DESAFIO COLABORATIVO CÁLCULO

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A indústria farmacêutica é líder em pesquisas de novas substâncias com potencial para o desenvolvimento de novos medicamentos. Todo esse processo envolve custos muito elevados. Depois de um tempo de exclusividade no mercado de um novo medicamento, este passa a poder ser produzido por outros fabricantes.
Um laboratório fabricante de fármacos está indeciso entre COMPRAR ou FABRICAR um determinado medicamento.
Se ele decidir pela fabricação, deverá realizar um investimento fixo de $3.500,00 por mês, incorrendo ainda em custos variáveis de $1,00 por unidade fabricada.
Alternativamente, um fornecedor lhe propõe os seguintes preços:
a) $1,55/unidade para Q     <= 10.000 unidades;
b) $1,30/unidade para Q       > 10.000 unidades.
2. Agora, elabore sua resposta conforme as instruções abaixo:
Analise o problema acima e forneça à direção do laboratório elementos que o ajude a tomar uma boa decisão.
Para isso:
(i) determine as funções que representam os custos de fabricação, da alternativa de compra a e da alternativa de compra b;
(ii) caso a quantidade produzida seja menor que 10.000 unidades, até que quantidade é mais interessante fabricar do que comprar?
(iii) caso a quantidade produzida seja menor que 10.000 unidades, a partir de quantas unidades é mais interessante fabricar do que comprar?
3. Compartilhe sua resposta com seus colegas, bem como contribua a sua opinião nas postagens dos mesmos!
RESPOSTA 
i) A função para fabricar Q unidades de medicamentos é:
C(Q) = 3500 + Q
As funções para comprar medicamentos são:
C1(Q) = 1,55Q, Q ≤ 10.000
C2(Q) = 1,3Q, Q > 10.000
ii) Para Q < 10.000, utilizaremos as funções C(x) e C1(Q). Para ser mais interessante a fabricação em vez da compra, devemos fazer com que C(Q) seja menor que C1(Q):
C(x) < C1(Q)
3500 + Q < 1,55Q
3500 < 0,55Q
Q > 6363,63
Para quantidades maiores que 6363 medicamentos, é mais interessante fabricá-los.
iii) Da mesma forma, para quantidades menores ou iguais a 6363 unidades, é mais interessante comprá-los.
Explicação passo-a-passo:
i) Determine as funções que representam os custos de fabricação, da alternativa de compra a e da alternativa de compra b;
i1) FUNÇÃO DO CUSTO DE FABRICAÇÃO:
Cf (m,Q)=3500m+Q
Cf = custo de fabricação
m = número de meses
Q = unidades produzidas de medicamentos
i2) FUNÇÃO DO CUSTO DE COMPRA para Q <= 10.000 unidades:
C1 (Q)=1,55Q, Q ≤ 10.000
C1 = custo total para Q ≤ 10.000
Q = unidades produzidas de medicamentos
i3) FUNÇÃO DO CUSTO DE COMPRA para Q > 10.000 unidades:
C2 (Q)=1,30Q, Q > 10.000
C2 = custo total para Q > 10.000
Q = unidades produzidas de medicamentos
ii) Caso a quantidade produzida seja menor que 10.000 unidades, até que quantidade é mais interessante fabricar do que comprar?
Aqui devemos comparar as funções de fabricação e de compra para Q ≤ 10.000 unidades.
Mas antes vamos derivar a função de fabricação em relação a m (nº de meses).
Cf (m,Q)=3500m+Q
(dCf)/dm=Cf'=3500+Q
* esta derivada representa o custo de fabricação para somente um mês ou somente em função da quantidade Q.
Agora, comparando:
Cf'(Q)=3500+Q  e  C1 (Q)=1,55Q
Faremos, para uma mesma quantidade Q, um custo de fabricação (Cf’) menor do que o custo de compra menor que 10000 unidades (C1) para que seja mais interessante fabricar do que comprar:
Cf' (Q) < C1 (Q)
3500+Q<1,55Q
3500<1,55Q-Q
3500<0,55Q
3500/(0,55)<Q
6363,63<Q
* ou seja, a quantidade deve ser maior que 6363 unidades (considerando que não há frações de unidades) para que seja mais vantajoso fabricar. Lembrando que o enunciado se limita a quantidade menor que 10000 unidades. Por isso utilizamos a função para quantidades até 10000 unidades. Assim, a resposta é:
RESPOSTA: é mais interessante fabricar com quantidades no intervalo 6363 < Q < 10000.
iii) Caso a quantidade produzida seja menor que 10.000 unidades, a partir de quantas unidades é mais interessante fabricar do que comprar?
Apesar de causar estranheza este enunciado, pois é muito semelhante ao anterior, vamos a resposta.
Considerando o cálculo do enunciado anterior, é mais interessante fabricar do que comprar a partir de 6364 unidades.