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Prof. Pedro Américo Júnior Usando o VCN com Runge-Kutta de Quarta Ordem, para resolver as equações diferenciais dos problemas abaixo: (Deve ser entregue a listagem da entrada dos dados e os gráficos com as grandezas, copie as telas com a tecla PRINT SCREEN e cole no Word com CTRL-V){=número de letras do primeiro nome do aluno, =número de letras do segundo nome do aluno, =número de letras do terceiro nome do aluno} ALUNO: Túlio Simão e Silva 1) Sistema Massa-Mola com Atrito Viscoso Dados: M1=20kg, M2=15Kg, K1=N/m , K12=5,0N/m, K2=N/m Condições Iniciais: x1(0)=-3,0m; x2(0)=-5,0m; x’1(0)=x’2(0)=0 m/s Malha: t=0,01s timpressão=0,5s tmaximo=40s Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 Equações: M1 d 2x1(t) / dt 2 + F1 dx1(t) / dt + K1 x1(t) + K12 [ x1(t) - x2(t)] = 0 M2 d 2x2(t) / dt 2 + F2 dx2(t) / dt + K2 x2(t) + K12 [ x2(t) - x1(t)] = 0 a) F1=4,0Kg/s, F2=6,0Kg/s b) F1=0,0Kg/s, F2=0,0Kg/s a) b) 2) Acelerômetro Dados: M= (Kg) B = 2,0 N/m.s, K= N/m, y(0) = y’(0) =0 Equação: M d2y(t) / dt2 + B dy(t) / dt + K y(t) = M d 2x(t) / dt2 Malha: t=0,001s timpressão=0,5s tmaximo=60s Gráfico: t(s) por x, y a) x = t2 m b) x = e-2t m c) x = t3 m 3) Epidemia Biológica Objetivo é estudar o problema de uma epidemia biológica e para analisar os efeitos dos diferentes parâmetros no período da epidemia. O problema a ser estudado é matematicamente representado pelo sistema de equações diferenciais abaixo: dx(t) / dt = - F x(t) y(t) x(t) = população susceptível dy(t) / dt = F x(t) y(t) - M y(t) y(t) = infectados dz(t) / dt = M y(t) z(t) = indivíduos imunizados Dados: População = x+y+z pessoas, M = 0,072, F=0,001, X(0) = 620, y(0) =, z(0) = 70 Malha: t=0,001 timpressão=1dia tmaximo=120 dias Gráfico: t(dia) por x,y,z 4) Sistema Massa-Mola-Amortecedor Acionado Através de uma Alavanca Ideal Dados: M= (kg) D=N/m , K=1,0N/m, l1=1m, l2=5m, F(t) = 40 sen(t) Condições Iniciais: x(0)=0,0m, x’(0)=0 m/s Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=12s Gráfico: t(s) por x, x’, x’’ Equação: M d 2x(t) / dt2 + D dx(t) / dt + K x(t) = (l2 / l1) F(t) 5) Sistema de Rolos Dados: M1=0,5kg, M2=0,2Kg, K1=N/m , K2=N/m, B=2,0Kg/s, g = 9,8 m/s 2 Condições Iniciais: x1(0)=1,0m, x2(0)=0,5m, x’1(0)=x’2(0)=0 m/s Malha: t=0,01s timpressão=0,2s tmaximo=20s Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 Equações: M1 d 2x1(t) / dt 2 + B dx1(t) / dt + K1 x1(t) + K2 [ x1(t) - x2(t)] =0 M2 d 2x2(t) / dt 2 + K2 [ x2(t) - x1(t)] = M2 g 6) Sistema Hidráulico Dados: Aa = 100cm 2, Ab = 75cm 2, Ac = 50cm 2, K1=40cm 2/s, K2=30cm 2/s Condições Iniciais: ya(0)=50cm, yb(0)=10cm, yc(0)=5cm Malha: t=0,01s timpressão=1s tmaximo=200s Gráfico: t(s) por ya, yb, yc a) K3=cm 2/s b)K3=0cm 2/s c)K3=(++)cm 2/s Equações: Aa dya(t) / dt = - K1 [ ya(t) - yb(t)] Ab dyb(t) / dt = K1 [ ya(t) - yb(t)] - K2 [ yb(t) - yc(t)] Ac dyc(t) / dt = K2 [ yb(t) - yc(t)] - K3 yc(t) 7) Pêndulo Elástico Dados: M=kg, L=0,6m, g = 10 m/s2 Condições Iniciais: x(0)=0,6m, y(0)=-0,87m, x’(0)=y’(0)=0 m/s Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=10s Gráfico: t(s) por x, y, x’, y’ e x por y a) K=100 N/m b) K=20N/m c) K=200 N/m Equações: M d2x(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } x(t) / [ x 2(t) + y2(t)]1/2 = 0 M d2y(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } y(t) / [ x2(t) + y2(t)]1/2 + M g = 0 8) Pêndulo com Translação e Rotação Dados: in (polegadas) Condições Iniciais: x(0)=2in, (0)=0o, x’(0)= ’(0)=0 m/s Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=12s Gráfico: t(s) por x, , x’, ’ Equações: d2x(t) / dt2 + 1000 x(t) - 100 (t) = 0 d2(t) / dt2 + 1000 (t) - 100 x(t) = 0 9) Movimento de Pêndulos Acoplados Dados: M1=10kg, M2=Kg, K=3,0N/m , g=9,8m/s 2, a= L1=L2=0,60m Condições Iniciais: x1(0)=+0,30m, x2(0)=-0,50m, x’1(0)=x’2(0)=0 m/s Malha: t=0,01s timpressão=0,5s tmaximo=90s Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 Equações: M1 d 2x1(t) / dt 2 + M1 g / L1 dx1(t) / dt + K a 2 / L1 [ x1(t) / L1 - x2(t) / L2 ] = 0 M2 d 2x2(t) / dt 2 + M2 g / L2 dx2(t) / dt + K a 2 / L2 [ x2(t) / L2 - x1(t) / L1 ] = 0 10) Cinética Química Certos processos químicos são reversíveis. BA K K ⎯⎯ ⎯→⎯ 2 1 Na(t) = Concentração da substância A , Nb(t) = Concentração da substância B, K1 e K2 são as taxas de reação Dados: K1=0,5mol/h, K2=0,2mol/h Condições Iniciais: Na(0)=mol, Nb(0)=0mol Malha: t=0,01hora timpressão=0,3horas tmaximo=10horas Gráfico: t(h) por Na, Nb Equações: dNa(t) / dt = - K1 Na(t) + K2 Nb(t) dNb(t) / dt = + K1 Na(t) - K2 Nb(t) 11) Circuitos Elétricos Dados: C = 0,0003 F, R1= 100, R2= (50+), L1= 0,5H, L2=2H, V0=100V, w=6rd/s Condições Iniciais: q1(0)=0C, q2(0)=0C, q’1(0)=q’2(0)=0 C/s Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=20s Gráfico: t(s) por q1, q2, q’1, q’2 Equações: L1 d 2q1(t) / dt 2 + R1 dq1(t) / dt + 1 / C [ q1(t) - q2(t) ] = V0 sen(wt) L2 d 2q2(t) / dt 2 + R2 dq2(t) / dt + 1 / C [ q2(t) - q1(t) ] =0