Aula 1 a 10

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Aula 1: Isostática
Apresentação
A análise estrutural é a fase do projeto na qual é feita a idealização do comportamento da estrutura. Nesta aula, apresentaremos o método de análise para calcular as deformações em estruturas isostáticas.
Reconheceremos o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos Trabalhos Virtuais, por meio de suas duas formulações — Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais. O objetivo é dar subsídios para os Métodos das Forças e o Método dos Deslocamentos. A capacidade de uma estrutura de resistir às solicitações que lhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura quando o carregamento for excessivo. É necessário reconhecer esta capacidade para que se projete com segurança.
Objetivos
· Aplicar o princípio dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos;
· Reconhecer o Método da Carga Unitária.
Resistência dos materiais — Relembrando alguns conceitos básicos
Este item é para relembrar o conceito de deformação1 estudado em Resistência dos Materiais, como pode ser visto nas Figuras 1 e 2.
Figura 1 — Viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q em toda a viga.
Figura 2 — Deformação da viga após aplicação da carga distribuída q.
A tendência da estrutura de voltar à forma original devido à carga representa a elasticidade do material (da estrutura). Quanto mais uma estrutura tende a voltar à sua forma original, mais elástico é seu material.
Toda a estrutura sofre uma deformação, mesmo que imperceptível. A maior parte da deformação é provocada pela flexão (Momento Fletor). A deformação pode ser de dois tipos, vejamos.
Deformação elástica
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, ela se deforma, mudando a posição de seu eixo. A forma que a viga toma é descrita pela sua elástica e pelas suas deformações.
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta à sua forma original, conforme pode ser visto na Figura 4.
Figura 4 — Deformação elástica. Após a retirada da carga distribuída a viga volta à forma inicial.
Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica. A flexão pura, sim. Logo, é o momento fletor que causa a deforma na estrutura.
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo:
• uma deflexão (u) e
• uma rotação (q).
As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de Resistência dos Materiais, logo, temos:
· Deformação devido a uma rotação:
dθdx = ME I𝑑𝜃𝑑𝑥 = 𝑀𝐸 𝐼
(ME×I)ME×I
· Deformação linear:
d2ydx2 = MEI𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑀𝐸𝐼
A maioria dos projetos será tratada no regime elástico do material.
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas
Teorema dos trabalhos virtuais sobre corpos elásticos.
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual.
Comentário
Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças Pi tais que sua resultante R é nula. Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema, ou seja, mantendo R = 0.
Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Então, teremos, este deslocamento δ, dado nestas condições (R = 0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de deslocamento virtual.
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi (reais), que atuam sobre o ponto m, quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale W = δ . R = 0. Dizemos, então, que, ‘para um ponto material em equilíbrio (R = 0), o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo’, o que constitui o princípio de d’Alembert.
SUSSEKIND, v. 2, cap. 1., s/d.
Deformação linear — Principio dos trabalhos virtuais (PTV)
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário, portanto. Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural.
O trabalho virtual pode ser considerado como aquele produzido em uma das duas situações:
· Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual;
· Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real.
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual o provocado por alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão, atuante na estrutura.
Esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada, e o deslocamento calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força.
O PFV utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, completamente independente do sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou uma rotação.
A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à flexão resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos fletores nos sistemas real e virtual.
A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em uma barra.
Método da carga unitária (MCU)
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU).
O MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos 2 (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não linear.
Pelo MCU, considera-se outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao deslocamento provocado ∆.
Tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, δWext = δWintδWext = δWint. O trabalho virtual nesse caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais.
O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento: δ U= P δ U= P  Δ =1 × Δ = ΔΔ =1 × Δ = Δ
Assim: △=∫ext fedu = ∫ext mdθ + ∫extqdλ + ∫exttd∅△=∫ext fedu = ∫ext mdθ + ∫extqdλ + ∫exttd∅
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas anteriormente, na equação geral do MCU acima, tem-se:
△=∫ext fFEAdx + ∫ext mMEIdx + ∫ext fsvVGAdx + ∫ext tTGjd∅△=∫ext fFEAdx + ∫ext mMEIdx + ∫ext fsvVGAdx + ∫ext tTGjd∅
Exemplos de exercícios
O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) e do Método da Carga Unitária (MCU) será explicado detalhadamente por meio do exemplo de exercício a seguir.
Exemplo 1
Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da viga. Figura 5.
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h)
E = 3 x 107 kN/m2
 Figura 5 — Viga Isostática biapoiada de 4 metros de comprimento com carregamento distribuído de 20 kN/m
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga
Como a viga é simples não precisamos determinar as reações de apoio para desenhar o diagrama de momento fletor (a viga é simétrica).
Lembrando-se de que para calcular a deformação por esse método, que é a multiplicação dos momentos fletores, temos que desenhar momentos fletores para o caso real e virtual.
2º Passo: Após achar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento fletor
Sabemos que nos apoios o momento é zero e com uma carga distribuída de 20 kN/m, temos um momento fletor de ql2/8 no meio da viga. Como pode ser visto na Figura 6.
 Figura 6 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema Real M=q l28=20× 428=40 kNm
3º Passo: calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais
Para calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais, na mesma viga (tirando a carga real) colocando uma força (virtual) de valor de P = 1 kN (método da carga unitária), no ponto onde queremos saber a deformação linear(no exemplo será no meio da viga) e desenhar o diagrama de momento fletor da viga (Figura 7)
 Figura 7 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual
M = Pabl= 1 x 2 x 24=1kNmM = Pabl= 1 x 2 x 24=1kNm
4º Passo: Equações da Deformação
Para estruturas compostas por barras retas de inércias constantes, a fórmula da deformação:
δ=∫MM¯¯¯¯EI dx𝛿=∫𝑀𝑀¯𝐸𝐼 𝑑𝑥
Deformação será a combinação dos diagramas de momentos fletores (real e virtual) ao longo do comprimento (x), dividido pelo produto de rigidez à flexão (E I). Obteremos por um simples uso da Tabela de Kurt Beyer, simplificando muito o trabalho numérico dos problemas a solucionar.
