Módulo 2 - Fatoração e produto notável

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Módulo 2
Fatoração e produto notável
Neste módulo, você vai estudar alguns conceitos fundamentais para resolver 
problemas que envolvem valores desconhecidos, utilizando símbolos 
matemáticos chamados de incógnitas, geralmente representados por letras.
A resolução desses problemas está diretamente relacionada ao desenvolvimento 
de expressões algébricas que envolvem alguns padrões de resolução. Para 
facilitar o desenvolvimento dessas expressões, é importante conhecer alguns 
conceitos básicos da álgebra, como produtos notáveis, fatoração e simplificações 
de expressões.
Seção 1 
Introdução
Esta seção apresenta subsídios básicos para você compreender operações que 
envolvem expressões algébricas. Você terá contato com nomenclaturas, definição 
de polinômios, bem como multiplicação e divisão.
1.1 Incógnita ou variável
Definição 1.1: Um valor desconhecido é chamado de incógnita (ou variável). 
Para representá-lo, você pode utilizar uma letra (na maioria das vezes minúscula). 
Geralmente utiliza-se x, y, z etc.
Exemplos de representação de incógnita utilizando letras:
a) Se o número qualquer for x, o dobro deste número é 2x;
b) Se o número qualquer for y, a metade deste número é ;
c) Se o número qualquer for z, a soma de um terço deste número com seu 
quíntuplo é .
SILVA, Kelen Regina Salles. Fatoração e produtos notáveis. Palhoça: UnisulVirtual, 2016.
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Módulo 2 
1.2 Constante
Definição 1.2: Constantes são utilizadas para representar um valor fixo, podendo 
ser conhecido. Neste caso, você também pode utilizar letras. As mais utilizadas 
são a, b, c etc.
Observação: Quando a constante está multiplicando uma variável, ela é chamada 
de coeficiente. 
Exemplos de representação de constantes:
a) Na representação ax + b, as constantes são a e b e a variável é x;
b) Na representação 5y – 42, as constantes são 5 e –42, a variável é y e 5 é o 
coeficiente de y.
1.3 Expressões algébricas
Definição 1.3: São expressões que representam a relações entre constantes 
e variáveis, utilizando operações (adição, subtração, divisão, multiplicação, 
potenciação, radiciação etc.). Têm o objetivo de descrever uma situação-
problema a ser resolvida.
Exemplos de expressões algébricas:
a) 
4 é o coeficiente de x2 e –5 é o coeficiente de x.
Variável: x
Constantes: 4, –5, 3 
b) 
1 é o coeficiente de x2, –3 é o coeficiente de xy e 2 é o coeficiente de y3.
Variáveis: x, y
Constantes: 1, –3, 2 
3
Fatoração e produtos notáveis. 
1.4 Valor numérico de uma expressão
Se você substituir cada variável da expressão algébrica por um número e realizar 
as operações indicadas, o resultado é chamado de valor numérico da expressão. 
Exemplos de valor numérico da equação:
a) Na expressão: .
Se x = 1, o valor numérico da expressão é 2, pois:
 .
b) Na expressão: .
Se x = 2 e y = –1, o valor numérico da expressão é 0, pois:
 .
Seção 2 
Monômios e polinômios
2.1 Monômios
Definição 2.1: Você pode chamar de monômio toda expressão algébrica 
representada por um número ou por multiplicação de número por variável. A parte 
numérica é chamada de coeficiente numérico e a variável é chamada de parte literal. 
Exemplos de monômios:
a. 2x, sendo coeficiente 2 e parte literal x;
b. 8, sendo coeficiente 8 e sem parte literal;
c. –y4, sendo coeficiente –1 e parte literal y4;
d. 7x3y2, sendo coeficiente 7 e parte literal x3y2.
Em monômios, não aparecem as operações de adição e subtração.
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Módulo 2 
2.1.1 Grau de um monômio
Definição 2.2: O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes da parte 
literal.
Exemplos de grau do monômio:
a) 2x: grau 1;
b) 8: grau 0 (lembre-se que x0 = 1);
c) –y4: grau 4;
d) 7x3y2: grau 5. 
2.1.2 Termos semelhantes
Definição 2.3: Dois ou mais monômios, com partes literais iguais, são 
denominados termos semelhantes.
Exemplos de termos semelhantes:
a) 2x e –15x são termos semelhantes;
b) 8 e são termos semelhantes;
c) –y4 , 2y3 e y2 não são termos semelhantes;
d) x3y2 e 7x3y2 são termos semelhantes.
2.1.3 Soma de termos semelhantes
Você pode somar termos semelhantes. Para isso, basta conservar a parte literal e 
realizar a soma dos coeficientes.
Exemplos de somas de termos semelhantes:
a) 2x – 15x = –13x;
b) ;
c) –y4 + 2y3 + y2 não é possível realizar a operação;
d) x3y2 + 7x3y2 = 8x3y2.
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Fatoração e produtos notáveis. 
2.2 Polinômios
Definição 2.4: São chamados de polinômios as expressões algébricas 
compostas por monômios (não obrigatoriamente semelhantes) e operações 
(soma, subtração, multiplicação etc.) entre eles.
Os polinômios são classificados de acordo com o número de termos não 
semelhantes que possuem.
 • Monômio: um termo.
Exemplo: 2xy3z2.
 • Binômio: dois termos.
Exemplo: x + 5z2.
 • Trinômio: três termos.
Exemplo: 3x + 5xy – 8z3.
 • Polinômio: um número qualquer acima de dois de termos.
Exemplos:
São polinômios:
a. 2xy3z2;
b. x + 5z2; 
c. 3x + 5xy – 8z3;
d. 7a4 – 6a2 + 5a + 1.
2.2.1 Grau de um polinômio
Definição 2.5: O grau do termo de maior grau é o grau do polinômio.
Exemplos de grau de polinômios:
a) 2xy3z2: polinômio de grau 6;
b) x + 5z2: polinômio de grau 2;
c) 3x + 5xy – 8z3: polinômio de grau 3;
d) 7a4 – 6a2 + 5a + 1: polinômio de grau 4.
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Módulo 2 
2.2.2 Multiplicação de polinômios
Você pode multiplicar polinômios. Para isso, multiplique cada termo de um dos 
polinômios por todos os termos do outro, aplicando a propriedade distributiva e 
somando termos semelhantes.
Para realizar os produtos de termos com potência, você deve se lembrar das 
propriedades de produtos de potências de mesma base.
Exemplos de multiplicação de polinômios:
a) (2xy3) . (4y) = 2 . 4 . x . y3 . y = 8xy4;
b) (–3a) . (a + 2b – ab + 2a2) = (–3a) . a + (–3a) . 2b + (–3a) . (–ab) + (–3a) . 2a2 
 = –3a2 – 6ab + 3a2b – 6a3;
c) (–5x + y ) . (5x – y) = (–5x) . 5x + (–5x) . (–y) + y . 5x + y . (–y) = –25x2 + 5xy + 5xy – y2
 = –25x2 + 10xy – y2;
d) (3xy3 – 1) (x – 2y + xy) = 3xy3 . x + 3xy3(–2y) + 3xy3 . xy + (–1) . x + (–1)(–2y) + (–1)xy
 =3x2y3 – 6xy4 + 3x2y4 – x + 2y – xy.
Observação: Fique atento aos sinais dos termos. Observe que todo termo com 
coeficiente negativo foi colocado entre parênteses, ao indicar a multiplicação.
2.2.3 Divisão de polinômios
Dividir um polinômio por um monômio: divida cada termo do polinômio pelo 
monômio.
Exemplos de divisão de polinômio por monômio:
a) (2xy3 ) (4y) = 2xy
3
4 y
=
xy 2
2
b) (a + 2b – ab + 2a2) (–3a )
c) (–25xy + 10x2y ) (5x)=
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Fatoração e produtos notáveis. 
Divisão de um polinômio por outro polinômio: você deve seguir a teoria básica da 
divisão. Lembre-se:
Dividendo Divisor
Resto Quociente
Ou seja: Dividendo = Divisor . Quociente + Resto.
1. O grau do polinômio dividendo deve ser maior ou igual ao grau do polinômio divisor.
2. Antes de realizar a divisão de polinômios, escreva o dividendo e o divisor em ordem 
decrescente e os deixe com mesmos termos (para isso escreva os faltantes com 
coeficientes zero). 
