Lista 5_ Hipérbole

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GEOMETRIA ANALITICA-5: HIPÉRBOLE 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Uma hipérbole tem equação 2 25x 4y 80 0- - = . Dê a equação 
reduzida, coordenadas dos vértices e dos focos e as equações das 
assíntotas. Faça um esboço do gráfico. 
 
2. Uma hipérbole tem equação 2 216x 9y 144 0- + = . Dê a equação 
reduzida, coordenadas dos vértices e dos focos e as equações das 
assíntotas. Faça um esboço do gráfico. 
 
3. O valor da excentricidade da cônica 1
9
)2(
4
)5( 22



 yx
 é 
a) 2 
b) 
2
13
 
c) 
2
5
 
d) 3 
 
4. (FUVEST) Determine as equações das retas do plano que passam 
pela origem do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva 
do plano dada pela equação 
x² y²
1
4 9
  
 
5. Seja t um número real qualquer , tal que 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 , 𝑡 ≠
𝜋 
2
 e 𝑡 ≠
3𝜋
2
. Dê as equações reduzidas das hipérboles cujas equações 
paramétricas são dadas por 
x 6sec t
y 8tgt
ì =ïï
í
ï =ïî
 
 
6. Uma hipérbole tem centro na origem, eixo imaginário medindo 10 , 
focos no eixo Oy e excentricidade 
3
2
. Dê sua equação. 
 
7. Uma hipérbole equilátera tem centro na origem e focos no eixo Ox. 
Sabendo que sua distância focal é 6, dê sua equação. 
 
8. Dê a excentricidade de uma hipérbole cujas assíntotas têm equações 
2
y x
7
= ± 
 
9, Dê as equações das retas que passam por ( )2,0 e que são 
tangentes à hipérbole de equação 
2 2x y
1
16 9
- = 
 
10. Dê a equação da reta tangente à hipérbole no ponto de abscissa 5 e 
ordenada positiva. 
11. Mostre que a curva 
1
y
x
= é uma hipérbole equilátera 
 
 
 
 
 
 
 
12. (Puc-RJ 2015) Considere a hipérbole de equação 
1
y
x
 mostrada 
na figura abaixo: 
 
 
 
a) Determine os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de 
equação y 2 x 2.   
b) Determine os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de 
equação y 2 x 2.    
c) Para quais valores do parâmetro real m a reta de equação 
 y 2 m x 2   intersecta a hipérbole em exatamente um 
ponto? 
 
13. (Esc. Naval 2013) A equação 2 24x y 32x 8y 52 0,     no 
plano xy, representa 
a) duas retas 
b) uma circunferência 
c) uma elipse 
d) uma hipérbole 
e) uma parábola 
 
     
 
  

           
    
     
2 2
2
14.. (ITA 2009) Sejam x,y e 
x 1 3 i y 4 i x 2 6 i
y 16 4 i . 
Identifique e esboce o conjunto 
 x,y ;Re 13 e Im 4 .
 
 
 15.(Ita 2008) Dada a cônica é: x2 - y2 = 1, qual das retas abaixo é 
perpendicular à ë no ponto P = (2, 3 )? 
a) y = 3 x – 1 b) y = 
3
x
2
 c) y = 
3
x 1
3
 
 
d) y = -
3
x 7
5
 e) y = -
3
x 4
2
 
 
16. (Ita 2006) sabendo que 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a 
equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. 
 
17. (Ita 2003) considere a família de circunferências com centros no 
segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas 
circunferências corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 
cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é 
parte: 
 
 2 
a) de uma elipse. 
b) de uma parábola. 
c) de uma hipérbole. 
d) de duas retas concorrentes. 
e) da reta y = - x. 
 
18. (Ita 2001) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico dos pontos 
P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P 
a A e o dobro do quadrado da distância de P à reta y=-r, é: 
a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r. 
b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r e 2r. 
c) uma parábola com vértice em (r, -r). 
e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r. 
 
 
       
19.(ITA 1998) Considere a hipérbole e a parábola
 cujas equações são, respectivamente,
 e 
Então, o lugar geométrico dos pontos cuja soma 
dos quadrados das distâ
2 2 2
H
T,
5 x 3 4 y 2 20 y 3 4 x 1 .
P,
          
   
ncias de a cada um dos 
focos da hipérbole é igual ao triplo do quadrado 
da distância de ao vértice da parábola é:
A ( ) A elipse de equação + . 
B ( ) A hipérbole de eq
2 2
P
H
P T,
x 3 y 2
1
4 3
 

   
 
 
uação + . 
C ( ) O par de retas dadas por 
D ( ) A parábola de equação . 
E ( ) A circunferência centrada em e 
raio .
2 2
2
y 1 x 3
1
5 4
y 3 x 1 .
y 4 x 4
9,5
120
 

   
   
 
20. (IME 2011) Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela 
equação 𝑥2 − 10√3𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 16 = 0 
 
 
21.(IME 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem 
centro na origem e passa pelo ponto 5,1 . A equação de uma reta 
tangente a esta hipérbole e paralela a y 2 x é:
(A) 3 y 2 3 6 (B) y
 
     2 x 3 3 
(C) 3 y 6 x 2 3 (D) 3 y 2 3 4 
(E) y 2 x 3
  
       
  
 
 
22. (IME 2010) considere as hipérboles que passam pelos pontos (–4, 2) 
e (–1, –1) e apresentam diretriz na reta y = -4. Determine a equação do 
lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles, associados a 
esta diretriz, e represente o mesmo no plano cartesiano. 
 
23. (IME 2009) um triângulo isóscele possui seus vértices da base sobre 
o eixo das abscissas e o terceiro vértice, B, sobre o eixo positivo das 
ordenadas. Sabe-se que a base mede b e seu ângulo oposto ˆB= 120º. 
Considere o lugar geométrico dos pontos cujo quadrado da distância à 
reta suporte da base do triângulo é igual ao produto das distâncias as 
outras duas retas que suportam os dois outros lados. Determine a(s) 
equação(ões) do lugar geométrico e identifique a(s) curva(s) descrita(s). 
 
 
  2 224.(IME 2009) Seja A a,b o ponto da cônica x y 27 
mais próximo da reta 4 x 2 y 3 0. O valor de a b é
(A) 9 (B) 4 (C) 0 (D) 4 (E) 9
 
     
 
 
 
 25. [IME 2005] Considere os pontos A(-1,0) e B(2,0) e seja C uma 
circunferência de raio R tangente ao eixo das abcissas na origem. A reta 
r1 é tangente a C e contém o ponto A e a reta r2 também é tangente a C 
e contém o ponto B. Sabendo que a origem não pertence às retas r1 e r2, 
determine a equação do LG descrito pelo ponto de interseção de r1 e r2 
ao se variar R no intervalo (0,+∞) . 
 
26. (IME 2000) Calcule as coordenadas dos pontos de 
intersecção da elipse com a hipérbole, representadas na figura abaixo, 
sabendo-se que:
i) Os pontos C e C' são os focos da elipse e os pontos A e A ' são os 
focos da hipérbole.
ii) BB' é o eixo conjugado da hipérbole.
iii) OB OB' 3 m e OC OC' 4 m.   
 
 
 
27. (IME 1987) Seja uma hipérbole equilátera de centro O e focos F e F’ 
Mostre que o segmento determinado por O e por um ponto M qualquer 
da hipérbole é média proporcional entre os segmentos MF e MF’. 
 
28. IME- Seja (T) um triângulo ABC tal que ˆ ˆC 2A= . 
a) Calcule , em função de cosA , as excentricidades da elipse e da 
hipérbole de focos A e B e que passam por C . 
b) Supondo-se existir (T) , qual a relação de igualdade a que devem 
satisfazer os lados AB , BC e CA. 
 
29. (IME) Por um ponto M qualquer de uma hipérbole (h) , traça-se uma 
paralela a uma assíntota (a) de (h) : essa paralela encontra uma diretriz 
(d) de (h) em D . Sendo F o foco de (h) correspondente à diretriz (d) , 
mostre que : MD=MF 
 
30. (IME 1981) Calcule os eixos e a excentricidade da cônica , secção 
por um plano ( p ) em um cone de revolução ( G ) de vértice V , 
sabendo-se : 
1) A excentricidade da secção por ( p ) é a maior possível para o cone 
( G ). 
2) V dista de ( p ) 6 unidades de comprimento. 
3) ( G ) é tal que a secção por um plano perpendicular a uma geratriz 
é uma hipérbole equilátera. 
 
31. (IME) Dados um sistema de eixos ortogonais XOY e um ponto A, de 
coordenadas 
0 0 0 0(x ,y ),(x ,y ) (0,0) , considere dois pontos 
variáveis P e Q, P pertencente ao eixo OX e Q pertencente ao eixo Oy, 
tais que a área do triângulo APQ seja constantee igual a K, K R . 
Calcule e identifique a equação do lugar geométrico do ponto médio do 
segmento PQ. 
 
X
Y
O
A'
B'
A
B
C
D
C'
D'
E'
E
 
 3 
32. (IME-1986) Determine a equação e identifique o lugar geométrico 
dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da 
cônica 2 25x 6xy 5y 4x 4y 4 0      com as retas de coeficiente 
angular igual a 
1
2
. 
 
GABARITO 
 
1. 
𝑥2
16
−
𝑦2
20
= 1 
𝐴1 = (−4,0) , 𝐴2 = (4,0) 
𝐹1 = (−6,0) , 𝐹2 = (6,0) 
𝑦 = ±
√5
2
𝑥 
 
2. 
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 
𝐴1 = (−3,0) , 𝐴2 = (3,0) 
𝐹1 = (−5,0) , 𝐹2 = (5,0) 
𝑦 = ±
4
3
𝑥 
 
3. B 
 
4. 𝑦 = 𝑚𝑥, 𝑚 ≤
−3
2
 𝑜𝑢 𝑚 ≥
3
2
 
 
5. 
𝑥2
36
−
𝑦2
64
= 1 
 
6. 
𝑦
20
−
𝑥2
25
= 1 
 
7. 
𝑥2
9
2
−
𝑦2
9
2
= 1 
 
8. 𝑒 =
√53
7
 𝑜𝑢 𝑒 =
√53
2
 
 
9. 𝑦 =
√3
2
𝑥 − √3 𝑜𝑢 𝑦 = −
√3
2
𝑥 + √3 
 
10. 𝑦 −
9
4
=
5
4
(𝑥 − 5) 
 
11. Demonstração 
 
12. A) (−2 − √5, 2 − √5) 𝑒 (−2 + √5, 2 + √5) b) não há 
c) 𝑚 =
−3±√5
2
 
 
13. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. E) 𝑦 = −
√3
2
(𝑥 − 4) 
 
16. 2c=10 
 
17. C 
 
18. E 
 
19. E 
 
20. 𝑒 =
√5
2
 
 
21. A 
 
22. 
 
 
 
 
 4 
23. 𝑥2 + (𝑦 +
√3
2
𝑏)
2
= 𝑏2 ou 
𝑥2
(
𝑏
√7
)
2 −
(𝑦 −
√3
14
𝑏)
2
(
𝑏
7
)
2 = 1 
24. E 
 
 
25. 
(𝑥−
1
2
)
2
1
4
−
𝑦2
4
= 
 
26. 𝐷 = (
20√2
√41
,
15
√41
) , 𝐷, = (−
20√2
√41
,
15
√41
) 
 
𝐸 = (
20√2
√41
,
−15
√41
) , 𝐸, = (−
20√2
√41
, −
15
√41
) 
 
27. Demonstração 
 
28. Elipse 𝑒 =
1
2𝑐𝑜𝑠𝛼
 
Hipérbole 𝑒 =
𝑐𝑜𝑠𝛼
2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1
 
𝑎(𝑎 + 𝑏) = 𝑐2 
 
29. Demonstração 
 
30. 𝑎 = 3√2, 𝑏 = 6, 𝑐 = 3√6, 𝑒 = √3 
 
31. Hipérbole equilátera (2𝑥 − 𝑥0)(2𝑦 − 𝑦0) = ±2𝑘 + 𝑥0𝑦0 
𝑦 = 7𝑥 − 6, 
26 − √26
26
< 𝑥 <
26 + √26
26