rede de difracao

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Faculdade de Ciências 
Departamento de Física 
 
 
Disciplina: Óptica e Ondas Curso: Meteorologia 
 
 
Tema: Prática 9-Difracção da luz por uma rede 
(Exercícios 1,6, e 11) 
 
 
Discente: 
Rosymary de Josina Dionísio Magalhães 
 
 
Docente: Prof. Dr. Carlos Abilio Alejandro Alfonso 
 
 
 
 
 Maputo, 30 de Maio de 2020 
2 
 
Índice 
1.Introdução teórica ................................................................................................................... 3 
2.Conceitos básicos .................................................................................................................... 4 
2.1.Condições para que ocorra a difracção ............................................................................ 4 
2.2.Tipos de difracção ............................................................................................................ 8 
2.2.Caracteristicas e constituição ......................................................................................... 11 
2.3.Condicoes máximas e mínimas. ..................................................................................... 11 
3. Exercícios (1, 6, e 11) e resoluções ...................................................................................... 13 
4. Conclusão ............................................................................................................................. 16 
5.Bibliografia ........................................................................................................................... 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1.Introdução teórica 
Um dos dispositivos mais úteis para o estudo da luz e corpos que emitem e absorvem luz é a 
rede de difracção. Neste dispositivo há inúmeras fendas, chamadas de ranhuras, podendo a 
chegar a milhares por milímetro, a luz só pode atravessar os espaços entre os sulcos que 
funcionam como fendas. As redes de difracção são muito utilizadas para determinar os 
comprimentos de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos, desde lâmpadas até 
estrelas. As primeiras redes de difracção eram constituídas por fios metálicos bastante 
delgados e separados por intervalos iguais. Hoje em dia são constituídas por uma lâmina de 
vidro por onde se riscam, com diamante, um número de linhas ou sulcos separados 
igualmente, ou são moldados em plásticos. A dispersão da luz pode ser observada por meio 
da superfície reflectora de um CD. A superfície de um CD possui um rastro de sulcos em 
espiral da ordem de 1μm, ela então se comporta como uma rede de difracção. Quando o CD é 
iluminado com luz branca, a luz difractada forma faixas coloridas que representam as figuras 
de difracção associadas aos diferentes comprimentos de onda da luz. (FONSECA, SANTOS, 
& MONTENEGRO, 2007) 
Uma rede difracção é um dispositivo de múltiplas fendas que difractam o raio de luz 
incidente. Se a luz difractada é monocromática, os raios difractados apresentam padrão de 
interferência. O estudo de redes de difracção é importante, pois com a medida do 
comprimento da luz podemos analisar o espectro nele contido, uma vez que cada elemento 
químico possui seu próprio espectro, podemos identificar a composição química uma matéria 
presente, por exemplo, nas estrelas. 
 
Figura 1-CD 
4 
 
2.Conceitos básicos 
A rede de difracção é como um experimento da fenda dupla aumentado. Consiste em uma 
série de ranhuras para separar uma onda em suas componentes, mostrando os máximos 
associados a cada comprimento de onda. (FONSECA, SANTOS, & MONTENEGRO, 2007) 
 
Figura 2. Rede de difracção simplificada, com apenas cinco fendas, que produz uma figura de 
interferência em uma tela de observação distante 
2.1.Condições para que ocorra a difracção 
Com um feixe de luz monocromática incidindo em uma rede de difracção, quando 
aumentamos gradualmente o número de fendas desde 2 até um número grande N teremos 
uma figura muito mais complexa e depois para uma figura 3a muito mais complexa e depois 
para uma figura simples como a que aparece na figura 3b. A imagem observada em um 
anteparo quando a rede é iluminada com luz vermelha monocromática, produzida, por 
exemplo, por um laser de hélio-neónio aparece na figura. Os máximos nesse caso são muito 
estreitos (por isso recebem o nome de linhas) e estão separados por regiões escuras 
relativamente largas. (FONSECA, SANTOS, & MONTENEGRO, 2007) 
5 
 
 
Figura 3. (a) A curva de intensidade produzida por uma rede de difracção com muitas 
ranhuras é constituída por picos estreitos, que aqui aparecem rotulados pelos números de 
ordem m (b) as franjas claras correspondentes, observadas na tela, são chamadas de linhas e 
também foram rotuladas pelo número de ordem m. 
Para determinar as posições das linhas na tela de observação, supomos que a tela está 
suficientemente afastada da rede para que os raios que chegam a um ponto P da tela sejam 
aproximadamente paralelos ao deixarem a rede de difracção (Fig.4). 
 
Figura 4. Os raios que vão das ranhuras de uma rede de difracção até a um ponto P são 
aproximadamente paralelos. A diferença entre as distâncias percorridas por dois raios 
vizinhos é onde é o ângulo indicado na figura. 
 
6 
 
Em seguida, aplicamos a cada par de ranhuras vizinhas o mesmo raciocínio que usamos no 
caso da interferência causada por duas fendas. A distância d entre ranhuras vizinhas é 
chamada de espaçamento da rede. (Se N ranhuras ocupam uma largura total w, ) A 
diferença d entre as distâncias percorridas por raios vizinhos é (Fig. 4), onde é o 
ângulo entre o eixo central da rede (recta que liga o centro da rede ao centro da figura de 
difracção) e a recta que liga a rede ao ponto P. Haverá uma linha em P se a diferença entre as 
distâncias percorridas por raios vizinhos for igual a um número inteiro de comprimentos de 
onda, ou seja, se. (Halliday, Resnick, & Walker, 2016) 
 
Onde é o comprimento de onda da luz. 
 A cada número inteiro m, excepto m = 0, correspondem duas linhas diferentes, 
simetricamente dispostas em relação à linha central; assim, as linhas podem ser rotuladas de 
acordo com o valor de m, como na Figura 3. Este valor é chamado de número de ordem, e as 
linhas correspondentes são chamadas de linha de ordem zero (a linha central, para a qual 
m=0), linhas de primeira ordem, linhas de segunda ordem, e assim por diante. 
Escrevendo a Equação (1) na forma 
 
 
 vemos que para uma dada rede de 
difracção o ângulo entre o eixo central e qualquer linha (as linhas de terceira ordem, digamos) 
depende do comprimento de onda da radiação utilizada. Assim, quando a rede é iluminada 
com uma luz cujo comprimento de onda é desconhecido a medida da posição das linhas pode 
ser usada para determinar o comprimento de onda, bastando para isso aplicar a equação (1). 
Até mesmo uma luz que contém uma mistura de vários comprimentos de onda pode ser 
analisada dessa forma. (HALLIDAY, RESNICK, & WALKER, 2009) 
vemos que para uma dada rede de difracção o ângulo entre o eixo central e qualquer linha (as 
linhas de terceira ordem, digamos) depende do comprimento de onda da radiação utilizada. 
Assim, quando a rede é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é desconhecido a 
medida da posição das linhas pode ser usada para determinar o comprimento de onda, 
bastando para isso aplicar a equação (1). Até mesmo uma luz que contém uma mistura de 
vários comprimentos de onda pode ser analisada dessa forma. (HALLIDAY, RESNICK, & 
WALKER, 2009) 
 
7 
 
Largura das Linhas 
 A capacidade de uma rede de difracção de resolver (separar)linhas de diferentes 
comprimentos de onda depende da largura das linhas. Vamos agora obter uma expressão para 
a meia largura da linha central (a linha correspondente a m=0) apresentar, sem demonstração, 
uma expressão para a meia largura das outras linhas. A meia largura da linha central é 
definida como o ângulo entre o centro da linha ( ) e o primeiro mínimo de 
intensidade (Fig. 5). Nesse mínimo os N raios provenientes das N ranhuras da rede se 
cancelam mutuamente. (Naturalmente, a largura de linha da linha central é igual a , 
mas as larguras de linha são quase sempre medidas em termos da meia largura). (Halliday, 
Resnick, & Walker, 2016) 
No caso da difracção por uma fenda essa diferença é . Para uma rede com N ranhuras, 
cada uma separada da vizinha uma distância d, a distância entre as ranhuras situadas nas 
extremidades da rede é Nd (Fig. 6) e, portanto, a diferença entre as distâncias percorridas 
pelos raios que partem das extremidades da rede Assim, o primeiro mínimo 
acontece para, 
 
 
Figura 5. A meia largura de linha da linha e o mínimo mais próximo em um gráfico de I em 
função de como o da fig. 3a. 
 da linha central é medida entre o centro . 
 
8 
 
2.2.Tipos de difracção 
 
 
Figura 6.Um feixe de luz monocromática passa por uma fenda de largura b e atinge um 
anteparo a uma distância z. 
As ondas de Huygens originárias em cada ponto da abertura interferem entre si e produzem o 
padrão de difracção ilustrado nesta figura. Observamos um máximo central e pontos onde a 
intensidade luminosa é nula (Maximo, 2006) 
Difracção de Fenda dupla 
Um arranjo semelhante pode ser feito para se observar a difracção de fenda dupla. O efeito de 
difracção observado quando a luz passa por cada uma das fendas é o mesmo discutido 
anteriormente, mas o resultado final em qualquer direcção depende da diferença de caminho 
entre as duas contribuições 
 
 
9 
 
Figura 7.Nos mostra que a luz difractada pelas duas fendas sofre efeito de interferência, de 
modo a se obter nos anteparos máximos e mínimos de luz. 
A intensidade total é o produto de um factor devido à difracção de fenda simples (sinb/b) 
vezes um factor devido à interferência de fenda dupla (cos (γ)). O factor de interferência tem 
um máximo (chamados de máximos principais) sempre que: (Maximo, 2006) 
 dsin (Θ) = m λ onde m=0,1,2,3,4, ...denota a ordem do padrão. 
 Já o factor de difracção tem mínimos de intensidade sempre que: 
 bsin (Θ) = n λ onde n=1,2,3,4, ... Denota a ordem do mínimo. 
O padrão pode ser descrito dizendo-se que o factor de difracção “modula” as variações do 
factor de interferência. Sempre que um máximo de interferência coincide espacialmente com 
um mínimo de difracção, esse máximo de interferência é suprimido. Assim, sempre que 
(d/a) n = m um máximo do padrão de interferência será eliminado 
Difracção de fenda múltipla 
 
Figura 8. Difracção de N fendas de largura b período d. A linha serrilhada representa a função 
de difracção (sinb/b)2 . Utilizando a relação apresentada no parágrafo anterior para o caso da 
fenda dupla, e a relação trigonométrica, (Caldeira, 2008-2009) 
 ) (3) 
o padrão de intensidades para a fenda dupla pode ser escrito como: 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
A generalização desta expressão ao caso de N Fendas não é uma tarefa matemática simples. 
O resultado final, contudo, é bastante simples sendo obtido apenas substituindo-se por: 
 (5) 
10 
 
 (6) 
Assim para a difracção por um arranjo de múltiplas fendas, a distribuição de intensidades é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Difracção de Fraunhofer 
É o tipo de difracção mais simples. Pode-se dizer que este tipo de difracção é aquela em que a 
onda difractada é plana (pelo menos aproximadamente, na pressão de precisão observado) e 
exige um tratamento matemático mais simples. (Ventura, Fiolhais, & Fiolhais, 2016) 
 
 
 
 
 (8) 
Difracção de Fresnel 
É o tipo de difracção cujo tratamento matemático é mais complexo. Nesse caso, a onda que se 
desloca não é plana. Para se calcular a distribuição da intensidade da luz difractada em função 
do ângulo de espalhamento é comum se usar da espiral de Cornu. (Ventura, Fiolhais, & 
Fiolhais, 2016) 
A equação da difracção de Fresnel é usada para calcular o padrão de difracção criado por 
ondas passando por uma fenda ou em volta de um objecto, quando visto relativamente 
próximo do objecto (diz-se que a onda se propaga em um "campo próximo". Esse campo 
pode ser calculado pelo número de Fresnel). Múltiplas difracções de Fresnel podem causar a 
reflexão especular. (Maximo, 2006) 
 
11 
 
2.2.Caracteristicas e constituição 
As redes de difracção são muito utilizadas para determinar os comprimentos de onda 
emitidos por fontes luminosas de todos os tipos, desde lâmpadas até estrelas. 
Uma rede de difracção é constituída por um conjunto muito grande de fendas paralelas. As 
primeiras redes de difracção eram construídas com fios metálicos bastantes delgados e 
separados por intervalos iguais. Hoje em dia são constituídas por uma lâmina de vidro por 
onde se riscam, com diamante, um número de linhas ou sulcos separados igualmente, ou são 
moldadas em plásticos, em redes deste tipo. A luz só pode atravessar os espaços entre os 
sulcos que funcionam como fendas. Os feixes difractados por cada fenda interferem entre si 
produzindo a figura de difracção final. (Tippler, 1991) 
2.3.Condições máximas e mínimas. 
A lente de distância focal (f) que é colocada entre a rede e a tela serve para colectar a última 
e, em um ponto, o feixe de raios paralelos difractados pela rede. 
Os máximos principais, assumindo que a luz incidente chega perpendicular à rede, podem ser 
expressos pela expressão: 
 m=1,2,3… (9) 
O inteiro m é chamado ordem do espectro, ou mais apropriadamente, ordem do máximo 
principal em questão. Para estudar um espectro, outras propriedades da rede devem ser 
conhecidas, como sua dispersão angular (dϴ) e a poder de separação (R). 
Dispersão angular: Velocidade de mudança da posição angular com comprimento de onda. 
 
 
 
 (10) 
 Usando a equação 10, temos: 
 
 
 
 (11) 
Multiplicando 11 por 
 
 
 nós podemos obter: 
 
 
 
 (12) 
 Além disso, como √ substituindo em (11) e usando (10), temos: 
12 
 
 
 
√ 
 (13) 
 A dispersão angular de uma rede é uma medida da separação angular produzida entre duas 
ondas incidentes monocromáticas cujos comprimentos de onda diferem em uma pequena 
faixa de comprimentos de onda. Para estabelecer uma clara diferença entre as ondas de luz 
cujos comprimentos de onda são muito próximos, a rede deve ter um alto poder de separação 
(R), definido como: 
 
 
 
 (14) 
Para conseguir grandes potências de separação, são construídas redes com muitas linhas ou 
listras, pois quanto mais próximas as linhas estiverem, menos elas ainda poderão ser vistas 
separadamente. O poder de resolução de uma rede pode ser determinado pelo critério de 
Rayleigh: Para dois máximos principais são no limite ser separados,deverá ter um 
afastamento angular de modo a que o máximo de uma linha que corresponde ao primeiro 
mínimo da outra. 
 (15) 
 
 
A difracção por N ranhuras resulta em máximos de intensidade com ângulos θ: 
13 
 
3. Exercícios (1, 6, e 11) e resoluções 
1. Encontre a separação angular do espectro visível de primeira ordem produzida por uma 
rede plana com 600 fendas por milímetro, quando nela incide normalmente uma luz branca. 
Dados: Pedido/ Formula: 
 
 (
 
 
) 
 
Resolução: 
Para Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A separação angular no espectro visível: 
 
 
Resposta: A separação angular do espectro visível para a primeira ordem será igual a 
6. Uma rede de difracção tem 4000 fendas/cm. Suponha incidência normal. As linhas α e δ 
emitidas pelo hidrogénio atómico têm 656 nm e 410 nm respectivamente. Calcule a separação 
angular entre estas linhas no espectro de segunda ordem. 
Dados: Pedido/ Formula 
 (
 
 
) 
 
 
14 
 
 
 
Resolução: 
Para α Para δ 
 θα 
 θα 
 
 θα 
 
 
 θδ 
 
 
 
θα 
 = θδ 
 = 
A separação angular entre as linhas da segunda ordem: 
 
 
11. Sobre uma rede de difracção de 141 fendas/mm incide normalmente luz violeta. Se a 
largura de cada fenda é de 1,16. 10-6 m a) Quantas linhas podem-se observar em uma tela 
muito comprida? b) Que comprimento deve ter uma tela opaca, colocada a 3 m da rede, para 
que se observem 11linhas brilhantes? 
a) Dados: Pedido/ Formula: 
 (
 
 
) 
λ 
 
 
 
 (largura da fenda) 
Resolução: 
 
 
 
 
 
b) Dados: Pedido/ Formula: 
 (
 
 
) θ λ 
15 
 
 
Resolução: 
 θ 
 
 
 
 θ 
θ 
θ 
Caso então θ θ 
 
 
 
 
 θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
4. Conclusão 
Depois de pesquisa e estudo das redes de difracção percebeu-se que este è um dos 
dispositivos mais úteis para o estudo da luz e corpos que emitem e absorvem luz é a rede de 
difracção. E que as redes de difracção são muito utilizadas para determinar os comprimentos 
de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos, desde lâmpadas até estrelas. 
Descobertas também foram feitas nesta pesquisa de relatório que primeiras redes de difracção 
eram constituídas por fios metálicos bastante delgados e separados por intervalos iguais. Hoje 
em dia são constituídas por uma lâmina de vidro por onde se riscam, com diamante. 
Concluindo no final que foi eficaz usar todas as leis, e ou princípios para a resolução de 
exercícios que estão anexos neste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
5.Bibliografia 
FONSECA, P., SANTOS, C., & MONTENEGRO, E. (2007). Ensino defisica. Brasil. 
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2016). Fundamentos de Fisica (10 ed., Vol. IV). Rio 
de Janeiro: Grupo editorial Nacional. 
Maximo, B. A. (2006). Fisica Ensino Medio. Scipiane. 
NUSSENZVEIG, H. (2004). Curso de Fisica (3 ediccao ed., Vol. IV). Edgard Blucher.. 
Tippler, P. (1991). Fsica (3 edicao ed., Vol. IV). 
Usberco, J., Salvador, E., Jose, M. M., & Martin Velloso, H. (2009). brasil: companhia das 
ciencias. 
Young, H. D., & Fredman, R. A. (2009). Fisica IV (12 Edicão ed.). São Paulo: Person.