Falando de Matemática 7ª Série - Bonjorno

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RALANDO
MATEMÁTICA
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P 234567890123 
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Ш89012Ж6789012345 
1 2345678901234t 
И2345678901234
ИЭ'/оЭД
■678SN
16789
789012 345ß ^apU 34J5ß ^8#01234 
W 6T8tcJT2Q496?89
4567890.1;
J456789S ̂ Ä ^ T O ^ T ^ W t im f ö T 2 3 4 9 6 ^ 8 9 0 123¿ 
34567890123456789012345678901234567890123 
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7890123456789012 
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67
7890 
3456789C 
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12345678901234567 
78901234567
REGINA AZENHA BONJORNO 
JOSÉ ROBERTO BONJORNO 
VALTER BONJORNO
234567890112345678901234567890123456789012 
23456789012345678901234567890123456789012 
1234567890:1234567890123456789012345678901. 
Æ 2345678901234567890123456789012345678901 
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I0123456789012345678901234567890123456789C 
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59012345678901234567890123456789012345678S 
890123456789012,34567890123456789012345678 
'8901234567890123456789012345678901234567E
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M I L T O N M A C Ê D O
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Supervisão gerai
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Preparação de originai e revisão 
Maria Luiza Favret
C o m posição e arie-finai
AM - produções gráficas
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Fone: 321-1171 - Mossoró-RN 
"Uni país sc faz tw i linmmis ê livros”
PREFACIO
A presente coleção de livros, que se destina aos alunos do 1 ® grau, da 5? 
à 8? série, foi elaborada levando-se em consideração a grande diferença, ainda 
existente, entre os métodos de ensino aplicados aos alunos que iniciam a 5? sé­
rie e aqueles das séries anteriores.
Procurou-se atender, por isso, ao rigor que se torna necessário utilizar no 
tratamento da Matemática, sem, entretanto, incorrer em excessos que a torna­
riam de difícil compreensão.
Utilizou-se um método prático e objetivo, sem. derivações, com linguagem 
simples e acessível ao aluno.
Cada exposição teórica é seguida de um conjunto de exercícios de aplica­
ção da teoria, resolvidos e a resolver, que consolidam a aprendizagem do aluno. 
Exercícios propostos, que permitem avaliar o conhecimento do aluno e com ple­
mentam a sua formação, são relacionados após cada assunto e/ou no final da 
unidade, conforme a necessidade.
Em particular, a exposição dos exercícios resolvidos é acompanhada, quan­
do surgem novos conceitos, de observações, soba forma de lembretes, que con­
duzem e auxiliam a sua resolução.
Resta-nos agradecer aos colegas que nos distinguirem com sua leitura ̂ «en­
viarem sugestões que permitam o aperfeiçoamento destes livros.
Os Autores
M IL T O N M A C Ê D
1
Indice
UNIDADE I
O C O N JU N TO D O S N Ú M E R O S REAIS
1. Introdução...........................................
2. Representação Decimal ...................
3. Fração Geratriz de uma Dízima......
4. Raiz Q uadrada...................................
5. Números Irracionais ..........................
6. Números Rçais ..................................
UNIDADE II
P O L IN Ó M IO S
1. Linguagem Algébrica ................................
2. Expressão Algébrica .................................
3. Classificação das Expressões Algébricas
4. Valor Numérico ...........................................
5. Termo Algébrico ou Monómio .................
6. Operações com M onóm ios.......................
7. Polinómios ...................................................
8. Operações com Polinóm ios......................
UNIDADE III
P R O D U TO S N O T Á V E IS
1. Introdução...................................................................
2. Quadrado da Soma de dois Term os......................
3. Quadrado da Diferença de dois Term os...............
4. Produto da Soma pela Diferença de dois Termos
5. Cubo da Soma de dois Term os..............................
6. Cubo da Diferença de dois Term os.......................
7. Outros Produtos Notáveis .......................................
UNIDADE IV
FA TO R A Ç Ã O
1. Introdução................................
2. Casos Notáveis ________________
UNIDADE V
M Á XIM O D IVISO R COMUM E M ÍN IM O M ÚLTIPLO COMUM DE POLINÓMIOS 85
UNIDADE VI
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1 . Defin ição................................................................
2. Campo de Existência de uma Fração Algébrica
3. Propriedade ..........................................................
4. Simplificação de Frações Algébricas.................
5. Operações com Frações Algébricas..................
UNIDADE VII
7 I
8 a EQUAÇÕ ES FRACIONÁRIAS
8 a 1 . Definição ..................................................
12 i 2. Resolução de Equações Fracionárias................
18 1 3. Sistemas de Equações Fracionárias..................
18
UNIDADE VIII
EQ U A ÇÕ ES LITER AIS DO 1.° GRAU
1. Definição .......................... ............ ..............
2. Resolução de Equações Literais .......................
UNIDADE IX
IN TR O D U Ç Ã O À G EO M ETRIA PLANA
1. Conceitos Fundamentais .......................... ....
2. Postulados ou Axiom as.....................................
3. Posições Relativas de duas Retas num Plano
4. Semi-reta e Segmento de R e ta .......................
5. Segmento de Reta ............................................
UNIDADE X
 NG ULO S
1. Definição............................................. ............
2. Região Angular^........................................... ......
3. Medida de um Ângu lo .......... ............................
4. Operações com Medidas de Ângulos............
5. Congruência de Ângulos..................................
6. Bissetriz de um Ângulo ....................................
7. Ângulos Consecutivos......................................
8. Ângulos Adjacentes ................. ....... .................
9. Tipos de Ângulos ............................................-
10. Ângulos Complementares............................
11. Ângulos Suplementares ...................................
12. Ângulos Opostos pelo Vértice
89
89
90
90
93
104
104
110
114
114
118
118
121
122
122
126
127
127
129
132
133
136
136
137
140
140
143
UNIDADE XI
PARALELISM O
1. Postulado de Euclides.............................................................................................. 146
2. Reta Transversal ........................................................... ........................................... 147
3. Retas Paralelas Interceptadas por uma Transversal.......................................... 147
UNIDADE XII
POLÍGO NO S
2. Polígonos Convexos.......................... .......................................... .............. .............
3. Diagonais de um Polígono ......... ......................................................................... 157
4. Perímetro de um Polígono........ .............................................................................. ^1
UNIDADE XIII
TR IÂ N G U LO S
1 . Introdução..................................................................................................................163
2. Elementos de um Triânguío ........ 163
3. Classificação dos Triângulos............................................................ 167
4. Congruência de Triângulos ................................................................................... .169
5. Teorem as................................................................................................................... 172
6. Relações entre os Elementos do Triângulo ......................................................... 175
UNIDADE XIV
Q U A D R ILÁ TE R O S
1. Introdução „ . . . ............................................................................................................ 182
2. Soma dos Ângulos Internos de um Quadrilátero ................................................ 182
3. Classificação Geral dos Quadriláteros.................................................................. 188
UNIDADE XV
 N G U LO S DE UM P O L ÍG O N O QUALQUER
1. Introdução .......v............ .................................................................
2. Soma das Medidas dos Ângulos Internos .................................
3. Soma das Medidas dos Ângulos Externos ................................
4. Valor dos Ângulos Interno e Externo de um Polígono Regular
UNIDADE XVI
C IR CU N FER ÊNC IA E C ÍRCULO
1 . C ircunferência..................................................................................
2. Corda e Diâmetro...........................................
3. Círculo ...............................................................................................
4. Posições de um Ponto em Relação a uma Circunferência......
5. Posições de uma Reta em Relação a uma Circunferência......
6. Posições Relativas de duas Circunferências ..............................
7. Arcos de uma Circunferência.........................................................
192
192
195
197
201
202
203
204 
204 
206 
209
R E S P O S TA S D O S EXERCÍCIO S PR O PO STO S 223
O Conjunto 
dos Números Reais
1. Introdução
O homem, depois de aprender a contar, deu nomes para os números e, pos­
teriormente, passou a representá-los por algarismos simbólicos.
Os números naturais foram, provavelmente, os primeiros números pensa­
dos pelo homem.
O conjunto dos números naturais é dado por:
B S = '\0, 1, 2, 3, 4, M
Um subconjunto muito importante dos números naturais é:
ÉÉí* = m 2’ 3’ 4’ ü
Os antigos matemáticos, porém, sentiram a necessidade de resolver opera­
ções de subtração tais como 3 - 4 e observaram que o conjunto dos números 
naturais não possuía elementos que representassem o resultado dessa opera­
ção. Por isso, criaram um conjunto mais amplo, que contém o conjunto dos nú­
meros naturais e também é capaz de expressar o resultado de qualquer opera­
ção de subtração entre os números naturais.
Esse conjunto é o conjunto dos números inteiros:
Z = fe.:, • - 3 , - 2 , § 1 , 0, 1, 2, 3,
Entretanto, o conjunto Z, embora seja capaz de dar respostas a todas as ope­
rações de subtração entre seus elementos, não possui nenhum elemento capaz 
de representar o resultado de operações de divisão do tipo 5 :4 .
Para que operações desse tipo pudessem ser representadas, criou-se um no­
vo conjunto de números, que contém o conjunto Z e tem elementos capazes de 
representar o resultado de qualquer operação de divisão entre dois números in­
teiros, exceto quando o divisor for zero;
7
Esse conjunto recebe o nome de conjunto dos números racionais:
* ["•" f p l » " ’ °’ 'm> T '
e é definido por:
Q = | x / x = - jp com p € I e q 6 'M *j 
Por diagrama, temos:
IN G Z C Q y
2. Representação Decimal
Observemos os quocientes das seguintes divisões:
4 5
• — = 4 • — = 0,555... (dízima periódica simples)
7 ' 56 I •
• — = 3,5 • — = 1,2444... (dízima periódiça composta)
12 7
• = - 4 0,2121... (dízima periódica simples)
Esses números são racionais porque podem ser escritos através de uma re­
presentação decimal exata, ou decimal infinita e periódica.
3. Fração Geratriz de uma Dízima
A fração geratriz de uma dízima é a fração da qual provém a dízima. 
Exemplo:
- | - fe 0,555...
^♦fração geratriz
8
re-
Conhecendo a dízima, podemos obter a sua fração geratriz; Temos dois casos: 
1 ? caso: Dízima periódica simples
1? Exemplo:
Ache a fração geratriz da dízima 0,444...
Resolução
Chamando de x a fração que gera a dízima, tem-se: 
x = 0,444... . ® js
Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por 10, obtém-se: 
10x = 4,444... ©
Colocando as igualdades (T ) e ( 2) uma embaixo da outra e efetuando a sub- 
tração, vem:
10x = 4,444...
, x | | 0,444... , j | | f | |
1 0 x 1 x = 4,444... - 0,444... 
9x = 4
, 4
Resposta: A fração geratriz e |§ a
2? Exemplo:
Determine a fração geratriz de 1,2323...
Resolução
Fazendo:
x = 1,2323... ( J ) ,
e multiplicando essa igualdade por 100, obtém-se:
100x = 123,23... ¡(2) Lembrete:
Se a dízima for simples e o período 
tiver dois algarismos, devem-se 
multiplicar ambos os membros da 
igualdade por 100;
9
Efetuando (g ) — (T ), vem:
100x =
x i
123,2323... ■ 
1,2323... 0
99x = 122 
122 
x 1 "99 "
I 122
Resposta: A fração geratriz e
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Determine a fração geratriz da dízimas:
a) 0,333...
b) 0,181818...
Resolução
a) Fazzndo x ■ 0, 333. . . , tmoò' 
7flx = 3, 333. . .
x f J , 333. . . Q 
9 x = 3
ò) Vazando x 0,181818 . . . > ¿eróo* :
lOOx.* 18, 1818. . .
X = 0, 1818. . . O '
99x 7S ■Hl
* " 99 .
Resposta: P . .............^ . JL..'.............
2) Ache a fração geratriz da dízima 1,252525...
Resolução 
lOOx * 125, 2525. . . •
x .* 1 , 2 5 2 5 . . . 0
• 99x * /24 
_ /24
99
Resposta:
10
,4 e .. / 24
■ B B
Exercícios Propostos
WÊÊHÊtlÊÊÊKÊ-
1) Escreva na forma de dízimas periódicas os números:
m
mmC)TT
m
w» 15
d) 99
2) Determine a fração geratriz das seguintes dízimás:
a) 0,555... c) 0,123123.
b) 0,1111... d) 0,606060.
3) Ache a fração geratriz das dízimas:
a; 2,152152... 
b) 1,888...
4) Calcule y, sabendo que: y = 0,222... 0,666...
2? caso: Dízima periódica composta 
Exemplo:
Ache a fração geratriz de 1,3555...
Resolução
Fazendo x = 1,3555..., multiplicando essa igualdade por 100 e por 10 e dis­
pondo uma embaixo da outra, obtém-se:
100x = 135,555...
10x = 13,555... |g ) .,
90x = 122
M H B 122 | j. 61 
X 1 8 9 0 ■ 4 5
61Resposta: A fração geratriz é
Lembrete:
Note que para a parte periódi­
ca desaparecer na subtração, 
a igualdade inicial deve ser 
multiplicada por 10 e por 100.
Exercício de Aplicação da Teoria
Ache a fração geratriz das dízimas:
a) 0,3777...
b) 2,13434...
11
Resolução
cl) Hzmdo x = 0,1711.
100x * 37, 777...
' * 10x : h 7 7 7 ,. .
90x * 34
x * -
iV)Hztndo x f 2,13434... | üew1.\
I 000x = 2134,3434. . . 
IQx = 21.3434.. . ;0
990x = 2 7 73
2 113 
x = 99 0
Exercícios Propostos
5) Determine a fração geratriz das dízimas:
6) Ache a fração geratriz das dízimas:
a; 4,02525... 
b) 15,11616...
7) Determine y, sabendo que: y = 0,1212... + 1,4666...
4. Raiz Quadrada
Consideremos os seguintes dados:
Do exposto, concluímos que a raiz quadrada de um número positivo a é um 
número x cujo quadrado é a.
Resposta:
m -2#?f3
b) x " 990
a; 0,1444... 
b) 0,3222...
cj 0,51414... 
d) 0,93232...
Quadrado de Raiz quadrada de
quadrado de 2 = 4 raiz quadrada de 4 = 2
quadrado de 3 = 9 raiz quadrada Hp q _ q
quadrado de x = a raiz quadrada de a = x
Vã = x => x2 = a
Eü
Geometricamente, temos:
|B
4 cm 16 cm2
4 cm
(lado do quadrado)2 == área => Várea = lado do quadrado 
42 = 16 => = 4
Os números 1,4, 9, 16, 25, que têm raízes quadradas inteiras, são deno­
minados quadrados perfeitos.
NÚMEROS k 4 9 16 25 etc.
• • • • • • • • • • • •
REPRESENTAÇÃO • • • • • • • • •
• • • • 
• • • •
• • • • • if etc.
RAIZ INTEIRA 1 2 3 v ' ’ 4 5 etc.
O cálculo dá raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito é feita 
por aproximação.
; V4T
M v -
25 < 41 < 36 
;i& V25 < V4T < V36 
5 < V4T 9 6
■
valor aproximado valor aproximado
por falta por excesso,
Ovalor aproximado por falta é denominado raiz quadrada inteira.
Cálculo da Raiz Quadrada
Para determinarmos a raiz quadrada de qualquer número positivo, temos os 
seguintes casos:
1 ? caso: Raiz quadrada de um número de dois algarismos
É a raiz quadrada do quadrado perfeito que não excede o número. Calcula-se 
mentalmente.
NÚMERO RAIZ INTEIRA RESTO
18 4 ro li CO i 
i
1
9
35 ' 5
8ei 10
sLOCO11̂O
97 9 O
) II CO ■vi H
|
CO
13
2? caso: Raiz quadrada de um n ú m e ro de dois algarismos
V5 27 69
V 5 2 7 69
V5 27 69 2
ro N
i II ■N I -N
1
V5 27 69 2
- 4
resto parcial £ 1 27
V5 27 69 2
2 x 2 = 4 - 4 4
127
12 [4 ^ 
0 3
V5 27 69 
- 4
12.7
4 3 x 3 = 129
NAO
Lo g o :
ra iz = 229 
re s to = 328
p ro v a : 2292
14
328 9 52 769
Dividimos o número dado em 
classes de dois algarismos a oar 
tir da direita.
Calculamos a raiz inteira da cias- 
se mais à esquerda — 1 ? alga­
rismo da raiz.
Calculamos o quadrado desse 1 ° 
algarismo e o subtraímos da clas­
se mais à esquerda.|
Abaixamos a classe de dois alga­
rismos seguintes.
Calculamos o dobro da raiz e o 
colocamos na linha abaixo.
Separamos, no resto parcial, o úl­
timo algarismo e dividimos o res­
tante pelo primeiro algarismo da 
raiz.
i
Colocamos o quociente à direita 
e multiplicamos o número obtido 
pelo quociente.
V5 27 69 229
¡ § 4 42 x 2 = 84
1 27 4 4 9 x 9 = 4041
2 2 x 2 = 44 84
4 3 6 I 4 4 
4 0 9
43 6.9 
H | 4 1
3 2 8
Jr— -------- ——
O produto obtido é menor que o 
resto parcial?
SIM 
f— i NAO
Subtraímos 
esse produto 
dó resto par­
cial.
Ao invés do 
q u o c ien te , 
colocamos o 
inteiro ime­
diatam ente 
inferior.
Colocamos o quociente ao lado 
do 1 ? algarismo da raiz.
Há alguma classe de dois alga­
rismos ainda não baixada?
!siM
NAO 
FIM
3? caso: Raiz quadrada aproximada a menos de uma unidade decimal
Exemplo:
Calcule VŸ6 por falta com aproximação decimal.
Logo:
V76
V76TÕÕ
V76, 00 8,7
0 6 4 167x7 = 1169
120.0
-1 1 6 9
0,3 1
Acrescentamos ao número dois 
zeros separados por uma vírgula.
Calculamos a raiz inteirado núme­
ro obtido, esquecendo a vírgula.
A raiz terá uma casa decimal que 
é a metade da quantidade de ca­
sas decimais do número e o res­
to terá duas casas decimais (co-
raiz = 8,7 
resto = 0,31
Prova: 8 ,72 + 0,31 = 76
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Com plete o quadro seguinte:
NÚMERO RAIZ INTEIRA RESTO j
29 5 1 ' 4
174 13 л5
210 14 14
Ы 9 11
289 17 0 / I I
2) Calcule a raiz quadrada dos números:
a) 8 836
Resolução
M V « «36 94
-81 184 X 4 =
73.6
-736..»■—— I0 I
PAovci: 8 836 - 942
bf V I í T õ f í J I L - - ̂1
m№S№
n s
-909
23,409 = 753;
3) Ache a raiz quadrada dos números:
a) 14 682
b) 9 841
Resolução
V l4 682 121
-1 22 m =44
04.6 241 X 1 '*.241
-44
282
-241
- J T
Paova: 14 682 = 41 +
b) V 9 841 
-81
1 7 4.1 
-1701 
' í' 40
99
189 x9 = 7 7(77
H m « +992
4) Calcule:
p]|184
#13820
a,) V75, com aproximação decimal por falta 
d) V8, com aproximação centesimal por falta 
c) V364.5, com aproximação centesimal por falta
Resolução
V is , oo
-64 766 x6 = 9 9 6
110.0
-996
1,04
Pao va: 75 - « , 62 + 1,04
c) \¡364,S00Q
-1
26.4 
’ -U 4 
JÕTTÕ 
-3321 
: 7290.0
-34101 
" 3,87W
18,99
28 X8 =224 
369 x9 =3321 
3789 x9 -347 0 7
Vs,oooo
-4
2,82
48 X 8 = 384
- 40.«0,y 562 x2 = 1 124
'-384
160.0,
-1124
f~Ò,0476
Provar 8 =2,82* + 0,0476
flevemo* quarto coóoó 
AadLicando.
Pwva: 364, 5 - î S, 9 92 +
lo por:
a) 4
’ Ĉalcule umvalor api
a)44
I I H
fe ; !
№
X -
¡ 1 %
76
Exercícios Propostos
8) Determine:
a) o maior quadrado perfeito inferior a 84
b) o menor quadrado perfeito superior a 93
c) os quadrados perfeitos compreendidos entre 92 e 300
9) Determine a raiz quadrada dos números:
a) 81 c)
b) 121 d)
25
169
rtqa
400
10) Calcule mentalmente a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos números:
a) 29 c)74
b) 56 d) 97
11) A raiz inteira de um número x é 12 e o resto é 9.
a) Calcule o número x.
b) Qual o maior número que podemos adicionar a x, de modo que a raiz inteira continue 
a ser 12?
12) Calcule a raiz quadrada e o respectivo resto dos números:
а) 5184 . . ’iie) 426 865 e |9 216
б ) 13820 jd) 60 516 f) 62 001
13) Sabendo que a raiz quadrada de um número é 25, determine a raiz quadrada do seu produ­
to por:
a ) 4 b) 100
14) Calcule uní valor aproximado H a menos de 0,1 da raiz quadrada dos números:
a) 44 b) 7,3 c) 0,35 d) 5,832
15) Determine um valor aproximado — a menos de 0,01 — da raiz quadrada e o respectivo res­
to dos números:
a) 28 6) 4,23 ' d) 8,145
16) Um terreno quadrangular tem área de 638,5 m2. Calcule, com aproximação decimal, a me­
dida do lado desse terreno.
17) Determine:
I / 625
a) 5 041
b) V34 + 3V25
18) Calcule:
a j /v ® 2 5 c) V I ,44
b) V6PÍ84 d) V0,1225
17
5. Números Irracionais
Consideremos os seguintes números, cujas casas d e c im a is s ã o in fin ita s e não. 
periódicas:
V2 = 1,414213...
V3 = 1,732050...
Võ = 2,236068... 
n = 3,141592...
Esses números são chamados números irrac ionais p o rq u e n ã o podem ser 
escritos como quociente de dois números inteiros.
Definindo:
Observações:
1)Todo número irracional tem o seu oposto ou s im é tr ico , is to é:
Número irracional é todo número cuja repre­
sentação decimal é infinita é não-periódica.
determine os seg'
2) Os números cujas raízes são exatas não são núm eros ir ra c io n a is .
V9 = 3 não é irracional, pois 32 = 9 
Vô = 2 não é irracional, pois 23 = 8 
\ J - 8 = - 2 não é irracional, pois ( — 2)3 -= —8
a) dos números m
b) dos números in
Resolução 
<1) (0,3,
6. Números Reais
Para ampliar ainda mais os conjuntos num éricos, c rio u -se u m n o v o con junto ! 
de números, que contém os racionais e os irrac iona is . E sse c o n ju n to é denomi- I 
nado conjunto dos números reais e defin ido por:
m>, o, 3,
¡ ¡ J l
IR = g U [números irracionais]
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) C om plete com os sím bolos E ou de m odo que a sentença seja verda­
deira:
a)a . . * ? . . . / < Q .
b)- 4 IR - 5 . *
ç W I R Vrl 6 ' . i . . Z
2) Com plete com os sím bolos c ou D , de modo que a sentença seja verdadeira:
a ; N Z . d) [p .? . . N
b) Q ; ' e) Z B P b 115
c ; IR Z fj I j . . ? . . H l
3) D ado o con junto :
M I B 11, -V 7 , o, 3 ,4 ? - , V iü , V 2 s ]
de te rm ine os seguintes subconjuntos de M:
a) dos núm eros natura is c) dos núm eros irraciona is
b) dos núm eros in te iros relativos d) dos núm eros reais
Resolução
a) { o, 3 , 1 . ■ ■ *-
b) { - ? j j 0, 3, V ñ }
c) { - \/T , \fTô% :
d) . { - n .
Exercícios Propostos
19) Considere o conjunto:
A = [- 3 , y , V3, 1 + Vã, 1,666..., 3V2)
a) Dê o subconjunto de A cujos elementos são números irracionais.
b) Dê o subconjunto de A cujos elementos são números racionais.
20) Justifique se as sentençás a seguir são verdadeiras ou falsas.
à/Todo número natural é número real.
b) Todo número real é número racional.
c) Todo número inteiro é número racional.
 ̂d) Todo número irracional é número inteiro.
Representação Geométrica dos Números Reais
Podemos representar o conjunto dos números reais geometricamente, atra­
vés de uma reta chamada reta numérica real.
Para tanto, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos 
da reta e os números reais, da seguinte forma:
• cada ponto da reta corresponde a um único número real;
• cada número real corresponde a um único ponto da reta.
- 4 - 3 - 2 -1 0 1
V2
2 3 
= 1,41...
4
^ V T Z T = -3 ,16 ...
Observações:
1) Entre dois números reais distintos existe sempre um número real. Por isso, 
o conjunto dos números reais é dito denso.
Exemplos:
a) 4 e 5 Entre eles temos: 4- 5v ̂= = 4,5
A. \ J_
b) -gr e -g- Entre eles temos: — g- 3 ” T^T
2) Não representa um número real o número cujo radicando é negativo e o índice 
do radical é um número par.
Exemplos:
a) V - 4 Não é real, pois não existe um número real que elevado ao qua­
drado dê - 4 .
b) V - 1 Não é real, pois não existe um númeroreal que elevado à quarta
potência dê - 1 .
A Ordenação do Conjunto dos Números Reais
Dados dois números reais a e b, pode ocorrer uma das seguintes possibi­
lidades:
1) O ponto correspondente ao número a coincide com o ponto correspondente 
ao número b na reta numérica.
____________b____________________________________
a
Nesse caso, dizemos que a é igual a b e indicamos:
,r isso,
2) O ponto correspondente ao número a fica localizado à esquerda do ponto cor­
respondente ao número b na reta numérica.
a b
Dizemos que a é menor que b e indicamos:
a < b
3) O ponto correspondente ao número a fica localizado à direita do ponto corres­
pondente ao número b na reta numérica.
b a
Nesse caso, dizemos que a é maior que b e indicamos:
a > b
ndice
qua-
uarta
Operações em R ^
Consideramos as operações em IR como uma extensão das operações defini­
das em Q. Assim, as propriedades das operações são as mesmas no conjunto 
dos números racionais e no conjunto dos números reais.
ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO
Fechamento a + b £ ¡ ¡ |§ f a • b 6 IR ; '
Comutativa a + b = b + a a • b = b • a
Associativa (a + b) + c = a*+ (b + c) (a • b) • c = a • (b - c)
Elemento
neutro
a + 0 = 0 + a = a a • 1 = i • a = a
Elemento
oposto
a + ( - a ) = 0 a • — B 1 a
D istributiva a ■ (b + c) - ab + ac
;sibí'
Exercícios de Aplicação da Teoria
enta j j 1) Complete com > , < ou = , de modo que a sentença seja verdadeira:
a ;iT 3 2 d) V2 .S. 2V2
hi 1 > a l i g) 1 >5 . = . - |
c) \/5 V2 f) -
21
2) Localize na reta numérica real: 
a) - 7 e - 4
b)± e V9
c) Vã 
« > T
e 4V3 
9e T
Resolução
a) «e) '
- 7 - 4 0
4 \ f T
| r,íd) •'
Ò I 3 pfô .3 f 1 ■ 1. 9 11f
3) Dê quatro números reais entre 0,1 0 o CO
Resolução
( ò j ) 0; 12; 0 , 1 5 ; 0 ,2) (<h3)
t ̂ + ;
4) Complete com o nome da propriedade aplicada:
a) 3 + 2 = 5 ............................................ ................
b ) V2 + V3 = V3 + V2 .......................
c) 5 • V7 = 5V7 .......................
ojj 1 . V6 = V6 .?£?№?$!..
e) 4 • V2 = V2 • 4 
9 0 + 9 = 9
gr) 3 • (V2 + 5) = 3V2 + 3 * 5 .....4 tt^ b iM y a Ê ' 
h) (2 + V3) + 5 = 2 + (V3 + 5) .
E x e r c íc io ^ iv p o s t o s
21) Dê quatro números reais maiores que - 2 e menores que 0.
22) Dê dois números irracionais entre V5 e VTft
23) Dado o conjunto A = 
crescente.
-V2, V3, y , -1 , V36,rc j, coloque seus elementos em ordem
24) O número racional (2,2)2 é maior ou menor que 5?
25) Dado o conjunto: M = ( - ; T ’ " V8í:i ~ V3, " 1'25)
plementos que são racionais e os que são Irracionais.
a) Dê os ei lement0s de M em ordem decrescente.
C, coloque o número -1 ,2 5 em forma de fração.
22
o
Polinómios
1. Linguagem Algébrica
Para fins didáticos, a Matemática pode ser dividida em Aritmética e Álgebra.
Aritmética: é a parte da Matemática na qual se efetuam as operações apenas 
com números, ou seja, usando somente os algarismos 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Álgebra: é a parte da Matemática que generaliza os problemas aritméticos usando 
letras (a, b, c, ...) para representar os números.
Os sinais empregados na Álgebra para indicar as operações com os números 
são os mesmos que na Aritmética.
SINAIS ■ ■ P' WÊÊmèSB
OPERAÇÃO adição subtração multiplicação divisão
2. Expressão Algébrica
Consideremos as seguintes expressões:
2x + 3 
4 ab2 
a + b
3a Y ab
Essas expressões, que contêm letras fazendo o papel de números, são cha­
madas expressões algébricas ou expressões literais.
As letras que fazem o papel de números são denominadas variáveis.
Definindo: Denomina-se expressão algébrica ao conjun­to de operações envolvendo letras.
23
3. Classificação das Expressões Algébricas
Consideremos as seguintes expressões:
I) 3a2b + - l a b 3 ^ Não possui variável no radical.
II) 5 x y -----— ► Possui variável no denominador.
III) 2m2p + Vp -> Possui variável no radical.
A expressão I é chamada racional inteira; a II, racional fracionária; e a lii, 
irracional.
De uma forma geral, as expressões algébricas são classificadas da seguinte 
forma:
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Complete com inteira ou fracionária:
a) 3a2 + b ..¿tá&M.......;....
1 c -
b) — + — .......
x 3x
n\ 5 b Á/iacÁonÕAÁa
C) m + i m - 1 ............. g g
d) x + y + z <. .. . •. .
2) Identifique como racional ou irracional as seguintes expressões:
a) 3x + y .......d) 9Vã S lO V b
b) v _ - .MCÂurnl............ e)x2 - 3x + 5
x y
c) 2x + 8Vx ...... | -J=-
24
Exercício Proposto
26) Classifique as seguintes expressões:
a) 5x2 + 3xy - —7
b) ~ r + 2ab 
Va
4. Valor Numérico
É o número que se obtém quando se substituem as variáveis que figuram nu­
ma expressão algébrica por números e se efetuam todas as operações indicadas.
Exercícios de Aplicação da Teoria
f̂ aÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊtÊÊÊÊÊiÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊtÊÊÊÊÊÊÊtÊÊmÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊiÊÊm
1) Ache o valor numérico da expressão:
5x2y - | | | § x/ + y) para x = - 1 e y 1
Resolução
10 + 1 
4
11
4
valor numérico
Resposta: O valor numérico é
2) Calcule o valor numérico da expressão:
JL + -?-,+ - f - para a I 2, b = c 
b d Tb
= 3, d = e = f = 4
25
Resolução
ol
F
+ í +
e R
3
S +9 + 72 |
— r r ~
* 29
T f
Resposta: Q. .V££?4. .-S. I ......................................
3) D eterm ine o valor numérico da expressão:
a + ^ para a 1 0,1 e b = 2 -
7 + 5 I
" T F “ ;J _ I . f J £ )
1 - 5 , ' T F v \. A J '
F f T ' 1
, í ” È i i
- _ 3
R esposta: &. 7. tTgr.
Exercício Proposto
27) Determine o valor numérico da expressão:
3x2 - xy
x + y parax = 2 e y = f e t
28) Ache o valor numérico de:
x3 - 2x2 + 4x - 1 para x _ J_
2
29) Sabendo-se que a - 3 e b = -2 , ache o valor numérico da expressão:
(3a - b) (a1 - 2ab + b>)
30) Ache o valor numérico da expressão + n na„ .
1 - mn K
aj m = 2 e n = -2
R | I 1 b;m * ■'jy e n I 3 g
Resolução ? .
cl + b _ T7 + T 
cl - b F f r F T
4 TT №3
26
2
3
31) Calcule o valor numérico da expressão:
x - xy ■ H I
T T y para X = 2" e y =
32) Ache o valor numérico da expressão:
a) para a = - 2 e b = +2
b) para a = -1 e b = i ¿
2
5a - b 
a + ab2
33) Ache o valor numérico de:
6xy - 3x - 4y + 1 
3x - 2y - 3
1para x = —g- e y =
34) Calcule o valor numérico da expressão:
X2 - y2
para x =
35) Ache o valor numérico de:
2
3
2
36) Sendo A = Ja + b + 2 jlb , calcule o valor de para:
a) a = 1 e b = 1
b) a = 4 e b = 1
37) Calcule o valor numérico das expressões:
a) a2b3 - a3b2 + a2b2 para a = - 2 e b = -1
p - • I •> -■ § :• H
5. Termo Algébrico ou Monómio
Termo algébrico ou monómio é um produto de fatores quaisquer, iguais ou 
desiguais, numéricos e/ou literais, no qual o fator literal está elevado a um ex- 
poente positivo ou nulo.
Exemplos:
2a -5 x 2y
27
Todo monómio possui duas partes: uma numérica (também chamada coe//% 
ciente) e uma literal.
Exemplos:
2a
T
1— ► parte literal
------ > parte numérica (coeficiente)
parte literal 
coeficiente
Quando num monómio aparecem fatores iguais, podemos escrevê-lo ou reduzil 
lo à forma chamada normal.
Exemplo:
5 • 3 • a? • x • a • b • b3 • x6
Usando as propriedades associativa e comutativa e a multiplicação de potên­
cia de mesma base, obtemos:
15a3x7b4
I----- » forma normal
Observações:
1) Se o monómio vier escrito sem a parte numérica, subentende-se que ela é igilal 
a 1 ou - 1 .
X -+ 1x
I__ —» coeficiente igual a + 1
- a 2b - - 1a2b
■ I ~'f —» coeficiente igual a - 1
2) Se o coefic iente é 0 (zero), o monómio é chamado nulo e se indica por 0.
0x2y | ! | | 0 -
3) Se o expoente de uma letra é zero, elimina-se a letra e o expoente.
5a4b°x3y° ------► 5a4x3
4) Os monóm ios que não têm a parte literal são números reais.
8, ¡ ¡ 7’j3
Grau de um Monómio
Considerem os um monómio colocado na forma normal.
Denomina-se grau desse monómio em relação a uma variável o expoente que 
essa variável tem no monómio.
28
Exemplo:
m
PotôíK
igual
0.
C O monómio é de grau 4 em relação a x.
5x4y2z < O monómio é de grau 2 em relação a y.
O monómio é de grau 1 em relação a z.
Chama-se grau completodo monómio a soma dos expoentes de todas as
suas variáveis.
Exemplo:
5x4y2z [O monómio é de grau completo 7.
M onóm ios S em elhantes
Dois ou mais monómios são chamados semelhantes quando têm a mesma 
parte literal, isto é, as mesmas letras com os mesmos expoentes.
Exemplos:
a) 2a, -7 a
b) 5x2y, 3x2y, - x2y
Por outro lado, os monómios 2a3b2 e 5ab não são semelhantes, porque 
possuem partes literais diferentes.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Dê o coeficiente e o grau de cada um dos monómios seguintes em relação 
à variável indicada:
Coeficiente Grau
a) 5x3y2 5
1
3 em relação a x
b) - y mn4 ~ T 4 - em relação a n
c) p2q3z4 i .3 em relação a q
d) - c d - 1 . . J em relação a c
2) Dê o grau completo dos seguintes monómios:
a) 7abcd .....a .....
b) - i x y z * ..jm m . I I
d) 8xy°z2 ..S'ÍÍH..?.
e) 4j4km
cÉ¿ V3m2np .  í . i ............... f) 1 0 a W .M tè if .ll
3) Escreva os seguintes monómios na forma normal:
a) 4a2b3ab2c =4a3ò5c c) 2abcabc = 2a2ò2c2
b) J ixyVzy4 = 1 d ) x2y2x3y3x4y4 - - - j x9y9
\e 29
4) Quais polinómios são semelhantes?
a) 4x2 e | t 7x2 ¿VM&ZfanfeA
b) 3abc e 5abc2
c) V2x2y5 e 11xy5 ..WP..
d) — 7m3n2 e 4m3n2 £ÇWP&tyíWÇ.Q
Exercícios Propostos
38) Qual o coeficiente e a parte literal dos monómios abaixo?
a) 7x
b) — 4x2
c) ~ ab3
d) m4p
e) - a 5b2c4
f) -2 x y 3
39) Reduza os seguintes monómios à forma normal;
a) 5x4y2( - 2)axy3
b) —■ abc( - 8)a2b2c2
40) Dê o grau dos monómios:
a) 7a3
b) - 5x2y2 em relação a x
c) a3b2c em relação a c
c) — x5y2z14zyx2
d) 4xxx5x2x2x2
d) m
e) - x 4
f) 4
41) Dê o grau completo dos monómios:
a) 4x4y3
b) — 9a3b
c) m5n3p2
42) Escreva um monómio que seja:
a) de grau 2 em relação a x cj de grau 1 em relação a z
b ) de grau 3 em relação a y 4Jde grau 7 em relação a h
43) Dados os monómios abaixo, copie os semelhantes:
5x3, 2x4, -6 x 3, x5, | p [ x 3,
44) De cada série de monómios, escreva aqueles que são semelhantes:
a) 5a4b, 2a3b, a4b, ab4
b) —.-g- xy, xy, x2y2, 6yx
c) 3m nf 2nm, -m n , m3
45) Os monómios 0a2b3c4 e 0a5bc2 são semelhantes. Justifique.
30
w t
w >
B
W
$ ^ io a
(3 - 1 '
Somando os r
2? Exemplo; 
Efetue:
Reso|uçio
Á
I
6. Operações com Monómios
Adição e Subtração de Monómios
Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais monómios, escrevemos, suces­
sivamente, um depois do outro, com seus sinais, e efetuamos as operações indi­
cadas entre os monómios semelhantes.
1 ? Exemplo:
Calcule a soma dos monómios: . ,
(+ 3x2y) + ( —x2y) + (+ 7x2y) + '( .-4 x2y)
Resolução
Eliminando os parênteses, obtemos:
3x2y - 1x2y + 7x2y | Í 4 x 2y
Pela propriedade inversa da propriedade distributiva da multiplicação em re­
lação à adição e à subtração, podemos escrever:
( 3 - 1 + 7 | 4 ) x 2y
Lembrete:
Somando os números relativos dentro dos parênteses, obtemos:
5x2y
Quando somamos os monómios se­
melhantes dê uma expressão, dize­
mos que estamos simppcándo-a.
2? Exemplo:
Efetue:
5ab 9 -^-ab + 7ab
Resolução
5ab 1ab s 7a b
1 mm 2 mm 10ab - 1ab + 14ab2
24ab - 1ab 
2
23ab
7 &M
Lembrete:
Reduzimos todas as frações 
ao menor denominador co­
mum e efetuamos as opera­
ções indicadas.
31
3? Exemplo:
Simplifique a expressão.