5º Passo: Calcular a σσ
δ=∫MM¯¯¯¯EIdx𝛿=∫𝑀𝑀¯𝐸𝐼𝑑𝑥
A multiplicação dos dois momentos fletores, o de carga distribuída com o de carga concentrada, lembrando-se de que os dois momentos são positivos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
13L'1+ ∝βL2MM 13L'1+ ∝βL2MM 
Ao usar a Tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da multiplicação dos dois momentos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
13 L' (1+αβL2)MM¯¯¯13 𝐿′ 1+αβL2𝑀𝑀¯
 Figura 8 — Tabela de Kurt Beyer (4ª coluna com a 10ª linha)
Ao colocarmos a fórmula na integral da deformação, temos:
δ=1EI[13L'(1+αβL2)MM¯¯¯]𝛿=1𝐸𝐼13L′1+αβL2𝑀𝑀¯
Onde:
L' = 4m (comprimento da viga)
a = 2m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual)
b = 2m (comprimento do lado direito da carga pontual)
M = 40kNm
M = 1kNm
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à flexão).
δ=1EI[13x4x(1+2x242)1x40]𝛿=1𝐸𝐼13x4x1+2x2421x40
δ=1EI x 2003𝛿=1EI x 2003
Onde:
I = bh3/12 = 0,0170667m4
E = 3 x 107kN/m2
E I = 512000kNm2
Temos a deformação no meio da viga de:
δ=0,0001302 m↓δ=0,0001302 m↓
O resultado da deformação deu positivo, logo significa dizer que a deformação é para baixo, conforme está aplicada a força de 1kN.
Na Figura 9 temos o resultado da deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia da viga). Observa-se que o resultado deu Dy = -1,302 e-4m.
Figura 9 — Resultado do Programa Ftool. Deformação Dy = -1,302 e-004m
E por fim, na Figura 10 segue a Tabela de Kurt Beyer.
Figura 10 — Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Saiba mais
Esse conhecimento não se esgota por aqui. Para saber mais sobre outros exemplos desta construção acesse a leitura Exemplo de Exercícios.
Atividade
1. Calcular a deformação na seção A. Considerar EI = 63800 kN/m2.
Gabarito sugerido
2. Calcular a deformação na seção C. Considerar E = 2.0e+07kN/m2 e a seção da viga = 0,30 x 0,50m.
Gabarito sugerido
3. Calcular a deformação no meio do pórtico (2,50m). Considerar EI = 1.0e+08kN/m2.
Gabarito sugerido
4. Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 106kN/m2
Gabarito sugerido
5. Calcular a deformação no meio do vão da viga (seção S). Considerar 5208,33kNm2.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 106kN/m2
Aula 2: Método das Forças
Apresentação
A partir desta aula começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas, analisando sistemas hiperestáticos por meio dos métodos clássicos (forças e deslocamentos), para introduzir o estudo de análise matricial de estruturas.
Nesta aula apresentaremos o Método das Forças (um dos clássicos) utilizado para análise de estruturas hiperestáticas.
Objetivos
· Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Forças.
· Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Método das Forças;
· Estabelecer os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Método das Forças.
Teoria das estruturas I – Relembrando alguns conceitos básicos
Antes de mais nada, vamos relembrar...
Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior ao de equações da estática (X = 0; Y = 0 e M = 0)(X = 0; Y = 0 e M = 0), portanto, essas equações somente são insuficientes para a determinação das reações de apoio.
A determinação das reações de apoio que atuam nessas estruturas são, geralmente, calculadas pelo Método das Forças ou pelo Método dos Deslocamentos:
• No Método das Forças, as variáveis são os esforços;
• No método dos deslocamentos, as deformações.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações de apoio excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio.
Relembrando, como calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a estrutura é restringida? Usando umas das fórmulas existentes na literatura. A fórmula a seguir, foi tirada do autor Sussekind (s/d):
G = Ge + Gi
Ge = I – E – R
Gi = 3 x N
Onde:
G ➔ grau hiperestático das estrututas;
Ge ➔ grau hiperestático externo;
Gi ➔ grau hiperestático interno;
I ➔ o número de reações de apoio (incógnita) da estrutura;
E ➔ as equações fundamentais da estática (∑Fx =0; ∑Fy =0; ∑M =0)(∑Fx =0; ∑Fy =0; ∑M =0)
R ➔ as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados;
3 ➔ o número de esforços liberados (V, H e M ) no corte;
N ➔ o número de cortes.
⇩
Observação:
G = 0 ➔ estruturas isostáticas;
G > 0 ➔ estruturas hiperestáticas;
G < 0 ➔ estruturas hipostáticas (sem equilíbrio).
Método das forças
A metodologia utilizada pelo Método das Forças (também conhecido como Método da Flexibilidade e Método dos Esforços) para analisar uma estrutura hiperestática, é:
1
Usar uma estrutura auxiliar isostática (não haverá nenhuma alteração do ponto de vista estático, se mantemos os mesmos vínculos), chamada de Sistema Principal, que é obtida da estrutura original (hiperestática) pela eliminação de vínculos;
2
Somar uma série de soluções básicas (chamadas de estados) que satisfazem às condições de equilíbrio.
Essa eliminação de vínculos pode ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna, e os deslocamentos e as rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados.
A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I (hiperestático) para o pórtico II (isostático), observa-se que não houve nenhuma alteração no ponto de vista estático. Rompeu-se a quantidade de vínculos (os engastes) que se transformou em apoio de 1º e 2º gêneros, introduzindo no local os esforços X1, X2 e X3.
 Figura 1 – Pórtico I (hiperestático) e pórtico II (isostático, chamado de Sistema Principal)
Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática (pórtico II), foram aplicados os esforços quanto ao grau de hiperestaticidade. Assim, a determinação de X1, X2 e X3 implicará na resolução da estrutura.
Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço. No sistema principal serão liberadas deformações que não existem e assim a solução exige que os deslocamentos provocados pelos hiperestáticos sejam nulos.
No caso acima, temos:
· Rotação para X2 e X3;
· Translação para X1.
Com uma equação para cada descolamento nulo, o problema será resolver o sistema nxn.
