Regras de Derivadas

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Pergunta 1
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resposta:
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função
racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que
derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função é igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra do
quociente, a derivada da função racional é igual a ,
diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é
verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.
Pergunta 2
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resposta:
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar as
funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é um
cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado
obtido para o limite.
4.
4.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o
polinômio , utiliza-se a diferenças dos quadrados ,
portanto, , e o cálculo do limite é justificado da seguinte forma:
.
Pergunta 3
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O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4
dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que 
 , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que 
 , 4º dígito: , em que Para descobrir qual é o código,
encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
2, 1, 1, 4.
2, 1, 1, 4.
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, obteve-se o código igual
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
resposta: a 2114. Cálculos: 
1º dígito: , em que
 . 
2º dígito: , em que 
3º dígito: , em que 
 
4º dígito: , em que 
Pergunta 4
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resposta:
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função
polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função,
utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
 
 
 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as
propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função
adequadamente, obtendo o resultado de . 
 
 
 
 
 
Pergunta 5
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da
soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente
entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe
tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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resposta:
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
2, 3, 1, 4.
2, 3, 1, 4.
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que 
 = Derivada do Quociente. = Derivada
da Soma. = Derivada do Produto.
= Derivada da Cadeia.
Pergunta 6
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resposta:
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande
complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se
um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções
trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) .
II. ( ) .
III. ( ) .
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, F, V.
V, F, F, V.
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas
estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da
função cossecante é dada por Por fim, a
afirmativa III também é falsa desde quando a derivada da cotangete é
Pergunta 7
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resposta:
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função tangente
e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência.
Assim, inicialmente, deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por
fim, a função polinomial. 
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
Sua resposta está incorreta. Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada da função
potência, depois a derivada da tangente e, em seguida, a derivada da função polinomial, o
seguinte cálculo mostra que . 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
Pergunta 8
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resposta:
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os
resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante
conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então .
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então .
IV. ( ) Se então .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então 
, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se ,
então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é
verdadeira, porque se , então , como consta na tabela
de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se 
então . Verifique que a
função é uma função composta e, portanto, através da regra da cadeia 
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um
intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de
uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na
cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em relação ao
tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em
relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte situação
problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado
pela equação do movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a
40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a .
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
II e IV, apenas.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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resposta:
II e IV, apenas.
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o período
de tempo quecomeça quando e é igual a 40,0 m/s. De fato:
. A afirmativa II é correta, uma vez
que a velocidade instantânea quando é igual a . De fato:
 A
afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a
afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é é igual a .
De fato: 
Pergunta 10
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da
resposta:
Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está
gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem
matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a
taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
4,875 litros/horas.
4,875 litros/horas.
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do gotejamento do líquido no
recipiente em relação ao tempo, basta derivar a função e aplicar o ponto 
horas, como mostram os cálculos a seguir.
1 em 1 pontos