5X + 8y + 7x
— x
Resolução 
5x + 8y + 7x
-7 . iy + 8y|l§ 5y 
5y + x : (5\ + 7 + D x + <8 - 5)y
= 13X + 3y
Lembrete:
Se houver monómios não-seme­
lhantes, as operações ficam irS 
dicadas.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Calcule:
a) 8ab + 2ab W 10ab
1 1 + XLf1 2 H IS*#2'
b) ~2~ xy2 + 3xy2 + — xy2 = 4 4
1 I ' Zab3 -,db3 .1 ’’fSSRtó ' U
çj ab3 ab3 = ^ = 2 âb
d) 6x2y2 - 5x2y2 =‘ * 2̂ 2
2) Efetue:
a; 0,2x + 0,01x - 0,1x =
1 5xí/ + 2 0 x i4 1 xw 24x/v-
b) xy + 4xy - ■■■— xy = ' j ; ------a = - y •
c; ?p4- a2b3 + 2a2b3 w 4 - a2b3 = ^ È Ll12a2b3--2d2b3 r azb3
_ . 3 6 ( " ::6 %
3) Simplifique a expressão:
20a - b) | | - l (a + b) _ ;3(a j " i b)
Resolução
t (3a - b) | \ (a f b) - 3 ;;(a r | f )
6a. ̂ 26 + | a + | b - 3a.+ | £> &
6a + j a - 3a - 2b + 1 b + 2 ̂ _
L I *
12a + a - 6& - ffe * b f 3b
32
Exercícios Propostos
46) Efetue:
a) 7a2 ^ 2a2
b) 6x + 4x + 2x
c) y3 + 8y3 + 2y3
d ) 2mn + 5mn + 3mn
47) Calcule: 
a) 9y - 7y
b) 6a4 - 5a4
48) Calcule:
a) 7y + 5y - 3y - y
b) 12x3 - 10x3 + 5x3 2x3
c) 7x2 + 3x2 + 21 x2 - x2
49) Efetue:
50) Simplifique as expressões:
a) 6a - 3b + 2a + 5b
b) 5a2b - 3ab2 + a2b - ab2
51) Efetue a redução dos monómios semelhantes:
a) 28 - 3x + 4;-p 16x -Ê É + 7x
b) 2a3b2 - 5a2b3 + 3a3b2 + 5a2b3 - a2b3
52) Ache o resultado em cada caso:
a) x3 + X3 - -J- x3 b) ab2 -g- ab2 - 0,1 ab2
1 ? caso: Parêntese precedido de sinal positivo
Nesse caso, eliminamos o parêntese e conservamos os sinais dos termos ne­
le contidos.
Exemplo:
+ (5x3 - 2x2 + 7x Í 4 ) = 5x3 - 2x2 + 7x ^ 4
Observação:
Se o parêntese não é precedido de sinal, subentende-se que ele é positivo. 
Exemplo:
(3x2 - 6x + 1) = +(3x2 B 6 x + 1) = 3x2B 6x + 1
a) y pq2 + + pq2
b) a2b3 + y a2b3 a2b3 + 3a2b3 - 0,2a2b3
Eliminação de Parênteses
33
2? caso: Parêntese precedido de sinal negativo
Nesse caso, eliminamos o parêntese e trocamos os sinais dos termos nele 
contidos.
Exemplos:
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Efetue:
(2x + 3y - z) - (x - 2y + z) + (3y - x — z)
Resolução
(2x + 3y - z) - I - 2y + z) + (3y B x l z) H
2x + 3y - z -- x + 2 y g z + 3y MxSz = '
2x — x - x + 3y + 2y + 3y _ z _ z ■ _ _ 'A. - A _ ̂ ^ ? PiminÒiriA
-(4 x1 2 - 2x + 1) = ¡¡U x2 + 2x - 1 
— ( —X3 + X2 - X + 6) = X3 S x 2 + X - 6
Ox + 8y - 3Z _ 
8y - 3z
Eliminamos ps parên­
teses e somamos os 
termos semelhantes.
2) Ache a diferença:
Resolução
24m - 3m ~ 6n - 4n 
~ U
21 m - ÍOn 
12
34
3) Sabendo-se que:
M = a S b + c 
N = 2a + b - 3c 
P = - a + 3b 2 2c
calcule:
a) M + N - P
b) M - (N + P)
Resolução
a) M + N - P = (a - b + a) + 12a* f> "~ 3 e j r ^ < i
'u = a - b +a + 2a + b - M'+ a - 3b + 2c 
= 4a - 3b
b) M-IN+P) = (a-b+c |2a + b >3c-a+ 3b-2 c f f l
= a - b + c - 2a . - b + 3c' + a - " 3b + 2c
Exercícios Propostos
53) Elim ine os parênteses:
a) + (2 x2 - 5x - 3) c ) ( - x 6 + x5 - x4 + 9)
. b) - ( 5 x 3 - 4x2 - 3x + 2) d) - (3a2b - ab3 + b4)
54) Reduza os monómios semelhantes;
a) 3x + 4y B p 4 x + y - ( - x —òy)] !
b) 3a2b - ab2 + [a2b - M - a b 2 + (ab2 - 3a2b) M
c) a(5 - 2 [5a - (a - 1) +4(a - 1)]]
55) Efetue:
(a2 + 2ax + x2) - (a2 - 2ax + x2) - (a2 - x2j + x2
56) Simplifique as expressões:
a) (a + b) - (a - b)
b) 2 - (2 — a)
c) x2 + y2j ^ (x2 + y2 H 2 x y )
57) Sabendo-se que:
A - x + y + z C = x + y - z
B * x - y + z D = y + z - x
calcule:
a) A + B + C
b) A - (B - C)
58) Reduza os termos semelhantes:
c) 2C + 3B - D
d) B - (2C + D)
Y + 2a + 3b
35
59) Simplifique a expressão:
xy _ (x* + [у* - (ху + x2 + У2)]]
60) Ache a diferença:
Multiplicação de Monómios
Para multiplicarmos dois ou mais monómios não-nulos, basta multiplicar entre 1 
si todos os fatores que os compõem e reduzi-los à forma normal.
1 ? Exemplo:
Efetue: 5x2 • 3x4
Resolução . ______ _________ ____
_ 2 o 4 Multiplicamos os coeficientes, ob-
5x • 3x4 = (5 • 3) • X2 • x4 servando a regra de sinais, e a par-
= 15x2 + 4 Lembrete: tes literais, aplicando a proprieda-
= -| 5x6 de da multiplicação de potências de
mesma base.
2? Exemplo:
Calcule e simplifique o produto:
Т У а2ь4 ' : | ab
Resolução 1
12a4>4' T ab = a b'
2
= W a’b¡
3? Exemplo:
Efetue as multiplicações e simplifique:
(5x2y3)(2xy2) (4x3y)(y4) + (3xy2)(_ x ¥ )
Multiplicamos os coeficientes, ob­
servando a regra de sinais, e a par­
tes literais, aplicando a proprieda­
de da multiplicação de potências de 
mesma base.
Resolução
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Efetue:
a; 2a3 • 5a4 = 10a7
b) -3m2 • 2m2 = -6m“
c) 5x4y3 • 3xy = 15x.5y"
d) -g- ab I 2a2b =a3bz
2) Ache o produto e simplifique-o:
10 - 1 2 3 2
“ 6 “ x Y ‘ T xy ' T x y
Resolução
• -J * i j
11
3) Simplifique a expressão:
(4a2b)( - 2ab2) + ( - 3a3b)(2b2) - (5ab3)( -3a2)
Resolução
( 4 a 2 b ) ( - 3 « * ) * .
(-sa3b>)-♦ (“ía-3 b3 '«
-S a 3b 3 - 6a 3b 3 + 1SçL3b 3. f .
- 1 4 a 3 b 3 + 1 5 a .3 b 3 -
B m■' , : i
Exercícios Propostos
61) Ache o produto em cada caso:
a ) 2x • 7x3
b ) 3y | 4y
62) Calcule o produto em cada caso:
a ) 4x • 2x • 3x
b ) - 3y2 • y3 • 2y ■ 4y5
c) 2abc • 3abc • abc
63) Calcule o produto e simplifique quando possível:
c) ab(3a2b) (—4ab3) ( -a 3bl)
64) Efetue as multiplicações e simplifique:
a) (2a2b) ( - 3ab) + (5ab2)(2a2) - (-4ab)(a2b)
b) ( í X* ) ( ~ M - (8xy ) ( r xyí + ( ^ | 4 ' xy)
65) Ache 0 produto:
a) (- x) ( - x2) ( - x3) ( - x4) •
b) (—am) (—an) (—aP)
c) ( -a b ’)(2ab )(--l-a ‘b)
d) a" • a" ♦ 1 • a" + 2
66) Simplifique:
a) -2a(4abc) ^ y a 2bc3j <+ 3ab2c a2c3̂ (2a)
ò)4mn(-m2n) + -|-m3(2n2) - ^ m 2n^ (mn)
1 3 1c) y x y + -Jq x2y(xy) (xys) + — xY( - y2)
Divisão de Monómios
Para dividirmos um monómio não-nulo por outro também não-nulo, basta di- j 
vidirmos, quando possível, os fatores do monómio dividendo pelos fatores do mo- I I 
nômio divisor.
1 ? Exemplo:
Efetue: 20x4: 5x
Resolução
20x4: 5x 20x45x‘
20 x4
-g - : = 4x4 - 1 = 4X3
Lembrete:
Dividimos os coeficientes observan­
do a regra de sinais e escrevemos 
a parte literal com expoente igual à 
diferença entre os expoentes do diV 
videndo e do divisor.
38
2? Exemplo:
Calcule o quociente da divisão: 10x1 3 : 5x3 
Resolução
10x3 : 5x3 £ P — W m S M x3- 3 I 2x° = 2 - 1 = 2 
5x3 5 x3
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Dê o quociente em cada caso:
a) 15x8 : 3x6 = 5x2 ;
b) ( - 8 a 3) : ( -2 a ) =
c) (x4y3z2) : (x2y2z2) = -.xzy . r
2) Calcule: (a2b3c4d5) : ( - b3a2c4d5) 
Resolução
3) Efetue:
a|(81a4b»): (-2 7 a 4b4) = -36
Lembrete:
Quando as partes literais do nume­
rador e do denominador são iguais, 
elas desaparecem na divisão.
3? Exemplo:
Calcule: x2y4 : xy;
Resolução
3
5
T "
(a V c ^ d 6) ■ M W » |
6 /0
67) Calcule o quociente em cada caso. 9a¡S
Ж Ш Шa) 14y5: 7^
b) - 6m4: 2m3
c) 10x V fj 5x3y
68) Determine o quociente:
a) 10x4y : 5x4y
b) ( - 15a3b3): (-3 a 3b3)
69) Ache o quociente:
c) 6 ab c : 4abc 
d; -2 m Jp * : 2m P
c; ( - 10x’yz4)I (у xíyzS
ь; (8a3b2c5) : ( у a2bc5
70) Efetue as divisões e reduza os termos semelhantes: 
a) (6a3b2) : (2ab) + (14a2bs) : (7b4) - (10a9b8) : ( - 2 a 7b7)
I И : H - ШЛ■■
71) Efetue as operações:
a) a2mb5nc7P : amb3nc6P b) xa+1by+1 : xaby+1
Potenciação de Monómios
Para elevarmos um monómio a um expoente natural, basta elevar a esse ex­
poente todos os fatores do monómio.
1? Exemplo:
Efetue: (3x4y2)2 
Resolução
Lembrete:
(3x4y2)2 = 32 • (x4)2 • (y*)’ = 9x8y4 Elevamos cada fator ao expoente 
dado.
2? Exemplo:
Simplifique a expressão:
Resolução 
Efetuando a potenciação e a multiplicação,
obtemos:
1
Fazendo a subtração, temos:
sse ex­
ente
1 x3y3 - 3x3y3 -2 x 3y3 ,
8 “ 8 ~ 4 X y
3? Exemplo:
Escreva na forma de quadrado o seguinte monómio:
- y - a6b8c1 2
Resolução
- y - a6b8c2 - f i l a 3b4cJ
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Efetue:
a) (3xy2)3 = 2 7 x 3£/6 d) ( -5 a 9b7)0|= 7
b) (-2ab)4 = 160.%" « t M - x y z y
c; f - | - m w )* = í «‘••M.fl'./ '9 (2m4ns)8 =25émMk,,l’'J
2) Efetue a adição:
(0,1 ab)2 - ab) | U - b a )
. ' Resolução \ ‘ 7 | H H H H
[o, 1 abi2 h i a t
a.2b2' + K l 
= 100
•' i"v : 1'
3) Complete com a potência:
a; [ ( - 2ab2)2]5 =,[4a2b7l
H H H
5 = 7 024 aRb2
I * V '
,7 u / / 6 1
72) Efetue: 
a) (2aîb3)<
mm
e)(-2rn)5
b; (-3xy ‘):
73) Efetue:
a) (2ab)2 + (ab) (—ab)
c j ( - a2bcz) ^ 4 - a2b3c2̂ + (abc)'
b)
74) Desenvolva:
a) (2a2b3c)5 
b ; ( - 3 x y z 8)<
*7 i' ' v -c) [( - ab2c)2]3
75) Ache a soma em cada caso:
a) (x2y3z)2 + xyz(x3y*z)
b) ( - a 2)3 + 3(a2b)2 + aa2a3 + (b a f
76) Ache o produto: (-xy )3 (-xy)2,(-xy)4
77) Ache o quociente em cada caso:
a) (A + B + C)2
b) A - (B + C)2
c) A2 + B2 - 3C2
81) Escreva na forma de quadrado os monómios:
82) Escreva o monómio na forma de um cubo:
BBsHfpff,
83) Efetue:
78) Calcule:
79) Calcule: [(-3 x2)4]T
80) Dados os monómios A = a2b3, B = -^-.a2b3, C =" 3“ a2b3, calcule:
b) m,2n6p'
c) O.SIa2"̂ 6'
42
7. Polinómios
Definição
Denomina-se polinómio um monómio ou uma soma algébrica de dois ou mais 
monómios.
