Lista14_Exponenciais

Prévia do material em texto

Lista	de	Exercícios	–	Funções	Exponenciais	
 
Exercícios Resolvidos 
Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Resolva as equações: 
 a) ( )[ ] 211
3
33
3
1 −−− −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=x 
 b) 
2
1
2
1
3
2
2
1
3
1
486427 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+=x 
 c) ( )
1
1
3
23
4
12.
2
132
−
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛÷
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+−−=x 
 
2) Calcule as raízes: 
 a) 196 b) 3 512 c) 200 d) 4 1250 
 
3) Descubra o valor de x e y . 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
327.9
4
18.4
2 yx
yx
 
 
4) Resolva as equações exponenciais: 
 a) 
8
12 3 =+x b) 255 13 =+x c) 42 2781 =−x 
 d) 31 164 =+x e) ( ) xxx −+ =⋅ 11 2,0255 f) ( ) 32
13
4,0
8
125
5
2 −
−+
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ x
xx
 
 g) xxx −=⋅ 842 35 h)
9
3
3
1 1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+x
 i) 
4
423
2
2
1
2
1 +−
−−
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ x
xx
 
 j) ( )
1
23
3
13
27
1 −−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
x
x
 
 
5) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda 
 não desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que 
 havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? 
 
6) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N(t) = m. 2 t/2, na qual N representa 
 o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 
 bactérias, determine o número de bactérias depois de 8 horas. 
 
7) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias 
 após t horas é dado pela função N(t) = m. 2 t/3. Nessas condições, determine o tempo necessário para a 
 população ser de 51.200 bactérias. 
 
 
 
08. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é: 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 5 
 e) 6 
 
09. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real 
 positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo: 
 a) x = 3 e a = 1 
 b) x = -3 e a > 1 
 c) x = 3 e a < 1 
 d) x = -2 e a < 1 
 e) x = 2 e a > 1 
 
10. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e têm gráficos que se interceptam em: 
 a) nenhum ponto; 
 b) 2 pontos; 
 c) 4 pontos; 
 d) 1 ponto; 
 e) infinitos pontos. 
 
11. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = 2x - 2: 
 a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); 
 b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); 
 c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); 
 d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2); 
 e) não intercepta o eixo dos x. 
 
12. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil 
 unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)x. O 
 número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: 
 a) 900 
 b) 1000 
 c) 180 
 d) 810 
 e) 90 
 
 
08. E 09. D 10. D 11. A 
12. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: a2(-2) + 3 > a8 ⇒ a-1 > a8 ⇒ 1/a > a8 
 
 (1 / 0,5) > 0,58 ⇒ 2 > (1 / 28) 
 
Função Exponencial 
 
1 – Definição 
 
É toda função da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. 
 
2 – A Função Exponencial será Crescente quando a > 1 e Decrescente quando 0 < a < 1. 
 
3 – Gráfico da Função Exponencial 
 
1º CASO) a > 1 
 
x
y
1
 
 
2º CASO) 0 < a < 1 
 
x
y
1
 
 
 
4 – O domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais e o conjunto imagem é o conjunto dos números reais positivos 
( )*IRIm		e		IRD +== . 
EQUAÇÕES	EXPONENCIAIS	
Equação fundamental: Sendo a base a > 0 e a ≠ 1: 
yx aa = ⇔ x = y 
Outras equações exponenciais: Equações exponenciais sofisticadas se transformam na equação fundamental, 
através de algum artifício algébrico: 
– propriedades das potências e raízes; 
– fatoração; 
– substituição de variáveis. 
 
INEQUAÇÕES	EXPONENCIAIS	
 
1ª Hipótese: Se a > 1, então 
yx aa > ⇔ x > y 
 
2ª Hipótese: Se 0 < a < 1, então 
yx aa > ⇔ x < y 
 
Exercícios de fixação 
 
 
 
 
01) (CESGRANRIO-88) Se 8x = 32, então x é igual a: 
a) 
2
5
. 
b) 
3
5
. 
 
c) 
5
3
. 
d) 
5
2
. 
e) 4. 
 
02) (CESGRANRIO) 
O número de raízes reais de 
5x7x2 23 +− = 1 é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) maior que 3. 
 
03) O valor de x que torna verdadeira a equação 
 
2x · 4x+1 · 8x+2 = 16x+3 é: 
a) – 2. 
b) 2. 
c) 0. 
d) 1. 
e) – 1. 
 
04) O número de raízes reais da equação 4x – 5 · 2x + 4 = 0 é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
05) (PUC-MG-92) Os valores de a ∈ IR que tornam a função exponencial f(x) = (a – 3)x decrescente são: 
a) a < 3. 
b) 0 < a < 3. 
c) 3 < a < 4. 
d) a < 3 e a ≠ 0. 
e) a > 3 e a ≠ 4. 
 
06) (UNIFICADO-97) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, 
contado em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) = P(0) · 2–0,25t ; Sendo P(0) uma constante que 
representa a população inicial dessa região e P(t) a população “t” anos após, determine quantos anos se passarão para que essa 
população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente. 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
07. (UNI-RIO – 2002) Numa população de bactérias, há t39 410)t(P ⋅= bactérias no instante t medido em horas (ou 
fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 910 bactérias, quantos minutos são necessários para que 
se tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 
b) 12 
c) 30 
d) 15 
e) 10 
8. (UNIRIO – 2005) Você deixou sua conta negativa em 00,100$R em um banco que cobrava juros de 10% ao mês 
no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. 
Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: 
( ) t10,1100)t(X = 
 
Após quantos meses a sua dívida duplicou? 
a) 2log 10,1 
b) 10,1log 2 
c) 2log 
d) 10,1log 
e) 10,2log 
 
 
 
9. ( UFMG ) Se então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a: 
 
a. 5/2 
b. 5/3 
c. 1/3 
d. -1/2 
e. -2/3 
10( UFCE ) Se f ( x ) = 161+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a : 
a. 11 
b. 13 
c. 15 
d. 17 
e. 19 
 
Exercícios propostos 
 
 
1) Resolva as inequações: 
a) 23x+1 < 2. 
b) 2x
1x
8
2
1 +
+
≥⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ . 
 
2) (UNIFICADO-96) Assinale o conjunto-solução da inequação 
4
1
2
1 3–x
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ . 
a) ]– ∞, 5] 
b) [4, + ∞[ 
c) [5, + ∞[ 
d) {x ∈ IR|x ≤ – 5}. 
e) {x ∈ IR|x ≥ – 5}. 
 
 
03. (UFF – 2001) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q 
definida, para 0t ≥ , por kt5k)t(Q ⋅= , sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias, 
 
cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a )0(Q25 ⋅ . Assinale a opção 
que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. 
a) 12,5 
b) 25 
c) 312,5 
d) 625 
e) 1000 
4. (UNI-RIO – 2002) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo 
para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados. 
 
 
 
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o 
nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição 
12y x −= , ao custo de controle da poluiçãox)2/1(6y ⋅= . Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de 
poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: 
a) 1333 
b) 2333 
c) 3333 
d) 4333 
e) 5333 
 
 
 
5. (UFF – 2004) Sejam f: ℝ → ℝ uma função positiva e g: ℝ → ℝ a função definida por f(x)logg(x) 10= . O gráfico 
de g é a reta da figura. 
 
a) Determine a equação da reta da figura. 
b) Calcule ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
9f . 
c) Encontre uma expressão para f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere 
log 2 = 0,3 
 log 3 = 0,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
log 3 = 0,4 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL - RESUMO - GABARITO 
 
Função exponencial: É qualquer função f: IR → IR da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. 
 
O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, 
sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até 
fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa. 
Gráficos da função exponencial: Considerando a = 2 e a = 
2
1
, construímos os gráficos a seguir: 
OBSERVAÇÕES: 
 
 
1) Se a > 1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função será decrescente. 
 
2) Os gráfico não intersectam o eixo x, pois as funções não se anulam, seja qual for o valor de x. 
 
3) Os valores da função exponencial são todos positivos, qualquer que seja x. 
 
4) Uma desigualdade de membros positivos não se altera quando se elevam ambos os membros ao mesmo expoente 
positivo, e muda de sentido quando o expoente é negativo: 
 
⎩
⎨
⎧
<⇔><
>⇔>>
xx
xx
baba:0xPara
baba:0xPara
. 
 
Propriedades da Potenciação: Se a e b forem números positivos e x, y reais quaisquer, então: 
 
a) 1a0 = b) 0ax > c) x
x
a
1a =− d) yxyx aa.a += e) yx
y
x
a
a
a −= f) ( ) y.xyx aa = g) ( ) xxx b.ab.a = 
 
Comparação entre bases de uma função exponencial: As fórmulas de cálculo ficam simplificadas quando escolhemos 
para base aquela para a qual resulta uma reta tangente baxy += no ponto (0,1) com uma inclinação exatamente igual a 
1. Esse número existe realmente e é denotado pela letra e. O número e é o valor de 
n
n
11 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ para n com valores muito 
grandes e aparece em fórmulas de Matemática Financeira ou em problemas envolvendo crescimentos exponenciais. É 
conhecido como número (irracional) de Euler ( ou de Napier). 
Representa-se por (e = 2,7182818...). As calculadoras científicas possuem uma tecla que facilita o cálculo. Observando as 
figuras seguintes, não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = ex, entre o de y = 2x e o de y = 
3x. 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMO – RESUMO 
 
Definição de Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chamamos de logaritmo de b na base a, o expoente 
real x ao qual se eleva a para obter b. 
Portanto, se baxblog xa =↔= , em que b > 0, a > 0 e a ≠ 1. 
 
Conseqüências da definição: 
 
a) 01logb = ; b) 1blogb = ; c) xblog xb = ; d) yb
ylogb = . 
 
Propriedades dos logaritmos: 
 
 
 
Função logarítmica: É a função bijetiva f: IR*+ →IR em que f(x) = xloga , com 0 < a ≠ 1. Essa função é a função inversa da 
Função Exponencial. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular 32log2 . 
 
532log,Logo
5x2232232logx
2
5xx
2
=
=⇒=⇒=⇒= . 
 
2) Calcular 8log
16
1 . 
 
( )
4
38log,Logo
4
3x3x422228
16
18logx
16
1
3x43x4
x
16
1
−=
−=⇒=−⇒=⇒=⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒= −−
. 
 
 
 
 
Gráfico da Função Logarítmica. 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo x no ponto (1,0). 
 
2) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos positivos e os números entre 0 e 1 tem 
logaritmos negativos. 
 
⎩
⎨
⎧
<⇒<⇒<<
>⇒>⇒>
0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa . 
 
3) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos negativos e os números entre 0 e 1 tem 
logaritmos positivos. 
 
⎩
⎨
⎧
<⇒<⇒<<
>⇒>⇒>
0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa . 
 
 
QUESTÕES - GABARITO 
 
1) (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. 
Então, a soma das raízes de (log)2 x - log x3 = 0 é igual a: 
(A) 1 
(B) 101 
(C) 1000 
(D) 1001 
 
Gabarito: D 
100110001,Logo
1000x10x3xlog03xlog)ª2
1x10x0xlog)ª1
:adespossibilidduasTemos
0)3x.(logxlog0xlog.3)²x(log0³xlog)²x(log
3
0
=+
=→=→=→=−
=→=→=
=−→=−→=−
 
 
 
2) (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y = 10log x. 
O gráfico correspondente a esta relação é: 
 
Gabarito: A 
.zeroquemenoresxdevalores
existempois,satisfaznãoDletraA.retaumaégráficocujo,AfimFunção.0xcom,xy10y xlog >=→=
 
3) (UERJ) 
 
Considere o pH fisiológico e o pKa iguais a 7,4 e 6,1, respectivamente. 
Para que esse pH seja mantido, a razão 
[ ]
[ ]32
32
COH
COH −
 deverá ser igual a: 
(A) 0,1 
(B) 2,5 
(C) 10,0 
(D) 20,0 
 
 
Gabarito: D 
[ ]
20102.1010.102103,02log
:Assim.3,0é2logparaoaproximaçãboauma,diganãoenunciadooEmbora)ª2
.2010asalternativPelas.100e10entrenúmeroumé10,totanPor²101010)ª1
:resolverdeformasduasTemos
.10kklog3,1klog1,64,7klogpKapH
k
]COH[
COHSeja
3,13,03,0
3,13,13,1
3,1
32
32
=→=→=→=
=→<<
=→=→+=→+=
=
−
 
4) (UERJ) Na Tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as colunas verticais, 
aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de seus números atômicos. 
Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, representados por x, y e z. Na equação 2x + 
2y + 2z = 7x164, y é o número atômico de um elemento químico da família denominada: 
(A) alcalinos 
(B) halogênios 
(C) calcogênios 
(D) gases nobres 
 
Gabarito: B 
.êniosloghadosfamíliaaé,químicaDa.18z
e17y,totanPor.16x22)2(216.77.216.7)221.(2
16.72.22.2216.722216.7222
.2xze1xy,Logo.utivossecconsãozey,x
16x44x4x421x
42x1xx42x1xx4zyx
=
==→=→=→=→=++
=++→=++→=++
+=+=
++
 
 
5) (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. Admita um 
filtro que deixe passar 
5
4
da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, 
foi necessário utilizar n filtros. 
 
Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a: 
 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
Gabarito: C 
 
11. é n de valor menor Logo,
...3,10n1n097,01n097,010)699,0301,0.2(n
10log1log)5log2log2.(n
10
1log.
5
4logI
10
1I.
5
4 n
00
n
>→>→−<−→−<−
−=−→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
. 
 
 
6) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do 
seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. 
O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. 
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k 
= 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é 
de: 
 
 
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 
 
 
Gabarito: C 
.anos23t
1,0
3,2t3,2t.1,0ee,Assim.10e:tabelada,Mas
10e10e
10.2
10.2ee.10.210.2e.02,0002,0
:temos,002,0%2,0RparatempooCalculando
e.02,0R
1,0%10k
02,0%2R
:temos,indicadosvaloresosdoSubstituin
3,2t.1,03,2
t.1,01t.1,0
2
3
t.1,0t.1,023t.1,0
t.1,00
=→=→=→==
=→=→=→=→=
==
=⇒
⎩
⎨
⎧
==
==
−−
−
−
−−−−−
−
 
 
7) UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de 
acordo com a equação 40
h
0 8,0.II = na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a 
intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P é de 
32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P,em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: 
a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 
 
Gabarito: C 
( ) m0,2cm200)5)(40(h5
1,0
5,0
19,0
25,1
1)3,0(3
23,05
10log2log
10log2log
10log8log
100log32log
40
h
10
8log
100
32log
8,0log
32,0log32,0log
40
h32,08,08,0.II.32,0
I.32,0I
8,0.II:PPonto
3
25
8,0
40
h
40
h
00
0
40
h
0
===→=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
→===→=→=→
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
 
 
8) (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados log3 = 0,477 e log103 = 2,013 
o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
a) 37 b) 47 c) 57 d) 67 
 
Gabarito: A 
 
3769,36
13
477
013,0
477,0
2013,2
477,0t
100log103log
477,0
100
103log
3log3logt)03,1(3)03,1(PP3
)03,01(PP
P3P
)03,01.(PPpordadaseráelaanostementão,anoao%3crescePpopulaçãoaSe
03,1
tt
t
Final
Final
t
final
→===
−
=
−
===→=→=→
⎩
⎨
⎧
+=
=
+=
. 
 
9) (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de 
toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: 
 
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao 
nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
(A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 36 
 
Gabarito: C 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
.inicialnívelaoretornarparassuficienteserãonãodias33pois,34serámínimovalorO
3,33
3
100x
3
10
10
x
3,0
1
10
x
3,00
10
10
x
2log1log
10log1logx1,0
2
1log
10
1log
x1,0
10
1logx1,05,0
10
15,0.T
10
T5,0.TT
T)x(T
5,0.T)x(T
10
TTT.10T
:temos,equaçãonadoSubstituin.T.10Tqueseconclui,toxidezdeinicialníveloTdoConsideran
5,0
x1,0x1,0
0
0x1,0
0i
i
x1,0
0
0
ii0
i0i
≅=→=→=→
−
−
=→
−
−
=→=
=→=→=→=→
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=→=
=−
 
 
 
10) (UERJ - ESPECÍFICA) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser 
representado por uma função exponencial do tipo xb.a)x(f = , conforme o gráfico abaixo. Determine a taxa de inflação 
desse país no quarto ano de declínio. 
 
Gabarito: 
 
( )
( )
60)4(f
16
1.960)4(f
2
1.960)4(f
2
1.960)x(f,Logo
.
2
1b2b
2
1
960.10
75b
b.960
10
75b.9605,75,7)7(f
960a9601.ab.a960960)0(f
:temos,delespartirA.gráficonomarcadospontosdoisExistem
4x
717
7
7
77
0
=→=→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=⇒=→==
=→=→=
=→=→=→=
−
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) D; 2) A; 3) D; 4) B; 5) C; 6) C; 7) C; 8) A; 9) C; 10) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXPONENCIAIS: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E PROBLEMAS - GABARITO 
 
1) Resolver as equações (em ℜ ): 
 
a) 1255.12425 =− xx b) 022.94 1 =+−+ xx c) 25,08 =x 
d) 12022222 3211 =+−++ +++− xxxxx e) 
32
13
25
15
+
− ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
x
x f) 12 3.23. += xx xx 
Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos: 
 
a) ( ) ( ) 1255.12451255.12451255.12425 22 =−⇒=−⇒=− xxxxxx . Fazendo 
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
225
5
y
y
x
x
 vem: 
⎩
⎨
⎧
−=
=
⇒=+−⇒=−−⇒=−
1
125
0)1).(125(0125124125124 22
y
y
yyyyyy . Substituindo esses valores na 
expressão em “x”, temos: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>→−=
=⇒=⇒=⇒=
)05.(15
93551255 3
xx
xx
impossível
xx
. Logo, S = {9}. 
 
b) ( ) 022.92.2022.92022.92022.94 2222121 =+−⇒=+−⇒=+−⇒=+− +++ xxxxxxxx . 
Fazendo 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
222
2
y
y
x
x
, vem: 
8
32819
)4(2
)2)(4(4)9()9(
02.94
2
2 −±=
−−±−−
=⇒=+− yyy . Resolvendo a 
equação encontramos: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒=⇒=
=⇒=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
+
=
⇒
±
=
− 222
4
12
122
4
1
8
79
2
8
79
8
499
2 x
x
y
y
y
xx
x
. S ={1, -2} 
 
c) ( )
3
22322
4
12
100
25225,08 2333 −=⇒−=⇒=⇒=⇒=⇒= − xxxxxx . S = 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
3
2
 
 
d) 12022222 3211 =+−++ +++− xxxxx . Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos: 
1207
2
1.2120)84212(21202.22.22.222.2 1321 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⇒=+−++⇒=+−++ −− xxxxxxx . Calculando a soma 
entre parênteses, vem: 422162
15
2.1202120
2
15.2 4 =⇒=⇒=⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ xxxxx . S = {4} 
 
e) ( )
7
564135555
25
15 641332213
32
13 −=⇒−−=−⇒=⇒=⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= −−−
+−−
+
− xxxxxxx
x
x . S = 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
7
5
 
 
f) 
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒=−⇒=−⇒>→=⇒= +
6
0
0)6(06)03(3.3.23.3.23. 2212
x
x
xxxxxxxx xxxxx . S = {0, 6} 
 
 
2) Para que valores reais de m, a equação m
aa
aa
xx
xx
=
−
+
−
−
, onde 10 ≠< a , admite raiz real? 
Solução. O numerador da fração é sempre positivo e não nulo, pois 01,0 >=⇒∈∀> − x
xx
a
aIRxa . 
i) A análise restringe-se ao denominador que não pode ser nulo. Temos: x
xxx
a
aaa 10 ≠⇒≠− − . Essa situação 
ocorre se x = 0, pois teríamos 01100 =−=− −aa . Logo, é possível calcular “m” se “x” não for nulo. 
ii) )1()1( mamamaamaamamaaam
aa
aa xxxxxxxxxx
xx
xx
+−=−⇒−−=−⇒−=+⇒=
−
+ −−−−−
−
−
. 
Isolando os termos em “m”, vem: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−=⇒
−
+
−=⇒
−
+
−=
− m
ma
m
ma
m
m
a
a xx
x
x
1
1
)1(
)1(
)1(
)1( 2 . O radicando apresenta 
um sinal negativo antes da fração e deve ser positivo. Logo o quociente 0
)1(
)1(
<
−
+
m
m
. 
Analisando as possibilidades, verifica-se que a condição satisfaz-se se: m < -1 ou m > 1. 
Repare que o denominador não pode se anular, logo, m ≠ 1. A exponencial não se 
anula, logo m ≠ - 1. 
 
3) Resolver as inequações exponenciais (em ℜ ): 
a) 322 <x b) 243
9
1
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
 c) 
3 16
1)2( >x 
 d) 5 625,1516,0 >x e) tt /293 ≤ f) 0
13
2
2 ≤
−−
−
xx
x
 
Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos: 
 
a) 5)1(22322 5 <⇒>→<⇒< xbasexx . 
 
b) ( )
2
55252)1(3333243
9
1 5252 −≥⇒−≥⇒≤−⇒>→≤⇒≤⇒≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −− xxxbasexx
x
. 
 
c) ( )
3
8
3
4
2
)1(22
2
12
16
1)2( 3/42/
3 4
2/1
3
−>⇒−>⇒>→>⇒>⇒> − xxbasexxx . 
 
d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números temos: 
( ) ( ) 5/35/6245/136245 36245 10.510.210.510.210.510.2625,1516,0 −−−−−− >⇒>⇒>⇒> xxxxxx . Observando que 
10 = 2.5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências: 
5/35/625/3245/35/35/62245/35/624 5.5.52.2.25.2.55.2.2)5.2.(5)5.2.(2 −−−−−−−− >⇒>⇒> xxxxxxxx . Repare que os sinais 
dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do lado oposto e o sinal do 
expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos: 
 -1 0 1 
1+m - - - + + + + + + 
1- m + + + + + + - - 
m
m
−
+
1
1
 - - - + + + + - - 
 
10
30
5
32)1(
5
2
5
21
5
21
5.5.5
2.2.2 05/32
5/32
5/32
5/35/62
5/324
−<⇒<+⇒<→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⇒>⇒>
+
+
+
−
−
xxbase
x
x
x
x
xx
. 
 
e) ( ) 04044)1(333393
2
/4/22/2 ≤
−
⇒≤−⇒≤⇒>→≤⇒≤⇒≤
t
t
t
t
t
tbasetttttt . Analisando os intervalos 
verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente assume 
valores nulos em ( ] ] ]2,02, ∪−∞− . 
 
 
 
 
f) 0
13
2
2 ≤
−−
−
xx
x
. Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o 
que significa que o quociente será negativo somente se o denominador o for. Temos: 
0)1(0)1(33130130
13
2 20222
2 <−⇒<−⇒>→<⇒<⇒<−⇒≤
−
−−−
−
−
xxxxbasexxxxxx
xx
x
 O produto será 
negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é, ] [1,0∈t 
 
4)(UF – MT) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real 
baxf x +=)( , com a e b reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule 33 ba + . 
 
Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos: (0, 2) e (1, 4). 
i) 121
)0(
2)0(
0 =⇒=+⇒
⎩
⎨
⎧
+=
=
bb
baf
f
 
 
ii) 341
1)1(
4)1(
1 =⇒=+⇒
⎩
⎨
⎧
+=
=
aa
af
f
. O valor pedido é 2812713 3333 =+=+=+ ba . 
 
5) Se f(t) = 10.2t é uma função que avalia a evolução de uma cultura de bactérias, em t horas, ao cabo de quantas horas 
teremos f(t) = 5120? 
 
Solução. O exercício resume-se em igualar as informações e resolver a equação exponencial. 
922512251202.10
2.10)(
5120)( 9 =⇒=⇒=⇒=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
t
tf
tf ttt
t
. Ao fim de 9 horas. 
 
6) O gráfico representa a fórmula teKtD 4,0.)( −= usada para determinar o número D de miligramas de um remédio na 
corrente sanguínea de um indivíduo, t horas depois de lhe ter sido administrado um medicamento ( 67,04,0 ≈−e ). 
 
a) Determine o valor de K. 
b) A função D(t) é crescente ou decrescente? Justifique. 
c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento administrado se reduza à 
metade? 
 -2 0 2 
42 −t + + - - - - - - + + 
t - - - - - - + + + + 
t
t 42 −
 - - - + + - - - + + 
 
Solução. Observando o gráfico vemos que se t = 0, D(t) = 5. 
a) 5)1.(5.)0( )0(4,0 =⇒=⇒= − KKeKD . 
b) Decrescente. O valor em t = 0 é maior que o valor após t horas. 
c) min451.
4
77,045,0ln45,05,2.5
.5)(
5,2)( 4,04,0
4,0 hhorasttteeetD
tD tt
t ==⇒−≅−⇒=−⇒=⇒=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
−−
−
 
 
7) A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em reservas florestais e matas 
cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada 
região, a população de onças-pintadas, P(t) , daqui a t anos, será estimada pela função ( )tetP 05,01.60)( −+= . Faça uma 
estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o número 
inteiro mais próximo. (Utilize e = 2,7). 
 
Solução. Basta calcular P(20). Substituindo os valores, temos: 
( ) ( ) ( ) 821.601.601.60)20(1.60)( 1)20(05,005,0 ≈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=+=+=⇒+= −−−
e
eeePetP t 
 
8) (Livro: Matemática - Ciência e Aplicações) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a 
lei ttv )9,0.(60000)( = , em que t é o número de anos contados a partir de hoje. 
 
a) Qual é o valor atual desse imóvel? 
Solução. O valor atual é considerado em t = 0. Logo, 00,60000$)9,0.(60000)0( 0 Rv == 
 
b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel? 
Solução. Essa desvalorização será calculada entre o valor atual e o valor 1 ano depois. Ou seja, calculamos o valor 
para t = 1 e comparamos com o atual. 
%1010,01,0
60000
5400060000
54000)9,0).(60000()9,0.(60000)1(
00,60000$)9,0.(60000)0(
1
0
===
−
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
===
==
açãoDesvaloriz
v
Rv
 
 
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos? 
Solução. Basta calcular v(2), isto é o valor da função para t = 2. 
00,48600$)81,0).(60000()9,0.(60000)2( 2 Rv === . Repare que poderíamos ter calculado esse valor sabendo que 
estará desvalorizado em 10% em relação ao preço calculado em 1 ano. Daqui a 1 ano ele custará R$54000. A 
desvalorização um ano depois será de 10% de 54000 = 5400. Logo em dois anos o imóvel custará a diferença 54000 – 
5400 = R$48600,00. 
 
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35429,40? (Dado: 5904995 = ) 
Solução. Pede-se encontrar “t” tal que v(t) = 35429,40. 
 
45
2112
452112
2
5.3.2
10.5.3.2)9,0()9,0.(5.3.210.5.3.2
)9,0.(60000)(
10354294040,35429)( −−
−
=⇒=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
×== tt
ttv
tv
. Simplificando os 
termos, vem: 
( ) ( )3
210
3
210
33
210
10
10.3
5.2
10.3
5.2
10.3)9,0(
−−−
===t . Escrevendo os termos em frações decimais, temos: 
( )
( ) 5
10
9
10
3
10
3
10
9 5
5
52
5
10
=⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛===⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ t
t
. Logo, daqui a 5 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVA 
 
01) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5x+3. Seu conjunto-imagem é 
a) ]-∞; 3[ 
b) ]- ∞; 5[ 
c) [3; 5] 
d) ]3; +∞ [ 
e) ]5; +∞ [ 
 
02) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2-
b.t , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. 
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a 
população após 10 anos seja a metade da população inicial. 
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t�[0,40]. 
 
03) Numa população de bactérias, há P(t) = 109 . 43t bactérias no instante t medido em horas (ou fração da 
hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se 
tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
04) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias 
após t horas é dado pela função 
 
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: 
a) 1 dia e 3 horas. 
b) 1 dia e 9 horas. 
c) 1 dia e 14 horas. 
d) 1 dia e 19 horas. 
 
05) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei 
na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no 
momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era 
a) 3 600 b) 3 200 c) 3 000 d) 2 700 e) 1 800