3. Ao terminar a divisão, o grau do polinômio resto deve ser menor que o grau do 
polinômio divisor. 
4. Quando o resto da divisão for igual a zero, você pode dizer que a divisão é exata.
Processo
Passo 1: divida o primeiro (maior grau) termo do dividendo pelo primeiro termo do 
divisor.
Passo 2: multiplique o polinômio do divisor por esse termo e subtraia do 
dividendo este novo polinômio. Você encontrará o resto. 
Passo 3: verifique se o grau do polinômio resto é maior que o grau do divisor. Se for 
maior, o resto se torna o novo dividendo e você deve realizar a operação novamente 
até que o grau do polinômio resto seja menor que o grau do polinômio divisor.
Exemplos de divisão de polinômio:
a) (3x2 + 6 + 2x4 ) (x2 – 1)
1. Coloque os polinômios em ordem decrescente, complete os termos faltantes e 
represente a divisão.
2x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 6 x2 + 0x – 1
2. A divisão de 2x4 por x2 é 2x2. Então, você deve multiplicar todos os termos do 
divisor por 2x2 e, em seguida, subtrair cada produto do termo de mesmo grau do 
dividendo (lembre-se quepara realizar a subtração escrevemos cada resultado da 
multiplicação com sinal oposto).
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Módulo 2 
Veja:
2x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 6 x2 + 0x – 1
–2x4 + 0x3 +2x2 2x2
0x4 + 0x3 + 5x2 + 0x + 6
Observe, ainda, que não foram subtraídos valores dos termos 0x e 6, então eles 
são apenas repetidos no resultado da subtração (resto). 
3. Como o grau do polinômio resto é igual ao grau do polinômio divisor, realize 
novamente a operação.
Resto: 5x2 + 0x + 6. 
Divisor: x2 + 0x – 1.
A divisão 5x2 por x2 resulta em 5. Assim, multiplique todos os termos do divisor 
por 5 e escreva abaixo do resto com sinal oposto (para indicar a subtração).
2x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 6 x2 + 0x – 1
–2x4 + 0x3 +2x2 2x2 + 5
0x4 + 0x3 + 5x2 + 0x + 6
 – 5x2 + 0x + 5
 0x2 + 0x + 11
4. Resultado:
Quociente: 2x2 + 5.
Resto: 11.
Você pode verificar se realizou corretamente a divisão. Para isso, multiplique o 
divisor pelo quociente e some com o resto, deverá resultar no dividendo.
Veja: (x2 – 1) . (2x2 + 5) + 11 = x2 . 2x2 + x2 . 5 + (– 1) . 2x2 + (–1) . 5 + 11
 = 2x4 + 5x2 – 2x2 – 5 + 11 = 2x4 + 3x2 + 6.
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Fatoração e produtos notáveis. 
b) (4x3 – 3x2 + 9x – 10) (x – 1)
Dividendo 4x3 – 3x2 + 9x – 10 x – 1 Divisor
 –4x3 +2x2 4x2 + x + 10
 0x3 + x2 + 9x – 10
 – x2 + x
 0x2 + 10x – 10
 –10x + 10
 0 Resto
Observe que a divisão é exata, pois o resto é zero.
Conferindo o resultado:
(x – 1) . (4x2 + x + 10) = x . 4x2 + x . x + x . 10 + (–1) . 4x2 + (– 1) . x + (–1) . 10
= 4x3+ x2 + 10x – 4x2 – x – 10 = 4x3 – 3x2 + 9x – 10.
c) (y3 – 1) (y – 1)
Dividendo y3 + 0y2 + 0y – 1 y – 1 Divisor
 –y3 +y2 y2 + y + 1
 0y3 + y2 + 0y – 1
 – y2 + x
 0y2 + y – 1
 –y + 1
 0 Resto
Observe que a divisão é exata, pois o resto é zero.
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Módulo 2 
Conferindo a operação:
(y – 1) . (y2 + y + 1) = y . y2 + y . y + y . 1 + (– 1) . y2 + (– 1) . y + (–1) . 1
= y3 + y2 + y – y2 – y – 1= y3 – 1.
d) (x2 + 4x – 5) (x3 + x)
Não é possível realizar a divisão, pois o grau do polinômio dividendo é menor que 
o grau do polinômio divisor.
