 
12 n = 5.00 m = 0.3 
 
Como parâmetros de cálculo, foram utilizados os seguintes valores conforme quadro a seguir. 
 
Lf (m) 3 
E (Pa) 2.1 x 1011 
fy (N) 355000000 
I (m4) 0.00005969 
As (m²) 0.00781 
 
A seguir, os valores de cálculo e a determinação de EA/L e Nb,fi,t,Rd, tudo conforme a 
EUROCODE 1993. 
 
Ncr = π2 x EI / L2f (N) 13746056 
λ= sqrt(Afy / Ncr ) 0.44910784 
α 0.13 
Φ = 0.5 [1 + α ( λ – 0.2 ) + λ2 ] 0.61704094 
χ = 1 / (Φ + sqrt(Φ2 - λ 2) 0.96137753 
γM0 1 
γM1 1 
γM2 1.25 
Nb,rd = χ * A * fy * 1 / γM1 2665467.28 N 
EA/L 546700000 N/m 
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Por fim, foram realizadas as simulações conforme os seguintes valores para o coeficiente da 
mola e para a força Fx. 
 
Caso k = nEA/L 
(N/m) 
Fx = mNb,fi,t,Rd 
(N) 
1 27335000 0.0 
2 273350000 0.0 
3 546700000 0.0 
4 2733500000 0.0 
5 27335000 266546.0 
6 273350000 266546.0 
7 546700000 266546.0 
8 2733500000 266546.0 
9 27335000 799640.0 
10 273350000 799640.0 
11 546700000 799640.0 
12 2733500000 799640.0 
 
 
4.3. Resultados 
 
Após a modelagem numérica foi possível obter os resultados para os casos definidos. A 
plotagem dos dados demonstra resultados esperados para as situações em estudo. Foram 
agrupados os casos por valores do coeficiente da mola, quanto a reação no apoio à força 
aplicada em x. 
Na figura 5, para n = 0.05, apresentam-se curvas abaixo.Métodos Computacionais Avançados Viga de Bernoulli submetida ao aquecimento uniforme 
 
 
 
 
Figura 5 – Gráfico Temperatura x Reação no apoio no eixo X (°C x kN) 
Casos 1, 5 e 9: coeficiente de redução da mola n = 0.05 
 
Na figura 6, para n = 0.50, apresentam-se curvas abaixo. 
 
 
Figura 6 – Gráfico Temperatura x Reação no apoio no eixo X (°C x kN) 
Casos 2, 6 e 10: coeficiente de redução da mola n = 0.50 
Na figura 7, para n = 1.00, apresentam-se curvas abaixo. 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Caso 1 Rx (kN) Caso 5 Rx (kN) Caso 9 Rx (kN)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Caso 2 Rx (kN) Caso 6 Rx (kN) Caso 10 Rx (kN)
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Figura 7 – Gráfico Temperatura x Reação no apoio no eixo X (°C x kN) 
Casos 3, 7 e 11: coeficiente de redução da mola n = 1.00 
 
Na figura 8, para n = 5.00, apresentam-se curvas abaixo. 
 
Figura 8 – Gráfico Temperatura x Reação no apoio no eixo X (°C x kN) 
Casos 4, 8 e 12: coeficiente de redução da mola n = 5.00 
Na figura 9, foi possível parametrizar as curvas dos casos em estudo. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Caso 3 Rx (kN) Caso 7 Rx (kN) Caso 11 Rx (kN)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Caso 4 Rx (kN) Caso 8 Rx (kN) Caso 12 Rx (kN)
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Figura 9 – Gráfico Temperatura x Reação no apoio no eixo X (°C x kN) 
 
Na figura 10, conseguimos representar em gráfico as curvas referentes a deformação do 
elemento em estudo. A partir do deslocamento em y do nó localizado no meio da viga é 
possível analisar o efeito térmico no elemento. 
 
