derivativos_financeiros

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DERIVATIVOS
 FINANCEIROS
Mario Pina
2009
IESDE Brasil S.A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
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Capa: IESDE Brasil S.A.
Imagem da capa: IESDE Brasil S.A.
P645d Pina, Mario. / Derivativos financeiros. / Mario Pina. — Curitiba : IESDE 
Brasil S.A. , 2009. 
332 p.
ISBN: 978-85-387-0248-1
1.Derivativos (Finanças) 2.Finanças 3.Contabilidade I.Título
CDD 332.645
Mario Pina
Doutorando em Economia pela Escola de Pós-
-Graduação em Economia – Fundação Getulio 
Vargas - EPGE/FGV, Graduado em Engenharia 
Química pela Universidade Federal do Rio de 
Janeiro - UFRJ, Mestre em Economia pela Escola 
de Pós-Graduação em Economia da Fundação 
Getulio Vargas (EPGE/ FGV ), Graduado em Eco-
nomia pela Faculdade de Ciências Econômicas 
do Rio de Janeiro.
Professor da Pontifícia Universidade Católica 
PUC-RJ , nos cursos do IAG Master.
Ex-professor do Instituto Brasileiro de Merca-
dos de Capitais (IBMEC) - Derivativos e Merca-
dos Financeiros.
Professor da Fundação Getulio Vargas - Cursos 
de Pós-Graduação em Finanças e Mercado de 
Capitais e de Gestão e Finanças Corporativas.
Professor Assistente - Faculdade de Economia 
da Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
(UERJ).
Professor da Andima (Associção Nacional das 
Instituições do Mercado Financeiro - RJ).
Professor da BM&F (Bolsa de Mercadoria e Futu-
ros) – RJ e SP.
Atuou como engenheiro químico no Departa-
mento Industrial, e como economista do Serviço 
de Planejamento e Financeiro, da Petrobras.
Consultor em Economia de diversas empresas.
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Introdução aos mercados/contratos de derivativos 
13
13| O que são os derivativos
13| Importância e crescimento do uso dos contratos de derivativos
14| Participantes dos contratos e mercados de derivativos
16| Estruturas fundamentais dos instrumentos derivativos
20| Complexidade dos instrumentos derivativos
23| Origem dos mercados futuros, de opções e de swaps
24| As principais bolsas de futuros no mundo
Mercados futuros 
31
31| Utilização dos contratos futuros
36| Hedger
41| Base e risco de base
46| Contratos futuros e entrega de produtos
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI 
55
55| Contratos futuros de taxa de câmbio na BM&FBovespa
62| Contratos futuros de taxa de juros DI
Mercados futuros de 
índices de ações e de commodities 
85
85| Contratos futuros de índices de 
ações Ibovespa na Bolsa de Mercadorias e Futuros BM&FBovespa
94| Contratos futuros de commodities
97| Contratos futuros de petróleo
Contratos a termo e preços 
dos contratos a termo e futuros 
111
111| Definição 
112| Preços futuros a termo e preços à vista 
115| Preços a termo de títulos com rendimento determinado
Contratos e mercados de opções 
131
131| Opções fundamentais
136| Classificação de acordo com a possibilidade de exercício
138| Exemplo de uso de opção de compra
Estratégias com opções 
157
157| Introdução
157| 1.ª estratégia – spread de alta ou trava de alta
159| 2.ª estratégia – straddle
162| 3.ª estratégia – strangle
165| 4.ª estratégia – financiamento (covered call)
168| 5.ª estratégia – put de proteção (protective put)
170| 6.ª estratégia – spread borboleta (butterfly)
173| 7.ª estratégia – box de 4 pontas
176| 8.ª estratégia – collar
179| 9.ª estratégia – call sintética
179| 10.ª estratégia – put sintética
Preço das opções 
185
185| Paridade put-call
187| Introdução ao Modelo de Black & Scholes
201| Sensibilidade do preço das opções às suas variáveis determinantes, ou gregas
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Modelo binomial 
209
209| Introdução
209| O uso do modelo binomial
Opções exóticas 
231
231| Definição
231| Opções exóticas independentes da trajetória do ativo-objeto
236| Opções exóticas dependentes da trajetória do ativo-objeto
243| Outras opções exóticas
Contratos e mercados de swaps 
249
249| O que são as operações de swaps?
253| Swaps e contratos futuros
254| Exemplos de swaps
256| Origens das operações de swaps
257| Swaps e vantagens comparativas
260| O mecanismo das trocas de pagamentos
262| Valor de um swap
267| Financiamento com swap de juros
Operações com derivativos 
273
273| Introdução
273| Análise de proteção cambial
Gabarito 
293
Referências 
329
Anotações 
331
Introdução D
erivativos Financeiros
O livro apresenta os tipos básicos de ins-
trumentos derivativos, os agentes que par-
ticipam desses mercados, as estratégias que 
podem ser utilizadas e uma breve história de 
formação dos mercados derivativos. O mesmo 
se divide em quatro partes, inicialmente estão 
os contratos futuros e a termo, em seguida os 
contratos de opções, os contratos de swaps 
são abordados no final, juntamente com apli-
cações comparativas.
Na primeira parte são analisados os mer-
cados futuros e a termo, os contratos rela-
cionados a esses mercados, e as operações 
com esses contratos. Os principais contratos 
futuros utilizados no Brasil, e alguns poucos 
no exterior, são analisados, na forma de suas 
especificações e usos adequados a diversas 
situações encontradas na prática.
Na parte que cobre os contratos e merca-
dos de opções são apresentadas as definições, 
os tipos de contratos e, também, as estraté-
gias com esse instrumento derivativo imensa-
mente rico em formas de uso, e, por isso, ade-
quado a numerosas situações vivenciadas na 
prática por empresas ou investidores.
Ainda sobre o tópico opções, após vários 
exercícios ilustrativos, diversas estratégias são 
detalhadas e comparadas de modo a permitir 
que o leitor possa compreender a finalidade 
de cada uma delas. A seguir, é discutida a 
forma de apreçamento destes instrumentos, 
com o uso do Modelo de Black & Scholes, e 
seus desdobramentos. É enfatizada a origem 
dos modelos para cálculo de preços, e seus 
D
erivativos Financeiros
desdobramentos com o Modelo binomial. A flexi-
bilidade deste modelo é enfatizada e comparada 
ao modelo original de apreçamento de opções, o 
já citado Modelo de Black & Scholes.
Também são introduzidas as diversas opções 
exóticas, com suas características e objetivos, de 
modo a compará-las às opções tradicionais.
Nos contratos de swaps, que compõem a ter-
ceira parte do livro, eles são comparados aos con-
tratos futuros e a termo, e é ressaltada a origem 
comum a ambos. Situações práticas e estruturas 
utilizadas são discutidas em operações no Brasil 
e no exterior. Em seguida, a formação de preços 
destes instrumentos é analisada na forma teórica 
e com aplicações práticas.
Por fim, é mostrado um exemplo de uso alter-
nativo de contratos futuros e de opções, fazendo 
as comparações entre eles em uma situação espe-
cífica que envolve riscos cambiais.
Introdução aos mercados/ 
contratos de derivativos
O que são os derivativos
Os derivativos são ativos cujos valores dependem do preço de outros 
ativos, que são aqueles que originam o contrato de derivativos e que são 
chamados ativos-objetos ou ativos subjacentes. Por exemplo, os preços futu-
ros de mercadoria, como soja, petróleo, milho, minerais etc., ou de um ativo 
financeiro como uma moeda, ou um título de dívida, ou uma ação, depen-
dem, respectivamente, do valor destas mercadorias e destes ativos finan-
ceiros no mercado à vista; ou o preço de um contrato de opção de compra 
(direito de compra) de uma mercadoria ou de uma moeda também depende 
do valor damercadoria ou da moeda que define o contrato de opção.
Aqui, os contratos futuros e de opções são conhecidos como derivativos, 
pois dependem do ativo que lhes dá origem.
Também é possível ter contratos de derivativos que dependem de outro 
derivativo como, por exemplo, o contrato de opção de compra ou de venda 
de contratos futuros de dólar; mas, mesmo neste caso, os contratos futuros 
irão depender do preço do ativo à vista que o originou e da taxa de câmbio 
real/dólar.
Importância e crescimento 
do uso dos contratos de derivativos
Os contratos de derivativos cresceram muito em importância nas últimas 
décadas, tornando-se instrumentos de uso comum no mundo das finanças. 
Nesta evolução, os instrumentos derivativos passaram a fazer parte do esto-
que de conhecimento necessário para os profissionais da área de finanças.
Os contratos de derivativos possuem uma função econômica de valor 
para os mercados financeiros, de bens e de serviços e até mesmo para o 
setor público, permitindo que situações de risco sejam transferidas de um 
14
Derivativos Financeiros
agente econômico menos apto a sustentá-la para outro agente mais habi-
litado a suportá-la. Por exemplo, um exportador pode transferir seu risco 
cambial para instituições financeiras mais capazes de lidar com este tipo de 
risco, já que elas, por executarem diversas operações com diversos agentes 
econômicos (clientes e outras instituições financeiras), conseguem absor-
ver e eliminar parte ou todo o risco cambial envolvido na operação com o 
exportador. É também possível que dois agentes econômicos compensem 
seus riscos entre si de modo concomitante, quando um deseja se proteger 
de uma situação de risco que é, por sua natureza, a situação que elimina o 
risco do outro agente econômico. Consideremos novamente o caso do ex-
portador que quer se proteger contra a valorização de sua moeda; ele, então, 
poderia acertar um contrato com um importador, que esteja querendo se 
proteger contra a desvalorização desta mesma moeda, no qual o exporta-
dor pagaria um valor ao importador, no caso da desvalorização futura da 
moeda, e o importador pagaria ao exportador um determinado valor, no 
caso de valorização futura da moeda. Poderia haver, ou não, uma instituição 
financeira mediando esta negociação; mas, o fato importante é que as duas 
partes envolvidas estariam controlando seus respectivos riscos através de 
uma operação financeira.
Participantes dos contratos 
e mercados de derivativos
Os agentes que participam dos mercados/contratos de derivativos são os 
hedgers, os especuladores, os arbitradores, e os market makers.
Estes agentes interagem entre si e com bolsas de futuros e instituições 
normativas.
Vejamos os papéis destes agentes básicos.
Hedger e especulador
Como veremos mais adiante, os instrumentos derivativos, por exigirem 
pequenos valores monetários em relação à posição financeira assumida com 
estes instrumentos, constituem operações alavancadas e, por isso, permitem 
criar situações de risco elevado. Assim sendo, se o objetivo é assumir riscos 
elevados, estar-se-ia na posição oposta a do exportador acima. O exportador, 
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
15
ao procurar uma instituição financeira para cobrir seu risco cambial, estaria 
eliminando riscos, ou seja, buscando proteção contra oscilações da taxa de 
câmbio; estaria fazendo o que se chama de hedge.
Por outro lado, o agente econômico que busca os derivativos para assu-
mir posições de risco estaria fazendo o que chamamos especulação. O espe-
culador poderia ser, por exemplo, um agente que aposte em determinada 
ocorrência de mercado, através do uso de instrumentos derivativos, na va-
lorização ou desvalorização de uma moeda, por exemplo, ou na subida ou 
descida das taxas de juros, ou ainda da Bolsa de Valores. Se sua aposta estiver 
errada, ele perderá; e, caso contrário, ganhará. Em contraste o exportador 
anterior estará controlando os resultados possíveis de sua receita cambial 
futura, exatamente com o uso dos instrumentos derivativos.
O especulador no mercado de derivativos pode ser caracterizado como 
aquele (indivíduo ou instituição) que assume posições em derivativos cujos 
objetos de contratos não estão relacionados com a atividade principal do 
indivíduo ou instituição; mas também incluiria aqueles cujas atividades prin-
cipais estão relacionadas com o ativo-objeto do contrato derivativo, mas que 
assumem posições com derivativos que estariam aumentando seu risco total 
e não o eliminando, como faria um hedger.
Arbitrador
Outra atividade importante nos mercados financeiros em geral, e, em 
particular, no de derivativos, é a do arbitrador. Como será analisado em ca-
pítulo posterior o valor de um contrato futuro guarda determinada relação 
com o preço do ativo-objeto deste contrato. Assim sendo, alguns agentes 
atuam concomitantemente nos dois mercados, no à vista e no futuro, bus-
cando auferir ganhos com possíveis distorções nesta relação. Estes agentes 
são os arbitradores. E a atuação deles tende a estabelecer uma determinada 
relação entre preços à vista e futuros, como, por exemplo, entre a cotação do 
dólar no mercado à vista e no mercado futuro, ou entre o preço do petróleo 
à vista e futuro etc.
Normalmente, os arbitradores são grandes bancos que desfrutam de 
fontes de financiamento barato, ou grandes empresas que usam o ativo-ob-
jeto dos contratos de derivativos em suas atividades principais, e, portanto, 
tem facilidade de negociá-lo no mercado à vista.
16
Derivativos Financeiros
Market maker
Os market makers são agentes que cotam preços de compra e venda de 
derivativos negociados em Bolsas, procurando garantir, dessa maneira, li-
quidez aos contratos negociados, e, por isso, influenciam na formação de 
preços.
Estruturas fundamentais 
dos instrumentos derivativos
Os derivativos podem ser divididos em contratos futuros, contratos a 
termo, contratos de opções e contratos de swaps. Diversas variações podem 
ser feitas com base nestes contratos, como, por exemplo, através de swaptions, 
que caracterizam opções sobre swaps; ou de opções sobre contratos futuros, 
ou, ainda, de opções sobre opções.
Uma visão inicial destas estruturas fundamentais dos instrumentos deri-
vativos pode ser apresentada nas situações criadas a seguir:
Um produtor de café deseja garantir o preço de sua produção que será 
vendida seis meses à frente. Ele teme que os preços do café possam cair 
no mercado internacional; o suficiente para reduzir substancialmente ou 
mesmo eliminar sua margem de lucro.
Este objetivo do produtor poderia ser alcançado de diversas maneiras. 
Apresentaremos quatro alternativas. A alternativa de indexar o preço do 
produto ao custo da produção não será considerada, pois estaremos su-
pondo que os preços no mercado internacional são dados para o produ-
tor, ou seja, ele não consegue estabelecer os preços devido à concorrência 
internacional.
1.ª alternativa – o produtor de café pode tentar estabelecer a fixação 
dos preços do café, que será vendido, diretamente com os compradores 
do produto. Esta estratégia, para ser bem-sucedida, exigiria aceitação por 
parte dos compradores de café a ser vendido seis meses à frente, e quanto 
maior o número de compradores, mais difícil deve ser esta tarefa. No en-
tanto, se os compradores de café receiam que possa haver elevação do 
preço deste produto nos próximos meses, eles poderão antecipar o preço 
de compra do café.
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
17
Esta alternativa, se realizada, caracterizaria o que chamamos contratos a 
termo. Haveria a venda futura do café, mas com preços estabelecidos hoje, e 
não na data de entrega do produto. Estamos diante de uma fixação de preços.
2.ª alternativa – o produtor de café poderia escolher uma outra manei-
ra de antecipar o preçode venda de sua produção, por exemplo, utilizando 
contatos futuros que são negociados em bolsas de futuros.
Essa alternativa produz o mesmo resultado que a anterior, pois estabe-
lece uma fixação de preços (a menos de algumas imperfeições) antecipada 
para o produto que será vendido em data futura.
Entretanto, os contratos futuros são oferecidos por bolsa de futuros como 
a BM&FBovespa no Brasil, a Chicago Mercantile Exchange nos EUA etc., 
tendo, por isso, os contratos padronizados, requerendo depósitos de mar-
gens como garantia, e apresentando regras próprias de entrega de produtos. 
Assim, as bolsas de futuro se diferenciam dos contratos a termo, que são 
contratos estabelecidos diretamente entre as partes interessadas.
3.ª alternativa – o produtor de café pode adquirir o direito de vender 
café a um determinado preço mínimo, acertado hoje, para a entrega do pro-
duto em seis meses. Este direito de venda é chamado de opção de venda.
Nesta operação, o produtor tem o direito de vender seu produto a um 
preço mínimo, ou preço de exercício, ficando a obrigação, portanto, com 
a contraparte deste contrato, o qual é obrigado a comprar café ao preço 
mínimo estabelecido se o produtor assim o desejar. Por este direito o produ-
tor de café pagará um prêmio, semelhante ao que ocorre em um contrato de 
seguro comum.
Esta alternativa permite que o produtor de café obtenha um preço mínimo 
por sua produção, não se tratando, portanto, de fixação de preços do produ-
to; o que ocorre é apenas uma limitação de preços. É uma alternativa supe-
rior às duas anteriores em termos de flexibilidade, mas exige, certamente, 
um preço por essa flexibilidade, que é o prêmio pago.
4.ª alternativa – outra possibilidade para o produtor de café seria realizar 
um contrato de swap (troca), no qual ele receberia um preço pelo café, que 
seria estabelecido no início desta operação, portanto, prefixado, e pagaria o 
preço do café que vigorasse no mercado internacional no dia da entrega do 
produto. Como o produtor estaria recebendo o preço do café em vigor no 
18
Derivativos Financeiros
mercado internacional no dia da entrega física do produto ao comprador do 
café, e, ao mesmo tempo, estaria pagando este mesmo preço na operação 
de swap, estes dois fluxos se anulariam, restando, então, para o produtor, 
em termos líquidos, o pagamento prefixado constante no contrato de swap. 
Então, o produtor estaria fixando seu preço de venda do café. Ver figura 1.
Figura 1 – Swap de preço de café.
Contrapartida
Preço do café 
no mercado
Preço fixo de café
Vende café ao preço de mercado
Empresa de café
Novamente, temos uma fixação de preços, como nas duas primeiras 
alternativas.
Entretanto, no contrato de swap haveria, no dia de seu vencimento, que 
coincidiria com o dia da entrega física do café, simplesmente a troca da di-
ferença financeira entre o preço prefixado do café e o preço do café no mer-
cado internacional, evitando, desse modo, pagamentos mais elevados, que 
ocorreriam se os valores fossem trocados integralmente.
As quatro alternativas são resumidas na tabela 1.
Tabela 1
Operação Fixação de preço
Limitação de 
preço
Em bolsas de 
futuro
Pagamento de 
prêmio
Contratos 
a termo SIM NÃO NÃO NÃO
Contratos 
futuros SIM NÃO SIM NÃO
Contratos 
de opções NÃO SIM SIM e NÃO SIM
Contratos 
de swaps SIM NÃO NÃO NÃO
A estratégia a ser escolhida dependerá da visão do produtor quanto ao 
preço a vigorar no mercado e dos custos envolvidos na operação.
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
19
Substituamos, agora, o produtor de café por um investidor que deseja 
investir correndo o risco de oscilações do preço do café. Este investidor não 
produz nem compra café em termos físicos, ele apenas acredita em certa 
tendência dos preços no mercado internacional.
Este investidor poderia, por exemplo, vender contratos futuros de café 
se acreditasse em tendência de queda de preços no mercado. Como ele não 
dispõe do café para venda em data futura, por não ser um produtor, não 
estaria fixando um preço de venda para este produto. Estaria, sim, apenas 
obtendo ganhos financeiros se os preços na data futura fossem menores 
do que o preço determinado na venda dos contratos futuros. Se ocorresse 
a situação oposta, isto é, se o preço futuro do café no mercado internacio-
nal subisse acima do preço ao qual ele vendeu inicialmente os contratos 
futuros, o investidor sofreria uma perda financeira por ter vendido café, an-
tecipadamente, a preço que resultou menor do que o que passa a vigorar 
no mercado internacional.
Este investidor também poderia vender os contratos de opções de venda 
de café para o produtor do início do exemplo. Neste caso, o investidor rece-
beria o prêmio pago pelo produtor e se sujeitaria a perdas se o preço do café 
caísse abaixo do preço mínimo estabelecido no contrato de opções, quando, 
então, o produtor de café estaria exercendo seu direito de venda de café ao 
preço mínimo, ou preço de exercício.
E se o preço do café, no vencimento do contrato de opção estivesse acima 
ou fosse igual ao preço mínimo, o contrato não seria exercido e o investidor 
lucraria com o prêmio recebido no início do contrato.
Se o contrato é exercido pelo produtor de café, o valor da perda financei-
ra do investidor deverá ser transferido para o produtor, e se esta perda for 
maior do que o prêmio recebido pelo investidor no início da operação, este 
último terá que desembolsar recursos próprios neste investimento.
As situações do produtor de café e do investidor ressaltam o contraste das 
possíveis posições que poderiam ter assumido no exemplo em discussão. O 
produtor estaria buscando proteção contra queda de preços de seu produto, 
ao passo que o investidor estaria tentando obter ganhos financeiros explo-
rando possíveis tendências de preços no mercado internacional de café. O 
produtor estaria se protegendo, ou seja, fazendo um hedge, enquanto que o 
investidor estaria fazendo especulação.
20
Derivativos Financeiros
Não há necessidade de que as operações com derivativos compreendam 
um hedger e um especulador, elas podem ser feitas entre dois hedgers ou 
entre dois especuladores, ou ainda com arbitradores.
Complexidade dos instrumentos derivativos
Os derivativos podem apresentar graus de complexidade elevados em 
suas estruturas e nos seus apreçamentos. Uma situação em que isto normal-
mente ocorre é aquela que envolve contratos de opções chamados exóticos, 
tema do capítulo 10 deste livro. Estas opções, como o nome diz, são diferen-
tes, por isso não são classificadas como opções padrão, denominadas, em 
sua estrutura mais fundamental, de vanilla, nome decorrente da expressão 
“plain vanilla”, que significa o mais simples; em uma associação que pode-
ríamos fazer com o sorvete de baunilha puro, sem mais ingredientes como 
caldas de cobertura, castanha, ou creme chantili.
Embora a maioria dos contratos de derivativos celebrados comporte es-
truturas financeiras de complexidades moderadas, estas operações também 
podem apresentar sofisticações significativas, como foi o caso, por exemplo, 
da operação executada pela empresa Procter & Gamble na década de 1990; 
ela contratou uma operação de swap (tema do capítulo 11), cujos fluxos fi-
nanceiros dependiam do spread de juros na curva de rendimentos dos títu-
los do Tesouro norte-americano, operação na qual o banco Bankers Trust era 
a contraparte, e que acabou sendo processado judicialmente pela empresa 
por discordâncias quanto aos riscos da operação.
Outros casos envolvendo contratos derivativos também terminaram 
na Justiça. Estes foram os casos da Gibson Greetings, novamente contra o 
Bankers Trust, e do Orange County, condado da Califórnia, nos EUA, que 
sofreu perdas pesadas com aplicações em títulos de dívida sofisticados, em 
parte, vendidos para o condadopelo banco de investimento Merryl Lynch. 
Esses títulos tinham como características a possibilidade de ganhos acentua-
dos com a queda das taxas de juros libor1 em dólares, constituindo, portanto, 
veículos para posições alavancadas e, por isso, sujeitos a ganhos ou perdas 
elevadas. Os títulos em si não se enquadrariam, a princípio, na classificação 
de instrumentos derivativos, mas como são gerados a partir de operações 
com derivativos seriam enquadrados nestes instrumentos.
1 Libor significa: London 
Interbank Offer Rate e re-
presenta a taxa de oferta 
interbancária cotada em 
dólares (mas também 
negociada em outras 
moedas) negociada no 
mercado Eurodólar (dóla-
res “fora” dos EUA).
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
21
O episódio ocorrido recentemente no Brasil, que, aparentemente, 
depõe contra o uso de derivativos, consiste nas operações com opções 
sobre a taxa de câmbio real/dólar, realizadas pelas empresas brasileiras: 
Aracruz, Votorantim e Sadia; todas elas, em suas operações financeiras, su-
postamente, venderam opções de compra de dólar para os bancos com os 
quais estabeleceram estes contratos de opções. Essa estratégia possui risco 
elevado, e, por isso, essas empresas acabaram sofrendo perdas financeiras 
significativas. As empresas estariam na posição do investidor, no exemplo 
mencionado com a opção de venda de café. Duas diferenças, no entanto, 
podem ser apontadas:
1.ª diferença – o investidor supostamente poderia vender opções de 
venda de café para o produtor de café. Assim, como vimos, ele perderia 
quando o preço do café no mercado internacional caísse abaixo do preço 
mínimo, ou preço de exercício. No caso das empresas, elas perderam quando 
a taxa de câmbio ultrapassou a cotação em R$/US$ determinada pelo preço 
de exercício da opção de compra. A crise externa levou à desvalorização 
do real frente ao dólar norte-americano, e, por isso, a cotação de mercado 
ultrapassou o preço de exercício das opções de compra vendidas pelas em-
presas. Supondo que o preço de exercício de algumas opções de compra 
tenha sido 1,70R$/US$, se a cotação no mercado alcançou 2,40R$/US$, as 
empresas teriam perdido a diferença entre 2,40R$/US$ e 1,70R$/US$, já que 
os bancos, que eram a contraparte das operações, teriam exercido o direito 
deles de comprar dólares a 1,70R$/US$, quando a cotação no mercado de 
câmbio era 2,40R$/US$.
2.ª diferença – as empresas Aracruz, Votorantim e Sadia recebem recur-
sos em dólares decorrentes de suas exportações, e isto poderia compensar 
as perdas acima mencionadas quando a taxa de câmbio R$/US$ ultrapassou 
o suposto preço de exercício, 1,70R$/US$. A desvalorização do real eleva-
ria a receita das exportações e compensaria as perdas financeiras com os 
contratos de opções de compra. Esta peculiaridade não existia no exemplo 
mencionado, do investidor que vende opções de venda de café.
Mas, então, como as empresas perderam tantos recursos financeiros com 
a venda das opções? Isso leva a seguinte conclusão: as empresas venderam 
contratos de opções em volume superior ao que receberiam com o efeito 
positivo do câmbio sobre suas exportações.
22
Derivativos Financeiros
As possíveis perdas financeiras ocorridas podem ser visualizadas no 
Quadro 1 abaixo.
 Quadro 1 – Perdas financeiras com a venda de contratos de opções de 
compra
Cotação da taxa de 
câmbio
Preço de exercício da 
opção de compra 
Resultado financeiro 
para as empresas
(R$/US$) (R$/US$) (R$/US$)
1,50 1,70 ganham o prêmio
1,60 1,70 ganham o prêmio
1,70 1,70 ganham o prêmio
1,80 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,10R$/US$
1,90 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,20R$/US$
2,00 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,30R$/US$
2,10 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,40R$/US$
2,20 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,50R$/US$
2,30 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,60R$/US$
2,40 1,70 ganham o prêmio e per-
dem 0,70R$/US$
Observa-se que as perdas são ilimitadas, e aumentam com o aumento da 
cotação da taxa de câmbio R$/US$.
Os derivativos são hoje execrados por alguns policy makers que ainda des-
conhecem a gama de aplicações, boas e ruins, que eles permitem implemen-
tar, respondendo somente nos casos de perdas acentuadas vindas a público. 
No entanto, regulações mais adequadas do que as atuais permitiriam mais 
controle sobre operações bancárias (bancos comerciais e de investimento) 
e de outras instituições financeiras com estes instrumentos financeiros, em 
vez de tentar eliminar ou proibir o uso dos contratos de derivativos que apre-
sentam funções econômicas importantes nas economias contemporâneas.
Os contratos futuros e de opções são muito antigos, não na forma atual 
em que são negociados em bolsas de futuros ou em mercados de balcão, 
mas sim em sua forma mais essencial. Um produtor que desejasse eliminar 
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
23
ou reduzir seu risco com os preços de seus produtos, que ainda se encontra-
vam em fase de produção, podia negociar antecipadamente os preços de 
venda desses produtos. Do mesmo modo, um comerciante poderia negociar 
os preços futuros de mercadorias que irá adquirir em datas futuras, eliminan-
do, desse modo, os riscos de ascensões de preços que poderiam ser prejudi-
ciais à sua atividade profissional.
Contratos de opções também, em sua essência, são instrumentos de 
enorme utilidade para as atividades econômicas e financeiras de qualquer 
economia, completando mercados e transferindo riscos. Eles funcionam como 
apólices de seguro para diversas situações em que são utilizados; situações 
para as quais muitas vezes um contrato de seguro comum não existiria.
De fato, é necessária uma boa dose de expertise para dominar o uso destes 
instrumentos sem ser levado a situações de risco que poderiam atingir e pre-
judicar os objetivos principais dos agentes usuários destes instrumentos fi-
nanceiros. Portanto, cuidados devem ser tomados pelos que utilizam estes 
contratos de derivativos. E o ambiente, no qual este uso ocorreria, deveria 
ser regulado, não em excesso para não inibir processos criativos, nem com 
escassez de controles que o tornaria um ambiente permissivo, como o am-
biente internacional recente que favoreceu a gestação de uma crise de crédi-
to profunda e extensa cujo início esteve nos contratos de hipotecas subprime 
nos EUA.
Porém, a detração destes instrumentos estaria eliminando ou escassean-
do possibilidades de operações produtivas ou financeiras com funções eco-
nômicas estimuladoras para o crescimento econômico e aumento do bem- 
-estar em nações ao redor do mundo.
Tornar mercados mais incompletos não parece vantajoso para qualquer 
economia que busque desenvolvimento socioeconômico.
Origem dos mercados futuros, 
de opções e de swaps
A história de transações com contratos a termo tem início, provavelmen-
te, há alguns milhares de anos com acertos envolvendo gados, ovinos, suínos 
etc. Nesses acertos, esses animais davam origem a “contratos” de entrega em 
datas futuras específicas a preços preestabelecidos.
24
Derivativos Financeiros
No entanto, o mercado futuro organizado na forma que hoje conhece-
mos teve início somente em 1848, com a criação da Chicago Board of Trade, 
ou (CBOT) hoje integrada à Chicago Mercantile Exchange (CME). Os primei-
ros contratos negociados foram os de milho.
Observa-se que na origem, e durante a maior parte do tempo, os con-
tratos futuros negociaram mercadorias. O interesse pelos contratos futuros 
surgiu com a necessidade de proteção contra flutuações dos preços das 
mercadorias.
Porém, a partir da década de 1970, especificamente em 1973, quando 
o International Monetary Market, criado como parte integrante da Chicago 
Mercantile Exchange, iniciou negociações com contratos futuros e também 
com contratos de opções de ativos financeiros, estes contratospassaram a 
ganhar importância no mundo dos derivativos.
Um fato importante marcou essa transição. Este fato foi o fim do Siste-
ma Monetário criado em Bretton Woods, estabelecido em 1944, e através 
do qual as taxas de câmbio eram mantidas sob o regime de taxas fixas. Com 
a passagem para o sistema de flutuação no início dos anos 1970, oscilações 
expressivas das principais moedas dos países desenvolvidos exigiam ins-
trumentos de controle de riscos cambiais. A publicação do artigo semanal 
de Black & Scholes em 1973, que apresentava um modelo para cálculo do 
prêmio de opções, permitiu a negociação de contratos de opções financeiras 
na Bolsa de Chicago.
No início da década de 1980, com o choque das taxas de juros em dólares 
que alcançaram mais de 20% ao ano, cujo objetivo de combater a inflação 
elevada que assolava a economia dos EUA, a demanda por proteção contra 
oscilações das taxas de juros surgiu com intensidade; e a partir de então, 
contratos de swaps de juros passaram a crescer e a ter destaque nas opera-
ções com derivativos.
As principais bolsas de futuros no mundo
A principal bolsa de futuros do mundo moderno é a Chicago Mercantile 
Exchange, ou CME. A CME é uma bolsa de mercadorias que foi fundada em 
1898 com a Chicago Butter and Eggs Board nos EUA, e que em 1973 criou o 
International Monetary Market, ou IMM, que então começou a oferecer deri-
vativos sobre ativos financeiros.
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
25
A Chicago Mercantile Exchange fundiu-se com a Chicago Board of Trade, 
ou CBOT, em julho de 2007. A CBOT, antes da fusão, era a 2.ª ou 3.ª bolsa de 
futuros do mundo.
Com a fusão a CME cresceu em importância e, em 2008, absorveu a New 
York Mercantile Exchange, Bolsa que negocia diversos contratos de derivati-
vos, entre os quais derivativos de petróleo.
No Brasil, a negociação de contratos futuros teve início com a Bolsa de 
Mercadorias de São Paulo, ou BMSP, em 1917, com negociação inicial de con-
tratos agropecuários, de café, Boi Gordo e algodão.
A Bolsa Mercantil e de Futuros, ou BM&F, fundada em 1985, e iniciando 
operações em janeiro de 1986, passou a concentrar as operações com deri-
vativos, oferecendo contratos de futuros e de opções para ativos financeiros 
e mercadorias, incluindo ações, ouro, taxas de juros DI, taxa de câmbio R$/
US$. Em 1991, a BM&F se funde à BMSP, criando a Bolsa de Mercadorias e de 
Futuros, com objetivo de desenvolver mercados de derivativos financeiros, 
agropecuários e outros.
Em 2007, a BM&F iniciou seu processo de desmutualização, e se tornou, 
a partir de 1 de outubro de 2007, uma sociedade por ações com fins lucrati-
vos. No processo de desmutualização, os direitos patrimoniais dos antigos 
associados foram convertidos em participações acionárias. Então, na aber-
tura de seu capital, a BM&F colocou R$5,9 bilhões em títulos atraindo 260 
mil acionistas.
A Bovespa também seguiu o mesmo caminho com colocação de ações 
no valor de R$6,6 bilhões em outubro de 2007.
Em maio de 2008, a BM&F e a Bovespa se fundem, formando a BM& 
FBovespa S/A.
Volumes de negócios 
nas bolsas de futuros do mundo
O quadro 2 apresenta a posição das principais bolsas de futuros no 
mundo nos anos 2004 e 2005, e a taxa de crescimento anual. A listagem é da 
FIA <www.futuresindustry.org>.
26
Derivativos Financeiros
Quadro 2
A BM&F e as bolsas do mundo
Posição 
2004
Posição 
2005 Exchange 2004 US$ 2005 US$
Taxa de cresci-
mento anual
1 2
Chicago 
Mercantile 
Exchange
883,118,526 664,884,607 32,8%
2 1 Eurex 784,896,954 684,630,502 14,6%
3 3
Chicago 
Board of 
trade
561,145,938 489,230,144 14,7%
4 4 Euronext.liffe 343,829,658 311,053,230 10,5%
5 6
Bolsa de 
Mercadorias 
& Futuros
187,850,634 173,533,508 8,3%
6 7
New York 
Mercantile 
Exchange
166,608,642 133,284,248 25,0%
7 10
National 
Stock 
Exchange 
of India
116,286,968 67,406,562 72,5%
8 5
Mexican 
Derivatives 
Exchange
107,989,126 210,355,031 – 48,7%
9 8
Dilian 
Commodity 
Exchange
99,174,714 88,034,153 12,7%
10 11
London 
Metal 
Exchange
70,444,665 67,171,973 4,9%
D
is
p
on
ív
el
 e
m
: <
w
w
w
. f
ut
ur
es
in
du
st
ry
.o
rg
>
.
O site abaixo apresenta dados detalhados das operações das bolsas de 
futuros no mundo em 2006 e 2007.
Ampliando seus conhecimentos
EUA têm novas regras para os derivativos1
Sarah N. Lynch – Dow Jones, de Washington, 2009
As autoridades reguladoras dos EUA anunciaram na quarta-feira um 
plano que esboça o novo modelo regulador que irá forçar alguns derivativos 
1 Esse texto foi extraído do jornal Valor do dia 15 de maio de 2009.
Introdução aos mercados/contratos de derivativos
27
negociados no mercado de balcão a serem negociados em bolsas de valores, 
e sujeitar alguns contratos a limites de posições especulativas. O plano, que 
foi anunciado em conjunto pelo secretário do Tesouro Timothy Geithner, pela 
presidente da Securities and Exchange Commission (SEC), Mary Shapiro e 
pelo presidente em exercício da Futures Trading Commission, Michael Dunn, 
visa dar mais transparência aos negócios feitos fora das bolsas de valores (e de 
futuros), que hoje estão sujeitos à pouquíssima regulamentação federal.
“Na elaboração desse modelo amplo, nossos staffs trabalharam juntos, 
com muito cuidado, para ter certeza de que vamos apresentar ao Congres-
so um conjunto comum de recomendações”, disse Geithner, observando que 
brechas na fiscalização federal sobre os negócios com derivativos contribuí-
ram, em parte, para a crise financeira.
Pelo plano, as autoridades federais que regulam o mercado de commodi-
ties receberão autoridade para limitar as posições especulativas sobre contra-
tos negociados em bolsa de valores (e de futuros) e no mercado de balcão, se 
esses contratos tiverem um impacto significativo sobre os preços do mercado. 
O objetivo, por trás do plano, é impedir a manipulação ou a especulação ex-
cessiva que, segundo acreditam alguns especialistas, pode acelerar os movi-
mentos de preços.
O plano também forçará todos os contratos padronizados do mercado de 
balcão a serem negociados em bolsas regulamentadas e serem compensa-
dos de maneira regulamentada – um processo que envolve a mediação entre 
compradores e vendedores para garantir que o dinheiro vai mudar de mãos. 
Enquanto isso, os contratos altamente personalizados, que ainda são nego-
ciados no mercado de balcão, estarão sujeitos às exigências de registro de 
informações e prestação de contas.
Além disso, os negociadores de derivativos, com grandes exposições de 
contrapartida, estarão sujeitos a uma supervisão prudente e à vigilância regu-
latória para garantir que eles não representem riscos sistêmicos ao mercado. 
Isso vai requerer exigências de adequação de capital mais conservadoras, pa-
drões de conduta nos negócios, exigência de margens iniciais e prestação de 
contas sobre os contratos padronizados e os de mercado de balcão.
Comentários: o texto mostra a preocupação das autoridades dos EUA com re-
lação às operações com derivativos. O Secretário do Tesouro ressalta que bre-
28
Derivativos Financeiros
chas na legislação federal, sobre os negócios com derivativos, contribuíram 
em parte para a crise financeira de 2008/2009 ocorrida nos EUA e no mundo.
O objetivo das autoridades é forçar operações com derivativos mais 
transparentes, fazendo com que passem por bolsas regulamentadas. Haverá 
também mais exigências de capital para as instituições que apresentarem po-
sições de risco mais acentuadas, para que estas instituições não levem riscos 
sistêmicos ao mercado.
Além dos EUA, outros países também estão analisando efetuar controles 
mais rigorosos nas operações especulativas com derivativos.
Atividades de aplicação
1. O que são ativos-objetosde um contrato de derivativos?
2. Quem corre mais risco em um contrato de derivativos, um hedger ou 
um especulador?
3. Quais as principais diferenças entre os contratos de opção e de swap?
4. Qual o efeito positivo dos contratos de opções que supostamente fo-
ram vendidos pelas empresas brasileiras: Sadia, Aracruz e Votorantim?
5. No exemplo do café, no início do capítulo, substitua o produtor por 
um importador de café e analise as posições que este formaria com 
contratos de opções, futuro e de swaps.
6. Monte um quadro com os resultados obtidos nos contratos de opções 
de compra, considerando a questão 5 e a posição do importador de 
café. Use preços de café entre 20,00 e 40,00 por saca, e preço de exer-
cício igual a 30,00 por saca.
Mercados futuros
Um contrato futuro representa um compromisso de comprar ou vender 
determinado ativo em uma data específica e por um preço estabelecido.
Utilização dos contratos futuros
Um contrato futuro pode ser comprado ou vendido. Para que contratos 
futuros sejam comprados, o agente econômico que deseja adquiri-lo deve 
“encontrar” outro agente econômico que esteja disposto a vender o mesmo 
contrato. Este encontro entre comprador e vendedor se estabelece com a 
interposição de um corretor, membro da bolsa de futuros onde os contra-
tos são negociados. É um processo igual ao da compra ou venda de ações 
em uma bolsa de valores. O processo, portanto, necessita de um comprador, 
de um vendedor, de um corretor e da bolsa de futuros (além de atender às 
exigências dos órgãos reguladores). Se o corretor não encontra um vende-
dor, para atender o agente comprador, ele não consegue fechar a operação, 
pois a Bolsa em si não assume as posições compradas ou vendidas, salvo em 
situações excepcionais de inadimplência de uma das partes, comprado ou 
vendido, em que a Bolsa pode assumir perdas de uma das posições.
Participantes de um contrato futuro:
Comprador; �
Vendedor; �
Corretor da Bolsa; �
Bolsa e Futuros. �
Todos os participantes de um contrato futuro, comprados e vendidos, 
devem sempre fazer um depósito em dinheiro, ou em títulos aceitos pela 
respectiva bolsa de futuros, no início da operação e que servirão como 
margem de garantia para as possíveis perdas diárias à medida que os preços 
futuros evoluem. Esta margem é depositada junto ao corretor responsável 
pela posição do cliente. Se um investidor compra um determinado contrato 
32
Derivativos Financeiros
futuro e o preço deste contrato sobe na Bolsa, em função das negociações 
ou de expectativas futuras, ele receberá diariamente um ganho a ser credita-
do em sua conta corrente junto ao seu corretor. Ganho que decorre do preço 
estar mais elevado do que o preço no qual ele assumiu sua posição inicial. 
Se o preço futuro continua a subir, novos créditos serão feitos em sua conta 
corrente, sempre contabilizando os ganhos de um dia para o seguinte. O 
crédito recebido em conta reflete o ganho que a empresa poderia auferir se 
liquidasse sua posição naquele dia.
Se, por outro lado, os preços dos contratos futuros caem, este investidor, 
com a posição comprada, irá sofrer perdas, e o valor da perda será debitado 
diariamente em sua conta corrente. No caso de queda de preços, quem irá 
obter ganhos diários será o agente que estiver na posição vendida, ou seja, 
aquele que vendeu os contratos futuros que o investidor comprou. Este pro-
cesso prossegue até que o contrato futuro vença ou até que uma das partes 
liquide sua posição com futuros.
Depósito de margens de garantia – comprados e vendidos fazem depósi-
tos de margens de garantia.
Perdas e ganhos diários – são contabilizados tanto para os comprados 
quanto para os vendidos.
As posições com contratos futuros podem ser liquidadas a qualquer mo-
mento em que a respectiva Bolsa esteja em funcionamento, e desde que 
haja liquidez para o respectivo contrato. Assim, se um investidor que com-
prou contratos futuros decide no mesmo dia, ou após um, dois ou sete dias, 
vender esses contratos, ele poderá realizar a venda através de seu corretor e 
ao preço que estiver sendo negociado naquele instante na Bolsa. O mesmo 
vale para o vendedor de um contrato futuro. Este também poderá comprar 
a qualquer momento os contratos futuros que vendeu inicialmente. Vemos 
então que, para liquidação antecipada de uma posição com contratos fu-
turos, basta tomar a posição contrária na Bolsa no momento desejado do 
encerramento da posição. Assim sendo, para liquidar, antes do vencimen-
to, contratos futuros comprados, basta vender estes contratos a qualquer 
momento, e para liquidar antecipadamente contratos futuros vendidos, 
basta comprar estes contratos futuros vendidos a qualquer momento dese-
jado. Para uma bolsa de futuros, se o cliente tem X contratos comprados e o 
mesmo número X de contratos vendidos, a posição dele é nula, ou seja, está 
Mercados futuros
33
liquidada, já que o que o cliente ganharia com uma posição, perderia com a 
outra. O mesmo vale para o cliente com posição inicial vendida em X contra-
tos futuros, que compra posteriormente X contratos futuros.
Liquidação da posição com contratos futuros ocorre com a tomada de po-
sição inversa. O vendido compra contratos futuros; e o comprado vende con-
tratos futuros.
Os contratos futuros abertos podem ser liquidados antecipadamente.
Vejamos um exemplo:
Consideremos que uma empresa deseje adquirir X contratos futuros de 
dólar que vencem em dois meses. Ela, então, procura seu corretor e explica 
o que gostaria de fazer. O corretor atende seu cliente, a empresa, buscan-
do um ou vários agentes que queiram vender, no total, X contratos futuros 
de dólar vencendo daqui a dois meses. Em seguida, supondo que as partes 
aceitem um determinado preço para os contratos futuros, as posições são 
estabelecidas para as partes. Na realidade, os X contratos futuros podem ser 
comprados através de um ou mais lotes, que podem ser negociados em mo-
mentos diferentes, até que se atinja o total desejado pela empresa: X contra-
tos futuros de dólar.
