Mecânica dos Solos Aplicada_Aula 07

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FACULDADE MAURICIO DE NASSAU
CURSO ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SOLOS APLICADA
PROF. DR. IDNEY CAVALCANTI DA SILVA
TENSÕES DEVIDO AO PESO DO PRÓPRIO SOLO - AULA 07
INTRODUÇÃO
Nesta nota de aula, serão revisados alguns conceitos e princípios básicos sobre tensões e
deformações, elasticidade, plasticidade e reologia, utilizados em Mecânica dos Solos, não
obstante, como é sabido, o real comportamento dos solos crie restrições às suas aplicações.
Serão considerados para tal estudo e análise, meios contínuos, deformáveis, homogêneos e
isótropos, ainda que tal situação não ocorra na prática, mas o modelo matemático e físico
de tais situações se ajustem a aplicação prática. De maneira mais ampla e unificada, os
estudos dos esforços que se manifestam no interior dos sólidos, líquidos e gases e as
correspondentes deformações ou fluxos destes materiais, pertencem à chamada Mecânica
dos Meios Contínuos.
TENSÃO
Conceitos fundamentais - Os esforços que solicitam um maciço, provenientes do seu peso
próprio, da carga de uma estrutura ou da ação de um veículo, produzem tensões na
totalidade dos seus pontos (ou de suas partículas). Para um ponto O de uma determinada
seção plana S de um corpo (figura 01a), distinguem-se a tensão r que atua na seção (tensão
tangencial ou de cisalhamento) e a que lhe é normal a (tensão normal, que pode ser de
tração ou compressão).
Para o ponto O numa seção no plano xOy, a figura 1b mostra-nos as componentes da tensão
de cisalhamento; o primeiro índice denota a direção da normal ao plano em que atua a
tensão e, o segundo, corresponde ao eixo em que é dirigida a tensão.
Figura 01: Tensões produzidas em uma determinada seção de uma porção de um maciço rochoso, produzidas
pela carga atuante.
Estado triplo de tensão - Como se sabe, o estado de tensão em torno de um ponto O (figura
02) de um maciço terroso fica perfeitamente caracterizado quando se conhecem as tensões
que atuam em três planos que formam um triedro triretângulo de vértice em O.
De fato, considerando-se um quarto plano, a uma distância h do ponto O, tomada sobre a
normal n ao plano, quando fizermos h  O, o tetraedro torna-se infinitesimal e os quatro
planos passarão por O.
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TENSÕES DEVIDO AO PESO DO PRÓPRIO SOLO - AULA 07
Figura 02: Tensões que atuam em três planos que
formam um triedro triretângulo de vértice em O.
Se chamarmos de Pnx, Pny e Pnz as componentes da resultante Pn que atua sobre a face
inclinada, e escrevermos as condições de equilíbrio das forças para cada direção x, y e z
obtemos:
     
     
     






znynxnp
znynxnp
znynxnp
I
zyzxznz
zyyxyny
zxyxxnx
,cos,cos,cos
,cos,cos,cos
,cos,cos,cos
)(



ou sob a forma matricial:
 
 































),cos(
,cos
,cos
zn
yn
xn
p
p
p
zyzxz
zyyxy
zxyxx
nz
ny
nx



Fundamentos matemáticos: os tensores - na Física e nas suas aplicações temos: as
grandezas escalares, como a densidade e a temperatura de um corpo, como valores de
medidas modulares apenas, ou seja um valor quantitativo numérico e, portanto,
caracterizadas apenas por um número (30 = 1); as grandezas vetoriais, como a velocidade a
força, por exemplo, que dependem dos eixos de referência e, assim, necessitam de três
componentes (31 = 3), para denotar direção e sentido no espaço tridimensional, e assim,
especificá-las completamente; e as grandezas tensoriais, que requerem nove componentes
(32 = 9) para defini-las.
Tais grandezas, expressas sob a forma de matrizes e que carecem de uma interpretação
geométrica simples, traduzem relações físicas sob uma forma intrínseca, portanto
independentemente dos eixos de referência. Matematicamente é um ente que satisfaz certa
lei de tranformação. No estudo das tensões é de interesse conhecer que todo tensor
definido por um matriz simétrica
 











332313
232212
131211
ttt
ttt
ttt
T
Pode ser decomposto em dois outros

























m
m
m
m
m
m
tttt
tttt
tttt
t
t
t
T
332313
232212
131211
00
00
00
, com
3
332211 ttttm


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Simbólicamente,      ases TTT  , onde [Tes] é denominado tensor esférico (as
componentes da diagonal são iguais a tm e todas as outras são nulas) e [Tas] é o tensor
antiesférico (tensor simétrico, sendo nula a soma das componentes da diagonal principal).
Pode-se também escrever:
   asijm TtT  . , com δij o delta de Kronecker.
Tensor das tensões - Por meio das relações (I) verifica-se que o estado de tensão em um
ponto fica caracterizado pelas nove componentes (x, y, z, xy,xz, yx, yz, zx, zy) ou, em
outras palavras, pela grandeza










zzyzx
yzyyx
xzxyx



, denominada tensor das tensões.
Sabe-se que esse tensor é simétrico, pois entre as tensões tangenciais, escrevendo-se as
equações de equilíbrio de momentos, obtém-se as relações (figura 03a):
xy = yx; xz = zx; zy = yz
Figura 03
Tensões principais - São de particular interesse em Mecânica dos Solos as chamadas tensões
principais (Definida como a tensão normal sobre um plano onde não há tensão de
cisalhamento).
Se o plano ABC é principal (figura 03b) e n é a tensão principal, suas componentes são:








),cos(
),cos(
),cos(
znp
ynp
xnp
nnz
nny
nnx



.
Substituindo em (I), vem:
 
 
 






0),cos(),cos(),cos(
0),cos(),cos(),cos(
0),cos(),cos(),cos(
znynxn
znynxn
znynxn
nzyzxz
zynyxy
zxyxnx



.
Tendo em vista a conhecida relação entre co-senos diretores:
1),(cos),(cos),(cos 222  znynxn
Verifica-se que cos(n, x), cos(n, y) e cos(n, z) não podem ser todos iguais a zero. Assim,
conclui-se pela regra de Cramer, que:
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0













nzyzxz
yznyxy
xzxynx



Desenvolvendo o determinante obtém-se a relação abaixo, chamada equação característica:
  032213  III nnnn 
com:
yzxzxyxyzxzyyzxzyx
zyzxz
yzyxy
xzxyx
yzxzxyzyzxyx
zyz
yzy
yxy
xyx
zxz
xzx
zyx
I
I
I












22223
222
2
1



Porque I1 , I2 e I3 independem dos co-senos diretores e, portanto, independem dos eixos
coordenados, eles são chamados invariantes das tensões. As três raízes da equação
característica (n) = 0, são as tensões principais 1 , 2 e 3.
Quando referido a eixos dirigidos segundo 1 , 2 e 3 o tensor representativo das tensões
torna-se simplesmente:










3
2
1
00
00
00



uma vez que as tensões cisalhantes (  ) são nulas. Em termos de tensões principais, as
expressões dos invariantes reduzem-se a:
3213
3231212
3211






I
I
I
Sobre três planos perpendiculares quaisquer, como I1 =  x +  y +  z , conclui-se que I1 é
constante e igual à soma das três tensões principais. Quando 2 = 3 = 0 (estado simples de
tensão, Fig. 04) o tensor reduz-se a:










000
000
001
Se 1 = 2 = 3 = w (estado hidrostático de tensão) o tensor escreve-se:
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ijww
w
w
w






















100
010
001
00
00
00
indicando-se o tensor unitário pelo delta de Kronecker:





ji
ji
ij ,0
,1

Figura 04
Tensões octaédricas - De grandeimportância, são as chamadas tensões octaédricas (Oct. ,
Oct), ou sejam as tensões que ocorrem nas faces do octaedro regular que tem por diagonais
as direções principais do estado triplo de tensão considerado (Fig. 05).
Figura 05.
Como se demonstra, o valor da tensão octatédrica normal é dado por:
 3213
1  Oct
E a tensão octaédrica tangencial:
     2312322213
1  Oct
Ou ainda por: 22
2
1.1 33
2
3
1 III OctOct   , em funções invariantes.
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Figura 06
Exemplo: Para um ponto específico de um maciço, o estado de tensões é definido por
2/
1439
3106
9612
cmkg










. Determinar o valor das tensões octaedricas.
Tem-se que:
32
2
2
1
3
1
222
2
1
/31,9302.336
3
23
3
2
/12
3
36
3
1
302396141014121012
36141012
cmkgII
cmkgI
I
I
Oct
Oct






EXERCÍCIOS
Exercício 01: Determinar o valor das tensões octaedricas para um ponto específico de um
maciço, sendo o estado de tensões é definido por:
(a) 2/
1028
234
847
cmkg










. (b 2/
2,15,07,0
5,09,02,0
7,02,05,1
cmkg










. (c) 2/
1202032
208520
3220100
cmkg










.