LIVRO 1 SETOR A -editora kappa

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setor A
setor 1206
físiCA
Prof.: 
aula 1 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 60
aula 2 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 62
aula 3 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 64
aula 4 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 66
aula 5 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 66
aula 6 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 68
aula 7 ............... AD h...............tM h............... tC h .................. 68
aula 8 ............... AD h...............tM h............... tC h ...................71
texto teórico ....................................................................................73
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AULAs 37 e 38 EstUdo dE o cortiço, dE ALUísio AZEVEdo
60 Física – Setor 1206 KAPA 1
AULA 1 CinemátiCA esCALAr: ConCeitos iniCiAis
Referencial é o corpo em relação ao qual identificamos o estado de repouso ou de movimento de outro 
corpo. Assim, um corpo está em movimento em relação a um referencial quando sua posição se modifica 
em relação a ele. Caso contrário, o corpo está em repouso relativamente ao referencial adotado.
Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que o móvel ocupa no decorrer do tempo.
Espaço (S) é a grandeza física que determina a posição de um móvel numa determinada trajetória, a partir 
de uma origem arbitrária denominada origem dos espaços (S 5 0).
No SI: [S] 5 m
0
S 5 22 m
1 m
S 5 12 m
S 5 0
Origem
dos espaços
Referência
Trajetória
orientadaEscala
1
Deslocamento escalar (ΔS) é a diferença entre o espaço final (S) e o espaço inicial (S
0
) do móvel.
ΔS 5 S 2 S
0
t
0
 5 0
S
0
0 t
SDS
S
exerCíCios
1 (Enem) Conta-se que um curioso incidente aconteceu durante a Primeira Guerra Mundial. Quando voava a uma alti-
tude de dois mil metros, um piloto francês viu o que acreditava ser uma mosca parada perto de sua face. Apanhando-a 
rapidamente, ficou surpreso ao verificar que se tratava de um projétil alemão.
PERELMAN, J. Aprenda física brincando. São Paulo: Hemus, 1970.
O piloto consegue apanhar o projétil, pois: 
a) ele foi disparado em direção ao avião francês, freado pelo ar e parou justamente na frente do piloto.
b) o avião se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade visivelmente superior.
c) ele foi disparado para cima com velocidade constante, no instante em que o avião francês passou.
d) o avião se movia no sentido oposto ao dele, com velocidade de mesmo valor.
e) o avião se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade de mesmo valor.
H-20
A velocidade do projétil em relação ao piloto era nula porque seus movimentos 
tinham o mesmo sentido, com velocidades de mesmo módulo.
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KAPA 1 Física – Setor 1206 61
2 (CFT-CE) Observe o gráfico a seguir. Supondo que x seja a abscissa que determina a posição de uma bicicleta 
que percorre uma trajetória retilínea orientada para a direita, procure associar os pontos 1, 2 e 3 do gráfico 
com as figuras A, B e C.
t (s)
800
400
400200
A B C
600 800 1000 1200 1600 1800
x (m)
1
3
21200
A correspondência verdadeira é:
a) 1A – 2B – 3C.
b) 1B – 2C – 3A.
c) 1A – 2C – 3B.
d) 1C – 2B – 3A.
e) 1B – 2A – 3C.
1 – corresponde a um movimento a favor da orientação da trajetória, portanto figura C.
2 – corresponde a uma situação de repouso, portanto figura B.
3 – corresponde a um movimento contra a orientação da trajetória, portanto figura A.
H-17
 Caderno de Exerc’cios Ð sŽrie 1
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1 e 4.
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Leia os itens 1.1 a 1.6 do Texto teórico.
 Faça o exercício 2 da seção Rumo ao Enem.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
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62 Física – Setor 1206 KAPA 1
AULA 2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Considere que, em certo intervalo de tempo Δt, o deslocamento escalar de um móvel seja ΔS. Define-se velo-
cidade escalar média (V
m
) a razão entre o deslocamento escalar ΔS e o correspondente intervalo de tempo Δt.
t
0
 5 0
S
0
0 t
SDS
S
Algebricamente:
5
∆
∆
V
S
t
m
Em que:
ΔS: deslocamento escalar Δt: intervalo de tempo
ΔS 5 S 2 S
0
Δt 5 t 2 t
0
No Sistema Internacional de Unidades:
5[V]
m
s
Relação entre as principais unidades da velocidade:
1
m
s
3,6
km
h
=
EXERCÍCIOS
1 (Enem) Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. 
Para tanto, a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que 
o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No 
primeiro trecho, a velocidade máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No 
segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h.
Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande continuamente 
na velocidade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?
a) 0,7.
b) 1,4.
c) 1,5.
d) 2,0.
e) 3,0.
H-20
Dados: ΔS
1
 5 80 km; V
1
 5 80 km/h; ΔS
2
 5 60 km; 
V
2
 5 120 km/h.
O tempo total é a soma dos dois tempos parciais:
5 1
5 1 5 1 5 1
5
∆ ∆ ∆ ⇒
∆
∆ ∆
⇒
∆
t t t
t
S
V
S
V
80
80
60
120
1 0,5
t 1,5 h
1 2
1
1
2
2
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KAPA 1 Física – Setor 1206 63
2 (G1-IFSP – Adaptada) Sete crianças saíram em uma van para visitar as obras de um dos estádios da Copa 
do Mundo de 2014, distante 20 km de suas casas. Durante a primeira metade do caminho, a van conseguiu 
desenvolver a velocidade máxima da pista e chegar a 80 km/h. Porém, para a infelicidade do grupo, na se-
gunda parte do trajeto, havia muito congestionamento, no qual levaram 30 minutos.
Portanto, podemos concluir que a velocidade média, em km/h, em todo percurso, foi de:
a) 32.
b) 38.
c) 42.
d) 48.
e) 62.
H-20
Dados:
∆ = =S 10 km; V 90
km
h
;
1 1
ΔS
2
 5 10 km; Δt
2
 5 30 min 5 0,5 h
O tempo do primeiro trecho e o tempo total são dados por:
5 5 5t
S
V
10
80
1
8
h
1
1
1
∆
∆
5 1 5 1 5t t t
1
8
1
2
5
8
h
1 2
∆ ∆ ∆
A velocidade média total é:
5
1
5 5 5
∆ ∆
∆
+
V
S S
t
10 10
5
8
160
5
32 km h
m
1 2
 Caderno de Exerc’cios Ð sŽrie 3
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 2, 3 e 5 da série 3.
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Leia os itens 1.7 e 1.8 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 9 e 11 da série 3.
 Faça os exercícios 1 e 3 da seção Rumo ao Enem.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
ANOTAÇÕES
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64 Física – Setor 1206 KAPA 1
AULA 3 ACeLerAção esCALAr médiA
A aceleração escalar média (a
m
) é definida como a razão entre a variação da velocidade escalar do móvel 
(ΔV) e o respectivo intervalo de tempo (Δt).
t
0
t
V
S
V
0
Algebricamente:
a
V
tm
=
∆
∆
Em que:
ΔV: variação de velocidade Δt: intervalo de tempo
ΔV 5 V 2 V
0
Δt 5 t 2 t
0
No Sistema Internacional de Unidades:
a m
s2
[ ] =
Classificação de movimentos: 
Acelerado: |V| aumenta 
Retardado: |V| diminui 
Uniforme: |V| 5 constante ≠ 0
exerCíCios
1 (Enem) 
Rua da Passagem
Os automóveis atrapalham o trânsito.
Gentileza é fundamental.
Não adianta esquentar a cabeça.
Menos peso do pé no pedal. 