Exemplos:
4x
3a2 + 2a - 1 
5x + 8
x4 - 3y2xx + y3 - 5yx
Os monómios que formam o polinómio são chamados termos do polinómio.
Um polinómio é dito reduzido à forma normal quando não existem termos se­
melhantes e todos os seus termos são escritos na forma normal.
Exemplo:
3a2b + 5ab3a B a2b = 2a2b + 5a2b3 
forma normal
Um polinómio reduzido à forma^normal se diz:
• monómio: quando contém somente um termo não-nulo.
Exemplos:
3xa; EH x2b
o
• binômio: quando contém somente dois termos não-nulos.
Exemplos:
7x2 + 4y; m2 - 3m
• trinômio:quando contém somente três termos não-nulos.
Exemplos:
4 x ^ - 3x + 1; 5a2b + 4 a b B x
Observe que, num polinómio, pode aparecer uma ou mais variáveis. Se a va­
riável é somente x, diz-se polinómio em x.
Representação de um Polinómio
Podemos indicar um polinómio por uma letra maiúscula do alfabeto e ordenar 
os seus termos de tal modo que os expoentes da variável vão decrescendo.
43
Exemplos:
A = x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2 - x + 1 
B = 4a2b + 7ab5 B 2 (ordenado em relação a a)
Se num polinómio escrito na forma normal e ordenado aparecerem todas as I 
potências da variável, o polinómio é dito completo em relação àquela variável.
Exemplo:
A = x4 + 5x3 - x2 + x - 3
Em caso contrário, o polinómio é dito incompleto e os coeficientes desses 
term os são nulos.
Exemplo:
B = a4 - 2 = a4 + Oa3 + Oa2 + Oa - 2
Grau de um Polinómio
Considerem os um polinómio escrito na forma normal e não-nulo.
Denom ina-se grau desse polinómio em relação a uma letra o número que re­
p resenta o maior grau de um de seus termos em relação àquela letra.
Exemplos:
a) 3a2 + 2a + 1 é um polinómio de grau 2.
f é um polinómio de grau 4 em relação a x.
b) x4 J |Í3y2x3 + 2yx J é um polinómio de grau 2 ,em relação a y.
Cé um polinómio de grau completo 5.
Polinómio Nulo
Denom inam os polinómio nulo àquele que tem todos os coeficientes iguais 
a zero.
Exemplo:
A = Ox3 + Ox2 + Ox + 0 A = 0
I------►polinómio nulo
Polinómio Oposto
Denominam os oposto de um polinómio A ao polinómio - A , isto é, àqüele 
que tem os sinais de todos os seus termos contrários aos sinais dos termos de A.
Exemplo:
A = 3x2 - 7x + 2 =* - A = -3 x 2 + 7x - 2 
I— ► oposto de A
f=JB
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Dado o polinómio:
A = 2x2 - 5x3 + 7x2 - x3 + 4x + 3x3 2x + 1
pede-se:
a) Reduza os termos semelhantes e ordene-os segundo as potências de­
crescentes de x.
Resolução
a) A =s 2x2 - 5x3 + 7x2 - x3 + 4x + 3x3 + 2x + 1 
A = - 5 x 3 - X3 + 3x3 + 2x2 + 7x2 + 4x + 2x + 1 
A =s - 3 x 3 + 9x2 + 6x + 1
b) O grau de A é 3.
c) - A = 3x3 - 9x2 - 6 x 1 1
p = 3 e q = 1
Resposta: p = 3 e q
3) Dado o polinómio:
B = 6a - a2 + 3a3 - 4a2 + a3 - a + 7
a) Escreva-o na forma normal e ordene-o segundo as potências decrescen­
tes de a.
b) Dê o grau desse polinómio.
Resolução
k ) 8 1 ÒOC - CL2 + 3c£3 ** A o } + o } - CL + : '7 $ jj$ 5 
8 * 3a3 + a3 - a2' - ^
B M A o } - 5a2 + Scl + 7
b) Dê o grau desse polinómio:
c) Dê o oposto desse polinómio.
ro que re-
P- I
2) Calcule os valores de p e q para que o polinómio A seja nulo:
A = (p - 3)x4 + (q + 1)x
Resolução
P iâ 3 = 0 e q + 1 = 0 Lembrete:Lembrete:
p = 3 q i | lg l Todos os coeficientes são nulos.
pede-se:
b) 0 QftcLu d z B e 3 .
45
4) Determine a e 
Resolução 
Vzvmoé W i* 
2a - 1 = 0 
2a = 1 
1
a = 2
topara que o polinómio
- (2a ^ 1)x
5 I
№
fat- #
| P
i 9 1
Resposta: cl = j i b * 5
E x e r c f c io ^ ^ p o ^ j^
84) Ordene em relação às potências decrescentes de x os polinómios.
a) 4x2 ^ :8x3 + x3 - 3x4 + í f f x
b) xy3 + 2x3y + 4x2y2 - 8
c) - 4 + x4 - x2
85) Dado o polinómio;, '
■ r j
«21 
« 2: 
«3
a) A
2x3 ->:5x4 + X2 Í||1,
a) Ordene-o segundo as potências decrescentesde x.
b) Indique o seu grau e justifique se é completo ou incompleto.
86) Coloque os polinómios a seguir segundo as potências decrescentes da variável:
a) A = 2x - 4x2 + 7x3 - 1 
ó) b = 2a2 - 4as + 3a + 6a3 - a4
c) C = y6 - y2 + y4 + 3
87) Qual é o grau dos polinómios abaixo?
a) A = 6m3 + 2m - 1
b) B = l l y 4 - 3y2 + 5y - 3
c) M = Ox5 + 2x4 - 3x + 9
Método p râ 
Podemos e1
A = 2:
88) Dado o polinómio;
P = 3ys - 2y + 4y3
pede-se:
+ y5 Y2 + 5y3 + y _ 2
a) Reduza os termos semelhantes e ordenp o
b) Dê o grau de P. ne"a
89) Ache os valores d e a e b para que
0 Polinómio M ~
90) Para que valores de a, b, c o polinómio m \
um polinómio nulo? ' ® t ) *
3x3 + (b - B ) x 2 seja nulo.
3(b + 4)x + c - 8 se reduz
91) Ache o oposto dos polinómios;
5a - 1a) A = 4a3 - 2a2
b) B = 2x - 4
c) C = 10y2 - 3y
46
№ |Ode
U 1
Adição
8. Operações com Polinómios
H
Para adicionarmos dois ou mais polinómios, éscrevemos cada um entre pa­
rênteses, separando-os pelo sinal positivo. A seguir, eliminamos os parênteses 
e reduzimos os termos semelhantes.
Exemplo:
Dados os polinómios:
A = 2x5 - 7x4 + 4x3 ¡¡¡X2 + 6x + 1 
B = x5 + 3x4 - 6x3 + x2 - 5x + 8
calcule:
a) A + B b) 2A + 3B
Resolução:
a) A + B = (2x5 - 7x4 + 4x3 - x2 + 6x + 1) + (x5 + 3x4i | 6 x 3 + x? - 5x + 8)
m 2x5 - 7x4 + 4x3 - x2 + 6x + 1 + x5 + 3x4 - 6x3 + x2 - 5x + 8
= 2x5 + 1 x5 - 7x4 + 3x4 + 4x3 ^ 6x3 - 1 x2 + 1 x2 + 6x - 5x + 1 + 8 
= 3x5 - 4x4 - 2x3 + x + 9
Lembrete:
Eliminamos os parênteses e soma­
mos os termos semelhantes.
Método prático
Podemos efetuar essa adição utilizando o seguinte método prático:
A = 2x5 - 7x4 + 4x3Ê 1x2 + 6x + 1
B = 1 x5 + 3x4 - 6x3 + 1x2 - 5x + 8
A + B = 3x5 - 4x4 - 2x3 + x + 9
Lembrete:
Escrevemos os termos semelhan­
tes um embaixo do outro è efetua­
mos as operações indicadas.
b) Cálculo de 2A e 3B:
2A = 2 • (2x5 - 7x4 + 4x3 - 1x2 + 6x + 1) = 4x5 - 14x4 + 8x3 - 2x2 + 12x + 2 
3B = 3 • (1x5 + 3x4 - 6x3 + 1x2 - 5x + 8) = 3x5 + 9x4 - 18x3 + 3x2 - 15x + 24
Usando o dispositivo prático, tem-se:
2A = 4x5 - 14x4 + 8x3 - 2x2 + 12x + 2
3B = 3xs + 9x4 B 18x3 + 3x2 - 15x + 24
2A + 3B = 7x5 - 5x4 - 10x3 + x2 - ■ 3x + 26
Lembrete:
Múltiplicamos todos os termos do 
polinómio A por 2 e todos os termos 
de B por 3, e utilizamos o dispositi­
vo prático.
47
1) Dados os polinómios:
AA _ o q 3 _ 3 a 2 + a r 1» ^M = 2a3 - 3a2 + a r
- 5a2 + 4a - 3, P a + 5
calcule:
a) M + N + P
b) 2M + 3N + 4P
Resolução
cl) M = 2a.3 - 3a2 + a - '
U - Sol2 + 4a - 3
p g_____ - ̂ cl + S ' '
M + N + P = 2a3 | 2a2 + 6& + 1
bj 2M * 4a3 - *f6a2 '^Ma I ^
3N = *<15a?
4 P = , __________> J c L j f êfOJ rr:.
2M + 3W ■+ 4P -'4á3 + 9a2 '+^a'+ 9 I
2) Dados os polinómios abaixo, ache (A + B).
A = 2m2 + — m + — e
B =i y m2 TSH ™ * ' 1
Resolução
'CElcUto cuulxáJUjola.;
A + B s j iri2 + m -r ~
A = 2m2 + ' j m >
92) Dados os polinómios:
calcule:
a|A + B 
b) 3A + 4B
45
9 3 ) D ados os polinóm ios:
M = 5x2 - 3x + 6 
N = x2 + x - 2 
P = -3 x 2 + Y ~
calcule:
a) M + N + P
b) 5N + 3P
c) 7(M + 2N + P)
94) Dados os polinómios:
95) Calcule a soma dos polinómios:
96) Determine as somas:
a) (a - 3b) + (a - 2b) + (a + 5b)
c) (ab2 + ab) + ( -3 a b - ab2) + (2ab + ab2)
97) Ache a soma dos polinómios:
a) (2àb + a2 - a) + (a2 - ab + a) + ,(-ab - a2)
1 ? Exemplo:
Dados os polinómios:
A '=1— x2 - x + 1
C = y x2 + x
calcule:
a) A + B + C
b) 2A + 3B + f l |C
5a - 3b + 4 e 2a + 4b - 2
b){'-f-x ' - 2xy + y |+ j ( x y r Xí-
Subtração
A = 5x3 ^ 2x2 + 7x - 6 
B = 4X3 - 2x2 - x + 1
calcule A ® B . 49
Resolução
a PB- B = (5x3 - 2x2 + 7x ® 6) - (4x3 * ' 2xw x + 1) 
A — B = 5x3 - 2x2 + 7x — :6 - 4x3 + 2x2 + x - 1 
A - B = 5x3 - 4x3 - 2x2 + 2x2 + 7x + 1x H 6 g | 1 
A - B = x 3 + Ox2 + 8x - 7 
A — B = x3 + 8 x - 7
Lembrete:
Trocamos todos os sinais dos ter- ) 
mos dentro dos parênteses preçe- i 
didos pelo sinal negativo e reduzi-i
mos os termos semelhantes. 
------------- - I ............. .
Método prático
A = 5x3 - 2x2 + 7x - 6
P K - B = ^ - 4 x 3 + 2x2 + 1x 
A - B = x 3 + 8x | 7
Lembrete:
2? Exem plo:
No método prático, colocamos o ò 
oposto de B, pois:
A - B g A +
e efetuamos.as operações com os 
termos semelhantes.
Dados:
A = 3a2b - 5a3 + ab2 
B = 2a3 + b2a - a2b
ca lc u le :
a) 2 A - 3B
b) — 5A — 2B
R e s o lu ç ã o
a) A p lic a n d o o m étodo prático, temos:
2A = 6a2b - 10a3 + 2ab2 
f x 3B j= 3a2b - 6a3 - 3ab2 
2A - 3B = 9a2b 1 16a3 - ab2
P odem os o rdena r o polinóm io obtido segundo os expoentes decrescentes 
d a va riá ve l a. Logo:
2A — 3B = - 1 6 a 3 + 9a2b - ab2
b) M é to d o p rá tico :
- 5A = — 15a2b + 25a3 - 5ab2
- 2B i • 2a2b - 4a3 - 2ab2 
- 5 A - 2B = 1 13a2b + 21a3 - 7ab2
O rd e n a n d o em re lação à variável a, temos:
3? Exemplo:
Ache o polinómio que adicionado com (5m* 2 + 2m - 1) dá como resultado 
(m2 ® m + 4).