2.3 Atividades de autoavaliação
1. Utilize letras e sinais para representar a frase em português, conforme exemplo.
Frase em português Representação utilizando símbolos matemáticos
O triplo de um número x 3x
A soma do número y com 5
A diferença entre a metade do número z e seu quádruplo
O produto do número x pela sua décima parte
A soma de três números distintos
A diferença entre um número e a metade de outro número
2. Dados os monômios a seguir, identifique: coeficiente, parte literal, variáveis e 
grau.
 
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Fatoração e produtos notáveis. 
3. Realize as somas.
 
4. Assinale a alternativa que representa o resultado das operações:
 
5. O resto da divisão é:
 
6. Qual é o polinômio que, dividido por , resulta no polinômio 
quociente e polinômio resto ?
 
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Módulo 2 
7. Efetue a divisão.
 
Seção 3 
Produtos notáveis
Produtos notáveis são expressões algébricas representadas por “fórmulas 
gerais”, obtidas a partir da multiplicação de duas expressões algébricas, e têm 
como objetivo facilitar a obtenção do produto. 
Existem cinco casos distintos de produtos notáveis: 
1. Quadrado da soma de dois elementos.
2. Quadrado da diferença de dois elementos.
3. Produto da soma pela diferença de dois elementos.
4. Cubo da soma de dois elementos.
5. Cubo da diferença de dois elementos.
Nas subseções a seguir, vamos explorar cada um desses casos.
3.1 Quadrado da soma de dois elementos
O quadrado da soma de dois elementos pode ser determinado utilizando-se 
a propriedade distributiva. Outra forma de fazer isso é representar como o 
quadrado do primeiro elemento, mais duas vezes o produto do primeiro pelo 
segundo elemento, mais o segundo elemento ao quadrado.
(x + a )2 = x2 + 2xa + a2
Quadrado da 
diferença de dois 
elementos
Primeiro 
elemento ao 
quadrado
Duas vezes o 
produto do primeiro 
pelo segundo 
elemento
Segundo elemento 
ao quadrado
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Fatoração e produtos notáveis. 
Observe que, se você aplicar a distributiva: 
(x + a)2 = (x + a) (x + a) = x2 + ax + xa + a2 = x2 + 2ax + a2.
Exemplos do quadrado da soma de dois elementos:
a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9;
b) (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2;
c) (5a + 1)2 = 25a2 + 10a + 1;
d) .
3.2 Quadrado da diferença de dois elementos
O quadrado da diferença de dois elementos pode ser determinado utilizando-se a 
propriedade distributiva, ou você pode representar como o quadrado do primeiro 
elemento, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo elemento, mais 
o segundo elemento ao quadrado.
(x – a )2 = x2 – 2xa + a2
Quadrado da 
diferença de dois 
elementos
Primeiro 
elemento ao 
quadrado
Duas vezes o 
produto do primeiro 
pelo segundo 
elemento
Segundo elemento 
ao quadrado
Observe que, se você aplicar a distributiva: 
(x – a)2 = (x – a) (x – a) = x2 – ax – xa + a2 = x2 – 2ax + a2.
Exemplos do quadrado da diferença de dois elementos:
a) (3 – x)2 = 9 – 6x + x2;
b) (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1;
c) (a2 – 5)2 = a4 – 10a2 + 25.
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Módulo 2 
3.3 Produto da soma pela diferença de dois elementos
O produto da soma de dois elementos pela diferença de dois elementos será o 
primeiro elemento ao quadrado, menos o segundo elemento ao quadrado.
(x + a )(x – a )2 = x2 – a2
Produto da soma de 
dois elementos pela 
diferença desses 
dois elementos
Primeiro 
elemento ao 
quadrado
Segundo elemento 
ao quadrado
Observe que, se você aplicar a distributiva: 
(x + a).(x – a)2 = x2 + ax – xa – a2 = x2 – a2.
Exemplos do produto da soma pela diferença de dois elementos:
a) (3 – x) . (3 + x) = 9 – x2;
b) (2x + y) . (2x – y) = 4x2 – y2; 
c) (x2 + 3y) . (x2 – 3y) = x4 – 9y2.