Suponhamos que X represente 10 contratos futuros de dólar do mês t + 2, 
sendo hoje o mês t. Consideremos, ainda, que estes 10 contratos futuros de 
dólar sejam negociados ao preço médio de 2,40R$/US$.
Assim, teríamos a empresa comprada em 10 contratos futuros de dólar 
do mês t + 2 ao preço médio de 2,40R$/US$. Ao mesmo tempo, teríamos um 
vendedor (poderiam ser vários) destes 10 contratos.
Se os preços futuros do dólar sobem acima de 2,40R$/US$ no mesmo dia 
em que as posições foram iniciadas, a empresa receberia um crédito em sua 
conta, visto que estaria comprada a 2,40R$/US$ e o mercado futuro já teria 
alcançado valor maior do que 2,40R$/US$. Se a empresa quisesse vender sua 
posição comprada em 10 contratos, poderia vendê-la a valor maior do que 
2,40R$/US$, realizando, portanto, um ganho no mesmo dia em que iniciou 
sua operação. Conforme observado anteriormente, o crédito recebido em 
conta refletiria o ganho que a empresa poderia auferir se liquidasse sua po-
sição naquele dia. Se a empresa liquidasse sua posição no mesmo dia que a 
iniciou, esta operação seria chamada de day trade1.
1 Day trade é a operação 
de compra e venda no 
mesmo dia.
34
Derivativos Financeiros
A empresa, certamente, também poderia manter sua posição por mais 
um dia, uma semana etc., desde que não ultrapassasse o vencimento dos 
contratos futuros.
Já o agente que vendeu inicialmente os 10 contratos futuros estaria per-
dendo a diferença entre o preço maior do que 2,40R$/US$ e a cotação de 
2,40R$/US$ estabecida no contrato futuro. Desse modo, os corretores da 
Bolsa transfeririam a perda do agente vendido para a empresa comprada 
em futuros de dólar. Este processo de ajustes diários permanece para todos 
os clientes enquanto o contrato futuro estiver em vigor.
Os ajustes diáriossão feitos com base no preço chamado preço de ajuste 
(settlement price), que é calculado logo após a Bolsa encerrar sua operação 
diária e então divulgado. O cálculo segue fórmula própria da Bolsa, mas é 
normalmente feito com as cotações das últimas negociações realizadas du-
rante os trinta minutos finais, ou algo semelhante.
Se a empresa continuasse com sua posição, isto é, decidisse não vendê-
la, ela iria receber créditos ou sofrer débitos em sua conta corrente à medida 
que os preços futuros, respectivamente, subissem ou descessem dia- 
riamente.
Supondo que ambos continuassem com suas posições até o final do dia 
seguinte, e que no dia seguinte o preço de ajuste caia abaixo do preço de 
ajuste do dia anterior (o primeiro dia), ocorreria o movimento oposto, ou 
seja, o corretor transferiria, da conta da empresa para a conta do agente com 
a posição vendida, o valor da diferença entre os preços de ajuste do dia cor-
rente, que seria o segundo dia, e o do primeiro dia (e não o preço inicial da 
abertura da posição, pois este já foi comparado ao preço de ajuste do pri-
meiro dia).
Este processo continuará até que o contrato futuro vença ou até que uma 
das partes liquide sua posição com futuros. Se a posição é liquidada anteci-
padamente, o ajuste diário é feito com base na diferença entre o preço de 
liquidação obtido no momento em que a posição é encerrada na Bolsa e o 
preço de ajuste do dia anterior.
Podemos ilustrar o ajuste de margens que contempla contratos futuros 
de dólar, no seguinte exemplo:
Considere uma empresa que, no dia 10 de março, toma posição compra-
da em 100 contratos futuros de dólar do mês abril, equivalente a 5 milhões 
Mercados futuros
35
de dólares. Sob esta posição, os resultados totais para a empresa seriam os 
apresentados na tabela 1 a seguir.
Tabela 1 – Ajustes diários de margens: posição comprada
Preço ajuste no 
dia t
Preço ajuste no dia 
t + 1
Diferença entre 
 t e t + 1 Ganho / Perda
(R$/US$) (R$/US$) (R$/US$) (R$)
2,420(*) 2,425(**) 0,005 25.000
2,425 2,415 – 0,010 – 50.000
2,415 2,400 – 0,015 – 75.000
2,400 2,430(***) 0,030 + 150.000
Total + 50.000
(*) Cotação da abertura de posição no dia 10 de março.
(**) Preço de ajuste no dia 10 de março.
(***) Preço de venda dos 100 contratos futuros de dólar do mês de abril, no momento em que a 
empresa encerra sua posição.
Esta cotação, R$2,43/US$, não é o preço de ajuste do dia, mas sim o de 
um determinado instante durante o pregão, isto é, naquele instante em que 
a empresa vende 100 contratos futuros para encerrar sua posição anterior-
mente comprada. Na verdade, a liquidação da posição da empresa junto 
à bolsa de futuros poderia ter sido feita em vários momentos ao longo do 
pregão, por exemplo, em lotes de 30 e 40 contratos, ou em quaisquer outras 
combinações. E se esse fosse o caso, o preço R$2,43/US$ representaria o 
preço médio de venda.
A tabela 1 mostra que a empresa comprada em 100 contratos futuros 
teria auferido ganho de R$50.000,00 após a liquidação de sua posição.
Já, a situação do detentor da posição vendida nestes 100 contratos futu-
ros seria dada pela tabela 2.
Tabela 2 – Ajustes diários de margens: posição vendida
Preço ajuste no 
dia t
Preço ajuste no 
dia t + 1
Diferença entre 
t e t + 1 Ganho / Perda
(R$/US$) (R$/US$) (R$/US$) (R$)
2,420(*) 2,425 (**) 0,005 – 25.000
2,425 2,415 – 0,010 + 50.000
2,415 2,400 – 0,015 + 75.000
36
Derivativos Financeiros
Preço ajuste no 
dia t
Preço ajuste no 
dia t + 1
Diferença entre 
t e t + 1 Ganho / Perda
2,400 2,430 (***) 0,030 – 150.000
Total – 50.000
(*) Cotação da abertura de posição no dia 10 de março.
(**) Preço de ajuste no dia 10 de março.
(***) Preço de venda dos 100 contratos futuros de dólar do mês de abril, no momento em 
que a empresa encerra sua posição.
A tabela 2 mostra que o detentor da posição vendida em 100 contra-
tos futuros teria sofrido uma perda de R$50.000,00, no momento em que a 
empresa, comprada nesses contratos, liquidasse sua posição. O resultado é 
exatamente o oposto daquele obtido pelo comprado nestes contratos fu-
turos. Observe que o detentor da posição vendida, a princípio não estaria 
liquidando sua posição vendida no mesmo instante que a empresa liquida a 
sua posição comprada. Se ele continua com sua posição vendida na Bolsa, o 
resultado final de sua operação, ainda dependerá dos outros ajustes de mar-
gens que estariam por vir. Como, então, a empresa comprada nos 100 con-
tratos futuros estaria liquidando sua posição comprada? Ela simplesmente 
venderia os 100 contratos futuros, inicialmente comprados, para outro inves-
tidor ou empresa interessada em posição de compra em contratos futuros 
de dólar do mês abril.
Hedger
Os mercados futuros foram criados originalmente para atender às neces-
sidades dos hedgers, pois os produtores queriam manter um preço para sua 
produção e os comerciantes queriam garantir um preço para obter tal pro-
duto. Os contratos futuros, então, permitiriam que ambas as partes atingis-
sem seus objetivos.
Um hedger deve tomar uma posição com contratos futuros que gere 
ganhos financeiros para ele, no caso em que o preço de seu produto, ou seu 
ativo financeiro, caminhe no sentido de reduzir sua receita, ou no caso de 
suas compras, ou gastos financeiros, aumentarem suas despesas. Portanto, 
se um exportador de soja quiser usar contratos futuros para se proteger 
de possíveis quedas nos preços de seus produtos, ele deve vender con-
tratos futuros de soja para gerar ganhos financeiros que irão servir como 
compensação por sua perda na venda da soja, e seus derivados, a preços 
Mercados futuros
37
mais baixos. Se o preço da soja aumentar, o exportador irá se beneficiar da 
receita mais alta, mas sofrerá perdas com os contratos futuros, pois, como 
vimos, um agente posicionado com contratos futuros vendidos perderá 
margem depositada sempre que os preços futuros aumentarem. Verifica- 
-se, portanto, que como hedger, o exportador estará, na realidade, tentan-
do fixar sua receita, independentemente da oscilação do preço da soja. No 
entanto, é importante ressaltar que esta perda com margens exige reposi-
ção de margens, muitas vezes, bem antes do que os ganhos com a venda 
do produto a preços mais elevados se materialize. Assim sendo, é neces-
sário considerar possíveis e, em algumas situações, significativas saídas de 
caixa ao longo da manutenção da posição com contratos futuros.
O estudo de caso no Apêndice ilustra o que aconteceu com a empresa 
Selecta durante suas posições com contratos futuros de soja.
Exemplo de hedging com futuros
Vejamos um exemplo de uso:
Uma empresa de exportação, que vai fechar câmbio no valor de 
US$1.000.000,00 em 31 de março, efetuou um hedge em 26 de fevereiro do 
mesmo ano, quando a cotação do contrato futuro era 2,40R$/US$. Calcule o 
resultado final para a empresa, supondo que o dólar comercial estará no mer-
cado à vista e no mercado futuro cotado a 2,35R$/US$ no dia 31 de março.
Observação: como o exportador quer se proteger contra valorização do real 
(desvalorização do dólar), ele deve vender contratos futuros na Bolsa de Mer-
cadoria e Futuros Bovespa (BM&FBovespa) pois, assim, se a cotação cair, ele 
ganhará com os contratos futuros, já que irá comprar o mesmo número de 
contratos futuros em 31 de março de modo a encerrar sua posição na bolsa 
de futuros. E possíveis ganhos com os contratos futuros estarão compensan-
do as perdas que a empresa terá com a valorização do real frente ao dólar no 
mercado à vista quando a cotação cair. Se a cotação subir, a empresa obterá 
perdas com os contratos futuros, que irão compensar os ganhos com venda 
mais favorável dos dólares no mercado à vista. O exportador deve vender 20 
contratos, com cada contrato representando US$50.000,00.
Vejamos, a seguir, osresultados da exportação com o hedging.
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,40R$/US$ (venda) – 2,35R$/US$ (compra)] . 20 . 50.000,00 = R$50.000,00
38
Derivativos Financeiros
Houve ganhos com os contratos futuros, pois a venda inicial se deu com 
taxa de câmbio de 2,40R$/US$, e a compra posterior, destes mesmos 20 con-
tratos, ocorreu quando a taxa de câmbio estava cotada em 2,35R$/US$.
(b) Resultado da exportação:
US$1.000.000,00 . 2,35R$/US$= R$2.350.000,00
(c) Resultado total:
R$2.350.000,00 + R$50.000,00 = R$2.400.000,00, ou 2,40R$/US$.
A empresa obteve como preço final 2,40R$/US$, que era a cotação inicial 
negociada na bolsa de futuros.
Se a cotação final em 31 de março fosse 2,45R$/US$ em vez de 2,35R$/
US$, tanto no mercado à vista quanto no mercado futuro, qual seria o resul-
tado final para a empresa?
Agora, teríamos:
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,40R$/US$ (venda) – 2,45R$/US$ (compra)] . 20 . 50.000,00 = – R$50.000,00
Agora haveria perdas com os contratos futuros, pois a venda inicial se deu 
com taxa de câmbio de R$2,40/US$, e a compra posterior, destes mesmos 20 
contratos, ocorreu quando a taxa de câmbio estava cotada em R$2,45/US$.
(b) Resultado da exportação:
US$1.000.000,00 . 2,45R$/US$= R$2.450.000,00
(c) Resultado total:
R$2.450.000,00 – R$50.000,00 = R$2.400.000,00, ou 2,40R$/US$.
E o resultado foi o mesmo. A empresa, então, conseguiu fixar a taxa de 
câmbio real/dólar em 2,40R$/US$, independentemente da cotação que 
viesse a ocorrer em 31 de março.
A empresa exportadora, portanto, conseguiu eliminar o risco cambial ao 
fixar a taxa futura de câmbio de sua exportação.
Considere agora um segundo exemplo:
Mercados futuros
39
Você é diretor financeiro de uma empresa brasileira que importa equipa-
mentos dos EUA, e está considerando delinear uma estratégia de hedging 
de taxa de câmbio com contratos futuros para 30 dias. Use as informações 
abaixo para responder às perguntas levantadas:
O volume médio de importação mensal é de US$1.000.000,00. �
Que o tamanho do contrato futuro de dólar seja de US$50.000,00 �
Que o preço futuro atual para 30 dias seja de 2,400RS/US$ �
Que a cotação do contrato futuro, 30 dias à frente, seja R$/US$2,350, �
e que a cotação à vista, também 30 dias à frente, seja R$/US$2,345.
(a) Qual estratégia que a empresa deve escolher para hedging?
(b) Qual o resultado da importação nos próximos 30 dias, consideran-
do o hedging?
(c) O resultado foi igual ao preço futuro negociado no momento ini-
cial? Se não, explique o por quê.
Inicialmente, a empresa deveria comprar 20 contratos futuros de dólar, 
pois quando o real sofre desvalorização perante o dólar, o importador paga 
mais caro em reais pelo produto importado; então, ao fazer a compra de con-
tratos futuros, e diante da possível desvalorização do real, a empresa obterá 
ganhos com os futuros, pois terá comprado estes contratos a preços mais 
baixos do que irá vendê-los após a desvalorização do real. (A desvalorização 
do real no mercado de câmbio à vista também levará à desvalorização do 
real frente ao dólar no mercado futuro, e isto ocorrerá devido à relação exis-
tente entre estas duas cotações, à vista e futuros, decorrência da ausência de 
arbitragem contínua).
Vejamos, agora, os resultados da importação, considerando o hedging.
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,35R$/US$ (venda) – 2,40R$/US$ (compra)] . 20 . 50.000,00 = – R$50.000,00.
(b) Resultado da importação:
US$1.000.000,00 . 2,345R$/US$= R$2.345.000,00
(c) Resultado total:
40
Derivativos Financeiros
R$2.345.000,00 + R$50.000,00 = R$2.395.000,00, ou 2,395R$/US$.
Supondo, agora, um segundo cenário, com preços futuros finais iguais 
a 2,350R$/US$, e cotação à vista igual a 2,355R$/US$, os resultados passa-
riam para:
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,35R$/US$ (venda) – 2,40R$/US$ (compra)] . 20 . 50.000,00 = – R$50.000,00
(b) Resultado da importação:
US$1.000.000,00 . 2,355R$/US$= R$2.355.000,00
(c) Resultado total:
R$2.355.000,00 – R$50.000,00 = R$2.395.000,00, ou 2,395R$/US$.
No primeiro exemplo, o do exportador, o valor final da taxa de câmbio foi 
igual à cotação inicial do contrato futuro de dólar, 2,40R$/US$, não importando 
quais fossem os valores finais das taxas de câmbio à vista e futura, desde que 
elas sejam iguais. Já, no segundo exemplo, o valor final não mais se igualou à 
taxa de câmbio futura no início da operação, 2,40R$/US$. O que ocorreu?
O que aconteceu foi que, no segundo exemplo, as taxas de câmbio futura 
e à vista, no final da operação, não convergiram; no primeiro exemplo, elas 
convergiram. É esta convergência dos preços finais, à vista e futuro, que per-
mite que seja possível fixar o preço futuro inicial como valor final da opera-
ção. No segundo exemplo, tivemos 2,35R$/US$ e 2,345R$/US$ como cota-
ções finais futuras e à vista, respectivamente, gerando uma divergência de 
0,005R$/US$, e resultado final de 2,395R$/US$, e não 2,40R$/US$, conside-
rando o cenário inicial. No cenário seguinte, os resultados também seguem 
o mesmo padrão.
Em alguns mercados futuros, a divergência entre preço à vista e futuro 
pode ser positiva, em outros pode ser negativa, e ainda outros, positiva ou 
negativa; irá depender do produto e de seu mercado. Quando o preço no 
mercado futuro é superior ao do mercado à vista, diz-se que o mercado 
está na situação de contango; e quando ocorre o oposto, ou seja, preço no 
mercado futuro abaixo do preço no mercado à vista, chamamos esta situ-
ação de backwardation.
Mercados futuros
41
Base e risco de base
A base é definida como a diferença entre o preço à vista e o preço futuro 
de um determinado ativo. Considerando o preço à vista como St e o preço 
futuro como Ft, a base, Bt, é dada por:
Bt = St – Ft
As figuras abaixo ilustram trajetórias possíveis da base em contratos futu-
ros. To representa o momento inicial, e T a data de vencimento do contrato 
futuro.
Figura 1 – Variação da base com o tempo.
F, S
Preço à 
vista
Preço futuro
t1 t2 T (tempo)
O
 a
ut
or
.
Figura 2 – Variação da base com o tempo.
Preço à 
vista
Preço futuro
t1 t2 T (tempo)
O
 a
ut
or
.
42
Derivativos Financeiros
Quando um contrato futuro vence, as cotações à vista e futura devem 
convergir em decorrência das forças de mercado, pois o preço futuro se 
torna um preço à vista, e, portanto, deve se igualar ao preço no mercado 
à vista, já que em caso contrário haveria arbitragem, e os preços seriam 
forçados à igualdade. Esta situação de convergência é ilustrada na figura 
1. Então, o que poderia justificar a divergência apresentada na figura 2? 
O motivo principal para a divergência, em se tratando de hedging, reside 
na diferença de datas entre a operação física que determina a tomada de 
posição com futuros, e o vencimento destes contratos futuros. Uma expor-
tação, importação, pagamento de juros, compra ou venda de um produto 
ocorrem em diversos momentos do tempo, não se resumindo, portanto, 
aos dias em que os contratos futuros vencem. O preço do contrato futuro 
estabelece o preço de um ativo na data de vencimento deste contrato, e 
não em qualquer outra data ao longo da existência dele. Daí, a diferença 
entre os preços à vista e futuro.
Além disso, existe uma relação entre preços futuros e à vista que deve ser 
respeitada na maior parte do tempo de existência de um contrato futuro.
Ainda que as forças de mercado levem à convergência de preços na data 
de vencimento dos contratos futuros, deve-se observar que há outros moti-
vos para as divergências entre os preços à vista e futuro, mesmo no momen-
to do vencimento dos contatos futuros. Estes contratos vencem em uma de-
terminada hora do dia, enquanto que para um agente econômico, que adota 
uma estratégia de hedging, opreço de seu ativo pode estar sendo formado 
em um instante diferente do preço de encerramento do contrato futuro. Esta 
divergência, que pode ser mínima ou não, caracteriza uma situação em que 
a base não vai a zero.
Outra possibilidade de divergência está na qualidade do ativo: os con-
tratos futuros especificam uma determinada qualidade para os ativos ne-
gociados na bolsa de futuros. Por exemplo, café do tipo arábica, petróleo do 
tipo Brent ou WTI etc. A diferença de qualidade entre o produto à vista e o 
produto negociado nas bolsas de futuros resulta em diferenças de preços.
Estas diferenças tornam as estratégias de hedge com contratos futuros 
não perfeitas, mesmo que a operação com o ativo à vista vença na data de 
vencimento do respectivo contrato futuro. E este não é o caso mais comum, 
já que as transações de compra e venda de produtos e de ativos financeiros 
usualmente não coincidem com os vencimentos dos contratos futuros.
Mercados futuros
43
Motivos de risco de base
– Preços à vista e futuros antes do vencimento do contrato futuro;
– Horário de encerramento do contrato futuro;
– Qualidade do ativo e especificação dos contratos futuros.
Lembro-me de uma ocasião em que um diretor financeiro de uma com-
panhia ficou preocupado com esta divergência quando se fazia uma apre-
sentação para ele sobre o funcionamento dos contratos futuros. A sensação 
de desconforto dele residia na percepção de que ao se adotar uma estratégia 
de hedging dos preços de produtos da companhia, não se conseguia fixar an-
tecipadamente um determinado valor para os produtos, mas somente uma 
faixa de valores possíveis.
Realmente, esta divergência persiste na imensa maioria das operações de 
hedging com contratos futuros. Mas, o que é verdadeiramente importante é o 
risco além da imperfeição nas operações de hedging (desconsideram-se aqui 
riscos operacionais, de inadimplência etc., existentes nos contratos futuros).
Nelas, o risco consiste na divergência entre os preços futuros e à vista, 
mas como os preços futuros estão ligados aos preços à vista, este risco é bem 
menor do que o risco da oscilação do preço do produto a ser protegido com 
os contratos futuros. Ou seja, se decidimos não executar o hedging do preço 
do produto em decorrência do risco de base, isto é, da diferença entres os 
preços à vista e futuro, qual a justificativa para aceitar um risco sensivelmen-
te maior, caracterizado pela variação do preço do produto?
Diz-se na linguagem dos mercados futuros, que ao se fazer um hedging, 
troca-se, na verdade, o risco de preço do ativo pelo risco da base. A figura 3 
ressalta a diferença entre os dois riscos.
O
 a
ut
or
.
Figura 3 – Distribuição de probabilidades do ativo-objeto e do 
risco de base.
44
Derivativos Financeiros
Na figura 3, a curva com mais amplitude representa a distribuição de pro-
babilidades e o risco de preço do ativo, e a curva mais estreita mostra a dis-
tribuição de probabilidades e o risco de base, ou seja, da diferença entre os 
preços do ativo e do contrato futuro. Vê-se que o risco dos preços do ativo 
são bem mais acentuados.
Outros riscos nos contratos futuros
Além do risco de base, discutido na seção anterior, outros riscos estão 
presentes nos contratos futuros, tais como riscos de mercado, de crédito, 
operacional e de liquidez.
O risco de mercado decorre da incerteza quanto ao comportamento 
futuro dos preços dos contratos futuros.
O risco de inadimplência decorre da possibilidade de não pagamento 
de uma das partes de um contrato futuro. Como exemplos temos os casos 
do Banco Marka e Banco Fonte-Cindam no Brasil durante a desvalorização 
cambial do real em relação ao dólar, em meados de janeiro de 1999. No 
exterior, houve inadimplência nas operações do Banco Barings, nas bolsas 
asiáticas, realizadas pelo funcionário do banco, Nick Leeson, nos anos 1990, 
e também o caso da Metalgesellschaft na New York Mercantil Exchange.
O risco de liquidez ocorre em contratos pouco negociados, o que pode 
impedir que comprados e vendidos consigam modificar suas posições no 
momento desejado, ou até mesmo que posições possam ser abertas.
O risco operacional é caracterizado pela possibilidade de falhas humanas, 
de sistemas, ou tecnológicos.
Vantagens e desvantagens do hedge
As vantagens do hedge são tão evidentes que quase não precisam ser 
mencionadas. A maioria das empresas e dos investidores não tem como 
prever com perfeição preços de seus produtos, ou de seus insumos, de taxas 
de câmbio, taxas de juros etc. Portanto, é importante que procurem, mesmo 
que de modo descontínuo, fazer hedge dos riscos associados a essas vari-
áveis, à medida que considerem que possam ocorrer resultados danosos 
para suas atividades produtivas ou suas aplicações financeiras, decorrentes 
de mudanças de preços de seus produtos, insumos e taxas. Assim sendo, 
Mercados futuros
45
as empresas e os investidores poderão se concentrar em suas atividades 
principais – cujos riscos supostamente dominam. Com o uso do hedge, 
evitam surpresas desagradáveis, como uma alta acentuada no preço de uma 
commodity, valorização ou desvalorização de uma moeda ou das taxas de 
juros que, individualmente, ou em conjunto, podem gerar situações extre-
mamente perigosas para suas empresas e negócios financeiros.
O hedge natural
Antes de se proceder à escolha de se fazer determinado tipo de hedging 
uma empresa, governo, ou investidor, etc, deveria verificar que parte de seus 
riscos já está sendo naturalmente protegida. Por exemplo, uma empresa 
que exporta intensamente seus produtos ao redor do mundo, mas também 
importa de modo significativo, pode já estar se protegendo naturalmente 
através de sua própria atividade produtiva, não necessitando de hedge para 
ela. No Brasil, este é o caso, entre outras empresas, da Embraer, quando se 
trata das suas importações e exportações. É claro que as exportações e im-
portações podem ocorrer em moedas diferentes, e que seria importante, 
em termos de controle de risco, tentar casar as moedas utilizadas nas expor-
tações e nas importações e, então, proceder ao hedging daquelas moedas 
que não estão sendo compensadas nestas duas atividades de exportação e 
importação.
O hedge e os concorrentes
Uma empresa deve considerar, antes de implementar estratégias de 
hedging, se seus concorrentes no mercado também estão adotando estraté-
gias de hedging. Se o hedge não for algo normal para determinado segmen-
to da indústria, pode não ser conveniente para uma determinada empresa 
atuar de forma diferente das demais. Isso porque a competição dentro desse 
segmento pode ser tal que os preços dos produtos e serviços aumentam e 
diminuem para refletir os custos de matérias-primas, taxas de juros, taxas de 
câmbio e outros. Uma empresa que não realize o hedge pode esperar mar-
gens de lucro constantes; por outro lado, uma empresa que o realize pode 
esperar margens de lucro instáveis. Vimos que quando uma estratégia de 
hedging é adotada, o agente econômico que a escolheu pode obter ganhos 
ou perdas com a posição nos mercados futuros. Se ele sofre perdas, e seus 
concorrentes no mercado não fazem hedge, ele terá resultados piores do que 
46
Derivativos Financeiros
os concorrentes. Porém, também devemos considerar o caso em que uma 
variação forte de preços que prejudique os produtores de um determinado 
setor produtivo poderia ser compensada com contratos futuros para aque-
les que tivessem adotado uma estratégia de hedging, mas não pelos outros 
que resolveram não adotá-la. Considere o exemplo da queda dos preços do 
petróleo no mercado mundial, decorrente da crise internacional de crédito 
de 2008. As empresas produtoras de petróleo que utilizavam, com certa fre-
quência, hedging de seus preços devem estar hoje em melhor situação do 
que as que não o utilizavam.
Contratos futurose entrega de produtos
Diversos contratos futuros permitem a entrega do produto que origina o 
contrato. Por exemplo, contratos futuros de commodities em geral, como pe-
tróleo, e outros produtos, e também de alguns títulos financeiros, permitem 
a entrega física no vencimento dos contratos futuros; outros contratos futu-
ros não contemplam nenhuma entrega física, como, por exemplo, contratos 
futuros de dólar e de futuro de DI (certificados de depósitos interfinanceiros) 
não permitem entrega, nem da moeda, o dólar, nem do DI na BM&FBovespa 
(que na verdade, não existe como título cartorial). As liquidações desses con-
tratos no último dia são feitas sempre em dinheiro e sem o ativo que gera o 
contrato futuro.
Se um contrato futuro que permite entrega física está chegando ao seu 
vencimento alguns poucos dias antes deste vencimento, normalmente dois 
dias, quem está em uma posição vendida pode escolher se deseja fazer a 
entrega física do produto ou título através de seus contratos futuros. Se esco-
lher fazer a entrega física, seu corretor aciona a câmara de compensação da 
Bolsa. Também todas as posições não liquidadas no último dia de negociação 
são automaticamente direcionadas para entrega física. Muitas câmaras de 
compensação selecionam o comprador da mercadoria entregue pelo vendi-
do segundo o critério de comprador com a posição mais antiga; então, este 
comprador com a posição mais antiga irá receber a mercadoria do vende-
dor. Outras Bolsas determinam a entrega de acordo com um processo alea- 
tório. O processo de entrega é definido de acordo com manual da Bolsa. Na 
BM&F, a entrega deve ser aceita por ambas as partes.
Na prática, ao redor do mundo, menos do que aproximadamente 2% dos 
contratos futuros envolvem entrega física. Normalmente, as posições são 
Mercados futuros
47
encerradas antes dos últimos dias de negociação do contrato futuro em ques-
tão, justamente para evitar a entrega física. O processo de entrega requer a 
adequação do produto à especificação dos contratos futuros, por exemplo, 
o petróleo WTI é o que caracteriza o contrato futuro de petróleo na Bolsa de 
Mercadorias de Nova York (New York Mercantile Exchange). Isto significa que, 
na realidade, a imensa maioria dos contratos futuros é utilizada para fazer 
compensações financeiras, no caso de hedgers, e para obter ganhos financei-
ros, no caso dos especuladores e, podemos dizer também, dos arbitradores.
Como já observamos, diversos contratos futuros são negociados nas di-
versas Bolsas ao redor do mundo. No Brasil, temos a BM&FBovespa que ne-
gocia mercadorias agropecuárias, taxas de juros, taxas de câmbio, índice de 
ações, títulos de dívida externa e ouro. Alguns contratos apresentam boa 
liquidez, e outros pouca ou nenhuma liquidez.
Ampliando seus conhecimentos
Endividada, Selecta pede recuperação judicial 
em Goiás
(VALOR, 30 abr. 2008)
Um tombo de US$ 160 milhões na bolsa de Chicago levou a Sementes Se-
lecta a pedir a recuperação judicial na Justiça de Goiás na semana passada. A 
empresa está com endividamento líquido de US$330 milhões e, se o pedido 
de recuperação for aceito, os credores ficam impedidos de fazer qualquer tipo 
de cobrança por um prazo de seis meses. A empresa vivia uma fase de expan-
são e a situação de inadimplência pegou os credores de surpresa.
O infortúnio da Selecta foi ironicamente resultado dos contratos de pro-
teção (hedge) que a empresa fez no mercado futuro para se proteger da va-
riação dos preços da soja. Em março passado, quando atingiram seu recorde 
histórico de quase US$16 por bushell (equivale a aproximadamente 35 litros), 
os preços da commodity registraram grande volatilidade em Chicago. O enca-
recimento das garantias para as operações de hedge levou a Selecta ao aperto 
que culminou no pedido de recuperação judicial.
A empresa tinha uma série de contratos de opção de compra e venda de 
soja, usados para fazer o hedge e que estavam em boa parte lastreados pelo 
48
Derivativos Financeiros
produto final. Para manter esses contratos ativos, as bolsas de mercadorias e 
futuros exigem margens que cobrem a variação do preço a cada dia. Com a 
grande volatilidade, os depósitos exigidos nas margens para a Selecta ficaram 
muito elevados.
A empresa usou os recursos que seriam destinados para pagar os produto-
res, que lhe davam o lastro da soja física. Sem dinheiro para pagar pelo produ-
to físico, a empresa perdeu a garantia do preço menor que tinha fechado com 
os produtores e, assim, não pôde auferir o lucro.
Virou uma bola de neve. Não havia mais dinheiro para garantir as margens 
em Chicago e, com isso, os contratos foram desativados. O hedge se desfez. 
Segundo informações de assessores próximos à empresa, do rombo de 
US$160 milhões, US$100 milhões foram pagos às corretoras de Chicago.
A situação agravou-se no Brasil, culminando com o pedido de recuperação 
judicial protocolado na 8.ª Vara Cível de Goiânia na última quinta-feira, sob a 
assessoria do escritório Lilla, Huck, Otranto, Camargo e Messina Advogados.
Sem dinheiro para pagar pelo grão, os produtores foram convocados a re-
tirar a soja já entregue. A situação foi verificada em várias cidades de Goiás, 
sede da companhia. “Para nós, foi uma perda grande. O produtor teve que 
pagar frete e armazenagens extras. E vai ser ainda pior se ela sair do mercado. 
Na região, ela é responsável pelo financiamento de até 30% dos produtores”, 
diz Bartolomeu Braz Pereira, presidente do sindicato rural de Goiatuba. Se-
gundo Pereira, o deslocamento da soja para outros armazéns tem ainda cau-
sado aperto na estocagem da safra de milho, que está em colheita.
Os principais credores, um grupo de bancos, concedeu dois empréstimos 
sindicalizados à empresa, no total de US$160 milhões. Parte dos recursos era 
para construção de uma unidade de esmagamento de soja em Araguari (MG), 
um projeto de R$100 milhões. Os líderes dos empréstimos eram ING e Crédit 
Suisse – no último empréstimo, o principal financiador foi o ABN Amro. Ainda 
fazem parte da lista de credores, entre outros, os bancos West LB e Banque 
Cantonale Vaudoise.
Os esforços da empresa, criada em 1984, a partir da familiar Betinha Alimen-
tos, de Jundiaí (SP), concentram-se agora na busca de um potencial compra-
Mercados futuros
49
dor, afirmam as fontes. A Selecta é auxiliada pelo banco inglês Rothschild. Até 
a tarde de ontem, a companhia mantinha o projeto da unidade de Araguari, 
segundo o secretário de Desenvolvimento Econômico do município, Vicente 
Arthur Teixeira de Sales Dias. Até o fechamento desta edição, os dirigentes da 
Selecta não responderam os pedidos de entrevista feitos pelo Valor.
Comentários: na realidade, segundo o texto, as posições foram feitas com 
contratos de opções e não com contratos futuros. No entanto, o raciocínio é 
semelhante, pois ambos exigem depósitos de margens. A diferença entre estes 
contratos futuros e de opções, no que diz respeito a depósito de margens, é 
que opções compradas não exigem esses depósitos de margens, somente as 
opções vendidas é que exigem. Nesta notícia não há detalhes suficientes para 
se saber quais as verdadeiras posições da Selecta em contratos de opções. 
Porém, quaisquer que sejam estas vendas de opções, existiria a figura dos de-
pósitos de margens e, portanto, não atrapalha a nossa lógica.
Este é realmente um caso incomum, mas não impossível de ocorrer, su-
pondo que as posições em contratos futuros ou de opções tenham sido bem 
dimensionadas para a proteção do preço da soja. A flutuação de preços deve 
ser muito significativa para que esta situação ocorra.
Consideremos que a posição inicial com contratos futuros de uma empre-
sa seja de US$1 milhão, e que a margem depositada seja de 10% deste valor, 
isto é, US$100 mil. Se os preços flutuarem 10% na direção que gera perdas 
com os contratos futuros, toda a margem estarácomprometida, e novos 100 
mil dólares deverão ser depositados. Se os preços oscilarem 100% negativa-
mente, no que diz respeito à posição com futuros, haverá necessidade de 
depositar um milhão de dólares para cobrir as perdas, e assim por diante. 
Supondo que estes contratos futuros sejam mantidos durante um ou dois 
meses, estas perdas teriam que ocorrer neste espaço de tempo, o que não é 
impossível, embora não muito provável, mesmo se tratando de commodities 
bastante voláteis. Embora esta perda venha a ser compensada pelo ganho 
com as posições físicas com o ativo protegido, a compensação somente se 
dará na data de entrega ou recebimento do produto, no caso, daqui a um 
ou dois meses.
50
Derivativos Financeiros
Atividades de aplicação
1. O que são e para que servem as margens de garantia nos contratos 
futuros?
2. O que é base? E risco de base?
3. O que significa hedge natural?
4. Considere o exemplo da empresa que no dia 10 de março compra con-
tratos futuros de dólar. No entanto, suponhamos que a empresa com-
pra 1 000 contratos futuros de dólar. Quais os resultados, os ganhos 
ou perdas acumuladas no período da operação com contratos futuros 
conforme tabela abaixo? Mantenha os preços da tabela 1.
Preço ajuste no 
dia t
Preço ajuste no 
dia t +1
Diferença entre 
t e t + 1 Ganho/Perda
(R$/US$) (R$/US$) (R$/US$) (R$)
2,420 2,425 0,005 250.000
2,425 2,415 – 0,010 – 500.000
2,415 2,400 – 0,015 – 750.000
2,400 2,430 0,030 + 1.500.000
Total + 500.000
5. Considere uma empresa brasileira que possui dívida externa de 100 
milhões de dólares. Ela vai se proteger contra oscilações da taxa de 
câmbio real/dólar por 60 dias usando contratos futuros de dólar na 
BM&FBovespa.
 As condições de mercado para a empresa são as seguintes:
Taxa de câmbio atual no mercado futuro: 2,05R$/US$. �
Taxa de câmbio à vista: 2,00R$/US$. �
O tamanho do contrato futuro de dólar é de US$50.000,00. �
 Considere, também, que após 60 dias as condições serão as seguin-
tes:
Taxa de câmbio no mercado futuro: 2,20R$/US$. �
Taxa de câmbio à vista: 2,20R$/US$. �
Mercados futuros
51
 Pergunta-se:
a) Qual estratégia que a empresa deve escolher para hedging?
b) Qual o resultado do pagamento da dívida externa em 60 dias, con-
siderando o hedging?
c) O resultado foi igual ao preço futuro negociado no momento ini-
cial? Se não, explique o por quê.
6. Considere no exercício 5 que as taxas de câmbio após 60 dias seriam:
Taxa de câmbio no mercado futuro: 2,20R$/US$. �
Taxa de câmbio à vista: 2,19R$/US$. �
Quais os novos resultados? O resultado foi igual ao exercício anterior? �
Se não, qual o motivo?
52
Derivativos Financeiros
Anexo 1
Legenda de contratos futuros da BM&F/Bovespa
Os contratos futuros negociados na BM&F/Bovespa recebem letras que iden-
tificam os meses destes contratos. Por exemplo, os contratos futuros que vencem 
em janeiro recebem a letra F, e assim por diante.
Mês Legenda
Janeiro F
Fevereiro G
Março H
Abril J
Maio K
Junho M
Julho N
Agosto Q
Setembro U
Outubro V
Novembro X
Dezembro Z
D
is
po
ní
ve
l e
m
: <
w
w
w
.b
m
f.c
om
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rt
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es
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ta
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s_
no
vo
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sp
?c
on
tr
at
o=
fin
an
ce
iro
s>
.
O objeto de negociação é a taxa de câmbio real por dólar dos Estados �
Unidos da América, para entrega pronta.
A cotação é em reais por US$1.000,00, com até três casas decimais. �
Os contratos apresentam vencimentos mensais, com no máximo 24 �
meses em aberto, conforme autorização da BM&FBovespa.
O tamanho do contrato é de US$50.000,00. �
O último dia de negociação é o último dia útil (dia de pregão) do mês �
anterior ao mês do vencimento do contrato.
O dia do vencimento é o primeiro dia útil (dia de pregão) do mês do �
vencimento do contrato.
Ajuste diário – as posições em aberto ao final de cada pregão serão �
ajustadas com base no preço de ajuste do dia, estabelecido conforme 
regras da Bolsa, com movimentação financeira em D+1. Para os dois 
primeiros vencimentos o preço de ajuste será estabelecido pela média 
ponderada dos negócios realizados nos últimos 15 minutos do pregão, 
ou por um preço arbitrado pela BM&FBovespa; para os demais, o preço 
de ajuste será estabelecido no call de fechamento. O ajuste diário será 
Mercados futuros de câmbio 
e de taxas de juros DI
Neste capítulo apresentaremos e faremos uso dos contratos futuros de 
taxa de câmbio real/dólar e dos contratos futuros de taxa de juros DI, dispo-
níveis na BM&FBovespa.
Contratos futuros de 
taxa de câmbio na BM&FBovespa
Apresentamos, inicialmente, algumas especificações do contrato futuro 
de dólar, disponível na Bolsa de Mercadorias e Futuros BM&FBovespa (Ofício 
Circular 082/97). São as seguintes:
56
Derivativos Financeiros
calculado de acordo com as seguintes fórmulas:
a) Ajuste das operações realizadas no dia:
 ADt = (PAt – PO) . M . n
b) Ajuste das posições em aberto no dia anterior:
 ADt = (PAt – PA t-1) . M . n
onde:
 ADt = valor do ajuste diário;
 PAt = preços de ajuste do dia t;
 PO = preço da operação (abertura de posição);
 M = multiplicador do contrato, estabelecido em 50;
 n = número de contratos;
 PAt-1 = preços de ajuste do dia útil anterior, t-1.
O valor do ajuste diário, ADt , se positivo, será creditado ao comprador e de-
bitado ao vendedor. Caso o valor seja negativo, será debitado ao comprador 
e creditado ao vendedor.
Outras especificações como: custos operacionais, condições de liquida-
ção e margem de garantia podem ser vistas no contrato da BM&FBovespa 
em seu próprio site.
Vejamos um exemplo de uso:
Um gerente financeiro de uma empresa brasileira, que deverá fazer um pa-
gamento de juros de sua dívida externa em dólares, está considerando adotar 
uma estratégia de hedging de taxa de câmbio com contratos futuros para 30 
dias. Use as informações disponíveis a seguir para responder as perguntas.
Informações:
O valor do pagamento é de US$10.000.000,00. �
O tamanho do contrato futuro de dólar seja de US$50.000,00. �
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
57
O preço futuro atual para 30 dias seja de 2,350R$/US$. �
(d) a cotação do contrato futuro, 30 dias à frente, será R$/US$2,280, e a co-
tação à vista, também 30 dias à frente, será R$/US$2,275, no cenário 1, 
e, respectivamente, iguais a 2,38R$/US$ e 2,375R$/US$, no cenário 2. 
Considere que o pagamento dos juros da dívida externa ocorra no dia 
15 de março. Hoje é dia 16 de fevereiro.
(a) Qual estratégia que a empresa deve escolher para hedging?
(b) Qual o resultado do pagamento dos juros da dívida daqui a 30 dias, 
considerando o hedging?
(c) Que argumentos você utilizaria para vendê-la aos demais executi-
vos?
(d) Mostre que se o preço futuro fosse igual ao preço à vista, no mo-
mento do encerramento da posição com futuros, o resultado total 
seria igual ao preço futuro inicial.
Inicialmente, a empresa deveria comprar 200 contratos futuros de dólar 
(US$10.000.000,00 – juros da dívida / US$50.000,00 – tamanho de cada con-
trato pois, quando o real sofre desvalorização perante o dólar, a dívida em 
dólar torna-se mais cara em reais; então, ao fazer a venda de contratos futu-
ros, e considerando para o exemplo um cenário de possível desvalorização 
do real, a empresa obterá ganhos com os futuros, pois terá comprado estes 
contratos a preços mais baixos do que irá vendê-los após a desvalorização 
do real.
Vejamos, agora, os resultados do pagamento dos juros da dívida externa, 
considerando o hedging no cenário 1.
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,2835R$/US$ (venda) – 2,35R$/US$ (compra)] . 200 . US$ 50.000,00 = 
– R$700.000,00(b) Resultado do pagamento da dívida:
US$10.000.000,00 . 2,275R$/US$ = R$22.750.000,00
(c) Resultado total:
R$22.750.000,00 + R$700.000,00 = R$23.450.000,00, ou 2,345R$/US$.
58
Derivativos Financeiros
Vejamos, agora, os resultados do pagamento dos juros da dívida externa, 
considerando o hedging no cenário 2.
(a) Resultados com os contratos futuros:
[2,38R$/US$ (venda) – 2,35R$/US$ (compra)] . 200 . US$ 50.000,00 = R$300.000,00
(b) Resultado do pagamento da dívida:
US$10.000.000,00 . 2,375R$/US$ = R$23.750.000,00
(c) Resultado total:
R$23.750.000,00 – R$300.000,00 = R$23.450.000,00, ou 2,345R$/US$.
Para vender a estratégia de hedging aos demais executivos, o gerente fi-
nanceiro apresenta a simulação feita a partir dos dois cenários anteriores. 
Ele, então, começa a explicar a estratégia para a empresa aos executivos.
A estratégia a ser escolhida é comprar 200 contratos futuros do mês abril e 
vendê-los no dia 15 de março, quando, então, haverá o pagamento dos juros 
de nossa dívida externa, no valor de US$10 milhões. A partir desta data, não 
devemos permanecer com os contratos futuros em aberto porque o nosso 
risco cambial já terá desaparecido, embora os contratos de abril somente 
vençam no dia 01 de abril; e continuar com posições em futuros caracteriza-
ria especulação e não hedging.
O resultado final que obteríamos no cenário 1, caso os preços fossem os 
da simulação, seria a soma do pagamento da dívida, à taxa de câmbio 2,275 
R$/US$ (cotação à vista 30 dias à frente), com o resultado negativo com con-
tratos futuros de, R$700 mil, ou seja, o pagamento dos juros da dívida sairia 
com taxa de câmbio de 2,345R$/US$. Se não tivéssemos feito a operação de 
hedging, a taxa de câmbio sobre a dívida ficaria em 2,275R$/US$.
Já, no cenário 2, o pagamento dos juros da dívida seria feito à taxa de 
câmbio de 2,375R$/US$ e, ao somarmos os ganhos com os contratos futuros, 
teríamos como resultado final a taxa de 2,345R$/US$, resultado igual ao do 
cenário 1. Esta igualdade não tem que ocorrer sempre. Mas, os resultados 
ficariam, de qualquer maneira, próximos a 2,35R$/US$. Continua, então, o 
gerente financeiro.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
59
Nesses dois cenários, pagaríamos os juros da dívida externa à taxa de 
câmbio de 2,345R$/US$ e, se não tivéssemos feito o hedging com con-
tratos futuros, teríamos taxas de câmbio de 2,275R$/US$ no cenário 1, e 
2,375R$/US$, no cenário 2.
Observação: nos dois cenários, a base final foi 0,05R$/US$, e, por isso, os 
resultados finais foram iguais, já que eles são dados pelo preço futuro inicial 
somado à base.
Considerando a base final como S2 – F2,
Onde:
S2 = preço à vista no cenário 2
F2 = preço futuro no cenário 2
O resultado total é dado por: S2 + (F1 – F2), que representa o valor à vista 
no final da operação, S2, somado ao resultado com os contratos futuros, ou, 
ainda, F1 + (S2 – F2) = F1 + B21, e no nosso caso, B2 = 0,05R$/US$.
Um dos diretores da empresa presente na reunião questiona o uso dos 
contratos futuros, com o argumento de que não se pode fixar um valor de-
terminado para a taxa de câmbio, pois ela depende do valor final da base.
O gerente financeiro responde usando o argumento do risco pequeno da 
base em relação ao risco de oscilação da própria taxa de câmbio.
O mesmo diretor, ainda não satisfeito, busca outra vez criticar a estratégia 
de hedging com contratos futuros, agora, questionando o resultado do cená-
rio 1, no qual teria sido melhor não ter feito o hedging.
Novamente, o gerente financeiro responde dizendo que a decisão de re-
duzir ou eliminar o risco cambial deve ser tomada antes da realização de 
qualquer cenário. Assim, se a decisão da empresa é se proteger contra possí-
veis efeitos negativos, que seriam causados pela elevação da taxa de câmbio, 
a estratégia de hedging deve ser adotada independentemente do cenário 
que advirá no futuro. O resultado final ficará em torno do valor inicial do 
contrato futuro, 2,35R$/US$, em qualquer cenário.
Ainda não se dando por satisfeito, o diretor questiona o uso dos contra-
tos futuros, argumentando que se ocorrerem, com certa frequência, cená-
1 B2 = base 2.
60
Derivativos Financeiros
rios como o cenário 1, a empresa estaria sempre “perdendo” financeiramente 
com sua posição de hedging com futuros, ao passo que outras empresas con-
correntes poderiam não estar adotando este tipo de proteção e, portanto, 
não estariam incorrendo em perdas financeiras como as da nossa empresa.
Novamente, o gerente financeiro contrapõe o argumento com o seguinte 
raciocínio: “Nossa empresa deve seguir uma determinada política de gerên-
cia de riscos, o que não significa que devemos fazer hedging contra todos 
os possíveis riscos (que possam ser protegidos). Mas, aqueles riscos que 
podem prejudicar e pôr em perigo nossos resultados devem ser analisados 
com muita atenção. Se uma oscilação cambial muito acentuada pode levar 
nossa empresa a situações passíveis de nos colocar em concordata, ou em 
algo parecido, devemos certamente desenvolver estratégias para controlar 
este risco cambial. E se nossos concorrentes não adotarem estratégias de 
proteção contra riscos cambiais eles é que poderiam colocar suas empresas 
em situação de risco extremo.”
Pela quarta vez, o diretor que fez as três últimas críticas anteriores, coloca 
em questionamento o uso de contratos futuros como instrumento de pro-
teção em decorrência da necessidade de uso de contas de margem, as quais 
podem vir a exigir recursos financeiros elevados a qualquer momento.
A resposta do gerente financeiro envolve, não somente acompanhar o 
mercado de câmbio para avaliar possíveis efeitos sobre a necessidade de 
margens de garantia junto à bolsa de futuros utilizada, como também dimen-
sionar e limitar o conjunto das operações de hedging de acordo com volumes 
máximos de margens de garantia. O dimensionamento das margens não será 
perfeito, pois é impossível prever exatamente como o mercado evoluirá a 
qualquer momento, mas pode ser feito com relativa segurança para um de-
terminado período de tempo. Por exemplo, suponhamos que a oscilação ne-
gativa (no sentido de exigir novas margens) da taxa de câmbio nos próximos 
três meses não ultrapasse 70% de seu valor inicial, o que deve ser considerada 
uma variação muito acentuada para o período de noventa dias.
Como as margens são diárias é, realmente, necessário dispor de recursos 
para cobrir posições de hedging junto à bolsa de futuros. Estes possíveis de-
pósitos de margens serão compensados com ganhos decorrentes das mu-
danças nos preços do ativo (taxa de câmbio) que está sendo protegido, pois 
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
61
se as margens estão sendo utilizadas e renovadas com frequência, isto se 
deve às perdas nas posições nas bolsas de futuro, que, por sua vez, corres-
pondem aos ganhos com o ativo que está sendo protegido. Mas, como estes 
ganhos somente surgirão no momento, no caso em questão, do pagamento 
dos juros da dívida, e as margens são diárias, há, de fato, necessidade de 
dispor de recursos para a cobertura de chamadas de margens.
Porém, caso a oscilação máxima considerada seja 70% do valor da taxa 
de câmbio inicial dos contratos futuros, é possível calcular o valor requerido 
para as margens e, então, limitar ou não o volume de contratos futuros para 
a estratégia de hedge cambial.
Também podemos considerar a possibilidade de liquidar a posição com 
futuros antes da data do pagamento dos juros da dívida externa. Esta de-
cisão, se tomada, caracterizaria a eliminação do hedging. Porém, por outro 
lado, estancaria o processo de chamadas de margens, no caso em que elas 
fossem constantes e elevadas. Entretanto, quando as chamadas de mar-
gens estão em valores incômodos, isto ocorre porque a taxa de câmbio está 
caindo (sevalorizando) com vigor, e se ela está em queda, a empresa se 
beneficiará no seu pagamento de juros. Assim sendo, poderia ser razoável 
considerar a possibilidade de interrupção do hedging, pois taxas de câmbio 
já em forte queda trazem ganhos no pagamento de juros, permitindo que 
se possa abrir mão da proteção cambial. A proteção cambial seria cada vez 
menos necessária neste cenário de forte queda cambial. É verdade que as 
taxas de câmbio podem voltar a subir acentuadamente antes do pagamento 
dos juros da dívida externa, mas como a taxa de câmbio já teria caído muito, 
o efeito sobre a empresa poderia ser bem reduzido.
Liquidar antecipadamente a posição com contratos futuros estancaria o 
processo de chamadas de margens, mas também caracterizaria a eliminação 
do hedging.
Diante de todas as argumentações, e do risco cambial, decide-se im-
plementar a estratégia de hedging cambial, que será atentamente acom- 
panhada.
62
Derivativos Financeiros
Contratos futuros de taxa de juros DI
Algumas especificações dos contratos futuros de depósitos interfinancei-
ros (DI), disponíveis através da BM&FBovespa (Ofício Circular 133/2001), são 
apresentadas a seguir:
O objeto de negociação é a taxa de juros efetiva até o vencimento do �
contrato, definida pela acumulação das taxas diárias de DI no período 
compreendido entre a data de negociação, inclusive, e o último dia de 
negociação, inclusive.
A cotação é na forma de taxas de juros efetiva anual, base 252 dias úteis, �
com até três casas decimais.
Os contratos apresentam vencimentos mensais e trimestrais. �
O tamanho do contrato é de R$100 mil. Este valor representa o valor �
de face do que seria um título virtual que rende à taxa DI. (ver ajustes 
diário).
O último dia de negociação é o ultimo dia útil (dia de pregão) do mês �
anterior ao mês do vencimento do contrato.
O dia do vencimento é o primeiro dia útil (dia de pregão) do mês do �
vencimento do contrato, sendo que os meses autorizados à negociação 
são: os quatro primeiros subsequentes ao mês em que a operação é 
realizada e, a partir daí, os meses que se caracterizam como de início de 
trimestre.
Ajuste diário – � para efeito de apuração de ajuste diário das posições em 
aberto as operações de compra e venda, originalmente contratadas em 
taxa, serão transformadas em operações de venda e de compra, respec-
tivamente, em PU.
As posições em aberto ao final de cada pregão, depois de transformadas 
em PU, serão ajustadas com base no preço de ajuste do dia, estabelecido con-
forme regras da Bolsa, com movimentação financeira em D+1. Para os dois 
primeiros vencimentos o preço de ajuste será estabelecido pela média pon-
derada dos negócios realizados nos últimos 15 minutos do pregão, ou por um 
preço arbitrado pela BM&FBovespa; para ao demais, o preço de ajuste será 
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
63
estabelecido no call de fechamento. O ajuste diário será calculado até a data 
do vencimento, inclusive, de acordo com as seguintes fórmulas:
a) Ajuste das operações realizadas no dia:
 ADt = (PAt – PO) . M . N
b) Ajuste das posições em aberto no dia anterior:
 Dt = (PAt – PA t-1 . FCt) . M . N
Onde:
 ADt = valor do ajuste diário referente à data t;
 PAt = preços de ajuste do contrato na data t;
 PO = preço da operação, em PU, calculado da seguinte forma, após o 
fechamento do negócio (abertura de posição):
PO = 
R$100.000
1 + 
i
100
n
252
Onde,
 i = t axa de juros negociada;
 n = número de saques-reserva, compreendido entre a data de nego-
ciação, inclusive, e a data de vencimento do contrato, exclusive;
 M = valor em reais de cada ponto de PU, estabelecido pela 
BM&FBovespa;
 N = número de contratos;
 PA t-1 = preços de ajuste do contrato na data t-1;
 FCt = fator de correção do dia t, definido pela seguinte fórmula:
FCt = 
n
j -1
1 + 
Dj
100
1
252
64
Derivativos Financeiros
Onde:
 DIt = taxa de DI, referente ao dia útil anterior ao dia a que o ajuste se 
refere, com até seis casas decimais.
Na data de vencimento do contrato o preço de ajuste será 100.000.
O valor do ajuste diário, se positivo, será creditado ao comprador da posi-
ção em PU (vendedor original em taxa) e debitado ao vendedor da posição 
em PU (comprador original em taxa). Caso o valor seja negativo, será debitado 
ao comprador da posição em PU e creditado ao vendedor da posição em PU.
Outras especificações, como custos operacionais, condições de liqui-
dação e margem de garantia, podem ser vistas no contrato da BM&F/Boves-
pa em seu próprio site.
Como podemos observar pela especificação, os contratos futuros de DI 
na BM&FBovespa são mensais (ou trimestrais), com vencimento no primeiro 
dia útil do respectivo mês (ou do trimestre).
Assim, se uma empresa ou investidor deseja se proteger contra a elevação 
das taxa de juros DI, ela deve comprar contratos futuros referentes ao mês ou 
aos meses em que quer proteção. A posição deve ser comprada, já que estes 
contratos futuros são negociados em taxas de juros e não em preços.
Então, se as taxas de juros DI sobem ao longo do tempo, também subirão 
as taxas de juros nos contratos futuros, e uma compensará a outra; ou seja, 
os pagamentos de juros com base na taxa DI aumentarão para a empresa, 
mas ela também ganhará com os contratos futuros. E se as taxas de juros DI 
caírem ao longo do tempo, ocorrerá o inverso, isto é, o pagamento de juros 
da empresa será reduzido, mas, ao mesmo tempo, ela perderá com sua po-
sição nos contratos futuros de DI, visto que estas cotações futuras também 
cairão acompanhando a queda das taxas de juros DI.
Consideremos, agora, a posição de um investidor que possui aplicações fi-
nanceiras indexadas á taxa de juros DI. Qual deve ser a posição em contratos 
futuros de DI, se este investidor estiver considerando buscar proteção contra 
queda das taxas de juros DI, e, portanto, de seu retorno nas aplicações? A respos-
ta é vender contratos futuros de DI, pois com esta posição vendida o investidor 
obterá ganhos financeiros junto à BM&F/Bovespa sempre que seus rendimentos 
nas aplicações financeiras caírem em decorrência de quedas nas taxas DI.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
65
Se o investidor comprasse contratos futuros de DI ele estaria perdendo 
com seus contratos futuros e também perderia em suas aplicações financei-
ras, sempre que as taxas DI caíssem. Esta posição comprada estaria, portan-
to, caracterizando uma estratégia especulativa, e não de hedging.
O investidor estaria adotando estratégia especulativa se comprasse con-
tratos futuros de DI, quando seu risco é de queda das taxas DI.
Vejamos alguns exemplos de uso destes contratos futuros:
Exemplo 1
Uma empresa contrai uma dívida de R$1milhão em 3 de março, a ser paga 
em 02 de julho, à taxa de juros de 100% do DI. Com receio de possíveis ele-
vações das taxas de juros, no mesmo dia, ela realiza uma operação de hedge 
com contratos futuros de DI.
Qual o desembolso total da empresa em 02 de julho, considerando o pa-
gamento de sua dívida e o resultado com os contratos futuros? Não conside-
re as despesas junto à BM&F/Bovespa.
A taxa DI no contrato futuro negociado para o mês julho é, no momento 
em que a empresa confirma a operação de hedging com o corretor, 11,20% 
ao ano. O contrato escolhido é o de julho porque ele vence no primeiro dia 
útil deste mesmo mês.
Suponha que o CDI efetivo no período tenha sido igual a 4,0%.
Solução: 
Cálculo do PU do contrato futuro de julho, considerando 85 dias úteis no 
período:
O PU correspondente à taxa negociada do DI futuro é R$96.482,55.
PU = 
R$100.000,00
1 + 
11,20
100
85
252
 = R$ 96.482,55
A empresa deve comprar contratos futuros de DI para compensar possí-
veis aumentos desta taxa e seus efeitos sobre o empréstimorealizado.
Número de contratos futuros comprados = R$1.000.000,00 / R$96.482,55 = 
10,364 (10 contratos futuros de DI do mês julho).
66
Derivativos Financeiros
Observação: 
A cotação revela uma expectativa de taxa de juros de 3,6457% para o 
período de 02/03/2009 a 02/07/2009, já que R$100.000/ R$96.482,55 = 
1,036457.
Resultado final em 02/07/2009:
(a) Pagamento da dívida = R$1.000.000,00 . 1,040 = R$1.040.000,00
(b) Resultado com o hedge com futuros:
[(R$96.482,55(venda) . 1,040) – R$100.000,00 (compra)] . 10 = R$3.418,52
Aqui temos o valor inicial, R$96.482,55, corrigido pela taxa DI acumu-
lada no período da operação de hedging, que é 4% e, então, abatida de 
R$100.000,00, que é o valor do preço da recompra (na forma de preço) do 
contrato futuro no dia de seu vencimento.
(c) Resultado total:
R$1.040.000,00 + R$3.418,52 = R$1.036.581,48
Conclusão:
A empresa transformou sua dívida pós-fixada em prefixada, com taxa de 
juros de 3,6581% no período, ou 11,24 % ao ano, pois terá como desembolso 
total R$1.036.581,48.
Considere, agora, que a taxa de juros DI no período tenha sido igual a 
2,5%. Quais os novos resultados?
Resultado final em 02/07/2009:
(d) Pagamento da dívida:
R$1.000.000,00 . 1,025 = R$1.025.000,00
(e) Resultado com o hedge com futuros:
[(R$96.482,55 . 1,025) – R$100.000,00] . 10 = – R$11.053,86
(f ) Resultado total:
R$1.025.000,00 – R$11.053,86 = R$1.036.053,86
Neste cenário alternativo a empresa transformaria sua dívida pós-fixada em 
prefixada, com taxa de juros de 3,6054% no período, ou 11,072 % ao ano.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
67
Observações:
Houve ganhos com os contratos futuros porque a taxa de juros DI no �
período, 4%, foi superior à taxa embutida no contrato futuro, 3,6457% 
no período, e os contratos futuros foram comprados.
Outro modo de observar o ganho com os contratos futuros consiste em �
considerar que estes foram comprados na forma de taxa de juros e, en-
tão, foram vendidos na forma de preços, já que taxa de juros e preço 
variam inversamente. Pode-se olhar a compra dos futuros de DI como a 
compra de títulos virtuais que possuem valor de face de R$100.000,00, 
e que a venda destes títulos virtuais gera inicialmente R$96.482,55. Se a 
taxa de juros no mercado, durante o período da operação, for maior do 
que a taxa DI embutida nos próprios contratos futuros, significa que o 
valor “recebido” na venda virtual, será capitalizado com taxas mais ele-
vadas do que estão embutidas nos futuros no momento de sua compra. 
Assim, o valor futuro (no vencimento dos contratos futuros) do título 
virtual será maior do que R$100.000,00, preço pelo qual ele será “com-
prado” para encerrar a operação com os contratos futuros.
 No caso do cenário alternativo, em que a taxa de juros no período ficou 
em 2,5%, e não mais 4% (como no cenário inicial), haveria perdas com 
os contratos futuros. Isto ocorreria porque os títulos virtuais acumula-
ram um valor final menor do que R$100.000,00, que é o valor que deve 
ser pago na liquidação (na compra) da posição com futuros.
Verifica-se que a taxa de juros prefixada pela empresa, através do uso dos �
contratos futuros, fica em torno do valor inicial da taxa DI embutida no 
contrato futuro de julho, 3,6457%. As divergências se devem ao uso de 10 
contratos futuros, já que não é possível negociar 10,133 contratos. Mas, 
por que esta convergência ao valor embutido nos contrato futuro de DI de 
julho? Ela ocorre porque foi considerado que a taxa de juros nos futuros 
de DI convergem para a taxa de juros DI no mercado à vista, isto é, ambas 
acumulam 4% no período, ou 2,5% no período, no cenário alternativo.
 Voltando ao cenário inicial, considere, agora, que a taxa DI no período 
continue em 4%, mas que a taxa futura de DI acumule 3,75% no perío-
do. O que foi alterado no exemplo?
 Resultado final em 02/07/2009:
 (g) Pagamento da dívida:
 R$1.000.000,00 . 1,040 = R$1.040.000,00
68
Derivativos Financeiros
(h) Resultado com o hedge com futuros:
[(R$96.482,55 . 1,0375) – R$100.000,00] . 10 = R$1.006,46
(i) Resultado total:
R$1.040.000,00 – R$1.006,46 = R$1.038.993,54
A nova taxa de juros da operação fica em 3,8993% no período, e não mais 
próxima de 3,6%. Isto ocorre porque os ganhos com os contratos futuros 
diminuem em relação aos ganhos obtidos no cenário inicial, no qual as taxas 
que corrigiram os contratos futuros vendidos em preço foram as mesmas 
observadas no mercado de DI, 4% no período.
Exemplo 2
Uma instituição financeira toma empréstimo de R$10 milhões em 02 de 
março, à taxa efetiva no período de 4%, para pagamento em 01 de julho, e 
empresta o mesmo valor, pelo mesmo período, a uma taxa igual 100% do DI. 
A instituição deseja efetuar um hedge para se proteger de possíveis quedas 
da taxa de juros.
Qual o resultado total da empresa em 02 de julho, considerando o paga-
mento de sua dívida e o resultado com os contratos futuros? Não considere 
as despesas junto à BM&FBovespa.
A taxa DI no contrato futuro negociado para o mês julho é, no momento 
em que a empresa confirma a operação de hedging com o corretor, 11,20% 
ao ano. O contrato escolhido é o de julho porque ele vence no primeiro dia 
útil deste mesmo mês.
Suponha que a taxa de juros DI fique em 3,50% no período do emprésti-
mo concedido.
Solução: 
Cálculo do PU do contrato futuro de julho, considerando 85 dias úteis no 
período:
O PU correspondente à taxa negociada do DI futuro N09 que é 96.482,55 
reais.
PU = R$100.000,00
1 + 
11,20
100
85
252
 = R$96.482,55
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
69
A instituição financeira deve vender contratos futuros de DI para com-
pensar possíveis quedas desta taxa e seus efeitos sobre o empréstimo que 
ele concedeu.
Número de contratos futuros vendidos = R$10.000.000,00 / R$96.482,55 = 
101,33 (101 contratos futuros de DI de julho).
Observação:
A cotação revela uma expectativa de taxa de juros de 3,6457% para o 
período de 02 de março a 02 de julho, já que R$100.000,00/ R$96.482,55 = 
(1,036457).
Resultado final em 02/07/2009:
(j) Recebimento do empréstimo = R$10.000.000,00 . 1,035 = R$10.350.000,00
(k) Resultado com o hedge com futuros:
[R$100.000,00 (venda) – (R$96.482,55 (compra de PU) . 1,035)] . 101 = 
R$14.196,64, representando ganho neste valor.
(l) Resultado total:
R$10.350.000,00 + R$14.196,64 = R$10.364.196,64
Conclusão:
A instituição financeira transformou seu empréstimo, concedido sob taxa 
DI, em empréstimo em taxa fixa de 3,642% no período, ou 11,188 % ao ano 
(= [1,03642]252/85 – 1), taxa bem próxima a 11,20% ao ano, que é a taxa embu-
tida nos contrato futuro de DI para julho.
Observações:
Se a instituição financeira já tomou um empréstimo à taxa de 4% no �
período, e emprestou estes recursos à taxa de 100% do DI, e a taxa DI 
embutida no contrato futuro de DI do mês julho é de 3,6457% no pe-
ríodo, a fixação da taxa DI futura levará a um spread2 negativo para a 
instituição financeira. Ela deve fazer uso dos contratos futuros de DI e 
fixar um spread negativo, ou não?
2 Diferença entre preço 
de compra e preço de 
venda.
70
Derivativos Financeiros
Se existe a possibilidade de quedas bruscas na taxa DI neste período em 
questão, seria defensável fazer a proteção via bolsa de futuros, ainda que 
com spread negativo pois, sem o hedging, o spread poderia ficar ainda mais 
negativo.
Se considerarmos que a instituição financeira ainda vai definir a taxa �
de juros do empréstimo que vai conceder, ela deveria cobrar mais do 
que 109,70 do DI, visto que 4,00%/3,6457% = 1,097, ou seja, 109,70% 
do DI. Com taxas de 110,00% do DI, isto é, 4,0102% no período e, man-
tendo a estrutura de hedging, os resultados passariam a ser:
Observação: 
O número de contratos futurospassaria a ser:
Número de contratos futuros = R$10.000.000,00 . 1,1 / R$96.482,55 = 
114,04 ou 114 contratos.
Resultado final em 02 de julho:
(m) Recebimento do empréstimo:
R$10.000.000,00 . (1+ 3,5% . 1,1) = R$10.385.000,00
(n) Resultado com o hedge com futuros:
[R$100.000,00 – (R$96.482,55 . 1,035)] . 114 = R$16.023,93
(o) Resultado total:
R$10.385.000,00 + R$16.023,93 = R$10.401.023,93
Conclusão:
A instituição financeira transformaria seu empréstimo, concedido sob 
taxa DI, em empréstimo de taxa fixa de 4,01% no período, ou 12,36 % ao ano 
(= [1,0401]252/85 – 1), taxa maior do que 11,20% ao ano, que é a taxa embutida 
nos contrato futuro de DI para julho; e também igual à taxa paga pelos recur-
sos obtidos para empréstimo, 4% no período, ou 12,33% ao ano.
Exemplo 3
Considere agora a posição de um especulador que aposta que as taxas de 
juros DI irão cair nos próximos meses. Ele, então, deveria vender contratos 
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
71
futuros de DI na BM&FBovespa. Se as taxas de juros não caírem, ou subirem, 
ele, respectivamente, nada ganhará, ou estará acumulando perdas em suas 
posições com futuros.
Suponha que este investidor, no dia 11 de março decida vender 100 con-
tratos futuros de DI do mês abril. No momento da venda, seu corretor diz 
que pode negociar esses contratos à taxa 11,20% a.a. A posição é, então, 
fechada. Esses contratos vencerão em 15 dias úteis e, portanto, o PU dele é 
R$99.370,09.
PU = R$100.000,00 / (1,1120)15/252 = R$99.370,09
No final do pregão do dia 11 de março, a taxa DI futuro do contrato de 
abril sobe e o preço de ajuste do dia fica em 11,24% a.a.
Então, em seu primeiro dia com a posição, o preço de ajuste é de 
99.367,96, que corresponde à taxa futuro de 11,24% a.a., pois,
PU = 
R$100.000,00
(1,1124)
15
252
 = R$99.367,96
Por conseguinte, neste primeiro dia, o investidor terá como resultado fi-
nanceiro junto à BM&F o seguinte valor:
[R$99.367,96 – R$99.370,09] . 100 = – R$213,00
Ele, portanto, perderia R$213,00 neste primeiro dia de operação.
Suponhamos que ele continue por mais dois dias em sua posição ven-
dida em 100 contratos futuros de DI e que nestes dois dias as cotações, na 
forma de preços de ajuste, sejam, respectivamente, correspondentes às taxas 
11,30% a.a. e 11,28% a.a. Consideremos também que as taxas DI nos dias 11 
e 12 de março sejam, respectivamente, 11,21% a.a., e 11,25% a.a.
Assim, os resultados do especulador nestes dois dias, 12 e 13 de março, 
seriam:
Dia 12 de março:
 P ajuste = R$100.000,00/(1,113)14/252 = R$99.406,99
 P ajuste anterior = R$99.367,96
Correção do P ajuste do dia anterior, 11 de março, pela taxa DI do dia 11 
de março = R$99.367,96 . (1,1121)1/252 = R$99.409,867.
72
Derivativos Financeiros
Observação:
Lembremos que a taxa DI do dia 11 de março corrige o preço de ajuste do 
dia 11 de março para o dia 12 de março. Conforme a especificação dos con-
tratos futuros mostra, os preços de ajuste são sempre corrigidos diariamente 
para serem utilizados na comparação do dia seguinte.
Então, o resultado com a posição do investidor, no dia 12 de março, seria:
[R$99.406,99 – R$99.409,86] . 100 = – R$287,00
Ou seja, ocorreria uma nova pequena perda.
No último dia com a posição em aberto o investidor obtém um resultado 
positivo com a queda das taxas de juros DI futuras.
P ajuste = R$100.000,00/(1,1128)13/252 = R$99.450,16
Correção do P ajuste do dia anterior, 12 de março, pela taxa DI do dia 11 
de março = R$99.406,99 . (1,1125)1/252 = R$99.449,05.
E o resultado com a posição do investidor, no dia 13 de março, seria:
[R$99.450,16 – R$99.449,05] . 100 = R$111,00.
No total, a estratégia de venda de 100 contratos futuros de DI do mês abril 
gerou perda para o investidor.
Resultado final para o investidor = – R$213,00 – R$287,00 + R$110,65 = 
– R$389,35.
Taxas DI a termo
Uma taxa a termo pode ser obtida a partir da seguinte hipótese de não 
arbitragem entre duas taxas spot e a taxa a termo correspondente.
Taxa a termo é aquela que tem início em momento futuro, por exemplo, 
a taxa DI que tem início daqui a um mês e teria um mês de prazo, ou a taxa 
DI que teria início daqui a dois meses e teria um mês de prazo, e assim por 
diante.
Taxa spot é aquela que tem início no momento atual. É também identifica-
da como a taxa de um título zero-coupom.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
73
Suponhamos que um investidor pode aplicar seus recursos por 1 ano, se-
guindo uma das duas estratégias:
Estratégia 1: aplicar seus recursos à taxa anual, s2, obtendo:
 K(1 + s2)
Onde, K representa o capital inicial aplicado.
Estratégia 2: aplicar seus recursos por seis meses à taxa s1 (apresenta-
da ao ano) e, em seguida, reaplicar os valores obtidos por mais seis meses, 
totalizando:
 K (1 + s1)
0,5 . (1 + f1)0,5
Onde “s” representa o valor à vista e “f” representa o valor futuro.
As duas estratégias devem dar o mesmo resultado, pois, em caso con-
trário, haveria oportunidade de arbitragem, tomando recursos em uma das 
estratégias e aplicando em outra que renderia mais do que o custo da obten-
ção dos recursos.
Então, por motivo de não arbitragem, temos:
 K(1 + s2) = K(1 + s1)
0,5 . (1 + f1)0,5
Assim, a taxa a termo f1 deve, portanto, ter hoje valor tal que a relação 
acima seja respeitada. Portanto, f1 seria dada por:
 ƒ1 = 
(1 + s2)
2
(1 + s1)
 – 1
Se substituirmos taxas pelos seus respectivos preços, P2 = 100/(1 + s2), e 
P1 = 100/ (1 +s1)
0,5.
Obtemos: f1 = [P1
2 / P2
2] –1 e, (1 + f1)_ = [P1/P2]
2 e, finalmente, (1 + f1)
0,5 = 
[P1/P2]
Como as taxas futuras de DI representam taxas spot, ou seja, aquelas 
que tem início no momento atual, dois contratos futuros consecutivos re-
presentariam, respectivamente, as taxas DI de hoje até dia 01 de abril, con-
trato futuro do mês abril; e a taxa de hoje até 02 de maio, contrato futuro 
do mês maio.
Mas, qual seria a taxa de juros a termo que inicia em uma data futura dada 
pelo período 01 de abril a 02 de maio? Nenhum dos dois contratos futuros 
74
Derivativos Financeiros
nos dá esta taxa diretamente. Porém, ao compormos estas duas taxas futu-
ras, estaríamos obtendo a taxa a termo desejada.
A composição deve ser feita com a compra da taxa de juros mais longa, 
contrato futuro do mês maio, e a venda concomitante do contrato futuro de 
vencimento mais próximo, isto é, a taxa do contrato futuro do mês abril. Com 
os dois contratos, um comprado e outro vendido, a posição de um anula a 
posição do outro até que ocorra o vencimento do contrato mais curto, o do 
mês abril. Então, a partir de 01 de abril, e até 2 de maio, somente estaria em 
vigor o contrato futuro de maio, o que caracterizaria uma posição comprada 
na taxa a termo do mês abril, na data de hoje.
Se o investidor quiser vender, hoje, a taxa a termo do mês abril, ele deve 
vender contratos futuros de maio e comprar os de abril.
Qual seria, então, a taxa a termo de abril, considerando os valores dos 
contratos futuros de DI da tabela 1?
Tabela 1 – Preços de ajuste dos contratos futuros de DI
Preço de ajuste de abril = R$99.367,96
Preço de ajuste de maio = R$98.539,02
Preço de ajuste de junho = R$97.782,67
Os preços dos contratos futuros de abril e maio, considerando 15 e 35 dias 
úteis para o vencimento da cada contrato, são, respectivamente:
P1 = R$100.000,00/(1 + s1)
15/252 , e P2 = R$100.000,00/(1 + s2)
35/252
Então, usando a equação anterior, que permite obter a taxa a termo, temos:
(1 + f1)20/252 = [R$99.367,96/R$98.539,02] = 1,008412 e, fabril = 11,132% a.a.
A taxa a termo para o mês abril seria, portanto, 11,132% a.a.
Para o mês maio, a taxa a termo seria dada, considerando 21 dias úteis em 
maio, por:
(1+ fmaio)
21/252 = R$98.539,02/R$97.782,67 = 1,007735e, fmaio = 9,6873% a.a.
Seguindo este procedimento, podemos obter outras taxas a termo e 
montar uma curva de taxas a termo de juros.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
75
Ampliando seus conhecimentos
Caro Chico
Carta de Cacciola explica o favorecimento ao Banco Marka e compromete o 
ex-presidente do Banco Central, Francisco Lopes 
 
Daniel Stycer
O círculo se fecha. O elo que faltava para unir o nome do ex-presidente do 
Banco Central, Francisco Lopes, a Salvatore Alberto Cacciola, dono do Banco 
Marka, está nas mãos do Ministério Público Federal. Trata-se de uma carta es-
crita de próprio punho pelo ex-banqueiro e endereçada a Lopes, obtida com 
exclusividade por IstoÉ. Nela, Cacciola expõe todo seu desespero diante do 
prejuízo que o Marka teria com a desvalorização cambial que se acelerou a 
partir de 13 de janeiro, dia em que o próprio Lopes assumiu o posto de Gus-
tavo Franco, enterrou a âncora cambial e criou a malfadada banda larga de 
variação para o dólar, que resultou no ataque especulativo ao real. É um apelo 
dramático para que o homem-forte do BC interceda junto ao então diretor 
de Fiscalização, Cláudio Mauch, e o convença a vender dólares ao Marka pelo 
valor de R$1,25, uma cotação de pai para filho. “[...] Preciso de uma, muito 
maior, interferência sua no sentido de Mauch ser menos rigoroso e aceitar 
a negociação em um preço razoável”, escreveu Cacciola, demonstrando um 
grau de intimidade no mínimo estranho entre um agente financeiro e o pre-
sidente da instituição que deveria fiscalizar o mercado. E mais: afirma que, 
resolvida a questão, abandonaria o ramo - “[...] para recomeçar minha vida e 
esquecer tudo”. As duas últimas palavras estão sublinhadas, numa promessa 
de enterrar o passado e todos seus segredos.
A referência a Mauch deve explicar seu curioso pedido de demissão em 
15 de janeiro - e o imediato retorno ao cargo no mesmo dia. Na ocasião, ele 
alegou motivos pessoais. “Cacciola pode até ter me procurado, mas eu nunca 
falei com ele. Nunca o vi”, afirmou o ex-diretor do BC a IstoÉ. Sem confirmar 
a cotação almejada pelo Marka, Mauch disse que a decisão foi tomada em 
conjunto por toda a diretoria. Perguntado se, em algum momento, Francisco 
Lopes lhe pediu que fosse “menos rigoroso”, o ex-funcionário do BC se esqui-
76
Derivativos Financeiros
vou: “Não vou responder. Vou depor na CPI e não ficarei falando sobre esse 
assunto agora. Também não vou dizer grandes novidades lá.” Para irritação 
dos parlamentares, foi assim - sem muitas novidades - que começou para 
valer a CPI dos Bancos, na quinta 15, com o depoimento do atual presidente 
do BC, Armínio Fraga. Ele chegou com uma pilha de documentos, 300 pá-
ginas de cópias de recibos, cartas, comprovantes, tabelas e textos explicati-
vos, mas poucas revelações. O máximo de crítica a que se permitiu foi con-
siderar uma “aberração” o excesso de concentração nas mãos do Marka das 
operações no mercado futuro de dólar - aquele onde as instituições financei-
ras apostam quanto estará valendo a moeda americana numa determinada 
data. Um claro puxão de orelha na Bolsa de Mercadorias & Futuros, a BM&F. 
O banco tinha 12 650 contratos que representavam US$1,2 bilhão. Fraga 
nem sequer admitiu o prejuízo de US$1,1 bilhão que o BC tirou das costas de 
Cacciola ao vender dólar no mercado futuro pela amigável taxa de R$1,2750. 
Enquanto a CPI ouvia o presidente do BC, o Ministério Público Federal tinha 
mais sorte em suas buscas no Rio. Naquela quinta 15, agentes federais e procu-
radores da República vasculharam as sedes dos bancos Marka e FonteCindam, 
que também foi socorrido pelo BC, e as residências de seus presidentes: Salva-
tore Alberto Cacciola e Luiz Antônio Gonçalves. A operação conjunta atingiu 
ainda o economista Rubem Novaes, acusado de ser o intermediário de um 
suposto esquema de corrupção, que vazaria informações privilegiadas do BC 
para instituições financeiras cariocas. Na casa de Cacciola, num condomínio 
de luxo na Barra da Tijuca, a polícia encontrou uma escopeta 12mm, munição 
e um coldre de arma de menor porte, além da comprometedora carta para 
Lopes. IstoÉ submeteu o manuscrito ao exame do perito Mauro Ricart, profis-
sional com 28 anos em perícia grafotécnica, que dirigiu o Instituto de Crimina-
lística e o Departamento de Polícia Técnica Fluminense. Depois de comparar a 
mensagem com outro documento em que aparece a letra de Cacciola, Ricart 
confirmou sua autoria: “Com o material que me foi apresentado, encontrei di-
versas convergências gráficas que, apesar de se tratar de cópia xerox, pelo as-
pecto formal de determinadas particularidades, apontam o punho de Caccio-
la como provável autor dos dizeres do manuscrito. Mas para expedir um laudo 
definitivo só posso me manifestar depois da apresentação dos originais.”
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
77
Mais um revés para Cacciola, que retorna ao país nesta segunda 19, depois 
de uma temporada de exílio voluntário na Itália. De lá, também por escrito, 
enviou sua versão dos fatos a alguns meios de comunicação. “Nunca estive 
com o senhor Francisco Lopes”, garantiu. Nem precisava. A julgar pela cor-
respondência encontrada, seu relacionamento com o ex-presidente do BC 
dispensava encontros formais. “Temo o justiçamento sem apuração”, disse ao 
jornal Folha de S.Paulo. O ex-banqueiro é esperado às 10 horas para depôr na 
sede da PF no Rio. Enquanto isso, IstoÉ apurou que ele passou para o nome da 
mulher a mansão de Angra dos Reis, avaliada em US$1 milhão.
O cerco também começou a fechar em torno do ex-presidente do BC, Fran-
cisco Lopes. Às 13 horas da sexta 16, uma patrulha da PM foi alertada por mo-
radores da Rua Sá Ferreira, em Copacabana, de que vários homens armados 
cercavam o prédio número 143. Logo de saída, os policiais foram informados 
de que não se tratava de nenhum assalto ou tentativa de sequestro, apenas 
mais uma operação da PF no caso Marka. Cerca de 12 agentes, acompanhan-
do o procurador Bruno Acioly, chegaram na residência de Lopes, com manda-
do de busca e apreensão concedido pela juíza Ana Paula Vieira de Carvalho, 
da 6.ª Vara Federal. Na residência, encontravam-se apenas uma empregada 
e Ciça Pugliese, esposa de Lopes. Como demoraram para abrir a porta, os 
agentes chegaram a chamar um chaveiro. Aos prantos, Ciça telefonava para 
o marido, que estava em Brasília, depondo às escondidas à comissão de sin-
dicância do BC. Ele disse que abrissem a porta e deixassem revistar à vonta-
de. O apartamento estava repleto de caixas fechadas, resultado da mudança 
recente da família de Brasília para o Rio. O procurador e os agentes federais 
trabalharam durante toda a tarde na procura de documentos compromete-
dores. De lá, a equipe saiu para dar uma batida na Macrométrica, consultoria 
financeira criada pelo ex-presidente do BC. Lopes estava distante 1 150km do 
Rio, tinha entrado no prédio do BC por uma porta de serviço e prestava expli-
cações numa sala de reuniões do oitavo andar. Curiosamente, disse que quem 
levou o socorro ao banco Marka para apreciação da diretoria foi o ex-diretor 
de Fiscalização Cláudio Mauch. Lopes volta a ser alvo de uma batelada de per-
guntas na segunda 19, agora na CPI dos Bancos. Mauch faz o mesmo na terça. 
Eles têm muito a explicar. 
78
Derivativos Financeiros
O Fonte aparece
Enquanto o presidente do Banco FonteCindam, Luiz Antônio Gonçalves, con-
cedia esta entrevista a IstoÉ, na quinta 15, a Polícia Federal retirava documentos 
da sede do banco, no Rio. Gonçalves, no entanto, parecia calmo, estava empe-
nhado em diferenciar sua operação de socorro da que foi realizada pelo Banco 
Marka
Álvaro Almeida / Aziz Filho
ISTOÉ - Como o banco recorreu ao BC?
Luiz Antônio Gonçalves - O banco tinha, de fato, uma posição vendida em 
dólar nos mercados futuros. Nós achávamos que não haveria mudanças depolítica cambial pelo menos até fevereiro.
ISTOÉ - Eram cinco mil contratos que somavam algo entre US$500 milhões 
e US$600 milhões?
Gonçalves - O banco tinha uma posição própria de 2 600 contratos em 
dólar, que representariam US$260 milhões, e os fundos que administrávamos 
tinham cinco mil contratos, cerca de US$500 milhões. Por quê? O banco vinha 
tradicionalmente fazendo uma aposta, de anos, de que o governo sustentaria 
o real.
ISTOÉ - Mas a partir de 11 de janeiro ocorreram perdas diárias nas reservas 
da ordem de US$1 bilhão.
Gonçalves - Ao mesmo tempo, o BC continuava a vender dólar nos merca-
dos futuros, defendendo o real. O BC sempre fez isso, na crise da Ásia em 1997, 
na russa em 1998, e não perdemos dinheiro nesses episódios. O que aconte-
ceu no dia 13? Acordamos com a manchete da saída do Gustavo Franco e a 
instituição da política de bandas. Ficamos num córner: não tínhamos liquidez 
no mercado para tentar buscar dólar ao preço que fosse possível e liquidar as 
posições. Qual a saída? Ir ao BC e comprar dólar. É importante lembrar que o 
BC vendeu, nos dias 13 e 14, alguns bilhões de dólares para ver se a banda de 
R$1,32 funcionava.
ISTOÉ - Por que não fez isso?
Gonçalves - O próprio Armínio explicou no seu depoimento: “O FonteCin-
dam tinha a alternativa de comprar o dólar, mas o BC optou por vender o dólar 
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
79
futuro para não afetar as reservas.” E qual o cálculo que o BC fez? Viu a quanto 
o dólar estaria em 1.º de fevereiro se a política instituída no dia 13 estivesse 
dando certo. O valor seria R$1,3217. Compramos a R$1,3220.
ISTOÉ - Como foi o contato com o BC?
Gonçalves - Eu fiz uma ligação para o presidente do BC (Francisco Lopes), 
no dia 13 ou 14, não estou bem certo, e ele me remeteu para o diretor de 
Fiscalização, o Cláudio Mauch, que conduziu o assunto. Não saí do Rio. Com o 
Mauch, falei no dia 14 várias vezes.
ISTOÉ - O seu colega de diretoria Eduardo Modiano, ex-sócio do Chico 
Lopes, não participou?
Gonçalves - Ele estava em Paris, negociando nosso acordo com o BNP. 
Essa acusação de informação privilegiada é de uma fantasia tão acentuada...
ISTOÉ - Mas o mercado sempre busca as informações privilegiadas, não?
Gonçalves - Pode ser. O mercado nunca acredita que alguém ganhou ou 
perdeu por competência ou incompetência própria. Se é competente, o mer-
cado tende a achar que ele teve informação privilegiada.
ISTOÉ - Não é de causar estranheza o FonteCindam permanecer na sua 
aposta antidesvalorização com tanta convicção, a despeito de um comporta-
mento generalizado do mercado que começava a mudar de lado?
Gonçalves - Convicção pode existir em função de acertos no passado. Aí 
você fala: “Houve a moratória do Itamar.” Tá bom, eu subestimei. Não valorizei 
o fato de ele ter sido, na visão do estrangeiro, o governador de um dos Estados 
mais importantes da Federação, um ex-presidente da República, que elegeu 
FHC e fez o Real.
A reportagem da Revista IstoÉ mostra as posições em contratos futuros 
de dólar que os bancos Marka e FonteCindam tinham assumido na BM&F da 
crise cambial de janeiro de 1999 no Brasil, quando o real sofreu forte desva-
lorização na passagem do regime de taxas de câmbio controladas em banda 
cambial para taxas de câmbio flutuantes.
No caso do Banco Marka, a posição mencionada é de 12 650 contra-
tos futuros vendidos, uma posição que representava aproximadamente 1,2 
80
Derivativos Financeiros
bilhão de dólares. Neste momento, o tamanho do contrato futuro era de 
US$100.000,00.
Esta posição era, realmente, extremamente elevada, e deveria exigir mar-
gens de garantia substanciais junto à BM&F.
A taxa de câmbio estava com teto na banda igual a 1,22R$/US$, passando 
para teto de 1,32R$/US$, antes de ser liberada para flutuar de acordo com o 
mercado.
Para termos uma dimensão da possibilidade de perdas com estes contratos 
futuros, consideremos uma variação de 40% na taxa de câmbio, de 1,22R$/US$ 
para 1,71R$/US$. Neste cenário, a perda com uma posição vendida, como a do 
Banco Marka, seria de 0,49R$/US$, ou 0,588 bilhão de dólares (considerando a 
posição de 1,2 bilhão de dólares assumida pelo banco).
Já, o Banco FonteCindam apresentava posição vendida de 2 600 contratos 
em dólar em posição própria, que representariam US$260 milhões, e os fundos 
que administravam tinham cinco mil contratos, cerca de US$500 milhões.
A justificativa do Banco FonteCindam por ter assumido esta posição estava 
no fato de que o governo brasileiro sustentaria a taxa de câmbio como acon-
teceu na crise da Ásia em 1997 e (temporariamente) na crise da Rússia, até 
janeiro de 1999.
No entanto, o argumento do Banco FonteCindam com relação à sustenta-
ção da taxa de câmbio, perdia força nos últimos meses de 1998, após a crise 
da Rússia, e no início da de 1999, já que o Banco Central do Brasil perdia gran-
des volumes de reservas externas, perdendo, então, a capacidade de manter a 
taxa de câmbio dentro da meta desejada.
Deve-se ressaltar, também que estas posições vendidas não tinham cober-
tura com posições ativas em dólar, pois não eram instituições geradoras de 
dólares.
Atividades de aplicação
1. Interprete a equação S2 + (F1 – F2) que aparece no exercício com taxa 
de câmbio.
Mercados futuros de câmbio e de taxas de juros DI
81
2. No exercício da empresa brasileira que usa contratos futuros para pro-
teger o pagamento de juros de sua dívida externa, contra variações 
cambiais indesejadas, consideremos que a empresa fosse pagar uma 
amortização de valor igual a 100 milhões de dólares, além dos juros. 
O que seria alterado na estratégia de hedging da empresa?
3. Porque se diz que comprar contratos futuros de taxa de juros de DI 
equivale a ficar vendido em PU?
4. Explique o resultado com o hedge com futuros de: [(R$96.482,55 (ven-
da) . 1,040) – R$100.000,00 (compra)] . 10 = R$3.418,52.
5. Considere o exemplo 2 do capítulo, supondo que a posição da institui-
ção financeira é a seguinte?
capta recursos à taxa DI; �
empresta à taxa prefixada de 4% no período de 85 dias úteis, ou de �
12,33% ao ano.
 Suponha que a taxa de juros DI no período seja igual:
 (1) 3,5%
 (2) 4,5%
 Obtenha os resultados para a instituição financeira.
 (1) Cenário de taxa de juros DI igual a 3,5% no período.
 Inicialmente, a instituição financeira deve comprar contratos futuros 
de DI para se proteger contra os efeitos negativos de subidas de juros 
sobre a captação de recursos que ela fez.
 O número de contratos é o mesmo de antes, isto é, 101 contratos futu-
ros de DI.
6. Obtenha a taxa a termo DI de um mês a partir dos seguintes valores:
Mês DI- Futuro Número de dias úteis
1 R$99.400,00 21
2 R$98.600,00 42
3 R$97.800,00 63
82
Derivativos Financeiros
Apêndice
Curva de juros
Na seção sobre taxas a termo, deste capítulo, é mostrado como obter a curva 
de taxas de juros a termo, que foi derivada das taxas de juros spot apresentadas 
pela BM&F. Esta é a curva a termo das taxas DI.
Por outro lado, a sequência de cotações apresentadas na figura, permite obser-
var diretamente a curva de taxas de juros DI spot. Esta é a curva de taxas DI spot.
Mercados futuros de índices de 
ações e de commodities
Neste capítulo, apresentaremos o contrato futuro de índice de ações, Ibo-
vespa, e contratos futuros de commodities.
Contratos futuros de índices de ações 
Ibovespa na Bolsa de Mercadorias e Futuros 
BM&FBovespa
A especificação completa do contrato futuro de Ibovespa está disponível 
na BM&FBovespa (Ofícios Circulares 158/2000-DG; 117/2005-DG; 006/2006-
DG; 038/2006-DG; 061/2007-DG). Aqui, apresentamos alguns itens impor-
tantes desta especificação:
O objeto de negociação é o Ibovespa. �
A cotação é em pontos de índice, sendo cada ponto equivalente ao va- �
lor emreais estabelecido pela BM&FBovespa.
Os contratos apresentam vencimentos nos meses pares. Contratos em �
meses ímpares podem ser autorizados pela BM&FBovespa.
O tamanho do contrato é igual ao Ibovespa futuro multiplicado pelo va- �
lor em reais de cada ponto. Atualmente cada ponto representa R$1,00.
A data do vencimento, e último dia de negociação, ocorre na quarta- �
feira mais próxima do dia 15 do mês do vencimento.
Ajuste diário – as posições em aberto ao final de cada pregão serão �
ajustadas com base no preço de ajuste do dia, estabelecido conforme 
regras da Bolsa, com movimentação financeira em D+1. O ajuste diário 
será calculado até a data do vencimento, inclusive, de acordo com as 
seguintes fórmulas:
86
Derivativos Financeiros
a) Ajuste das operações realizadas no dia:
 ADt = (PAt – PO) . M . N
b) Ajuste das posições em aberto no dia anterior:
 ADt = (PAt – PAt-1) . M . N
Onde:
 ADt = valor do ajuste diário em reais;
 PAt = preços de ajuste do dia em pontos, na data t;
 PO = preço da operação em pontos (abertura de posição);
 M = valor em reais de cada ponto de índice;
 N = número de contratos;
 PAt-1 = preços de ajuste em pontos do dia útil anterior.
O valor do ajuste diário, ADt , se positivo, será creditado ao comprador e de-
bitado ao vendedor. Caso o valor seja negativo, será debitado ao comprador 
e creditado ao vendedor.
Outras especificações como: custos operacionais, condições de liquida-
ção e margem de garantia, podem ser vistas no contrato da BM&FBovespa 
em seu próprio site.
Observamos que estes contratos futuros de Ibovespa são negociados 
com frequência bimestral, e ocorrem nos meses pares, na quarta-feira mais 
próxima do dia 15 do mês do vencimento. Temos também que cada ponto 
de índice equivale a R$1,00.
O Ibovespa, Índice (de ações) da Bolsa de Valores de São Paulo, mede o 
valor de uma carteira de ações padronizada pela Bolsa de São Paulo. A Bo-
vespa estabelece como a carteira de ações será montada; isto é, ela define 
quantas ações de maior liquidez compõem o Ibovespa. Quando o Ibovespa 
sobe, significa que esta carteira aumentou de valor, e quando ele cai, ocorre 
o inverso, ou seja o valor do conjunto de ações decresce.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
87
Investidores que possuem carteiras de ações brasileiras, instituições 
como os fundos mútuos, fundos de pensão etc., ou mesmo pessoas físicas, 
que consideram possíveis quedas das cotações das ações em Bolsa, são can-
didatos a realizar operações de hedging com os contratos futuros de índi-
ces de ações Ibovespa. Estes investidores devem vender contratos futuros 
caso decidam se proteger contra queda do Ibovespa. Se as cotações caírem, 
eles estarão protegidos com a queda da cotação do índice futuro. Se as cota-
ções subirem, eles ganhariam com a subida do Ibovespa, e perderiam com a 
subida de preços futuros por estarem vendidos na BM&FBovespa.
Também podem utilizar os contratos futuros de Ibovespa os investidores 
que desejam adquirir ações em data futura, por não disporem de recursos 
imediatamente para a compra das ações. Estes investidores deveriam com-
prar contratos futuros de Ibovespa, para evitar os efeitos de possíveis subi-
das de preços das ações.
E, certamente, os especuladores podem comprar ou vender contratos fu-
turos de Ibovespa em função de suas expectativas de ascensão ou queda de 
preços das ações na bolsa de valores.
O Índice Bovespa é composto pela média de uma série de ações mais 
líquidas negociadas na Bovespa e, por isso, quando um investidor quer pro-
teger sua carteira de ações, contra oscilações desfavoráveis no mercado, ele 
somente estará bem protegido contra estas oscilações se sua carteira tiver 
uma composição muito próxima à composição do Ibovespa. Mas, isto, nor-
malmente, não ocorre. Assim sendo, como melhorar a posição hedgeada? 
Uma maneira amplamente utilizada consiste na correção da posição de 
hedging usando o coeficiente beta da carteira de ações a ser protegida.
Beta de uma carteira de ações
Beta (β) mede a sensibilidade do retorno de um investimento aos mo-
vimentos de mercado. O mercado, aqui, seria representado pela Bovespa, 
e seu índice, o Ibovespa. O gráfico 1 ilustra o beta de uma ação. Vê-se que 
a relação é 1,5% para cada um 1,0% de retorno do mercado. Ou seja, cada 
ponto percentual de aumento, ou de queda, no retorno do mercado, provo-
ca aumentos ou quedas percentuais mais elevadas no retorno da ação da 
empresa A.
88
Derivativos Financeiros
Beta (β) mede a sensibilidade do retorno de um investimento aos movi-
mentos de mercado.
Fundos mútuos e fundos de ações são carteiras de ativos como ações de 
empresas e de títulos de dívida do governo e de empresas. Algumas destas 
carteiras de fundos também podem negociar contratos derivativos.
15%
10% Retorno esperado 
do mercado
Retorno esperado 
da ação A
O
 a
ut
or
.
Gráfico 1 – Retorno esperado.
O beta da ação da empresa A é 1,5, e é representado pela inclinação da 
reta acima.
Para a empresa B, no gráfico 2, o beta será 0,5, mostrando que as varia-
ções nos retornos desta ação são menores do que as variações dos retornos 
da carteira de mercado. Assim, cada ponto percentual de aumento, ou de 
queda, no retorno do mercado, provoca aumentos ou quedas percentuais 
menos elevadas no retorno da ação da empresa B.
5%
10%
Retorno esperado 
da ação B
Retorno esperado 
do mercado
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Retorno esperado.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
89
O beta da ação da empresa B é 0,5, e é representado pela inclinação da 
reta da figura anterior.
É conveniente apresentar a relação anterior utilizando excesso de retorno 
em relação à taxa de juros livre de risco, isto é, o excesso de retorno da ação em 
relação a uma aplicação em renda fixa livre de risco, e compará-la ao excesso de 
retorno do mercado em relação à uma aplicação em renda fixa livre de risco.
Consideremos o excesso de retorno como o retorno de uma carteira com-
posta pelo Ibovespa acima do retorno de um título de dívida do governo, 
como, por exemplo, uma LTN (Letra do Tesouro Nacional).
Desse modo, tem-se a seguinte equação:
Equação 1
r - rf = β (rm - rf )
Onde:
 r = o retorno da ação;
 rm = retorno de mercado;
 rf = retorno livre de risco;
	 β = beta da ação.
As retas apresentadas são denominadas linhas características. E gráfico 3 
mostra a linha característica de uma determinada ação, traçada a partir de 
pontos que representam excessos de retornos verificados.
Linhas características expressam a relação entre o excesso de retorno de 
uma ação e o excesso de retorno do mercado.
Excesso de retorno 
da ação 
Excesso de 
retorno esperado 
do mercado
eta = inclinação da reta
Linha característica
O
 a
ut
or
.
Gráfico 3 – Excesso de retorno da ação.
90
Derivativos Financeiros
O coeficiente beta pode se obtido a partir de uma regressão linear, con-
forme o gráfico 3, ou seja, na forma da equação 1.
Se o beta de uma ação é 1,0, isto significa que os excessos de retornos 
da ação variam proporcionalmente aos excessos de retornos da carteira de 
mercado. Em outras palavras, a ação apresenta o mesmo risco sistemático 
que o mercado como um todo.
Pode-se definir o risco de uma ação em dois tipos de riscos: o não siste-
mático e o sistemático.
Risco não sistemático – pode ser eliminado pela diversificação da car- �
teira de ações.
Risco sistemático – não pode ser eliminado pela diversificação da car- �
teira de ações. Normalmente atinge todas as ações no mercado.
Risco não sistemático (ou risco específico) é aquele que pode ser elimina-
do pela diversificação, isto é, pelo aumento do número de ações na carteira. 
O risco não sistemático decorre de eventos específicos a uma companhiaou 
a um setor econômico, como por exemplo, uma greve em uma empresa, ou 
um avanço tecnológico que afeta um determinado produto, tornando-o ob-
soleto, ou, ainda, a descoberta de uma nova reserva de um bem como petró-
leo. Este risco pode ser reduzido pela diversificação, e até mesmo eliminado 
com uma diversificação eficiente. Por exemplo, colocando em uma carteira 
de ações empresas de setores diferentes e que variam inversamente; a subida 
de preço de uma ação é com frequência acompanhada pela queda de preço 
de outra ação ou outras ações, amortecendo ou eliminando o efeito inicial.
Mas, há um risco que não pode ser eliminado. Este risco é conhecido como 
sistemático ou de mercado, e decorre de mudanças na economia, ou na po-
lítica, que afetam todas ou praticamente todas as ações. Assim, aumentar o 
número de ações na carteira não o eliminaria. É por isso que as ações apre-
sentam uma tendência de se movimentar de forma conjunta, o que faz com 
que os investidores fiquem expostos às incertezas de mercado, independen-
temente das ações que compõem suas carteiras. Portanto a principal fonte 
de risco para um investidor que possui uma carteira diversificada advém de 
possíveis quedas do mercado.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
91
O coeficiente beta mede este risco sistemático; ele indica a contribuição 
de determinada ação para o risco de uma carteira diversificada, isto é, na 
qual o risco não sistemático já foi eliminado. Portanto, se o beta de uma 
ação é 1,5, ela contribuiria bastante para o risco da carteira de mercado. Por 
outro lado, se o beta de uma ação é 0,5, ela contribuiria para a redução do 
risco de uma carteira diversificada. O beta de uma carteira de mercado é 
1,0, pois ele representa o somatório dos betas das ações ponderados pela 
proporção do valor de mercado de cada ação em relação ao valor da car-
teira de mercado tem-se que:
Equação 2
∑ Xi βi = 1
Onde:
Xi é a proporção entre o valor de mercado do título i e o do mercado 
como um todo.
Como o coeficiente beta pode ser obtido pela regressão linear do exces-
so de retorno da ação em relação ao excesso de retorno de mercado, este 
coeficiente é identificado como o coeficiente angular da reta de regressão 
linear representada pela equação 1. O coeficiente da regressão linear é dado, 
matematicamente, por:
Equação 3
βi = 
Cov (r
i
 , r
m
)
σ2 (r
m
)
Onde:
Cov representa a covariância entre os retornos da ação e o retorno de 
mercado; e, σ1 representa a variância do retorno de mercado.
Vejamos alguns exemplos com futuros de Índices Bovespa:
1 A covariância represen-
ta como dois ativos, no 
caso ações, variam em 
conjunto. Se duas ações 
se movem em ritmo se-
melhante a covariância 
mediria esaa sincronia.
92
Derivativos Financeiros
Exemplo 1
 Suponha que um investidor, no dia 05 de março, possua uma carteira de 
R$10 milhões aplicados em ações com coeficiente beta igual a 0,8. O investi-
dor receia que os preços das ações na Bovespa caiam nos próximos 45 dias, 
abaixo do valor atual de 36 000 pontos. Por isso, ele resolve montar uma es-
tratégia de hedging para sua carteira utilizando os contratos futuros do mês 
abril até dia 15 de abril, data em que ocorre o vencimento do contrato futuro. 
Observe também os seguintes dados:
Dados no dia 5 de março:
Cotação do contrato futuro de índice Bovespa: 36 000. �
Ibovespa à vista: 36 300. �
Vamos responder às seguintes questões:
(a) Qual a estratégia a ser seguida pelo investidor?
(b) Quais os resultados obtidos se no dia 15 de abril as cotações futura e 
à vista são iguais a 37 000?
Respostas:
A estratégia consiste na venda de contratos futuros de Ibovespa do mês (a) 
abril, pois, se o Índice Bovespa cair, o investidor ganhará com os contra-
tos futuros. O número de contratos, N, deve ser:
N = R$10.000.000,00 . 0,8
36.300,00
 = 220,3857
Ou seja, 220 contratos futuros.
Observação: é necessário corrigir o número de contratos pelo beta da cartei-
ra do investidor. O beta da carteira dele é 0,8, o que significa que sua carteira 
de ações deve oscilar menos do que a carteira que representa o Ibovespa, 
que apresenta beta igual a 1,0.
Resultados:
Resultados com os contratos futuros de Ibovespa = [36.000R$/@ (venda) 
– 37.000(compra)] . 220 = – R$220.000,00.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
93
(b) Resultado com a carteira = R$10.000.000,00 . {1 + [(37.000/36.300) – 1] 
. 0,8 = R$10.154.269,98.
Resultado total = – R$220.000,00 + R$10.154.269,98 = R$9.934.269,98.
Observação: os resultados mostram que o investidor perdeu R$220 mil com 
os contratos futuros, já que estes passaram de 36 000 para 37 000, represen-
tando, respectivamente, os valores de venda e de compra pelo investidor. 
Mas, como o Ibovespa subiu, o investidor ganhou com sua carteira de ações, 
embora este ganho tenha sido inferior à perda com os contratos futuros. No 
final da estratégia, a carteira apresentava valor menor do que o inicial, por 
causa dos valores iniciais dos índices à vista e futuros.
Exemplo 2
Suponha que um investidor decida, em 05 de março, seguir uma estra-
tégia de especulação com futuros de Ibovespa. Ele compra 40 contratos 
futuros de Ibovespa do mês abril, cuja cotação disponível para negociação 
naquele instante é de 36 500 pontos.
Após o fechamento do pregão do dia, o preço de ajuste diário fica em 
36 400 pontos; no dia seguinte, o preço de ajuste passa para 36 600 pontos 
e, em 7 de março, ele decide sair de sua posição com futuros de Ibovespa no 
meio do pregão, e consegue vender os 40 contratos que tinha comprado à 
cotação média obtida abaixo:
Venda dos 40 contratos futuros em 7 de março:
Número de contratos Cotação
10 36 500
20 36 800
10 36 700
E, portanto, sua cotação média na liquidação é de:
(36.500 . 0,25 )+ (36.800 . 0,50) + (36.700 . 0,25) = 36 700 pontos.
Obtenha os resultados conseguidos com os ajustes diários de preços e o 
total apurado com a operação.
94
Derivativos Financeiros
Dia Venda - Compra Valor apurado (R$)
05/03/09 [36.400 (venda) – 36.500 (compra)] . 40 – R$4.000,00
06/03/09 [36.600 (venda) – 36.400 (compra)] . 40 + R$8.000,00
07/03/09 [36.700 (venda) – 36.600 (compra)] . 40 + R$4.000,00
 Total = + R$8.000,00
Deste resultado não foram abatidos os custos operacionais.
Conclusão: o especulador consegue ganhar R$8.000,00 nesses três dias 
de operação.
Contratos futuros de commodities
Contratos futuros de Boi Gordo
Os contratos futuros de Boi Gordo são oferecidos pela BM&FBovespa, per-
mitindo que produtores, vendedores e compradores de Boi Gordo adminis-
trem riscos em seus negócios.
A especificação completa do contrato futuro de Boi Gordo está disponível 
na BM&FBovespa (Ofícios Circulares 158/2000-DG; 117/2005-DG; 006/2006-
DG; 038/2006-DG; 061/2007-DG). Aqui, ressaltamos as principais caracterís-
ticas destes contratos:
O objeto de negociação é o Boi Gordo acabado para abate. �
A cotação é em reais por arroba líquida, com duas casas decimais. �
Os contratos apresentam vencimentos mensais, com, no mínimo, quin- �
ze em aberto.
O tamanho do contrato é de 330 arrobas líquidas. �
A data do vencimento, e último dia de negociação, ocorre no último dia �
útil do mês do vencimento.
Ajuste diário – as posições em aberto ao final de cada pregão serão �
ajustadas com base no preço de ajuste do dia, estabelecido conforme 
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
95
regras da Bolsa, com movimentação financeira em D+1. O ajuste diário 
será calculado até a data do vencimento, inclusive, de acordo com as 
seguintes fórmulas:
a) ajuste das operações realizadas no dia:
 ADt = (PAt – PO) . 330 . Nb) ajuste das posições em aberto no dia anterior:
 ADt = (PAt – PA t-1) . 330 . N
 Onde:
 ADt = valor do ajuste diário em reais;
 PAt = preços de ajuste do dia em pontos, na data t;
 PO = preço da operação em pontos (abertura de posição);
 M = valor em reais de cada ponto de índice;
 N = número de contratos;
 PA t-1 = preços de ajuste em pontos do dia útil anterior.
O valor do ajuste diário, ADt , se positivo, será creditado ao comprador e de-
bitado ao vendedor. Caso o valor seja negativo, será debitado ao comprador 
e creditado ao vendedor.
Liquidação no vencimento – as posições que não forem encerradas em �
pregão até o último dia útil de negociação, mediante a realização de 
operações de natureza (compra ou venda) inversa, poderão ser liquida-
das no vencimento, alternativamente, de duas formas: liquidação por 
índice de preços ou liquidação por entrega.
Outras especificações, como custos operacionais, condições de liquida-
ção e margem de garantia, podem ser vistas no contrato da BM&FBovespa 
em seu próprio site.
Vejamos um exemplo de uso:
Um frigorífico contrata, no dia 4 de março, exportação de 100 toneladas 
de carne ao preço de US$1.650,00 / tonelada. O embarque será realizado no 
96
Derivativos Financeiros
primeiro dia útil de julho, e a aquisição do boi no mercado físico se dará no 
último dia útil de maio.
(a) Qual estratégia que a empresa deve escolher para hedging?
(b) Qual o resultado do pagamento da dívida daqui a 30 dias, consideran-
do o hedging?
Considere os dados a seguir:
(a) Em 04 de março:
Preço futuro do Boi Gordo com vencimento em maio, 60R$/@; �
Preço futuro do Boi Gordo com vencimento em junho, 59R$/@; �
Preço futuro do Boi Gordo com vencimento em julho, 58R$/@; �
Cotação futura do dólar com vencimento em junho, 2,50R$/US$; �
Cotação futura do dólar com vencimento em julho, 2,52R$/US$; �
Cotação futura do dólar com vencimento em agosto, 2,53R$/US$; �
(b) Data de compra do boi:
Preço à vista do Boi Gordo; 62,00R$/@; �
Preço futuro do Boi Gordo; 62,00R$/@; �
(c) Data do embarque do boi (primeiro dia útil de julho):
Cotação do dólar futuro mês dezembro, 2,40R$/US$; �
Cotação do dólar à vista, 2,40R$/US$ �
Solução:
(a) A estratégia deve ser a de utilizar contratos futuros de Boi Gordo e con-
tratos futuros de dólar. A posição nos contratos futuros de Boi Gordo deve 
ser comprada em contratos do mês maio, para garantir preço de compra 
do boi em maio, já que o preço de venda (exportação) já está fixado em 
US$1.650,00/ton. E a posição nos contratos futuros de dólar deve ser vendi-
da, pois haverá recebimento em dólar na entrega do boi em julho.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
97
Quantidade de contratos negociados:
Boi Gordo: (100.000kg / 330 @) . (1@/15kg) = 20,2 contrato compra- �
dos (20 contratos).
Dólar: 150.000/R$50.000 = 3 contratos vendidos. �
(a) Resultados com os contratos futuros de Boi Gordo:
 [62,00R$/@ (venda) – 60,00R$/@(compra)] . 20 . 330 = R$13.200,00.
(b) Resultados com os contratos futuros de dólar:
 [2,52R$/US$ (venda) – 2,40R$/US$ (compra)] . 3 . R$50.000,00 = R$18.000,00.
(c) Resultado da compra do boi: (R$62,00/@) (100.000 Kg/15Kg/@) = 
R$413.333,33.
(d) Resultado total da compra do boi = – R$13.200,0000 – R$18.000,00 + 
R$413.333,33 = R$382.133,33.
(e) Resultado da exportação = US$165.000,00 . 2,40R$/US$ = R$396.000,00.
(f ) Lucro obtido = R$396.000,00 – R$382.133,33 = R$13.866,67, ou 
R$0,1387/Kg, ou R$0,00924/@.
Contratos futuros de petróleo
Os contratos futuros de petróleo são negociados nas bolsas de Nova 
York, New York Mercantile Exchange, ou NYMEX, e na Bolsa de Londres, 
International Petroleum Exchange.
As principais características dos contratos futuros de petróleo na 
NYMEX são:
 A cotação é em US$/barril. �
 O petróleo negociado é o WTI, West Texas Intermediate. �
 Apresentam vencimentos mensais no terceiro dia útil antes do dia 25 �
do mês anterior ao vencimento do contrato.
98
Derivativos Financeiros
 O número de contratos em aberto é de dezoito meses consecutivos. �
 O tamanho do contrato é de 1 000 barris de petróleo. Um barril equivale �
a 42 galões, ou 159 litros.
 Ajustes diários – as posições em aberto ao final de cada pregão serão �
ajustadas com base no preço de ajuste do dia, estabelecido conforme 
regras da Bolsa, com movimentação financeira em D+1. O ajuste diário 
será calculado até a data do vencimento, inclusive, de acordo com as 
seguintes fórmulas:
a) ajuste das operações realizadas no dia
 ADt = (PAt – PO) . M . N
b) ajuste das posições em aberto no dia anterior
 ADt = (PAt – PA t-1) . M . N
Onde:
 ADt = valor do ajuste diário em US$/barril;
 PAt = preços de ajuste do dia em US$/barril, na data t;
 PO = preço da operação em US$/barril (abertura de posição);
 M = valor de cada contrato, 1 000 barris;
 N = número de contratos;
 PA t-1 = preços de ajuste em US$/barril do dia útil anterior.
O valor do ajuste diário, ADt , se positivo, será creditado ao comprador e de-
bitado ao vendedor. Caso o valor seja negativo, será debitado ao comprador 
e creditado ao vendedor.
Outras especificações, como custos operacionais, condições de liquida-
ção e margem de garantia, podem ser vistas no contrato da NYMEX em seu 
próprio site. Esta informação está em todos os contratos futuros. Ela não foi 
retirada de nenhuma fonte especial. Mas a fonte para os dados acima é a 
própria Bolsa Nymex.
Vejamos dois exemplos de operação de hedge de preços de petróleo na 
NYMEX.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
99
Exemplo 1
Suponha que a empresa Petro & Oil realiza um contrato de venda de 1 
milhão de barris de petróleo no dia 5 de março . O preço será o preço à vista 
no dia 15 de junho. Ela, então, decide realizar uma operação de hedging com 
contratos futuros de petróleo na NYMEX.
No instante em que a empresa contata seu corretor junto à bolsa de futu-
ros, o preços futuros disponíveis são:
Contrato futuro do mês junho: US$40,00/barril. �
Contrato futuro do mês julho: US$42,00/barril. �
Preço do petróleo no mercado � spot (mercado à vista): US$38,00/barril.
Dois cenários possíveis são considerados para o dia 15 de junho.
Cenário 1
O preço do petróleo � spot no dia 15 de junho é de US$37,50 por barril.
O preço futuro do petróleo dia 15 de junho também é igual a �
US$37,50 por barril.
Cenário 2
O preço do petróleo � spot no dia 15 de junho é de US$41,50 por barril.
O preço futuro do petróleo no dia 15 de junho também é igual a �
US$41,50 por barril.
Pergunta-se:
(a) Qual a estratégia a ser seguida pela empresa?
(b) Quais os resultados obtidos nos dois cenários?
Resposta:
(a) Estratégia de hedge:
Em 05 de março a empresa vende 1 000 (= 1 milhão/1 000 barris) contratos 
futuros de petróleo com vencimento em junho ao preço US$40,00/barril.
Em 15 de junho encerra a posição com contratos futuros e faz a entrega 
do petróleo.
100
Derivativos Financeiros
(b) Resultados:
Cenário 1
Contratos futuros: �
[US$40,00/barril (venda) – US$37,50 (compra)] . 1.000.000 barris = 2,50 �
milhões de dólares.
Venda do petróleo: US$37,50/barril . 1 milhão de barris = US$37,50 mi- �
lhões.
Total: US$2,50 milhões + US$37,50 milhões = US$40 milhões. �
Cenário 2
Contratos futuros: �
[US$40,00/barril (venda) – US$41,50 compra)] . 1.000.000 barris = �
– 1,50 milhão de dólares.
Venda do petróleo: US$41,50/barril . 1 milhão de barris = US$41,50 mi- �
lhões.
Total: – US$1,50 milhão + US$41,50 milhões = US$40 milhões. �
Os resultados são iguais nos dois cenários, já que houve convergência de 
preços futuro e à vista no dia 15 de junho.
Exemplo 2
Suponha que um trader contrate a compra de 1 milhão de barris de pe-
tróleo para o finaldo mês de março, dia 30, após o vencimento do contrato 
futuro de petróleo do mês março, dia 21 de março, e ao mesmo tempo, ne-
gocie a venda deste 1 milhão de barris para o dia 15 de maio. Considerando 
que hoje é o dia 16 de março de 2009, ele estaria comprando petróleo no 
dia 30 de março, e vendendo este petróleo no dia 15 de maio. O trader 
decide proteger suas posições de compra e de venda, e usará contratos 
futuros de petróleo na bolsa de Nova York, New York Mercantile Exchange.
No instante em que o trader contata seu corretor junto à bolsa de futuros, 
os preços futuros disponíveis são:
Contrato futuro do mês março: US$44,00/barril. �
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
101
Contrato futuro do mês abril: US$45,00/barril. �
Contrato futuro do mês maio: US$46,00/barril. �
Preço do petróleo no mercado � spot: US$44,50/barril.
Consideremos que nos dias da compra e da venda de petróleo os preços 
sejam os seguintes:
Compra de 1 milhão de barris de petróleo em 30 de março:
O preço do petróleo � spot no dia 30 de março é US$45,50 por barril.
O preço futuro do petróleo, do mês abril, no dia 30 de março, é igual a �
US$45,60 por barril.
Venda de 1 milhão de barris de petróleo em 15 de maio:
O preço do petróleo � spot no dia 15 de maio é US$46,50 por barril.
O preço futuro do petróleo do mês maio, no dia 15 de maio, é �
US$46,25 por barril.
Pergunta-se:
(a) Qual a estratégia a ser seguida pela empresa?
(b) Quais os resultados obtidos nos dois cenários?
Resposta:
(a) Estratégia de hedge:
Em 16 de março, a empresa vende 1 000 (=1 milhão/1 000 barris) contratos 
futuros de petróleo com vencimento em maio ao preço US$46,00/barril.
Em 16 de março, a empresa compra 1 000 (=1 milhão/1 000 barris) contra-
tos futuros de petróleo com vencimento em abril ao preço US$45,00/barril.
Em 30 de março encerra a posição comprada em contratos futuros de 
abril e faz a compra do petróleo.
Em 15 de maio, ela encerra a posição de 1 000 contratos futuros do mês 
maio, vendidos no início da estratégia, e faz a entrega do petróleo.
102
Derivativos Financeiros
(b) Resultados:
Em 30 de março:
Contratos futuros: �
 [US$45,60/barril (venda) – US$45,00 (compra)] . 1.000.000 barris = 0,60 
milhão de dólares.
Compra do petróleo: �
 US$45,50/barril . 1 milhão de barris = US$45,50 milhões
Total despesa: �
 US$45,50 milhões – US$0,60 milhão = US$44,90 milhões
 Em 15 de maio:
Contratos futuros: �
 [US$46,00/barril (venda) – US$46,25 compra)] . 1 000 000 barris = 
– 0,25 milhão de dólares.
 Venda do petróleo:
 US$46,50/barril . 1 milhão de barris = US$46,50 milhões.
 Total recebido:
 US$46,50 milhões - US$0,25 milhão = US$46,25 milhões.
Margem de lucro = US$46,25/barril – US$44,90/barril = US$1,35/barril.
Considerando agora, que a venda de 1 milhão de barris de petróleo 
ocorra no dia 15 de abril e não mais no dia 15 de maio, teríamos os seguintes 
resultados:
No instante em que o trader contacta seu corretor junto à bolsa de futu-
ros, os preços futuros disponíveis são:
Contrato futuro do mês março: US$44,00/barril. �
Contrato futuro do mês abril: US$45,00/barril. �
Contrato futuro do mês maio: US$46,00/barril. �
Preço do petróleo no mercado � spot: US$44,50/barril
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
103
Consideremos que nos dias da compra e da venda de petróleo, os preços 
do óleo sejam os seguintes:
Compra de 1 milhão de barris de petróleo em 30 de março de 2009:
O preço do petróleo � spot no dia 30 de março é US$45,50 por barril.
O preço futuro do petróleo, do mês abril, no dia 30 de março, é igual a �
US$45,60 por barril.
Venda de 1 milhão de barris de petróleo em 15 de abril:
O preço do petróleo � spot no dia 15 de abril é US$46,00 por barril.
O preço futuro do petróleo do mês abril, no dia 15 de abril, é US$45,75 �
por barril.
Pergunta-se:
(a) Qual a estratégia a ser seguida pela empresa?
(b) Quais os resultados obtidos nos dois cenários?
Resposta:
(a) Estratégia de hedge:
Em 16 de março, a empresa vende 1 000 (= 1 milhão/1 000 barris) contra-
tos futuros de petróleo com vencimento em abril ao preço US$45,00/barril.
Em 16 de março, a empresa compra 1 000 (= 1 milhão/1 000 barris) contra-
tos futuros de petróleo com vencimento em abril ao preço US$45,00/barril.
Em 30 de março encerra a posição comprada em contratos futuros de 
abril e faz a compra do petróleo.
Em 15 de abril, ela encerra a posição de 1 000 contratos futuros do mês 
abril, vendidos no início da estratégia, e faz a entrega do petróleo.
(b) Resultados:
Em 30 de março:
Contratos futuros:
 [US$45,60/barril (venda) – US$45,00 (compra)] . 1.000.000 barris = 0,60 
milhão de dólares.
104
Derivativos Financeiros
Compra do petróleo:
US$45,50/barril . 1 milhão de barris = US$45,50 milhões.
 Total despesa:
US$45,50 milhões – US$0,60 milhão = US$44,90 milhões.
Em 15 de abril:
Contratos futuros:
 [US$45,00/barril (venda) – US$45,75 compra)] . 1milhão de barris = – 0,75 
milhão de dólares.
Venda do petróleo:
US$46,00/barril . 1 milhão de barris = US$46,00 milhões.
Total recebido:
US$46,00 milhões – US$0,75 milhões = US$45,25 milhões.
Margem de lucro = US$45,25/barril – US$44,90/barril = US$0,35/barril.
Observações:
Na primeira situação, venda do petróleo em 15 de maio, as despesas 
totais com a compra do petróleo somaram US$45,00/barril, e as receitas 
totais, US$46,35/barril, já considerando os resultados com contratos futuros; 
gerando, portanto, uma margem de lucro na operação de US$1,35/barril. Por 
outro lado, na situação de venda do petróleo em 15 de abril, os resultados 
de despesas e receitas foram, respectivamente, US$45,00/barril, e US$45,35/
barril, ocasionando uma margem de lucro de US$0,35/barril.
Os resultados das despesas em ambas as situações permaneceram iguais, 
pois a compra de petróleo permanece sempre no dia 30 de março. Mas a 
venda de petróleo apresenta resultado melhor em 15 de maio, comparada 
com a venda em 15 de abril. Os resultados com contratos futuros são menos 
negativos em 15 de maio, – US$0,25/barril, do que os resultados em 15 de 
abril, – US$0,75/barril. Além disso, o preço spot em 15 de maio é US$46,50/
barril, enquanto que o preço spot em 15 de abril é US$46,00/barril. Essas duas 
diferenças fazem com que a margem de lucro em 15 de maio seja maior do 
que a do dia 15 de abril.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
105
Na situação de venda de petróleo em 15 de abril, a compra e a venda 
de contratos futuros de petróleo são feitas com os contratos do mês abril, 
já que os contratos futuros de março vencem em 20 de março, e os de abril 
em 21 de abril. Como teremos contratos futuros do mesmo mês vendidos e 
comprados, o resultado na bolsa de futuros será nulo até a data de compra 
do petróleo em 30 de março, data em que os contratos futuros comprados 
serão liquidados. Daí em diante somente haverá a posição vendida em 1 000 
contratos futuros do mês abril. Isto significa que não se deveria abrir as posi-
ções com contratos futuros? Não. Vejamos o motivo:
Se o trader fizesse somente a proteção do preço de venda do petróleo em 
15 de abril, estaria fixando, a menos do risco de base, o preço de venda desta 
commodity que seria comprada em 30 de março. Mas não haveria a proteção 
da margem de lucro, pois ele não saberia o preço de compra em 30 de março. 
Uma outra alternativa seria esperar até o dia 30 de março, verificar o preço de 
compra do petróleo, e, então, decidir se valeria a pena usar a venda de con-
tratos futuros do mês abril para fixar o preço de venda, analisando se a fixa-
ção da margem seria conveniente. Porém, se o trader toma as duas posições 
hoje, dia 16 de março, ele já pode ver qual seria a margem fixada, novamen-
te, amenos do risco de base. Portanto, ao não fixar a margem hoje, deixando 
a decisão para o dia 30 de março, o trader pode não conseguir fixar margens 
positivas. Fazendo a fixação da margem hoje, ele estaria conseguindo uma 
margem de lucro positiva, exceto se as bases fossem muito desfavoráveis.
Ampliando seus conhecimentos
O texto a seguir apresenta considerações sobre implantação de mercados 
futuros de leite, destacando a importância da volatilidade de preços deste 
produto nessa possível implementação.
Polo de excelência do leite
Viabilidade de implantação de contratos futuros de leite no Brasil
(SIQUEIRA, 2004)
Em 2003, uma análise das características inerentes ao setor de laticínios 
indicou que o leite cru refrigerado tinha um grande potencial para a comer-
cialização a futuro, enquanto que o leite UHT e o leite em pó apresentaram 
algumas características favoráveis à comercialização a futuro, mas a baixa 
106
Derivativos Financeiros
volatilidade, associada ao alto grau de concentração dessas indústrias, prati-
camente inviabilizava as transações a futuro desses produtos. Veja abaixo as 
principais conclusões deste trabalho:
“A investigação sobre leite cru evidenciou que este é um produto extrema-
mente perecível e cuja qualidade varia ao longo do ano, podendo ser esto-
cado em tanques refrigeradores, no máximo, por 2 dias. Tal fato inviabilizaria 
a implantação do contrato futuro se não fosse a liquidação financeira. Esta 
amplia as possibilidades de negociação a futuro, pois permite que commodi-
ties não estocáveis e de difícil padronização sejam transacionadas.
Já a volatilidade do preço parece ser a grande motivação para a implan-
tação do contrato futuro de leite no Brasil, pois o valor encontrado para este 
atributo do leite cru mostrou-se acima dos calculados para as commodities 
agrícolas negociadas na BM&F. Esse critério também foi considerado pelos es-
pecialistas como o mais importante na determinação do sucesso de um con-
trato futuro.
A análise do mercado permitiu concluir que a cadeia produtiva do leite en-
volve grande número de agentes, entre fornecedores de insumos, produtores, 
indústrias e varejo, sendo que existe significativa heterogeneidade entre estes 
agentes. Nesse ambiente, o grau de atividade do mercado é baixo, pois o leite 
cru é entregue diariamente à indústria; no entanto, não há modificação dos 
preços durante o mês.
Outra característica interessante do mercado de leite é que ele se asseme-
lha a um mercado de concorrência perfeita, em que o número de produtores 
é tão grande que eles se tornam tomadores de preços, existindo apenas uma 
fraca concentração por parte das indústrias de laticínios. Além disso, as atua-
ções do governo no setor são voltadas para o incentivo à produção e desen-
volvimento da atividade, de modo que não há intervenção em preços e oferta, 
característica imprescindível para o sucesso de um contrato futuro.
Com exceção dos maiores produtores, poucos contratos são formalizados 
nas relações de compra e venda de leite cru, de modo que não há negociações 
relevantes de contratos que concorram com o mercado futuro de leite, o que 
se constitui em importante incentivo para a implantação desse mecanismo.
Mercados futuros de índices de ações e de commodities
107
Também não existem no Brasil, nem no exterior, contratos futuros que 
possam concorrer com o contrato futuro de leite no país. O mercado futuro 
de leite mais bem-sucedido encontra-se nos Estados Unidos da América, 
porém não é possível para os produtores brasileiros efetuarem cross hedging 
com esses contratos, pois a formação do preço do leite naquele país é bem 
diferente da que ocorre no Brasil. Tal afirmação também contribui para o de-
senvolvimento da comercialização a futuro de leite no Brasil.
É interessante também ressaltar que o leite UHT e o leite em pó são produ-
tos existentes em nível de indústria e pouco voláteis em termos de preços.
A investigação do perfil do produtor de leite brasileiro é outra análise que 
se mostrou favorável para a implantação desse mercado futuro. Pelas entrevis-
tas realizadas, pôde-se concluir que os grandes produtores de leite colocam o 
preço do leite como o grande problema da atividade e estão interessados em 
adotar mecanismos alternativos no gerenciamento de risco de preço.
Ao contrário do esperado, muitos dos entrevistados já tinham conheci-
mento de mercados futuros e demonstraram-se interessados em adotar este 
tipo de mecanismo, além de apresentarem características de indivíduos pro-
pensos a negociar na bolsa de mercadorias, como grau de escolaridade eleva-
do e média de idade abaixo de 60 anos.
Com isso, pode-se concluir que a implantação de um contrato futuro de 
leite apresenta um aparato favorável, tanto do lado das características do pro-
duto e do mercado quanto do lado do interesse dos participantes do merca-
do, de forma que se pode dizer que existe um ambiente propício, no Brasil, 
para o lançamento desse contrato.
Com exceção da impossibilidade de estocagem do produto, todas as 
demais variáveis analisadas mostraram-se adequadas para a comercialização 
a futuro, de modo que se pode concluir que há grande probabilidade de su-
cesso do contrato futuro de leite cru refrigerado no Brasil.”
(Disponível em: <www.peabirus.com.br/redes/form/post?topico_id=17455>.)
108
Derivativos Financeiros
Atividades de aplicação
1. O que é o coeficiente beta?
2. Qual a cotação mínima na liquidação da posição do especulador que 
comprou 40 contratos futuros de Ibovespa, de modo que ele não sofra 
prejuízos?
3. Considere no exemplo do investidor que o beta da carteira passa para 
1,1. Quais os novos resultados obtidos?
4. Suponha, agora, que o embarque tenha sido transferido para o dia 10 
de julho, e que a aquisição do boi no mercado físico se dê no dia 10 de 
junho. Que alterações devem ser feitas e quais os novos resultados?
5. Por que é recomendado usar contratos futuros de compra e venda do 
mesmo mês no exemplo do trader de petróleo? A compra de petróleo 
será no dia 30 de março e, a venda, no dia 15 de abril, o que irá reque-
rer posições compradas e vendidas no mesmo contrato futuro.
6. Qual seria o resultado no exemplo do trader de petróleo, caso em que 
a venda se dá no dia 15 de abril, se os preços futuros em 30 de mar-
ço e 15 de abril fossem, respectivamente, iguais a US$46,00/barril e 
US$45,80/barril?
Contratos a termo e preços 
dos contratos a termo e futuros
Definição 
Um contrato a termo representa um compromisso de comprar ou vender 
determinado ativo em uma data específica e por um preço estabelecido.
Como podemos verificar, um contrato a termo é um instrumento, em 
essência, igual a um contrato futuro. No entanto, existem algumas diferen-
ças entre eles. Entre elas, estão a não necessidade, nos contratos a termo, 
de margens de garantias com ajustes diários como temos nos contratos 
futuros. Estes contratos a termo são acertados entre as partes, não sendo, 
portanto, padronizados como ocorre com os contratos futuros das bolsas 
de futuro. Assim, as datas de vencimento são livres para negociação. Por 
outro lado, o risco de crédito na operação para uma das partes é o risco de 
crédito da contraparte.
Vejamos um exemplo de uso:
Uma empresa brasileira, que deverá fazer um pagamento de juros de sua 
dívida externa em dólares, está considerando adotar uma estratégia de hed-
ging de taxa de câmbio usando contratos a termo com vencimento em 30 
dias. Considere as seguintes informações abaixo e responda às perguntas:
O valor do pagamento em dólares é de US$10.000.000,00. �
Que o preço a termo atual para 30 dias seja de 2,350 RS/US$. �
(a) Qual estratégia que a empresa deve escolher para hedging?
(b) Qual o resultado do pagamento da dívida daqui a 30 dias, conside-
rando o hedging?
A empresa deve negociar acompra de US$10 milhões de dólares à taxa 
de câmbio de R$2,35/US$para trinta dias à frente. Suponha que ela negocie 
o contrato com um banco no mercado financeiro. A empresa, após decorri-
112
Derivativos Financeiros
dos estes trinta dias, comprará US$10 milhões de dólares à taxa de câmbio 
de 2,35R$/US$, pagando, portanto, ao banco, o valor de R$23.500.000,00. 
Se a taxa de câmbio, no vencimento do contrato a termo, estiver cotada à 
2,50R$/US$, a empresa estará economizando a diferença entre 2,50R$/US$ e 
2,35R$/US$, que representaria R$1.500.000,00. Se, por outro lado, a taxa de 
câmbio estiver à 2,20R$/US$, a empresa estará comprando dólares com taxa 
de câmbio acima do mercado, desembolsando, desse modo, 2,35R$/US$, 
0,15R$/US$ a mais do que a taxa vigente. Se ela não tivesse feito a compra 
do contrato a termo, ela estaria gastando menos R$1.500.000,00; no entan-
to, ela também não estaria se protegendo contra desvalorizações do real. 
Ou seja, se a decisão foi se proteger contra possíveis desvalorizações do real 
frente ao dólar, então, a estratégia de compra de dólares a termo deve ser 
executada e vista com uma fixação de preços (taxa de câmbio).
Os contratos a termo são instrumentos muito antigos, retrocedendo à 
Idade Antiga e Idade Média. Nestas épocas, produtores e comerciantes dese-
javam antecipar, respectivamente, o preço do produto que iriam vender em 
alguma data futura, e o preço que os comerciantes pagariam em compras 
futuras de seus produtos.
Preços futuros a termo e preços à vista 
As relações entre preços futuros e preços à vista, são, na verdade, apre-
sentadas como relações entre preços de contratos a termo e preços de 
ativos à vista; e serão apresentadas por tipo de contrato. No entanto, sob 
certa condição, os preços dos contratos futuros e os preços dos contratos a 
termo podem ser iguais; e esta condição se dá quando a taxa de juros livre 
de risco é constante para todos os vencimentos. Assim, o preço do contrato 
futuro, com determinada data de vencimento, é igual ao preço a termo com 
a mesma data de vencimento.
Entretanto, é comum ocorrer o contrário, isto é, as taxas de juros varia-
rem de modo imprevisível e, nesta condição, os preços futuros e a termo não 
mais seriam iguais. Os preços futuros tenderão a ser um pouco mais eleva-
dos do que os respectivos preços a termo, quando o preço do ativo objeto 
do contrato futuro apresentar forte correlação positiva com as taxas de juros. 
Se o preço do ativo sobe, as taxas de juros também subirão, mas como as 
subidas de preços do ativo levam a ganhos nas margens diárias para os com-
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
113
prados em contratos futuros, estes ganhos seriam aplicados às taxas de juros 
mais elevadas; ao passo que quedas de preços do ativo, acompanhadas por 
menores taxas de juros, levariam a perdas de margens diárias, que seriam 
custeadas a taxas de juros mais baixas, estas perdas seriam menores do que 
os ganhos anteriores, favorecendo, assim, os preços dos contratos futuros, 
quando comparados aos preços dos contratos a termo, já que estes últimos 
não utilizam o procedimento de margens diárias. Se a correlação entre os 
preços do ativo e taxa de juros é fortemente negativa, ocorre o contrário ao 
exposto acima, e os preços dos contratos futuros tenderiam a ser menores 
do que os preços dos contratos a termo.1
Preço a termo de títulos zero-cupom
Estes títulos são negociados na forma de desconto, isto é, o preço pago 
pelo título está sempre abaixo do valor futuro a receber (que aqui será cha-
mado de valor de face). Não existem pagamentos intermediários de juros.
Os fluxos de caixa destes títulos, e seu valor presente, são apresentados 
na figura 1, a seguir, e na equação conseguinte.
Figura 1 – Título zero-cupom.
F
P
P = F
(1 + i)n
O
 a
ut
or
.
Onde:
P = o preço do título;
F = o valor de face;
i = a taxa de juros;
n = o prazo de vencimento do título.
1 Ver, HULL, John, Introdu-
ção aos Mercados Futuros 
e de Opções, 2. ed. Cultura 
e BM&F, p. 85-86; e COX, J. 
C; INGERSOLL; ROSS, S.A. 
The Relationship Between 
Forward Prices and Fu-
tures Prices. In Journal of 
Financial Economics. dez. 
1981. v.9. p. 321-346.
114
Derivativos Financeiros
Suponhamos que se possa tomar um empréstimo e comprar um título 
zero-cupom ao preço P, e que um contrato futuro de prazo T, cujo ativo- 
-objeto é o título zero-cupom, possa ser negociado pelo preço F1.
Se, hoje, um investidor compra o título, e ao mesmo tempo, vende um con-
trato futuro, (considera-se que o volume de títulos e o tamanho dos contratos 
futuros sejam ajustados), a posição dele em T pode ser descrita como:
F1 – P . (1 + i)
T
Isto é, ele receberá F1 e gastou P (1 + i)
T; e, se F1 > P . (1 + i)
T, haverá lucro 
na carteira do investidor, já que o contrato a termo ou futuro foi vendido, e 
apresenta valor superior ao do preço do título capitalizado pela taxa de juros 
do período da operação.
Se, ao contrário, o investidor vende títulos a descoberto (vende para en-
trega futura) e aplica os recursos, e ao mesmo tempo, compra contratos a 
termo ou futuros do título, ele obterá lucros quando F1 < P . (1 + i)
T.
Estas duas operações recém descritas caracterizam arbitragens. E, por 
conseguinte, na ausência de arbitragens, deve-se ter: F1 = P . (1 + i)
T.
Como exemplo, consideremos que o preço à vista de um título zero-cu-
pom seja 90, e que o preço do contrato futuro deste título seja atualmente 
96. Considere, também, que a taxa de juros é 10% ao ano, e que o tempo de 
vencimento do título e dos contratos futuros seja de seis meses.
Sob estas condições, tem-se: 96 > 90 (1,1)0,5, ou, 96 > 94,393, o que per-
mite arbitragem do tipo inicial, ou seja, comprar o título hoje e ao mesmo 
tempo, vender o contrato futuro. Ao fazer isso, obtém-se, ao final de seis 
meses, um ganho de 1,607. Se o contrato futuro tiver preço igual a 94, deve-
-se arbitrar vendendo o título a descoberto e comprando contratos futuros, 
gerando lucro de 0,393.
Estamos considerando que existe um contrato futuro vencendo em seis 
meses que represente o título negociado, e que o risco de base não esteja 
presente, ou seja, desprezível, o que não é verdade.
Neste ponto, é necessário ressaltar que as relações acima são válidas para 
contratos a termo. Para os contratos futuros, algumas observações devem 
ser feitas.
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
115
A primeira envolve a questão das margens diárias e o efeito dos juros 
sobre elas. Portanto, configura-se uma imperfeição na montagem da opera-
ção de arbitragem, se feita com contratos futuros.
A segunda diz respeito ao vencimento do mercado futuro. Quando o 
prazo da operação de arbitragem não coincide com o vencimento do con-
trato futuro, não há como garantir que o valor F1 para os contratos futuros 
seja confirmado na operação. Assim sendo, a estratégia de arbitragem está 
sujeita ao risco de base na data do seu vencimento.
Preços a termo de títulos 
com rendimento determinado
Consideremos, agora, um título com cupons prefixados. A figura 2 mostra 
os fluxos de caixa deste tipo de título.
Figura 2 – Títulos com cupons.
F + C
P
C C CC C C C
O
 a
ut
or
.
Neste caso, o preço do contrato a termo deve ser igual a: F1 = P . (1 + i)
T 
(cupons capitalizados), onde, o valor dos cupons capitalizados é dado pelo 
valor do(s) cupom(ns) pago(s) no período de arbitragem e reinvestidos à 
taxa de mercado. Como estes cupons recebidos representam uma receita, 
eles devem ser subtraídos do valor de aquisição do título já capitalizado pela 
taxa de juros de mercado no período em consideração.
Observação: A taxa de cupom incide sobre o valor de face, F.
Considere um título com pagamentos semestrais de juros. A taxa semes-
tralé de 5%. O título tem dois anos para o vencimento; seu preço é 100, e seu 
valor de face (valor final) também é 100. Suponhamos que exista um contra-
to futuro com prazo de seis meses para este título. Qual deverá ser o preço 
futuro no início do semestre, se supusermos que a taxa de juros no mercado 
é 5% ao semestre?
116
Derivativos Financeiros
Da equação, temos: 
F1 = 100 . (1,05) – 5,00, ou, F1 = 100.
Significa que, o custo de comprar o título, 5 unidades monetárias são 
compensados plenamente pelos juros recebidos no cupom do título.
Preços a termo de moedas 
A relação entre o preço a termo de uma moeda e a cotação atual desta 
moeda é dada pela paridade de juros.
A paridade de juros reflete uma interconexão entre taxas de juros de dois 
países.
A paridade de juros nos diz que os juros em uma dada moeda, (na nossa 
análise, em dólar), devem ser iguais nos países onde os capitais financeiros se 
movimentam sem restrições; em caso contrário, haveria arbitragem (ganho 
positivo e sem risco).
Por exemplo, um investidor poderia tomar recursos emprestados em dó-
lares no país B e aplicar no país A, gerando um ganho positivo sempre que 
os juros em dólares em A (cupom cambial em A) fossem maiores do que os 
juros em dólares no país B.
Admitamos que os capitais financeiros possam fluir sem restrições de um 
país para outro. O que é preferível: aplicá-los no país A ou no país B? Supo-
nhamos, que o país A seja o Brasil e o país B os EUA.
Tomemos um capital K em moeda internacional (isto é, o dólar do país B, 
os EUA). Aplicando-o no país B, ele valerá, no fim do período de aplicação, 
suponhamos um ano, K (1 + i*), em moeda internacional. Onde, i* representa 
a taxa de juros dos títulos do Tesouro norte-americano nos EUA.
Por outro lado, se o investidor decide não aplicá-lo nos EUA, mas sim 
transferi-lo para o país A, o principal K deverá ser convertido na moeda 
local, o real, gerando o valor em reais E0 K, o qual, acrescido dos juros rece-
bidos na aplicação em títulos do governo local, valerá, no final do período, 
E0 K (1 + i) em moeda do país A, o real. Este valor em reais, ao final do período 
da aplicação, gerará em dólares o montante, (E0 /E1 ) K (1 + i) onde, i representa 
a taxa de juros dos títulos do Tesouro brasileiro; EO, a taxa de câmbio no país 
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
117
A, Brasil, em reais/dólar, no momento inicial; e E1, a taxa de câmbio no país A, 
Brasil, em reais/dólar, no momento final.
Então, a relação entre os patrimônios obtidos nas aplicações alternativas 
nos dois países, resultaria em:
( KE0 / E1) (1+i) / K (1+i*)
Se desejarmos comparar as taxas de retorno obtidas nas aplicações alter-
nativas nos dois países, teríamos como relação o cupom cambial no país A 
divido por [(1+i*) – 1 ] . 100, 
ou seja: [E0 / E1 (1+i) – 1] / [(1+i*) – 1].
Definição - cupom cambial: o cupom cambial do país A é a remuneração em 
dólares no país A. No nosso exemplo o cupom cambial seria representado por: 
[(E0 /E1 ) (1 + i) – 1] . 100
Conclui-se que é melhor investir no país A se o cupom cambial em A for 
superior a [(1+i*) – 1], ou seja, se a taxa interna de juros em dólares no país A 
for superior à taxa de juros internacional, isto é, a (1+i*); e investir no país B 
no caso oposto, isto é, se o cupom cambial em A for inferior à taxa de juros 
nos EUA. Na realidade, devemos incluir o risco país na análise, pois, no Brasil 
o investidor estaria exposto ao risco do Brasil, e nos EUA o risco país seria 
desconsiderado por ser praticamente inexistente.
No processo de escolha entre aplicar em A ou em B, o investidor incorrerá 
no risco de desvalorização cambial ao aplicar no país A e, por isso, suas ex-
pectativas, quanto às possíveis mudanças na cotação da taxa de câmbio do 
país A, devem ser favoráveis o suficiente para compensar o risco da desvalo-
rização da moeda de A.
Isto significa que, a rigor, o investidor não estaria fazendo uma arbitragem 
se tomasse recursos em dólares nos EUA e os aplicasse em A, pois, o resultado 
tanto poderia lhe ser favorável ou até extremamente favorável, quanto desfavo-
rável, ou até mesmo extremamente desfavorável (o que aconteceu no Brasil, em 
janeiro de 1999, quando o real desvalorizou substancialmente frente o dólar).
Para levar em consideração a questão da arbitragem e da paridade de 
juros, deveríamos ter que fixar a remuneração em dólares no país A, no mo-
118
Derivativos Financeiros
mento em que a aplicação tem início. Para fixarmos a taxa de remuneração 
em dólares no país A, o risco cambial deve ser eliminado. Um instrumento 
financeiro que atenderia as nossas necessidades seria o contrato a termo ou 
futuro de dólar.
Ao utilizarmos o contrato futuro de dólar, cujo preço é dado por F1, estarí-
amos fixando a taxa de câmbio.
Como o rendimento em dólares no país A estaria prefixado com o uso dos 
contratos futuros de dólar, passaríamos, então, a ter a igualdade entre o cupom 
cambial acima e a soma entre a taxa de juros nos EUA (taxa do Tesouro norte- 
-americano) e o risco país da A. Esta é a mensagem da paridade de juros: a taxa 
de juros em dólares, sem risco de crédito, nos EUA deve ser igual à taxa de juros 
prefixada, em dólares, no Brasil, já descontada do risco Brasil, representada por 
λ, pois, em caso contrário haveria, realmente, uma arbitragem.
Da discussão acima, decorre a relação de não arbitragem na forma ma- 
temática.
K(1+i*)E0/F1 = K(1+i*+λ)
ou,
F1 = (1+i*) E0 / (1+i*+λ)
Vejamos dois exemplos:
Exemplo 1
Considere a decisão de um investidor americano aplicar US$10.000,00 no 
Brasil ou nos EUA. Suponhamos que a taxa de juros de títulos do Tesouro 
norte-americano (sem risco de crédito) seja 2,5% ao ano. Ao aplicar no Brasil, 
o investidor receberia 12,5% ao ano de juros em reais.
Suponhamos, ainda, que ao aplicar no Brasil, os dólares que são trazi-
dos sejam convertidos em reais pela taxa de câmbio, real/dólar, cotada a 
2,30R$/US$. Consideremos, também, que a taxa de câmbio esperada pelo 
investidor, no momento de resgatar sua aplicação e convertê-la de volta em 
dólares, seja 2,40R$/US$.
Como o Brasil é um país com risco bem mais elevado do que os EUA (cujo 
Tesouro é considerado livre de risco de crédito), o investidor exigirá uma 
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
119
taxa adicional para compensar este risco brasileiro, que estaria medindo o 
risco de não pagamento. Consideremos que a taxa de risco brasileira (risco 
de crédito, pois o risco cambial já foi computado na mudança cambial es-
perada) seja medida no mercado internacional como equivalente a 4,5% ao 
ano. Onde decidirá investir este americano?
Calculemos, inicialmente, o cupom cambial no Brasil para este investidor.
Cupom cambial = (1+i) . Eo/E1 = 1,125 . (2,4/2,3) = 1.078125 dólares.
Com o cupom cambial esperado a 7,8125% ao ano, os US$100.000,00 gera-
riam, no Brasil, US$107.812,50. O investidor ingressou com US$100.000,00, con-
verteu em R$100.000 . 2,3 = R$230.000,00, que foram aplicados a 12,5% ao ano 
em reais, resultando, após um ano, em R$230.000,00 . 1,125 = R$258.750,00.
Na conversão para dólares, ao fim de sua aplicação, o investidor utili-
za a taxa de câmbio vigente, igual a 2,4R$/US$, o que lhe permite receber 
R$258.750,00/2,4 R$/US$ = US$107.812,50, resultando, a taxa de 7,8125% ao 
ano em dólares.
Comparando com a taxa de juros nos EUA, aplicar no Brasil geraria um 
excedente de juros de 7,8125% – 2,5% = 5,3125% ao ano. Comparando, fi-
nalmente, este excedente com o risco brasileiro, avaliado em 4,5% ao ano 
em dólares, haveria um ganho adicional de 0,8125% ao ano em dólares em 
aplicar no Brasil.
Exemplo 2
Qual deveria ser a desvalorização máxima da taxa de câmbio no Brasil, 
para que o investidor, do exemplo 1, não obtenha retornos em dólares me-
noresno Brasil do que no exterior? Use os dados do exemplo 1.
A taxa de câmbio que levaria à igualdade de retorno entre aplicar no Brasil 
e nos EUA, conforme equação, é dada por:
E1 = (1+i) . E0 / (1+i*+λ)
Assim, a taxa de câmbio E1 deve ser igual a (1,125) . (2,3) / (1 + 2,5% + 
4,5%), ou seja, igual a R$2,4182/US$. Se a taxa de câmbio final (ao fim do 
investimento) for R$2,4182/US$, as aplicações nos dois países gerarão o 
mesmo retorno em dólares.
120
Derivativos Financeiros
Retorno em dólares no Brasil (cupom cambial no Brasil): 1,07% (= 2,3 . 
1,125 / 2,4182), ou 7%.
Retorno em dólares nos EUA, já considerando o risco Brasil: 1,07% (= 1 + 
2,5% + 4,5%), ou 7%.
Devemos ressaltar, no entanto, que a decisão do investidor ocorre antes 
da aplicação financeira, e, por isso, ele não sabe qual será a mudança na taxa 
de câmbio ao longo do período de aplicação. Ainda que ele acredite que a 
taxa de câmbio não irá alcançar mais do que R$2,4182/US$, o risco de perdas 
estará presente na aplicação, e, então, o investidor não iria investir no Brasil 
se sua perspectiva de desvalorização do real frente ao dólar se aproximasse 
do valor R$2,4182/US$.
Do ponto de vista do investidor, ele irá avaliar o risco da desvalorização 
do real em relação ao dólar e cobrar por este risco. Este procedimento o leva-
ria a decidir investir no Brasil somente na seguinte condição:
 (1 + i)* E0 / E1 – 1 – δ ≥ (1 + i* + λ)
ou ainda,
 (1 + i) * E0 / E1 ≥ (1 + i* + λ	+ δ ).
Onde, δ representaria o risco cambial medido em retorno em dólares. Isto 
significa, simplesmente, que o investidor somente aplicaria no Brasil se obti-
vesse retorno mínimo de 7% (= 1 + 2,5% + 4,5%) + δ, com δ % refletindo o que 
ele exige como rendimento adicional para aceitar correr o risco cambial.
Se o investidor quiser utilizar a taxa de câmbio futura, ele eliminaria seu 
risco, mas também eliminaria qualquer ganho a não ser que a taxa futura de 
câmbio esteja cotada abaixo de 2,4182R$/US$.
Relação entre contratos a termo 
e futuros de índice Bovespa
Na relação de não arbitragem com índices de ações, podemos considerar 
que a carteira de ações seja um título que rende dividendos periodicamente. 
Como temos diversas ações na carteira, os dividendos poderiam ser vistos 
como uma média destes valores ao longo do ano.
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
121
A relação de não arbitragem seria, então, dada por:
F1 = P . (1 + i – q)
 T
Onde, q representa o pagamento médio de dividendos.
Os dividendos seriam equivalentes ao cupom do título com cupom de 
preços a termo com rendimento determinado.
Consideremos, como exemplo, que um contrato futuro de Ibovespa vença 
em dois meses. As ações que compõem a carteira pagarão dividendos de 
1,5% no período. O valor atual do Ibovespa é de 38 000 pontos. Suponhamos 
que a taxa de juros seja 1,839% no período. Então, o preço do contrato futuro 
do índice da Bovespa deveria ser:
 F1 = 38.000 . (1 + 0,01839 – 0,0150)
ou,
 F1 = R$38.128,82
Vejamos, agora, um exercício de arbitragem.
Consideremos que um investidor decida fazer uma arbitragem entre o 
Ibovespa futuro e Ibovespa à vista. Ele dispõe das seguintes informações:
Ibovespa à vista: 38 000 pontos; �
Ibovespa futuro: 38 900 pontos; �
Taxa de juros no período da arbitragem: 1,80%; �
Não haverá dividendos no período da arbitragem; �
A carteira à vista é composta de ações que, em conjunto, se aproxima- �
riam do Ibovespa, mas com coeficiente beta igual a 1,10;
O valor atual da carteira é de 1 milhão de reais. �
Pergunta-se:
(a) Qual arbitragem o investidor deve fazer?
(b) Qual o resultado da arbitragem?
(c) O que mudaria se houvesse distribuição de dividendos de 1,55% no 
período da arbitragem?
122
Derivativos Financeiros
(d) Qual deveria ser o índice futuro que anularia a arbitragem?
Respostas:
(a) Inicialmente calculamos o valor de equilíbrio para o Ibovespa futuro. 
Da equação os dividendos seriam equivalentes ao cupom do título 
com cupom de preços a termo de títulos com rendimento determi-
nado, obtemos, F1 = 38.000 . (1 + 0,018) = 38.684, o que mostra que 
há espaço para arbitragem, a qual consistiria na venda dos contratos 
futuros de Ibovespa, já que a cotação no mercado futuro é maior do 
que cotação de equilíbrio, 38 900 > 38 684, e na concomitante compra 
da carteira semelhante à carteira que constitui o Ibovespa, mas com 
beta de 1,10. A carteira tem valor de R$1.000.000,00. Então, o número 
de contratos futuros necessários para a arbitragem deve ser:
Número de contratos futuros = 1.000.000,00 . 1,10 / 38.000 = 28,947 �
contratos, ou seja, 29 contratos futuros Ibovespa devem ser vendidos.
(b) Supondo que o Ibovespa futuro, no dia do vencimento da arbitragem, 
seja igual a 39 200 pontos, e que o Ibovespa à vista tenha alcançado 
39 000 pontos, e ainda que a carteira de ações varie com o Ibovespa 
à vista multiplicado pelo beta 1,10, o resultado da arbitragem seria 
igual a:
Valor da carteira de ações = R$1.000.000,00 . {1 + 1,10 . [(39.000/38.000) �
–1]} = R$1.028.947,37.
Resultado com contratos futuros = (38.900 – 39.200) . 29 = – R$8.700,00. �
Resultado total = R$1.020.247,37. �
Taxa de retorno na arbitragem = R$1.020.247,37/1.000.000,00 = �
2,0247%.
Observações:
A taxa de retorno da arbitragem, 2,0247% no período, foi superior à taxa 
de mercado para o período, 1,8%.
Não foram considerados custos operacionais.
Foi suposto que o beta da carteira de ações se manteve em 1,10.
Se a posição de arbitragem fosse encerrada no dia do vencimento dos 
contratos futuros, e considerando a convergência do Ibovespa dos contratos 
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
123
futuros para o Ibovespa à vista, ambos com 39 200 pontos, por exemplo, 
teríamos como resultados os seguintes valores:
Valor da carteira de ações = 1.000.000,00 . {1 + 1,10 . [(39 200/38 000) �
–1]} = R$1.034.736,84.
Resultado com contratos futuros = (38.900 – 39.200) . 29 = – R$8.700,00. �
Resultado total = R$1.026.036,84. �
Taxa de retorno na arbitragem = R$1.026.036,84/R$1.000.000,00 = �
2,6037%.
Este último resultado seria ainda superior ao resultado inicial, 2,6037% > 
2,0247.
(c) Se a distribuição de dividendos fosse igual a 1,55%, o novo preço futu-
ro de equilíbrio seria dado por: F1 = 38.000 . (1 + 0,018 – 0,0155) e, F1 = 
38.095.
A condição de arbitragem não seria alterada e a oportunidade de ganho 
seria ainda maior.
(d) O índice futuro que anularia a arbitragem deveria ser 38.684 no caso 
sem dividendos e 38.095 no caso com dividendos.
Devemos observar, no entanto, que o investidor não estaria eliminando 
todos os riscos na operação de arbitragem, já que a carteira que ele adqui-
riu apresenta beta igual a 1,10, diferente do beta do Ibovespa, 1,0. Assim, 
a estabilidade do coeficiente beta no tempo é importante para um bom 
resultado.
Ainda temos também a questão da convergência entre futuro e à vista, 
outro fator que introduz risco na operação.
Relação entre contratos a termo 
e futuros e preços de commodities 
Ao considerarmos, agora, commodities que são usadas para consumo, 
as condições de não arbitragem deverão levar em consideração o efeito 
chamado convenience yield (valor da disponibilidade). Este valor da dispo-
nibilidade da commodity representa uma renda da qual o produtor des-
fruta em decorrência do bem-estar disponível para sua produção. Quanto 
124
Derivativos Financeiros
maior for a possibilidade de escassez futura da commodity, maior será o 
valor de reter a mercadoria, ou seja, o convenience yield. Se a oferta da com-
modity for abundante no mercado ou os estoques forem elevados, menor 
seria o convenience yield.
Então, a nova condição de não arbitragem, considerando o efeito do con-
venience yield, passa a ser:F1 = P . (1 + i + a – y)
T , onde, a, representa os custos de armazenagem como 
proporção do preço à vista; e, y, o convenience yield.
O convenience yield na equação K (1 + i) . E0/F1 = K(1 + i* + λ), está sendo 
medido como proporcional ao preço da commodity. Na realidade, ele é o 
valor que gera a igualdade acima. Sem a introdução do convenience yield, 
teríamos a equação a seguir:
F1 ≤ P . (1 + i + a) T
Esta equação pode ser consistente com o mercado de certas commodities 
que são usadas para consumo, como petróleo e outras, já que o convenience 
yield ofereceria oportunidades de arbitragens no mercado. O produtor não 
abriria mão de seu bem e isto levaria a situações como a representada pela 
equação F1 ≤ P . (1 + i + a) T.
A diferença F1 – P . (1 + i + a)
 T estaria, portanto, representando o valor do 
convenience yield.
A situação inversa mostrada pela equação F1 > P(1 + i + a)
 T não permane-
ceria no mercado destas commodities de consumo, pois a arbitragem levaria 
à igualdade.
Se considerarmos as commodities que não são usadas para consumo, 
mas sim como investimentos, ouro, por exemplo, não existirá o parâmetro 
convenience yield. Assim sendo, a relação de não arbitragem seria da mesma 
forma que a de um título que gera rendimentos, porém, com a introdução de 
custos de estocagem ou custódia.
Temos, então, a equação: F1 = P . (1 + i + a)
 T.
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
125
Nessas relações de não arbitragem, entre os preços dos contratos a termo 
ou futuros e os preços à vista, devem estar presentes todos os custos envol-
vidos na respectiva operação, ou seja, deve ser incorporado o conceito custo 
de carrego. O custo de carrego compreenderia diversos custos como:
de armazenamento; �
de transporte; �
de financiamento; �
de seguros, comissões etc. �
Considerando c como representando o custo de carrego, teremos a equa-
ção: F1 = P . (1 + c – y)
 T.
Suponhamos, como exemplo, que uma mercadoria apresenta custo de 
carrego igual a 10% de seu preço, e que o convenience yield dela representa 
5% de seu preço. Qual o preço futuro que deve vigorar no mercado se o 
preço da mercadoria é 100?
Considere o prazo como sendo igual a 1.
Se o mercado estiver em equilíbrio, isto é, sem oportunidades de arbitra-
gem devemos ter, F1 = 100 . (1 + 0,1 – 0,05) = 105.
Suponhamos que o mercado futuro esteja com cotação igual a 106,00. 
Qual seria a maneira de aproveitar a oportunidade de arbitragem apresen- 
tada?
A estratégia para aproveitar a oportunidade de arbitragem seria:
(1) Vender os contratos futuros da mercadoria a 106,00;
(2) Comprar a mercadoria por 100,00;
(3) Pagar os custos líquidos, 5;
(4) Vender a mercadoria com os contratos futuros e obter 1 de lucro.
126
Derivativos Financeiros
Eles estão de volta*
Yoshiaki Nakano, 2009
“ [...] Para o capital especulativo existe ainda outro fator que torna o real 
extremamente atraente. O nosso regime de “câmbio flutuante” é presa fácil de 
profecias que se autorealizam, pois não há nenhuma sinalização firme de que 
o BC ou o governo não toleram a apreciação excessiva da moeda, estabele-
cendo um piso tacitamente. E cada ponto percentual de apreciação se soma 
ao diferencial da taxa de juros para compor o retorno do especulador. Apenas 
no mês de maio, os especuladores ganharam 10,6%, pois apropriaram 9,7% 
de variação cambial mais 0,82% proveniente da Selic. Assim, o lento ritmo de 
queda na taxa de juros e a expectativa de apreciação tornaram o real uma 
aplicação de altíssimo retorno em meio a uma grande crise financeira. Quanto 
mais especuladores são atraídos, mais o real se aprecia e maior é seu retorno. 
Desta forma, a taxa de câmbio deverá se apreciar ainda mais de acordo com 
a convenção do mercado. No momento, aparentemente, a convenção é de 
que a taxa de câmbio vai cair para R$1,80. Ao chegarmos a esta taxa, novas 
quedas poderão ocorrer segundo uma nova convenção e, numa profecia que 
se autorealiza, atrairá cada vez mais especuladores. Poderiam o BC e o Tesouro 
nacional evitar esta apreciação? Com o regime de câmbio como o nosso, não. 
Mas, com redução da taxa de juros, que é mais do que necessária para reto-
marmos o crescimento, para níveis próximos às taxas internacionais e sinali-
zando firmemente o mercado de sua determinação em evitar a apreciação, 
sem fixar taxa ou piso, é possível evitar a apreciação. Neste caso, o regime de 
taxa de câmbio deveria ser assimétrico, permitindo a depreciação, mas não a 
apreciação. O custo de carregar reservas também seria reduzido se a taxa de 
juros fosse próxima à internacional.
Comentários: verificamos no texto a atratividade das aplicações financeiras no 
Brasil em comparação com aplicações nos EUA; isto em decorrência da contínua 
valorização do real frente ao dólar, além das taxas de juros elevadas no Brasil.
As equações (1+i) . E0 / E1 – 1 – δ ≥ (1 + i* + λ) e (1 + i) . E0 / E1 ≥ (1 + i* + λ	+ δ ), 
mostram a situação de ganhos para aplicação no Brasil. Devemos chamar a 
atenção para o fato do δ ser negativo (valorização do real) .
* Trecho extraído do artigo do Jornal Valor, do dia 02 de junho de 2009.
Ampliando seus conhecimentos
Contratos a termo e preços dos contratos a termo e futuros
127
Atividades de aplicação
1. As taxas de juros estabelecem uma diferença entre contratos a termo 
e contratos futuros? Como esta diferença se dá?
2. Suponha que a taxa de juros de mercado seja 3,0% ao semestre, e que 
a taxa de cupom do título seja igual a 4,0% ao semestre. Qual o valor 
de F1 que levaria à ausência de arbitragens? Para que valores de F1 a 
arbitragem seria comprar o título e vender contratos futuros?
3. Explique F1 na equação F1 = (1 + i) . E0 / (1 + i* + λ).
4. Suponha, nos exemplos abaixo, que o risco de desvalorização do real 
frente ao dólar seja nulo, segundo a expectativa de um investidor. 
Ele deveria aplicar no Brasil? Se a resposta for sim, qual o ganho que 
ele obteria?
 Exemplo 1
 Considere a decisão de um investidor americano aplicar US$10.000,00 
no Brasil ou nos EUA. Suponhamos que a taxa de juros de títulos do 
tesouro norte-americano (sem risco de crédito) seja 2,5% ao ano. Ao 
aplicar no Brasil, o investidor receberia 12,5% ao ano de juros em reais.
 Suponhamos, ainda, que ao aplicar no Brasil, os dólares que são tra-
zidos sejam convertidos em reais pela taxa de câmbio, real/dólar, 
cotada a 2,30R$/US$. Consideremos, também, que a taxa de câmbio 
esperada pelo investidor, no momento de resgatar sua aplicação e 
convertê-la de volta em dólares, seja 2,40R$/US$.
 Como o Brasil é um país com risco bem mais elevado do que os EUA 
(cujo Tesouro é considerado livre de risco de crédito), o investidor exigi-
rá uma taxa adicional para compensar este risco brasileiro, que estaria 
medindo o risco de não pagamento. Consideremos que a taxa de risco 
brasileira (risco de crédito, pois o risco cambial já foi computado na mu-
dança cambial esperada) seja medida no mercado internacional como 
equivalente a 4,5% ao ano. 
128
Derivativos Financeiros
 Exemplo 2
 Qual deveria ser a desvalorização máxima da taxa de câmbio no Brasil, 
para que o investidor do exemplo 1 não obtenha retornos em dólares 
menores no Brasil do que no exterior? Use os dados do exemplo 1.
 A taxa de câmbio que levaria à igualdade de retorno entre aplicar no 
Brasil e nos EUA.
5. Considerando o exercício 4, se tivermos uma queda de taxas de ju-
ros e de risco país, ambos no Brasil, passando, respectivamente, para 
10,5% a.a. e 3,8% a.a., qual o novo ganho que seria obtido, consideran-
do δ ainda igual a zero? Qual seria a nova cotação da taxa de câmbio 
no mercado a termo que anularia arbitragens?
6. Considerando o exemplo:
 Consideremos que um investidor decida fazer uma arbitragem en-
tre o Ibovespa futuro e Ibovespa à vista.Ele dispõe das seguintes 
informações:
Ibovespa à vista: 38 000 pontos. �
Ibovespa futuro: 38 900 pontos. �
Taxa de juros no período da arbitragem: 1,80%. �
Não haverá dividendos no período da arbitragem. �
A carteira à vista é composta de ações que, em conjunto, se aproxima- �
riam do Ibovespa, mas com coeficiente beta igual a 1,10.
O valor atual da carteira é 1 milhão de reais. �
 Qual seria o resultado da arbitragem se o beta da carteira de ações 
caísse para 1,0?
Contratos e mercados de opções
Opções fundamentais
Os contratos de opções são mais recentes do que os contratos futuros, 
mas também são utilizados com frequência pelas instituições financeiras, 
fundos em geral, e outros investidores.
Existem dois tipos de opções: opções de compra (calls) e opções de venda 
(puts).
Na opção de compra o detentor (titular ou comprador da opção) tem o 
direito de comprar um ativo em certa data, ou durante um período estabele-
cido, por determinado preço.
Na opção de venda, o detentor tem o direito de vender um ativo em certa 
data, ou durante um período estabelecido, por determinado preço.
Opção de compra ( � call) – direito de compra.
Opção de venda ( � put) – direito de venda.
O preço no qual o ativo poderá ser comprado ou vendido é chamado de 
preço de exercício (strike price ou exercise price), e a data (o dia em que o con-
trato pode ser exercido) é conhecida como data de vencimento (expiration 
date, exercise date ou maturity).
Como as opções adquiridas oferecem um direito de exercício, elas são 
mais flexíveis do que os contratos futuros, e por esta flexibilidade deve-se 
pagar um prêmio ao vendedor de uma opção. Ou seja, para cada comprador, 
há um vendedor da opção, que é aquele que recebe o prêmio pelo risco as-
sumido de ser exercido pelo detentor dos direitos, o comprador da opção.
Preço de exercício – preço ao qual o direito pode ser exercido. �
Data de vencimento – data a partir da qual expira o direito de compra �
ou de venda.
Prêmio – valor a pagar para se ter o direito de compra ou de venda. �
132
Derivativos Financeiros
Opções europeias e americanas
Uma opção europeia pode ser exercida somente na data de vencimen-
to. Uma opção americana pode ser exercida a qualquer momento, até o 
vencimento.
Opção europeia – pode ser exercida somente na data de vencimento. �
Opção americana – pode ser exercida a qualquer momento até a data �
de vencimento.
A grande diferença entre os contratos de opções e os contratos futuros 
consiste no direito de exercício em um contrato de opção, e não a obrigação 
do exercício (compra ou venda de um ativo), o que não ocorre com um con-
trato futuro. Por outro lado, um prêmio é pago para que se tenha este direito, 
prêmio que não existe nos contratos futuros. O prêmio pode se visto como a 
possibilidade do exercício da compra ou da venda do ativo.
Nos contratos futuros, como visto em capítulos anteriores, fixa-se, a menos 
do risco de base, um preço de compra ou de venda de uma mercadoria, de 
uma moeda, de uma taxa de juros, ou de um índice etc., não existindo, por-
tanto, a escolha da compra ou da venda.
O titular de uma opção tem direito e paga prêmio por ele. �
O detentor de um contrato futuro não tem este direito de exercício, �
mas também não paga prêmio.
Assim, se um investidor adquire uma opção de compra de dólares a X 
reais em uma data futura, quando, nesta data futura, a cotação do dólar es-
tiver acima deste valor X, ele exercerá seu direito de comprar determinada 
quantia de dólares (valor contratado) ao preço X. Mas, se a cotação, na data 
futura, estiver abaixo de X R$/US$, o investidor não irá exercer seu direito 
de compra e simplesmente perderá seu prêmio pago no início do contrato. 
Mesmo que ele exercesse seu direito no caso do cenário anterior (preços 
acima de X R$/US$), o prêmio não lhe seria devolvido. Ou seja, o prêmio será 
pago e não devolvido em ambos os cenários.11 Há exceções com deter-
minadas opções, nas quais 
parte do prêmio pode ser 
devolvido.
Contratos e mercados de opções
133
Caso este investidor resolvesse utilizar contratos futuros de dólar em vez 
dos contratos de opções, ele estabeleceria um preço futuro, F1, negociado 
na bolsa de futuros, e estaria fixando a cotação em torno do valor F1 (devido 
ao risco de base), na data de encerramento de sua operação. Não haveria 
pagamento de prêmio como nos contratos de opções. Haveria, sim, depósi-
tos de margens obrigatórios. Porém, depósitos de margens são de natureza 
diferente da dos prêmios das opções: os depósitos podem ser usados ou não, 
e se não forem, ou forem usados parcialmente, haverá devolução do saldo 
para o cliente da Bolsa; ao passo que os prêmios das opções, normalmente, 
são pagos e não retornam mais, funcionando como um prêmio de seguro.
Existem quatro posições fundamentais nos contratos de opções:
Comprador da opção de compra; �
Vendedor da opção de compra; �
Comprador da opção de venda; �
Vendedor da opção de venda. �
Sempre haverá um vendedor de uma opção para se fechar o contrato de 
opção. Este vendedor, chamado no Brasil de lançador da opção, recebe o 
prêmio pago pelo comprador da opção, e assume a obrigação de atender à 
decisão deste comprador, quando quer que ele exerça seu direito de compra 
ou de venda do ativo que originou o contrato. No exemplo anterior, do in-
vestidor que adquire opções de compra de dólares ao preço de exercício X, 
quando a cotação ficasse acima de X, o vendedor (lançador) da opção de 
compra seria obrigado a entregar dólares à taxa de câmbio X, embora a co-
tação de mercado estivesse acima deste valor. Mas, no cenário em que a taxa 
de câmbio ficasse abaixo de X, o lançador não seria exercido e ficaria com 
todo o prêmio recebido no início da operação financeira.
As figuras 1a e 1d mostram os resultados das opções de compra e de 
venda ao longo de sua vigência, até a data de vencimento, inclusive. As 
curvas representam o valor das opções antes do vencimento, e as retas, os 
valores nas respectivas datas de vencimento.
134
Derivativos Financeiros
Pe
PaPrêmio
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
(a)
(b)
Pe PaPrêmio
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 1a e 1b: Resultados das opções de Compra e Venda
Contratos e mercados de opções
135
(c)
Pe
PaPrêmio
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
(d)
Pe PaPrêmio
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 1c e 1d: Resultados das opções de Compra e Venda
136
Derivativos Financeiros
As curvas nas quatro figuras ilustram os valores das opções em função do 
preço do ativo, objeto da opção. Estas curvas se colocam por cima das retas, 
pois, antes do vencimento das opções, o prêmio compreende o valor tempo, 
além do valor intrínseco. E no vencimento, o valor de uma opção é dado 
somente pelo valor intrínseco. Observamos que o valor de uma opção de 
compra ou de venda, para seu respectivo comprador, varia de forma convexa 
em função do preço do ativo.
Considerando, agora, somente os valores no vencimento das opções.
Na figura 1a, temos os resultados (ganhos ou perdas) com a posição com-
prada em uma opção de compra (call).
Na figura 1b, temos os resultados (ganhos ou perdas) com a posição ven-
dida (lançador) em uma opção de compra (call).
Na figura 1c, temos os resultados (ganhos ou perdas) com a posição com-
prada em uma opção de venda (put).
Na figura 1d, temos os resultados (ganhos ou perdas) com a posição ven-
dida (lançador) em uma opção de venda (put).
Nas figuras 1a e 1c, observamos a região de resultados negativos devido 
ao pagamento dos prêmios; já nas figuras 1b e 1d, as regiões positivas 
decorrem do recebimento dos respectivos prêmios pelos lançadores das 
opções.
Nas quatro figuras, os pontos de equilíbrio ocorrem no ponto em que a 
reta inclinadacorta o eixo horizontal. A partir deste ponto, para cima se for 
a opção de compra, e para baixo se for a opção de venda, os compradores 
das respectivas opções obtêm ganhos líquidos e os vendedores passam a 
contabilizar perdas líquidas.
Os compradores de opções são os que detêm posições compradas ou 
long; e os vendedores, os que possuem posições vendidas ou short.
Classificação de acordo 
com a possibilidade de exercício
As opções também são classificadas de acordo com sua possibilidade de 
exercício, ou seja:
Contratos e mercados de opções
137
Opções que estão na posição de exercício, ou seja, opções de compra �
com Pa > Pe, e opções de venda com Pe > Pa, são denominadas “in-
the-money”.
Opções que estão fora da posição de exercício, ou seja, opções de �
compra com Pa < Pe, e opções de venda com Pe < Pa, são denomina-
das “out-of-the-money”.
Opções que estão em posição neutra com relação ao seu possível exer- �
cício, ou seja, opções de compra com Pa = Pe, e opções de venda com 
Pe = Pa, são denominadas “at-the-money”.
Assim, tem-se:
Posição da opção Call Put
In-the-money Pa > Pe Pe > Pa
At-the-money Pa = Pe Pa = Pe
Out-of-the-money Pa < Pe Pa > Pe
Composição do prêmio de uma opção
O preço de uma opção representa o valor da opção, e deve ser pago pelo 
comprador dos direitos (opção de comprar ou vender) ao vendedor dos 
direitos. O preço de uma opção depende de vários fatores, como veremos 
adiante. Mas ele pode ser decomposto em duas partes, que são o valor in-
trínseco e o valor do tempo em uma opção.
Prêmio da opção = valor Intrínseco + valor do tempo. 
Valor Intrínseco: diferença entre o preço do ativo e o preço de exer- 
cício.
a) Para opção de compra: representa a diferença, se positiva, entre o 
preço do ativo e o preço de exercício; caso contrário será zero.
b) Para opção de venda: representa a diferença, se positiva, entre o preço 
de exercício e o preço do ativo; caso contrário será zero.
138
Derivativos Financeiros
Matematicamente, temos:
Valor intrínseco da call = max { A - E ; 0 }
Valor intrínseco da put = max { E - A ; 0 }
Valor do tempo: sensível ao tempo e à volatilidade. Vale zero no venci-
mento da opção.
Exemplo de uso de opção de compra
Considere o mesmo exemplo anterior do investidor ou empresa que 
deseja adquirir uma opção europeia de compra (call) de dólar para venci-
mento em 30 dias. Suponha que a opção tenha preço de exercício de 2,40 
R$/US$ e que o prêmio pago seja de R$110.000,00 ou 0,11R$/US$, sabendo 
que a opção foi estabelecida para US$1.000.000,00, que ao câmbio atual de 
2,37R$/US$, equivaleria a R$2,37 milhões de reais.
O lançador desta opção receberia os R$110.000,00 e aguardaria 30 dias 
para saber a decisão do comprador.
No trigésimo dia após a compra, a opção chega ao seu vencimento e será 
exercida se a cotação estiver acima de 2,40R$/US$; e, em caso contrário, não 
será exercida.
Tracemos dois cenários para a data de vencimento da opção:
Cenário 1: a taxa de câmbio atinge 2,50R$/US$.
Cenário 2: a taxa de câmbio cai para 2,35R$/US$.
No primeiro cenário, haverá exercício da opção e o investidor irá adquirir 
1 milhão de dólares à cotação 2,40R$/US$; e o vendedor da opção terá 
que entregar este milhão de dólares ao comprador recebendo por isto 2,4 
milhões de reais. O lançador estaria perdendo R$100.000,00, pois o dólar 
no mercado estaria sendo negociado a 2,50R$/US$. Mas ele recebeu 
R$110.000,00 no início da operação. Desse modo, ele ainda conseguiu ficar, 
em termos líquidos, com R$10.000,00.
Contratos e mercados de opções
139
Se a taxa de câmbio subisse para 3,00R$/US$, a perda dele seria elevada 
para R$600.000,00 menos o prêmio recebido (R$110.000,00), é assim por 
diante. Qual a vantagem, então, para o lançador da opção? O prêmio rece-
bido. Certamente que o prêmio recebido deve estar dentro de um contexto 
de avaliação das perdas possíveis. No entanto, é possível que o lançador da 
opção esteja em uma situação que aufira ganhos com a desvalorização do 
real frente ao dólar, e, se este for o caso, as possíveis perdas com a venda da 
call estariam sendo compensadas com os ganhos que teria com a desvalori-
zação do real em sua outra posição.
No segundo cenário, não haveria exercício da compra de dólares, já que o 
investidor poderá comprá-los no mercado de câmbio a 2,35R$/US$. Quanto 
ao lançador, este ficaria com os R$110.000,00 recebidos como prêmio no 
início da operação.
Pode-se traçar um gráfico, que ilustre os possíveis resultados no dia do 
vencimento do contrato, tanto para o comprador, quanto para o vendedor 
da opção de compra (call).
2,40
Pa (R$/US$)
– 0,11 
Ganhos / Perdas 
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Resultados de uma Opção de Compra.
Observa-se que para taxas de câmbio abaixo de 2,40R$/US$ o preço 
de exercício, a opção de compra não é exercida, e o comprador perde 
R$110.000,00 de prêmio, que obviamente, ficaria para o vendedor da call. 
Se a cotação estiver, no dia do vencimento, acima de 2,40R$/US$, o com-
prador irá exercer seu direito de adquirir 1 milhão de dólares a 2,40R$/US$; 
e quanto mais a cotação exceder o preço de exercício, mais o comprador 
ganhará, não havendo limites para estes ganhos, exceto pela capacidade de 
pagamento do lançador. Sob a ótica deste último, já verificamos que suas 
perdas são ilimitadas.
140
Derivativos Financeiros
Há um ponto de equilíbrio, no qual não há ganhos nem perdas para 
nenhum dos dois participantes; neste ponto o lançador perde exatamente o 
que recebeu como prêmio. Como o prêmio é recebido no início da operação, 
estes R$110.000,00 deveriam ser corrigidos pelos juros para os 30 dias de 
operação. No gráfico 2, não foi feita esta correção do prêmio. Então, o ponto 
de equilíbrio seria o preço de exercício somado ao prêmio pago, isto é, 
2,40R$/US$ + 0,11R$/US$ = 2,51R$/US$.
A tabela 1 mostra os resultados possíveis da opção de compra europeia 
no dia do seu vencimento, considerando que o prêmio não é corrigido pela 
taxa de juros do período de 30 dias.
Tabela 1 - Resultados para o comprador da opção de compra de dólares
Taxa de câmbio 
(R$/US$) Exerce opção
Valor ganho 
(mil reais)
2,20 Não Nenhum
2,30 Não Nenhum
2,40 Não Nenhum
2,50 Sim 100
2,60 Sim 200
2,70 Sim 300
2,80 Sim 400
2,90 Sim 500
3,00 Sim 600
Para o lançador, os valores seriam iguais aos ganhos do comprador com 
o sinal trocado, ou seja, as perdas do lançador seriam iguais aos ganhos do 
comprador da opção, a menos do prêmio recebido no início da operação. 
Portanto, no cenário de taxa de câmbio a 3,00R$/US$, o lançador perderia 
R$600.000,00 menos R$110.000,00 recebidos como prêmio.
Exemplo de uso de opção de venda
Considere, agora, uma empresa que deseja adquirir uma opção de venda 
(put) de dólar. Ao conversar com seu banco, resolve comprar uma opção 
europeia de venda de dólar com preço de exercício de 2,30R$/US$ e venci-
Contratos e mercados de opções
141
mento em 60 dias. A opção cobre 1 milhão de dólares e o prêmio monta a 
R$90.000,00, para taxa de câmbio atual de 2,37R$/US$.
O lançador desta opção receberá R$90.000,00 e aguardará 30 dias para 
saber a decisão do comprador, a empresa.
No trigésimo dia após a compra, a opção chega ao seu vencimento e será 
exercida se a cotação estiver abaixo de 2,30R$/US$; e, em caso contrário, não 
será exercida.
Tracemos dois cenários para a data de vencimento da opção.
Cenário 1: a taxa de câmbio atinge 2,40R$/US$.
Cenário 2: a taxa de câmbio cai para 2,25R$/US$.
No primeiro cenário, não haveria exercício da opção e a empresa, se dese-
jasse, poderia vender seu milhão de dólares à cotação 2,40R$/US$no merca-
do de câmbio, e o vendedor da opção ficaria com os R$90.000,00 recebidos 
como prêmio no início da operação financeira.
Observa-se que o risco do lançador da opção de venda também é muito 
elevado, visto que, a princípio, seu limite de perdas estaria quando a taxa 
de câmbio se dirigisse a zero. Se a taxa de câmbio caísse para 2,00R$/US$, a 
perda dele seria de R$400.000,00 menos o prêmio recebido (R$90.000,00), 
e assim por diante. Qual a vantagem, então, para o lançador da opção? No-
vamente, o prêmio recebido. E, novamente, certamente que o prêmio rece-
bido deve estar dentro de um contexto de avaliação das perdas possíveis. 
No entanto, é possível que o lançador da opção esteja em uma situação que 
aufira ganhos com a valorização do real frente ao dólar, e se este for o caso, 
as possíveis perdas com a venda da put estariam sendo compensadas com 
os ganhos que teria com a valorização do real em sua outra posição.
No segundo cenário, haveria exercício da venda de dólares pela empresa, 
já que ela poderia vendê-los a 2,30R$/US$ para o lançador da opção, e no 
mercado de câmbio somente conseguiria 2,25R$/US$ pelos dólares ven-
didos. Quanto ao lançador, este estaria perdendo 50 mil reais, pois o dólar 
no mercado estaria sendo negociado a 2,25R$/US$, e ele seria obrigado a 
comprá-los a 2,30R$/US$, preço de exercício da put. Mas, o lançador recebeu 
90 mil reais no início da operação. Desse modo, ele ainda conseguiu ficar, em 
termos líquidos, com R$40.000,00.
142
Derivativos Financeiros
Pode-se traçar um gráfico, que ilustre os possíveis resultados no dia do 
vencimento do contrato, tanto para o comprador, quanto para o vendedor 
da opção de venda (put).
2,30
Pa
– 0,09 
Ganhos / Perdas 
O
 a
ut
or
.
Gráfico 3 – Resultados no vencimento de uma opção de venda.
Observa-se que para taxas de câmbio abaixo de 2,30R$/US$ o preço de 
exercício, a opção de venda será exercida, pois o comprador irá exercer seu 
direito de vender 1 milhão de dólares a 2,30R$/US$, taxa de câmbio acima 
da do mercado de câmbio; e quanto mais a cotação ficar abaixo do preço 
de exercício, mais o comprador da opção de venda ganhará, quase não ha-
vendo limites para estes ganhos, exceto pela capacidade de pagamento do 
lançador. O comprador perderia os 90 mil reais de prêmio (que seriam per-
didos mesmo sem haver exercício), que obviamente, ficaria para o vendedor 
da put. Sob a ótica deste último, já verificamos que suas perdas são limita-
das pela taxa de câmbio com cotação nula. Se a cotação estiver, no dia do 
vencimento, acima de 2,30R$/US$, não haverá exercício da opção de venda, 
pois o comprador dela poderia vender os dólares a cotações maiores do que 
2,30R$/US$ diretamente no mercado de câmbio. Nesta situação, o lança-
dor da opção de venda ficaria com o prêmio de 90 mil reais e não perderia 
nada.
Há um ponto de equilíbrio, no qual não há ganhos nem perdas para nenhum 
dos dois participantes; neste ponto o lançador perde exatamente o que rece-
beu como prêmio. Como o prêmio é recebido no início da operação, estes 90 
mil reais deveriam ser corrigidos pelos juros para os 30 dias de operação. No 
gráfico 1, não foi feita esta correção do prêmio. Na figura, então, o ponto de 
equilíbrio seria o preço de exercício diminuído do prêmio pago.
A tabela 2 mostra os resultados possíveis da opção de venda europeia no 
dia do seu vencimento.
Contratos e mercados de opções
143
Tabela 2 - Resultados para o comprador da opção de venda de dólares
Taxa de câmbio 
(R$/US$) Exerce opção 
Valor ganho 
 (mil reais)
2,00 Sim 300
2,10 Sim 200
2,20 Sim 100
2,30 Não Nenhum
2,40 Não Nenhum
2,50 Não Nenhum
2,60 Não Nenhum
2,70 Não Nenhum
2,80 Não Nenhum
Para o lançador, os valores seriam iguais aos ganhos do comprador com 
o sinal trocado, ou seja, as perdas do lançador seriam iguais aos ganhos do 
comprador da opção, a menos do prêmio recebido no início da operação. 
Portanto, no cenário de taxa de câmbio a 2,00R$/US$, o lançador perderia 
300 mil reais menos 90 mil reais recebidos como prêmio.
Fica claro, então, que a única perda possível para o comprador de uma 
opção de compra ou de venda é o prêmio pago. Enquanto que para o vende- 
dor de uma opção de compra ou de venda, as perdas são praticamente 
ilimitadas.
Neste exemplo, que acaba de ser apresentado, nada dissemos sobre a es-
tratégia do comprador das opções; ele pode estar simplesmente seguindo 
suas expectativas quanto aos movimentos do mercado de câmbio, e montan-
do posições especulativas. Mas, também poderia estar procurando proteção 
de suas posições físicas. Por exemplo, no caso do comprador da call, poderia 
ser um investidor (ou empresa) com obrigações em dólar, e, por isso, adquirin-
do opções de compra de dólares para compensar as perdas que teria no caso 
de ocorrer desvalorizações do real frente ao dólar. Se ocorrerem valorizações 
do real, ele já está sendo beneficiado quanto ao pagamento de suas dívidas 
em dólar. Haverá, neste cenário de valorização do real, é verdade, perda do 
prêmio pago, pois a opção não será exercida. Mas, deve-se considerar que o 
prêmio pago será sempre perdido, tanto no caso de haver exercício ou não.
Os resultados apresentados nos gráficos 2 e 3 podem ser apresentados 
por meio de equações matemáticas.
144
Derivativos Financeiros
Em uma opção de compra europeia, o resultado no vencimento seria 
dado por:
Máx [ Pa – Pe; 0] – c
Onde:
 Pa = o preço do ativo que da origem à opção;
 Pe = o preço de exercício da opção;
 c = o prêmio da call.
Vê-se que o resultado é sempre positivo ou nulo para o comprador 
da call, a menos do prêmio pago, pois se Pa > Pe, esta diferença será o 
ganho, e se a opção não for exercida, o valor a ser recebido é nulo, já que 
Pa ≤ Pe. Mas, c representa o prêmio pago e perdido, em ambos os caos, 
o que tornaria o resultado negativo no caso de não exercício da opção, e 
também no caso de exercício da opção, em que o ganho obtido seja infe-
rior ao valor do prêmio pago.
Já o lançador da opção de compra obterá seus resultados conforme a 
equação:
Máx [Pa – Pe; 0] + c = mim . [Pe – Pa; 0] + c
O sinal negativo reflete a posição inversa em relação ao comprador da 
call, ou seja, quando este último aufere ganhos, eles representam as perdas 
do lançador da opção; a este resultado somou-se o prêmio recebido pelo 
vendedor da call. A equação com a função máximo pode ser convertida 
na função mínimo, conforme apresentado. Se Pe > Pa, o valor da função 
mínimo será zero, e se Pe < Pa, o valor da função será o valor negativo Pe – 
Pa, que são os mesmo obtidos com a função máximo.
Considerando, agora, uma opção de venda, tem-se o seguinte resultado 
para o comprador da put:
Máx [Pe – Pa; 0] – c
Para o vendedor da put, chega-se a:
Máx [Pe – Pa; 0] + c = mim [Pa – Pe; 0] + c
Contratos e mercados de opções
145
Estas quatro equações equivalem aos gráficos (a, b, c, d).
Vejamos alguns exemplos de usos de opções de compra e de venda.
Exemplo de Proteção de Carteira de Ações
Considere um administrador de um fundo de ações que receia que o valor 
de sua carteira de ações caia sensivelmente. Para sua proteção, ele pode 
comprar opções de venda de índice Bovespa. Se ocorrer a queda de preços 
das ações de sua carteira, ele estará protegido com a put, pois irá exercê-
-la se o índice de mercado cair abaixo do preço de exercício dela. O preço 
de exercício da put pode ser escolhido em função de seu custo, o prêmio, 
e do nível de proteção desejado. Assim, se o índice atual de mercado é de 
40 000 pontos, ele poderia escolher um preço de exercício de 38 000 pontos 
ou ainda 36 000 pontos. A escolha dependeria docusto destas opções de 
venda, supondo que poderia suportar entre 5% a 10% de perdas, isto é, de 
40 000 a 38 000 pontos, ou de 40 000 a 36 000 pontos.
O administrador, então, resolve comprar uma opção de venda para pro-
teção de sua carteira.
Suponha, dadas as seguintes condições em relação à carteira do admi- 
nistrador:
(a) O beta da carteira é 1,10.
(b) O valor inicial da carteira é R$1 milhão de reais.
(c) O Ibovespa à vista é 40 000 pontos.
(d) O preço de exercício da put, a ser utilizado, é 38 000 pontos de Ibovespa.
(e) A opção é americana e vencerá em 45 dias.
(f ) Considere prêmio de R$20.000,00.
No vencimento da put, as condições observadas são:
O índice Bovespa se situa em 35 000 pontos.
O beta da carteira continua em 1,10.
146
Derivativos Financeiros
Resultados:
(1) Mudança de valor da carteira de ações: [(35.000/40.000) – 1] . 1,10 . 
R$1.000.000,00 = – R$137.500,00.
(2) Novo valor da carteira: {1 + [(35.000/40.000) – 1] . 1,10} . R$1.000.000,00 
= R$862.500,00.
(3) Ganho com exercício da opção de venda: (38.000 – 35.000) . 
R$1.000.000,00 . 1,10/40.000 = R$82.500,00.
(4) Resultado total: R$862.500,00 + R$82.500,00 = R$945.000,00.
Observações:
(a) Seriam usados 27,5 (= R$1.000.000,00 . 1,10/40.000) contratos de op-
ções para ajustar a posição com puts ao tamanho da carteira de ações. 
De acordo com a BM&F, a opção de venda é sobre o contrato futuro de 
Ibovespa, por isso, o cálculo do número de contratos, 27,5, como se 
fossem contratos futuros.
(b) Ocorreu uma perda de R$55.000,00 em relação ao valor inicial da 
carteira. Esta perda decorre da franquia utilizada no contrato de opção, 
isto é, o preço de exercício escolhido foi 38.000,00, deixando, portanto, 
o intervalo 40 000 – 38 000 pontos descobertos.
Ao considerarmos o prêmio, o resultado final seria R$925.000,00.
Além das opções de índices, pode-se também utilizar opções sobre 
ações. Por exemplo, considere um investidor que deseja adquirir ações da 
Petrobras daqui a 60 dias, mas está preocupado com possível subida do 
preço da ação; os recursos não estão disponíveis agora para a compra, e, 
assim, ele terá que aguardar estes dois meses. Então, ele resolve comprar 
opções de ações da Petrobras ao preço de exercício R$30,00/ação. Suponha 
que o preço atual seja R$27,00/ação e que o prêmio pago seja igual a 
1,5R$/ação. Obtenha os resultados para o investidor da compra das ações 
somada ao exercício ou não das opções.
No dia do vencimento das opções, o preço à vista da ação da Petro-
bras é R$32,00. Assim sendo, o investidor exercerá seu direito de compra 
Contratos e mercados de opções
147
e receberá como ganho decorrente desta opção o valor de R$2,00/ação. A 
compra das ações somará R$32,00 por ação. Então, o valor final pago pelo 
investidor será R$30,00/ação.
O gráfico 4 mostra os resultados possíveis para o investidor.
Gráfico 4 – Preço final da ação.
Pa
Preço
final
da
ação
R$31,50
(R$/ação)R$30,00
R$1,50
O
 a
ut
or
.
Observa-se que do preço de exercício, R$30,00/ação, para cima, o investi-
dor aufere ganhos que sobem linearmente e proporcionalmente à ascensão 
dos preços da ação da Petrobras. O prêmio pago, R$1,50/ação, representa 
a reta horizontal até o preço de exercício, e também o deslocamento para 
baixo da reta vertical em relação ao eixo das abscissas.
Pode-se também considerar o resultado geral na forma gráfica, ao se 
somar a compra das ações com os resultados obtidos com a opção de compra. 
O gráfico 5 ilustra este resultado geral. Observe que no eixo vertical, tem-se 
o preço final da ação, e não ganhos e perdas como aparece nas figuras que 
ilustram somente o resultado com a opção. Já, no eixo horizontal, a variável 
é a usual, ou seja, o preço do ativo no mercado.
148
Derivativos Financeiros
Gráfico 5 – Opção de compra sobre a ação da Petrobrás.
Pa
Ganhos / Perdas
(R$/ação)R$30,00
R$1,50
O
 a
ut
or
.
Pode-se verificar que:
Para qualquer preço de mercado da ação acima de R$30,00/ação o inves-
tidor pagará R$31,50/ação pelas ações, que é a soma do preço de exercício 
com o prêmio pago.
Para qualquer preço de mercado da ação abaixo de R$30,00 não haverá 
exercício da call e o preço final pago pelas ações será o preço de mercado 
somado ao prêmio pago.
A tabela 3 também mostra os resultados da estratégia do investidor.
Tabela 3 – Resultados da estratégia
Preço da ação 
(R$/ação) Exercício da call
Ganho com a opção 
(R$/ação)
Resultado final 
(R$/ação)
24,00 Não – R$1,50/ação R$25,50/ação
26,00 Não – R$1,50/ação R$27,50/ação
28,00 Não – R$1,50/ação R$29,50/ação
30,00 Não – R$1,50/ação R$31,50/ação
32,00 Sim +R$0,50/ação R$31,50/ação
34,00 Sim +R$2,50/ação R$31,50/ação
Contratos e mercados de opções
149
O teto máximo de dispêndio do investidor é R$31,50/ação; e o valor 
mínimo pago é o preço de mercado mais R$1,50/ação.
Exemplo de proteção de preço de café
Um produtor de café prevê colher sua produção em 45 dias, a partir de 
hoje, dia 16 de março 2009; e sua colheita estimada é de 20 mil sacas de café 
arábica. Esta produção será exportada em 23 de maio de 2009. Preocupado 
com possível queda do preço do café arábica, em geral, ele decide proteger 
o preço de sua produção usando contratos de opções, estabelecendo um 
preço mínimo por saca de US$130,00 (ver, com cotações na BM&F como ilus-
tração). E também deseja se proteger de possíveis valorizações do real frente 
ao dólar, usando, igualmente, contratos de opções. A taxa de câmbio mínima 
determinada é 2,35R$/US$.
O produtor dispõe das seguintes informações:
O prêmio de uma opção de venda de café, com vencimento em 23 de �
maio (data da exportação), e com preço de exercício US$130,00 por 
saca, é US$3,00 por saca.
O prêmio de uma opção de compra de café, com vencimento em 23 �
de maio (data da exportação), e com preço de exercício US$140,00 por 
saca, é US$4,00 por saca.
O prêmio de uma opção de venda de dólar, com vencimento em 23 de �
maio de 2009, e com preço de exercício 2,35R$/US$, é 0,08R$/US$.
O prêmio de uma opção de compra de dólar, com vencimento em 23 �
de maio de 2009, e com preço de exercício 2,35R$/US$, é 0,10R$/US$.
A cotação atual do dólar é 2,38R$/US$. �
O custo da produção em dólares é estimado em US$110,00/saca. �
Sabendo que o preço da saca de café em 23 de maio era US$128,50/saca, 
e que a taxa de câmbio real/dólar era 2,38R$/US$, obtenha:
a) A estratégia elaborada pelo produtor de café.
b) Os resultados das duas opções negociadas.
150
Derivativos Financeiros
c) O resultado total da exportação.
d) A margem de lucro da operação.
Respostas:
A estratégia consiste na compra de 200 opções de venda de café (cada (a) 
opção refere-se a 100 sacas na BM&FBovespa) ao preço de exercício 
US$130,00/saca, e, simultaneamente, na compra de opções de venda 
de dólar ao preço de exercício 2,35R$/US$. Estas opções terão venci-
mento em 23 de maio de 2009. Como o volume financeiro mínimo na 
venda do café é de US$2.600.000,00 (= 20 000 sacas . US$130/saca), 
usaremos este volume mínimo para dimensionar o hedging cambial.
A opção de venda de café, com preço de exercício US$130,00/saca, (b) 
será exercida, pois o preço de mercado em 23 de maio é US$128,50/
saca. O ganho obtido com o exercício desta opção é de US$1,50/
saca. A opção de venda de dólar com preço de exercício 2,35R$/US$ 
não será exercida porque a cotação de mercado no dia 23 de maio é 
2,38R$/US$.
Assim, os ganhos com as opções se resumem aos da opção de venda de 
café, US$1,50/saca, mas, foram pagos dois prêmios pelas duas opções:
Opção de café: US$3,00/saca, ou US$60.000,00 para vinte mil sacas, ou �
ainda, com a cotação atual do dólar, 2,38R$/US$, R$142.800,00;
Opção de dólar: 0,08R$/US$, ou R$208.000,00 (= 0,08R$/US$. �
US$2.600.000,00);Totalizando, portanto, R$350.800,00. �
Então, os resultados com as duas opções de venda seriam:
Ganhos com as opções = R$71.400,00 (= US$1,50/saca . 20.000 sacas . �
2,38R$/US$).
Perda com os prêmios = R$350.800,00. �
Resultado total com as opções = R$279.400,00. �
Resultado das exportações = 20 000 sacas . US$128,50/saca . 2,38R$/(c) 
US$= R$6.116.600,00
Contratos e mercados de opções
151
Resultado total da operação = R$6.116.600,00 – R$279.400,00 = (d) 
R$5.837.200,00, ou R$291,86/saca, ou ainda US$122,63/saca.
Margem de lucro = US$122,63/saca – US$110,00/saca = US$12,63/ (e) 
saca.
Ampliando seus conhecimentos
A companhia Vale executou diversas operações com opções durante o ano 
2008, conforme podemos verificar em seu balanço.
Do balanço da Vale, temos o trecho a seguir:
Instrumentos Financeiros – Derivativos
Política de gestão de risco
A Vale entende que o gerenciamento de risco é fundamental para apoiar 
sua estratégia de crescimento e flexibilidade financeira. Em decorrência desse 
objetivo, o Conselho de Administração estabeleceu uma política de gestão de 
risco corporativo e um comitê de gerenciamento de risco.
A política de gestão de risco determina que a Vale irá avaliar o risco de fluxo 
de caixa regularmente e todas as propostas de mitigação de risco, quando 
necessárias, serão feitas com o objetivo de reduzir a volatilidade do fluxo de 
caixa. Esta política proíbe operações especulativas e requer diversificação 
de operações e contrapartes. Monitoramos e avaliamos regularmente nossa 
posição consolidada de forma a acompanhar os resultados financeiros e o 
impacto em nosso fluxo de caixa, bem como, para garantir que os objetivos 
inicialmente traçados sejam atingidos. Reconhecemos todas as operações de 
derivativos em nosso balanço de acordo com o valor de mercado; e os ganhos, 
ou perdas, são devidamente contabilizados no resultado do período.
Considerando a natureza dos negócios e operações da Vale, os principais 
fatores de risco de mercado aos quais estamos expostos são:
152
Derivativos Financeiros
 Taxas de juros; �
 Taxas de câmbio; �
 Preços de produtos. �
As operações de derivativos são realizadas com instituições financeiras de 
primeira linha e a Vale avalia os limites e as exposições ao risco de crédito de 
suas contrapartes regularmente.
Destacamos, aqui, operações com alumínio, cobre e ouro. Com estes três 
produtos, a Vale contratou operações com opções de compra (call) e com 
opções de venda (put), conforme informações a seguir, extraídas também do 
seu balanço.
Alumínio - com o objetivo de reduzir a volatilidade do fluxo de caixa no 
momento da aquisição da Inco, em função do endividamento adicional in-
corrido, a Vale realizou operações de hedge de alumínio e cobre. No caso do 
alumínio, as operações são apresentadas abaixo:
Nominal Nominal Valor justo Valor justo
Recebimentos 
(Pagamentos) 
Acumulados até
Valor justo por 
vencimento
30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 2008 2009
Alumínio Ton Ton
(Não revisado)
Forward 12.000 177.000 (2.113) 283 (2.113)
Put 88.500 177.000 1.266 (141.119) (239.458) (146.222) 1.266
Call 88.500 24.000 (8.079) (27.720) (8.079)
Outros 
instrumentos 16.500 33.000 (30.443) (79.379) (30.444)
(39.369) (247.935)
Níquel - a empresa tem negociados alguns contratos futuros de compra 
na Bolsa de Metais de Londres (LME), com o objetivo de manter sua exposição 
às flutuações dos preços do níquel, tendo em vista que, em alguns casos, o 
produto é vendido a preço fixo. A fixação do preço nestes contratos é conta- 
bilizada como um derivativo embutido e seu valor de mercado em 30 de 
setembro era de R$132,6 milhões. A Vale também participa de contratos fu-
Contratos e mercados de opções
153
turos de venda na LME para minimizar o risco de descasamento entre o custo 
de produtos intermediários e o preço de produtos acabados.
Nominal Nominal Valor justo Valor justo
Recebimentos 
(Pagamentos) 
Acumulados até Valor justo por vencimento
30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 2008 2008 2009 2010 2011
Níquel Ton Ton
(Não revisado)
Futuros 6.900 6.702 (118.503) (57.364) (13.724) (43.264) (67.199) (8.040) -
Cobre - como já mencionado, em 2006 a Vale realizou operações de hedge 
de cobre de forma a reduzir a volatilidade do fluxo de caixa no momento da 
aquisição da Inco. Por outro lado, uma parte da posição total foi feita original-
mente pela então Inco, antes de sua aquisição pela Vale.
Nominal Nominal Valor justo Valor justo
Recebimentos 
(Pagamentos) 
Acumulados até
Valor justo por 
vencimento
30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 2008 2009
Cobre Ton Ton
Put 19.500 39.000 6.591 465 - - 6.591
Call 19.500 39.000 (1.179) (42.989) (18.075) (12.984) (1.179)
5.412 (42.524)
Vale INCO
Nominal Nominal Valor justo Valor justo
Recebimentos 
(Pagamentos) 
Acumulados até Valor justo por vencimento
30/09/2008 30/06/2008 30/09/2008 30/06/2008 2008 2008 2009 2010 2011
Cobre Ton Ton
(Não revisado)
Termo (170) (159) 294 (24) (96) 294 - -
Opções
Compra de 
put 2.499 4.996 - - - - -
Collar 6.048 24.192 (83.125) (219.423) (321.514) (83.125) - -
(82.831) (219.447) 321.610
(Disponível em: <www.vale.com/vale/media/irt_vsgaap_2t09.pdf>. 
Acesso em: 30 jun. 2009.)
154
Derivativos Financeiros
Atividades de aplicação
1. Quais são as diferenças entre contratos de opções e contratos futuros?
2. Pelas equações abaixo se pode verificar que o valor de uma opção de 
compra ou de venda pode ser negativo?
 - máx [Pa – Pe; O] + c = mim [Pe – Pa; O] + c
 máx [Pe – Pa; O] – c
3. No exemplo de proteção de carteira, o que aconteceria se a opção 
escolhida fosse a de preço de exercício (página 149) R$36.000? Consi-
dere o valor do prêmio como sendo R$10.000,00.
4. Se o investidor que deseja comprar ações da Petrobras, daqui a 60 
dias, analisasse comprar uma opção de compra com preço de exer-
cício mais elevado, digamos R$32,00/ação, esta opção teria prêmio 
maior ou menor do que a que foi utilizada? E de preço de exercício 
R$30,00/ação? Quais os novos resultados?
5. Considere que no exemplo de proteção de preços do café, a taxa de 
câmbio, na data da exportação, se encontre em 2,30R$/US$. Quais as 
alterações nos resultados?
6. Que opções o produtor poderia vender se quisesse receber prêmios 
para compensar parcialmente, ou totalmente, o valor R$350.800,00 
pago pela compra das duas opções de venda?
Contratos e mercados de opções
155
Anexo 1
Café arábica (Contrato = 100 sacas; cotação = US$/60Kg)
Mercado Vecto. C/V
Preço
Exerc.
Preço de 
abertura
Preço 
mínimo
Preço 
máximo
Preço 
médio
Último 
preço
Últ. Of. 
compra
Últ. Of. 
venda
FUT H09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
FUT K09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 121,50
FUT N09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
FUT U09 0,00 129,20 129,00 131,40 130,30 130,60 130,50 130,80
FUT Z09 0,00 134,00 134,00 135,00 134,50 135,00 0,00 0,00
OPF N9I4 C 140,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF N9I7 C 165,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9I1 C 160,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9I3 C 170,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9I8 C 200,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9IF C 250,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9IS C 300,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF Z9I4 C 200,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9MT V 110,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9MG V 120,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9MJ V 130,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9MK V 135,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9ML V 140,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9MM V 145,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00
OPF U9M0 V 150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9M1 V 160,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9M4 V 175,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
OPF U9M5 V 180,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
* Data: 16 de março de 2009 às 14:34hs.
Estratégias com opções
Introdução
São várias as estratégias que podemos montar comprando ou venden-
do opções de compra e opções de venda, das mais conservadoras às mais 
agressivas. São apresentadas diversas estratégias que combinam opções de 
compra (calls), ou combinam opções de venda (puts), ou ainda combinam 
ambas, calls e puts.
1.ª estratégia – spread de alta ou trava de alta
Esta é uma estratégia com opções bastante populares, e consiste na 
compra de uma opção de compra e venda e de outra opção de compra, 
ambas sobre o mesmo ativo e com a mesma data de vencimento. A diferen-
ça entre elas está no preço de exercício; sendo a call comprada, a de menor 
preço de exercício, e, portanto com prêmio maior, e, a call vendida, a de 
maior preço de exercício.
Resumindo a estratégia spread de alta, tem-se:
Opção Call 1 Call 2
Preço de Exercício Pe1 Pe2
Prêmio c1 c2
Com Pe1 < Pe2 e c1 > c2.
O gráfico 1 mostra o gráfico resultante desta estratégia no dia de seu ven-
cimento – Spread de Alta.
158
Derivativos Financeiros
Pe1 Pe2 Pa
Preço de exercício 
da opção de compra 
vendida
Preço de exercício 
da opção de compra 
comprada
Prêmio 
líquido (c1 - c2)
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 1 – Spread de Alta.
Se o preço do ativo for menor do que Pe1, no dia do vencimento das 
opções, nenhuma opção de compra será exercida, e o comprador do spread 
de alta (comprador da opção 1 e vendedor da opção 2) perderá o prêmio 
líquido pago, que é c1 – c2.
Se o preço do ativo for maior do que Pe1, o comprador do spread exerce 
a opção 1 e seus ganhos aumentam proporcionalmente aos aumentos do 
preço do ativo até que este alcance Pe2.
Se o preço do ativo for maior do que Pe2, a segunda opção passa a ser 
exercida, mas agora pelo comprador da opção 2, e o comprador do spread, 
por estar vendido na opção 2, passa a perder em proporção aos aumentos 
do preço do ativo; mas esta perda é compensada pelo ganho adicional que 
ele continua a obter com a opção 1. Isto faz com que não haja nem ganho 
nem perda adicional para o comprador do spread, a partir de preços do ativo 
maiores do que Pe2.
Portanto, Pe2 é o ponto de máximo ganho para o comprador de spread 
de alta.
A estratégia spread de alta é apropriada para altas moderadas no preço 
do ativo. E de preferência para ativo com preço bem próximo de Pe2. Se a 
Estratégias com opções
159
expectativa do investidor for de forte alta do mercado, seria lógico comprar 
somente a opção1, sem a venda da opção 2, ou seja, seria preferível adotar 
a estratégia compra de opção 1 pura, embora o custo do spread de alta, 
c1 – c2, seja certamente menor do que o da simples compra da opção 1, c1.
Suponhamos que um investidor monte um spread de alta com dólares. 
Uma opção de compra com preço de exercício 2,40R$/US$ será considera-
da a opção 1 do spread de alta. Suponha que a opção de compra 2 tenha 
preço de exercício de 2,50R$/US$. Considere os prêmios iguais a R$0,05/US$ 
e R$0,04R$/US$, respectivamente, para as opções de preços de exercício 
2.40 R$/US$ e 2,50R$/US$. Nesse caso, os ganhos estariam entre 2,40R$/US$ 
e 2,50R$/US$, e o ponto de ganho máximo para o investidor em 2,50 R$/
US$, conforme visto no gráfico 2, que representa os resultados no dia do 
vencimento das opções.
Ganhos / Perdas 
2,40 2,50
0,01
Pa
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Resultados no dia do vencimento das opções.
Se a expectativa do investidor for de alta moderada da taxa de câmbio, 
ficando entre 2,40R$/US$ e 2,50R$/US$, e, mais provavelmente perto de 
2,50R$/US$, a estratégia spread de alta seria mais adequada do que a compra 
simples de uma opção de compra com preço de exercício 2,40R$/US$.
2.ª estratégia – straddle
Esta estratégia envolve a compra de uma opção de compra e a compra 
de uma opção de venda, ambas com o mesmo preço de exercício e a mesma 
data de vencimento. Os prêmios são dados por c e p, sendo, c ≠ p.
A opção de compra será exercida no seu vencimento se o preço do ativo, 
subjacente às opções, estiver com cotação superior ao preço de exercício, Pe; 
160
Derivativos Financeiros
enquanto que a opção de venda será exercida quando o preço do mesmo 
ativo estiver abaixo do preço de exercício, Pe.
Tem-se, então, que os ganhos nesta estratégia ocorrem quando o preço 
do ativo for maior do que o preço de exercício e também quando for menor 
do que o mesmo preço de exercício; o que refletiria ganhos para qualquer 
valor do ativo-objeto da opção, exceto se igual ao preço de exercício, Pe. Na 
realidade, os ganhos líquidos, isto é, após os gastos com os prêmios, que 
nesta estratégia não são reduzidos, pois as duas opções são compradas, 
devem ser apurados da seguinte forma:
Ganhos líquidos no straddle:
Pa – Pe – (c + p), para Pa > Pe.(a) 
Pe – Pa – (c + p), para Pa < Pe.(b) 
Gráfico 3 – Ganhos e perdas com o straddle na data de vencimento.
Pa
Prêmios = 
(c + p)
Pe
Pe – (c + p) Pe + (c + p)
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 3 – Straddle.
Observa-se que a estratégia straddle é adequada para mercados com 
muita oscilação, pois haverá mais ganhos quanto mais o mercado oscilar, 
para cima ou para baixo, com intensidade; pequenas oscilações não permi-
Estratégias com opções
161
tem recuperar os prêmios pagos, e, por isso, não geram ganhos. A forma do 
straddle é um “V”. O termo straddle significa de pernas bem abertas.
O straddle é especialmente adequado a momentos de fortes incerte-
zas políticas que possam provocar subidas ou descidas acentuadas dos 
preços no mercado de ações, de taxas de câmbio, taxas de juros, preços de 
commodities etc. Na eleição presidencial de 1994, a disputa entre FHC e Lula 
foi associada à estratégia straddle, sendo a região de alta dos preços das ações 
identificada como região de vitória de FHC, e a região de baixa nos preços das 
ações identificada como região de vitória de Lula. Ou seja, qualquer resultado 
geraria ganhos para o comprador de um straddle, desde que o mercado osci-
lasse intensamente; o que é exatamente o objetivo desta estratégia.
Considere, agora, um investidor com posição vendida em um straddle. 
Ela seria uma posição de risco elevado, já que o investidor estaria ao mesmo 
tempo vendendo uma opção de compra com preço de exercício Pe, e ven-
dendo uma opção de venda com o mesmo preço de exercício. Ele, certamen-
te, receberia dois prêmios pelas duas vendas de opções, mas estaria sujeito a 
perdas que poderiam ser muito elevadas, na verdade, praticamente ilimitadas, 
se o mercado subisse ou descesse com muito vigor. A posição vendida em um 
straddle pode ser vista (pela linha pontilhada) no gráfico 4. A área de ganhos 
fica limitada à área hachurada. O “V” do straddle é agora invertido.
Um exemplo de uso da estratégia straddle é o ocorrido no início de 1995, 
com a venda de um straddle pelo funcionário do antigo banco Barings, Ni-
cholas Leeson; ele vendeu o straddle usando opções de compra e de venda 
sobre índices futuros de mercado de ações do Japão; sendo seu objetivo re-
ceber o prêmio desta posição e tentar utilizá-lo para cobrir outras perdas no 
mercado de derivativos. O resultado dessa estratégia arriscada foi a perda de 
quantias consideráveis, devido ao exercício da opção de venda com a queda 
do índice da bolsa de ações do Japão; a queda se deu com um terremoto em 
Kobe no Japão. Estas perdas, somadas às perdas já acumuladas com opera-
ções especulativas com contratos futuros de índices de bolsas de ações no 
Japão e em Cingapura,levaram à falência do banco, o qual foi posteriormen-
te vendido ao banco ING por uma libra esterlina.
No exemplo anterior, com taxa de câmbio, haveria compra de uma opção 
de compra, por exemplo, com preço de exercício 2,40R$/US$, e compra de 
uma opção de venda com o mesmo preço de exercício. Os prêmios da call e 
da put seriam, respectivamente, 0,07R$/US$ e 0,05R$/US$.
162
Derivativos Financeiros
Conforme pode ser visto no gráfico 4, que representa os resultados no 
dia do vencimento das opções, a região hachurada, taxas de câmbio entre 
2,28R$/US$ e 2,52R$/US$, representa a faixa de perdas com o straddle. Para 
valores acima destes limites, haveria ganho líquido para o titular da posição. 
Por outro lado, o vendedor do straddle obteria resultados líquidos positivos 
quando a taxa de câmbio ficasse exatamente dentro do intervalo 2,28R$/
US$ e 2,52R$/US$.
Pa
0,12
Pe = 2,40
2,28
Ganhos/Perdas
2,52
O
 a
ut
or
.
Gráfico 4 – Straddle com taxa de câmbio.
3.ª Estratégia – strangle
O strangle é uma variante do straddle, pois também envolve compra de 
opção de compra e compra de opção de venda, ambas com as mesma datas 
de vencimento. Mas aqui os preços de exercícios são diferentes, Pe1 e Pe2, res-
pectivamente, da put e da call, com Pe1 < Pe2. Os prêmios são dados por c e p, 
levando ao valor final c + p. Estes prêmios são menores do que os do straddle, 
visto que o Pe2 é maior do que o Pe da call do straddle, e Pe1 é menor do que 
o Pe da put do straddle. O direito de comprar um ativo a um preço de exercí-
cio mais baixo é mais caro do que o direito de comprar um ativo com preço 
de exercício mais alto, considerando tudo mais igual. Por exemplo, o direito 
de comprar dólares a 2,40R$/US$ é mais caro do que o direito de comprar 
dólares a 2,50R$/US$. Também vale o mesmo raciocínio para uma opção de 
venda, ou seja, o direito de vender um ativo a um preço mais elevado é mais 
Estratégias com opções
163
caro do que o direito de vender um ativo a preços mais baixos, considerando 
tudo mais igual.
Strangle significa reprimir, estrangular ou dominar.
Tem-se, então, que os resultados finais no dia do vencimento das opções 
geram ganhos somente quando o preço do ativo, que da origem às opções, 
estiver ou acima de Pe1, ou abaixo de Pe1. Na verdade, ou acima de Pe2 + (c + 
p), ou abaixo de Pe1 – (c + p). E as perdas ficarão dentro do intervalo Pe1 – (c 
+ p); Pe2 + (c + p). Estes resultados são apresentados no gráfico 5.
Ganhos/Perdas
Pe1 Pe2 Pa
Prêmio = 
(c + p)
Pe1 – (c + p) Pe2 – (c + p)
O
 a
ut
or
.
Gráfico 5 – Strangle.
No strangle, o titular da posição necessita de mercados mais voláteis do 
que na estratégia straddle, para que ocorram ganhos financeiros, já que os 
preços de exercícios são diferentes, e por isso criam uma base horizontal 
entre eles.
Fazendo uso da estratégia strangle, no exemplo da taxa de câmbio 
R$/US$, poder-se-ia ter, por exemplo, Pe1 = R$2,35/US$ e Pe2 = R$2,45/US$, e 
prêmios, c = 0,05R$/US$ e p = 0,04R$/US$.
Sob estas condições, tem-se:
 Pe1 – (c + p) = 2,35 – (0,05 + 0,04) = 2,26R$/US$,
164
Derivativos Financeiros
e,
 Pe2 + (c + p) = 2,45 + (0,05 + 0,04) = 2,54R$/US$.
Então, entre 2,26R$/US$ e 2,54R$/US$ não haveria ganhos financeiros para 
o titular do strangle, porém, para valores acima de 2,54R$/US$ e abaixo de 
2,26R$/US$, o titular da posição obteria resultados positivos na estratégia.
Comparando com o uso da estratégia straddle, no qual os ganhos para 
o titular da posição ocorreriam na faixa de taxas de câmbio 2,28R$/US$ e 
2,52R$/US$, o strangle exigiria flutuações mais acentuadas para que este 
ganho surgisse; e a compensação por esta necessidade de maior flutuação 
está no menor prêmio pago.
O gráfico 6 permite a visualização da comparação entre as duas estraté-
gias, em termos de ganhos líquidos e pontos de equilíbrio.
Pa (R$/$)
R$0,09
Ganhos/Perdas
R$2,26 R$2,54
O
 a
ut
or
.
Gráfico 6 – Strangle com taxa de câmbio.
R$2,45R$2,35
Estratégias com opções
165
4.ª estratégia – financiamento (covered call)
A estratégia financiamento compreende a compra do ativo e a venda de 
uma opção de compra deste ativo. O valor pago no início é a diferença entre 
o preço do ativo e o prêmio recebido na venda da opção de compra.
Se no vencimento da opção, o preço do ativo ultrapassar o preço de exer-
cício da opção, esta será exercida pelo titular da opção; e o investidor (lança-
dor da opção de compra), com a estratégia financiamento, receberá o preço 
de exercício da opção. Ele, então, pagou o preço do ativo no início da opera-
ção, recebeu o prêmio da opção vendida, também no início da estratégia, e 
no final receberia o preço de exercício no caso de haver o exercício da opção 
pelo titular dela.
Esta estratégia caracteriza um financiamento por ter como objetivo obter 
uma taxa de retorno maior do que a de mercado. Mas, como a operação en-
volve o risco do preço do ativo cair, e a opção não ser exercida, o retorno da 
estratégia poderá ficar negativo.
A taxa de retorno a ser obtida é dada por:
(a) Se o preço do ativo for igual ou maior do que o preço de exercício 
(Pa ≥ Pe):
 Taxa de retorno (no período) = [{Pe/(Pa,0 – c)} – 1] . 100
Onde, Pa,0 representa o preço do ativo no início da estratégia.
Esta taxa de retorno seria a máxima possível a ser obtida pelo investidor.
(b) Se o preço do ativo for menor do que o preço de exercício (Pa < Pe):
 Taxa de retorno (no período) = [{Pa/(Pa,0 – c)} – 1] . 100
Esta taxa de retorno poderia ser negativa se o preço do ativo fosse menor 
do que a diferença inicial entre o preço do ativo e o prêmio da opção.
O gráfico 7 apresenta os resultados possíveis da estratégia financiamento 
em sua data de vencimento.
166
Derivativos Financeiros
Ganhos/Perdas
Pa
Pe
Prêmio = c
O
 a
ut
or
.
Gráfico 7 – Financiamento.
Observa-se que subidas de preço do ativo, acima do preço de exercício, 
levam ao exercício da call, e, portanto, o investidor receberia a máxima taxa 
de retorno considerada acima. No entanto, se o preço do ativo ultrapassar o 
preço de exercício por uma diferença maior do que o prêmio recebido pelo 
investidor, teria sido melhor para este investidor não ter vendido a opção de 
compra no início da estratégia, já que se beneficiaria da subida de preço do 
ativo sem ter que vendê-lo ao preço de exercício da opção.
Se o preço do ativo ficar abaixo do preço de exercício da opção, a opção 
não será exercida pelo seu titular e o investidor receberia o preço do ativo se 
vendê-lo. Se o preço final do ativo for menor do que a diferença entre o preço 
inicial do ativo e o prêmio recebido, o investidor terá retornos negativos. Se o 
preço final do ativo for maior do que esta diferença, o investidor obterá uma 
taxa positiva, porém, menor do que a taxa máxima de retorno.
Portanto, a partir dos dois resultados acima, conclui-se que o melhor 
ponto para este investidor ocorre quando o preço de mercado do ativo alcan-
ça, no vencimento da opção, o preço de exercício desta opção. Neste ponto, 
o investidor recebe a máxima taxa de retorno. A taxa máxima de retorno 
também seria recebida pelo investidor para qualquer preço do ativo acima 
do preço de exercício, mas, como observado, o investidor estaria melhor se 
não tivesse vendido a opção de compra.
Vejamos um exemplo. Considere as seguintes opções de compra de ações 
da Petrobras disponíveis para negociação na tabela 1.
Estratégias com opções
167
Tabela 1 – Opções de compra disponíveis
Pe (R$) Prêmio (R$) Vencimento (dias)
Opção 1 28,00 1,50 30
Opção 2 30,00 1,20 60
Opção 3 32,00 1,00 90
Um investidor analisa os financiamentos possíveis a partir destas opções 
de compra. O preço atual da ação da Petrobrás é R$27,00.
Os resultados possíveis em estratégiasde financiamentos, caso as opções 
fossem exercidas, seriam os apresentados na tabela 2.
Tabela 2 – Resultados com a estratégia
Pe (R$) Taxa de Retorno (%)
Opção 1 28,00 [{28/(27,00 – 1,50} – 1] . 100 = 9,80
Opção 2 30,00 [{30/(27,00 – 1,20} – 1] . 100 = 16,28
Opção 3 32,00 [{32/(27,00 – 1,00} –1] . 100 = 23,08
A taxa de retorno é dada por: [{Pe/(Pa – c)} – 1] . 100.
Se as opções não forem exercidas, com o preço final da ação da Petrobras 
igual a R$26,00, os resultados seriam os seguintes:
Pe (R$) Taxa de Retorno (%)
Opção 1 28,00 [{26/(27,00 – 1,50} – 1] . 100 = 1,96
Opção 2 30,00 [{26/(27,00 – 1,20} – 1] . 100 = 0,775
Opção 3 32,00 [{26/(27,00 – 1,00} – 1] . 100 = 0,00
E, com o preço final da ação da Petrobras igual a R$24,00, os resultados 
seriam os seguintes:
Pe (R$) Taxa de Retorno (%)
Opção 1 28,00 [{24/(27,00 – 1,50} – 1] . 100 = – 5,88
Opção 2 30,00 [{24/(27,00 – 1,20} – 1] . 100 = – 6,98
Opção 3 32,00 [{24/(27,00 – 1,00} – 1] . 100 = – 7,69
168
Derivativos Financeiros
Nestes dois últimos casos, os retornos obtidos ressaltam não somente o 
risco da operação, mas também que esta estratégia não deve ser escolhida 
quando o investidor espera possíveis quedas significativas no preço do ativo.
Mas, por outro lado, deve-se observar também que quando ocorrem 
quedas no preço do ativo o prêmio fica na mão do investidor e, portanto, 
diminuiria a perda que ele teria se mantivesse em carteira somente o ativo, 
isto é, se não fizesse a venda da opção de compra.
No entanto, diante de expectativas de quedas significativas do preço do 
ativo, dever-se-ia optar pela estratégia chamada protective put. Esta é a estra-
tégia que vem a seguir.
5.ª estratégia – put de proteção (protective put)
A estratégia protective put consiste na simples compra de uma opção de 
venda para proteção de um ativo, por exemplo, uma carteira de ações. Ela 
funciona, portanto, de modo muito parecido com uma apólice de seguro. Ao 
pagar o prêmio da opção, o investidor adquire o direito de vender seu ativo 
pelo preço de exercício da opção contratada. Isto garante um piso para o valor 
do ativo, independentemente da queda que possa ocorrer no preço dele.
Pex – prêmio
Pa
ativo
Ganhos/Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 8 – Put de proteção.
Pex 
O gráfico 8 apresenta os resultados possíveis na estratégia put de prote-
ção em sua data de vencimento. Nela, são mostradas a posição com o ativo 
(linha pontilhada), que podemos supor que se trata de uma carteira de ações, 
e a compra da put para protegê-la. A partir do preço de exercício para baixo, 
Estratégias com opções
169
tem-se uma reta horizontal que representa a fixação de um valor mínimo 
para a carteira, o seu piso, que decorre do exercício da put e sua consequen-
te neutralização das perdas com a carteira de ações em queda. Do preço de 
exercício para cima, a carteira possui o valor de mercado dela a menos do 
prêmio pago pela compra da put.
A perda máxima nesta estratégia se resume à soma do prêmio pago com 
a diferença entre o preço atual do ativo no mercado e o preço de exercício 
escolhido para a opção de venda, diferença que pode ser vista como um 
tipo de franquia em um seguro comum. Quanto mais baixo for o preço de 
exercício da opção (para determinado preço de mercado do ativo), menor 
será o prêmio pago por ela; porém, também maior será a diferença entre o 
preço atual do ativo no mercado e o preço de exercício. Portanto, a redução 
do prêmio pago aumenta o valor da franquia.
Dessa forma, a escolha do preço de exercício deve levar em conta esta 
forma de compensação. Se a proteção for plena, ou seja, com o preço de 
exercício igual ao preço atual do ativo, que seria caracterizada como uma 
opção at-the-money, o prêmio será mais, ou bem mais, elevado do que o 
prêmio na escolha de um preço de exercício abaixo de preço atual de merca-
do, que caracterizaria uma opção out-of-the-money.
Como exemplo, considere o administrador de um fundo de pensão que 
queira proteger sua carteira de ações contra quedas no Índice Bovespa. Su-
ponha que o índice atual seja igual a 40 000 pontos. Ao analisar as opções 
de venda existentes na tabela 3, o administrador escolha a opção 2, por ser 
20% mais barata do que a opção 1, e representar uma perda de somente 5% 
(exceto o prêmio) em relação ao índice atual. A opção 3 seria descartada por 
ele, por estar com preço de exercício 10% abaixo do valor atual do índice 
Bovespa no mercado, um tanto out-of-the-money.
Tabela 3 – Opções de venda disponíveis
Pe (pontos) Prêmio (R$) Vencimento (meses)
Opção 1 40 000 p1 3
Opção 2 38 000 0,8p1 3
Opção 3 36 000 0,6p1 3
170
Derivativos Financeiros
Se o índice Bovespa cair para 36 000 pontos, após 3 meses, a carteira do 
fundo valera 38 000 pontos, pois a opção de venda será exercida; isto sem 
considerar o prêmio pago, 0,8 p1.
No gráfico 8, o valor Pex – prêmio seria igual a 38.000 – 0,8p1.
O administrador pode, também, se desejar, vender sua opção no mer-
cado ao longo destes 3 meses. Suponha que a Bolsa de Valores caia para 
36 000 pontos ao longo de 2 meses. Esta queda irá aumentar o valor do 
prêmio da opção que ele adquiriu no início da estratégia. (Embora o tempo 
de vencimento da opção tenha sido reduzido para 1 mês, o que faz com que 
o prêmio da opção seja reduzido, o efeito da forte redução do preço no mer-
cado deverá ter um efeito positivo, aumentando o prêmio da opção, superior 
ao efeito negativo do tempo de vencimento). O investidor, então, se tiver 
expectativas robustas de subida da Bolsa no próximo mês, o último mês da 
opção de venda, poderá decidir, após considerar cautelosamente seus riscos, 
vender esta opção no mercado por um preço maior do que 0,8p1, obtendo, 
assim, um ganho com a protective put. Mas, é claro que o investidor ficaria 
sem proteção contra possíveis quedas subsequentes, nos índices do merca-
do de ações, durante o último mês da vigência do contrato de opção.
O Apêndice neste capítulo apresenta o caso de venda de puts no merca-
do brasileiro realizada pelo BNDES em 1997, durante a crise da Ásia. O BNDES 
vendeu opções de venda de ações da Telebrás, então, a ação mais negociada 
na Bovespa e, por isso, com razoável representatividade no Ibovespa. Esta ação 
do BNDES teve como objetivo acalmar o mercado de ações, então em queda, 
colocando, com esta protective put à venda, um piso de perdas nos preços da 
ação mais negociada na Bovespa. O investidor que adquirisse esta opção teria 
estabelecido um piso no valor de sua carteira de ações, (supondo que nela a 
ação da Telebrás tivesse uma participação significativa), piso este que seria 
dado pelo preço de exercício da put lançada pelo BNDES. O preço de exercício 
ficou em R$132,00/lote. 
6.ª estratégia – spread borboleta (butterfly)
A estratégia spread borboleta pode ser montada com três opções de 
compra diferentes. Suponha que as opções na tabela 4 sejam as escolhidas 
para a montagem da estratégia.
Estratégias com opções
171
Tabela 4 – Spread borboleta
Pe (pontos) Prêmio (R$) Vencimento (meses)
Opção 1 50 4,0 2
Opção 2 55 2,5 2
Opção 3 60 1,5 2
Para se estruturar o spread borboleta compra-se uma opção 1, vende-se 
duas opções 2, e compra-se uma opção 3. Também podem ser utilizadas 
opções de venda para criar o spread borboleta. A montagem desta combina-
ção de opções leva ao gráfico 9.
50
0,5
55 60
Ganhos/Perdas
Pa
O
 a
ut
or
.
Gráfico 9 – Spread borboleta.
Para preços de mercado entre 0 e 50, nenhuma opção é exercida; entre 50 
e 55, a 1.ª opção de compra é exercida e gera ganhos para o investidor titular 
da borboleta; entre 55 e 60, as duas opções vendidas pelo investidor serão 
exercidas pelo titular delas (lembrando que o lançador destas duas opções é 
o titular da borboleta) e trarão perdas para o investidor; e, finalmente,acima 
de 60, todas as opções estarão sendo exercidas e os ganhos e as perdas se 
anularão, já que o investidor está comprado em duas opções de compra e 
está vendido em duas opções de compra.
172
Derivativos Financeiros
Observa-se que esta estratégia é adequada a mercados com pouca vo-
latilidade, e, de preferência com preços esperados no centro da figura, isto 
é, 55, pois, aí está o ganho máximo. O pagamento do prêmio é reduzido em 
função de duas compras e duas vendas de opções de compra. O valor líquido 
do prêmio deve ser positivo, pois, o prêmio de uma opção é uma função con-
vexa do aumento do preço de exercício. Isto significa que o preço da opção 
de compra vendida, aquela com preço de exercício 55, deve ser menor do 
que a média entre os prêmios das opções de compra com preços de exer-
cícios 50 e 60. No exemplo apresentado, (4,0 + 1,5)/2 = 5,50/2 = 2,75, que é 
maior do que 2,50. Então, o prêmio líquido é igual a 5,5 – 2 . 2,50 = 0,5, con-
forme ilustrado no gráfico 9.
Portanto, a perda com prêmio na estratégia borboleta é pequena justa-
mente pela junção de duas compras e duas vendas de opções de compra.
A forma da figura que representa a estratégia borboleta lembra um “v” in-
vertido e, portanto, semelhante à figura da venda de um straddle, também um 
“v” invertido. No entanto, a diferença entre as duas estratégias é muito mar-
cante. Embora a estratégia borboleta seja apropriada para mercados pouco 
voláteis e a estratégia venda de straddle também seja adequada a este tipo 
de mercado, a compra de borboleta apresenta risco baixo, já que sua perda 
máxima é dada pelo pequeno prêmio líquido pago, enquanto que a venda de 
um straddle apresenta perdas ilimitadas (lembre do caso do banco Barings). 
O risco, portanto, nessas duas estratégias são radicalmente opostos.
Como exemplo, suponhamos que um administrador de recursos especia-
lizado em diversas commodities esteja prevendo que o preço do petróleo no 
mercado internacional deve ficar próximo a US$40/barril nos próximos 30 
dias. O preço atual do petróleo é US$39,00/barril. Considere que as opções 
representem um volume de 1 milhão de barris de petróleo. Ele, então, 
decide comprar um spread borboleta. As opções de compra escolhidas são 
as seguintes:
Tabela 5 – Spread borboleta com petróleo
Pe (US$/barril) Prêmio (US$/barril) Vencimento (meses)
Opção 1 36 3,0 1
Opção 2 40 2,0 1
Opção 3 44 1,2 1
Estratégias com opções
173
A tabela 6, a seguir, mostra os resultados obtidos em função do preço do 
petróleo no dia do vencimento do spread borboleta. O prêmio líquido é 0,2 
US$/barril.
Tabela 6 – Resultados do spread borboleta com petróleo
Preço do 
petróleo 
(US$/barril)
Opção 1 
(US$/milhões)
Opção 2 
(US$/milhões)
Opção 3 
(US$/milhões)
Valor obtido 
(US$/milhões)
30,00 Não exerce Não é exercido Não exerce – 0,20
32,00 Não exerce Não é exercido Não exerce – 0,20
34,00 Não exerce Não é exercido Não exerce – 0,20
36,00 Não exerce Não é exercido Não exerce – 0,20
38,00 2,00 Não é exercido Não exerce +1,80
40,00 4,00 Não é exercido Não exerce +3,80
42,00 6,00 – 4,00 Não exerce +1,80
44,00 8,00 – 8,00 Não exerce – 0,20
46,00 10,00 – 12,00 + 2,00 – 0,20
48,00 12,00 – 16,00 + 4,00 – 0,20
50,00 14,00 – 20,00 + 6,00 – 0,20
Se o preço do petróleo ficar, no vencimento do spread borboleta, próxi-
mo a US$40,00/barril, que era a expectativa do administrador de recursos, 
o resultado final será o valor máximo, 3,8 milhões de dólares. Se o preço do 
petróleo ficar entre 38,00 e 42,00, os resultados serão positivos e dentro do 
intervalo de ganhos (3,8 milhões – 1,8 milhão de dólares). Fortes altas ou 
quedas acarretariam somente perdas pequenas, 200 mil dólares.
7.ª estratégia – box de 4 pontas
A estratégia box de 4 pontas gera como resultado uma renda fixa, e pode 
ser estruturada com a compra e venda de opções de compra e simultanea-
mente a compra e venda de opções de venda, combinadas na forma de um 
spread de alta e um spread de baixa, conforme exemplo a seguir.
Suponhamos que a estratégia box de 4 pontas seja montada para uma 
commodity cujo preço atual no mercado é R$50,00 por unidade. Então, um 
investidor compra e vende as seguintes opções da tabela 7:
174
Derivativos Financeiros
Tabela 7 – Montagem da estratégia box de 4 pontas
Opção Pe (R$/un.) Prêmio (R$) Vencimento (ano)
Compra de call 50 5,5 1
Venda de put 50 2,2 1
Compra de put 60 6,5 1
Venda de call 60 1,8 1
Os resultados da combinação anterior geram o gráfico 10.
Gráfico 10 – Resultados da estratégia box de 4 pontas no vencimento.
2
Perdas/
Ganhos
Pa
O
 a
ut
or
.
Observa-se que os resultados permanecem idênticos para qualquer 
preço do ativo no vencimento do box de 4 Pontas. Isto significa que esta 
estratégia funciona como uma renda fixa, representada pela reta horizon-
tal do gráfico 10.
A estratégia box de 4 pontas envolve um spread de alta, já que uma opção 
de compra com preço de exercício menor é comprada, ao mesmo tempo 
que outra opção de compra com preço de exercício superior é vendida. Em 
paralelo a este spread de alta, também está incluído, no box, um spread de 
baixa montado com opções de venda, uma opção de venda com preço de 
exercício menor é vendida, e outra opção de venda com preço de exercício 
maior é comprada.
No exemplo apresentado, o spread de alta é feito com compra de calls 
com preço de exercício 50, e venda de outra call com preço de exercício 60; 
já o spread de baixa é montado com a compra de put com preço de exercício 
60 e venda de put com preço de exercício 50.
Estratégias com opções
175
A tabela 8 mostra os resultados da estratégia box de 4 pontas, com a 
coluna final refletindo o resultado constante que é representado pela reta 
do gráfico10.
Tabela 8 – Resultados da estratégia box de 4 pontas
Preço do 
ativo 
(R$/un.)
Call 50 Call 60 Put 50 Put 60 Total
40 ----- ----- – 10 + 20 + 10
42 ----- ----- – 8 + 18 + 10
44 ----- ----- – 6 + 16 + 10
46 ----- ----- – 4 + 14 + 10
48 ----- ----- – 2 + 12 + 10
50 ----- ----- ----- + 10 + 10
52 + 2 ----- ----- + 8 + 10
54 + 4 ----- ----- + 6 + 10
56 + 6 ----- ----- + 4 + 10
58 + 8 ----- ----- + 2 + 10
60 + 10 ----- ----- ----- + 10
62 + 12 – 2 ----- ----- + 10
64 + 14 – 4 ----- ----- + 10
66 + 16 – 6 ----- ----- + 10
68 + 18 – 8 ----- ----- + 10
70 + 20 –10 ----- ----- + 10
No exemplo apresentado, o custo inicial é 8,0 (= 5,5 + 6,5 – 2,2 – 1,80), e 
o valor final obtido é 10, o que caracteriza uma taxa de retorno de 25% no 
período da aplicação. Esta taxa de retorno deve ser comparada à taxa prefi-
xada de mercado para o período da estratégia box de 4 pontas, para verificar 
se há possibilidade de arbitragem. Considerando a taxa de juros atual igual a 
12,00% no período, a taxa do box, 25%, se mostra muito atrativa, permitindo 
que ocorram arbitragens no mercado. A arbitragem deveria ser tomar recur-
sos emprestados no mercado, à taxa 12,00 % no período, e comprar o box de 
4 pontas para receber retorno de 25% no período.
É possível, também, vender o box de 4 pontas, o que exigiria inverter as 
posições anteriores. Neste caso, o investidor receberia como prêmio líquido 
176
Derivativos Financeiros
o valor de R$8,00, mas perderia R$10,00. Então, nesse caso não seria van-
tajoso vender o box, pois perderia 25% com a estratégia box e conseguiria 
retorno somente de 12,00% se aplicasse o prêmio recebido no mercado de 
títulos de renda fixa. Porém, se a taxa de juros implícita no box fosse menor 
do que a taxa no mercado de renda fixa; por exemplo, com taxa implícita 
igual a 10% ao ano, e taxa de mercado de 12% ao ano, seria atrativo vender 
o box de 4 pontas, aplicar o prêmio no mercado de renda fixa para receber 
12% no período, que compensaria a perda de 10% ao ano com avenda.
Qual posição tomar, comprada ou vendida no box de 4 pontas, depende-
rá da taxa de juros do mercado de renda fixa e da taxa de juros embutida. Se 
a taxa de juros implícita no box for maior do que a taxa de mercado toma-se 
recurso emprestado, aplica-se na compra do box; e se a taxa de juros implíci-
ta for menor do que a taxa de juros de mercado, toma-se a posição vendida 
no box, e aplica-se o prêmio no mercado.
8.ª estratégia – collar
O collar é estruturado com a compra de um cap, que é o somatório de 
opções de compra (calls) e, simultaneamente, com a venda de um floor, que 
é um somatório de opções de venda (puts). Ele é adequado para proteção de 
ativos durante determinado período de tempo. Por exemplo, um emprés-
timo com taxas de juros a serem pagas semestralmente e durante três ou 
cinco anos, ou também para preços de commodities que são continuamente 
compradas, ou ainda para empresas que estão continuamente sujeitas ao 
risco de taxas de câmbio.
Um cap caracteriza um teto, e um floor, um piso. Portanto, com o collar 
cria-se um intervalo para o preço flutuar, que será limitado pelos preços de 
exercício do cap e do floor. Dessa maneira, um investidor que estabelece 
uma posição com o collar estará sujeito a oscilações do preço de mercado do 
ativo gerador das opções somente dentro do intervalo teto-piso, já que do 
teto para cima, o cap será exercido, e do piso para baixo o titular da opção de 
venda exercerá seu direito, fazendo com que o investidor não se beneficie de 
fortes quedas no preço do ativo. Em outras palavras, o investidor, comprado 
no collar, troca o benefício de pagar preços mais baixos pelo ativo pelo be-
nefício de não pagar preços muito elevados por este ativo.
Estratégias com opções
177
O prêmio líquido pago é dado pela diferença entre os prêmios do cap e 
do floor.
Por exemplo, se uma empresa quer se proteger contra desvalorizações da 
taxa de câmbio real/dólar, ela poderá comprar um collar. Nesta estratégia, 
ela estará sendo protegida contra desvalorizações do real frente ao dólar, 
mas estará também abrindo mão de se beneficiar de fortes valorizações da 
taxa de câmbio real/dólar.
Consideremos que no collar comprado pela empresa o cap (teto) seja 
fixado em 2,55R$/US$, e o piso em 2,30R$/US$. Ela, a empresa, ficará expos-
ta somente às oscilações do câmbio no intervalo 2,55R$/US$/ 2,30R$/US$. 
Neste intervalo, nem a empresa exerce seus direitos de compra, nem o com-
prador do piso exercerá seus direitos de venda. Com taxa de câmbio acima de 
2,55R$/US$, a empresa exercerá seu direito de adquirir dólares a este preço 
de exercício; e abaixo de 2,30R$/US$, ela será obrigada a adquirir dólares a 
2,30R$/US$. Considere os prêmios do teto e do piso como, respectivamente, 
0,07R$/US$e 0,05R$/US$.
Mas, por que não comprar somente o cap (teto), já que se resumiria na 
compra de uma série de opções de compra de dólares, sem incluir a venda 
do piso, de uma série de opções de venda? Certamente que isto pode ser 
feito. Mas, a compra de um cap por um prazo razoavelmente longo, digamos 
alguns anos, e envolvendo ativos muito voláteis, pode ser muito dispendio-
sa. Neste caso, a venda do piso resultaria na redução do custo do cap, criando 
a estratégia chamada collar. O risco que ela traria para o comprador do collar 
seria ter perdas financeiras quando o preço do ativo gerador das opções 
caísse abaixo de preço de exercício do piso vendido (no exemplo, abaixo 
da taxa de câmbio do piso, 2,30R$US$). Mas também devemos lembrar que 
estas perdas financeiras, decorrentes do exercício das opções de venda pelo 
titular, seriam compensadas pela empresa com o efeito da valorização do 
real em sua atividade produtiva. Aqui, estamos supondo que desvaloriza-
ções do real prejudicam a empresa e valorizações do real a beneficiam.
O gráfico 11 nos permite visualizar os resultados da estratégia collar, a 
partir do exemplo com taxa de câmbio apresentado.
178
Derivativos Financeiros
Gráfico 11 – Collar de taxas de câmbio.
R$2,30 R$2,55
Perdas/
Ganhos
(c–p) = 0,02 R$/$
Pa (R$/$)
O
 a
ut
or
.
No gráfico 11, os preços de exercícios do cap e do floor são, respectiva-
mente, 2,55 e 2,30, e o prêmio líquido é dado por (c – p).
Também podemos apresentar a situação da empresa, considerando, além 
dos resultados com a estratégia collar apresentada no gráfico 11, os efeitos 
da taxa de câmbio sobre sua atividade produtiva. Usaremos, então, no gráfi-
co 12, o resultado das despesas da empresa no eixo vertical, e no eixo hori-
zontal o valor da taxa de câmbio no dia do vencimento de uma das etapas do 
collar. (Falamos em etapas do collar porque se esta estratégia for feita para, 
digamos, dois anos, e com exercícios de opções semestrais, teríamos quatro 
etapas na operação. Em cada semestre, verifica-se se o cap é exercido, ou se 
o floor é exercido).
O gráfico 12 mostra o resultado para qualquer um desses semestres.
Gráfico 12 – Despesas da empresa considerando os efeitos da estratégia collar 
de taxa de câmbio.
R$2,32
R$2,30
R$2,57
R$2,55
Despesas
(R$/$)
Pa (R$/$)
O
 a
ut
or
.
Estratégias com opções
179
Observa-se, então, que a despesa cambial fica sujeita a um valor mínimo 
e a um valor máximo, e que cresce dentro deste intervalo.
9.ª estratégia – call sintética
Uma call sintética pode ser criada pela combinação de:
Compra do ativo, objeto da opção;(a) 
Compra de uma (b) put sobre o mesmo ativo que gera a opção de compra, 
e com o mesmo preço de exercício e mesmo vencimento.
Recebimento de empréstimo igual ao valor presente do preço de exer- (c) 
cício da call.
Visualmente, utilizando os gráficos de resultados de opções na data de 
vencimento, podemos observar que a compra do ativo e a venda da put 
geram uma figura igual à compra de uma call. A necessidade do empréstimo 
pode ser confirmada pela relação conhecida como paridade put-call.
Gráfico 13 – Call sintética.
Pb Pa0,09
Ganhos / Perdas 
O
 a
ut
or
.
10.ª estratégia – put sintética
Do mesmo modo que é possível montar uma call sintética, também é 
possível criar uma compra de put sintética.
Assim, geramos uma put sintética pela combinação de:
(a) Venda do ativo, objeto da opção;
(b) Compra de uma call sobre o mesmo ativo que gera a opção de compra, 
e com o mesmo preço de exercício e mesmo vencimento.
180
Derivativos Financeiros
(c) Empréstimo feito igual ao valor presente do preço de exercício da put.
Visualmente, utilizando os gráficos de resultados de opções na data de 
vencimento, podemos observar que a compra do ativo e a venda da put 
geram uma figura igual à compra de uma call.
Gráfico 14 – Put sintética.
Pa
– 0,11
2,40
Ganhos / Perdas 
O
 a
ut
or
.
Ampliando seus conhecimentos
BNDESPar lucra com “puts”
Empresa já recomprou 80% das opções da Telebrás lançadas em setembro de 1997
O BNDESPar, empresa de participações do Banco Nacional de Desenvol-
vimento Econômico e Social (BNDES), já recomprou 80% dos 2,5 bilhões de 
opções de venda (“puts”) da Telebrás que a instituição lançou no mercado no 
início de setembro do ano passado. E lucrou com a operação, segundo cálculos 
preliminares de fontes do mercado, algo em torno de R$18 milhões, toman-
do-se como base os R$21,25 milhões arrecadados em setembro, corrigidos 
pela variação do Certificado de Depósito Interfinanceiro (CDI) no período, e 
descontando-se cerca de R$5,7 milhões utilizados para recomprar as opções. 
“Foi uma operação interessante. Acalmou o mercado quando os investidores 
estavam em pânico e rendeu bons resultados ao BNDES”, afirma Alexandre 
Henrique de Freitas, sócio da Síntese Corretora.
As opções de venda da Telebrás foram lançadas no mercado pela 
BNDESParpara evitar novas quedas drásticas das cotações do papel. As 
Estratégias com opções
181
ações preferenciais da Telebrás, que haviam atingido R$180,00 por lote de 
mil em meados de julho, caíram a R$128,50 no final de agosto, depois que 
as notícias de ataque especulativo ao baht, moeda da Tailândia, desen-
cadearam uma crise de credibilidade dos países emergentes. O leilão das 
opções foi entendido pelo mercado como uma oferta de proteção (hedge) 
para os investidores que estavam com medo de novas quedas, e acabou 
contribuindo para dar sustentação às cotações. As ações voltaram a subir, 
chegaram a atingir R$160,00 e, depois, despencaram novamente com o 
agravamento da crise no sudeste asiático. No início de novembro, quando 
a Telebrás PN chegou a ser negociada a R$95,00 por lote de mil, o prêmio 
das opções atingiu seu valor máximo, muito superior aos R$8,50 por lote 
de mil, arrecadados pela BNDESPar no início de setembro, quando foram 
leiloadas 2,5 bilhões de “puts”.
As opções de venda são pouco comuns no Brasil. Quem lança as “puts” se 
compromete a comprar as ações por determinado preço no vencimento. No 
caso das “puts” da Telebrás, a BNDESPar se comprometeu a comprar as ações 
por R$132,00 por lote de mil em 18 de fevereiro. Se, no vencimento, as cota-
ções estivessem abaixo desse preço, os compradores exerceriam as opções 
e a BNDESPar seria obrigada a comprar as ações. Se as cotações estivessem 
acima, as opções não seriam exercidas. Ontem, Telebrás PN fechou cotada a 
R$135,20 o lote de mil na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa).
O BNDESPar já havia recomprado cerca de um terço (850 milhões) de 
opções das “puts” no final de dezembro, quando as cotações de Telebrás subi-
ram e o prêmio pelas opções caiu a R$2,70. Nesta semana, foram comprados 
mais 1,2 bilhões de opções, por um valor, segundo o mercado, entre R$2,50 e 
R$3,00 o lote de mil.
O chefe da mesa de operações de uma corretora paulista disse que a 
recompra das opções “destrava” o mercado. “Muita gente que tinha com-
prado a opção de venda tinha também lançado, na outra ponta, opções 
de compra da Telebrás. Além disso, muitos investidores viam o fato de o 
BNDES estar tentando recomprar as opções no mercado como um sinal 
de que a instituição não queria que as opções fossem exercidas, ou, em 
última análise, que havia dúvidas se as cotações poderiam se sustentar 
acima de R$132,00”, afirma.
182
Derivativos Financeiros
Atividades de aplicação
1. Se as expectativas são de forte alta no mercado de ações, deve-se uti-
lizar o spread de alta para se beneficiar desta alta? Por quê?
2. Comprar um spread borboleta e vender um straddle apresentam figu-
ras semelhantes, na forma de um “v” invertido. Porém, não são estraté-
gias semelhantes. Por quê?
3. Quais seriam o melhor e o pior resultado na estratégia financiamento? 
Calcular estes valores para as três opções do texto.
4. Quais seriam os resultados com a primeira e a terceira opção da seção 
protective put, considerando-as no lugar da segunda opção, que foi a 
usada no texto?
5. Monte um spread borboleta com ações da Vale, supondo que o va-
lor esperado para esta ação em 60 dias será R$36,00/ação, e também 
espera-se que os preços não flutuem muito em torno deste valor.
6. Considere a estratégia collar com taxas de câmbio da seção estratégia 
collar deste capítulo.
 Se quisermos alcançar um prêmio líquido igual a zero, o que devemos 
fazer? E quais seriam as mudanças que ocorreriam nos gráficos11 e 12?
Preço das opções
Paridade put-call
Uma das principais relações de preços de opções é conhecida como pa-
ridade put-call; ela é derivada do princípio de arbitragem. A sua expressão é 
dada por:
Preço da call – preço da put = preço do ativo – objeto – valor presente do 
preço de exercício, ou,
C – P = Pa – VP(Pe)
A relação acima nos permite observar que o preço de uma opção de 
compra europeia pode ser obtido de uma opção de venda, com o mesmo 
preço de exercício e data de vencimento que a primeira. Da expressão acima, 
deduz-se que:
C = P + Pa – VP(Pe)
Que expressa o valor da call a partir da put. Portanto, pode-se criar uma 
call sintética a partir da relação C = P + Pa – VP(Pe).
Para observar a validade da relação paridade put-call, consideremos que 
um investidor construa duas carteiras de investimento:
 Carteira 1 – nesta carteira, ele compra a opção de compra e vende a 
opção de venda. O custo desta carteira é dado por C – P, que representa 
a diferença entre o prêmio pago pela compra da opção de compra e o 
prêmio recebido pela venda da opção de venda.
 Carteira 2 – nesta segunda carteira, o investidor compra o ativo-objeto, 
que será considerado uma ação, e toma empréstimo igual ao valor pre-
sente do preço de exercício da opção de compra, o que significa que o 
empréstimo deve gerar exatamente o valor Pe na data do vencimento da 
opção.
186
Derivativos Financeiros
Consideremos, agora, o vencimento das opções e o valor das carteiras 
do investidor. Temos dois cenários possíveis: o preço da ação é superior ao 
preço de exercício das opções, e o preço da ação é inferior ao preço de exer-
cício das opções. Vejamos os efeitos destes dois cenários nas carteiras 1 e 2.
Cenário 1 (Pa > Pe)
Neste cenário, considerando a Carteira 1, a opção de compra será exerci-
da, mas a opção de venda não será. Assim sendo, o investidor paga o preço 
de exercício da call e compra a ação. E o resultado para a Carteira 1 é ficar 
com a ação ao preço de mercado e, com isso, o investidor ganha a diferença 
entre o preço de mercado e o preço de exercício pago pela ação.
Para a Carteira 2, a ação é mantida na carteira, e o investidor paga o valor 
do preço de exercício no empréstimo que foi feito no início da estratégia. 
Aqui também o investidor ficaria com a ação e ganharia a diferença entre o 
preço da ação no mercado e o preço de exercício da opção.
Cenário 2 (Pa ≤ Pe)
Neste cenário, considerando a Carteira 1, a opção de compra não será 
exercida, mas a opção de venda será paga o preço de exercício e compra a 
ação, sendo o preço exercício maior do que o preço da ação no mercado.
Para a Carteira 2, a ação é mantida na carteira, e o investidor paga o valor 
do preço de exercício no empréstimo que foi feito no início da estratégia. 
Aqui também o investidor ficaria com a ação e pagaria o preço de exercício 
por causa do empréstimo, que é maior do que o preço da ação no mercado.
Concluímos que as carteiras apresentam os mesmos resultados no venci-
mento das opções em qualquer dos dois cenários possíveis para as opções. 
Por conseguinte, elas devem ter o mesmo preço no início da operação, senão 
haveria arbitragem, com os investidores comprando a carteira mais barata 
e vendendo a mais cara, obtendo lucros sem risco. E este movimento de ar-
bitragem levaria o mercado à condição de equilíbrio, com as duas carteiras 
valendo o mesmo.
A equação C – P = Pa – VP(Pe) pode ser desdobrada na equação:
P = C – Pa + VP(Pe)
Onde temos o valor da opção de venda em função da opção de compra.
Preço das opções
187
Nesta versão da relação, pode-se criar uma put sintética, comprando uma 
opção de compra, vendendo o ativo e emprestando o valor presente do 
preço de exercício das opções.
Introdução ao Modelo de Black & Scholes
O primeiro modelo de apreçamento de opções, na forma de uma equa-
ção fechada, surgiu com a publicação em 1973 do trabalho de Fischer Black 
& Myron Scholes1, ano em que iniciaram as atividades da Chicago Board 
Options Exchange (CBOE), quando os contratos de opções começaram a 
ser negociados em Bolsas. O Modelo Black & Scholes (B&S), como ficou co-
nhecido, teve seu uso difundido rapidamente nos mercados financeiros 
internacionais. Ele permite calcular preços de opções europeias de compra 
e de venda.
Ainda em 1973, Robert Merton estendeu o Modelode B&S para algumas 
situações importantes2. Uma extensão sobre o uso de uma distribuição de 
probabilidades alternativa à utilizada do Modelo de B&S para os preços dos 
ativos subjacentes à opção em questão.
Myron Scholes e Robert Merton receberam, anos mais tarde, o prêmio 
Nobel de Economia por seus trabalhos com apreçamento de opções. Fischer 
Black, na época da nomeação para o prêmio, já havia falecido.
A análise de B&S parte da lógica segundo a qual se pode montar uma 
carteira sem risco formada por uma posição em uma ação (o ativo que será 
considerado no modelo) e um determinado número de opções de compra 
ou de venda desta ação; e, na ausência de arbitragem, o retorno da carteira 
deve ser igual à taxa de juros livre de risco. É possível montar esta carteira 
livre de risco porque tanto a ação quanto as opções sobre a ação dependem 
do mesmo elemento, a oscilação do preço destas ações.
Consideremos, por exemplo, um investidor que vende uma opção de 
compra de uma ação, e que, ao mesmo tempo, compra X ações, onde X 
também representa a taxa de variação do preço da opção em função da mu-
dança de uma unidade no preço da ação (taxa que mais adiante será chama-
da de delta da opção). Se, após a montagem desta carteira pelo investidor, 
o preço da ação sobe uma unidade monetária, a opção subirá X unidades 
monetárias, pois X é a taxa de variação do preço da opção em função da 
1 O artigo de Black & Scho-
les “The Pricing of Options 
and Corporaté Liabilities” 
foi publicado na edição 
de maio-junho de 1973 
do Journal of Political Eco-
nomy, p. 637-659.
2 Ver “Theory of Rational 
Option Pricing”, no Bell 
Journal of Economics and 
Management Science, 4 
(Spring 1973), p. 141-183.
188
Derivativos Financeiros
mudança de uma unidade no preço da ação; mas, como a carteira possui X 
ações e o investidor está vendido na opção de compra, ele ganhará X com 
as ações em carteira, e perderá X na posição com opções, já que o preço das 
opções subiu X unidades, e ele está vendido (e não, comprado) nelas. Para 
tornar mais clara a perda dele com as opções imagine que, se quisesse re-
comprar a opção que vendeu, ou comprar outra idêntica no mercado, ele pa-
garia mais do que recebeu na venda anterior dela, pois o prêmio no mercado 
subiu. Se o preço da ação cair, a compensação com a opção seria a mesma, 
desde que o delta permaneça constante (se ele variar, será necessário ajustar 
o número de ações na carteira). Esta carteira deve render a taxa de juros livre 
de risco no período da opção, quer a opção seja exercida ou não; isto porque 
a carteira estaria livre de riscos. Esta operação é conhecida como delta-hedge 
e será vista no exemplo a seguir.
Pode-se verificar o resultado anunciado através do exemplo seguinte, 
que é conhecido como delta-hedge.
Considere que um investidor compra 50 ações cotadas a 20 reais cada 
ação. Ao mesmo tempo, ele vende uma opção de compra desta ação, e esta 
opção vale para a compra de 100 ações. O delta desta opção é 0,50; por isso, 
o investidor comprou 50 ações. Se o preço da ação sobe ou desce, o investi-
dor vai obtendo os valores apresentados na tabela 1, para sua carteira.
Quando o preço da ação sobe uma unidade, por exemplo, de 20 para 21 
reais, o valor das ações na carteira aumenta 50 reais, pois são 50 ações na 
carteira. Quanto à mudança do valor das opções na carteira, tem-se que para 
cada aumento de 1 real no preço da ação, o valor das opções diminui 50 reais, 
pois o prêmio das opções diminui 50 reais. O prêmio das opções na carteira 
aumenta ou diminui de acordo com a seguinte relação: delta . variação no 
preço da ação . 100 ações. Então, para delta constante, a carteira não sofrerá 
mudança em seu valor. O que de fato temos aqui é uma carteira de ações e 
opções em uma proporção tal entre elas, que a carteira como um todo deve 
render a taxa e juros livre de risco, por não apresentar riscos.
No entanto, na realidade, o valor do delta da opção muda quando o preço 
da ação muda (e também muda em função de outras variáveis); sobe quando 
o preço da ação sobe, e desce quando o preço da ação desce, por se tratar 
de opção de compra (como veremos mais adiante). Outra correção que deve 
ser feita no exemplo apresentado diz respeito ao efeito dos juros sobre os va-
lores gastos ou recebidos na carteira. O cômputo dos juros é fácil de incluir, 
mas os ajustes instantâneos não são.
Preço das opções
189
Tabela 1 – Carteira do investidor na estratégia de delta-hedge
Preço da Ação 
(R$/ação)
∆Valor das 
ações (R$)
∆ Valor da 
posição c/ op-
ções vendidas 
(R$)
∆ Valor da 
Carteira (R$)
20,00 ---------- ---------- ----------
21,00 50,00 – 50,00 0,00
22,00 50,00 – 50,00 0,00
23,00 50,00 – 50,00 0,00
24,00 50,00 – 50,00 0,00
25,00 50,00 – 50,00 0,00
Suponhamos, agora, que o delta passe de 0,5 para 0,6, logo após a mu-
dança do preço da ação de R$20,00 para R$21,00. O número de ações deve 
ser ajustado, para que a carteira continue com valor mais constante possível. 
Assim, o investidor deve comprar mais 10 ações, passando seu lote de ações 
de 50 para 60. Com uma nova subida de preço da ação, de R$21,00 para 
R$22,00, a perda com as opções será R$60,00 (= 0,6 . R$1,00 . 100), mas o 
ganho com as ações será também igual a R$60,00. Este processo prossegui-
ria até que o investidor decidisse interromper a operação. Porém, dois efeitos 
farão com que este ajuste não seja perfeito. O primeiro é o dos juros sobre os 
valores gastos nas compras (ou recebidos nas vendas) de ações e de opções; 
e o segundo diz respeito à dificuldade de fazer ajustes instantâneos na car-
teira, à medida que os preços da ação mudem e os deltas também mudem, 
pois ações devem ser compradas ou vendidas a cada mudança.
O Modelo de B&S foi construído com base na hipótese básica de que o 
preço do ativo subjacente à opção se move de acordo com um processo es-
tocástico do tipo movimento geométrico browniano, cuja distribuição pro-
babilística de preços do ativo é lognormal.
A forma geral de uma distribuição lognormal é apresentada no gráfico 
1, e pode ser comparada com a da distribuição normal, mais conhecida por 
todos, do gráfico 2. Uma variável com distribuição normal pode ter qualquer 
valor, negativo ou positivo, ao passo que uma variável com distribuição log-
normal só pode ser positiva. Uma distribuição normal é simétrica; uma distri-
buição lognormal é distorcida, com média, mediana e moda diferentes.
190
Derivativos Financeiros
Gráfico 1 – Distribuição lognormal.
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Distribuição normal.
O
 a
ut
or
.
O modelo B&S acopla ao modelo estocástico a hipótese de não arbi-
tragem vista anteriormente (supondo que os ajustes na carteira de ações 
e opções possam ser feitos instantaneamente), e, após diversos desenvol-
vimentos matemáticos, chegam às famosas equações de preços de opções 
europeias de compra e de venda para ativo sem distribuição de dividendos 
(com o significado de distribuição de dividendos em ações, ou juros recebi-
dos, ou valor de uso de commodities).
A equação de B&S depende de cinco variáveis:
Pa = o preço do ativo, objeto da opção;
Pe = o preço de exercício da opção;
r = a taxa de juros;
T = o tempo de vencimento da opção;
σ = a volatilidade do ativo.
Estas variáveis e seus efeitos sobre os preços das opções europeias de 
compra e de venda são apresentados na tabela 2.
Preço das opções
191
Tabela 2 – Efeitos das variáveis do Modelo B&S no preço das opções
Fator determinante Efeito no prêmio da opção
Call Put
Preço da ação (Pa) > 0 < 0
Preço de exercício (Pe) < 0 > 0
Tempo de vencimento (T) > 0 < ou > 0
Volatilidade da ação (σ) > 0 > 0
Taxa de juros (r) > 0 < 0
Preço do ativo-objeto (Pa) – quanto mais alto for a preço do ativo-ob-
jeto, maior deve ser o prêmio da opção de compra, paraum dado preço de 
exercício, haverá mais chance da opção ser exercida, e menor será o prêmio 
da opção de venda, pelo motivo oposto.