O trecho da música, de Lenine e Arnaldo Antunes (1999), ilustra a preocupação com o trânsito nas cida-
des, motivo de uma campanha publicitária de uma seguradora brasileira. Considere dois automóveis, A 
e B, respectivamente conduzidos por um motorista imprudente e por um motorista consciente e adepto 
da campanha citada. Ambos se encontram lado a lado no instante inicial t 5 0 s, quando avistam um 
semáforo amarelo (que indica atenção, parada obrigatóriaao se tornar vermelho). O movimento de A e 
B pode ser analisado por meio do gráfico, que representa a velocidade de cada automóvel em função 
do tempo.
H-20
H-17
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KAPA 1 Física – Setor 1206 65
10
B
A
A
B
10
20
30
V (m/s)
20 30 40 t (s)
As velocidades dos veículos variam com o tempo em dois intervalos: (I) entre os instantes 10 s e 20 s; (II) entre 
os instantes 30 s e 40 s. De acordo com o gráfico, quais são os módulos das taxas de variação da velocidade 
do veículo conduzido pelo motorista imprudente, em m/s2, nos intervalos (I) e (II), respectivamente?
a) 1,0 e 3,0.
b) 2,0 e 1,0.
c) 2,0 e 1,5.
d) 2,0 e 3,0.
e) 10,0 e 30,0.
2 (FGV) Um carro deslocou-se por uma trajetória retilínea e o gráfico qualitativo de sua velocidade (V), em 
função do tempo (t), está representado na figura.
t
I III
II
0
V
Analisando o gráfico, conclui-se corretamente que:
a) o carro deslocou-se em movimento uniforme nos trechos I e III, permanecendo em repouso no trecho II.
b) o carro deslocou-se em movimento acelerado nos trechos I e III, permanecendo em repouso no trecho II.
c) o deslocamento do carro ocorreu com aceleração nula nos trechos I e III, permanecendo constante no 
trecho II.
d) o carro deslocou-se em movimento acelerado no trecho I, em movimento uniforme no trecho II, e em 
movimento retardado no trecho III.
e) o movimento do carro foi uniforme no trecho I e acelerado no trecho II, mas foi retardado no trecho III.
Analisando cada um dos trechos:
[I] o módulo da velocidade escalar cresce linearmente com o tempo: o movimento é acelerado.
[II] o módulo da velocidade escalar é constante e não nulo: o movimento é uniforme.
[III] o módulo da velocidade escalar decresce linearmente com o tempo: o movimento é retardado.
Pelo gráfico, percebe-se que o motorista imprudente 
é o condutor do veículo A, que recebe acelerações e 
desacelerações mais bruscas.
De 10 s a 20 s: 5 5 5
−
−
→
( ) ( )
a
30 10
20 10
20
10
a 2,0 m s
I I
2 
De 30 s a 40 s: 5 5 5a
0 30
40 30
30
10
a 3,0 m s
II II
2−
−
−
→
( ) ( )
H-20
H-17
 Caderno de Exerc’cios Ð sŽrie 9
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1, 3 e 9.
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Leia os itens 1.9 e 1.10 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 4 e 5 da seção Rumo ao Enem.
OrienTaçãO de esTudO
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66 Física – Setor 1206 KAPA 1
AULAs 4 e 5 moVimento Uniforme (mU)
1 Resumo
1.1 Conceito
Um movimento será uniforme quando o módulo da velocidade escalar instantânea for constante e diferente 
de zero com o passar do tempo.
1.2 Função horária do espaço
S S V t
0
= + ⋅
Observa-se que na expressão:
S
0
 é o espaço em t
0
 5 0, ou seja, o espaço inicial;
V é a velocidade escalar;
S é o espaço em um instante t qualquer.
1.3 Gráficos
No movimento uniforme, como a velocidade escalar é constante e não nula, sua representação gráfica é 
um segmento de reta paralelo ao eixo do tempo. No entanto, o gráfico que representa os espaços em função dos 
instantes corresponde a uma reta inclinada em relação ao eixo do tempo.
V
V
0 t t
S
S
0
S
0 t t
S
0
S
0 t t
2V
V
0
t
t
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KAPA 1 Física – Setor 1206 67
EXERCÍCIOS
1 (Enem) Em apresentações musicais realizadas em espaços onde o público fica longe do palco, é necessária 
a instalação de alto-falantes adicionais a grandes distâncias, além daqueles localizados no palco. Como a 
velocidade com que o som se propaga no ar (v
som
 5 3,4 ? 102 m/s) é muito menor do que a velocidade com 
que o sinal elétrico se propaga nos cabos (v
sinal
 5 2,6 ? 108 m/s), é necessário atrasar o sinal elétrico de modo 
que este chegue pelo cabo ao alto-falante no mesmo instante em que o som vindo do palco chega pelo ar. 
Para tentar contornar esse problema, um técnico de som pensou em simplesmente instalar um cabo elétrico 
com comprimento suficiente para o sinal elétrico chegar ao mesmo tempo que o som, em um alto-falante 
que está a uma distância de 680 metros do palco.
A solução é inviável, pois seria necessário um cabo elétrico de comprimento mais próximo de: 
a) 1,1 ? 103 km. b) 8,9 ? 104 km. c) 1,3 ? 105 km. d) 5,2 ? 105 km. e) 6,0 ? 1013 km.
O tempo deve ser o mesmo para o som e para o sinal elétrico.
2 (Fuvest-SP) Marta e Pedro combinaram encontrar-se em certo ponto de uma autoestrada plana, para seguirem 
viagem juntos. Marta, ao passar pelo marco zero da estrada, constatou que, mantendo uma velocidade média 
de 80 km/h, chegaria na hora certa ao ponto de encontro combinado. No entanto, quando ela já estava no 
marco do quilômetro 10, ficou sabendo que Pedro tinha se atrasado e, só então, estava passando pelo marco 
zero, pretendendo continuar sua viagem a uma velocidade média de 100 km/h. Mantendo essas velocidades, 
seria previsível que os dois amigos se encontrassem próximos a um marco da estrada com indicação de:
a) km 20. b) km 30. c) km 40. d) km 50. e) km 60.
Marta → S 5 10 1 80 ? t
Pedro → S 5 0 1 100 ? t
O encontro ocorrerá no instante
t → 100 ? t 5 10 1 80 ? t → 100 ? t – 80 ? t 5 10 → 20 ? t 5 10 → t 5 
10
20
5 0,5 h
A posição será S 5 100 ? t 5 100 ? 0,5 5 50 km
3 (Vunesp) Os dois primeiros colocados de uma prova 
de 100 m rasos de um campeonato de atletismo fo-
ram, respectivamente, os corredores A e B. O gráfico 
representa as velocidades escalares desses dois cor-
redores em função do tempo, desde o instante da 
largada (t 5 0) até os instantes em que eles cruzaram 
a linha de chegada.
Analisando as informações do gráfico, é correto afir-
mar que, no instante em que o corredor A cruzou a 
linha de chegada, faltava ainda para o corredor B com-
pletar a prova uma distância, em metros, igual a
a) 5.
b) 25.
c) 15.
d) 20.
e) 10.
Do gráfico, conclui-se que o corredor B chegou 2 s depois 
do corredor A e que, nesses últimos 2 s, sua velocidade foi de 10 m/s. Então, quando A cruzou a linha de chegada, 
a distância D que faltava para o corredor B chegar era: D 5 v ? t → D 5 10 ? 2 → D 5 20 m
H-20
5 5
?
5 5 ? 5 ? 5 ?( )∆ ∆ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒t t
L
v
d
v
L
2,6 10
680
340
L 2 2,6 10 L 5,2 10 m 5,2 10 km
sinal som
cabo
sinal som
cabo
8 cabo
8
cabo
8 5
H-20
14
12
10
8
6
4
2
0
V (m/s)
A
B
2 4 6 8 10 12 14 t (s)
H-20
H-17
 Caderno de Exerc’cios Ð sŽries 3 e 4
AULA 4
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 6, 8 e 10 da série 3.