3.4 Cubo da soma de dois elementos
O cubo da soma de dois elementos pode ser determinado utilizando-se a 
propriedade distributiva, ou representando-o como o cubo do primeiro elemento, 
mais três vezes o quadrado do primeiro elemento multiplicado pelo segundo 
elemento, mais três vezes o primeiro elemento multiplicado pelo quadrado do 
segundo elemento, mais o cubo do segundo elemento.
(x + a )3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Cubo da 
soma 
de dois 
elementos
Cubo do 
primeiro 
elemento
Três vezes o 
quadrado do 
primeiro elemento 
vezes o segundo 
elemento
Três vezes o 
primeiro elemento 
vezes o quadrado 
do segundo 
elemento
Cubo do 
segundo 
elemento
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Fatoração e produtos notáveis. 
Observe que, se você aplicar a distributiva: 
(x + a)3 = (x + a)(x + a)2 = (x + a)(x2 + 2ax + a2)
= x . x2 + x . 2ax + x . a2 + a . x2 + a . 2ax + a . a2 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3.
Exemplos do cubo da soma de dois elementos:
a) (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64;
b) (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 ;
c) (a2 + b)3 = a6 + 3a4b + 3a2b2 + b3. 
3.5 Cubo da diferença de dois elementos
O cubo da diferença de dois elementos pode ser determinado utilizando-se a 
propriedade distributiva, ou representando-o como o cubo do primeiro elemento, 
menos três vezes o quadrado do primeiro elemento multiplicado pelo segundo 
elemento, mais três vezes o primeiro elemento multiplicado pelo quadrado do 
segundo elemento, menos o cubo do segundo elemento.
(x – a )3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3
Cubo da 
diferença 
de dois 
elementos
Cubo do 
primeiro 
elemento
Três vezes o 
quadrado do 
primeiro elemento 
vezes o segundo 
elemento
Três vezes o 
primeiro elemento 
vezes o quadrado 
do segundo 
elemento
Cubo do 
segundo 
elemento
Observe que, se você aplicar a distributiva: 
(x – a)3 = (x – a)(x – a)2 = (x – a)(x2 – 2ax + a2)
= x . x2 – x . 2ax + x . a2 – a . x2 – a . (–2a) . x – a . a2 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3.
Exemplos do cubo da diferença de dois elementos:
a) (3 – y)3 = 9 – 27y + 9y2 – y3 ;
b) (x – 2y2)3 = x3 – 12x2y + 12xy4 – 8y6 ;
c) (a2 – b)3 = a6 – 3a4b + 3a2b2 – b3.
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Módulo 2 
3.6 Atividades de autoavaliação
1. Utilize as regras de produtos notáveis para determinar a expressões resultantes 
das operaçõesdadas.
a) (3 + y)2. 
b) (5x – 2)2.
c) (a2 – xy)2.
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
Seção 4 
Fatoração
Uma expressão matemática se encontra na forma fatorada quando está 
representada pela multiplicação de dois ou mais fatores. 
Observação: Em todas as situações, você pode verificar se a fatoração está 
correta realizando a multiplicação indicada.
Veja alguns casos clássicos de fatoração.
4.1 Colocação de fator comum em evidência
Se a expressão apresentar um fator comum em “todos” os termos, você pode 
colocá-lo em evidência. Assim, a forma fatorada da expressão é o produto 
deste fator comum pelo polinômio que se obtém pela divisão de cada termo do 
polinômio inicial pelo fator.
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Fatoração e produtos notáveis. 
Exemplos de colocação de fator comum em evidência: 
a) x2 – xy = x(x – y) 
Pois o fator que aparece em ambos os termos é x.
Verificação: x (x – y) = x . x + x . (–y) = x2 – xy.
b) x6 – x5 + 2x4 + 4x3 – 12x2 = x2 (x4 – x3 + 2x2 + 4x – 12) 
Pois o fator que aparece em todos os termos é o x2
Verificação: x2 (x4 – x3 + 2x2 + 4x – 12) = x2 . x4 + x2 . (–x3) + x2 . 2x2 + x2 . 4x + x2 . (–12)
 = x6 – x5 + 2x4 + 4x3 – 12x2
c) 3ax – 9ay2 = 3a (x – 3y2) 
Pois o fator que aparece em ambos os termos é 3a.
