Estatística - Módulo 8

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Teoria Elementar das Probabilidades
 
 
 
Objetivos do módulo
 
Em Estatística Indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma
população a partir do conhecimento de uma amostra, ou ao contrário, a previsão do
comportamento esperado de uma amostra retirada de uma população conhecida, temos o
cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de cada informação.
 
Assim por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação informa
que se a eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que
provavelmente o candidato X teria essa quantidade de votos. É uma afirmação provável de
ocorrer, não quer dizer que certamente ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é
esperada.
 
Neste módulo iremos ver o que significa e como são calculadas as probabilidades, ramos de
estudo da Matemática e não exatamente da Estatística. Inicialmente iremos verificar casos
absolutamente teóricos e posteriormente evoluiremos para situações mais próximas da
realidade.
 
Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e no final do módulo faremos
uma revisão teórica, apresentando os conceitos e fórmulas utilizadas na Teoria Elementar das
Probabilidades. O importante é você dominar o mecanismo de cálculo da probabilidade.
 
1.1 - Definições de Probabilidades.
 
Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, irá
encontrar algo do tipo:
 
Probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou indício que deixa presumir a
verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança.
 
Como é fácil de notar esta definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de
probabilidade; isto porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se
probabilidade utilizando-se seus próprios termos
 
Deste modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de
probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em
geometria com as definições de ponto e reta.
 
Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de
probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como freqüência relativa e a abordagem
subjetiva.
 
Antes de seguirmos, no entanto na definição de probabilidade é necessário definir alguns
termos que serão utilizados:
·         Experimento amostral: São aqueles que apesar de serem repetidos exatamente da mesma
maneira não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo: Você pode
jogar um dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que irá obter o
mesmo resultado.
·                Espaço Amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): É o conjunto
formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o
espaço amostral de um jogo de um dado honesto é dado por:
 
 S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 )
 
ü Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o experimento                                  não é
aleatório.
·         Evento: É um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço
amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é formado por:
 
                                   E = { 1, 2, 3, 5}
 
1.2 – Cálculos das Probabilidades Elementares.
Usando estes termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:
 
·                Abordagem clássica: É a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados)
favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do
espaço amostral, ou seja:
 
 
Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.
            n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.
            n(S) o número total de elementos do espaço amostral.
 
 
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?
 
                     
 
·         Abordagem como freqüência relativa: É a razão entre o número de vezes que determinado
resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes.
Por exemplo: Jogamos uma moeda 1000 vezes e em 512 destas vezes saiu cara.
Podemos dizer por esta definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de
512/1000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:
 
Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%).
Isso pode se dever ao fato da moeda usada não ser honesta (portanto com resultados
aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não tenha sido suficientemente grande.
Aumentando o número de jogadas a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a
moeda for honesta.
 
·         Abordagem subjetiva: Ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é
um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência.
Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo
embasado em dados objetivos, mas complementados por aspectos pessoais. É o caso,
por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas num
determinado período. Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de
decisão.
 
Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo
de estudo em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é eminentemente
teórica e pressupõe experimentos aleatórios em que os elementos são equiprováveis. Já na
segunda abordagem podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de
determinadas situações não totalmente aleatórias.
Revisão teórica dos principais conceitos.
·                Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de acontecimentos.
Por exemplos: Realizar uma reação química; Investir em ações; Jogar dados.
·         Experimento Matemático ou determinístico: são aqueles em que os resultados podem
ser previstos de modo exato utilizando-se a ciência. Por exemplo: Realizar uma reação
química.
·                Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos,
apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes. Por exemplo, jogar
dados.
·                Experimentos aproximadamente aleatórios: são aqueles que apesar de terem uma
tendência de ocorrência não podem ter seus resultados definidos de modo exato pela
ciência. Por exemplo: Investir em ações.
·                Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos formados por todos os resultados
possíveis de um experimento. Por exemplo, o conjunto formado pelos números
1;2;3;4;5 e 6, resultados possíveis de um jogo de dados.
·         Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, os números 2; 4
e 6, evento “números pares” de um jogo de dados.
·                Evento simples: aquele formado por um único elemento do espaço amostral. Por
exemplo, o número 5 num jogo de dados.
·         Evento composto: aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. Por
exemplo, os números 1; 3 e 5, evento “números ímpares” de um jogo de dados.
·         Evento complementar: de um evento A qualquer, é o evento B (chamado complementar
de A), tal que todos os elementos os elementos do espaço amostral que não
pertençam a A pertençam a B e vice versa. Observar que S = A+B. Por exemplo, o
conjunto A={1,3,5} é complementar ao conjunto B={2,4,6}, num jogo de dados, visto que
ao serem somados dão origem ao espaço amostral S={ 1,2,3,4,5,6}. Não falta nem
sobrando elemento algum.
·         Eventos mutuamente Exclusivos: Suponha dois eventos A e B, no qual a ocorrência de
A impede a ocorrência de B e vice versa. Dizemos que eles são mutuamente
exclusivos. Por exemplo: Num jogo de dados a ocorrência de um número par (1,2,3)
impede a ocorrência de um número ímpar (2,4,5), portanto são mutuamente exclusivos.
Não confunda eventos complementares com eventos mutuamente exclusivos. Todos
os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas o contrário não é
verdade.
·                Eventosindependentes: Dizemos que dois ou mais eventos são independentes,
quando eles não exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que
lhe é própria, sem influenciar os demais. Por exemplo, o lançamento de duas moedas,
simultaneamente.
·                Eventos Vinculados ou Condicionados: são eventos cujo aparecimento de um
dependa, ou seja, influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento.
Por exemplo, retirada de duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira
carta existem 52 cartas no baralho, 26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a
segunda carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas
ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. Portanto, o segundo
evento está condicionado ou vinculado com o primeiro.
·                Evento soma: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a
ocorrência de um ou de outro nos interessa, temos o evento soma. Perceba a
importância da palavra ou na formulação do princípio e da idéia de alternativa. Por
exemplo: Jogo um dado e quero que saia um número par ou um número primo. Os
números pares são: {2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa os
números pares ou primos, fico satisfeito com a ocorrência de qualquer um dos
seguintes números {1,2,3,4,5}. Note que esse conjunto é a soma dos dois anteriores,
descontadas as intersecções (no caso o número 2).
·                Evento produto: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a
ocorrência de um e simultaneamente do outro nos interessa, temos o evento produto.
Perceba a importância da palavra e na formulação do princípio, e da ideai de
obrigação. Por exemplo: Jogo um dado e quero que saia um número par e primo. Os
números pares são: {2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa o
número seja par e simultaneamente primo, fico satisfeito somente com a ocorrência de
número: {2}. Note que esse conjunto é a intersecção dos dois anteriores, ou seja,
valores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos,
·                Definição de Probabilidades Matemática: é a razão (divisão) entre o número de
elementos do evento estudado pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja:
·                Definição de Probabilidades Estatística: Presumindo que um experimento é repetido
uma quantidade considerável de vezes e seus resultados anotados, definimos
probabilidade de ocorrência de eventos daquele experimento como sendo a freqüência
relativa do mesmo:
·                Axiomas das probabilidades: são verdades a partir das quais se estabelecem os
conceitos de probabilidades:
1.    Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos:
2.    A probabilidade do espaço amostral, ou da soma de todos os eventos possíveis
é:  
 
3.    Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos:
4.    Se o evento A é complementar de B, então:
·                Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, a
probabilidade da ocorrência de A ou B ou ambos é dada por:
Exemplo: Numa caixa existem oito bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 8. Qual a
probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela seja múltiplo de 2 ou de 5?
Espaço Amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10
Evento A - múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5
Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2
Intersecção entre A e B: A∩B = {10} -> n(A∩B) = 1
 
·             Teorema do Produto para Eventos Independentes: Caso tenhamos dois eventos A e
B, que não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer um resultado que
pertença simultaneamente aos dois eventos é dada por:
Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.
Por exemplo: Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades:
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Total 55:
bolinhas.
Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Total 60:
bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolinhas
retiradas sejam azuis?
Caixa A: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:
Caixa B: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:
 
 
 
·                Teorema do Produto para Eventos Vinculados: A probabilidade de ocorrência
simultânea de dois eventos A e B vinculados é dada pelo produto da probabilidade de
um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento:
 
O símbolo P(B/A) lê-se probabilidade de ocorrência do evento B tendo ocorrido o
evento A e é a chamada probabilidade condicional. Esse conceito pode ser estendido
para mais de dois eventos.
 
O exemplo a seguir deixa essa situação mais evidente:
Probabilidade de ambas serem azuis:
Retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade
que as três sejam vermelhas:
 
Probabilidade da 1ª carta ser vermelha: 
Probabilidade da 2ª carta ser vermelha: 
Probabilidade da 3ª carta ser vermelha: 
Probabilidade das três serem vermelhas:
 
 
O texto acima resume os principais pontos desse módulo, mas sugere-se que você
complemente os estudos e se aprofunde nos conceitos. Recomendamos os seguintes textos:
·         Capítulo 6 – Probabilidade do livro Estatística Aplicada à Gestão Empresarial de
Adriano Leal Bruni.
·         Resumo nomeado MÓDULO 8 – PROBABILIDADES disponível no site
www.aulalivre.com . Pesquisar pelo nome do professor Mauricio do Fanno, na
disciplina ESTATÍSTICA.
Exercício 1:
Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas; outra caixa contém 12, das quais 4 são
defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. As probabilidades de que ambas não
sejam defeituosas e de que uma seja perfeita e a outra imperfeita são, respectivamente, de
A)
88,33% e 45,00%
B)
43,33% e 45,00%
C)
43,33% e 55,00%
D)
23,33% e 45,00%
E)
23,33% e 55,00%
http://www.aulalivre.com/
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 2:
Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falha: mancais presos e queima do induzido. Sabendo
que a probabilidade de ocorrência desses defeitos são de 0,2 e 0,03, respectivamente, a probabilidade de
que num desses motores, selecionado ao acaso, não ocorra as duas falhas simultaneamente é de
A)
6,0%
B)
19,4%
C)
99,4%
D)
21,8%
E)
77,6%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
E) 
Exercício 3:
Suponhamos que em determinado mercado sejam comercializadas lâmpadas de duas fábricas: a fábrica
"A" produz 500 lâmpadas, das quais 25% apresentam defeitos e a fábrica "B" produz 550 lâmpadas, das
quais 26% são defeituosas. Suponhamos, ainda, o seguinte: (1) essas 1050 lâmpadas foram dispostas na
prateleira ao acaso, (2) elas são comercializadas por um único vendedor e (3) um comprador adquire uma
delas sem especificar sua marca. 
Calcular a probabilidade de esse comprador 
I Receber uma lâmpada defeituosa 
II Ao receber uma lâmpada perfeita essa seja da marca “B”.
Com o cálculo correto temos o seguinte resultado: 
A)
I = 47,62% e II = 26,00%
B)
I = 26,00% e II = 52,05% 
C)
I = 25,52% e II = 26,00%
D)
I = 25,50% e II = 50,00%
E)
I = 25,52% e II = 52,05%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 4:
Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de determinar a probabilidade de se encontrar ao acaso
fumantes em determinada cidade. Dentre as 856 pessoas entrevistadas, 327 admitiram ser fumantes. 
A probabilidade de ao acaso encontrar uma pessoa não fumante nessa cidade é de
A)
61,8%
B)
62%
C)
32,7%
D)
50%
E)
38,2%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 5:
Em determinada região do país, José Prego, candidato a governador, foi votado por 46% dos eleitores,
enquanto Luiz Arruela, candidato a senador, foi votado por 26% dos mesmos eleitores. 
Foi escolhido ao acaso um eleitor dessa região. Qual é a probabilidade de que esse eleitor tenha votado em
um dos dois candidatos, masnão no outro?
A)
51,92%
B)
48,08%
C)
36,00%
D)
14,40%
E)
33,96%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 6:
O produto XYZ é composto de dois componentes - A e B. Sabe-se que o componente A apresenta defeitos
em 1,2% das unidades produzidas e o componente B, em 3,6% das unidades produzidas. Um produto XYZ,
apanhado ao acaso no estoque, foi testado e estava defeituoso. 
Qual probabilidade de que o componente B dessa unidade seja o defeituoso?
A)
24,4%
B)
71,8%
C)
75,0%
D)
2,4%
E)
3,6%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C)