PDF - Aula 212 - Mínimo Múltiplo Comum - MMC

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Prof. Rivelino – Matemática Básica 
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE INTEIROS 
 
 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( MMC ) 
 
Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou 
mais números é o menor de seus múltiplos 
comuns, diferente de zero. 
 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....} 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....} 
M(3) ∩ M(4) = { 0, 12, 24, 36, ... } 
 
MMC (3, 4) = 12 
 
 PROCESSOS PARA O CÁLUCULO DO MMC 
 
1º Processo: Decomposição de fatores primos em 
separado 
 
a) Decompõem-se os números em fatores 
primos; 
b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns 
e não comuns elevados ao maior de seus 
expoentes; 
 
2º Processo: Decomposição de fatores primos em 
conjunto. 
a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo 
os números pelos fatores comuns e não comuns. 
b) Toma-se o produto desses fatores primos 
comuns e não comuns. 
 
 CONSEQÜÊNCIAS DO MMC 
 
1ª) O MMC entre dois números primos entre si é 
igual ao produto entre eles. 
 
mmc (12, 25) = 12 . 25 = 300 
mmc (4, 9 ) = 4 . 9 = 36 
 
2ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o 
maior é múltiplo dos menores, é o maior número. 
 
mmc (40, 120) = 120 
 mmc (50, 150, 300) = 300 
 
3ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números 
são os múltiplos do MMC entre esses números. 
 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....} 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....} 
 
MMC (3, 4) = 12 
 
M(3) ∩ M(4) = M(12) 
 
4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais 
números por um mesmo número, o MMC entre 
eles ficará multiplicado ou dividido, 
respectivamente, por esse mesmo número. 
 
MMC (12, 18) = 36 
 
Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará 
multiplicado por 4. 
MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144 
 
Dividindo-se os números por 3, o MMC ficará 
dividido por 3. 
MMC (4, 6) = 36 : 3 = 12 
 
 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO: 
 
O produto de dois números é igual ao produto do 
máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo 
comum entre esses números. 
 
A x B = MDC ( A , B ) x MMC ( A , B ) 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
01. Ache o menor número que dividido 
respectivamente por 15, 18 e 24 dá sempre 
resto 7. 
 
02. Determine os três menores múltiplos comuns 
de 48 e 72. 
 
 
 
03. Calcule o M.M.C e o M.D.C entre X, Y e Z. 
X= 3² . 5 . 7 
Y= 2 . 3 . 5² . 7 
Z= 5² . 7² 
04. Quais os números compreendidos entre 1000 
e 2000, que são múltiplos de 36, 45 e 54 
simultaneamente? 
 
05. O M.D.C de dois números é 4 e seu M.M.C é 
360. Um dos números é 36. Qual o outro? 
 
06. Ache o menor número que dividido por 20, 25 
e 30 dá divisões inexatas, cujo resto é 
sempre 3. 
07. Três locomotivas apitam em intervalos de 30, 
40 e 60 minutos respectivamente. Se coincidir 
das três apitarem juntas uma vez, depois de 
quanto tempo apitarão juntas novamente? 
 
08. Determine todos os números compreendidos 
entre 400 e 1.000, que sejam, ao mesmo 
tempo, divisíveis por 7, 9 e 15. 
 
09. Qual o M.M.C de dois números primos entre 
si? E o M.D.C? 
 
10. Seja A o maior número de dois algarismos que 
é divisível simultaneamente por 2, 3, 5, 9 e 10 
e B o menor número de três algarismos que é 
divisível simultaneamente também por 2, 3, 5, 
9 e 10. Determine o M.D.C entre A e B. 
 
11. Paulo contou os selos que possuía de 12 em 
12, de 24 em 24 e de 36 em 36 e sobraram 
sempre 7 selos. Se você souber que o número 
de selos de Paulo é maior que 400 e menor 
que 500, descobrirá quantos selos ele tem? 
 
12. Quais são os dois menores números pelos 
quais se deve multiplicar, respectivamente, 63 
e 42 para se obter produtos iguais? 
 
13. Um tenente, um sargento e um cabo estão de 
serviço hoje. Daqui a quantos dias darão 
serviço novamente juntos, sabendo-se que o 
tenente dá serviço de 12 em 12 dias, o 
sargento de 8 em 8 dias e o cabo de 6 em 6 
dias? 
 
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14. Se numa divisão ( no conjunto dos inteiros ) o 
quociente é 12, o divisor é 6 e o resto é o 
maior possível, então a soma do dividendo 
com o resto vale: 
 
15. Sejam a e b números inteiros tais que o 
m.d.c(a , b) = 6 e a . b = 144. O mínimo 
múltiplo comum de a e b vale: 
 
16. Qual deve ser o valor de a no número 
2 a + 1N = 3 . 5 . 2 para que o MDC entre 96, 
N e 240 seja 24? 
 
17. Sejam a e b dois números inteiros. Se 
m.d.c( a , b ) = a, então podemos afirmar que: 
a) a divide b 
b) b divide a 
c) a é múltiplo de b 
d) a é divisível por b