Será utilizado o princípio da superposição dos efeitos, separando o carregamento externo e os hiperestáticos.
O primeiro índice é o local e o segundo a causa:
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 = 0  δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 = 0   ➔ translação de X1;
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 = 0  δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 = 0   ➔ rotação de X2;
δ30 + δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 = 0  δ30 + δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 = 0   ➔ rotação de X3.
A solução do sistema fornece o valor de Xi.
Na hora de escolher um sistema principal isostático há infinitos, e o mais lógico é procurar um sistema que forneça diagramas de momento fletores mais simples possíveis.
Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças será explicada detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Nos exemplos a seguir, a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exercício 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 2.
Dados:
Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h);
E = 1 x 108 kN/m2.
 Figura 2 – Viga com carregamento distribuído de 30 kN/m
1ºPasso: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
Ge = I – E – R
Ge = 3 – 2 – 0 = 1 ➔ estrutura hiperistática que desejamos resolver (X1).
Logo o sistema será:
δ10 + δ11 X1 = 0δ10 + δ11 X1 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Rompemos uma quantidade de vínculos tal (no caso, 1) que transformasse a estrutura hiperestática em isostática. Para preservar a compatibilidade estática, introduzimos os esforços (no caso, X1, X2, X3,...) existentes nos vínculos rompidos, que continuam sendo as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura.
Arbitramos um valor qualquer para cada um dos hiperestáticos (X1, X2, X3,...), por simplicidade, arbitramos valores unitários (=1).
Para esse exemplo temos três modelos de sistema principal (estrutura isostática), como pode ser visto na Figura 3.
Lembrando que na hora de escolher um sistema principal o mais lógico é procurar um sistema isostático que forneça diagramas de momento fletores mais simples possíveis.
 Figura 3 – Exemplos de três tipos de sistema principal (isostático).
Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo, colocando x no balanço direito, conforme a Figura 4.
 Figura 4 – Esse será o nosso Sistema Principal.
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
Para usar a Tabela de Kurt Beyer (estruturas compostas por barras retas com inércia constante) devemos calcular o comprimento elástico das barras. A deformação δδ devido ao trabalho à flexão vale:
δ=∫MM¯¯¯¯EJdx𝛿=∫𝑀𝑀¯𝐸𝐽𝑑𝑥
Sendo Jc uma inércia arbitrária, chamada de inércia de comparação (usualmente é arbitrada igual à menor das inércias das barras), temos:
EJc δ=∑(JcJbarra∫∫barraMM)dx𝐸𝐽𝑐 𝛿=∑𝐽𝑐𝐽𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎∫∫𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑀𝑀𝑑𝑥
Chamamos de comprimento elástico (L’) da barra i, que é o comprimento fictício de uma barra de inércia Jc, que nos dá a mesma deformação da barra de comprimento Li e inércia Ji. Usamos a fórmula indicada por Sussekind (s/d) para calcular L’:
L'=LJcJ𝐿′=𝐿𝐽𝑐𝐽
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra que está estudando.
Calcula-se o momento de inércia das barras.
As barras possuem as mesmas seções, logo elas têm as mesmas inércias.
J = bh3/12 = 0,0170667m4
Calcula-se o comprimento elástico (L’) de cada barra:
Barra 1 ➔ L’ = 3*0,0170667/0,0170667 = 3m
Barra 2 ➔ L’ = 5*0,0170667/0,0170667 = 5m
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas.
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M1) com a carga de 1kN no X1 (no hiperestático).
6º Passo: Calculando dos E Jc δδ
Faz-se a multiplicação dos dois momentos fletores, de cada barra. Usamos a Tabela de Kurt Beyer e vemos a equação da multiplicação dos dois momentos.
δ10δ10
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0:
E Jc  δ10=M1  x M0𝐸 𝐽𝑐  𝛿10=𝑀1  𝑥 𝑀0
Barra 1: L’ de 3m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Triângulo com triângulo e ql2/8 com triângulo.
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a primeira equação, e na segunda coluna com a quinta.
Encontraremos a segunda equação, logo temos:
13 L'MM + 13 L'MmM¯¯¯ 13 𝐿′𝑀𝑀 + 13 𝐿′𝑀𝑚𝑀¯ 
Onde:
L’ = 3 m (comprimento da barra 1)
M = -375 kNm (momento fletor da parábola 2º grau)
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo)
M = 33,75 kNm (momento fletor do ql2/8)
Substituindo os valores, temos:
13x 3 x (−375)  x 5+ 13x 3 x 5 x 33,75= −1706,25 13𝑥 3 𝑥 (−375)  𝑥 5+ 13𝑥 3 𝑥 5 𝑥 33,75= −1706,25 
2: L’ de 5m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Parábola do 2º grau com triângulo.
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação:
14 L'MM¯¯¯ 14 𝐿′𝑀𝑀¯ 
Onde:
L’ = 5m (comprimento da barra 2);
M = -375kNm (momento fletor da parábola 2º grau);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
14 x 5 x (−375)  x  5= −2343,7514 𝑥 5 𝑥 (−375)  𝑥  5= −2343,75
E Jc  δ10=−4050𝐸 𝐽𝑐  𝛿10=−4050
δ11δ11
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1:
EJc δ11=M1  x M1𝐸𝐽𝑐 𝛿11=𝑀1  𝑥 𝑀1
Como existe essa figura na tabela, não precisamos fazer por barras. Usamos direto (barra 1 + barra 2).
Ao olharmos a tabela, encontramos na última coluna com a última linha a equação:
13L'MM¯¯¯ 13𝐿′𝑀𝑀¯ 
Onde:
L’ = 8m (comprimento de toda a viga);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
1 3 x 8 x 5 x 5= 66,671 3 𝑥 8 𝑥 5 𝑥 5= 66,67
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para acha r X1.
δ10 + δ11 X1 = 0δ10 + δ11 X1 = 0
−4050 + 66,67 X1 = 0-4050 + 66,67 X1 = 0
X1 = 60,75kNX1 = 60,75kN
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 está correto, para cima.
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor que achamos em X1 (60,75 kN), conforme mostra a Figura 5.
 Figura 5 – Viga com o valor de X1
Calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes (diagramas finais), conforme a Figura 6.
Figura 6 – Reação de apoio após achar X1
Figura 7 – Diagrama de esforços cortantes
Figura 8 – Diagrama de momento fletor
Exercício 2
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 9.
Dados:
Valores de inércia: Nos pilares J = 1 e na viga J = 2.
E = 1 x 108 kN/m2
 Figura 9 – Pórtico com carregamento distribuído de 20kN/m
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
Ge = I – E – R => Ge = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, desejamos resolver (X1 e X2). Logo, nosso sistema será:
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Indicar X1 e X2, conforme a Figura 10.
 Figura 10 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L'=L JcJ𝐿′=𝐿 𝐽𝑐𝐽
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra em estudo.
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Cargas externas, conforme pode ser visto na Figura 11.
Figura 11 – Diagrama de momento fletor (M0), com o Sistema Principal
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 12.
Figura 12 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
6º Passo: Estado 2 (só X2)
Carga de 1kN no X2 (no hiperestático), Figura 13.
Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
7º Passo: Calcular as E Jc δδ:
Usamos a Tabela de Kurt Beyer.
δ10δ10
δ10=M1  x M0𝛿10=𝑀1  𝑥 𝑀0
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (-360 kNm) x retângulo (6kNm).
L' MM= 3 X 6 X (−360)= −6480 𝐿′ 𝑀𝑀= 3 𝑋 6 𝑋 (−360)= −6480 
Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x triângulo (6kNm).
14 L' MM¯¯¯=  14 X 3 X 6 X(−360)= −162014 𝐿′ 𝑀𝑀¯=  14 𝑋 3 𝑋 6 𝑋(−360)= −1620
Barra 3 = 0
δ10=−8100𝛿10=−8100
δ11δ11
δ11=M1  x M1𝛿11=𝑀1  𝑥 𝑀1
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm).
 L' MM= 3 x 6 x 6= 180  𝐿′ 𝑀𝑀= 3 𝑥 6 𝑥 6= 180 
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
13 L'MM¯¯¯=  1 3x 3 x 6 x 6= 3613 𝐿′𝑀𝑀¯=  1 3𝑥 3 𝑥 6 𝑥 6= 36
δ11=144𝛿11=144
δ12 = δ21δ12 = δ21
δ12= δ21=M1  x M2𝛿12= 𝛿21=𝑀1  𝑥 𝑀2
Barra 1: L’ de 3 m com triângulo (-3kNm) x retângulo (6kNm).
1 2L' MM¯¯¯=  1 2x 3 x (−3)  x 6= −271 2𝐿′ 𝑀𝑀¯=  1 2𝑥 3 𝑥 (−3)  𝑥 6= −27
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x retângulo (-3kNm).
1 2L' MM¯¯¯=  1 2x 3 x (−3)  x 6= −271 2𝐿′ 𝑀𝑀¯=  1 2𝑥 3 𝑥 (−3)  𝑥 6= −27
Barra 3 = 0
δ12=δ21=−54𝛿12=𝛿21=−54
δ20=2700𝛿20=2700
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (-3kNm) x triângulo (-3kNm).
13 L' MM¯¯¯=  13 x 3 x(−3)   x(−3)= 913 𝐿′ 𝑀𝑀¯=  13 𝑥 3 𝑥(−3)   𝑥(−3)= 9
Barra 2: L’ de 3m com retângulo (-3kNm) x retângulo (-3kNm).
L' MM¯¯¯ =3 x(−3)   x(−3)= 27𝐿′ 𝑀𝑀¯ =3 𝑥(−3)   𝑥(−3)=27
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
13 L' MM¯¯¯=  13x 3 x 3 x 3= 913 𝐿′ 𝑀𝑀¯=  13𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3= 9
δ22=45𝛿22=45
8º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
-8100 + 144 X1 - 54 X2 = 0
2700 - 54 X1 + 45 X2 = 0
Resolvendo:
X1 = 60,36kN
X2 = 13,64kN
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 e X2 estão corretos.
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 14.
Figura 14 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 15) e desenhamos os diagramas solicitantes.
Figura 15 – Estrutura original (hiperestática) com as reações de apoios
Diagrama solicitantes:
Figura 16 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática)
Figura 17 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
Figura 18 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba Mais
Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas hiperestáticas abaixo. Desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 100000MPa.
Gabarito sugerido
2. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
Aula 3: Método das Forças – Temperatura & Recalque nos apoios
Apresentação
Nesta aula veremos que a variação de temperatura (diT) e/ou os recalques de apoios (dir) provocam deformações e esforços internos em estruturas hiperestáticas. Usaremos o Método das Forças para resolver essa estrutura.
Em uma estrutura isostática as variações de temperatura e recalque só acarretam deformações da estrutura, sem gerar esforços internos; já nas hiperestáticas, as vinculações adicionais impediriam esse deslocamento livre, gerando esforços internos e reações diferentes de zero.
Objetivos
· Resolver estruturas hiperestáticas devido a variações de temperaturas (diT) e/ou recalques de apoios (dir), usando o Método das Forças;
· Traçar os diagramas solicitantes devido a variações de temperaturas (diT) e/ou recalques de apoios (dir).
Variação de temperatura & recalques de apoio
No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de temperatura e/ou para recalques de apoios, teremos tão somente que substituir (ou somar) os di0 (deformações, no estado zero – só carga) por diT e/ou dir.
Temperatura
A variação de temperatura provoca deformação e esforços internos em estrutura hiperestática. As solicitações térmicas são de grande importância para o dimensionamento de uma estrutura.
Vejamos a seguir a fórmula para calcular a variação de temperatura:
δiT=EJc[α ΔTh Ami +α tg Ani]δiT=EJcα ΔTh Ami +α tg Ani
Onde:
E ➔
Módulo de elasticidade longitudinal do material;
Jc ➔
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária, chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
a ➔
Módulo de elasticidade longitudinal do material;
h ➔
Altura da seção transversal;
Dt ➔
ti – te
ti = temperatura nas fibras internas,
te = temperatura nas fibras externas.
tg ➔
Variação de temperatura no centroide da seção transversal.
Tg = (te + ti) / 2
Ami ➔
Área do diagrama do momento fletor (DMF);
Ani ➔
Área do diagrama do esforço normal (DEN).
Recalques de apoios
A solicitação de recalque de apoio é semelhante à de variação de temperatura, cujo o apoio sofra um recalque conhecido, indicado na estrutura. Se quisermos calcular a estrutura, temos:
δiT=−EJc[∑Ripi] = −EJc[∑(Mpm + Vpv + Hph)]δiT=-EJc∑Ripi = -EJc∑(Mpm + Vpv + Hph)
Onde:
E ➔
Módulo de elasticidade longitudinal do material;
Jc ➔
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária, chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
r ➔
recalques;
Será explicado detalhadamente pelos exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
Nestes exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
· Seção da viga de 6m de comprimento (barra 1): 20cm x 50cm (b x h).
· Seção da viga de 8m de comprimento (barra 2): 40cm x 80cm (b x h).
E = 8 x 106kN/m2
a = 10-5 /°C
Figura 1 – Viga com temperatura externa de -16ºC e temperatura interna de 8ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
Ge = I – E – R
Ge = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vez hiperistática que desejamos resolver (X1 e X2).
Logo o sistema será:
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1 e X2, conforme a Figura 2.
 Figura 2 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L′=LJcJL'=LJcJ
Onde:
L’ =
comprimento elástico;
L =
comprimento da barra;
Jc =
menor momento de inércia de toda a estrutura;
J =
menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
Jviga barra1 =
bh3/12 = 0,2 x 0,53/12 = 0,002083m4
Jviga barra2 =
bh3/12 = 0,4 x 0,83/12 = 0,017067m4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔
L’1 = 6 x 0,002083/0,002083 = 6m
Barra 2➔
L’2 = 8 x 0,002083/0,017067 = 0,9764m
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 3.
 Figura 3 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
5º Passo: Estado 2 (só X2)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga de 1kN no X2 (no hiperestático), Figura 4.
 Figura 4 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
6º Passo: Calcular as E Jc d
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer.
δ11=M1 x M1δ11=M1 x M1
Barra 1: L’ de 6m com triangulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
13L' M M¯¯¯¯=13 x 6 x 6 x 6=7213L' M M¯=13 x 6 x 6 x 6=72
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x trapézio (6kNm a 14kNm).
16x L' [ MA¯¯¯¯¯¯ (2 x MA +MB) +MB¯¯¯¯¯¯ (2 x MB + MA) ]16x 0,9764[ 6 ¯¯¯(2 x 6 +14) +14 ¯¯¯¯(2 x 14 + 6) ] =102,8516x L' [ MA¯ (2 x MA +MB) +MB¯ (2 x MB + MA) ]16x 0,9764[ 6 ¯(2 x 6 +14) +14 ¯(2 x 14 + 6) ] =102,85
δ11=174,85δ11=174,85
d12 = d21
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2:
δ12 = δ21=M1 x M2 δ12 = δ21=M1 x M2 
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x triângulo (8kNm).
=16x L' x M x (MA +2MB)=16x 0,9764 x 8 x (6 +2 x 14) =44,26δ12 = δ12 =44,26=16x L' x M x (MA +2MB)=16x 0,9764 x 8 x (6 +2 x 14) =44,26δ12 = δ12 =44,26
d22
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2:
δ22 = M2 x M2δ22 = M2 x M2
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com triângulo (8kNm) x triângulo (8kNm).
13L'MM¯¯¯¯=13x 0,9764x8x8 = 20,83δ22=20,8313L'MM¯=13x 0,9764x8x8 = 20,83δ22=20,83
δ1t
Temperatura para o estado 1.
δ1T=E Jc[aΔTh Ami + a tg Ani]δ1T=E JcaΔTh Ami + a tg Ani
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 18m2 (barra1) + 80m2 (barra2)
[𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 → esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h barra1 = 0,5m
h barra2 = 0,8m
Barra 1:
δ1T=8x106x0,002083[10−5x240,5 x18]=143,98δ1T=8x106x0,00208310-5x240,5 x18=143,98
Barra 2:
δ1T=8x106x0,002083[10−5x240,8 x80]=399,94δ1T=543,92δ1T=8x106x0,00208310-5x240,8 x80=399,94δ1T=543,92
d2t
Temperatura para o estado 2.
δ1T=E Jc[aΔTh Ami + a tg Ani]δ1T=E JcaΔTh Ami + a tg Ani
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 0 m2 (barra1)+ 32m2 (barra2)
[𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h barra1 = 0,5m
h barra2 = 0,8m
Barra 1= 0
Barra 2:
δ2T=8x106 x 0,002083 x 10-5 x 240,8 x 32=159,97
δ2T=159,97
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0
543,92 + 174,85 X1 + 44,26 X2 = 0159,97 – 44,26 X1 + 20,83 X2 = 0
Resolvendo:
X1 = -2,53kN
X2 = -2,31kN
deu negativo, significa que o sentido de X1 e X2 está contrário (é para baixo).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 5.
 Figura 5 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 6 e Figura 7) e desenhamos os diagramas solicitantes.
 Figura 6 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 7 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Exemplo 2
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 8.
Dados:
Temperatura externa (Te) = 35ºC
Temperatura interna (Ti) = 10ºC
Seção da viga: 20cm x 40cm (b x h)
Seção dos pilares: 20cm x 30cm (b x h)
E = 3000MPa
a = 10-5 /°C
 Figura 8 – Pórtico com temperatura externa de 35ºC e temperatura interna de 10ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga:
Ge = I – E – R
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1).
Logo o sistema será:
d1t + d11 X1 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1, conforme a Figura 9.
 Figura 9 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L'=LJcJL'=LJcJ
Onde:
L’ =
comprimento elástico;
L =
comprimento da barra;
Jc =
menor momento de inércia de toda a estrutura;
J =
menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
JPILAR =
bh3/12 = 0,2 x 0,33/12 = 0,00045m4
JVIGA =
bh3/12 = 0,2 x 0,43/12 = 0,001067m4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔
L’1 = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m
Barra 2 ➔
L’2 = 6 x 0,00045/0,001067 = 2,53m
Barra 3 ➔
L’3 = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 10 e Figura 11.
