ENEM 2020 Triângulos

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EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO 2020
PROFESSOR GONSALVES JOHNANTAN
TEMA DA AULA
O FANTÁSTICO MUNDO DOS TRIÂNGULOS
SUMÁRIO
Definição
Elementos de um triângulo
Tipos de triângulos
Lados
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Ângulos
Retângulo
Obtusângulo
Acutângulo
Condição de existência
Cevianas
Área e perímetro do triângulo
Propriedades
Exercícios
Altura
Mediana
Bissetriz
Cevianas em um triângulo isósceles
Cevianas em um triângulo equilátero
Pontos notáveis de um triângulo
Baricentro
Ortocentro
Incentro
Os triângulos são as estrelas principais das questões de Geometria no Enem e outros vestibulares. E isso não é à toa: eles são objetos matemáticos super importantes e muito estudados.
As propriedades dos triângulos datam do século IV a.C., com Pitágoras e seus discípulos, e são essenciais para o estudo da Geometria hoje.
Está na hora de saber tudo sobre triângulos!
Vamos Lá!
Definição
Triângulo é um polígono formado por três lados e três ângulos internos. Os vértices de um triângulo são representados por letras maiúsculas e os lados são representados por letras minúsculas.
Considere três pontos não alinhados, A, B e C. Chamamos de triângulo a união dos segmentos AB, BC e CA.
Elementos
Os elementos formam a região conhecida como região triangular. São eles:
Vértices: os pontos indicados por A, B e C, são chamados de vértices.
Lados: os lados são formados pelos segmentos de retas, ou seja,
Ângulos internos: os ângulos internos são formados pelo encontro dos lados do triângulo, ou seja,
Ângulo externo: é o ângulo formado por um dos lados do triângulo com a reta suporte, suplementar ao ângulo interno. Veja:
Tipos de Triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo com seus lados e seus ângulos internos. Além disso, um triângulo pode ser mais de um tipo ao mesmo tempo.
Lados
Equilátero
Escaleno
Ângulos
Retângulo
Obtusângulo
Isósceles
Acutângulo
Lados
Em relação aos lados podemos classificá-los em três tipos: equilátero, isósceles e escaleno.
Equilátero
São os triângulos que possuem os três lados e ângulos iguais, sendo que os ângulos medem 60º.
Isósceles
São triângulos em que pelo menos dois de seus lados tenham medidas iguais. O ângulo formado pelos lados que têm medidas iguais é chamado de ângulo do vértice.
Escaleno
São os triângulos em que todos os lados possuem medidas diferentes.
Ângulos
Em relação aos ângulos internos, os triângulos podem ser classificados em três tipos: retângulo, obtusângulo e acutângulo.
Retângulo
São triângulos onde um de seus ângulos mede 90°, conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos são chamados de complementares, cuja soma é igual a 90º. No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os lados adjacente e oposto ao ângulo são chamados de catetos.
Acutângulo
São triângulos onde todos os seus ângulos medem menos que 90°.
Obtusângulo
São triângulos onde um de seus ângulos mede mais que 90°.
Condição de Existência
A medida de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas dos outros dois lados e maior que o valor absoluto entre a diferença da medida dos outros dois lados.
Exemplo:
Cevianas 
Existem segmentos de reta, com origem em um vértice de um triângulo, que aparecem bastante em exercícios e com grande quantidade de aplicações. A tais segmentos damos o nome de cevianas de um triângulo.
Basicamente, são estudadas três cevianas: a mediana, a bissetriz e a altura.
MEDIANA
A mediana é a ceviana cujas extremidades estão em um vértice e no ponto médio do lado oposto a este vértice. 
Na figura abaixo, sendo A um vértice e M o ponto médio do lado , então é a mediana relativa ao lado .
Note que M é ponto médio de , então tal ponto divide o lado ao meio. Isto é, e têm a mesma medida.
Evidentemente, um triângulo possui sempre três medianas, cada uma saindo de um dos seus vértices.
Cevianas 
ALTURA
O segmento de reta com origem em um vértice de um triângulo e fim no lado oposto a tal vértice, de modo que eles sejam perpendiculares entre si, é chamado de altura do triângulo.
Abaixo, é a altura relativa ao lado e, portanto, .
Observe que não necessariamente o ponto H (chamado de pé da altura) equivale ao ponto médio de .
Também podemos formar três alturas distintas. Visualize, também, que na figura acima formam-se dois triângulos retângulos ABH e ACH.
Cevianas 
BISSETRIZ
A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta com origem em um dos vértices, de modo que ele divide tal ângulo desse vértice pela metade.
Na figura a seguir, sendo bissetriz relativa ao lado , então os ângulos e possuem a mesma medida.
Fica claro aqui, também, que um triângulo possui três bissetrizes, assim como as outras cevianas vistas anteriormente.
Cevianas em um Triângulo Isósceles
Um resultado importante que envolve as cevianas de um triângulo isósceles se diz respeito àquelas relativas à base.
Neste caso, as cevianas se coincidem. Ou seja, a mediana, a altura e a bissetriz relativas à base de um triângulo isósceles são o mesmo segmento de reta.
Na figura abaixo, sendo a base do triângulo isósceles ABC, temos que é, ao mesmo tempo, mediana, altura e bissetriz.
Cevianas em um triângulo equilátero
Já em um triângulo equilátero, todas as cevianas coincidem entre si, não importando o vértice de origem, conforme ilustra a imagem a seguir.
Pontos notáveis de um triângulo
Como visto acima, cada triângulo possui três medianas, três alturas e três bissetrizes. Ao traçarmos as três cevianas de cada tipo ao mesmo tempo, elas se encontram em pontos que chamamos de pontos notáveis de um triângulo.
Baricentro
O baricentro é o ponto de encontro das medianas. Ele é comumente denotado pela letra G, pois é o centro de gravidade (ou centro geométrico) do triângulo.
Além disso, o baricentro divide cada mediana na razão 2:1, isto é:
Pontos notáveis de um triângulo
Baricentro
O baricentro é o ponto de encontro das medianas. Ele é comumente denotado pela letra G, pois é o centro de gravidade (ou centro geométrico) do triângulo.
IMPORTANTE
Em um triângulo acutângulo, o ortocentro se encontra no interior do mesmo;
Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto;
E em um triângulo obtusângulo, o ortocentro fica na região externa ao triângulo.
Pontos notáveis de um triângulo
Incentro
O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes. A sua principal particularidade consiste-se no fato de que ele também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Pontos notáveis em um triângulo isósceles
Em um triângulo isósceles, os pontos notáveis estão alinhados:
Pontos notáveis em um triângulo equilátero
Em um triângulo equilátero, os pontos notáveis são coincidentes entre si, ou seja, eles são o mesmo ponto. Isso acontece porque a mediana, altura e bissetriz de um vértice são coincidentes no triângulo equilátero.
Área e perímetro do triângulo
Área do triângulo
Para calcular a área utiliza-se a seguinte formula:
Perímetro
Para calcular o perímetro, basta utilizar a seguinte fórmula:
Onde:
A: é a área;
b: é a base;
h: é a altura.
Onde:
P: é o perímetro;
a, b e c: são os lados.
Propriedades
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º;
Propriedades
Para qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual a soma dos internos não adjacentes;
Propriedades
A soma dos ângulos externos é 360º
Para todos os triângulos, o maior lado se opõe ao maior ângulo e vice-versa.
Questão 1
A respeito dos elementos dos triângulos, que são figuras geométricas encontradas neles e fazem parte da sua constituição/definição, assinale a alternativa correta:
a) Um triângulo possui diagonais: segmentos de reta que ligam dois vértices do triângulo.
b) Um triângulo possui, no máximo, dois ângulos retos entre seus ângulos internos.
c) O número de vértices, lados eângulos internos de um triângulo é igual a 3.
d) Como os quadrados possuem duas diagonais, os triângulos possuem apenas uma.
e) Os ângulos externos de um triângulo são ângulos entre dois de seus lados, porém, na região externa da figura.
Resposta Questão 1
a) Incorreta!
Os triângulos não possuem diagonais, pois elas são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos. Dados dois vértices quaisquer de um triângulo, eles são consecutivos.
b) Incorreta!
Um triângulo pode possuir, no máximo, um ângulo interno reto ou obtuso, pois a soma de seus três ângulos internos deve ser igual a 180° sempre.
c) Correta!
d) Incorreta!
Os triângulos não possuem diagonais.
e) Incorreta!
Um ângulo externo é a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente a ele, não a abertura entre dois lados.
Alternativa C
Questão 2
Sobre as propriedades dos triângulos, assinale a alternativa correta:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo é diferente de 180°.
b) A soma dos ângulos externos de um polígono depende da quantidade de lados que ele possui.
c) O maior lado de um triângulo sempre é oposto a seu maior ângulo. O menor lado de um triângulo sempre é oposto a seu menor ângulo.
d) Os ângulos da base de um triângulo isósceles sempre medem 60°.
e) Em um triângulo isósceles, todos os lados são iguais.
Resposta Questão 2
a) Incorreta!
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180°, e isso inclui os triângulos retângulos.
b) Incorreta!
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre é igual a 360°, independentemente da quantidade de lados que esse polígono possui.
c) Correta!
d) Incorreta!
Os ângulos internos de um triângulo equilátero são todos iguais a 60° e não os ângulos da base de um triângulo isósceles. Esses ângulos podem ter qualquer medida no intervalo que vai de 0° a 90°, exceto por 0° e 90°.
e) Incorreta!
Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. Os triângulos isósceles possuem apenas dois lados congruentes.
Alternativa C
Questão 3
Os triângulos podem ser classificados com relação a seus ângulos ou com relação a seus lados. Dois triângulos observados apresentam as seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01’ e o segundo possui dois ângulos internos iguais a 40°. As classificações respectivas desses triângulos são:
a) Obtusângulo e isósceles.
b) Obtusângulo e equilátero.
c) Retângulo e escaleno.
d) Retângulo e isósceles.
e) Retângulo e equilátero.
Resposta Questão 3
Um triângulo que possui, pelo menos, um ângulo maior do que 90° é chamado obtusângulo. Um triângulo que apresente dois ângulos internos iguais também possui dois lados iguais e, por isso, é chamado isósceles. Portanto, os dois triângulos são: obtusângulo e isósceles.
Alternativa A
Questão 4
(ENEM 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é: 
a) 3		b) 5		c) 6		d) 8		e) 10
RESOLUÇÃO:
Temos que o perímetro é 17 e que um lado é sempre A = 6. Assim, os possíveis valores para B e C são:
B = 1 e C = 10
B = 2 e C = 9
B = 3 e C = 8
B = 4 e C = 7
B = 5 e C = 6
Perceba que, a partir daí, os valores passariam a ser os mesmos, porém com letras trocadas. Agora, analisando quais valores satisfazem a condição de existência, temos:
Falso
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Logo, como 3 pares de valores satisfazem a condição de existência, temos 3 diferentes triângulos que podem ser formados.
Gabarito: A
Questão 5
(ENEM 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os seguimentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m². De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
A) R$ 22,50
B) R$ 35,00
C) R$ 40,00
D) R$ 42,50
E) R$ 45,00
RESOLUÇÃO:
Assim, temos que a região branca tem área de:
Logo, a área sombreada é de m². Assim, a quantia que ele irá gastar será de:
Gabarito: B