AULA 5
 Leia os itens 2.4 e 2.5 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 1, 3 e 4 da série 4.
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 4
 Leia os itens 2.1 a 2.3 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 12 e 13 da série 3.
AULA 5
 Faça o exercício 14 da série 3.
 Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
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68 Física – Setor 1206 KAPA 1
AULAs 6 e 7 moVimento Uniformemente VAriAdo (mUV)
1 Resumo
1.1 Conceito
Um movimento será uniformemente variado quando o módulo da aceleração escalar for constante e diferente 
de zero com o passar do tempo.
1.2 Função horária da velocidade
V V a t
0
= + ⋅
Observa-se que na expressão:
V
0
 é a velocidade em t
0
 5 0, ou seja, a velocidade inicial;
a é a aceleração escalar;
V é a velocidade em um instante t qualquer.
1.3 Gráfico V 3 t
0
V V
v
0
v
0
t 0 t
a . 0 a , 0
1.4 Função horária do espaço
S S V t
a
2
t
0 0
2= + ⋅ + ⋅
Observa-se que na expressão:
S é o espaço em um instante t qualquer;
S
0
 é o espaço em t
0 5 0, ou seja, o espaço inicial;
V
0
 é a velocidade escalar em t
0
 5 0, ou seja, a velocidade inicial;
a é a aceleração escalar em qualquer instante t.
1.5 Gráfico s 3 t
S
S
0
t
a . 0
S
S
0
t
a , 0
1.6 equação de Torricelli
5 1 ?V V 2a S2
0
2 ∆
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KAPA 1 Física – Setor 1206 69
exerCíCios
1 (UErN) Seja o gráfico da velocidade em função 
do tempo de um corpo em movimento retilíneouniformemente variado representado abaixo.
V (m/s)
10
0 5 t (s)
Considerando a posição inicial desse movimento 
igual a 46 m, então a posição do corpo no instante 
t 5 8 s é
a) 54 m.
b) 62 m.
c) 66 m.
d) 74 m.
= ⇒ =
= ⇒ =



⇒
⇒ = ∆
∆
= −
−
⇒ = −
t 0 V 10 m/s
t 5s V 0
a
V
t
0 10
5 0
a 2 m/s
0
2
Dado: S
0
 5 46 m.
Do gráfico:
Aplicando a função horária do espaço para o instante 
t 5 8 s:
H-20
H-17
( ) ( )
= + + ⇒
⇒ = + + − = + − ⇒
=
S S V t
a
2
t
S 46 10 8
2
2
8 46 80 64
S 62 m
0 0
2
2
2 (Enem) Para melhorar a mobilidade urbana na rede 
metroviária é necessário minimizar o tempo entre 
estações. Para isso, a administração do metrô de 
uma grande cidade adotou o seguinte procedi-
mento entre duas estações: a locomotiva parte 
do repouso em aceleração constante por um ter-
ço do tempo de percurso, mantém a velocidade 
constante por outro terço e reduz sua velocidade 
com desaceleração constante no trecho final, até 
parar.
Qual é o gráfico de posição (eixo vertical) em fun-
ção do tempo (eixo horizontal) que representa o 
movimento desse trem?
a) 
tempo
p
o
s
i•
‹
o
b) 
tempo
p
o
s
i•
‹
o
c) 
tempo
p
o
s
i•
‹
o
d) 
tempo
p
o
s
i•
‹
o
e) 
tempo
p
o
s
i•
‹
o
H-20
H-17
1o trecho: movimento acelerado (a > 0) → o gráfico da posição 
em função do tempo é uma curva de concavidade para cima. 
2o trecho: movimento uniforme (a 5 0) → o gráfico da posição 
em função do tempo é um segmento de reta crescente. 
3o trecho: movimento desacelerado (a < 0) → o gráfico da 
posição em função do tempo é uma curva de concavidade 
para baixo.
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70 Física – Setor 1206 KAPA 1
3 (Enem) O trem de passageiros da Estrada de Ferro Vitória-Minas (EFVM), que circula diariamente entre 
a cidade de Cariacica, na Grande Vitória, e a capital mineira Belo Horizonte, está utilizando uma nova 
tecnologia de frenagem eletrônica. Com a tecnologia anterior, era preciso iniciar a frenagem cerca de 
400 metros antes da estação. Atualmente, essa distância caiu para 250 metros, o que proporciona redu-
ção no tempo de viagem.
Considerando uma velocidade de 72 km/h, qual o módulo da diferença entre as acelerações de frenagem 
depois e antes da adoção dessa tecnologia?
a) 0,08 m/s2
b) 0,30 m/s2
c) 1,10 m/s2
d) 1,60 m/s2
e) 3,90 m/s2
Supondo essas acelerações constantes, aplicando a equação de Torricelli para o movimento uniformemente retardado, vem:
H-20
5 ? ? 5 2 ? ?
5
?
5 5
5 5
− ∆ ⇒ ∆ ⇒
∆
⇒
⋅
⇒
⋅
⇒






⇒
⇒ − = − ⇒
⇒ − =
V V 2 a S 0 V 2 a S
a
V
2 S
a
20
2 400
a 0,5 m/s
a
20
2 250
a 0,8 m/s
a a 0,5 0,8
a a 0,3 m/s
2
0
2 2
0
2
0
2 1
2
1
2
2
2
1
2
1 2
1 2
2
 Caderno de Exercícios Ð sŽries 11, 12 e 13
AULA 6
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 2, 5 e 8 da série 11.
AULA 7
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1, 2 e11 da série 13.
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 6
 Leia os itens 3.1 a 3.3 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 1, 6 e 7 da série 12.
AULA 7
 Leia os itens 3.5 e 3.7 do Texto teórico.
 Faça os exercícios 12 e 14 da série 13.
 Faça o exercício 8 da seção Rumo ao Enem.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
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KAPA 1 Física – Setor 1206 71
AULA 8 ProPriedAdes dos gráfiCos
1 DiaGRamas De espaço
S
∆S
∆t
S
0
0 t
V 5 ∆S
∆t
Movimento não uniforme
Movimento uniforme
S v
i
tangente ao gráfco no
instante considerado
coefciente
angular da
reta tangente
0 t
a
N
5
2 DiaGRamas De VeloCiDaDe
V
V
∆S
0 tt
2
t
1
ÁREA 5 ∆S
N
V
∆S
0 tt
2
t
1
V
∆S . 0 
∆S , 0 
0
t
Movimento não uniforme
Movimento uniforme
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 71 11/19/15 9:05 AM
72 Física – Setor 1206 KAPA 1
ExErcícios
1 (Vunesp) Um motorista dirigia por uma estrada plana e retilínea quando, por causa de obras, foi obrigado 
a desacelerar seu veículo, reduzindo sua velocidade de 90 km/h (25 m/s) para 54 km/h (15 m/s). Depois de 
passado o trecho em obras, retornou à velocidade inicial de 90 km/h. O gráfico representa como variou a 
velocidade escalar do veículo em função do tempo, enquanto ele passou por esse trecho da rodovia.
0 10
15
25
V (m/s)
20 30 40 50 60 70 80 t (s)
Caso não tivesse reduzido a velocidade devido às obras, mas mantido sua velocidade constante de 90 km/h duran-
te os 80 s representados no gráfico, a distância adicional que teria percorrido nessa estrada seria, em metros, de
a) 1 650. b) 800. c) 950. d) 1 250. e) 350.
2 (PUC-PR) Um motociclista dirige uma motocicleta ao lon-
go de uma estrada reta como mostrado no diagrama 
velocidade 3 tempo.
A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta:
a) Entre os instantes t 5 3 s e t 5 5 s, o movimento é ace-
lerado.
b) A aceleração no intervalo de tempo entre t 5 5 s e 
t 5 7 s vale – 4 m/s2.
c) O deslocamento do motociclista entre os instantes 
t 5 3 s e t 5 5 s foi de 20 m.
d) A aceleração no intervalo de tempo entre t 5 5 s e 
t 5 7 s vale 2 m/s2.
e) A aceleração no intervalo de tempo entre t 5 0 e t 5 3 s 
é nula.
Analisemos cada intervalo:
De 0 s a 3 s: o movimento é uniformemente acelerado; a aceleração escalar é: a
1
 5 5
∆
∆
≅
V
t
8
3
2,71
1
m/s2
O espaço percorrido é calculado pela “área” de 0 s a 3 s: 5
?
5S
3 8
2
12
1
∆ m
De 3 s a 5 s: o movimento é uniforme, com velocidade escalar V
2
 5 8 m/s.
O espaço percorrido é: ΔS
2
 5 V
2 
Δt
2
 ⇒ 8
 
?
 
2 5 16 m
De 5 s a 7 s: o movimento é uniformemente retardado; a aceleração escalar é: a
3
 5 5
2
2
5
2
5 2
∆
∆
V
t
0 8
7 5
8
2
43
3
m/s2
O espaço percorrido é: S
2 8
2
8
3
?
∆ = = m 
H-20
H-17
0 10
15
25
V (m/s)
20 30 40 50 60 70 80
t (s)
H-20
H-17
8
V (m/s)
3 5 7 t (s)
 Caderno de Exerc’cios Ð sŽries 2, 9 e 11
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1 a 3 da série 2.
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Leia os itens 2.4, 2.6, 3.4 e 3.6 do Texto teórico.
 Faça o exercício 2 da série 9.
 Faça o exercício 7 da série 11.
 Faça o exercício 6 da seção Rumo ao Enem.
oriEnTação dE EsTudo
A distância (D) pedida é numericamente igual à área hachurada no gráfico. D
50 20
2
10 D 350 m=
+
⋅ ⇒ =
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KAPA 1 Física – Setor 1206 73
TEXTO TEóriCO
AULAs 1 a 8
1. CinemáTiCa esCalaR: ConCeiTos iniCiais
1.1 introdução
A cinemática escalar é o ramo da Física que estuda o movimento dos 
corpos sem considerar suas causas. A intenção é descrever, em cada instante, 
os movimentos através das grandezas físicas: posição, velocidade e aceleração.
Em todas as situações abordadas, os corpos em estudo serão considerados 
pontos materiais, por apresentarem dimensões que não interferem no estudo 
de seu movimento.
1.2 Referencial
Trata-se de um corpo em relação ao qual são definidas as posições de outros corpos. Por exemplo, na Astro-
nomia é muito comum dizer que a Terra é o “terceiro planeta do Sistema Solar”. Essa afirmação significa que, 
escolhendo o Sol como referencial, a Terra, entre os planetas do Sistema Solar, é o terceiro mais próximo do Sol. 
Observe, na figura a seguir, as posições dos demais planetas do Sistema Solar.
Mercúrio
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Vênus
Planetas do Sistema Solar.
A localização de um corpo depende 
do referencial escolhido. Vale ressaltar 
que a escolha do referencial é arbitrá-
ria. Por exemplo, na situação anterior 
as posições dos planetas poderiam ser 
informadas em relação a qualquer um 
dos planetas do Sistema Solar.
Note que as dimensões de um carro são muito pequenas quando 
comparadas com o comprimento da estrada. Nessa situação, 
as dimensões de um carro podem ser desprezadas e o carro é 
chamado de ponto material.
A
B
C
D
I II
Na figura, qualquer uma das pessoas A, B, C ou 
D ou qualquer um dos postes I ou II poderiam 
ser escolhidos como referencial.
O
L
L
Ir
g
/S
h
u
T
T
E
r
S
T
O
C
k
/g
L
O
w
 I
M
A
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S
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t
e: 
D
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l 
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m
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u
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v
ia
g
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m
a
g
e
s
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m
a
g
e
m
2
4
.j
p
g
>
. 
A
c
e
s
s
o
 e
m
: 
1
3
 j
u
l.
 2
0
1
5
. 
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 73 11/19/15 9:05 AM
74 Física – Setor 1206 KAPA 1
1.3 movimento e repouso
Um móvel está em repouso em relação a um referencial quando sua posição permanecer constante no decorrer 
do tempo. Por consequência, quando sua posição se alterar no decorrer do tempo em relação a um referencial, o 
móvel estará em movimento em relação a esse referencial.
Não há repouso nem movimento absoluto. Assim, um móvel pode estar, simultaneamente, em repouso e em 
movimento dependendo do referencial adotado.
Note que o motorista do automóvel está em movimento em relação ao policial e, simultaneamente, em repouso em relação ao 
automóvel.
1.4 Trajetória
A linha determinada pelas diversas posições que o 
corpo ocupa no decorrer do tempo é chamada de trajetória.
O “rastro” deixado pela patinadora representa as sucessivas 
posições ocupadas no decorrer do tempo; unindo-as, obtemos 
uma linha denominada trajetória.
A forma da trajetória de um móvel depende do 
referencial adotado. Observe a figura a seguir.
(A)
(B)
Situação hipotética: um avião em trajetória retilínea abandona 
uma bomba. A forma da trajetória no referencial (A) é diferente 
da forma no referencial (B).
No referencial (A) do piloto, a bomba descreve 
uma trajetória retilínea; porém, no referencial (B) do 
observador no solo, a bomba descreve uma trajetória 
curvilínea.
1.5 espaço (s)
Para informar a posição de um corpo em uma tra-
jetória previamente conhecida, utiliza-se a grandeza 
física denominada espaço.
Em nosso cotidiano, já utilizamos o conceito de 
espaço, porém não com esse nome. Por exemplo, 
quando um carro encontra-se no marco quilométrico 
537 de uma rodovia, podemos dizer que seu espaço 
é S 5 537 km.
O marco quilométrico de uma estrada informa a distância, medida 
sobre a estrada, até um marco zero arbitrário (por exemplo, o 
ponto de fronteira entre dois estados).
O
L
L
Ir
g
/S
h
u
T
T
E
r
S
T
O
C
k
/g
L
O
w
 I
M
A
g
E
S
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KAPA 1 Física – Setor 1206 75
Para medir o espaço na rodovia, é necessário 
adotar um marco zero, conhecido como origem dos 
espaços (S 5 0). Escolhe-se também uma orientação 
positiva para a trajetória. Assim, o espaço é o compri-
mento do trecho de trajetória que vai do marco zero 
até o móvel, com sinal positivo ou negativo, em função 
da orientação adotada.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade 
de espaço é o metro (m).
Observe a figura a seguir.
0
O
1
Origem (km)
B
A
10210220
230
240
20
30
Note que:
 As localizações dos móveis A e B são: S
A
 5 30 km 
e S
B
 5 240 km.
 A orientação “positivo para a direita” indicada 
na figura é arbitrária, pois, dependendo da si-
tuação, pode ser conveniente orientar “positivo 
para a esquerda”.
 O espaço apenas indica a posição do móvel em 
um determinado instante e não permite afirmar 
se o corpo está em movimento ou repouso.
 O espaço não é indicação de distância percorri-
da. Caso o espaço de um móvel seja S 5 30 km, 
isso não significa, obrigatoriamente, que o móvel 
percorreu 30 km.
O marco zero das rodovias paulistas
Em uma trajetória previamente conhecida, escolhe-
mos arbitrariamente um marco zero, a partir do qual 
medimos comprimentos que indicam a posição do 
corpo. O marco zero (origem dos espaços) das rodo-
vias radiais que cortam o estado de São Paulo está 
localizado na Praça da Sé, zona central da cidade de 
São Paulo.
Marco zero das estradas paulistas.
1.6 Deslocamento escalar (Δs)
Vamos considerar um móvel movendo-se sobre 
uma trajetória conforme mostrado na figura a seguir.
t
0
 5 0
S
0
0 t
SDS
S
Num instante t
0
 5 0, anotado num cronômetro, 
o móvel ocupa uma posição representada pelo espaço 
S
0
. No instante posterior t, ele ocupa a posição repre-
sentada por S. Define-se deslocamento escalar como 
a diferença entre o espaço final (S) e o espaço inicial 
(S
0
).
Algebricamente:
ΔS 5 S 2 S
0
O deslocamento escalar pode ser positivo, negati-
vo ou zero e nem sempre ele corresponde à distância 
percorrida pelo móvel.
Exemplos:
1. 
0
1 2 3
(t
1
) (t
2
)
4
A
A
S (m)
5 6 7
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
ΔS 5 S
2
 – S
1
ΔS 5 5 – 2
ΔS 5 13 m (o sinal positivo indica que A se des-
locou a favor da orientação da trajetória)
2. 
0
1 2 3
(t
1
)(t
2
)
4
B
B
S (m)
5 6 7
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
ΔS 5 S
2
 – S
1
ΔS 5 1 – 6
ΔS 5 –5 m (o sinal negativo indica que B se des-
locou contra a orientação da trajetória)
h
T
T
P
S
:/
/C
O
M
M
O
n
S
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Ik
IM
E
D
IA
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:M
A
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C
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z
E
r
O
_
D
E
_
S
%
C
3
%
A
3
O
_
P
A
u
L
O
_
2
.J
P
g
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76 Física – Setor 1206 KAPA 1
3. 
0 10 20 30 40
(t
1
)
(t
2
)
S (km)
C
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
55 5
35 25
50 10
40 20
45 15
60
30
ΔS 5 S2 – S1
ΔS 5 10 – 10
ΔS 5 0 (observe que um deslocamento escalar 
nulo não significa, necessariamente, que o móvel per-
maneceu em repouso durante o intervalo de tempo 
considerado)
1.7 Velocidade escalar média (V
m
)
Nos esportes como o automobilismo e o ciclismo, 
é frequente escutarmos a expressão “velocidade média” 
de um móvel em um dado percurso. Contudo, isso não 
significa que o móvel apresente esse mesmo valor de 
velocidade durante todo o percurso. 
Num Grande Prêmio de Fórmula 1, o vencedor apresentou, em 
uma das voltas, a velocidade média de 195 km/h. Certamente, 
durante a corrida, o velocímetro registrou velocidades superiores 
a 195 km/h nas retas e velocidades inferiores a 195 km/h nas 
curvas.
Considere que, em certo intervalo de tempo 
Δt 5 t 2 t0, o deslocamento escalar de um móvel 
seja ΔS, como indicado na figura a seguir. Define-
-se velocidade escalar média (V
m
) a razão entre o 
deslocamento escalar ΔS e o correspondente intervalo 
de tempo Δt.
t
0
 5 0
S
0
0 t
S
DS
S
Algebricamente:
=
∆
∆
V
S
t
m
Em que:
ΔS: deslocamento escalar
Δt: intervalo de 
tempo
ΔS 5 S 2 S
0
Δt 5 t 2 t
0
No Sistema Internacional de Unidades:
V m
s
[ ] =
Relação entre as principais unidades da velocidade:
1m
s
3,6 km
h
=
Note:
 A definição de velocidade média pode ser apli-
cada para qualquer tipo de movimento.
Transformação de unidade
A unidade de velocidade escalar é expressa em uni-
dades de comprimento por unidade de tempo: km/h 
(quilômetros por hora), m/s (metros por segundo), mi/h 
(milhas por hora), cm/s (centímetros por segundo), etc. 
É muito comum, na resolução de problemas, a neces-
sidade de converter velocidades expressas em km/h 
em m/s e vice-versa. 
Sabemos que:
 1 km 5 1 000 m
 1 h 5 60 min e 1 min 5 60 s
 1 h 5 60 ? 60 5 3 600 s
Então:
5 5 51km
h
1000 m
3600  s
1 m
3,6  s
3,6 km
h
1 m
 s
⇒
Assim, para converter km/h em m/s, divide-se o valor 
da velocidade por 3,6; para converter m/s em km/h, 
multiplica-se o valor da velocidade por 3,6.
3 3,6
km/hm/s
4 3,6
K
IK
O
 J
IM
E
N
E
Z
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
/G
L
O
W
 I
M
A
G
E
S
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KAPA 1 Física – Setor 1206 77
1.8 Velocidade escalar instantânea (V)
Para obtermos informações detalhadas sobre o movimento de um móvel, é necessário conhecermos o valor da 
velocidade em todos os instantes. No caso de um automóvel ou uma motocicleta, por exemplo, basta observarmos 
o velocímetro que saberemos o valor de sua velocidade instantânea. O sinal da velocidade dependerá se o móvel 
se movimenta a favor ou contra a orientação adotada para a trajetória.
A figura ilustra um carro durante uma viagem e os respectivos registros da intensidade da velocidade a cada 
instante.
t
05 0 t
1
 5 1 min
70 km/h 50 km/h 90 km/h 120 km/h
t
2
 5 2 min t
3
 5 3 min
A indicação do velocímetro corresponde ao módulo da velocidade escalar instantânea.
Outra maneira de determinar a velocidade escalar instantânea (V) é por meio da equação da velocidade, que 
permite determinar a velocidade de um corpo em um instante t qualquer. Observe que a equação da velocidade 
é uma função de t, pois, a cada instante, o corpo pode ter uma única velocidade. Exemplo: 
Considere que a velocidade de um corpo que se move ao longo de uma estrada seja dada pela função: 
V(t) 5 6t 1 12t2, em unidades do SI.
Para o instante 1s, pode-se concluir que esse corpo possui uma velocidade de 18 m/s, pois:
V(1) 5 6 ? (1) 1 12 ? (1)2
V(1) 5 18 m/s
Observações: 
 Em casos que a velocidade escalar instantânea é a mesma em todos os instantes, ela vai coincidir com a 
velocidade escalar média.
 O sinal da velocidade depende do sinal do deslocamento escalar. Assim, quando o móvel se desloca a favor 
da orientação da trajetória, o sinal da velocidade é positivo, e quando o móvel se desloca no sentido contrário 
da orientação da trajetória, o sinal da velocidade é negativo.
1.9 aceleração escalar média (a
m
)
Com frequência, as revistas especializadas publicam resultados de testes realizados com diferentes modelos 
de automóveis. Entre outras informações técnicas, podemos observar que os chamados “carros populares” fazem 
de 0 a 100 km/h em aproximadamente 16 s.
Essa informação significa que, partindo do repouso (V 5 0), esse carro demora 16 s para atingir a velocidade 
de 100 km/h. De outra maneira, podemos dizer que, em média, a velocidade do carro aumenta 6,25 km/h a 
cada segundo. Esse valor, 6,25 km/h a cada segundo, resultado de 
100  km/h
16  s
, representa a taxa da variação de 
velocidade escalar por unidade de tempo e é denominado aceleração escalar média.
A aceleração escalar média é definida como a razão entre a variação da velocidade escalar do móvel (ΔV) e o 
respectivo intervalo de tempo (Δt).
t
0
t
V
S
V
0
Algebricamente:
a
V
tm
=
∆
∆
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78 Física – Setor 1206 KAPA 1
Em que:
ΔS: deslocamento escalar Δt: intervalo de tempo
ΔV 5 V 2 V
0
Δt 5 t 2 t
0
No Sistema Internacional de Unidades:
m
s
s
m
s2
[ ]a[ ] = == =
Sendo assim, o “carro popular” do exemplo anterior possui uma aceleração dada por:
ΔV 5 100 – 0 5 100 km/h 5 27,8 m/s
Δt 5 16 s
a
27,8
16
1,7  
m
sm 2
= =
Observações:
 A aceleração não indica o sentido do movimento, apenas mostra com que rapidez a velocidade varia.
 A aceleração escalar pode ser positiva, negativa ou nula. Aceleração positiva não significa, obrigatoriamente, que 
a velocidade esteja aumentando. Do mesmo modo, aceleração negativa não significa, obrigatoriamente, 
que a velocidade esteja diminuindo. 
1.10 Tipos de movimento
O movimento de um corpo é dito variado quando sua velocidade escalar instantânea varia no decorrer do 
tempo; e é dito uniforme quando sua velocidade escalar instantânea é constante no decorrer do tempo. Exemplos:
a) Um movimento será acelerado quando o módulo da velocidade escalar instantânea for sempre crescente 
com o passar do tempo.
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
t
1
 5 0 t
2
 5 2 s t
3
 5 4 s t
4
 5 6 s
b) Um movimento será retardado quando o módulo da velocidade escalar instantânea for sempre decrescente 
com o passar do tempo.
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
t
1
 5 0 t
2
 5 2 s t
3
 5 4 s t
4
 5 6 s
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 78 11/19/15 9:05 AM
KAPA 1 Física – Setor 1206 79
c) Um movimento será uniforme quando o módulo da velocidade escalar instantânea for constante e diferente 
de zero com o passar do tempo. 
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
40 120
160
km/h
0
80
t
1
 5 0 t
1
 5 2 s t
1
 5 4 s t
1
 5 6 s
Analisando as características dos movimentos, pode-se concluir que:
 Num movimento acelerado, a velocidade escalar e a aceleração escalar têm o mesmo sinal. 
16 m/s
t 5 2 s
t
0
 5 0
(Movimento acelerado)
S
V . 0
a . 0
14 m/s
12 m/s
I. 22 m/s
t
0
 5 0
t 5 2 s
(Movimento acelerado)
S
V , 0
a , 0
24 m/s
26 m/s
II.
5 5 5 1a
V
t
6 2
2 0
2
m
sI 2
∆
∆
−
−
5 5
2 2 2
2
52a
V
t
6 2
2 0
2
m
sII 2
( )∆
∆
 Num movimento retardado, a velocidade escalar e a aceleração escalar têm sinais contrários.
12 m/s
t 5 2 s
t
0
 5 0
(Movimento retardado)
S
V . 0
a , 0
14 m/s
16 m/s
III. 26 m/s
t 5 2 s
t
0
 5 0
(Movimento retardado)
S
V , 0
a . 0
24 m/s
22 m/s
IV.
5 5
2 2 2
2
52a
V
t
6 2
2 0
2
m
sIII 2
( )∆
∆
5 5
2
2
51a
V
t
6 2
2 0
2
m
sIV 2
∆
∆
2. moVimenTo uniFoRme (mu)
2.1 Definição
Imagine-se dirigindo um carro numa rodovia de maneira a manter o ponteiro do velocímetro sempre na mesma 
posição, indicando, por exemplo, 80 km/h. Isso significa dizer que, se você prosseguir com esse movimento, vai 
percorrer a cada hora uma distância de 80 km. 
O movimento do carro na situação descrita é um movimento uniforme. Portanto, um movimento será uni-
forme quando a velocidade escalar instantânea for constante e diferente de zero com o passar do tempo. Pode-se 
dizer ainda que, em movimento uniforme, o móvel percorre deslocamentos escalares iguais em intervalos de 
tempo iguais. 
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80 Física – Setor 1206 KAPA 1
80 km
80 km/h 80 km/h 80 km/h
80 km
t 5 1 h t 5 2 h t 5 3 h
Movimento uniforme de um carro em que sua velocidade permanece constante com o passar do tempo.
Observação: 
 Se a velocidade instantânea for a mesma em todos os instantes, ela vai coincidir com a velocidade escalar 
média. Em símbolos:
5 5V V constantem
Travessia de túnel
Considere um trem atravessando um túnel. Entre o instante em que o trem entra no túnel e o instante em que a 
extremidade do último vagão abandona o túnel, cada ponto do trem sofre uma variação de espaço ΔS, dada por:
ΔS 5 L
trem
 1 L
túnel
Início da travessiaA A
L
trem
L
túnel
Término da travessia
Túnel
Conhecendo-se a velocidade escalar média do trem, pode-se determinar o intervalo de tempo de travessia:
V
S
t
V
L L
tm mtm m
trem túnel 
=
∆
∆
m m
∆
m m
⇒ =V⇒ =
L L+L L
∆
2.2 Função horária do espaço (mu)
Seja S
0
 a posição inicial do móvel no instante em que o cronômetro é acionado (t
0
 5 0); após um intervalo de 
tempo (Δt), o móvel em movimento uniforme ocupa a posição (S) num intervalo de tempo t. 
Observe a figura.
t
0
 5 0
S
0
0 t
SDS
S
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 80 11/19/15 9:05 AM
KAPA 1 Física – Setor 1206 81
Como a velocidade escalar instantânea é igual à velocidade escalar média, tem-se:
V V
V
S
t
S S
t t
V
S S
t 0
m
0
0
0
=
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
Assim, pode-se escrever:
S 5 S
0
 1 V ? t
A expressão obtida é a função horária dos espaços para qualquer movimento uniforme. Observa-se que na 
expressão:
 S
0
 é o espaço em t
0
 5 0, ou seja, o espaço inicial;
 V é a velocidade escalar;
 S é o espaço em um instante t qualquer.
Prevendo encontros
Vamos analisar uma situação na qual se deseja prever o instante e o local de encontro de dois móveis que se mo-
vimentam na mesma trajetória. Para tal, considere o seguinte exemplo:
Sejam A e B dois móveis que, em certo instante, adotado como t
0
 5 0, estejam distanciados em 400 km. Suponha ainda 
que seus movimentos sejam uniformes e que tenham suas velocidades registradas de acordo com a figura a seguir. 
VA 5 60 km/h
400 km
A B
VB 5 40 km/h
Em qual instante esse encontro ocorrerá? Qual o local onde se dará o encontro?
Resolução:
Vamos escolher a origem dos espaços no local onde o móvel A passa em t 5 0.
A seguir, vamos orientar a trajetória de A para B. (Escolha arbitrária. Poderíamos ter escolhido a origem no ponto 
de partidade B e orientado a trajetória de B para A. O resultado seria o mesmo.)
VA 5 60 km/h
400 kmkm 0 km 400
A B
VB 5 40 km/h
1
A partir da figura, 
 o espaço inicial de A é igual a zero. 
 SA
0
 5 0
 o espaço inicial de B é igual a 400 km. 
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82 Física – Setor 1206 KAPA 1
2.3 Gráfico da velocidade escalar em função do tempo para um movimento uniforme
No movimento uniforme, como a velocidade escalar é constante e não nula, sua representação gráfica é um 
segmento de reta paralelo ao eixo do tempo. Exemplos:
a) Suponha que um móvel, em movimento uniforme, se movimente a favor da orientação da trajetória (mo-
vimento progressivo). Nessa circunstância, sua velocidade escalar é positiva.
Dessa forma, a representação gráfica do comportamento da velocidade escalar em função do tempo, para esse 
móvel, será um segmento de reta paralelo ao eixo dos instantes, conforme indicado na figura a seguir. 
Velocidade positiva
V
orie
ntaç
ão d
a
traje
tória
V
V
t0
b) Suponha que um móvel, em movimento uniforme, se movimente contra a orientação da trajetória (movi-
mento retrógrado). Nessa circunstância, sua velocidade escalar é negativa.
Dessa forma, a representação gráfica do comportamento da velocidade escalar em função do tempo, para esse 
móvel, será um segmento de reta paralelo ao eixo dos instantes, conforme indicado na figura a seguir. 
Velocidade negativa
V
2V
t0
2V
orie
ntaç
ão d
a
traje
tória
SB
0
 5 400 km
A velocidade escalar de A é positiva. 
V
A
 5 60 km/h
A velocidade escalar de B é negativa. 
V
B
 5 240 km/h
Com esses dados, escreve-se as funções horárias dos 
móveis A e B:
S
A
 5 SA
0
 1 V
A
 ? t
S
A
 5 0 1 60 ? t
S
B
 5 SB
0
 1 V
B
 ? t 
S
B
 5 400 – 40 ? t
No instante do encontro, os móveis terão espaços iguais, 
assim:
S
A
 5 S
B
60 ? t 5 400 – 40 ? t
100 ? t 5 400
t 5 4 h
Logo, os móveis encontram-se 4 h após a partida.
Local do encontro
Substituindo-se t 5 4 h na função horária do móvel A, 
tem-se:
S
A
 5 60 ? 4
S
A
 5 240 km
Se substituíssemos t 5 4 h na função horária do móvel B, 
evidentemente o resultado seria o mesmo.
S
B
 5 400 – 40 ? 4
S
B
 5 240 km
Assim, o encontro se dá a 240 km do ponto onde o móvel 
A estava em t 5 0.
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 82 11/19/15 9:05 AM
KAPA 1 Física – Setor 1206 83
2.4 propriedades das áreas nos gráficos V 3 t
Considere um carro que, num determinado tempo 
t de viagem, se movimenta com velocidade escalar 
constante V. A seguir, para esse intervalo de tempo t, 
constrói-se o gráfico da velocidade escalar em função 
do tempo. 
V
V
0 t t
Como se trata de um movimento com velocidade 
escalar constante, utiliza-se a função horária do movi-
mento uniforme para calcular o deslocamento escalar 
para o tempo t.
5 ?
5 ?
5 ?
SS SS VV tt
SS SS VV tt
VV ttS
0
0
+
−
∆
O mesmo resultado pode ser encontrado calcu-
lando-se a área sob o gráfico. Observe a seguir. 
V
V
Área
0 t t
Área 5 V ? t
Assim, comparando os dois resultados, obtém-se a 
seguinte propriedade:
A área da região compreendida entre o segmento de 
reta e o eixo dos tempos mede, numericamente, o 
módulo do deslocamento escalar (ΔS) do móvel no 
intervalo de tempo considerado.
Em símbolos:
5 ∆Área S
N
Observação: 
 A propriedade das áreas no gráfico V 3 t vale 
para qualquer tipo de movimento.
V
0 t
çrea
N
5 |DS|
2.5 Gráfico do espaço (s) em função do 
instante t para um movimento uniforme
No movimento uniforme, como a função horária 
do espaço é uma função do primeiro grau, o gráfico 
que representa os espaços em função dos instantes 
corresponde a uma reta inclinada em relação ao eixo 
do tempo. A função pode ser crescente ou decrescente, 
conforme a velocidade escalar seja positiva ou negativa. 
Exemplos:
a) O móvel se movimenta a favor da orientação da 
trajetória, partindo do espaço inicial S
0.
S
S
0
0 t
v . 0
A fun•‹o Ž crescente, pois a velocidade escalar Ž positiva.
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 83 11/19/15 9:05 AM
84 Física – Setor 1206 KAPA 1
b) O móvel se movimenta contra a orientação da 
trajetória, partindo do espaço inicial S
0
.
S
S
0
0 t
v , 0
A função é decrescente, pois a velocidade escalar é negativa.
2.6 propriedade do gráfico do espaço s em 
função do instante t
Suponha um móvel que se movimenta com veloci-
dade escalar constante e que suas posições em função 
do tempo sejam registradas na tabela a seguir.
t(s) 0 1 2 3 4 5
S(m) 10 15 20 25 30 35
Observando a tabela, conclui-se que a posição ini-
cial do móvel é S
0
 5 10 m; por se tratar de um movi-
mento uniforme, pode-se calcular a velocidade escalar 
do movimento através da função horária:
?
?
= +
= +
=
S  S V t
35  10 V 5
V 5 m/s
0
Assim, conclui-se que a velocidade do móvel no 
decorrer do tempo é de 5 m/s.
S (m)
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2
u
3 4 5 t (s)
Esse resultado também pode ser obtido calculan-
do-se o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
dos espaços em função do tempo. Para verificar tal 
propriedade, constrói-se o gráfico acima a partir dos 
dados da tabela anterior. 
Calculando o coeficiente angular da reta (tg θ):
tg
35 15
5 1
tg 5
θ =
−
−
θ =
Portanto, comparando-se os resultados, obtém-se 
a seguinte propriedade:
O coeficiente angular da reta (tg θ) indica o valor da 
velocidade escalar do móvel.
Observação: 
 A propriedade do gráfico S 3 t vale para qual-
quer tipo de movimento.
Movimento n‹o uniforme
S v
i
tangente ao
gráfco no
instante
considerado
coefciente
angular da
reta tangente
0 t
u
N
5
3. moVimenTo uniFoRmemenTe 
VaRiaDo (muV)
3.1 Definição
Nos movimentos que observamos diariamente, 
as velocidades escalares, em geral, não permanecem 
constantes no decorrer do tempo. São os chamados 
movimentos variados. Porém, se em dado movimen-
to, a velocidade variar uniformemente no decorrer do 
tempo, isto será, se ocorrerem variações de velocidade 
escalar sempre iguais em intervalos de tempos iguais, 
o movimento será denominado movimento unifor-
memente variado (MUV).
Para que isso ocorra, a aceleração escalar (a) deve 
ser igual em todos os instantes, coincidindo assim com 
a aceleração escalar média (a
m
 5 a).
Exemplo: A tabela registra as velocidades de um 
móvel no decorrer do tempo.
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
V(m/s) 8 12 16 20 24 28 32
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 84 11/19/15 9:06 AM
KAPA 1 Física – Setor 1206 85
Pode-se notar que, a cada 1 s, o móvel varia 4 m/s 
na sua velocidade. Logo, trata-se de um movimento 
uniformemente variado, com aceleração que pode ser 
calculada como: 
a
V
t
32 8
6 0
4 m/s2=
∆
∆
=
−
−
=
3.2 Função da velocidade do movimento 
uniformemente variado (muV) 
Seja V
0
 a velocidade inicial do móvel no instante 
em que o cronômetro é acionado (t
0
 5 0). Após um in-
tervalo de tempo (Δt), o móvel, em movimento unifor-
memente variado, possui a velocidade V no instante t.
Observe a figura:
V
0 
(t
0
 5 0)
V (t)
Orienta•‹o da trajet—ria
Como a aceleração escalar é a mesma em qualquer 
instante, tem-se:
5 5
5
5
a a constante
V
t
a
V V
t 0
a
m
0
∆
∆
−
−
V 5 V
0
 1 a ? t
A expressão obtida é a função da velocidade do 
movimento uniformemente variado. Observa-se que 
na expressão:
 V
0
 é a velocidade em t
0
 5 0, ou seja, a velocidade 
inicial;
 a é a velocidade escalar;
 V é a velocidade em um instante t qualquer.
3.3 Gráfico da velocidade escalar de um móvel 
em muV em função do instante t
A função horária da velocidade escalar no movi-
mento uniformemente variado é do primeiro grau em t: 
V 5 V
0
 1 a ? t
Consequentemente, sua representação gráfica é 
um segmento de reta inclinado em relação aos eixos. A 
função pode ser crescente ou decrescente, conforme a 
aceleração escalar seja positiva ou negativa. Exemplos:
a) O móvel se movimenta com aceleração escalar 
positiva, com velocidade inicial V
0
. 
V
V
0
0
t
a . 0
A função é crescente,pois a aceleração escalar é positiva.
b) O móvel se movimenta com aceleração escalar 
negativa, com velocidade inicial V
0
.
V
V
0
0
t
a , 0
A função é decrescente, pois a aceleração escalar é negativa.
3.4 propriedade da inclinação do gráfico da 
velocidade escalar em função do tempo 
para um movimento uniformemente variado
Suponha um móvel que se movimenta com acele-
ração escalar constante e que suas velocidades esca-
lares em função do tempo sejam registradas na tabela 
a seguir.
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
V(m/s) 5 10 15 20 25 30 35
Observando a tabela, conclui-se que a velocidade 
escalar inicial do móvel é V
0
 5 5 m/s; por se tratar de 
um movimento uniformemente variado, pode-se cal-
cular a aceleração escalar do movimento através da 
função:
?
?
V  V a t
35  5 a 6
a 5 m/s
0
2
= +
= +
=
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 85 11/19/15 9:06 AM
86 Física – Setor 1206 KAPA 1
Assim, conclui-se que a aceleração escalar do mó-
vel no decorrer do tempo é de 5 m/s2.
Esse resultado também pode ser obtido calculan-
do-se o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
da velocidade escalar em função do tempo. Para veri-
ficar tal propriedade, constrói-se o gráfico a seguir a 
partir dos dados da tabela anterior. 
V (m/s)
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2
u
3 4 5 6 t (s)
Calculando o coeficiente angular da reta (tg θ), 
tem-se:
tg
35 10
6 1
tg 5
θ =
−
−
θ =
Comparando os resultados obtidos, obtemos a se-
guinte propriedade:
O coeficiente angular da reta (tg θ) indica o valor da 
aceleração escalar do móvel. 
3.5 Função horária do movimento 
uniformemente variado (muV)
Seja S
0
 a posição inicial do móvel no instante em 
que o cronômetro é acionado (t
0
 5 0). Após um in-
tervalo de tempo (Δt), o móvel, em movimento uni-
formemente variado, está em uma posição dada pelo 
espaço S, no instante t.
Observe a figura:
V
0
ΔS
V
Orientação da trajetória
t
0
 5 0
(t)0
S
0
S
Observando a figura e sabendo-se que se trata 
de um movimento uniformemente variado, pode-se 
construir o gráfico da velocidade escalar em função 
do tempo, como mostrado a seguir:
V
0
DS
V
Velocidade escalar
0 t Tempo
Já sabemos que a área assinalada mede numeri-
camente o deslocamento escalar no intervalo de 0 a t. 
Como a área se trata de um trapézio, pode ser calcu-
lada como:
S
V V t
2
0( )
∆ =
+
Lembrando que V 5 V
0
 1 a ? t:
?
?
S S
V  a t V t
2
S S
2 V t a t
2
0
0 0
0
0
2
( )
− =
+ +
= +
+
S S V t
a t
20 0
2
= + +
?
A expressão obtida é a função horária dos espa-
ços para qualquer movimento uniformemente variado. 
Observa-se que na expressão:
 S é o espaço em um instante t qualquer;
 S
0
 é o espaço em t
0
 5 0, ou seja, o espaço inicial;
 V
0
 é a velocidade escalar em t
0
 5 0, ou seja, a 
velocidade inicial;
 a é a aceleração escalar em qualquer instante t.
3.6 Gráfico s 3 t em um muV
A função horária do espaço de um móvel que se 
desloca em MUV é do tipo S S V t
a t
20 0
2
= + +
?
. Por 
ser uma função do 2o grau em t, o gráfico que descreve 
as posições desse móvel é um arco de parábola, que 
pode ter sua concavidade voltada para cima ou para 
baixo conforme o sinal da aceleração escalar seja po-
sitivo ou negativo. 
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 86 11/19/15 9:06 AM
KAPA 1 Física – Setor 1206 87
Exemplo: Um móvel descreve um movimento uni-
formemente variado, e suas posições, em função do 
tempo, são registradas na tabela a seguir.
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
s(m) 12 5 0 23 24 23 0 5 12
A partir da tabela é construído o gráfico S 3 t.
S (m)
0
22
24
2
4
6
8
10
12
t (s)2 4 6 8
Note: 
 Nos instantes 2 s e 6 s, o móvel passa pela ori-
gem dos espaços (S 5 0).
 Entre os instantes 0 e 4 s, a velocidade esca-
lar é negativa, pois o móvel desloca-se contra a 
orientação da trajetória e está diminuindo em 
módulo.
 No instante 4 s, o móvel para e inverte o sentido 
do movimento; portanto, na inversão, V 5 0.
 Do instante 4 s em diante, a velocidade escalar 
é positiva, pois o móvel desloca-se a favor da 
orientação da trajetória e está aumentando em 
módulo. 
3.7 equação de Torricelli 
Imagine uma situação na qual um motorista conduz 
seu automóvel por uma autoestrada a uma velocidade de 
108 km/h quando avista uma barreira, sendo obrigado 
a frear, provocando uma desaceleração de 5 m/s², até 
parar o veículo após certo deslocamento (ΔS).
V
0
V 5 0
O enunciado nos fornece a velocidade final (V 5 0), 
a velocidade inicial (V
0
 5 108 km/h 5 20 m/s) e o 
módulo da aceleração (a 5 5 m/s2).
Considerando que, durante a frenagem, a acelera-
ção seja constante, pode-se calcular o deslocamento 
escalar a partir das funções do MUV. 
Como o enunciado não fornece o tempo da fre-
nagem, é necessário calculá-lo a partir da função de 
velocidade.
V V at
0 20 5 t
0
( )
= +
= + −
t 4  s=
De posse do tempo, pode-se calcular o desloca-
mento durante a frenagem.
5 1 ? 1
2 5 ? 1
2 ?
5
S S V t
at
2
S S 20 (4)
( 5) 4
2
S 40  m
0 0
2
0
2
∆
O mesmo resultado pode ser encontrado de ma-
neira mais rápida, desde que se conheça a equação 
de Torricelli. Tal equação é demonstrada a partir das 
funções horárias do MUV. Observe a seguir:
5 1 ? 1
5 ? 1
S S V t
at
2
S V t
at
2
0 0
2
0
2
∆
Multiplicando-se os dois lados por 2a:
2a S 2aV t a t (1)
0
2 2∆ = +?
5 1V V at
0
Elevando-se ao quadrado os dois lados:
V (V at )2
0
2= +
V2 5 V
0
2 1 2 ? V
0
 ? a ? t 1 a2 ? t2
Substituindo-se 1 em 2:
5 1 ? ?V V 2 a S (equação de Torricelli)2
0
2 ∆
Essa equação é útil na resolução de problemas de 
MUV nos quais o intervalo de tempo não é fornecido.
Vamos resolver o exemplo anterior com a utilização 
da equação de Torricelli.
5 1 ? ?
5 1 ? 2 ?
5
V V 2 a S
0 20 2 ( 5) S
S 40  m
2
0
2
2 2
∆
∆
∆
850420116_KAPA1_059a088_Fisica_A_CA.indd 87 11/19/15 9:06 AM
88 Física – Setor 1206 KAPA 1
AnotAçÕes
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