 Figura 10 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1.
A área do diagrama de momento fletor é de: (4,5m2 ; 18m2 ; 4,5m2).
 Figura 11 – Diagrama de esforço normal (DEN), com a carga de 1kN no X1.
A área do diagrama de esforço normal é de 6m2.
5º Passo: Calcular as E Jc d
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer.
δ11
δ11=M1xN1δ11=M1xN1
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
δ11=M1xN1δ11=M1xN1
Barra 2: L’ de 2,53m com retângulo (3kNm) x retângulo (3kNm).
L'MM¯¯¯¯=2,53x3x3=22,77L'MM¯=2,53x3x3=22,77
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
13L'MM¯¯¯¯=13x3x3x3=9δ11=40,7713L'MM¯=13x3x3x3=9δ11=40,77
d1t
Temperatura para o estado 1.
δ1T=EJc[aΔthAmi+a tg Ani]δ1T=EJcaΔthAmi+a tg Ani
Δt = 10 – 35 = -25ºC
Tg = (te +ti) / 2 = (35 + 10) / 2 = 22,5ºC
h pilar = 0,
h viga = 0,4m
δ1T=3x107[10−5x(−25) x (−180,4+−4,50,8+−4,50,3)]+10−5x22,5x(−6)δ1T=234,90δ1T=3x10710-5x(-25) x (-180,4+-4,50,8+-4,50,3)+10-5x22,5x(-6)δ1T=234,90
6º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
d1t + d11 X1 = 0
234,90 + 40,77 X1 = 0
Resolvendo:
X1 = -5,76kN
Se deu negativo, significa que o sentido de X1 está no sentido contrário (é para outro lado).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor de X1, conforme a Figura 12.
 Figura 12 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1
Após colocar o valor de X1, calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes:
 Figura 13 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 14 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 15 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba mais
Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas abaixo e desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 100000MPa. Te = 25ºC e Ti = 10ºC. a = 10-5/ºC.
Gabarito
2. Recalque nos apoios A e B de rV = 2 cm (para baixo).
Gabarito
3. Recalque no apoio A rV = 3cm (para baixo).
Gabarito
4. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
A Tabela de Kurt Beyer, na Figura 49.
 Figura 49 – Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Aula 4: Método do Deslocamento (Método da Deformação)
Apresentação
Na segunda e terceira aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças. Outra maneira de calcular uma estrutura hiperestática é pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
No método das forças, as incógnitas do problema hiperestático eram esforços simples (reação de apoio e/ou rótulas colocadas) que quando determinados, permitiam o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a estrutura em estudo (SUSSEKIND, s./d.).
Pelo Método da Deformação a resolução da estrutura hiperestática será abordada inversamente, isto é, determinando-se primeiro as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os diagramas de esforços solicitantes da estrutura.
Objetivos
· Compreender um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Deformações;
· Calcular uma estrutura hiperestática com o método das deformações;
· Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o método das deformações.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método da rigidez)

Fórmula matemática em notebook (Fonte: Shutterstock)
Por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante de análise de estruturas. Nele as incógnitas são os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares sofridos pelos nós das diversas barras.
Em seu cálculo, serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devido a esforços normais e também a esforços cortantes, não se constituindo em nenhum erro especial peculiar ao método pois, também no estudo do Método das Forças, foi usual desprezar essas deformações (a não ser no caso de peças trabalhando basicamente ao esforço normal: barras de treliças, escoras, tirantes, arcos, pilares esbeltos, peças protendidas em geral etc.) quando do cálculo dos (SUSSEKIND, s./d.).
Número de incógnitas – deslocabilidade interna e externa
Deslocabilidade interna (di) ∎ placa
O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui. Não se coloca placa no fim da estrutura (lá, o momento fletor é 0).
Vejamos o cálculo do número de deslocabilidades internas no pórtico abaixo (Figura 1).
Figura 1 – Pórtico com 2 placas (duas deslocabilidade internas).
Cálculo do número de deslocabilidaddes internas no pórtico:
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação;
Nó B ➔ precisa de placa, para saber a rotação em B;
Nó C ➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em C (não há deslocabilidade interna a considerar);
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D;
Nó E ➔ não precisa de placa (nó extremo), esse trecho de E até F é isostático;
Logo, di = 2
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 2, números de nós internos (não rotulados) da estrutura. Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê-la.
Saiba mais
Fique atento aos seguintes fatos:
· Nas estruturas espaciais existem componentes de rotação em torno de 3 eixos ortogonais, logo, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo de nós rígidos que a estrutura possui;
· No caso de grelhas, existem componentes de rotação em torno dos 2 eixos que contém a grelha, logo, o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos rígidos.
Deslocabilidade Externa (de) ▲ (apoio de 1º gênero)
Cálculo do número de deslocabilidades externa e interna no pórtico abaixo (Figura 2).Figura 2 – Pórtico com 3 placas e 3 apoios adicionais.
Cálculo do número de deslocabilidades internas e externa no pórtico:
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação;
Nó B ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna. Há um deslocamento horizontal em B;
Nó C ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna. Não precisa de apoio adicional, não há deslocamento linear em C;
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D. Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear (na horizontal) em D;
Nó E ➔ precisa de placa, para saber a rotação em E. Não precisa de apoio adicional, pois há um apoio adicional em D;
Nó F ➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em F (não há deslocabilidade interna a considerar para saber a rotação em F). Não precisa de apoio adicional, pois há um apoio adicional em D;
Nó G ➔ precisa de placa, para saber a rotação em G. Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear (inclinado) em G;
⇩
Logo,
di = 3
de = 3
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 6, números de nós internos (não rotulados) da estrutura = 3 e números de nós externos (deslocamento linear) da estrutura = 3.
Número total de Deslocabilidades (d)
Como as incógnitas do problema são as rotações rígidas da estrutura (di) e os deslocamentos lineares independentes de seus nós (de), dizemos que o número total de deslocabilidade (d) de uma estrutura é a soma de (di + de).
É importante estar atento aos seguintes itens:
Estrutura indeslocáveis ➔ de = 0
Estrutura deslocáveis ➔ de ≠ 0
O número de incógnitas do sistema será d.
Vamos ver agora como obter o número total de deslocabilidades para as estruturas planas abaixo:
A)
Resposta: d = 4
B)
Resposta: d = 2
C)
Resposta: d = 1
D)
Resposta: d = 3
E)
Resposta: d = 3
Grandezas fundamentais
Para a determinação dos diagramas de momento fletores atuantes numa barra de uma estrutura hiperestática, precisamos conhecer, além do diagrama de momento fletores que teria z barra se fosse biengastada ou engastada e rotulada para carregamento externo atuante, e facilmente tabelável para os carregamentos usuais da prática (Tabela 1) (SUSSEKIND, s./d.).
Rigidez de uma barra
Denominamos rigidez de um nó ao valor do momento que, aplicado nesse nó, supostamente livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo.
a) Barra biengastada:
Seja a barra biengastada AB cuja rigidez está no nó A. Trata-se de determinar o Momento MA que deve ser aplicado em A para produzir a rotação φ= 1φ= 1
Supondo a barra com inércia constante J e módulo de elasticidade E, a obtenção do diagrama de momentos fletores pode ser feita pelo processo de Mohr. Temos:
MA=   4 E Jl e ME=   2 E Jl𝑀𝐴=   4 𝐸 𝐽𝑙 e 𝑀E=   2 𝐸 𝐽𝑙
Onde:
E = módulo de elasticidade;
J = momento de inércia;
L = comprimento da barra
Resumindo:
· para uma barra biengastada, de inércia constante, temos rigidez em um nó: K = 4EJ/l ou
· trabalhando com rigidez relativa para uma barra biengastada, de inércia e módulo de elasticidade (E) constantes, podemos usar a fórmula reduzida de rigidez em um nó: K = αα 60/l. Onde αα é J/Jc (momento de inércia da barra / menor momento de inércia de toda a estrutura).
a) Convenção de sinais que serão adotados no método das deformações:
Consiste em chamar de positivos aos momentos, e de rotação aos extremos das barras quando os momentos tiverem o sentido anti-horário.
Atenção
Não existe nenhuma relação entre esta convenção de sinais e a convenção às vezes adotada na estática, chamar de positivos aos momentos fletores que tracionam suas fibras inferiores e de negativos em caso contrário.
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
Veja agora alguns exemplos de exercícios importantes.
Aqui (nos exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 3.
Dados:
J = 0,01 m4 (para o trecho AD)
J = 0,006 m4 (para o trecho DE)
E = 2,1 x 107 kN/m2
 Figura 3 – Viga hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar nomes nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com as cargas de 50 kN e (50 x 3 = 150) KNm de momento fletor (Figura 4).
Figura 4 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da deformação.
Colocar placa e apoio adicional:
de = 0 (apoio adicional)
di = 1 (placa)
d = de + di = 1
Logo o sistema será:
β10 + β11 Δ1 = 0β10 + β11 Δ1 = 0
2º Passo: Estado 0 (só carga):
Barra 1: apoio e engaste
Cálculo do momento fletor em D, usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Terceira coluna:
Carga momento de 150 kNm.
MD= −M2 (3a2l2−1)=  M2=  1502=75 kNm𝑀𝐷= −𝑀2 (3𝑎2𝑙2−1)=  𝑀2=  1502=75 𝑘𝑁𝑚
Carga pontual de 100 kN
MD= −Pab2l2 (l+a)=−100x3x52x82(8+3)=−128,91 kNm𝑀𝐷= −𝑃𝑎𝑏2𝑙2 (𝑙+𝑎)=−100𝑥3𝑥52𝑥82(8+3)=−128,91 𝑘𝑁𝑚
Carga pontual de 50 kN ➔
MD= −Pab2l2 (l+a)=−50x0x82x82(8+0)=0 kNm𝑀𝐷= −𝑃𝑎𝑏2𝑙2 (𝑙+𝑎)=−50𝑥0𝑥82𝑥82(8+0)=0 𝑘𝑁𝑚
MD= −53,91 kNm𝑀𝐷= −53,91 𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e apoio
Cálculo do momento fletor em D. Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 20 kN/m
MD= +ql28=20 x 628= 90 kNm𝑀𝐷= +𝑞𝑙28=20 𝑥 628= 90 𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos fletores da placa 1 ➔ β 10 = −53,91 + 90 = 36,09 kNmβ 10 = -53,91 + 90 = 36,09 kNm
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1):
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2.
Barra 1: apoio e engaste
KD=  3EJl=3x2,1x107  x 0,018= 78750 kNm𝐾𝐷=  3𝐸𝐽𝑙=3𝑥2,1𝑥107  𝑥 0,018= 78750 𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e apoio
KD=  3EJl=3x2,1x107  x 0,066= 63000 kNm𝐾𝐷=  3𝐸𝐽𝑙=3𝑥2,1𝑥107  𝑥 0,066= 63000 𝑘𝑁𝑚
Somando-se os momentos fletores da placa 1 ➔ β11 = 78750 + 63000 = 141750 kNmβ11 = 78750 + 63000 = 141750 kNm
4º Passo: Sistema
β10 + β11 Δ1 = 0β10 + β11 Δ1 = 0
36,09 + 141750 Δ1 = 036,09 + 141750 Δ1 = 0
Δ1 = −2,546x10−4Δ1 = -2,546x10-4
5º Passo: Superposição
M = M0 + M1 Δ1M = M0 + M1 Δ1
MD1= −53,91+78750 x(−2,546x10−4))= −73,96 kNm𝑀𝐷1= −53,91+78750 𝑥(−2,546𝑥10−4))= −73,96 𝑘𝑁𝑚
MD2= 90+63000 x(−2,546x10−4)= 73,96 kNm𝑀𝐷2= 90+63000 𝑥(−2,546𝑥10−4)= 73,96 𝑘𝑁𝑚
MD1=−50 x 3=−150kNm𝑀𝐷1=−50 𝑥 3=−150𝑘𝑁𝑚
Figura 5 – Viga com os valores de momentos fletores.
Calculando as reações de apoios da viga, tem-se:
Figura 6 – Viga com as reações de apoios.
Figura 7 – Viga com diagrama de esforços cortante (kN).
Figura 8 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm).
Saiba mais
Acesse Exercícios resolvidos (exemplos) para dar continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliar seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Gabarito sugerido
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Gabarito sugerido
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Gabarito sugerido
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2 . ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Gabarito sugerido
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Gabarito sugerido
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 0,0001 kNm2 . ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4)
Aula 5: Métododo Deslocamento (Método da Deformação)
Apresentação
Na quarta aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
Nesta aula, continuaremos a compreender como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Deformações, usando apoio adicional.
Objetivos
· Resolver estruturas hiperestáticas usando o método das deformações (apoio adicional);
· Calcular uma estrutura hiperestática usando o método da deformação;
· Traçar os diagramas solicitantes dessa estrutura hiperestática.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método da rigidez)
Cálculos para engenharia (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
Explicaremos detalhadamente, pelos exercícios a seguir, como calcular uma estrutura hiperestática por esse método, com apoio adicional.
Exercícios Resolvidos
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.k)
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
E J = 1
 Figura 1 – Pórtico hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar os nomes nas barras, nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
 Figura 2 – Sistema Principal (colocando as placas e o apoio adicional), nomes nas barras e nos apoios.
Nó A ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois em apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC).
Nó B ➔ precisa de placa para saber a rotação em B, e precisa de apoio adicional, pois há deslocamento horizontal nessa barra (AC).
Nó C ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC), basta colocar um apoio adicional na barra AC.
Nó D ➔ não precisa de placa, já é um engaste e não há deslocamento linear.
Colocar placa e apoio adicional:
de = 1 (apoio adicional)
di = 1 (placa)
d = de + di = 2
Logo o sistema será:
β10 + β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0β10 + β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0
β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0
Calcular o momento fletor em B, usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 40kN/m
MB= +(ql2)8= 40 x 728= 245kNm𝑀𝐵= +(𝑞𝑙2)8= 40 𝑥 728= 245𝑘𝑁𝑚
Barra 3: engaste e engaste
Essa barra não tem carga, logo MB = 0
MB= 0kNm𝑀𝐵= 0𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ β10 = −33,75 + 240 + 0 = 211,25kNmβ10 = -33,75 + 240 + 0 = 211,25kNm
Apoio adicional 2 ➔ β20 = 0kNmβ20 = 0kNm
b20 = 0b20 = 0, por que não tem carga horizontal e nem momento fletor para fazer deslocamento na viga (em C), para esta fase.
Logo, b20 = 0b20 = 0.
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ11 => Δ1):
Rotacionando a placa 1, trabalho com as barras 1, 2 e 3.
Barra 1: apoio e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
KB=  45l=456= 7,5kNm𝐾𝐵=  45𝑙=456= 7,5𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e apoio
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
KB=  45l=457= 6,43kNm𝐾𝐵=  45𝑙=457= 6,43𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
KB=  60l=603= 20kNm𝐾𝐵=  60𝑙=603= 20𝑘𝑁𝑚
KD=  30l=303= 10kNm𝐾D=  30𝑙=303= 10𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ β11 = 7,5 + 4,43 + 20 = 33,93kNmβ11 = 7,5 + 4,43 + 20 = 33,93kNm
Apoio adicional ➔ b 21 = (20+10) / 3 = 10kNb 21 = (20+10) / 3 = 10kN
4º Passo: Estado 2 (deslocamento do apoio adicional => Δ2):
Dando um deslocamento em Δ2 ao apoio 2, teremos o aparecimento de deslocamento ortogonal para a barra 3, permanecendo horizontal as barras 1 e 2.
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a esse deslocamento:
MD= MB=  900l2 =90032 = 100 kNm𝑀𝐷= 𝑀𝐵=  900𝑙2 =90032 = 100 𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ β 12 = 0 + 100 + 0 = 100kNmβ 12 = 0 + 100 + 0 = 100kNm
Apoio adicional ➔ β 22 = (100+100) / 3 = 66,67kNβ 22 = (100+100) / 3 = 66,67kN
5º Passo: Sistema
β10 +β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0β10 +β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0
β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0
211,25 + 33,93 Δ1 + 100 Δ2 = 0211,25 + 33,93 Δ1 + 100 Δ2 = 0
0 + 10 Δ1 + 66,67 Δ2 = 00 + 10 Δ1 + 66,67 Δ2 = 0
Δ1 = −11,1591Δ1 = -11,1591
Δ2 = 1,6738Δ2 = 1,6738
6º Passo: Superposição
M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2
MB1= −33,75+7,5 x(−11,1591)+0 x (1,6738)= −117,25kNm𝑀B1= −33,75+7,5 𝑥(−11,1591)+0 𝑥 (1,6738)= −117,25𝑘𝑁𝑚
MB2= 245+6,43 x(−11,1591)+0 x (1,6738)= 173,25kNm𝑀𝐵2= 245+6,43 𝑥(−11,1591)+0 𝑥 (1,6738)= 173,25𝑘𝑁𝑚
MB3= 0+20 x(−11,1591)+100 x (1,6738)= −55,80kNm𝑀𝐵3= 0+20 𝑥(−11,1591)+100 𝑥 (1,6738)= −55,80𝑘𝑁𝑚
 Figura 3 – Pórtico com os valores da reação de apoio e diagramas de momento fletores.
 Figura 4 – Diagrama de esforços normais (kN)..
Saiba mais
Você encontrará a obtenção de diagrama de momento fletor e as reações de apoio do pórtico abaixo e do diagrama de momento fletor do pórtico abaixo em Exercícios resolvidos (exemplos). Dessa forma, você dará continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
Gabarito sugerido
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
Gabarito sugerido
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
Gabarito sugerido
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
Gabarito sugerido
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
Gabarito sugerido
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
7. Calcular os exercícios da aula do Método das Forças pelo Método da Deformação.