3 Fatoração

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Prof. Msc. Paulo Pereira – Canal EQUACIONA (youtube) 
Módulo III - FATORAÇÃO 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
1. Fatoração por evidenciação (Fator Comum) 
Se os termos de um polinômio apresentam um fator 
comum, podemos colocá-lo em evidência, utilizando a 
propriedade distributiva. Veja os exemplos: 
 
a) 𝑚𝑥 + 𝑛𝑥 = 𝑥(𝑚 + 𝑛) 
b) 𝑥𝑦² + 𝑥²𝑦 = 𝑥𝑦(𝑦 + 𝑥) 
c) 6𝑥²𝑦 + 12𝑥𝑦³ − 9𝑥³𝑦² = 3𝑥𝑦(2𝑥 + 4𝑦² − 3𝑥²𝑦) 
 
2. Fatoração por agrupamento (Associação em grupos) 
É uma aplicação reiterada do caso anterior. Veja os 
exemplos: 
 
a) 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 2(𝑎 + 𝑏) + 𝑥(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(2 + 𝑥) 
b) 𝑚𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑛𝑥 − 𝑛𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑦) + 𝑛(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)(𝑚 + 𝑛) 
c) 𝑎² + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑎 + 𝑥) − 𝑏(𝑎 + 𝑥) = (𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 𝑏) 
 
3. Identificação 
É quando realizamos o processo inverso do 
desenvolvimento de um produto notável. 
 
3.1 TQP – Trinômio Quadrado Perfeito 
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)𝟐 
 
3.2. A diferença de dois quadrados 
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 
 
3.3. PCP - Polinômio Cubo Perfeito 
𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)𝟑 
𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)𝟑 
 
3.4. Soma e Produto 
𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) 
 
3.5. Polinômio quadrado de um trinômio 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 = (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐 
 
3.6. A soma/diferença de dois cubos 
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃²) 
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃²) 
 
4. Soma Zero 
Veja como podemos fatorar a expressão 𝑥5 − 1 
usando a técnica de soma zero: 
𝑥5 − 1 
= 𝑥5 + 𝑥4 − 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 − 1 
= 𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥 + 𝑥 − 1 
= 𝑥4(𝑥 − 1) + 𝑥3(𝑥 − 1) + 𝑥2(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 1) + 𝑥 − 1 
= (𝑥 − 1)(𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) 
 
 
 
EXERCÍCIOS - FIXAÇÃO 
 
1. Fatore os polinômios a seguir: 
a) 2𝑥 + 10 
b) 5𝑎³ + 20𝑎²𝑥 
c) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 
d) 𝑥 + 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 
e) 18𝑎²𝑏 − 63𝑎𝑏² + 8𝑎𝑥² − 28𝑏𝑥² 
f) 𝑥² − 4𝑥 + 4 
g) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
h) 4𝑥2 + 12𝑥𝑦2 + 9𝑦4 
i) 𝑥² − 𝑦² 
j) 25𝑚² − 9𝑛4 
k) 𝑥4 − 1 
l) 𝑥³ − 6𝑥² + 12𝑥 − 8 
m) 8𝑦³ + 36𝑦² + 54𝑦 + 27 
n) 𝑥² + 4𝑥 + 3 
o) 𝑥² − 3𝑥 + 2 
p) 𝑥² − 10𝑥 + 16 
q) 4𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 4𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 
r) 𝑥³ + 8 
s) 27𝑚³ − 1 
 
2. Fatore a expressão 
𝑎2𝑛 − 𝑎3𝑛 + 𝑎4𝑛 − 𝑎5𝑛 
 
3. Se 𝑥 + 1 𝑥⁄ = √3, então 𝑥² + 1 𝑥²⁄ é igual a 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
4. A expressão 
𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 
É igual a 
(A) (1 − 𝑦 − 𝑧)(𝑥² − 2) 
(B) (𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(2 + 𝑥) 
(C) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(2 − 𝑥) 
(D) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 2) 
(E) (𝑥 − 𝑦 − 𝑧)(𝑥 + 2) 
 
5. Fatore a expressão: 
𝑥4 + 𝑥² + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. Em vídeo. 
 
2. 
𝑎2𝑛 − 𝑎3𝑛 + 𝑎4𝑛 − 𝑎5𝑛 
𝑎2𝑛 − 𝑎2𝑛+𝑛 + 𝑎4𝑛 − 𝑎4𝑛+𝑛 
𝑎2𝑛 − 𝑎2𝑛. 𝑎𝑛 + 𝑎4𝑛 − 𝑎4𝑛. 𝑎𝑛 
𝑎2𝑛(1 − 𝑎𝑛) + 𝑎4𝑛(1 − 𝑎𝑛) 
(1 − 𝑎𝑛)(𝑎2𝑛 + 𝑎4𝑛) 
(1 − 𝑎𝑛)(𝑎2𝑛 + 𝑎2𝑛+2𝑛) 
(1 − 𝑎𝑛)(𝑎2𝑛 + 𝑎2𝑛. 𝑎2𝑛) 
(1 − 𝑎𝑛). 𝑎2𝑛 . (1 + 𝑎2𝑛) 
 
3. Em vídeo. 
 
4. D 
𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 2) 
 
 
5. Em vídeo.