Resolução
Chamando o polinómio procurado de A, temos’
A + (5m2 + 2m | 1 ) = (m2 - m + 4) 
A = (m2 - m + 4) - (5m2 + 2m - 1) 
A = 1m2 - 1m + 4 B 5m2 - 2m + 1 
A 1 - 4 m 2 B|3m + 5
Exercícios de Aplicação da Teoria 
 
1) Dados os polinómios:
calcule A - B.
Resolução
A = -5a3 + 3a2 +~2ã + 4 " 
-B = a3 - 2a2 +■ a n
A - B = - 4a.3 + a2' $ 3a + 4-
2) Dados:
A = 3a2 - 5a3 + 2a + 4 
B = - a 3 + 2a2 H a
M = \ x2y + \ x - 1
N = x2y t : T X + 3
calcule (3M - 2N). 
Resolução CciZciJLto (WiXiJÜjOLKi
JM = J-T^y * j x - *3 I x2y - J =
-2N « - i x2y- 1x -
4 I
3M - 2N * xzy ~ j* ~ 9 -3 - 6* -9
5í
Exercícios Propostos
Êm tÊÊÊÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê Ê im Ê ÊÊ Ê m
98) Reduza os termos semelhantes e ordene o resultado em relação aos expoentes decresceu, 
tes da variável:
a/(a3 + xa) + (2x2 - 4x3) - ( -2 x + xa - x3)
b) (a2 - 2a + t) - (3a - aa + 4) - (7 + 3a - aa)
c) ** x + 4) - X + j + 3^ - (x + 1)
99) Considerando os polinómios:
A = 2x - y Xa |
B = 4x3 - 4 - x2 + A x + 1c. O
calcule:
a) A + B
b) a soma de A com o simétrico de B.
s»'
0
W6
✓
0$w
,05
100) Efetue:
(5c3 - 2ca + 3) - (2c3 - 2c2 + 3)
101) Sendo:
A = xa - 1 
B = 3x + 1 
C = x2 - 4x
calcule:
a) A + B - C
b) A - (B + C)
c) 2A - B + 3C
102) Sabendo-se que:
A = 5m2 + 3mn - n2 
B =_ m S . 2mn + 4n2 
C = -3 m 2 - mn + 2n2
calcule - A + (B - C).
103) Calcule a diferença entre 7ya - 2y + 5 e 7y2 - 3y + 4.
104) Dados: P = 3xa - x - 1, Q = 2 + 2x - x2 e R = - 4x2 + 3x + 1, calcule os polinómios:
a) P - Q
b ) P - (Q + R)
c) R - (P - Q)
d ) { - P - R) - Q
105) Calcule o polinómio que adicionado com 2x2 - x, + 5 dá como resultado x + 4.
calcule:
l ia ) (A + B) - (B 
l b )A -lB -(C
111) Dados os poliní
calcule;
Kg
V .
Ns
106) Ache o polinómio que adicionado com a3 - a2 + a - 1 dá como resultado o po linóm io nulo-
107) Dados:
A = a2b + ab - ab2
B « —■ a2b + ab + ^ ab2
calcule:
a) A - B b) B - A
108) Calcule a soma algébrica:
m m - (1 - x + x2)
109) Reduza os termos semelhantes:
(4x - 3y + 5z - 1) - (y + 3x - 2 + z) - (x - 4y - 1 + 3z)
110) Dados os polinómios:
1 ? caso: Multiplicação de monómio por polinómio
Para multiplicarmos um monómio por um polinómio, multiplicamos o monó­
mio por todos os termos do polinómio, observando a regra de sinais.
Exemplo:
Efetue: 2x2(3x3 - x2 + 5x - 1)
Resolução
2x2í3x3 - x2 + 5x - 1) = 6x5 - 2x4 + 10x3 - 2x2
A = 2a - 3b + c + 4 
B ,=̂ 3a,¡¡,+.- b - 5c - 1 
C = ’, a - b + c - 3 
D = 4a + 2b - c + 2
calcule:
a) (A + B) - (B - C + D)
b) A - [B - (C + D)]
111) Dados os polinómios:
A = - y x2yz + 3xy*z2 - 5 
B = -J-xy4z2 + x2yz +. 1''
calcule: (2A - 3) - (B + 1). + (B - A)
Multiplicação
Multiplicamos 2x2 por todos os ter- 
Lembrete: mos do polinómio dentro dos pa­
rênteses.
2? caso: Multiplicação de polinómio por polinómio 
1? Exemplo:
Efetue: (x - y + z)(a + b)
Resolução
Considerando o primeiro polinómio como um único número, e utilizando a pro- 
prledadedistributiva, podemos escrever:
(x y y ^ ^ z X a ^ ^ b ) = (x - y + z)a + (x I y + z)b
Assim, chegamos ao caso da multiplicação de um monómio por um polinó­
mio. Aplicando novamente a propriedade distributiva, temos:
(x - y + z)a + (x H y + z)b = (xa - ya + za) + (xb E yb -f zb)
= xa — ya + za + x b l j l l | yb + zb
Observe que o produto de dois polinómios é também um polinómio, cujos ter­
mos são obtidos multiplicando cada termo do primeiro polinómio por todos os 
termos do segundo polinómio, isto é:
yb + za + zb
2? Exemplo:
Efetue: (5x + 3)(2x - 1)
Resolução
Há duas formas de resolvermos esse tipo de exercício:
1 ?) Multiplicamos diretamente cada termo do primeiro polinómio por todos os ter­
mos do segundo, reduzindo, em seguida, os termos semelhantes.
(5x + 3)(2xH 1) = 10x2i - 5x + 6x - 3 
= 10x2 + x B E
2?) Primeiramente, ordenamos os dois polinómios em relação à mesma variável 
e colocamos um embaixo do outro.
5x + 3 
2x - 1
A seguir, multiplicamos o termo de maior expoente do polinómio de baixo por 
todos os termos do polinómio de cima.
10x2 + 6x
54
I
Depois, multiplicamos também o outro termo ( -1 ) do polinómio de baixo por 
todos os termos do polinómio de cima, ordenando os termos semelhantes um 
embaixo do outro.
_ £ s !
10x2 + 6x
- 5x ^ 3
>r
3 mm I
■ m
l 0 , CuJ‘ostef. 
> 0 r todos«
)
odos os ter­
es.
Por último, somamos os termos semelhantes, obtendo o produto pedido.
5x + 3 
2x - 1 
10x2 + 6x
10x2 + x - 3
Logo: (5x + 3)(2x - 1) = 10x2 + x B 3
3? Exemplo:
Dados:
A = 5a3 - 3a2 + 2a - 1 
B = 2a2 - 4a + 6
calcule A * B 
Resolução
Utilizando o método prático, temos:
5a31 3a2 + 2a + 1
2à21è 4a +y6>yJ 
10a5 - 6a4 + 4a3 + 2a2
*-2 0 a 4 + 12a3 9 8a2 - 4a
___________ 30a3 3 1 8 a 2 + 12a
10a5 -2 6 a 4 + 46a3 - 24a2 + 8a
Lembrete:
Multiplicamos cada termo de A por 
todos os termos de B, começando 
pelos termos de maior expoente e 
e colocando termo semelhante em- 
— —- baixo de termo semelhante.
+ 6 ..... - . ... _ , i -m m
4? Exemplo:
Calcule: (2x + 1)(x, - 3)(x + 2)
Resolução
(2x + 1)(x - 3)(x + 2) = (2x2 - 6x + x E 3)(x + 2)
= (2x2 - 5x - 3)(x + 2)
= 2x3 + 4x2 - 5x29 .-1'Óx “ 3 x H 6 
= 2x3 - x2 - ;1 3 x i 6
Lembrete:
Devemos multiplicar, em primeiro 
lugar, os dois primeiros polinómios 
e, por último, multiplicar o resulta­
do pelo terceiro polinómio.
55
Exercícios de AplicaçãojteJeorja
1) Efetue:
a) 3a2(a2 - 2a + 1) = 3a" - 6a3 
à)(x3 - 2x2 + x - 3)2x I 2 x \ -
+ 3a2 
4x3 + 2x2 6x
2) Efetue: (2a - b + 3c)(m - n) 
Resolução
(2a - b 3cf‘ *|m - ia) 1 2am ~ bm + bn + 3cm.- 3cn
3) Calcule:
a) (3a + 4)(5a - 2)
b ) {3y2 + 2y - 1 )( -y 2 + 3y + 2) 
Resolução
a) 3a * 4 
; 5a - 2 " ;
15a2 + 20a 
* > -6a - 8
15a2 + 14a - %
$ 3 y2 + 2 y - 1
-y2 +' 3y + 2 ~ ' jjM
-3y" 2y* + y2
+$$ + '¿lí2 - 3 ^ 8
+ 4j/,r
-3V“ + 13yf, + £/ - 2
Exercícios Propostos
112) Efetue:
aj 3a2(2a3 - a2 + 3a - 1) 
b) 5x(x2 - x + 1) *
113) Acne o produto;
a ) ( - m 2 - 3m + 1 )(-m 2)
b ) (2 + 3ab r a2)(-2 a b 2)
114) Efetue as multiplicações
a>m(m2 - m - 1) + 2m2(m - 3)
b) (x3 - x + 2)4x - x (x2 - 1)
c) a(b + c - d) + b(-a + c + d) -
, c/ab2(ab + a2b2 - 3ab2)
d) { t - 3y - 2)4y
semelhantes:
56
c(+a .
■ B £ 9 b I
c) (2a2 + a)(a - p j)
115) Efetue as multiplicações:
a) (2x + 5)(x - 1)
b) (3a - 1)(5a + 2)
116) Efetue, reduza os termos semelhantes e ache o polinómio A, sendo:
A = 2x(4x - 1) + (x + 2)(x^— 5)
117) Simplifique:
(a + 3)(2a - 1). (3a + 1)(a - 2)
118) Calcule:
(x + 1)(x - 6) - (2x + 3 ) ( x 1)
119) Efetue as multiplicações:
a) (2x3 - x2 + x ¡¡¡1)(2x + 1)
b) (m4 - 2m3 4- ^ ^ - 1)(m + 3)
c) (m3 - 1)(m2 + m + 1)
120) Ache os produtos:
a) (x - y)(x - y H l ) ' * " V , ' ' b) (a2 - 2a + 3)(a2 - a + 1)
121) Simplifique a expressão:
(m - n)(m + n) - m(m - n)
122) Calcule (2a - 1)2.,faça: (2a - 1)2 = (2a - 1)(2a - 1)
123) Calcule: (y2 - 2 y .+ 1)2
124) Dados os polinômjoS A = 3a2 - 2a + 1 e B = a2 - a + 2, calcule: A • B
125) Ache M, sendo: M = (x - 1)2 + 3(x + 2)(x + 3)
126) Efetue as mgtôplicações:
a ) (x + 1)(x + 2)(x + 3) b) (2a - 1)(3a + 2)(a - 3)
127) Dados os polinómios A = y - 1, B = 2y + 3 e C = y + 2, calcule:
a; (A + b )(a - b) *• ’ ~ c >3
b) A2 + 2BC
128) Efetue a multiplicação (a2 J B - 3a)(2 a) e dê a resposta ordenada segundo os expoen­
tes decrescentes de a.
129) Ache o valor da expressão: Ax + (B - C)x2 para A = x2 + 1, B = x2 - 1, C = x2 + 1.
130) Calcule: I 1
• x(x - y)(x2 + xy + y2)
131) Ache o produto: (x + y)(x + m ^ J l J ^ H
132) Sabendo-se que: A 2, (a« . 2)(a= - 2a + 1)
B = (2a2 + a - 1)(a + 1)
b) B H a
calcule: 
a; A + B
57
133) Efetue a multiplicação:
(a4 + a2b2 + b4)(a4 -- a2b2 H
134) Simplifique as expressões:
135) Simplifique a expressão:
136) Calcule o produto em cada caso:
137) Sabendo que A = 2x + 1, B = ij&- 3x2, C = 2x2 calcule, apresentando o resultado 
ordenado segundo as potências decrescentes de x do polinómio:
138) Sendo A = x2 + 2x + 3, B = 3x2 - 2x + 1, C = x2 - 2x - 3 calcule:
a) (A + B)2 - (B - C)2
b ) (A + B)(A-4C)
c) (A + B - 2C)2
139) Efetue:
a) (x4 +. x3 + x2 + x + 1)(x - 1)
b) (P §q)(p3 + p4q + p3q2 + p2q3Hpq4 + qs)
140) Calcule o produto e reduza os termos semelhantes:
1 ? caso: Divisão de polinómio por monómio
Para dividirmos um polinómio por um monómio, dividimos cada termo do po­
linómio pelo monómio divisor, observando a regra de sinais.
1 ? Exemplo:
Efetue: (12x3 - 8x2 + 6x) : 2x 
Resolução
(12x3 M 8x2 + 6 x ) : 2x = 12x3 : 2x - 8x2 : 2x + 6x : 2x
A • B - 4A2
141) Ache o produto:
(X 4;i y)(X2 + y2)(X4 + y4)(X - y)(X8 + y8)
Divisão
= 6x2 4x + 3
Dividimos cada termo do polinómio 
pelo monómio divisor. I
58
Lembrete:
2 o. Exemplo:
Ache o quociente de: 16à2b + 4ab3 - 2a2b2 2ab
Resolução
16a2b + 4ab3 - 2a2b2 16a2b 4ab3 2a2b2
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Complete com o quociente:
a/(10m3 - 4m2 + 6m) : 2m S 5m2 - 2m + 3
b) (14a4b4 H 21a2b3 + 7ab) : 7ab = 2a3òâ - 3ab2 | 1
c) (x5y5 - | x4y4 + x3y3 - x2y2 + xy) : xy = " x;3̂ 3 +
Sabcpr 6a2b2¿̂ + g3b3;c3 ^ Sabe. _ 6a2b2c2 + a3b3̂
2ab 2ab + 2ab 2ab 
= 8a + 2b2 - ab
abc abc abc abc
S - 6abc + a |b 2e2.
Exercícios ---—
142) Efetue as divisões:
143) Ache os quocientes:
g j 5x*y - 10xv2 + 6xy 
' 2xy
e reduza os termos semelhantes da expressão: 
2SX-Y - m i -_ .5(x - y)
144) Efetue as operações iiindicadas e
xy
59
145) Ache o quociente da divisão:
(mn2p3- m2np2) : (-m np2)
146) Calcule o quociente da divisão:
10a2b2 - 3a“b3 + ÿ a3b2
147) Efetue a divisão:
+ y a3b2c2 - y a2b4c2 - 4 r a2b2c
148) Efetue a divisão:
4a2(2a2b - 4ab2) : 8a2b2
149) Calcule o quociente:
[(2x + y)(2x + y) - y2] : [(x + 1)(x + 1) - (x2 + : '1)J
150) Simplifique a expressão:
([a(a - 2b)]2 - 4ab(ab)j : a2 + 4ab
2? caso: Divisão de polinómio por polinómio
Dividir um polinómio A por um outro polinómio B é encontrar dois polinómios 
Q e R, chamados quociente e resto, respectivamente, que Satisfaçam a igualdade:
A divisão de A por B termina quando o grau do resto R for menor que o grau 
do divisor B.
Quando A é divisível por B ou B é divisor de A, diz-se que a divisão é exata, 
isto é, R = 0.
1? Exemplo:
Efetue a divisão: (6x3| | | 5x2 + 3x 10) : (2 x B 1)
Resolução
Utilizando um dispositivo prático (método da chave), primeiramente ordena­
mos os polinómios dividendo e divisor segundo os expoentes decrescentes da
A seguir, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divi­
sor, obtendo o primeiro termo do quociente.
A \_B_ ■ => A = B Q + R
R Q
A I_B_ Ê M A = B Q
0 Q
variável.
6x3 ^ 5x2 + 3x - 10 12x — 1
6x’ Ü 5x2 * 3x - 10 |2X t; :1 
3x2
Lembrete: 6x3 : 2x = 3x2
60
Depois, multiplicamos o quociente obtido por todos os termos do divisor.'O 
oposto dos resultados encontrados nessa multiplicação é adicionado ao dividen­
do, obtendo-se o primeiro resto parcial.
6x3B 5x2 + 3 x H 10 l2x B i
- 6x3 I 3x2____________3x2M B 2x2 + 3x - TcT
resto parcial
Lembrete: 3x2 2x = 6x3 ’ 3x2 • -1 = -3 x 2
finômios
Jaldade:
o grau 
exata,
je n *
divi'
I È
Para continuarmos a divisão, dividimos o 1? termo do resto obtido pelo 1? 
termo do divisor, obtendo o 2? termo do quociente.
6x3B 5x2 + 3x - 10 12x H 1 Lembrete:
B 6x3 + 3x2 3x2 B x
- 2x2 + 3 x g 10
A partir desse ponto, o método se repete até se obter um resto de grau menor 
do que o grau do divisor, significando que a divisão está terminada.
Repetindo o processo anterior, multiplicamos o 2? termo do quociente por to­
dos os termos do divisor. O oposto desses produtos é adicionado ao resto parcial.
J& x^- 5x2 + 3x - 10 |2x - 1
+ 3x2 _______ I 3x2 - x Lembrete:
- J2x*+"3xl?g 10
+ 2x̂ -B x____
■ M B H 2x 10
-X • 2x =mi- 2x2 
- X - 1 = X-
— 2X2 : 2x = - X
Dividimos o 1 ? termo do resto obtido pelo 1 ? termo do divisor, obtendo o 3? 
termo do quociente.
+ 5x2 + 3x - 10 l2 x B 1
+ 3x2______, 3x2M X + 1
h~~ ß t f + 3x B l 0
- X , -
2x B 1 0
Lembrete: 2x : 2x = 1
Esse 3? termo é então multiplicado por todos os termos do divisor, obtendo- 
um novo resto.
^ ¿ § 5 x 2 + 3x B l 0 12x — 1
3x2____________ ,3x2 - X + 1,
+ 3x - 10 H L„
+ ß x t' B , X _____I
i o
2 í C Í 1 
- 9
I
quociente
resto (grau zero)
61
0 resto obtido tem grau menor do que o grau do divisor. Logo, a divisão e$t£ 
encerrada.
Os resultados são:
quociente: Q = 3x2 - x + 1 
resto: R = - 9
2? Exemplo:
Dados: A = x* + 1 e B = x2 - 3, calcule A : B.
Resolução
Para utilizarmos o método prático, devemos escrever o polinómio dividendo 
ordenado segundo expoentes decrescentes da variável, completando com zero 
os coeficientes dos termos que não aparecem no polinómio.
x* + Ox4 + Ox3 + Ox2 + Ox + 1 |x2 - 3
______ + 3x3 x3 + 3x
+ Ox2 + Ox + 1 
- + 9x
9x + 1
Note que a divisão está terminada porque o grau do resto (grau 1) é menor 
do que o grau do divisor (grau 2), logo:
quociente: Q ¡ f ix 3 + 3x 
resto : R = 9x + 1
3 ? Exemplo:
Dados: A = x3 - 2x2 - 5x + 6 e B = x - 3, ache o quociente e o resto 
da divisão de A por B.
Resolução
Utilizando o método prático, temos:
j r - 2x2 - 5x + 6
+ 3x2_________ x2 + x - 2
- 5x + 6 
- 3x
- 2x + 6
+ 2x - 6 Lembrete: Se o resto é igual a zero, a divisão 
é exata. Logo, A é divisível por B.
62
quociente: Q = x2 + v H p 
resto: R = 0 ■
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Ache o quociente e o resto das divisões:
a) 4a3 2a2 + 5a>- 6 la - 1
-4a3 + 4a2 4a.2 + 2a■+ 1
2a2 + 5a - 6 
-2a2 + 2a
7a - 6 
-7a + ; 7
H H
Logo : 4a2 + 2a + 7
R =■ T : \
b) (x5 + 3x2 - 6x + 8) : (x + 2)
7x5 + , 0x_.'+ 0x v3x2 - y¿x + 8:\ x + l
Z x f 1 X?-^?x ^ + ‘ 4Í?^- ’'5x + 4
L2x^:+ c? 3x2/ - 6x ^ H
n2 x 4 + 4x3'^
menor H H $ ^
-4x3 - Sx!2̂ "
- Ú z ^ - ::6k +
5x2 + 10x
4x +: 8 
-4 x - g 
0
resto
Logo: Q. = x* - 2x3 + 4xi /V;l5x +4 
R 1 0
151) Efetue a divisão:
Exercícios Propostos
(x3 - 8x2 + 3x + 4) : (x - 1)
152) Ache o quociente e o resto da divisão de 4x4 + 14x3 - 4x2B 20x + 9 por 
2x + 3.
153) Ache o resto da divisão do polinómio P = 2x4 - 3x + 1 por A = 2x - 1.
63
1 5 4 ) Ver¡fique
155) Dados o po,nomi° 2x3 + 5x! - 19x + 2 é divisível por x H j1 5 5 ) Dan X ~ 19x + 2 é divis(vel por x I 2
A ■ 2x» - ex + I B ■ 1 C I x I I 
a ^ivisao: (A + B) • C ’ 1* Ca,cult,0
■ qü0c%Ache o resto rio j - » -
^ ivisao de A = x3 + 4x + 5 pelo binômio B = x - i '
) Ache o quociente e o resto da divisão:
A ) r io /*% .
'e o ,
a) de (2x3 - va * v
b) de 4Xs i í v,~ i B (x - 1)- 5x* i 1} por (x _ ^
158) Divida:
W x< ^ 5x + 4 por x2 + x I 
'x 5x + 4 por X2 _ 3x + 2
159) Efetue a divisão:
2a3 ¡1 a2 + a
a2 + 1
1 6 0 ) Efetue a divisão de M = y3 - 1 por N = y2 + 1.
1 6 1 ) Determ ine o quociente de A = k4 + k3B 7k + 9k - 1 por B = k2 + 3k - 2.
1 6 2 ) Dados os polinómios F = 3x3 H 2 x 2 +5, G = x3 - 2x - 1, H = x + 1, determine! 
o polinómio P, tal que: P = (F H 3G ) : H
163) Dados os polinómios A = m 4 - 5m 2 + 4, B = m 2B m - 2, ca lcu le o quociente e o 
resto de A : B.
164) E fetue a divisão do polinómio A = a4 + a3 | a | | 1 por B - (a + 1)(a 1).
1 6 5) Calcule o quociente da divisão de A = (x3 + 2x3 - 13x + 10) por B ^ (x - W - * j
1 6 6 ) A che o quociente e o resto de:
x6 + 3x3 - 2x - 1 
x - 2
167) Efetue:
4a5 - 4a2 B 4a + T 
2a2 + a + 1
168) Efetue a s d iv is o
a ) ( * i M (X abx - ab3 - b3) : (x - a - b)
a x '
.onte e o resto da divisão:
169) Ache Yx3 + x3 - i x + 2 ) : ( 2 x - D
1 7 0 )
pete r r n in e
quociente e o resto da divisão:
(2a2 _ 3a + 1) : (3a + 2)
W " . i
< >
f e
SubstiW
iílC
Eliminan*
Exercício d
Oquoclei
fespectivami
fies oluç 
, k \ i ■
I I
fiftsPosta
^Stç
M s *
ê sí
1?3)Sai
'¡ai
6 4
4? Exemplo:
Um aluno dividiu um polinómio A por um polinómio B = x2 ■% 2x + 1, 
e achou como quociente o polinómio Q = x - 4 e como resto o polinómio 
R = 2x + 3. Determine o polinómio A.
Resolução
Através do método prático, temos:
A [ B _
D
A = Q B + R © :
R Q
Substituindo os polinómios em Q), vem:
A = (x - 4)(x2 + 2x + 1) + (2x + 3)
Eliminando os parênteses, obtemos:
A = x3 + 2x2 + x - 4x2 - 8x - 4 + 2x + 3 
A = x3 - 2x2 - 5x - 1
Exercício de Aplicação da Teoria
O quociente e o resto da divisão de um polinómio A por B = x2 - x + 4 são, 
respectivamente, iguais a Q - x - 2 e R = 2x + 3. Calcule o polinomio A.
Resolução
A I B A = B • K 
r d A f? U 2 + 4) !(x - * j2 x
A = x3 2xy - x2 + 4x;, g + 2xf +,3 /
a B B 1 3 x |~ t - foi m m
Resposta: ...fí. ................
Exercícios Propostos
171) Dividindo-se um polinómio A por B = x2 - 3x + 1, obtém-se quociente Q = x + 1 e 
resto R = 2x + 1. Ache o polinómio A.
172) Sabendo-se que, numa divisão de polinómios, o divisor é X = 2a2 - a + 1, o quociente 
é Y = 4a - 3 e o resto é M = a + 1; calcule o dividendo.
173) Sabendo-se que o polinómio A é divisível por B = m + 3 e o quociente é Q = 4m - 1, 
calcule A.
65
Produtos Notáveis
1. Introdução
Nas operações com os polinómios, vamos encontrar alguns produtos bem ca­
racterísticos, de uso muito freqüente no cálculo algébrico, aos quais denomina­
mos produtos notáveis.
Estudaremos, nesta unidade, cada um desses produtos separadamente.
y +
• P
A
tf X 
tf X
tf >
2. Quadrado da Soma de dois termos
Consideremos o exemplo:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
'•4.“ = a2 + ab + ba + b2
1 ? termo = a2 + ab + ab + b2
> = a2 + 2ab + b2
2? termo
quadrado do 1? termo - f : 
mais duas vezes o 1? multiplicado pelo 2? — 
quadrado do 2? termo
R egra :
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos 
é igual ao quadrado dò 1? termo, 
mais o dobro do 1 ? multiplicado pe­
lo 2?, mais o quadrado do 2? termo.
Exercícios de Aplicação da Teoria 
1) Desenvolva os quadrados, aplicando a regra:
R R + R I 1 1 -V i.v -
i+ i) i = a|
í + a)1 =
1 .Nx + x1
Efetue& ciivií
1
Resolução
a) (3a + 1)2 = (3a)2 + 2 • (3a) • 1 + (1)2 
= 9a2 + 6a + 1
b) (x + 5)2 = x2 + 2 • x • 5 + 52 
= x2 + 10x + 25
2) Calcule: (x + y + z)2 
Resolução Agrupando os termos x e y, trans­
formamos o exercício no produto 
notável estudado, pu seja, -num 
quadrado da soma de dóis termos.
Lembrete:
(X + y + z)2 = [(x + y) + z]2
= (X + y)2 + 2(x + y)z + z2
= x2 + 2xy + y2 + 2z(x + y) + z2 
= x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2 
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
3) Desenvolva:
a; (a + 1)2 = a2 + ¿ - ^ 5 1 + 72 =? a2 + 2cl ̂ ~1 - 
b) (a2 + a)2 = (a2) 2 + 2 • a2 * a +̂ cl2 = a1* + 2a3 + a2
4) Efetue a divisão: (2x2 + x)2 : (x + 1)2
Resolução Vtee.nvó¿v&nda ó¿ quad/iado* > obtrncò: •
(2x2 + x )2 .= (2x2).2'> 2 • 2x2 • x I X2 4x4; + 4x3.+ .x? 
É (x + J ) 2 = x2 + 2 • ' x • 7 + ¡72 = 'X2 + 2x + 1 
U tü b iz a n d o p meáodo p r a t ic o , tem o* „
4xu 1 4x3 •+ x2 + Ox + 0 | x2 + 2x + .1 
-4x** - *x3 ̂ 4x2 • ' 4x2>- 4fc + 5 '
-4x3 - 3x2 + Ox + 0 
+4x3 + Sx2 + 4x
I -g -x + x:/ № 2 x Sm
5x2 + 4x + 0 
-5x2 - 10x ~ 5
-óx - 5
Q. * 4x2 - 4x + 5 
R = -fx - 5
6 7
Exercícios Propostos
174) Calcule:
a)(a + 2)2 c) (2a + 3b)2
b) (3y + 4)2 d) (x2 + 3)2
175) Desenvolva os quadrados:
176) Simplifique:
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 - (a2 + b2 + c2) 
(a + b + c)2
3. Quadrado da Diferença de dois Termos
C o n s id e re m o s o exemplo:
(a - b)2 = (a B b) (a - b)
i
1? termo
= a2 - ab - ba + b2 
= a2 f |a b - ab + b2 
= a § « 2 a b + b2
2? termo
quadrado do 1? termo — 
m en o s duas vezes o 1? multiplicado pelo 2 | 3 H
quadrado do 2? te rm o-------
Regra:
(a - b )2■■= a2 - 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois ter­
mos é igual ao quadrado do 1?, me­
nos o dobro do 1? multiplicado pelo 
2?, mais o quadrado do 2? termo.
ç vorrír io s de Aplicação da Teoria
1) Calcule:
a) (x - 2)2
b) (4 a J t ) '
c)(5ab - 1)2
68
Resolução
a) (x - 2)2 = x2 - 2 • x • 2 + 22
= x2 - 4x + 4
b) ( 4a - ~ J = (4a)2 - '2 ■ 4a ( 0
= 16a2 - 4a + 4 "4
c) (5ab - 1)2 = (5ab)2 - 2 • 5ab • 1 + (1)2
! 25a2b2 - 10ab + 1
2) Desenvolva:
a) (a S 1)2 = <*2 - 2 ' a * j + J2 | | a 2 .,-'24 + 1
b) (sa 1 - 0 = ‘ 3a "1 * { ‘ 9a'
c) (5x2 - x)2 = (5 x 2) 2 - 2 2 5x2 •. x +^> = 25x«<
3) Simplifique a expressão:
(x + y)2 (x — y)2
Resolução
B B y)Wm ix ” 'y&
x2 ' y2
I™ H
Exercícios Propostos
177) Calcule:
a ) (a - 4)2
b) (3a - 1)2
178) Calcule:
b) (3x2 - 2yY
c ) (a2 - b2)2
c) (5x2 - 2)2
d) (3ab - a)2
179) Calcule: c K - 5a2 + b)2
a) (1 - 4b)2
b) (2 - l - " 1) ’
180) Desenvolva: B B " v x lp
/ a 1V cH ‘2 y 3.;,-
a; S
® i ( t - 2) ‘ 69
181) Simplifique:
a) (x + 1)2 S ( x - 1)2
b) 2x(x - 1)2 — 3x(x + 4)2
182) Dados: P « (2x + 1)2 e Q = (x ||| 2)2, calcule P • Q-
183) Calcule: (x - xy)2
184) Calcule: ( — • -
185) Simplifique:
f f (a + 3)2 - (a2 - a + 1)2 
b) (a b + 2)2 + (a + b - 1)2
186) Desenvolva e reduza os termos semelhantes:
(x2 + x - 1)2 - (x2 - 2x + 2)2
187) Simplifique a expressão:
—
188) Sendo A = (x - y)2, B = (x + 2y)2, C = (2x - y)2, calcule:
a) A + B + C
b) A - ( B i C)
4. Produto da Soma pela Diferença de dois Termos
C onsiderem os o exemplo:
(a + b) (a - b) = a2 g a b + ba - b2
soma diferença = 32 ~ + & & ~
1 a2 - b2
quadrado do 1 ? termo —f
quadrado do 2? termo-EH
Regra:
(a + b ) • (a - b ) = a2 - b 2
O produto da soma pela diferença de 
dois termos é igual ao quadrado do 
1? termo menos o quadrado do 2? 
termo.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) E fetue as multiplicações:
a) (a + 3) (a - 3)
b) (5x + 1) (5x g 1)
c) (x2 - ab) (x2 + ab)
Resolução
a) (a + 3) (a - 3) = a* - 32 = a2 - 9
b) (5x + 1) (5x - l i ) = (5x)2 - 12 = 25x2 - 1
c) (x2 + ab) (x2 l ! a b ) = (x2)2 - (ab)2 = x4 - a2b2
2) Efetue as multiplicações:
a ) (x + 1)(x - 9 p ) x 2 - 1 *y x2 - 1,
b ) (3a + 2) (3a V 2 ) = = 9(7 2 ' 4 "
c) (m4 In p ) (m4 + np) = (m1*)2 - [np)z - nz p2
3) Efetue: (x - y + 2) (x }- y - 2)
Resolução
( x " y + Z) { ' * - y '2)} = já
vV'2,"p. t 4
Exercícios Propostos
189) Efetue as multiplicações:
a ) (x + 5) (x - 5)
b) (2a + i ) (2a — 1)
190) Calcule: | - x 2 - (~l~ ** + 2 )
191) Ache o produto em cada caso:
192) Efetue a multiplicação: ’
c) (m2 + 3) (m2 - 3)
d) (7 -,;k) (7 + k)
c> (i -2a) (i+ 2a)
B M M b I
193) Efetue a multiplicação:
(a2 + ab) (a2 - ab)
(9a2 + 1) (3a - 1) (3a + 1)
194) Ache o produto:
a; (2p + - | ) ( 2p - y ) •
195) Calcule o produto: ( - 2 - x ) ( - 2 + x)
196) Efetue a multiplicação e reduza os termos semelhantes:
(a - 1) (a + 1) - (2a + 3) (2a - 3)
197) Calcule o produto: (a + b + 7) (a + b - 7)
198) Calcule: (2x - 1)2 + (x + 2) (x - 2)
199) Efetue a multiplicação e ordene o resultado segundo os expoentes decrescentes
1 (a - 2)J - (3a - 1) (3a + 1)
200) Calcule o produto:
[(a - b) + ^ y ab + 2a^j | ( a - b) - ( y ab + '2a) J
5. Cubo da Soma de dois Termos
Consideremos o exemplo:
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 
= a3 + 2a2b + a2b + 2ab2 + ab2 + b3 
= a3 H 3a2b + 3ab2 + b3
Regra:
(a + b)2 = a3 + 3ab + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos é 
igual ao cubo do 1? termo, mais o 
triplo do quadrado do 1? multiplica­
do pelo 2?, mais o triplo do 1 ? mul­
tiplicado pelo quadrado do 2?, mais 
o cubo do 2? termo.
6. Cubo da Diferença de dois Termos
Consideremos o exemplo:
(a - b)3 = (a - b) (a - b)2
= (a - b) (a2 - 2ab + b2)
= a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 B b3 
= a3 - 2a2b - a2b + 2ab2 + ab2 - b3 
I a3 ¡ Í3 a 2b + 3ab2 - b3
Regra:
(a - b)3 = a3 - 3a b + 3ab2 - b3
O cubo da diferença de dois tetmos 
é igual ao cubo do 1? termo, menos 
o triplo do quadrado do 1 ? multipli­
cado pelo 2?, mais o triplo do i? 
multiplicado pelo quadrado do 2?, 
menos o cubo do 2? termo.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Calcule:
a) (x + 2)3
b) ( 2a + 1)3
Resolução
a) (x + 2)3 = x3 + 3 • x2 • 2 + 3 • x • 22 + 23
= x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (2a + 1)3 = (2a)3 + 3 (2a)2 • 1 + 3 • 2a • 12 + 1%
= 8a3 + 12a2 + 6a + 1
2) Calcule:
a) (x E 2)3
b ) (2 a l i ) 3
Resolução
a) ( x E 2)3 = x3 - 3 • x2 • 2 + 3 • x • 22 - 23
= x3 - 6x2 + 12x - 8
b) (2a - 1jà = (2a)3 - 3 • (2a)2 • 1 + 3 • 2a • 12 4 13
s 8a3 - 12a2 + 6a - 1
a) (x + 3)3 = x 3, + tkf ' l :*S3ï:x •: 3 * J Í 3 3/;= X3 9 x 2 + 27x + 27 ;
b) (2a - 2)3 = ( Zà.)3 - # M i - 2 3 = Sal - 24dzj^ 24a
I / x x
■ M t ) ' ü * H H • $
X*3
I H
B B
n
i Dados os polinómios A = 2x + 3 e B - x - 4, calcule y, tal que
y = A3 — B3
Resolução w k 'A 3 y B3 = i l 2x- f l 3 | § - / ! x " - ;
v i;,y s . [Sx 3 +; 36X2. + 54 x + 27) Í J X 3 m 2 + 4$x " 64)
Sx3 + 36x2 + 54x + 27 - X3 1 2 x 2 - 4Sx + 64
m m 7 x 3 ± 4,$ X2 + 6 x + 91 N
■
Exercícios Propostos
201) Desenvolva:
a ) (x + 1)3
b) (3a + 2)3
c ) (2m + 3)3
d) (c +■ 4)3
m
202) Calcule:
203) Efetue, reduza os termos semelhantes e ordene o resultado segundo os expoent
centes da variável:
204) Desenvolva: 
a) (a - 3)3
1 de
(2x + 1)3 - (x + 3)3
c) (m - í
d) (1 - b)3b) (2x - 2)3
205) Calcule: 
a) (x — xy)3
206) Qual o polinómio que se deve subtrair de (x + 2)3 para se obter (x - 1)3?
207) Desenvolva: (1 - 3m)3
208 ) A che o valor da expressão:
x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 para x ^ a + 1 e y = a - 1
7 . O utros Produtos Notáveis
Soma de dois Cubos
Consideremos a divisão:
a3 + Oa2 + Oa + b3 I a + b
- a3 m ba2 ab + b2
ba2 + Oa + b3 
ba2 + b2a
t)2a + b3 
- b2a - b3
Observando essa divisão, podemos escrever a soma a3 + b3 na seguinte for 
m a de produto:
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
Diferença de dois Cubos
Consideremos a divisão:
a3 + Oa2 + Oa - b3 I a - b
- a3 + ba2 a2 + ab + b2
ba2 + Oa - b3 
E ba2 + b2a
b2a - b3 
b2a + b3
74
Da mesma forma, podemos escrever;
a3 - b - fg t ) (a* - ab + b2)
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Coloque na forma de produto; 8x3 + 27y3 
Resolução
8x3 + 27y3 = (2x)3 •+ (3y)3
= (2x + 3y) [(2x)2 - 2x • 3y + (3y)2] 
= (2x + 3y) [4x2 - 6xy + 9y2]
2) Transforme em produto a expressão: a3 - 8b3 
Resolução
a3 8b3 = (a)3 - (2b)3
- (a - 2b) [(a)2 + a • 2b + (2b)2]
= (a - 2b) [a2 + 2ab + 4b2]
3) Coloque na forma de produto:
a) 64a3 + b3 b ) ~ - 125
Resoluçãoa) 64a3 .* Wa)3 g Lb) 3" , gH
= (4a! + b) «[(.4a)2 =■ 4a • b * .b .j
S i + b) 4ab + fa23 ■■
m m m m f l i 5 + 5I
■ m w ff luExercícios Propostos
209) Transforme os polinómios em um produto:
a) 64a3 + 125b3
b) y3 + 1
c) m6 - m3
d) a6 - 1
210) Transforme em produto:
a) a3 - 8
b) a3b3 + a6b6
c) -£-x3 - 2̂7" y3
211) Decomponha o polinómio em um produto:
d ) ^ ~ a9 + b9
(a - 1)3 - (2 - a)3
75
Fatoração
1. Introdução
Consideremos a multiplicação:
(X - 5)(x + 4) = X2 + 4x l# 5 x - 20
Substituindo, por exemplo, x por 2 nas expressões à esquerda e à direita do 
sinal da igualdade, obtemos:
(2 — 5)(2 + 4) = 22 + 4 • 2 - 5 • 2 - 20 
( — 3)(6) = 4 + 8 - 1 0 - 2 0 
-1 8 = -1 8
Se repetirmos essa substituição da letra x por qualquer número, podemos ve­
rificar que os resultados das duas expressões são sempre iguais.
Isso nos permite concluir que não existem duas expressões