Figura 10 – Gráfico Temperatura x Deslocamento no meio do elemento em Y (°C x mm) 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Caso 1 Rx (kN) Caso 2 Rx (kN) Caso 3 Rx (kN) Caso 4 Rx (kN)
Caso 5 Rx (kN) Caso 6 Rx (kN) Caso 7 Rx (kN) Caso 8 Rx (kN)
Caso 9 Rx (kN) Caso 10 Rx (kN) Caso 11 Rx (kN) Caso 12 Rx (kN)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Caso 1 ε (mm) Caso 2 ε (mm) Caso 3 ε (mm) Caso 4 ε (mm)
Caso 5 ε (mm) Caso 6 ε (mm) Caso 7 ε (mm) Caso 8 ε (mm)
Caso 9 ε (mm) Caso 10 ε (mm) Caso 11 ε (mm) Caso 12 ε (mm)
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5. CONCLUSÃO 
 
As normas que regem os estudos de estruturas em situação de incêndio prescrevem ações 
térmicas baseadas em curvas teóricas de incêndio e modelos teóricos de cálculo de 
solicitações e combinações. Os métodos avançados de cálculo permitem o estudo das ações 
térmicas de forma mais fidedigna, quando comparada a ensaios experimentais de incêndio 
real. 
 
A utilização de aplicativos de elementos finitos para os cálculos avançados de estruturas 
oferece ao projetista uma enorme gama de possibilidades para análise das mais diversas 
situações envolvendo estruturas em situação de incêndio. Todavia, para se alcançar resultados 
confiáveis e possíveis de serem validados, os modelos numéricos utilizados devem ser 
elaborados com conhecimento teórico suficiente, de forma que o projetista possua nível de 
entendimento tal que lhe permita realizar uma análise crítica do modelo utilizado. 
 
A modelagem numérica realizada no presente trabalho demonstrou o quão é importante esse 
entendimento, sendo que, foi possível relacionar o método utilizado no ABAQUS com o 
modelo teórico da Viga de Bernoulli ensinada em sala de aula. 
 
As curvas aqui calculadas utilizando-se a curva de incêndio-padrão ISO 834 vieram reforçar 
estudos anteriores quanto ao comportamento de elementos de aço submetidos a esforço axial 
em situação de incêndio. 
 
Por fim, verificou-se que o modelo alcançou valores numéricos para a reação em situação de 
incêndio até a temperatura de possível colapso da estrutura, não convergindo a partir da 
temperatura crítica referente a cada caso. 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT NBR 14323:2013. Projeto de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e 
Concreto de Edifícios em Situação de Incêndio. ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas). Rio de Janeiro, 2013. 
 
ABNT NBR 14432:2000. Exigências de Resistência ao Fogo de Elementos Construtivos de 
Edificações. ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Rio de Janeiro, 2000. 
 
ABNT NBR 15200:2012. Projeto de Estruturas de Concreto em Situação de Incêndio. ABNT 
(Associação Brasileira de Normas Técnicas). Rio de Janeiro, 2012. 
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ABNT NBR 7190:2012. Projeto de Estruturas de Madeira - Proposta de Anexo para 
Estruturas de Madeira em Situação de Incêndio. ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas). 2012. 
 
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EN 1992-1-2:2004. Eurocode 2: Design of Concrete Structures, Part 1.2: General Rules, 
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EN 1993-1-2:2010. Eurocode 3: Design of Steel Structures, Part 1.2: General Rules, Structural 
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EN 1994-1-2:2011. Eurocode 2: Design of Composite Steel and Concrete Structures, Part 1.2: 
General Rules, Structural Fire Design. European Committee for Standardization, Bruxelas, 
2011. 
 
EN 1995-1-2:2002. Eurocode 5: design of timber structures, part 1-2: general rules-structural 
fire design. European Committee for standardization, Bruxelas, 2002. 
 
SIMULIA, DASSAULT. ABAQUS 6.11 analysis user's manual. Abaqus, v. 6, p. 22.2, 2011. 
 
SIMÃO, P.D; RODRIGUES, J.P.C; LAIM, Luis. GBT MODELING OF THE BUCKLING 
OF STEEL COLUMNS IN CASE OF FIRE. 
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Avançados. Doutoramento em Engenharia de Segurança ao Incêndio. Universidade de 
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https://www.researchgate.net/publication/321052123_GBT_MODELING_OF_THE_BUCKLING_OF_STEEL_COLUMNS_IN_CASE_OF_FIRE
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