Verificação: 3a (x – 3y2) = 3a . x + 3a . (–3y2) = 3ax – 9ay2.
d) 3(b + 1) + y (b + 1) = (3 + y) (b + 1) 
Pois o fator que aparece em ambos os termos é (b + 1).
Verificação: 3 . (b + 1) + y . (b + 1) = 3(b + 1) + y(b + 1).
4.2 Agrupamento de fator comum
Se a expressão apresentar grupos de termos com alguns (não obrigatoriamente 
todos) fatores comuns, você deve inicialmente agrupá-los e colocar em evidência 
o fator comum de cada grupo.
Exemplos de colocação de fator comum em evidência: 
a. ax – bx + 5a – 5b = x (a – b) + 5(a – b) = (x + 5)(a – b)
Pois x é fator comum dos dois primeiros termos e 5 é fator comum dos dois 
últimos termos; consequentemente, o termo (a – b) é comum aos dois termos e, 
assim, pôde ser colocado em evidência.
Verificação: (x + 5)(a – b) = x . a + x . (–b) + 5 . a + 5 . (–b) = ax – bx + 5a – 5b.
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Módulo 2 
b) 4bx – 8b + ax – 2a = x(4b + a) – 2(4b + a) = (x – 2) . (4b + a)
Pois x é fator comum do primeiro e terceiro termos e –2 é fator comum do 
segundo e quarto termos; consequentemente, o termo (4b + a) é comum aos dois 
termos e, assim, pôde ser colocado em evidência.
Verificação: (x – 2) . (4b + a) = x . 4b + x . a – 2 . 4b – 2 . a = 4bx + ax – 8b – 2ª.
c) ax – 3ay + 4bx – 12by – 7cx + 21cy 
= a(x – 3y) + 4b(x – 3y) – 7c (x – 3y) = (a + 4b – 7c)(x – 3y)
Pois a é fator comum do primeiro e segundo termos, 4b é fator comum do 
terceiro e quarto termos e –7c é fator comum do quinto e sexto termos; 
consequentemente, o termo (x – 3y) é comum a todos os termos e, assim, pôde 
ser colocado em evidência.
Verificação: 
(a + 4b – 7c)(x – 3y) = a . x + a(–3y) + 4b . x + 4b . (–3y) – 7c . x – 7c . (–3y) 
= ax – 3ay + 4bx –12by – 7cx + 21cy.
4.3 Diferença de dois quadrados
Se a expressão apresentar um polinômio com dois termos, sendo o primeiro ao 
quadrado, menos o segundo ao quadrado, você pode escrevê-la como o produto 
da soma pela diferença. 
Observação: Para verificar se a fatoração está correta, basta utilizar o caso 
3.3 de produtos notáveis (produto da soma pela diferença), apresentado 
anteriormente.
Exemplos de diferença entre dois quadrados:
a) x2 – b2 = (x + b) . (x – b);
b) 25x2 – 49b2 = (5x + 7b) . (5x – 7b);
c) 4y2 – 81 = (2y + 9) . (2y – 9);
d) x4 – b4 = (x2 + b2) . (x2 – b2).
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Fatoração e produtos notáveis. 
4.4 Trinômio do quadrado perfeito
Se a expressão apresentar um polinômio com três termos, esse trinômio é 
quadrado perfeito quando dois de seus termos forem quadrados perfeitos e o 
termo que não estiver ao quadrado for igual ao dobro do produto das raízes dos 
quadrados perfeitos. Neste caso, você pode escrever o trinômio, como sendo a 
soma (ou diferença) dos termos, ao quadrado.
Exemplos de trinômio do quadrado perfeito:
a) x2 + 2bx + b2 é um trinômio quadrado perfeito, pois apresenta três termos: o 
primeiro x2 e o último b2 são quadrados de x e b, respectivamente. O segundo 2bx é o 
dobro do primeiro pelo segundo. Ou seja, o trinômio é o resultado de (x + b)2, logo:
x2 + 2bx + b2 = (x + b)2.
b) y2 – 10y + 25 é um trinômio quadrado perfeito, pois apresenta três termos: o 
primeiro y2 e o último 25 são quadrados de y e 5, respectivamente. O segundo 
–10y é menos o dobro do primeiro pelo segundo, ou seja, –2 . y . 5. 
