10 ROTACAO impre

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Rotação 
Deslocamento, velocidade e aceleração 
angular 
s r
s
r
 
O comprimento de uma circunferência é 2πr que corresponde 
um ângulo de 2 π rad (uma revolução) 
 
( ) (deg )
180
rad ou graus

 
060
3
Exemplo rad


Porque há a 
diferença na posição 
da largada, nesta 
pista circular? 
 Velocidade angular 
• A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é 
chamado de velocidade angular 
f i
méd
f it t t
  

 
 
 
• A velocidade angular 
instantâneaa é análoga a 
velocidade linear 
0
lim
t
d
t dt
 

 

 

• Unidades: rad/s, rev/min ou RPM e ciclos/s 
 
Exemplo 1 
1.Um disco de cd está girando a 3000rev/min. 
Qual é a velocidade em radianos por 
segundo? (resp. 314rad/s) 
 
• A taxa de variação da velocidade com o tempo é chamada 
de aceleração angular média 
 Aceleração Angular 
 
méd
t





unidade: rad/s2 
2
20
lim
t
d d
t dt dt
  

 

  

Aceleração instantânea 
Movimento Rotacional com aceleração 
Angular Constante 
t  0
2
00
2
1
tt  
  220
2
Velocidade angular com aceleração constante 
Posição Angular para qualquer tempo 
Equação de Torricelli para o movimento circular 
Rastros da luz de uma roda gigante, em uma foto 
de tempo de exposição longo. 
Exemplo 2: 
 
2. Um CD gira, a partir do repouso, até 500rev/min em 5,5s. (a) Qual 
é a aceleração angular, considerando que seja constante? (b) Quantas 
revoluções o disco realiza em 5,5s? (c) Qual é a distância percorrida 
por um ponto posicionado a 6cm, medido a partir do centro do disco, 
durante os 5,5s em que o disco gira até alcançar as 500rev/min? 
 
Exemplo 3: 
3. Um disco está girando em torno de seu eixo central como um 
carrossel. A posição angular é dada por: 
210 6 25 ,t t    
com t em segundos, determine a velocidade angular e a 
aceleração angular para t=2s. 
t  0
2
00
2
1
tt  
  220
2
Movimento Rotacional Movimento Linear 
0v v at 
2
0 0
1
2
x x v t at  
2 2
0 2v v a x  
Relação entre as equações lineares e angulares 
s r
ds d
v r r
dt dt

  
t
dv d
a r r
dt dt

  
.v r
.ta r
Relação entre as equações lineares e angulares 
2
2
c
v
a r
r
 
2 2 2
c ta a a 
A aceleração resultante é 
Exemplo 4: 
4. Um ponto na extremidade de um CD dista 6,0cm do seu eixo de 
rotação. Encontre a velocidade tangencial , a aceleração tangencial e 
a aceleração centrípeta desse ponto, quando o disco está girando com 
uma velocidade angular constante de 300rev/min. 
Exemplo 5: 
5. Você está operando um Rotor, percebe que o ocupante está ficando 
tonto e reduz a velocidade angular do cilindro de 3,4rad/s para 
2,00rad/s em 20rev, com aceleração angular constante. 
a) Qual a aceleração angular constante durante essa redução da 
velocidade angular? 
b) Em quanto tempo ocorre a redução da velocidade? 
t  0  2
2
0
2
Energia Cinética Rotacional 
 
A energia cinética de um corpo rígido que está girando em 
torno de um eixo é a soma da energia cinética de cada uma 
das partículas que coletivamente constituem o corpo. A 
energia cinética da i-ésima partícula, com massa mi 
21
2i
c i iE m v
Somando todas as partículas e 
usando , tem-se: ii rv 
 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
c i i i i i i
i i
E m v m r m r 
  
     
   
  
Momento de Inércia 
 
O somatório do termo da direita é definido como 
momento de inércia I do corpo rígido em torno do eixo 
de rotação: 

i
iirmI
2 Momento de Inércia 
 
A energia cinética será então: 
21
2
cE I
Energia cinética de um objeto em rotação. 
 
6. Um objeto é constituído de quatro 
partículas de massa m=2kg que estão 
conectadas por barras de massa 
desprezível, formando um retângulo de 
lado 2a e 2b. O sistema gira com 
velocidade angular w=2rad/s, em torno 
de um eixo no plano que passa pelo 
centro, como mostrado, considere que 
a=1m (a) Encontre a energia cinética 
desse objeto usando as equações 
Exemplo 6 

i
iirmI
2 21
2
cE I
Exemplo 7 
 
7. Encontre o momento de inércia para o mesmo sistema 
do exemplo anterior, considerando o eixo de rotação 
paralelo ao primeiro, passando através de duas das 
partículas(m1 e m3). 
Cálculo do Momento de Inércia 
• O momento de inércia em torno de um eixo é uma 
medida de resistência inercial de um objeto para 
sofrer movimento rotacional em torno desse 
mesmo eixo. 
 Sistemas Discretos de Partículas - Aplica-se a equação 

i
iirmI
2
Corpos Contínuos – considera-se o corpo composto de uma infinidade de 
elementos de massa muito pequena e a soma finita da equação anterior, 
transforma-se na integral: 
2I r dm 
Onde r é a distância radial medida do eixo 
de rotação até o elemento de massa dm 
Exemplo 8: 
 8. Encontre o momento de inércia de uma barra uniforme de 
comprimento L e massa M em torno de um eixo 
perpendicular à barra passando pelo seu centro de massa, 
como mostra a figura. 
 
Teorema dos Eixos Paralelos 
 
 
Relaciona o momento de inércia em torno de um eixo 
que passa através do centro de massa de um corpo com 
o momento de inércia em torno de um eixo paralelo ao 
primeiro. 
2MhII cm 
Exemplo 9: 
 
9. Encontre o momento de inércia de uma barra 
uniforme de comprimento L e massa M em torno 
de um eixo perpendicular à barra e posicionado 
em sua extremidade usando o teorema dos eixos 
paralelos. Considere que a barra tem espessura 
desprezível. 
2MhII cm 
 Torque 
 
.tFr Frsen F d   
O torque é o produto da 
força pelo braço de 
alavanca atuando no 
corpo provocando o giro. 
Torque 
A força F1 tende a girar o 
corpo no sentido anti-
horário enquanto a força 
F2 tende a girar o corpo no 
sentido horário. 
1 2 1 1 2 2. .F d F d     
Segunda Lei de Newton para a Rotação 
A direção da força aplicada num disco é importante para fazê-
lo girar: 
tt maF  como rat  temos mrFt 
multiplicando os dois lados por r, temos: 
2mrrFt 
 Iextextres ,
Exemplo 10: 
 10. Com a intenção de fazer algum exercício sem sair de casa, uma 
pessoa fixou uma bicicleta em uma base, de forma que a roda traseira 
pudesse girar livremente. Quando a bicicleta é pedalada, ela aplica 
uma força pela corrente de 18N para a catraca a uma distância r=7cm, 
fora do eixo da roda. Considere que a roda é um arco (I=MR2) de raio 
R=35cm, e massa 2,4kg. Qual será a velocidade angular da roda após 
5s? 
 tt   00
Exemplo 11: 
11.Um objeto de massa m= 1,2kg é suspenso 
por uma corda leve em torno de uma 
roldana de massa M=2,5kg que tem raio R 
= 30cm. A sustentação da roldana é feita 
sem atrito, a corda não escorrega na 
superfície da peça. Encontre a tração na 
corda e a aceleração do objeto em queda e 
a aceleração angular do disco. (I=MR2 /2) 
 
O rolamento como uma combinação de 
translação e rotação 
A figura mostra como o rolamento suave pode ser 
complicado: embora o centro se mova em linha reta,um 
ponto da borda certamente não. 
Corpos que Rolam 
Para um corpo em rotação a energia cinética 
relativa é 2
2
1
cmI
2
21
2 2
cm
c cm
mv
E I  
Então, a energia cinética total de um 
corpo em rotação é: 
Exemplo 12: 
Uma bola de boliche com raio de 11cm e massa M=7,2kg está rolando sem deslizar 
sobre uma superfície horizontal de retorno a 2m/s. Ao final da pista ela rola ainda sem 
atrito para cima a uma altura h, antes de parar momentaneamente e rolar de volta para 
baixo. Encontre h. 
 13. Uma casca uniforme, de 
massa M=6,00Kg e raio R, rola 
suavemente, a partir do repouso, 
descendo uma rampa inclinada de 
30,00. 
a) A bola desce uma distancia 
vertical h=1,2m para chegar a 
base da rampa. Qual é a 
velocidade ao chegar à base da 
rampa? 
b) Quais são o módulo e a 
orientação da força de atrito que 
age sobre a bola quando ela 
desce a ramparolando? 
Exemplo 13: 
 14. Uma casca esférica uniforme de massa M=4,5kg, e raio 
R=8,5cm, pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma 
corda de massa desprezível está enrolada no equador da casca 
passa por uma polia de momento de inércia I=3.10-3 Kg.m2 e raio 
r=5cm, e está presa a um pequeno objeto de massa m=0,6kg. Não 
há atrito no eixo da polia e a corda não escorrega na casca nem na 
polia. Qual é a velocidade do objeto ao cair 82cm, após ser 
liberado do repouso? Use considerações de energia. 
Exemplo 14: 
15. Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um 
piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma 
velocidade de 0,150m/s . Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o 
aro para fazê-lo parar? 
Exemplo 15: 
16. Uma esfera sólida de peso igual a P = 35,58N sobe rolando um plano inclinado, 
cujo ângulo de inclinação é igual a θ = 300 . Na base do plano, o centro de massa 
da esfera tem uma velocidade linear de v0 = 4,88m/s . 
a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado? 
b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano? 
c) A resposta do item b depende do peso da esfera? 
Exemplo 16: 
17. Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da 
extremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da 
direita. Se H = 60m , h = 20m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine 
a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão. 
Exemplo 17: