MA23 resumoU6

Prévia do material em texto

MA23 - Geometria Anaĺıtica
Unidade 6 - Hipérbole
João Xavier
PROFMAT - SBM
21 de agosto de 2013
Hipérbole
Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um número real positivo.
Chama-se de hipérbole de focos F1 e F2 ao conjunto dos pontos X
cuja diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é, em valor absoluto,
igual a 2a. Assim, o ponto X pertence a essa hipérbole se, somente
se,
|d(X ,F1) − d(X ,F2)| = 2a.
O subconjunto da hipérbole formado pelos pontos X que satisfazem
a igualdade d(X ,F1) − d(X ,F2) = 2a chamaremos de ramo da
hipérbole segundo F2, e o subconjunto formado pelos pontos X tais
que d(X ,F1) − d(X ,F2) = −2a chamaremos de ramo da hipérbole
segundo F1.
A reta que passa nos focos chamaremos de eixo focal e os pontos de
intersecção do eixo focal com a hipérbole serão chamados de vértices
da hipérbole. Note que a distância entre os vértices é igual a 2a.
Chamaremos a de semieixo focal da hipérbole.
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 2/11
Hipérbole
Denominaremos por centro da hipérbole o ponto médio do segmento
de reta que une os focos; a mediatriz do segmento de reta que une
os focos será chamada de eixo normal da hipérbole. Se denotarmos
por c a metade da distância entre os focos, temos c > a. Seja b > 0
tal que c2 = a2 + b2.
Os elementos listados abaixo, estão identificados na próxima figura:
• Os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole, a distância entre eles
denominada distância focal é 2c , e a reta que os contêm é a reta
focal.
• A interseção da hipérbole com a reta focal consiste de exata-
mente dois pontos, A1 e A2 cuja distância é 2a, chamados vértices
da hipérbole.
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 3/11
Hipérbole
• O segmento B1B2, perpendicular ao eixo focal que tem ponto médio
o centro da hipérbole e comprimento 2b, onde b2 = c2−a2, é denomi-
nado eixo não focal da hipérbole. Os pontos B1 e B2 são denominados
vértices imaginarios.
• Uma hipérbole é equilátera, se o comprimento do eixo focal for
igual ao comprimento do eixo não focal, isto é, a = b.
• A excentricidade da hipérbole e = ca .
Figura: Hipérbole
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 4/11
Hipérbole
Vamos obter a equação reduzida da hipérbole quando os focos são
da forma F1 = (n1,m) e F2 = (n2,m), com n1 < n2. Neste caso, o
centro da hipérbole é (x0, y0) = (
n1+n2
2 ,m) e n2 − n1 = 2c . Donde,
x0 − n1 =
n2−n1
2 = c e n2 = 2x0 − n1 = x0 + c .
A fim de determinar a equação do ramo da hipérbole segundo F2,
escreveremos a equação d(X ,F1) − d(X ,F2) = 2a em termos de
coordenadas, o que nos dá√
(x − n1)2 + (y −m)2 −
√
(x − n2)2 + (y −m)2 = 2a.
Portanto,√
(x − n1)2 + (y −m)2 = 2a +
√
(x − n2)2 + (y −m)2.
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 5/11
Hipérbole
Elevando ao quadrado,
(x − n1)
2 + (y −m)2 = 4a2 + 4a
√
(x − n2)2 + (y −m)2
+ (x − n2)
2 + (y −m)2.
Simplificando,
−a
√
[(x − x0) − c ]2 + (y − y0)2 = a
2 − c(x − x0).
Novamente elevando ao quadrado e simplificando obtemos,
(a2 − c2)(x − x0)
2 + a2(y − y0)
2 = a2(a2 − c2).
A última igualdade implica
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 6/11
Hipérbole
(x − x0)
2
a2
−
(y − y0)
2
b2
= 1.
Cálculos análogos aos apresentados acima nos conduzem à mesma
equação, denominada equação canônica da hipérbole, para o ramo
da hipérbole segundo F1.
A rigor, provamos acima apenas que as coordenadas (x , y) de
um ponto arbitrário da hipérbole satisfazem a equação encontrada.
Mostra-se, reciprocamente, que todo ponto cujas coordenadas satis-
fazem esta equação pertence à hipérbole cujos focos são F1 = (n1, y0)
e F2 = (n2, y0), com x0 =
n1+n2
2 e n2 > n1.
Exemplo: A equação 2x2 − 3y2 = 5 equivale a
x2
(
√
5/2)2
−
y2
(
√
3/2)2
= 1,
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 7/11
Hipérbole
que representa a hipérbole centrada na origem, de semieixo focal
√
5
2 ,
semieixo normal
√
3
2 e de focos nos pontos (±2, 0).
Analogamente ao que vimos, se considerarmos os focos pertencentes
a uma reta paralela ao eixo y temos que a equação que representa a
hipérbole é:
−
(x − x0)
2
b2
+
(y − y0)
2
a2
= 1.
Chamaremos de excentricidade da hipérbole a razão entre c e a. Se
denotarmos por e a excentricidade, então e = ca . Note que a excen-
tricidade da hipérbole é um número maior 1. No exemplo anterior, a
hipérbole tem excentricidade igual a 2
√
2
5 =
√
8
5 .
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 8/11
Hipérbole
As retas y = ±ba (x−x0)+y0 são chamadas de asśıntotas da hipérbole
(x − x0)
2
a2
−
(y − y0)
2
b2
= 1.
Figura: Asśıntotas
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 9/11
Hipérbole
Consideremos a equação de uma hipérbole de centro no ponto (x0, y0)
e reta focal paralela ao eixo x
(x − x0)
2
a2
−
(y − y0)
2
b2
= 1.
Desenvolvendo essa equação, obtemos
b2x2 − a2y2 − 2b2x0x + 2a
2y0y + b
2x20 − a
2y20 − a
2b2 = 0
que é da forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
com A = b2, B = 0, C = −a2, D = −2b2x0, E = 2a
2y0 e F =
b2x20 − a
2y0 − a
2b2.
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 10/11
Hipérbole
Então, B = 0 e os coeficientes A e C têm sinais opostos. O mesmo
vale para a equação da hipérbole com centro no ponto (x0, y0) e reta
focal paralela ao eixo y . Reciprocamente, temos:
Proposição: Se os coeficientes A e C da equação do segundo grau
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 têm sinais opostos, então a
equação representa um dos seguintes conjuntos:
(i) uma hipérbole com eixos paralelos aos eixos coordenados;
(ii) um par de retas concorrentes.
O caso em que a equação do segundo grau acima, com AC < 0,
representa um par de retas concorrentes é chamado caso degenerado
da hipérbole.
PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 11/11