AIA Concreto II 2020 1 -

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Atividade Individual Avaliativa – A2 
Aluno: Héricles de Carvalho Ferreira Matrícula: 20172103268 
Estruturas de Concreto II – 2020.1 
 
Assuntos 
 
1) Propor um exercício para dimensionar a armadura de um pilar de extremidade. 
 
 
 
 
a) Esforços solicitantes 
Será adotada uma largura de 15 cm. 
 
Força normal: 
 
 
 
Para o pré dimensionamento não é necessário majorar a força normal com o coeficiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar, conforme mostrado na figura , os momentos fletores totais, 
na base e no topo, são: 
 
 
 
Transformando em momentos fletores de cálculo, com γf = 1,4 e γn = 1,20, que deve ser considerado porque a largura 
do pilar é inferior a 19 cm: 
 
Os momentos fletores atuantes na base e no topo do pilar estão indicados na figura. A excentricidade de 1ª ordem na 
direção y é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na figura. A força normal adimensional é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura mínima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diâmetro (t) e espaçamento máximo dos estribos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Propor um exercício para dimensionar a armadura de um pilar de canto. Apresentar a solução para o exercício 
proposto. 
 
 Dados: Nk = 130 kN 
ex = ey = 280 cm 
a) Esforços solicitantes 
 
O pilar P1 está na periferia da edificação e tem largura de 19 cm. O coeficiente de majoração da 
carga (n ) deve ser considerado apenas para larguras entre 18 e 14 cm. A força normal de cálculo é: 
Nd = f . Nk = 1,4 . 130 = 182 kN 
 
Pré-dimensionamento: 
 
Ac = 
1,5Nd 
0,5fck + 0,4 
= 
1,5 .182 
0,53,0 + 0,4 
= 144 cm2 
 
A área mínima de um pilar deve ser de 360 cm2, e neste caso pode-se adotar um pilar quadrado 19 
x 19 (361 cm2). No entanto, para melhor exemplicar os cálculos necessários a um pilar de canto, a seção 
será adotada com comprimentos diferentes para os lados, retangular 19 x 25 (475 cm2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Índice de esbeltez 
 
 
 
 
hx = 25 
h
 y
 =
 1
9
 
c) Excentricidades de 1a ordem 
 
 
 
 
O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado, sendo
497 cm 
 
 
 
 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga V1 no pilar P1 será adotada a carga total de 25 
kN/m 
 
25 kN/m 
 
 
 
P 1 P 2 
 
O momento de engastamento perfeito no pilar P1 é: 
 
Meng = 
q  2 
12 
= 
25  4,972 
12 
 
= 51,46 kN.m = 5.146 kN.cm 
 
Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam: 
 
Mk,inf = Mk,sup = 5146 
176,7 
 
 
176,7 + 398,2 + 176,7 
= 1.210 
 
kN.cm 
 
Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar, os momentos fletores de cálculo totais, 
na base e no topo, são: 
 
 
 
 
e1x 
= 
2541 
= 13,96 cm 
182 
 
Direção y: 
 
 
480 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rigidez da viga V5, com seção transversal 19 x 50 cm e vão efetivo de 480 cm: 
 
Iviga = 
bw  h
3 
12 
= 
19  503 
12 
 
= 197.917 cm4 
 
r = 
Iviga 
= 
197917 
= 412,3cm3 
viga 
ef 480 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga V5 no pilar P1 será adotada a carga total de 18 
kN/m 
 
18 kN/m 
 
 
 
P 4 P 1 
 
Meng = 
q  2 
12 
= 
18  4,82 
12 
 
= 34,56 kN.m = 3.456 kN.cm 
 
Mk,inf = Mk,sup = 3456 
102,1 
 
 
102,1 + 412,3 + 102,1 
= 572,4 kN.cm 
 
Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar, os momentos fletores de cálculo totais, 
na base e no topo, são: 
 
 
 
 
 
 
eiy 
= 
1202 
= 6,60 cm 
182 
 
 
d) Momento fletor mínimo 
 
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mínimo, em cada direção é: 
Dir. x: M1d,mín,x = 182 (1,5 + 0,03 . 25) = 409,5 kN.cm 
Dir. y: M1d,mín,y = 182 (1,5 + 0,03 . 19) = 376,7 kN.cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Esbeltez limite 
25 + 12,5 
e1
 
1 = 
h 
b 
, com 35 ≤ λ1 ≤ 90 
 
Dir. x: A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 13,96 cm. Os momentos fletores de 1
a 
ordem nesta direção são M1d,A,x = – M1d,B,x = 2.541 kN.cm, maiores que o momento fletor mínimo (M1d,mín,x 
= 409,5 kN.cm), o que leva ao cálculo de b . Assim: 
 = 0,6 + 0,4 
MB = 0,6 + 0,4 
(− 2541) 
= 0,2  0,4 →  b = 0,4 
b 
MA
 
 
25 +12,5 
13,96
 
2541 
1,x =
 25 = 80,0  35 →  1,x = 80,0 
0,4 
 
Dir. y: A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 6,60 cm. Os momentos fletores de 1
a ordem 
nesta direção são M1d,A,y = – M1d,B,y = 1.202 kN.cm, maiores que o momento fletor mínimo (M1d,mín,y = 
376,7 kN.cm), o que leva ao cálculo de b . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo: 
x = 38,9 < 1,x → não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x; 
y = 51,0 < 1,y → não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y. 
 
f) Momento fletor total solicitante e cálculo da armadura 
to
po 
y 
 
 
M1d,A,
x 
2.541 
x 
ba
se 
 
 
Como não existem excentricidades de 2a ordem o momento fletor total é igual ao máximo 
momento de 1a ordem, ou seja: 
Dir. x: 
Md,tot,x = M1d,A,x = 2.541 kN.cm  M1d,mín,x = 409,5 kN.cm → ok! 
 
Dir. y: 
Md,tot,y = M1d,A,y = 1.202 kN.cm  M1d,mín,y = 376,7 kN.cm → ok! 
 
Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 97. A força normal adimensional 
é: 
 
 = 
Nd
 
Ac . fcd 
= 
182 
475 
3,0 
1,4 
= 0,18 
 
Dir. x 
 M1d,mín,x 
 
M1d,A,x 
 
M1d,mín,y 
Dir. y 
M1d,A,y 
 
 
 
 
 
 
OU OU 
 
 
 
 
 
 409,5 2.541 376,7 1.202 
e1x,mín = 2,25 e1A,x = 13,96 e1y,mín = 2,07 e1A,y = 6,60 
 
Coeficientes adimensionais de flexão considerando a Flexão Composta Oblíqua: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- para  = 0,2 →  = 0,18 
- para  = 0,18 →  = 0,19 
 
A armadura resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Detalhamento 
 
Armadura mínima: 
 
As,mín 
= 0,15 
Nd  0,004 A 
fyd 
c
 
→ As,mín 
= 0,15 
182
 
43,5 
= 0,63 cm2  0,004 . 475 = 1,90 cm2 
As = 4,45 cm
2 > As,mín = 1,90 cm
2 → 4  125 mm (5,00 cm2) , ver Figura 98. 
A taxa de armadura resulta: 
 = 
As 100 = 
5,00 
100 = 1,05 % < máx = 4 % → ok! 
Ac 475 
O diâmetro (t) e espaçamento máximo dos estribos são: 
 
Projeto de referência: