8-matematica_1_volume_02

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241Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
Números Complexos (C)
Forma Algébrica
1) Definição: i – UniDaDe imaginária
i2 = −1 ou em módulo 
2) forma algébrica De Um número complexo
z = a + bi a, b ∈ IR, i é a Unidade Imaginária
observações:
3) potências De i
São 4 os resultados possíveis:
4) igUalDaDe De complexos
z1 = a + bi z2 = c + di
z1 = z2 ⇔ a = c ∧ b = d
5) operações com números complexos
Sejam: z1 = a +bi
 z2 = c + di
aDição e sUbtração
z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i
z1 – z2 = (a – c) + (b – d) i
Obs.: Sendo z = a + bi –z = –a – bi
 –z é chamado oposto de z
mUltiplicação
z1z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
OBS.: 
1) Sendo z = a + bi, = a – bi. é chamado de conjugado 
do complexo z
2) z . = Número Real Positivo = a2 + b2
Divisão
•	 1°	caso:	 z1 ÷ z2, sendo z2 real não nulo.
•	 2°	caso: z1 ÷ z2, z2 é imaginário da forma c + di.
01 Dar o conjunto solução da equação x2 + 2x + 2 = 0 
com U = .
02 Calcule x, x ∈ IR, para que o número z = (x2 − 1) + (x − 1)i 
seja Imaginário puro.
03 Determine o valor da expressão:
 i121 + i96 + i45 − i17 − i237
04 Calcule x e y, x, ∈ IR para que (3 + yi) + (x − 2i) = 7 − 5i.
01 Sendo i a unidade Imaginária para que , x ∈ IR, 
seja um número real, é necessário que x seja igual a:
a) + 1/4 b) + 4
c) + d) + 1
e) + 3
02 Os números complexos z e w, são tais que: w + iz = – 2 – i 
e z + iw = 5 + 2i. Então z e w são, respectivamente:
a) –2 + 2i e 3i
b) 2 + 2i e 3i
c) 2 + 2i e –3i
d) –2 – 2i e –3i
e) –2 – 2I E 3i
242 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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03 O valor de z na equação 2z – = 2 + 3i é dado por:
a) – 2 – i b) 1 + 2i
c) – 1 – 2i c) 2 + i
e) 2 – i
04 Sendo e n = i + i2 + i3 + ... + i78, então, o valor 
de n é:
a) i b) 1 + i
c) –i d) –1 – i
e) –1 + i
05 O inverso do complexo 2i é dado por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) –2i
01 Prove que (1 − i)2 = −2i e calcule (1 − i)96 + (1 − i)97.
02 Resolva 1 ÷ z2 − (z1 − 1) sendo z1 = 11 − 16i e 
z2 = 5 + 2i.
03 Sendo , calcular o valor de z1990.
04 Obtenha os números complexos que são raízes quadradas 
de 5 + 12i.
Números Complexos (C)
Forma Trigonométrica
plano De gaUss
A representação de um complexo no plano é um ponto 
fixo.
móDUlo De Um complexo z (|z|)
• |z| = 
argUmento De Um complexo z (θ)
– θ é obtido através de sen 
– 0 ≤ θ ≤ 2π ou 0º ≤ θ ≤ 360º
forma trigonométrica
Como |z| = = r, cos θ = e sen θ = 
 
Logo a = r cos θ e b = r sen θ 
Assim z = a + bi ficará
z = r (cos θ + isen θ) ou z = rcisθ
operações na forma trigonométrica
Sejam z1 = r1 cis θ1 e z2 = r2cis θ2
mUltiplicação
z1 x z2 = r1 x r2 cis (θ1 + θ2)
Divisão
 cis (θ1 – θ2)
potenciação
z = r cis θ zn = rn cis (nθ)
raDiciação
wn = z → w = 
 com k = 0, 1, 2, …, (n – 1)
 n é o índice da raiz
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01 Na figura, o ponto P é o afixo de um número complexo 
z, no plano de Gauss. Qual a forma trigonométrica de z?
 
02 Colocar na forma trigonométrica o número complexo z = 
i x i2 x i3 x i4 x … x i100.
03 Colocar na forma trigonométrica o complexo .
04 Sendo determinar na forma algébrica 
o complexo z12.
01 Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento 
p/3. Sendo o conjugado de z, a forma algébrica do 
complexo é:
a) 1 – i
b) – i
c) + i
d) 1 + i
e) 2( – i)
02 Seja o complexo z = ρ (cos θ + i sen θ) escrito na forma 
trigonométrica. Então z x é:
a) 2ρ
b) 2ρ (cos 2θ – i sen 2θ)
c) ρ2
d) ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)
e) cos2 θ + i sen2 θ
03 (UERJ) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são 
 e . Se i é a unidade imaginária dos números comple-
xos, então o produto (cos  + isen Â) . (cos + isen ) é 
igual a:
a) −i b) i
c) −1 d) 0
e) 1
04 (PUC) Geometricamente o módulo de um número com-
plexo z é dado pela distância da origem O do plano com-
plexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o complexo 
z = 3 + 2i, considere o triângulo ABO, cujos vértices A e 
B são respectivos pontos imagem de z e zi. É verdade que 
esse triângulo é:
a) equilátero.
b) escaleno.
c) retângulo e isósceles.
d) retângulo e não isósceles.
e) isósceles e não retângulo.
05 (IBMEC) Os afixos (imagens) dos números complexos, 
que são raízes da equação z4 – 81 = 0, são vértices do 
polígono convexo de área igual a:
a) 36 b) 27
c) 25 d) 18
e) 16
01 (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que 
as extremidades dos ponteiros do relógio forem represen-
tadas pelos números complexos z e w a seguir:
 , w = z2, sendo α um número 
real fixo, 0 < α < 1.
 
 Determine a hora do jantar.
02 (UFRJ) Dados os números complexos: a = 2(cos 30º + 
i sen 30º) e b = 3(cos α + i sen α), determine o menor 
valor positivo de α, de modo que o produto a . b seja um 
número real.
03 Determine o menor inteiro n tal que ( + i)n seja um 
número real positivo.
04 (UFRJ) Um número complexo z é representado por um 
ponto que pertence à reta de equação x − 2y = 5 e 
possui módulo igual a . Determine z.
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Definição
É toda função da forma:
P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + an–2x
n–2 + ... + a0
 
an, an–1, an–2,… → coeficientes ∈ 
a0 – Termo Independente
Observações:
1º) Para an ≠ 0 o expoente máximo n, na mesma variável é 
o grau do polinômio.
2º) Se todos os coeficientes forem nulos o grau não fica 
definido.
valor nUmérico e raiz De Um polinômio
Sejam P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + … + a0 e α ∈ 
P(α) = anα
n + an–1α
n–1 + … + ao é chamado do valor 
numérico de P quando x = α.
Se P(α) = 0 dizemos que α é raiz de P(x)
soma Dos coeficientes (s)
P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + … + a0.
Para se obter S basta fazer P(1)
P(1) = S = an + an–1 + an–2 + … + a0
iDentiDaDe De polinômios
– Dois Polinômios são idênticos quando possuírem o mes-
mo grau e os coeficientes dos termos correspondentes 
são iguais.
– Dois Polinômios são idênticos se forem nulos.
 P(x) ≡ 0 (Polinômio Identicamente nulo).
01 Qual o grau do polinômio abaixo?
(x +2)2(x − 4)4(x + 6)6(x − 8)8 … (x + 18)18
02 Na equação P(x) = x3 – ix2 + mx + 1 para que se tenha 
P(i) = 1, o valor de m encontrado é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
03 (UFCE) Seja (1 + x + x2)10 = A0 + A1x + A2x
2 + ... + A20x
20. 
Assinale a alternativa na qual consta o valor de A1 + A3 
+ A5 + ...+ A19.
a) 39 + 38 + 37 + ... + 3 + 1
b) 0
c) 310
d) 39 – 38 + 37 – 36 + ... + 3 – 1
e) 1
04 Para que os polinômios:
 P(x) = (a2 + b2 – 109)x3 + 7x2 + cx e
 Q(x) = (a – b)x2 + 9x
 Sejam idênticos, o produto abc deve ser igual a:
a) – 540
b) – 270
c) 9
d) 270
e) 540
05 O gráfico da função p(x) = x3 + (a + 3)x2 – 5x + b 
contém os pontos (–1,0) e (2,0). O valor de p(0) é:
a) 1
b) –6
c) –1
d) 6
Polinômios
01 Determinar o polinômio do 1º grau, sabendo que P(1) = 2 
e P(3) = 8.
02 Calcule m em P(x) = x3 – 4mx2 + 1 para que –1 seja 
uma raiz de P(x).
03 Calcular A e B (reais) tal que:
04 Calcule a soma dos coeficientes de Q(x), sendo Q(x) = P(–x) 
e P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.
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métoDos para DiviDir polinômios
métoDo Da chave
Ex.: Dividir x3 + 3x2 − 7x + 8 por x2 − 1
métoDo De Descartes (oU Dos coeficientes a Determinar)
Ex.: Dividir x3 – 5x2 + 4x − 3 por x2 − 5x + 6
teorema Do resto
Na divisão de P(x) por (x − a), P(a) é o resto.
teorema D’alambert
Na divisão de P(x) por (x − a) se P(a) = 0 então P(x) é 
divisível por (x − a).
teorema Da DivisibiliDaDe
Se P(x) é divisível por (x − a) e também é divisível por 
(x − b), com (a ≠ b), então P(x) é divisível por (x − a) (x − b).
Dispositivo De briot-rUffini
Utilizado para divisão de P(x) por (x − a).
Exemplos:
1. Determinar o quociente e o resto da divisão de 
P(x) = 3x3 − 5x2 + x − 2 por (x − 2).
	 Solução:
Q(x) = 3x2 + x + 3 R(x) = 4
Portanto: 3x3 – 5x2 x − 2 ÷ (x – 2) = 3x2 + x + 3 e 
Resto 4.
2. Dividir A(x) = 2x3 − 3x2 + 4x – 2 por B(x) = 2x + 1
	 Solução:
 Pelo Teorema do Resto temos:
01 Para que valores de a, b e c o polinômio
 P(x) = (a + b + c)x2 + (b – c)x + (c – 1) é identicamen-
tenulo?
02 Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números 
reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, cal-
cule P(3).
Operações com Polinômios
aDição - sUbtração (somente entre polinômios semelhantes) 
e mUltiplicação
Ex.: P(x) = 5x3 – 4x2 – 2x – 1
 Q(x) = 2x – 1
 Calcule:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) – Q(x)
c) P(x) Q(x)
Divisão
Em qualquer divisão de números naturais, temos:
D (Dividendo) d (divisor)
R (Resto) Q (quociente)
 
Q . d + R = D
Quando dividimos dois números naturais estamos, na 
verdade, procurando dois outros: o quociente e o resto.
Na divisão de polinômios procedemos de maneira análoga.
Dividir um polinômio A(x) (dividendo) por outro B(x) ≠ 0 (di-
visor) significa encontrar o quociente Q(x) e o Resto R(x).
Portanto:
A(x) B(x)
R(x) Q(x)
ou
Q(x) . B(x) + R(x) ≡ A(x)
 
observações:
1) Se o polinômio A(x) possuir grau “m” e o polinômio B(x) 
possuir grau “n”, então o polinômio Q(x) possuirá grau 
(m – n) e o grau máximo do resto é (n – 1).
2) Se o polinômio A(x) possuir grau “m” e o polinômio B(x) 
possuir grau “n”, então a divisão só será possível se o grau 
de A(x) for maior ou igual ao grau de B(x) ou seja se m ≥ n.
3) Se o resto da divisão do polinômio A(x) pelo polinômio 
B(x) for zero, podemos afirmar que A(x) é divisível por 
B(x) e, portanto, a divisão é exata: Ou seja:
R(x) = 0 → A(x) ≡ B(x) . Q(x)
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Para utilizarmos o algoritmo de Briot-Ruffini e determi-
narmos o quociente e o resto dessa divisão, devemos observar 
que ele só serve para divisão de P(x) por (x + a); portanto, 
nesse caso, podemos adaptar o processo, observem:
Dividir A(x) por (2x + 1) é o mesmo que dividir A(x) por 
2(x + 1/2). Então dividiremos A(x) por (x + 1/2) e no final 
dividiremos os coeficientes do quociente por 2.
Logo 
Dividindo 2x2 – 4x + 6 por 2 temos x2 – 2x + 3, que é 
o quociente da divisão de A(x) por (2x + 1)
observação:
Observe que o resto da divisão de P(x) por (x − a), ou 
(2x − 2a) ou (3x − 3a), ou (4x − 4a), enfim por (kx − ka), é 
sempre o mesmo e vale P(a).
Porém, o quociente não é o mesmo. Para obtermos o 
quociente de uma divisão de P(x) por ax + b, utilizamos o 
algoritmo de Briot-Ruffini para (−b/a) e depois dividimos os 
coeficientes obtidos neste processo por a.
01 Determinar p, para que os restos das divisões x2 +px + 1 
por x + 2 e por x – 1 sejam iguais.
02 Se m é raiz do polinômio real p(x) = x6 – (m + 1)x5 + 32, 
determine o resto da divisão de p(x) por x – 1.
03 (UEMG) Qual o resto da divisão de P(x) = 3x4 – 2x3 + 
4x – 10 por x – 2?
04 Considere o polinômio P(x) = x3 − 2x2 − 3x + 6.
a) Calcular o resto da divisão de P(x) por (x − 2).
b) Determinar as raízes de P(x) = 0.
01 Considere p(x) = (x – 1) . (x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4). 
O polinômio p(x) é igual a:
a) x4 (x3 – 1) . (x3 + 1)
b) x4 (x6 – 2x4 + 1)
c) x4 (x3 – 1)2
d) x4 (x6 – 2x2 + 1)
02 Sendo P(x) = (x3 – 4x2 + x + 1)20, a diferença entre o 
termo independente de P(x) e a soma dos coeficientes de 
P(x) vale:
a) 0
b) 2
c) 1
d) –1
e) –2
03 Sejam os polinômios f = (3a + 2)x + 2 e g = 2ax – 3a + 1 
nos quais a é uma constante. O polinômio f . g terá grau 
2 se, e somente se:
a) a ≠ 0
b) a ≠ – 2/3
c) a ≠ 0 e a ≠ – 2/3
d) a ≠ 0 e a ≠ 1/3
e) a ≠ 1/3 e a ≠ –2/3
04 Sejam P(x) = x2 – 4 e Q(x) = x3 – 2x2 + 5x + a, onde 
Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é:
a) –x – 2 b) 9x – 18
c) x + 2 d) –9x + 18
e) 0
05 Os restos da divisão de um polinômio P(x) por (x – 1) por 
(x + 2) são respectivamente, 1 e –23. O resto da divisão 
de P(x) por (x – 1) . (x + 2) é:
a) –23 b) –22x
c) x – 2 d) 3x + 1
e) 8x – 7
01 Dado o polinômio:
 P(x) = x7 − 22x6 + 38x5 + 39x4 + 19x3 + 20x2 + x − 21
 Obter P(20).
02 Seja P(x) o polinômio definido por: 
 Determine o resto da divisão de P(x) por (x − 1).
03 O gráfico da função polinomial Y = P(x)
 É dado por:
 Nessas condições, qual o resto da divisão de P(x) por 
(x + 2) (x – 1)?
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04 Considere os polinômios P(x) e Q(x), sendo . 
Determinar P(x) e Q(x), a partir dos dados:
a) Q(2) = 0 e P(−1) = 0
b) Q(x) é divisível por (x – 3);
c) P(x) é de grau 5;
d) Q(1) = 2
Equação Polinomial
Definição
É toda equação da forma:
anx
n + an–1x
n–1 + … + a0 = 0 ou P(x) = 0
raiz Da eqUação
Sendo α ∈ , α é raiz da equação se P(α) = 0.
teorema fUnDamental Da álgebra
“Toda equação polinomial de grau n ( n ≥ 1) admite pelo 
menos uma raiz real ou complexa”.
observação:
Qualquer polinômio pode ser escrito na forma fatorada.
P(x) = an (x − α1)(x − α2)(x − α3) … (x − αn)
an – coeficiente do termo de mais alto grau:
α1, α2, α3, … αn → Raízes de um P(x)
mUltipliciDaDe De Uma raiz
Número de vezes que a raiz aparece na equação.
• A soma das multiplicidades das raízes de uma equação 
nos dá o grau da equação.
01 Resolva as equações abaixo no universo .
a) x3 – 5x2 + 6x = 0
b) x3 + 2x2 + x + 2 = 0
c) x2 – 3ix – 2 = 0
02 Determinar a multiplicidade da raiz 2 na equação:
x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8 = 0
03 Verificar a multiplicidade da raiz -– na equação e obter as 
outras raízes.
x4 + 6x3 + 11x2 + 12x + 18 = 0
04 O polinômio P(x) = x4 − 5x3 + 9x2 − 7x + 2 também 
pode ser escrito como P(x) = (x − 1)n . (x − p). Deter-
minar os valores de n e p respectivamente.
01 A equação (2x + 1)(2x2 − x + 1/8) tem:
a) somente duas raízes distintas.
b) três raízes reais e distintas.
c) uma raiz real e duas complexas (não reais).
d) somente raízes complexas (não reais).
e) somente uma raiz.
02 A equação x3 – 8px2 + x – q = 0 admite a raiz 1 com 
multiplicidade 2. Então p vale:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 0
03 O gráfico na figura é de uma função ƒ: IR → IR em que 
ƒ(x) é um polinômio do 3º grau.
 Para a equação ƒ(x) = 0, afirmamos:
I. o termo independente de x é igual a 2,
II. suas raízes são –2, 2 e 1,
III. suas raízes são –2, –2 e 1,
IV. suas raízes são –2, 1 e 1.
 Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) II b) III
c) I e II d) I e III
e) I e IV
04 (SANTA CASA) A equação x3 – x2 + x – 1 = 0:
a) não admite raízes reais.
b) admite raízes reais, situadas no intervalo ]0,1].
c) admite raízes reais, situadas no intervalo ]1,2].
d) admite raízes reais, situadas no intervalo ]–1,0].
e) admite raízes reais, situadas no intervalo ]–2,–1].
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05 (UEPB) Com um quadrado de papelão de 20cm de aldo, 
pretende-se montar uma caixa em forma de bloco re-
tangular, de modo que o volume da caixa seja igual a 
200cm3. Para isso é necessário cortar quadrados iguais 
nos quatro cantos do papelão, conforme mostra a figura 
ao lado.
 Assinale a equação polinomial que determina esse valor 
de x.
a) x3 – 20x2 + 100x – 50 = 0
b) x2 – 20x + 50 = 0
c) x3 + 20x2 – 50 = 0
d) x2 – x = 0
e) x – 50 = 0
02 Determinar a multiplicidade da raiz –4 na equação:
x3 + 12x2 + 48x + 64 = 0
 Escrever essa equação na forma fatorada.
01 Determinar “a” e “b”, de modo que 3 seja raiz dupla da 
equação x3 + ax2 – 5x + b = 0.
Técnicas de Resolução de
Equações Polinomiais – Parte I
fatoração
Utilização de casos de fatoração para resolução de equação.
Ex.: x3 − x2 + 4x − 4 = 0
Abaixar	o	grau	da	equação	conhecendo	um	certo	nú-
mero	de	raízes.
pesqUisa De raiz racional
Para toda equação de coeficientes inteiros podemos pes-
quisar se nela há números da forma p/q. Se houver, “p” perten-
ce ao conjunto dos divisores de a0, e “q” pertence ao conjunto 
dos divisores de an.
01 Calcular a e b em x3 + x2 + ax + bx + b = 0, de forma 
que x = 1 seja uma raiz dupla dessa equação.
02 Se m é um número inteiro, determinar o módulo da 
soma de todos os valores de m, para os quais a equação 
x3 + 5x2 + mx − 2 = 0 tenha pelo menos uma raiz 
racional.
03 (UNIRIO) Considere a equação: x3 + 4x2 − 5x + k = 0.
a) Qual o valor de k para que se tenha x = 2 como raiz 
dessa equação?
b) Com o valor de k encontrado no item anterior, ache todas 
as raízes da equação.
04 Prove que a equação 2x3 – x– 4 = 0 não possui raízes 
racionais.
01 (UFRS) Se os números – 3, a e b são raízes da equação 
x3 + 5x2 – 2x – 24 = 0, então o valor de a + b é:
a) –6 b) –2
c) –1 d) 2
e) 6
02 O número de raízes inteiras da equação x3 + 4x2 + 2x – 4 = 0 
é:
a) 3 b) 2
c) 1 d) nenhuma.
03 A forma fatorada da equação x4 – 5x3 + 2x2 + 20x – 24 = 0, 
onde –2 e 2 são duas de suas raízes, é dada por:
a) (x + 2)2 (x – 2) (x – 3) = 0
b) (x + 2) (x – 2)2 (x + 3) = 0
c) (x + 2) (x – 2)2 (x – 3) = 0
d) (x + 2) (x – 2) (x – 3)2 = 0
e) (x + 2) (x – 2) (x + 3)2 = 0
04 (FGV) A equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0, admite –2 
como raiz. As outras raízes satisfazem a equação:
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a) x2 – 4x + 14 = 0
b) x2 – 5x + 14 = 0
c) x2 – 6x + 14 = 0
d) x2 – 7x + 14 = 0
e) x2 – 8x + 14 = 0
05 Seja a equação 4x3 – 19x + 28x + m = 0 o valor de m 
para que 2 seja raiz dupla dessa equação é:
a) 12 b) –12
c) 24 d) –24
e) –6
01 Quantas raízes racionais o polinômio P, dado por:
 admite?
02 O número inteiro 2 é raiz do polinômio P(x) = 4x3 – 4x2 
– 11x + K, em que K é uma constante real.
 Determine K e as outras raízes.
Técnicas de Resolução de
Equações Polinomiais – Parte II
raízes complexas
Se a equação polinomial possuir coeficientes reais e um 
número complexo z = a + bi for raiz dessa equação, então 
o seu conjugado, , = a – bi, também é raiz dessa mesma 
equação.
conseqUência
Toda equação polinomial de coeficientes reais e grau ím-
par admite pelo menos uma raiz real.
relações De girarD
São as relações estabelecidas entre os coeficientes e as 
raízes de uma equação polinomial.
Você sabe que, em uma equação do 2° grau, ax2 + bx + c = 0 
de raízes x1 e x2, x1 + x2 = – b/a e x1 . x2 = c/a.
Essas relações constituem um caso particular das relações 
de Girard. Vejamos como são as relações de Girard para equa-
ções de 3º, 4º e 5º graus:
EQUAÇÕES RAÍZES RELAÇÕES
ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1, x2, x3
x1 + x2 + x3 = –(b/a)
x1x2 + x1x3 + x2x3 = (c/a)
x1x2x3 = –(d/a)
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 x1, x2, x3, x4
x1 + x2 + x3 + x4 = –(b/a)
x1x2 + ... + x3x4 = (c/a)
x1x2x3 + ... + x2x3x4 = –(d/a)
x1x2x3x4 = (e/a)
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 x1, x2, x3, x4, x5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = –(b/a)
x1x2 + ... + x4x5 = (c/a)
x1x2x3 + ... + x3x4x5 = –(d/a)
x1x2x3x4 + ... + x2x3x4x5 = (e/a)
x1x2x3x4x5 = –(f/a)
De um modo geral, indicamos as relações de Girard da seguinte maneira:
EQUAÇÕES RAÍZES RELAÇÕES
anx
n + an–1x
n–1 + ... + a1x + a0 = 0 x1, x2, x3, ..., xn
x1 + x2 + ... + xn = 
x1x2 + ... + xn–1xn = 
.......................................................
x1x2  ...  xn = 
250 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 Obter as raízes da equação 3x3 − 7x2 + 8x − 2 = 0, 
sabendo que uma delas é 1 − i.
02 Determinar as raízes da equação x3 − 12x2 + 39x − 28 = 0, 
sabendo que uma das raízes é a média aritmética das 
outras duas.
03 Determine k e as raízes da equação x3 – 4x2 + x + k = 0, 
sabendo que uma raiz é a soma das outras duas.
04 Calcule o valor de sabendo que a, b e 
c são raízes da equação: 2x3 − 30x2 + 15x − 3 = 0.
01 Considere as seguintes afirmações:
I. Todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma 
raiz real
II. Um polinômio de grau par pode ter todas as raízes com-
plexas
III. 2 + i e 3 + i podem ser as raízes de um mesmo polinô-
mio do terceiro grau.
 São verdadeiras:
a) I e II
b) I e III
c) II e III
d) todas
e) nenhuma
02 (UNIVALI-SC) O menor grau de uma equação polino-
mial de coeficientes reais, que admite 3 como raiz dupla, 
i como raiz simples e 2i como raiz dupla, é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
03 O número complexo z = 1 + i é uma das raízes da equação 
4z4 − 8z3 + 7z2 + 2z − 2 = 0. Esta equação tem:
a) uma única raiz real e três complexas (não reais).
b) duas raízes reais distintas e duas complexas (não reais).
c) somente raízes complexas (não reais).
d) uma raiz real dupla e duas complexas (não reais).
e) três raízes reais e uma complexa (não real).
04 (F.CARLOS CHAGAS-SP) Se 1 − i é uma das raízes com-
plexas da equação 2x4 − 7x3 + 8x2 − 2x − 4 = 0 então 
o produto de suas raízes reais é igual a:
a) 7/2
b) 3/2
c) 1
d) −1
e) −2
05 Sabendo-se que 2i e 1 + são raízes do polinômio 
x5 + 4x4 + ax3 + bx2 − cx − 24, podemos afirmar que:
a) a soma de todas as raízes é igual a 4.
b) –2i e 3 são raízes da equação.
c) –2i e –6 são raízes da equação.
d) o produto das raízes é –24.
e) –2i e –1 – são raízes da equação.
01 O gráfico da figura representa o polinômio real 
f(x) = –2x3 + ax2 + bx + c.
 Se o produto das raízes de f(x) = 0 é igual à soma dessas 
raízes, determinar o valor de a + b + c.
02 (UFRJ) Considere o polinômio P dado por: 
 P(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 5. Mostre que é 
uma de suas raízes e calcule as demais raízes.
03 Dada a equação x3 − 7x2 + 14x + k = 0, determine 
o valor de k, de modo que as raízes da equação sejam 
inteiras positivas e estejam em Progressão Geométrica.
04 As dimensões, em centímetros, de um paralelepípe-
do reto-retângulo são dadas pelas raízes da equação 
24x3 − 26x2 + 9x − 1 = 0.
 Calcule o comprimento da diagonal do paralelepípedo.
251Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 (UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 
equipes em um único turno, de modo que cada time en-
frentou cada um dos outros apenas uma vez. O vencedor 
de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha 
ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 
ponto. Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pon-
tuação (observe a tabela):
Equipe 1 20 pontos Equipe 6 17 pontos
Equipe 2 10 pontos Equipe 7 9 pontos
Equipe 3 14 pontos Equipe 8 13 pontos
Equipe 4 9 pontos Equipe 9 4 pontos
Equipe 5 12 pontos Equipe 10 10 pontos
 Determine quantos jogos desse campeonato terminaram 
empatados.
02 Pai e filho, com 100 fichas cada um, começaram um 
jogo. O pai passava 6 fichas ao filho a cada partida que 
perdia e recebia dele 4 fichas quando ganhava. Depois 
de 20 partidas o número de fichas do filho era três vezes 
o do pai. Quantas partidas o filho ganhou?
03	 (Olimpíadas	de	Matemática) João e Maria formam um 
estranho casal. João mente as 4as, 5as e 6as feiras, dizendo 
a verdade no resto da semana. Maria mente aos domin-
gos, 2as e 3as feiras, dizendo a vedade nos outros dias.
 Certo dia ambos declaram: “Amanhã é dia de mentir”. 
Em que dia da semana foi feita essa declaração?
04 Encontre dois divisores diferentes, entre 60 e 70, de nú-
mero 248 – 1.
Problemas de Raciocínio II
01 (UERJ) No triângulo desenhado abaixo os pequenos cír-
culos deverão ser preenchidos com os algarismos signifi-
cativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sem repeti-los, de modo 
que nos vértices sejam colocados os algarismos 7, 8 e 9 
e que a soma dos algarismos dos 4 círculos em cada lado 
tenha sempre o mesmo valor.
 Assim, essa soma será:
a) 19 b) 21
c) 23 d) 81
e) 86
02 (PUC) Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs 
igual a quarta parte do número de irmãos. Cada filho de 
Luiz Antônio tem o número de irmãos igual ao triplo do 
número de irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é:
a) 5 b) 6
c) 1 d) 16
e) 21
03 O algarismo das unidades do número (5837)649 é:
a) 1 b) 3
c) 7 d) 9
e) 0
01 João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro possui. Em se-
guida Pedro dá a João tantos reais quanto João possui. Se 
terminam com R$ 160,00 cada um, quantos reais cada 
um deles possuía inicialmente?
02 (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho que tinha 
n páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando 
com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Determine 
o valor de n.
03 (UFRJ) Em uma régua, o intervalo MN de extremos 
15,73 e 18,70 está subdividido em partes iguais, confor-
me se vê na figura. Estão também indicados os números 
decimais a, b, c, x.
 
a) Determine o valor de x.
b) Determine o valor de .
252 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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04 Numa corrida de “D” metros, se A e B competem sozi-nhos. A vence B com 20 metros à frente, se B e C com-
petem sozinhos, B vence C com 10m à frente. Se A e C 
competem sozinhos, A vence C com 28m à frente. Cal-
cular a distância “D” da corrida, sabendo que todos os 
corredores têm velocidades constantes.
05 Um bar vende suco e refresco de tangerina, ambos são 
fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta. 
As proporções são de uma parte de concentrado para três 
de água no caso do suco, e de uma parte para seis de 
água no caso do refresco. O refresco também poderia ser 
fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água. 
Calcule x/y.
01 (UNIRIO) Se , onde , então o valor de a + b é:
a) 1 b) 1/2
c) 2 d) –1
e) 3/2
02 (UFRRJ) Encontre o conjunto solução da equação 
(1 + i)x + (1 – i) = 0, onde i é a unidade imaginária.
03 (UNIRIO) Considere um número complexo z, tal que o 
módulo é 10, e a soma delel com o seu conjugado é 16. 
Sabendo que o afixo de z pertence ao 4º quadrante, po-
de-se afirmar que z é igual a:
a) 6 + 8i b) 8 + 6i
c) 10 d) 8 – 6i
e) 6 – 8i
04 (UERJ) Emanuel desenhou um mapa do quintal de sua 
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema 
de coordenadas retangulares, colocando a origem O na 
base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos 
oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, 
y), nesse sistema, é a representação de um número com-
plexo z = x + iy, x ∈ IR, y ∈ IR e i2 = –1.
 Par aindicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre 
à origem, Emanuel escreveu a seguinte observação no 
canto do mapa, x1 + iy1 = (1 + i)
9.
 Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
05 (UFRJ) Um jantar é marcado pra a hora em que as ex-
tremidades dos ponteiros do relógio forem representadas 
pelos números complexos z e w a seguir:
 sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.
 Determine a hora do jantar.
06 (UERJ) Considere o seguinte número complexo:
 Ao escrever z na forma trigonométrica, os valores do mó-
dulo e do argumento serão, respectivamente, de:
a) b) 
c) d) 
07 (UFF) O número complexo z, |z| > 1, está representado 
geometricamente a seguir:
 A figura que pode representar, geometricamente, o nú-
mero complexo z2 é:
a) b) 
c) d) 
e) 
08 (UNIRIO) Uma das raízes cúbicas de um número com-
plexo é 2(ciz 300º). Determine o conjugado da soma das 
outras raízes.
09 (UERJ) Um matemático, observando um vitral com o de-
senho de um polígono inscrito em um círculo, verificou 
que os vértices desse polígono poderiam ser representa-
dos pelas raízes cúblicas complexas do número 8. A área 
do polígono observado pelo matemático equivale a:
253Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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a) Calcule o resto da divisão de p(x) por x – 3.
b) Escreva a equação de r.
c) Determine a expressão que define p, sabendo que as três 
únicas raízes de p são reais.
19 Um sistema de numeração de base b, sendo b > 2, utiliza 
b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b – 1. O sistema de numera-
ção usual é o decimal. Quando escrevemos um número 
nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por 
exemplo, o número 3548 corresponde a 3 x 103 + 5 x 
102 + 4 x 101 + 8 x 100. Em qualquer outro sistema, é 
preciso indicar a base.
 Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b = 
5 e corresponde a 2 x 53 + 0 x 52 + 4 x 51 + 3 x 50, ou 
seja, 273 no sistema decimal.
a) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à 
esquerda da representação de um número não altera seu 
valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais 
e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de 
numerçaão de base 7, a quantidade total de números 
que possuem somente quatro algarismos distintos.
b) Admita a possibilidade de contar objetos de duas manei-
ras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar 
essas duas maneiras para contar um determinado grupo 
de objetos, obtemos (2343)x = (534)x+3.
 Calcule o valor da base x e as outras duas raizes da equa-
ção resultante.
20 Uma sequência de três números não nulos (a, b, c) está 
em progressão harmônica se seus inversos (1/a, 1/b, 1/c), 
nesta ordem, formam uma progressão aritmética. As raí-
zes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progres-
são harmônica: x3 + mx2 + 15x – 25 = 0.
 Considerando o conjunto dos números complexos, apre-
sente todas as raízes dessa equação.
21 Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equa-
ção do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
 Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. 
Determine as três raízes dessa equação.
22 O gráfico mostrado representa uma função polinomial P 
de variável real, que possui duas raízes inteiras e é defini-
da por: P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 + 16x + m. Determine o 
valor da constante representada por m e as quatro raízes 
desse polinômio.
23 (UNIFESP) Sejam p, q e r as raízes distintas da equação 
x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes 
é igual a:
a) 1 b) 2
c) 4 d) 8
e) 9
24 (UFPE) Se as raízes da equação x3 – kx2 + 351x – 729 = 0 
formam uma progressão geométrica decrescente, a razão 
dessa progressão é:
a) b) 2
c) 3 d) 4
10 (UFRJ) z é um número complexo tal que z7 = 1, z ≠ 1. 
Calcule 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6.
11 As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são núme-
ro complexos que possuem módulos iguais e argumentos 
distintos. O argumento θ, em radianos, de uma dessas solu-
ções pertence ao intervalo . Determine a medida θ.
12 (UNIRIO) Dividindo-se um polinômio P(x) por outro 
D(x) obtém-se quociente e resto Q(x) = x3 – 2x – 1 e 
R(x) = 5x + 8, respectivamente. O valor de P(–1) é:
a) –1 b) 0
c) 2 d) 3
e) 13
13 (UFF) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar 
combustível. Os níveis de combustível, H1 e H2, em cada 
tanque, são dados pelas expressões:
 H1(t) = 150t
3 – 190t + 30 e H2(t) = 50t
3 + 35t + 30,
 sendo t o tempo em hora. O nível de combustível de um 
tanque é igual ao do outro no instante inicial (t = 0) e, 
também, no instante:
a) t = 0,5h b) t = 1,0h
c) t = 1,5h d) t = 2,0h
e) t = 2,5h
14 (UNIRIO) Considere a equação x3 + 4x2 – 5x + k = 0.
a) Qual é o valor de k para que se tenha x = 2 como raiz 
desta equação?
b) Com o valor de k encontrado no item anterior, ache todas 
as raízes da equação.
15 (UFRJ) O polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d ∈ IR, é 
divisível por (x – 2).
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0.
16 (UFF) Determine todos os valores possível de m ∈ IR, de 
modo que o polinômio p(x) = x3 + (m – 1)2 + (4 – m)x – 4 
tenha três raízes distintas, sendo x = 1 a única raiz real.
17 (UFF) O polinômio p(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 8x + 4 também 
pode ser escrito sob a forma: p(x) = (x – 1)n(x2 + s), n ∈ IN 
e s ∈ IR. O valor de n + s é:
18 (UFF) Os gráficos da função polinomial p e da reta r es-
tão representados na figura abaixo:
254 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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a) 3 b) 1/3
c) 2 d) 1/2
e) –3
25 Se a, b e c são raízes da equação x3 – 10x2 – 2x + 20 = 0, 
então o valor da expressão a2bc + ab2c + abc2 é igual a:
a) 400 b) 200
c) –100 d) –200
e) –400
26 A figura a seguir representa o gráfico de um polinômio 
P(x), de grau 3 e coeficientes reais, cujas raízes têm mul-
tiplicidade 1.
 O resto R(x) da divisão do polinômio P(x) pelo polinômio 
d(x) = x2 – 4x + 3 é:
a) R(x) = 2x + 1 b) R(x) = 3x + 2
c) R(x) = –x + 2 d) R(x) = 1
e) R(x) = 3
27 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi mon-
tado com varetas, todas com comprimento igual ao lado 
do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessá-
rias para montar o arranjo?
a) 113
b) 123
c) 122
d) 132
e) 152
28 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não ti-
nham nascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). 
Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi muda-
da algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, 
o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre 
o cruzado e o real é: 1 real = 2.750.000.000 cruzados. 
Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, 
que ganha hoje 640 reais por mês, tivesseque receber 
seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha 
de 100 notas novas tem 1,5cm de altura, o salário em 
cruzados de João faria uma pilha de altura:
a) 26,4km
b) 264km
c) 26400km
d) 264000km
e) 2640000km
29 Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, 
Esmeralda encontrou um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. 
O último algarismo não está nítido, pois o visor da calcu-
ladora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. 
Este algarismo só pode ser:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 9
30 Se m e n são inteiros não negativos com m < n, defini-
mos m n como a soma dos inteiros entre m e n, incluin-
do m e n. Por exemplo, 5 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26.
 O valor numério de é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
móDUlo 09
exercícios De fixação
01 {–1 + i; –1 – i} 02 x = –1
03 1 04 y = –3
qUestões objetivas
01 Letra D. 02 Letra C.
03 Letra D. 04 Letra E.
05 Letra B.
qUestões DiscUrsivas
01 249 – 248i 02 3 + 2i
03 z1990 = –1 04 
05 3 + 2i ou –3 –2i
móDUlo 10
exercícios De fixação
01 z = 4(cos 300º + isen 300º)
02 cos p + i sen p
03 
04 z12 = 1
255Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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qUestões objetivas
01 Letra A.
02 Letra C.
03 Letra B.
04 Letra C.
05 Letra D.
qUestões DiscUrsivas
01 21 horas
02 α = 150º
03 z = 1 – 2i
04 O menor valor de n é 12.
móDUlo 11
exercícios De fixação
01 P(x) = 3x – 1
02 m = 0
03 A = 2 e B = 6
04 S = 0
qUestões objetivas
01 Letra B.
02 Letra A.
03 Letra A.
04 Letra D.
05 Letra B.
qUestões DiscUrsivas
01 a = –2, b = 1, c = 1
02 P(3) = 0
móDUlo 12
exercícios De fixação
01 p = 1
02 O resto será 30.
03 30
04 a) P(2) = 0, ou seja, 2 é raiz.
 b) 
qUestões objetivas
01 Letra A.
02 Letra A.
03 Letra C.
04 Letra B.
05 Letra E.
qUestões DiscUrsivas
01 P(20) = –1
02 5050
03 R(x) = –x + 1
04 P(x) = 1/2 (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x + 3i)(x – 3i)
móDUlo 13
exercícios De fixação
01 a) {0; 2; 3}
 b) {–i; –2; i}
 c) {i; 2i}
02 Multiplicidade 3.
03 Multiplicidade 3: 
 Outras raízes: 
04 p = 2 e n = 3
qUestões objetivas
01 Letra A.
02 Letra C.
03 Letra E.
04 Letra B.
05 Letra A.
qUestões DiscUrsivas
01 b = 21 e a = –11/3
02 (x + 4)3, multiplicidade 3
móDUlo 14
exercícios De fixação
01 b = 3; a = –8
02 |–10| = 10
03 
04 Não há raiz racional nessa equação.
qUestões objetivas
01 Letra B.
02 Letra C.
03 Letra C.
04 Letra B.
05 Letra B.
qUestões DiscUrsivas
01 x = 1
02 {1/2; –3/2}
móDUlo 15
exercícios De fixação
01 1 + i; 1 – i e 1/3 são as raízes.
02 1 e 7
03 K = 6
04 log1010 = 1
qUestões objetivas
01 Letra A.
02 Letra E.
03 Letra B.
04 Letra D.
05 Letra C.
qUestões DiscUrsivas
01 4
02 {–i, 2 + i; 2 – i}
03 K = –8
04 
móDUlo 16
exercícios De fixação
01 138 – 118 = 17
02 x = 13
03 Somente 3ª feira pois Maria estava mentindo já que na 4ª feira fala a 
verdade e João estaria dizendo a verdade.
04 65 e 63
qUestões objetivas
01 Letra C.
02 Letra A.
03 Letra C.
04 Letra A.
05 Letra B.
qUestões DiscUrsivas
01 x = 200 e y = 120
02 126
03 a) 17,62
 b) 0
04 100m
05 4/3
exercícios complementares
01 Letra A.
02 x = i
03 Letra D.
04 a) (16, 16)
 b) 
05 21 horas
06 Letra D.
07 Letra C.
08 
09 Letra C.
10 S = 0
11 θ = arg (z1) = 8p/9
12 Letra D.
13 Letra C.
14 a) –14 b) 
15 a) 10
 b) 
16 Letra D.
17 –4 < m < 4
18 a) 4
 b) y = 2x/3 + 2
 c) p(x) = –1/3 (x + 3)(x – 1)(x – 4)
19 a) 720 números distintos.
 b) 
20 S = {5; 1 – 2i; 1 + 2i}
21 {–1; –1 – i; –1 + i}
22 {–2; 1; 2 – i; 2 + i}
256 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 1
23 (2)2 + (i)2 + (–i)2 = 4 + (–1) + (–1) = 2
24 
25 abc(a + b + c) = (produto) . (soma) = (–20) . (10) = –200
26 r(x) = 2x + 1
27 Letra B.
28 Letra D.
29 Letra A.
30 Letra C.
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