Assim, o trinômio é o resultado de (y – 5)2, logo:
y2 – 10y + 25 = (y – 5)2.
c) a3 + 2a2x + ax2, apesar de ser um trinômio, não apresenta dois termos que 
representam os quadrados de dois elementos. Observamos que o fator a é 
comum em todos os termos e pode ser colocado em evidência. Assim, o trinômio 
pode ser escrito como: a(a2 + 2ax + x2). Agora temos um trinômio quadrado 
perfeito que pode ser fatorado como o quadrado da soma de dois elementos:
a3 + 2a2x + ax2 = a(a + x)2.
d) 9y2 + 12xy + 4x2– 10 
Neste caso, temos quatro termos, mas apenas os três primeiros representam 
um trinômio quadrado perfeito, pois o termo 9y2 e 4x2 são quadrados de 3y e 2x, 
respectivamente. Além disso, o segundo termo 12xy é igual a 2 . 3y . 2x. Logo, 
fatorando:
9y2 + 12xy + 4x2 – 10 = (3y – 2x)2 – 10.
20
Módulo 2 
4.5 Trinômio do segundo grau da forma (x2 + Sx + P)
Se a expressão apresentar um polinômio (trinômio) que não é quadrado perfeito, 
você pode fatorá-lo se encontrar dois números inteiros a e b, tal que:
P = a . b produto desses dois inteiros.
S = – (a + b) o oposto da soma desses dois números inteiros.
Dessa forma, a expressão poderá ser escrita como: (x – a)(x – b).
Observação: A determinação desses números é obtida por tentativa.
Exemplos de trinômio do segundo grau:
a) x2 – 8x + 12, os números inteiros são a = 6 e b = 2,
pois P = 6 . 2 = 12 e S = – (6 + 2) = – 8.
Logo: x2 – 8x + 12 = (x – 6) (x – 2).
Você também pode verificar se a fatoração está correta:
(x – 6) (x – 2) = x2 – 6x – 2x + 12 = x2 – 8x + 12.
b) x2 – 3x – 10, os números inteiros são a = 5 e b = –2,
pois P = 5 . (–2) = –10 e S = – [5 +(-2)] = – 3.
Logo: x2 – 3x – 10 = (x – 5) . (x – (–2)) = (x – 5)(x + 2).
Verificando se a fatoração está correta:
(x – 5) (x + 2) = x2 – 5x + 2x – 10 = x2 – 3x – 10.
c) x2 + x – 6 . Os números inteiros são a = – 3 e b = 2,
pois P = (–3) . 2 = –6 e S = – (–3 + 2) = 1.
Logo: x2 + x – 6 = (x – (–3)) . (x – 2) = (x + 3)(x – 2).
Verificando se a fatoração está correta:
(x + 3) (x – 2) = x2 + 3x – 2x – 6 = x2 + x – 6.
21
Fatoração e produtos notáveis. 
4.6 Atividades de autoavaliação
1. Fatore as seguintes expressões:
 
Seção 5 
Simplificação de expressão algébrica
Em muitas situações matemáticas, você precisará escrever uma determinada 
fração que envolve expressões algébricas de outra forma. Nesses casos, é 
necessário realizar simplificações das expressões algébricas utilizando fatoração. 
Verifique se é possível fatorar numerador e denominador da fração algébrica para 
determinar termos iguais para, em seguida, dividir o termo por ele mesmo (cortar).
Exemplos de simplificações de expressões algébricas:
a) 
É possível colocar o x em evidência no numerador. Mas cuidado, você só pode 
“cortar” o x do numerador com o x do denominador, porque ele está multiplicando 
os demais termos.
22
Módulo 2 
b) 
Primeiro realiza-se o agrupamento de termos em comum para colocá-los em 
evidência. Observe que (a + b) está multiplicando os demais termos do numerador e 
denominador, e somente por isso pôde ser simplificado.
c) 
Fatoração do numerador como o produto da soma pela diferença. Em seguida, 
realizar a simplificação.
d) 
Fatorando o numerador e denominador. Observe que os termos não são iguais, pois 
apresentam sinais diferentes, então, você pode colocar (–1) em evidência para que 
possa simplificar os termos.
23
Fatoração e produtos notáveis. 
5.1 Atividades de autoavaliação
1. Simplifique as seguintes frações algébricas: