estatica dos sólidos

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Estática dos sólidos
Parte da física que estuda os sólidos em repouso. 
Equilíbrio de um ponto material 
Ponto material – Apresenta dimensões desprezíveis em relação ao problema 
1ª. Condição de Equilíbrio. 
𝑅𝑥 = 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = 𝐹𝑦 = 0
Teorema de Lamy 
(aplicar quando há três forças envolvidas)
Equilíbrio de um corpo extenso.
Corpo extenso: é todo corpo cujas as dimensões interferem no estudo de determinado 
fenômeno.
Exemplo: Sistema binário de forças aplicadas a corpos extensos
Um Binário é formado por duas forças de mesma intensidade, mas com sentidos opostos 
separadas por uma distância d qualquer. 
Para garantir que o corpo não apresente uma rotação acelerada é necessário estabelecer
uma segunda condição do equilíbrio relacionado ao conceito de momento de uma força
ou popularmente chamada de Torque.
Momento de uma Força (Torque)
Momento de uma força (torque) é uma grandeza responsável por provocar movimento de
rotação (ou giro) em um corpo. O momento de uma força é capaz de provocar uma
mudança na velocidade angular de um corpo em rotação.
Para definir a grandeza momento é preciso estabelecer um ponto onde será o centro da
rotação, por onde passa um eixo imaginário chamado de eixo de rotação, além disso é
necessário estabelecer a distância do ponto de aplicação desta força (ou da linha de ação
da força) até o centro da rotação, essa distância é chamada de braço de alavanca.
O momento é definido por: 
𝑀 = 𝐹𝑝𝑒𝑟𝑝. 𝑑 𝑀 = 𝐹. 𝑑. sen
onde  é o ângulo formado entre o braço de alavanca e a força. 
Para definir se o momento é positivo ou negativo basta fazer uma convenção de sinais por 
exemplo, se a forçar fizer o braço de alavanca girar no sentido horário o momento é 
negativo, caso contrário o momento é positivo. 
2ª. Condição de Equilíbrio. 
O somatório de todos os momentos aplicados sobre o corpo deve ser nulo. 
Tipos de equilíbrio: 
Equilíbrio Estável: Ao tirar o corpo da posição de equilíbrio ele tende a retornar a posição
de equilíbrio.
Equilíbrio Instável: Ao tirar o corpo da posição de equilíbrio ele se afasta desta posição.
Equilíbrio Indiferente: Ao retirar o corpo da posição de equilíbrio ele não se afasta e nem
se aproxima da posição anterior.
Alavanca interpotente: a força aplicada está
entre o ponto de apoio e a força de resistência.
Tipos de alavancas:
Alavanca Interfixa, o ponto de apoio da
alavanca está entre a força aplicada e a
força de resistência.
Alavanca Inter-resistente: A força de resistência
está entre o apoio e a força aplicada.
1. Uma luminária com peso de 76 N está suspensa por um aro e por
dois fios ideais. No esquema, as retas AB e BC representam os fios,
cada um medindo 3 m, e D corresponde ao ponto médio entre A e C.
Sendo BD = 1,2 m e A, C e D pontos situados na mesma horizontal, a tração no 
fio AB, em newtons, equivale a:
a) 47,5 b) 68,0
c) 95,0 d) 102,5
3
4
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6. A figura mostra duas pessoas sentadas nas extremidades A e B de
uma gangorra. Sabe-se que a massa da pessoa em A é 70 kg e que a
massa da pessoa em B é 30 kg. Supondo que a gangorra seja
homogênea, para manter seu equilíbrio na direção horizontal é
preciso que sua massa seja igual a
a) 40 kg. b) 35 kg. c) 30 kg. d) 25 kg. e) 20 kg
7
8
9. Três corpos iguais, de 0,5 kg cada,
são suspensos por fios amarrados a
barras fixas, como representado nas
ilustrações seguintes:
P
T T
P
T
T= P/2
P = 2Ty
P = 2Tsen60°
T = P/31/2
T TT
P
P = 2Ty
P = 2Tsen30°
T = P
Dinâmica das Rotações
MOMENTO ANGULAR DE UM PONTO MATERIAL
Momento angular ou momento da quantidade de movimento (Q) mv de um ponto material P, em
relação a um ponto O, é a grandeza vetorial L que possui as seguintes características.
• Módulo: L = mvd, sendo d a distância do ponto O à reta s, suporte da velocidade v
• Direção: da reta perpendicular ao plano α definido pela reta s e pelo ponto O.
• Sentido: dado pela regra da mão direita, como indicado na figura 2.
Unidade no Sistema internacional
𝐿 = 𝑚𝑣𝑑
𝐿 = 𝑚 𝑣 [𝑑]
𝐿 = 𝑘𝑔.
𝑚2
𝑠
Momento angular de um ponto material em movimento circular uniforme.
Considere um ponto material P que realiza um movimento circular uniforme de centro O,
com velocidade de módulo v e velocidade angular ω
O módulo do momento angular L, em relação ao centro O será dado por:
onde
𝐿 = 𝑚𝑣𝑑
𝑣 = 𝑅 𝑑 = 𝑅
𝐿 = 𝑚𝑅2
: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝑅: 𝑅𝑎𝑖𝑜
Momento angular de um ponto material em movimento circular uniforme.
A velocidade de rotação é definido como um vetor que aponta no mesmo sentido de L
𝐿 = 𝑚𝑅2𝜔
Momento de Inércia de ponto material.
O produto da massa pelo raio ao quadrado é muito comum na física, sendo denominado de
momento de Inércia I
O momento de inércia é uma grandeza escalar medida em m3.
A equação para o momento angular será:
𝐼 = 𝑚𝑅2
𝐿 = 𝐼𝜔
MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS
O momento angular L é uma grandeza vetorial, assim para um sistema de pontos materiais 
o momento angular em relação a um ponto O será a soma vetorial dos momentos 
angulares dos pontos materiais que constituem o sistema:
𝐿 = 𝐿1+ 𝐿2 + 𝐿3⋯𝐿𝑛
𝐿 = 
𝑖=1
𝑛
𝜔.𝑚𝑖𝑅𝑖
2 = 𝜔. 
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑅𝑖
2 = 𝜔. I
𝐿 = 
𝑖=1
𝑛
𝐿𝑖 = 𝐿1+ 𝐿2+ 𝐿3⋯𝐿𝑛
MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS
O momento de inércia I depende da massa do corpo e de como ela se distribui em relação
ao eixo de rotação. O momento de inércia mede a resistência que o corpo opõe à rotação.
De fato, partindo da igualdade L=lω, concluímos: para o mesmo L, quanto maior for I,
menor é ω.
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3…+ 𝐿𝑛
Momento angular de um corpo extenso em rotação uniforme em torno de um 
eixo fixo
O objetivo é determinar o momento angular criado por um corpo em rotação em torno de
um eixo fixo. O corpo pode de imaginado como um conjunto de partículas e cada ponto do
corpo possui uma massa mi a uma distância ri do eixo de rotação, para cada ponto
podemos escrever o momento angular
𝐿


𝑟
𝑄
𝐿𝑖 = 𝑚𝑖𝑟𝑖
2𝜔𝑖
Considerando a velocidade angular constante o momento total
produzido por n partículas será
onde logo
𝐿 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2𝜔
𝐼 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2 𝐿 = 𝐼𝜔
O momento de inércia I depende da massa do corpo e da forma como ela se distribui
sobre o eixo de rotação, assim ele é uma medida da resistência que o corpo oferece à
rotação. Ao observar a equação do momento angular, mantendo o mesmo constante, ao
aumentarmos o valor do momento de inércia, menor será o valor da velocidade angular.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. 
Se o momento das forças (torque) que estão aplicadas a um corpo em rotação for nulo,
então não haverá variação do momento angular, L (momento angular) permanece
constante.
Se o corpo em rotação pode alterar suas dimensões, mas livre de torques acarreta na
seguinte situação:
Quanto maior o valor do momento de inércia menor será a velocidade angular, a recíproca
também é verdadeira. https://www.youtube.com/watch?v=sbEAmtvgGMo
𝐿 = 𝐼𝜔
https://www.youtube.com/watch?v=sbEAmtvgGMo
Questões
1. Um ponto material de massa m = 2,0 kg realiza um movimento circular uniforme de raio 
R = 0,2 m e velocidade escalar v = 10 m/s. Seja O o centro da circunferência descrita. 
Calcule, em relação ao ponto O:
a) o momento de inércia do ponto material;
b) o módulo do momento angular do ponto material.
Solução: a) Aplicando a equação do momento de inércia
𝐼 = 𝑚𝑅2 = 2𝑘𝑔. 0,2𝑚2 = 0,08𝑘𝑔𝑚2
o módulo do momento angular do ponto material.
𝐿 = 𝑚𝑣𝑅 = 2𝑘𝑔. 10
𝑚
𝑠
. 0,2𝑚 = 4𝑘𝑔.
𝑚2
𝑠
Questões
2. Calcule o módulo do momento angular de um sistema constituído de duas partículas, 1 e 
2, em relação ao ponto O, no instante indicado na figura. As massas e as velocidades das 
partículas 1 e 2 são, respectivamente:
m1 = 1,0 kg; m2 = 2,0 kg; v1 = 5,0 m/s e v2 = 10 m/s.
Solução
Dados 
m1 = 1,0 kg; m2 = 2,0 kg; v1 = 5,0 m/s e v2 = 10 m/s.
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿1 + 𝐿2
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −𝐿1 + 𝐿2
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝐿1 + 𝐿2
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −𝑚1𝑣1𝑅1+m2𝑣2𝑅2
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −151 + 2102
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35 𝑘𝑔
𝑚2
𝑠
Questões
A figura mostra um sistema composto por quatro partículas puntiformes de mesma massa
M, fixas a uma grade retangular de lados 2a e 2b e massa desprezível. a) Determine o
momento de inércia I do sistema em relação ao eixo indicado. b) por que o momento de
inércia independe de b ?
𝐼 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2 = 𝑚1𝑟1
2 +𝑚2𝑟2
2 +𝑚3𝑟3
2 +𝑚4𝑟4
2
𝐼 = 4𝑀𝑎2
𝐼 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2 = 𝑀𝑎2 +𝑀𝑎2 +𝑀𝑎2 +𝑀𝑎2
b) O momento de inércia só depende da 
distância da partícula ao eixo de rotação
Questões
A figura mostra um sistema composto por quatro partículas puntiformes de mesma massa
M, fixas a uma grade retangular de lados 2a e 2b e massa desprezível. a) Determine o
momento de inércia I do sistema em relação ao eixo indicado. b) por que o momento de
inércia independe de b ?
b) 
𝐼 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2 = 𝑚1𝑟1
2 +𝑚2𝑟2
2 +𝑚3𝑟3
2 +𝑚4𝑟4
2
𝐼 = 8𝑀𝑎2
𝐼 = 
𝑖
𝑛
𝑚𝑖𝑟𝑖
2 = 𝑀(2𝑎)2+𝑀(2𝑎)2 +𝑀02 +𝑀02
b) O momento de inércia só depende da 
distância da partícula ao eixo de rotação
Questão Pism. 
Uma plataforma horizontal, em forma de disco circular, gira num plano horizontal em torno de um eixo
vertical sem atrito (ver figura). Um estudante caminha lentamente a partir da borda do disco para o seu
centro. Com base nessa informação, assinale a alternativa CORRETA:
a) O momento de inércia do sistema diminui e há um
aumento da velocidade angular, enquanto o momento
angular total do sistema se mantém constante.
b) O momento de inércia do sistema diminui e há uma
diminuição da velocidade angular, enquanto o
momento angular total do sistema se mantém
constante.
c) O momento de inércia do sistema aumenta e há um
aumento da velocidade angular, enquanto o momento
angular total do sistema se mantém constante.
d) O momento de inércia do sistema aumenta e há
uma diminuição da velocidade angular, enquanto o
momento angular total do sistema se mantém
constante.
e) O momento de inércia do sistema aumenta e há um
aumento da velocidade angular, enquanto o momento
linear total do sistema se mantém constante.
Questão Pism. 
Considere um pêndulo simples oscilando. Desprezando-se todas as forças dissipativas, marque a alternativa
que indica, corretamente, a(s) grandeza(s) que se conserva(m) durante a oscilação desse pêndulo.
a) Energia mecânica e momento linear.
b) Somente o momento linear.
c) Momento angular e energia mecânica.
d) Somente a energia mecânica.
e) Somente o momento angular
Questão Pism.
Uma bailarina de patins, sobre o gelo, gira com uma certa velocidade de rotação , em torno de si mesma,
com os braços esticados na posição vertical e apontando para baixo. Se a bailarina esticar os braços,
colocando-os na posição horizontal e completamente abertos, desprezando-se todos os torques de forças
externas, pode-se afirmar que:
a) a velocidade angular  diminuirá, porque o momento de inércia diminuirá.
b) a velocidade angular  diminuirá, porque o momento de inércia aumentará.
c) a velocidade angular  aumentará, porque o momento de inércia diminuirá.
d) a velocidade angular  aumentará, porque o momento de inércia aumentará.
e) a velocidade angular  permanece a mesma.