Preço de exercício (Pe) – quanto mais alto for o preço de exercício, para 
um dado preço do ativo, menor será o prêmio da opção de compra, pois as 
chances de exercício diminuem, e maior será o prêmio da opção de venda, 
porque as chances de exercício aumentariam.
Volatilidade (σ) – quanto maior a volatilidade maior a chance de exercí-
cio, tanto da opção de compra quanto da opção de venda. Assim, o efeito da 
volatilidade é positivo no preço de ambas. Maior volatilidade aumenta a in-
certeza sobre o preço futuro do ativo, o que significa que aumenta a chance 
de perdas para o lançador de uma opção e, portanto, o preço de uma opção 
de compra ou de venda deste ativo aumenta.
Taxa de juros (r) – o efeito das taxas de juros sobre o preço de uma opção 
de compra é positivo, e sobre uma opção de venda é negativo. Com juros 
mais elevados, a compra da opção de compra permite que os recursos, a 
serem utilizados para a compra futura do ativo, sejam capitalizados a taxas de 
juros mais elevadas. No caso da opção de venda ocorre o contrário, a venda 
futura do ativo implica em não receber juros mais elevados até a venda do 
ativo ao seu preço de exercício.
192
Derivativos Financeiros
Tempo de vencimento (T) – o efeito do tempo de expiração é positivo 
para calls e puts, ou seja, quanto maior for o tempo de vencimento para uma 
opção, maior será o valor desta, já que tem mais tempo para que a opção 
alcance preços de ativo que a coloquem na situação de serem exercidas. Há, 
no entanto, uma exceção para opções de venda europeias próximas ao ven-
cimento; pode haver aumento do prêmio desta opção de venda à medida 
que o tempo de vencimento diminui. Isto se dá por causa do efeito contrá-
rio das variáveis, tempo de vencimento e taxa de juros sobre o prêmio de 
uma put europeia. Vimos que o efeito das taxas de juros sobre uma opção de 
venda é negativo; desse modo, este efeito se contrapõe ao efeito positivo do 
tempo de vencimento, e o resultado pode ser ambíguo.
Hipóteses do Modelo de Black & Scholes
Black e Scholes fizeram as seguintes hipóteses no desenvolvimento do 
modelo deles:
1. O comportamento do preço da ação segue o modelo lognormal1 de 
distribuição de probabilidades, com σ constante;
2. Não há custos operacionais nem impostos.
3. Todos os títulos são perfeitamente divisíveis;
4. A ação não receberá dividendos ou qualquer outro rendimento duran-
te a vida da opção;
5. Não há oportunidade de arbitragem sem risco;
6. A negociação de títulos é contínua;
7. Os investidores podem captar ou emprestar à mesma taxa de juro livre 
de risco;
8. A taxa de juro livre de risco, r, é constante.
Algumas dessas hipóteses foram flexibilizadas por outros pesquisadores. 
Por exemplo, as variações da fórmula de Black e Scholes podem ser usadas 
quando r e σ são funções do tempo, e a própria fórmula pode ser ajustada para 
levar em conta dividendos, valor de uso de commodities e juros sobre moedas.
As fórmulas de B&S, para os preços de opções europeias de compra e de 
venda sem dividendos, são as seguintes:
1 Uma variável apresen-
ta distribuição lognormal 
quando seu logaritmo na-
tural é normalmente dis- 
tribuído.
Preço das opções
193
Nas fórmulas:
c = representa o prêmio da opção de compra;
Pa = o preço do ativo-objeto;
Pe = o preço de exercício da opção;
r = a taxa de juros livre de risco;
T = o tempo de vencimento da opção;
σ = a volatilidade dos preços do ativo;
N = distribuições de probabilidade normais acumuladas;
ln = o logaritmo neperiano;
d1, d2 = parâmetros especificados abaixo.
(a) CALLS
c = Pa N (d1) – Pe
–r(T) N (d2)
(b) PUTS
p = pe–r(T) N (–d2) – Pa N (–d1)
Onde, d1 e d2 serão:
d1 = 
In (Pa / Pe) + r + σ + 
2
2 (T)
σ T
d2 = 
In (Pa / Pe) + r – σ + 
2
2 (T)
σ T
d2 = d1 – σ√T
Na equação de B&S, a taxa de juros e a volatilidade são supostas constan-
tes e devem estar na mesma unidade que a medida de tempo.
A seguir, temos um exemplo de uso do modelo de B&S.
Exemplos:
 Calcule os prêmios de uma opção de compra e de uma opção de venda 
de ações da Petrobras, com as seguintes características:
Série PETRD28 (considerando esta opção como europeia). �
194
Derivativos Financeiros
Vencimento em 20/04/2009. �
Preço exercício: R$28,00. �
Tempo para vencimento: 29 dias úteis, ou 0,115 (=29/252) ano. �
Taxa de juros: 12% ao ano, ou ln 1,12 = 11,33% ao ano na forma contínua � 2.
Volatilidade: 16% ao ano. �
Preço da ação PN: R$25,80 �
Então, o preço da opção de compra seria:
C = 25,80 . N(d1) – 28,00 . exp(– 0,1133 . 0,115) . N(d2), e,
C = 25,80 . N(d1) – 28,00 . 0,987 . N(d2).
d1 = [ln (25,8/28,00) + (0,1133 + (0,16)2/2) . 0,115] / (0,16 . (0,115)0,5) e, d1 
 = – 1,2401, e,
d2 = – 1,2401 – 0,16 . (0,115)0,5 = – 1,2943.
Então, usando tabelas de distribuição normal, temos:
N (d1) = 0,1075, e N(d2) = 0,0978, e, finalmente,
C = 25,80 . 0,1075 – 28,00 . 0,987 . 0,0978 e,
C = 0,0707.
E, para a put, tem-se:
P = 28,00 . exp(– 0,1133 . 0,115) . N(– d2) – 25,80 . N(– d1) e,
N(– d1) = N(1,2401) = 0,8927, e
N(– d2) = N(1,2943) = 0,9022
Então, P = 28,00 . 0,987 . 0,9022 – 25,8 . 0,8927 = 1,902.
Os gráficos 3 e 4 ilustram a obtenção de N(d1) e N(d2).
2 A taxa de juros na forma 
contínua é dada por ln 
(1 + r).
Preço das opções
195
Gráfico 3 – Distribuição lognormal.
O
 a
ut
or
.
Gráfico 4 – Distribuição normal.
O
 a
ut
or
.
Observa-se o valor maior para a opção de venda, pois a cotação de mer-
cado da ação da Petrobras é R$25,8, e o preço de exercício para ambas as 
opções é R$28,00. A opção de venda, portanto, está in-the-money enquanto 
que a opção de compra esta out-of-the-money.
Variações no Modelo de Black & Scholes
Se considerarmos a aplicação do modelo para preços de moedas, índi-
ces de ações que distribuem dividendos, opções sobre contratos futuros, 
e preços de commodities que apresentam valor de uso, teremos que fazer 
algumas modificações na equação básica de B&S. Moedas rendem juros e, 
portanto, são semelhantes aos dividendos distribuídos por uma ação ou por 
uma carteira de ações. Também podemos acomodar o valor de uso de uma 
commodity na equação de B&S com dividendos, e ainda incluir as opções 
sobre contratos futuros.
Modelo de Garman-Kohlhagen
Garman e Kohlhagen adaptaram, em 1983, a equação de B&S para opções 
de compra e de venda de moedas. As equações de Garman-Kohlhagen, que 
serão identificadas como BSGK, são as apresentadas para pagamentos de 
196
Derivativos Financeiros
dividendos, nas quais substitui-se o q que representa o pagamento de divi-
dendos pela taxa de juros em moeda estrangeira, rf, ou seja, os juros que se 
receberia com a moeda estrangeira. Assim, tem-se:
C = Pa exp . (– rfT) . N (d1) – Pe exp . (– rT) N (d2)
P = Pe exp . (– rT) . N (– d2) – Pa exp . (– rfT) N (– d1)
Onde:
d1= 
In . (Pa / Pe) + r – rƒ + σ
2 / 2 T
σ T
d2 = 
In . (Pa / Pe) + r – rƒ – σ
2 / 2 T
σ T
= d1 – σ T
Vejamos, agora, um exemplo de utilização da opção de compra de 
moeda.
Exemplo – cálculo de prêmio para opção de compra de dólar.
Considere uma opção de compra de dólar europeia, que apresenta as se-
guintes características:
Vencimento em abril 2009. �
Preço exercício: R$2,50/US$. �
Tempo para vencimento: 38 dias úteis, ou 0,1508 (=38/252) ano. �
Taxa de juros: 12% ao ano, ou ln 1,12 = 11,33% ao ano na forma contínua. �
Volatilidade: 20% ao ano. �
Cotação atual da taxa de câmbio: R$2,45/US$ �
Taxa de juros externa (cupom cambial no Brasil): 4% ao ano em US$, ou �
ln(1,04) = 3,922% ao ano.
Então, o preço da opção de compra seria:
 C = 2,450 . exp (0,03922 . 0,1508). N (d1) – 2,500 . exp (– 0,1133 . 0,1508) 
. N (d2), e,
C = 2,450 . 0,9941 N (d1) – 2,500 . 0,9831 . N (d2.)
 d1 = [ln (2,45/2,50) + (0,1133 – 0,03922 + (0,20)2/2) . 0,1508] / (0,20 . 
Preço das opções
197
(0,1508)0,5) e,
d1 = – 0,07745 e,
d2 = – 0,07745 – 0,20 . (0,1508)0,5 = – 0,1551.
Então:
 N (d1) = 0,4690 , e N(d2) = 0,4384, e, finalmente,
C = 2,45 . 0,9941 . 0,4690 – 2,50 . 0,9831 . 0,4384 e,
C = 0,06479R$/US$.
E, para a put, tem-se:
 P = 2,50 . exp(– 0,1133 . 0,1508) . N (– d2) – 2,45 . exp (0,03922 . 0,1508) . N 
(– d1) e, N(– d1) = N(0,07745) = 0,5310,
e N(– d2) = N(0,1551) = 0,5616.
Então, P = 2,50 . 0,9831 . 0,5616 – 2,45 . 0,9941 . 0,5310 = 0,0870R$/US$.
Observam-se valores próximos para as duas opções, embora a opção de 
venda esteja um pouco in-the-money ,e a opção de compra um pouco out- 
-of-the-money.
Modelo de Black
Em 1976, Black publicou um trabalho no qual estendia o modelo de B&S 
para preços de opções europeias sobre futuros. O modelo de Black conside-
rou que os preços futuros apresentassem a mesma distribuição lognormal 
assumida no modelo de B&S. 
As equações para os preços das opções de compra e de venda sobre con-
tratos futuros são as seguintes:
C = exp (– rƒT) . [FN(d1) – PeN (d2)]
P = exp (– rT) . [PeN(-d2) – FN (– d1)]
Onde:
d1 = 
In (F / Pe) + σ
2 T / 2
σ T
198
Derivativos Financeiros
d2 = 
In (F / Pe) – σ
2 T / 2
σ T
= d1 – σ T 
Onde F representa o preço futuro.
No modelo de Black, a taxa de juros substitui os dividendos, e, por isso, o 
termo exp{– rT} foi colocado em evidência nas equações dos preços para as 
opções de compra e de venda.
Observações:
(1) A taxa de juros que deve se usada na equação de B&S é a capitalizada 
continuamente, por isso a expressão exp{–rT} nas equações do modelo. Na 
prática, em alguns mercados usa-se a taxa de juros capitalizada na forma 
discreta, como é praxe no mercado financeiro como um todo.
(2) A única variável do modelo de B&S, que não é diretamente observada, 
é a volatilidade; sendo assim, deve-se utilizar algum procedimento de cálcu-
lo para obtê-la.
Volatilidade
A volatilidade de preços pode ser medida de várias formas:
Histórica – calculada com dados dos retornos do ativo-objeto, durante 
determinado período de tempo. Ela é representada pelo desvio-padrão de 
uma amostra de variações de preços.
Vejamos um exemplo com cotações de uma ação.
Dia
Preço(Pa) de
fechamento
da ação, R$
Preço
relativo
(Pat/Pat–1)
Retorno
diário
ln{Pt/Pat–1}
Desvio
quadrado
(a) (b) (c)
(d) =
[(c)–média]2
0 28,00 --------
1 26,00 0,9286 – 0,0741 0,004900
2 24,50 0,9423 – 0,0594 0,003060
3 23,70 0,9673 – 0,0332 0,000847
4 25,00 1,0549 0,0534 0,03306
5 24,80 0,9920 – 0,0080 0,000015
6 26,70 1,0766 0,0738 0,006068
7 26,00 0,9738 – 0,0266 0,000506
Preço das opções
199
8 25,20 0,9692 – 0,0313 0,00074
9 26,70 1,0595 0,0578 0,003830
10 28,80 1,0787 0,0757 0,006368
11 29,20 1,0139 0,0138 0,00032
12 25,70 0,8801 – 0,1277 0,01528
13 24,30 0,9455 – 0,0560 0,001269
14 25,00 1,0288 0,0284 0,001056
15 24,50 0,9800 – 0,0202 0,00026
16 26,00 1,0612 0,0594 0,004032
17 27,60 1,0615 0,0597 0,00407
18 26,60 0,9638 – 0,0369 0,001076
19 25,90 0,9737 – 0,0267 0,00051
20 25,80 0,9961 – 0,0039 0,0000
Soma – 0,082 Soma 0,08727
Média – 0,0041 Variância (Diária) 0,004593
Desvio-padrão diário = 
(0,004593)0,5 =
0,06777
Desvio-padrão anual = 
0,06777 . (252)0,5
1,0758, ou 
107,6% a.a.
Implícita – é a volatilidade implícita nos preços das opções que estão 
sendo transacionadas no mercado. Ela, portanto, pode ser obtida através 
dos próprios preços das opções negociadas em mercado.
Das equações de apreçamento de opções de compra e de venda euro-
peias, equações abaixo, verificamos que não é possível explicitar a volatili-
dade em função das outras variáveis que compõem a equação. Ou seja, não 
conseguimos obter uma expressão matemática do tipo s = f(Pa, Pe, r, T, C). 
Por isso, temos que usar métodos de tentativa e erro, ou programas de solu-
ção para o problema.
As equações a serem utilizadas para a obtenção da volatilidade implícita 
abaixo, considerando que as opções são sem dividendos ou outro rendimen-
to qualquer.
C = PaN(d1) – Pe exp (– rT) N (d2)
P = Pe exp (– rT) N (– d2) – Pa exp (– rfT) N (– d1)
Onde:
d1= 
In (Pa / Pe) + r + σ2 / 2 T
σ T
200
Derivativos Financeiros
d2 = 
In (Pa / Pe) + r – σ2 / 2 T
σ T
= d1 – σ T
Como a volatilidade é uma característica do ativo subjacente à opção, so-
mente deveríamos encontrar um valor para a volatilidade implícita. Ocorre 
que, na realidade, obtemos vários valores para a volatilidade implícita, que 
são derivadas das diversas opções negociadas, e segundo o preço de exer-
cício usado para o cálculo da volatilidade (supondo opções com o mesmo 
prazo de vencimento).
Dependerá do investidor, a volatilidade implícita a ser escolhida, e, nor-
malmente, a liquidez da opção é um fator importante na escolha.
A volatilidade implícita pode ser comparada com a volatilidade estima-
da pelo investidor, e se a volatilidade implícita for maior do que a estimada 
pelo investidor, a opção pode estar cara. Caso o investidor tenha confiança 
nesta comparação, ele poderá vender a opção e fazer o delta-hedge (ope-
ração apresentada no início deste capítulo). Se ocorrer o inverso, isto é, se 
a volatilidade implícita for menor do que o volatilidade estimada, se pode 
fazer o oposto, ou seja, comprar a opção e fazer o delta-hedge.
Vejamos um exemplo de obtenção da volatilidade implícita.
Suponhamos que o valor de uma opção de compra de uma ação sem 
dividendos seja 0,0845, conforme exemplo anterior, quando Pa = 25,80; Pe = 
28,00, r = 11,33% a.a., e T = 0,115. A volatilidade implícita é o valor de σ , que, 
quando substituído na equação (8.1) gera o valor c = 0,0845. O procedimen-
to a ser usado é o de tentativa e erro, pois não é possível explicitar σ como 
função de Pa, Pe, r, T e c. Podemos iniciar com σ = 18% a.a., e se este valor da 
volatilidade gerar na primeira tentativa um valor maior do que 0,0845 para o 
prêmio da opção de compra, c, verificamos que o valor da volatilidade deve 
ser menor do que 18% a.a. Suponhamos agora que o valor testado para a 
volatilidade seja 14% a.a. Suponhamos que, nesta tentativa, o valor obtido 
para c seja menor do que 0,0845. A seguir, então, deveríamos tentar um valor 
entre 18% a.a. e 14% a.a. Se escolhermos 16% a.a. para a volatilidade implíci-
ta chegaremos ao valor de 0,0845 para o prêmio da opção de compra. Assim, 
a volatilidade implícita seria 16% a.a.
É comum obter simultaneamente muitas volatilidades implícitas para 
diferentes opções da mesma ação. Por isso, utilizam-se médias ponderadas 
Preço das opções
201
para a obtenção da volatilidade implícita para a ação. A ponderação de cada 
volatilidade implícita obtida pelas diversas opções deve refletir a sensibili-
dade do preço da opção à volatilidade. Se tivermos uma estimativa de vola-
tilidade implícita de uma opção in-the-money, e outra volatilidade implícita 
obtida a partir de uma opção bem out-of-the-money, a da primeira vai refletir 
melhor a volatilidade da ação, e, por isso, deve ser a escolhida. Também, se 
poderia fazer uma média ponderada, mas, nesse caso, o peso da opção in-
the-money deve ser muito maior do que o da outra opção. Deve-se proceder 
assim, porque o preço da opção in-the-money é muito mais sensível à vola-
tilidade do que o da opção out-of-the-money, contendo, por isso, mais infor-
mações sobre a volatilidade implícita verdadeira. Outros métodos diferentes 
também podem ser utilizados.
Séries temporais – as volatilidades são modeladas por meio de mode-
los ARCH, GARCH, EGARCH, e outros. Estes modelos, que representam séries 
temporais, são utilizados para estimara volatilidade.
Combinações – a volatilidade é obtida através de um mix, por exemplo, 
de volatilidades históricas e implícitas. Este procedimento é muito comum 
em mercados financeiros desenvolvidos.
Sensibilidade do preço das opções às suas 
variáveis determinantes, ou gregas
As gregas representam a sensibilidade dos preços das opções às variáveis 
que compõem os preços. Assim, tem-se:
DELTA(∆): 
 Variação no preço da opção
Variação no preço do ativo-objeto
GAMA(Γ): 
 Variação no delta
Variação no preço do ativo-objeto
VEJA (Λ): 
 Variação no preço da opção
Variação na volatilidade
THETA(Θ): 
Variação no preço da opção
Variação no tempo
202
Derivativos Financeiros
RHO(ρ): Variação no preço da opção
Variação na taxa de juros
O delta mede a sensibilidade do preço de uma opção em função de mu-
danças no preço do ativo-objeto (ação, moeda, commodities, juros etc.).
O delta de uma opção de compra varia entre 0 e 1. Se a opção está muito 
in-the-money, o seu delta se aproxima de um, o que significa que o preço da 
opção varia na mesma proporção que a mudança no preço do ativo-objeto 
da opção; isto ocorre porque a opção já é virtualmente o ativo-objeto. Se a 
opção de compra está muito out-of-the-money, o seu delta se aproxima de 
zero, o que significa que a opção também tem seu preço já próximo de zero, 
pois o exercício dela será muito difícil. Para opções de compra at-the-money, 
o deltas dela não deve estar muito distante do valor 0,5.
Para puts, o delta varia entre 0 e –1. A relação com o preço de mercado é 
negativa. Com preços do ativo-objeto muito baixos, o delta se aproxima de 
um; e com preços muito elevados, o delta da opção se aproxima de zero.
O gama mede a variação do delta. Opções at-the-money, próximas do 
vencimento, apresentam gamas elevados, pois pequenas variações no 
preço do ativo-objeto mudam rapidamente o delta, aumentam rapidamen-
te o delta para opções de compra, que passariam de algo próximo a 0,5 para 
um valor próximo de 1, e diminuem rapidamente o delta para opções de 
venda, e isto significa gama elevado.
Portanto, tanto a compra de opções de compra quanto a compra de 
opções de venda geram gamas positivos. Lembre-se que quando o preço do 
ativo-objeto sobe, o delta (a primeira derivada) sobe.
O theta mede a variação do preço de uma opção em função da passa-
gem do tempo. O efeito da diminuição do tempo é normalmente negativo 
no preço de uma opção. A queda do valor tempo nos prêmios das opções 
conduz o prêmio para o valor intrínseco.
O vega mede a variação do preço de uma opção em função da volatilida-
de. Quanto mais volátil o ativo-objeto, mais valiosa é a opção.
O rho, por sua vez, mede o efeito da taxa de juros no preço de uma 
opção.
Observações:
Preço das opções
203
Estes efeitos, acima, são vistos como derivados parciais, mas na prática 
são superpostos e devem ser analisados em conjunto.
Delta e gama podem ser associados aos efeitos duração e convexidade, 
primeira e segunda derivada de preços de títulos de renda fixa.
Posições compradas, calls ou puts, apresentam vega e gama positivos, 
enquanto posições vendidas, calls ou puts, geram vegas e gamas negativos. 
Posições com vega positivo estão compradas em volatilidade, isto é, se a vo-
latilidade aumenta, as posições ganham.
Ampliando seus conhecimentos
Dissertação de Mestrado
Título original A teoria da ciência no Modelo Black-Scholes de apreçamento de opções
Autor Oga, Luis Fernando
E-mail luis.oga@itau.com.br, tdefflch@usp.br
Unidade Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas (FFLCH)
Área de concentração Filosofia
Orientador Pessoa Junior, Osvaldo Frota
Banca Examinadora Caiero, Roque da Costa
 Pessoa Junior, Osvaldo Frota
 Plastino, Caetano Ernesto
Data da Defesa 19/12/2007
Palavras-chave Economia
 Filosofia da ciência
 Finanças
 Modelo Black-Scholes
 Opções
204
Derivativos Financeiros
Resumo Original
O presente trabalho pretende introduzir uma visão das Finanças sob o aspecto da Filoso-
fia da Ciência. Para permitir um estudo mais detalhado, optou-se por utilizar um dos modelos 
mais utilizados em Finanças, o Modelo Black-Scholes de apreçamento de opções, e situá-lo 
dentro do campo de aplicação da Filosofia da Ciência. Primeiramente buscou-se, antes de 
entrar numa análise do texto original que apresentou o modelo, contextualizá-lo no campo 
da Economia e das Finanças e reconstruir historicamente suas bases conceituais. Em seguida 
são apresentados alguns dos elementos principais que caracterizam os modelos filosóficos 
de mudança científica posteriores à posição definida pelo positivismo lógico. Especial aten-
ção é dada às concepções Realista e Anti-Realista da Ciência. Ao final, é feita uma descri-
ção de algumas peculiaridades empíricas do Modelo Black-Scholes e é analisada a função do 
modelo dentro do campo da Economia e das Finanças.
Nome Tamanho
¤ DISSERTACAO_LUIS_FERNANDO_OGA.pdf 324.26 Kb
Data de Publicação 23/06/2008
(Disponível em: <www.teses.usp.br/teses/disponiveis/8/8133/tde-18032008-132755/>.)
Comentários: o trabalho, Dissertação de Mestrado, aqui mencionado, estuda 
o Modelo de Black & Scholes sob o aspecto da Filosofia da Ciência.
É um estudo que expõe fundamentos e hipóteses do modelo de B&S. O texto 
amplia a visão sobre o modelo.
Atividades de aplicação
1. Como se poderia criar uma put sintética?
2. O que significa delta-hedge? O que torna difícil a execução destas es-
tratégias?
3. Qual o novo preço da opção de compras das ações da Petrobras do 
texto do capítulo, se supusermos que a volatilidade da ação passa 
para 25% a.a.?
4. Refaça o cálculo da volatilidade, anexo ao capítulo, supondo os novos 
preços da tabela a seguir:
Preço das opções
205
Data
Data preço 
(Pa) de 
fechamento 
da ação, R$
Preço 
relativo 
Pat/Pat–1)
Retorno 
diário 
ln{Pt/Pat–1}
Desvio 
quadrado
(a) (b) (c) (d) = [(c)–média]2
1 26,5 26
2 26 26,2 0,98113 1,00769 – 0,01905 0,007663 0,000422 0,000038
3 24,5 25,8 0,94231 0,98473 – 0,05942 – 0,01538 0,003710 0,000285
4 23,7 24,9 0,96735 0,96512 – 0,0332 – 0,03551 0,001203 0,001368
5 24 24,3 1,01266 0,9759 0,01258 – 0,02439 0,000123 0,000670
6 24,8 24,9 1,03333 1,02469 0,03279 0,024391 0,000980 0,000525
7 26,7 25,7 1,07661 1,03213 0,07382 0,031623 0,005232 0,000908
8 26 26 0,97378 1,01167 – 0,02657 0,011606 0,000787 0,000102
9 25,2 25,2 0,96923 0,96923 – 0,03125 – 0,03125 0,001072 0,001072
10 26,7 26,7 1,05952 1,05952 0,05782 0,05782 0,003174 0,003174
11 26,8 26,8 1,00375 1,00375 0,00374 0,003738 0,000005 0,000005
12 27 27 1,00746 1,00746 0,00743 0,007435 0,000035 0,000035
13 26,5 26,5 0,98148 0,98148 – 0,01869 – 0,01869 0,000407 0,000407
14 26 26 0,98113 0,98113 – 0,01905 – 0,01905 0,000422 0,000422
15 25 25 0,96154 0,96154 – 0,03922 – 0,03922 0,001657 0,001657
16 24,8 24,9 0,992 0,996 – 0,00803 – 0,00401 0,000091 0,000030
17 26 25,9 1,04839 1,04839 0,04725 0,039375 0,002095 0,001436
18 26,5 26,3 1,01923 1,01544 0,01905 0,015326 0,000308 0,000192
19 26,8 26,8 1,01132 1,01901 0,01126 0,018833 0,000096 0,000301
20 27 27 1,00746 1,00746 0,00743 0,007435 0,000035 0,000035
Soma 0,05643 Soma 0,03451
Média 0,001485 Varian. 0,000933
Desvio-padrão diário: 0,030542
Desvio-padrão anual: 0,48484
48,48402
5. Considere o cálculo do prêmio da opção de compra de dólar do exem-
plo 2, supondo que a taxa de juros seja 10% a.a.
6. O que é o gama? Dê em exemplo em que o gama é elevado.
206
Derivativos Financeiros
Anexo 1
Cálculo de Volatilidade
Data
Data preço (Pa) 
de fechamento 
da ação, R$
Preço relativo 
(Pat/Pat –1)
Retorno diário 
ln{Pt/Pat –1}
Desvio 
quadrado
(a) (b) (c) (d) =
1 26,50 [(c)–media]2
2 26,00 0,98113 – 0,0190482 0,0004013 24,50 0,94231 – 0,05942 0,003649
4 23,70 0,96735 – 0,03320 0,001168
5 24,00 1,01266 0,01258 0,000134
6 24,80 1,03333 0,03279 0,001012
7 26,70 1,07661 0,07382 0,005305
8 26,00 0,97378 – 0,02657 0,000759
9 25,20 0,96923 – 0,03125 0,001039
10 26,70 1,05952 0,05782 0,003230
11 26,80 1,00375 0,00374 0,000008
12 27,00 1,00746 0,00743 0,000042
13 26,50 0,98148 – 0,01869 0,000387
14 26,00 0,98113 – 0,01905 0,000401
15 25,00 0,96154 – 0,03922 0,001616
16 24,80 0,99200 – 0,00803 0,000081
17 26,00 1,04839 0,04725 0,002141
18 26,50 1,01923 0,01905 0,000326
19 26,80 1,01132 0,01126 0,000106
20 27,00 1,00746 0,00743 0,000042
Soma 0,01869 Soma 0,02185
Média 0,0009838 Varian. 0,00121378
Desvio-padrão diário: 0,034839348
Desvio-padrão anual: 0,553057503
55,31% a.a.
Preço das opções
207
Anexo 2
Efeitos das variáveis do Modelo B&S no preço das opções
A seguir, apresentamos, na forma matemática, os efeitos sobre os preços das 
opções de compra e de venda, que foram vistos na tabela 2.
(a) Para calls temos:
∂C
∂Pe < 0 , 
∂C
∂Pa (delta) > 0 ; 
∂C
∂T > 0
∂C
∂σ
 > 0 , 
∂C
∂r > 0 e 
∂C
∂D < 0
(b) Para puts temos:
∂P
∂Pe > 0 , 
∂P
∂Pa (delta) < 0 ; 
∂P
∂T < 0
∂P
∂σ
 > 0 , 
∂C
∂r < 0 e 
∂P
∂D > 0
Modelo binomial
Introdução
Outro modelo utilizado para obtenção de prêmios de opções de compra 
e de venda é o modelo binomial, o qual envolve a construção de árvores 
binomiais.
Este modelo tem amplas aplicações, pois permite avaliar preços de opções 
americanas, opções com pagamentos de dividendos, juros etc, e, ainda, pode 
ser usado para as opções exóticas.
Por outro lado, o Modelo de Black & Scholes é adequado para avaliação de 
prêmios de opções europeias, mas não para opções americanas. O modelo 
de B&S, modificado, também pode ser usado para opções com dividendos e 
outro tipo de renda ao longo da vida da opção.
O uso do modelo binomial
O modelo binomial1 utiliza a distribuição de probabilidades binomial, 
na qual cada valor é desdobrado em dois outros valores, gerando a árvore 
binomial.
O modelo com um, dois, ou três passos
Inicialmente, consideremos uma situação muito simples, na qual uma 
ação apresenta um preço inicial, e a partir deste preço poderá chegar a dois 
valores, um superior e outro inferior ao valor inicial. A partir destes movi-
mentos, planejamos avaliar uma opção europeia de compra desta ação. Esta 
situação de subidas e de descidas é o fundamento dos modelos binomiais.
A fórmula usada em cada nó da árvore é dada por:
Valor da opção em um dado nó = [resultado da subida . probabilidade de 
subida + resultado da descida . probabilidade de queda] / (1 + i).
1 Uma referência impor-
tante para a abordagem 
do modelo binomial é o 
trabalho de Cox, Ross, e 
Rubinstein, Option Pricing: 
a simplified approach, no 
Journal of Financial Eco-
nomics, vol. 7 (October 
1979), p. 229-264.
210
Derivativos Financeiros
Suponhamos que as condições sejam as apresentadas a seguir:
Preço inicial da ação: R$50,00. �
Preços futuros da ação: R$55,00 ou R$45,00. �
Preço de exercício da opção: R$50,00. �
Taxa de juros: 1% para cada passo. �
Gráfico 1 – A árvore binomial com 1 passo.
R$50,00
R$55,00
R$45,00
T0 T
O
 a
ut
or
.
Aqui, estamos supondo que a subida ou descida de preços ocorrerá na 
forma de 5 unidades de preço. Na realidade, estes movimentos dependerão 
da volatilidade do preço da ação, como veremos mais adiante.
No exemplo, teríamos supostamente 50% de chance de ganhar R$5,00 
com preço final de R$55,00, e 50% de chance de não ganhar nada com preço 
final igual a R$45,00, já que a opção de compra não seria exercida.
Então, o valor final gerado seria dado por:
C0 = (50% . 5,00 + 50% . 0,00) / (1 + i)
Onde, as probabilidades de subida ou de descida são 50%, e os valores dos 
prêmios da opção seriam, na subida e na descida, respectivamente, 5,00 e 0,00.
E, ainda, considerando i igual a 1% no período, teríamos:
C0= R$2,4752/ ação.
Podemos expandir a árvore por mais períodos de tempo. Vejamos o caso 
de dois períodos.
Modelo binomial
211
Consideremos que as variações de preços sejam as dadas pela árvore:
R$50,00
R$55,00
R$50,00
R$60,00
R$40,00
R$45,00
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Árvore Binomial com 2 passos.
No momento T, temos os valores finais para a ação, 60,00; 50,00; e 40,00, 
supondo que as variações de preço continuem na passo anterior, isto é, 5 
unidades para cima ou para baixo.
Para avaliar os prêmios das opções, temos que caminhar do fim para o 
começo, já que no momento final sabemos facilmente seu valor.
Desse modo, no momento T teríamos os seguintes valores para a opção 
de compra no gráfico 3:
Gráfico 3 – Prêmios da opção de compra em T.
R$50,00
R$60,00
R$40,00
O
 a
ut
or
.
T
212
Derivativos Financeiros
Por conseguinte, a única situação em que a opção de compra seria exer-
cida seria aquela na qual o preço final alcança R$60,00, por ser o único preço 
acima do preço de exercício, R$50,00. Dos valores da opção em T, vistos no 
gráfico 3, podemos obter o valor da opção no período imediatamente ante-
rior, T1, partindo dos resultados R$10,00 e zero. Este também seria o proces-
so para se chegar ao prêmio da opção no momento inicial, TO.
Os resultados obtidos a cada período são:
Em T1, C1 = (50% . 10,00 + 50% . 0,00) /(1 + i) = 5,00/ (1 + i), e, C1’ = 50% . 
0,00 + 50% . 0,00 / (1+ i) = 0,00. E, com i = 1% em cada passo, C1 = 5,00 / (1,01) 
= 4,9505 e, C1’ = 0,00.
Consideremos, agora, a árvore com todos os valores possíveis para a 
opção de compra no gráfico 4.
Gráfico 4 – Valores dos prêmios da opção de compra.
T0 TT1
R$2,4507
R$4,9505
R$0,00
R$10,00
R$0,00
R$0,00
O
 a
ut
or
.
No momento T1, temos os valores 4,9505 e zero, e o procedimento de 
cálculo é o mesmo. Considerando, ainda, a taxa de juros no período igual a 
1%, o prêmio da opção de compra em TO seria dado por:
Modelo binomial
213
Co = (50% . 4,9505 + 50% . 0,00) / (1,01) e, Co = 2,4752 / (1,01) = R$2,4507/
ação.
Consideremos, a seguir, que mais um período é adicionado. A nova árvore 
binomial seria, então, a do gráfico 5.
Gráfico 5 – Árvore de preços da ação.
R$50,00
R$55,00
R$50,00
R$55,00
R$60,00
R$65,00
R$40,00
R$45,00
R$35,00
R$45,00
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
Os valores da opção de compra poderiam, então, ser visualizados na 
árvore da gráfico 6.
214
Derivativos Financeiros
Gráfico 6 – Árvore binomial com os resultados dos prêmios da opção.
R$15,00
R$9,901
R$3,640
R$6,127
R$2,4752
R$5,00
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$1,2253
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
Em T, temos os valores 15,00; 5,00; 0,00; e 0,00 para a opção de compra.
Em T2, obtemos, C2 = (50% . 15,00 + 50% . 5,00) / (1,01) e,
C2 = 9,901, e, também,
C2’ = (50% . 5,00 + 50% . 0,00) / (1,01) = 2,4752 e, 
C2’’ = 0,00.
Em T1, C1 = (50% . 9,901 + 50% . 2,4752) / (1,01) e
C1 = 6,127.
C1’ = (50% . 2,4752 + 50% . 0,00) / (1,01) e
C1’ = 1,2253, e, finalmente,
C0 = (50% . 6,127 + 50% . 1,2253) / (1,01) e
C0’ = R$3,640/ ação.
Portanto, o prêmio da opção seria igual a R$3,640/ ação.
Vejamos, agora, o caso de uma opção de venda.
Consideremos os valores anteriores dos preços da ação e também os três 
passos apresentados. O preço de exercício da opção de venda é R$50,00 e a 
taxa de juros, 1% por período (ou passo).
Modelo binomial
215
O gráfico 7 mostra sequência de preços para a ação.
Gráfico 7 – Árvore binomial de preços da ação.
R$50,00
R$55,00
R$50,00
R$55,00
R$60,00
R$65,00
R$40,00
R$45,00
R$35,00
R$45,00
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
Os valoresda opção de venda são os apresentados na árvore binomial d 
gráfico 8.
Gráfico 8 – Árvore binomial da opção de venda.
R$3,640
R$1,2253
R$2,4752
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$9,901
R$5,00
R$15,00
R$6,127 
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
216
Derivativos Financeiros
Em T, os valores da opção de venda são iguais a 0,00; 0,00; 5,00; e 15,00, só 
havendo exercício da opção de venda nos dois últimos casos.
Em T2, obtemos os seguintes valores:
P2 = 0,00
P2’ = (50% . 0,00 + 50% . 5,00) / (1,01) = 2,4752
P2’’ = (50% . 5,00 + 50% . 15,00) / (1,01) = 9,901
Em T1, os dois valores para a opção de venda são:
P1 = (50% . 0,00 + 50% . 2,4752) / (1,01) = 1,2253
P1’ = (50% . 2,4752 + 50% . 9,901) / (1,01) = 6,127
E, finalmente, em T0, temos:
P0 = (50% v 1,2253 + 50% . 6,127) / (1,01) = 3,640 e, P0 = 3,640.
O prêmio da opção de venda seria, portanto, igual a R$3,640/ação.
A utilização do modelo binomial
Na prática, as árvores binomiais são utilizadas com mais de trinta passos. 
A cada passo há uma oscilação binomial do preço da ação. Com 30 passos, e 
31 preços finais para a ação, verifica-se que existem 230, ou, aproximadamen-
te, um bilhão de trajetórias possíveis para o preço da ação.
Conforme observamos anteriormente, as subidas e descidas dos preços 
das ações são determinadas a partir da volatilidade do preço da ação. Formas 
diferentes podem ser utilizadas. Aqui, usaremos as especificações a seguir:
u = exp{σ √∆t }
d = 1 / u, ou, d = exp{– σ √∆t }
p = exp{i ∆t} – d
u – d
Modelo binomial
217
Onde, u e d representam, respectivamente, a subida e a descida dos 
preços do ativo, ∆t, o intervalo de tempo em cada passo, σ, a volatilidade do 
preço da ação, p, a probabilidade de um movimento ascendente; e i, a taxa 
de juros livre de risco1.
Esta especificação de subidas e descidas, e de probabilidades, apresenta 
a vantagem de permitir a convergência deste modelo para o modelo de B&S 
quando o número de passos aumenta sem limite.
Além disso, como u e d são inversos, uma subida e uma descida levam ao 
valor inicial.
Como primeiro exemplo, consideremos as seguintes condições:
Opção europeia de venda de ações sem dividendos; �
Preço de exercício: R$50,00. �
Prazo: 2 períodos (2 passos). �
Preço inicial da ação: R$50,00. �
Volatilidade: 20% a.a. �
Taxa de juros: 1% por período. �
Subida de preços da ação: u = exp{ � σ √∆t }.
Queda de preços da ação: d = exp{- � σ √∆t }.
Probabilidade de ascensão: P = � exp{i ∆t} – d
u – d
.
Então, temos:
u = exp{0,20 . √1/12} = exp{0,05773} = 1,0594
d = exp{- 0,20 . √1/12} = exp{– 0,05773} = 0,944
p = (exp{0,01} – 0,944) / (1,0594 – 0,944) = 0,5724
(1 – p) = 0,4276.
1 A taxa de juros livre é 
usada porque a avaliação 
da opção está sendo feita 
com base na ausência de 
arbitragem, que significa 
que o valor de uma car-
teira composta de ações 
e da opção permanece o 
mesmo no vencimento da 
opção, devendo render, 
portanto, a taxa de juros 
livre de risco. É a mesma 
lógica utilizada no modelo 
de B&S.
218
Derivativos Financeiros
A árvore binomial com os preços da ação seria como o gráfico 9 a seguir:
Gráfico 9 – Árvore binomial de preços da ação.
R$50,00
R$52,97
R$50,00
R$56,12
R$44,56
R$47,20
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
E a árvore com os preços da opção é dada pelo gráfico 10.
Gráfico 10 – Árvore de preços da opção de venda.
R$0,9750
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$5,44
R$2,303
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Modelo binomial
219
Em T, os prêmios da opção seriam 0,00: 0,00; e 5,44, havendo, portanto, 
exercício da opção de compra somente quando a ação vale 44,56.
Em T1, os prêmios montariam a:
C1 = (0,5724 . 0,00 + 0,4276 . 0,00) exp{– 0,01) = 0,00 e, C1’ = (0,5724 . 0,00 
+ 0,4276 . 5,44) exp{– 0,01) = 2,303
Em TO, temos, finalmente, C0 = (0,5724 . 0,00 + 0,4276 . 2,303) exp{– 0,01) 
= 0,9750
O prêmio da opção de compra seria, portanto, igual a R$0,9750/ação.
No próximo exemplo, avaliaremos o prêmio de uma opção de compra 
americana.
As condições apresentadas são:
Preço de exercício: R$30,00. �
Prazo: 3 períodos (3 passos). �
Preço inicial da ação: R$30,00. �
Volatilidade: 20% a.a. �
Taxa de juros: 12% a.a. �
Subida de preço (u): 1,0594. �
Queda de preços (d): 0,944. �
Probabilidade de ascensão, p = � exp{i ∆t} – d
u – d
p = (exp{0,12 . 1/12} – 0,944) / (1,0594 – 0,944) = 0,5724 e, 1 – p = 0,4276
Inicialmente, a árvore de preços das ações apresenta os seguintes valores, 
conforme gráfico 11
220
Derivativos Financeiros
Gráfico 11 – Árvore de preços da ação.
R$30,00
R$31,78
R$30,00
R$31,78
R$33,67
R$35,67
R$26,73
R$28,32
R$25,24
R$28,32
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
E, a árvore de preços da opção de compra americana é apresentada no 
gráfico 12.
Gráfico 12 – Árvore de preços da opção de compra americana.
R$0,9272
R$2,665
R$0,9973
R$1,78
R$3,958
R$5,67
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$0,5651
T0 TT1 T2
Modelo binomial
221
Em T, temos os seguintes resultados: 5,67; 1,76; 0,00; e 0,00.
Em T2, os valores da opção de compra seriam:
C2 = (0,5724 . 5,67 + 0,4276 . 1,78) exp{– 0,01}= 3,967
C2’ = (0,5724 . 1,78 + 0,4276 . 0,00) exp{– 0,01}= 1,0087
C2’’ = 0,00.
Observação: aqui, estamos utilizando a fórmula u = exp{σ ∆t }, como 
sempre, mas em vez de usar a taxa de juros com capitalização discreta, (1 + 
i), estamos usando a forma de capitalização contínua, com exp {– rt).
Como a opção é americana, devemos verificar a cada passo se ela deve 
ser exercida ou não.
Com o preço da ação igual a R$33,67 o exercício da opção de compra 
gerará ganho de R$33,67 – R$30,00 = R$3,67; mas, como o valor obtido, 
3,967, é superior a 3,67, o valor da opção de compra deve ser 3,967, e ela não 
seria exercida para gerar somente R$3,67.
Com a ação a R$30,00 e a R$26,73 não haveria exercício da opção de 
compra e os valores da opção seriam os calculados na árvore, 1,0087 e 0,00.
Em T1, teríamos os seguintes valores para o prêmio da opção de compra:
C1 = (0,5724 . 3,967 + 0,4276 . 1,0087) exp{– 0,01}= 2,675 e, 
C1’ = (0,5724 . 1,0087 + 0,4276 . 0,00) exp{– 0,01}= 0,5716.
Com a ação a R$31,78 haveria exercício da opção de compra e o valor dela 
seria dado por 1,78. Mas, como o valor calculado é 2,675, portanto, maior do 
que o ganho com o exercício da opção, 1,78, então, a opção não deveria ser 
exercida e o valor dela seria 2,675.
Já, com o preço da ação a R$28,32, a opção de compra não seria 
exercida.
Finalmente, em T0, o valor obtido para o prêmio é igual a:
C0 = (0,5724 . 2,675 + 0,4276 . 0,5716) exp{– 0,01}= 1,7578.
Assim sendo, o prêmio da opção de compra seria R$1,7578/ação.
222
Derivativos Financeiros
Ampliando seus conhecimentos
Teoria de Opções Aplicada a 
Projetos de Investimento
(MINOROLI, 2004)
O modelo binomial pode ser usado em diversos contextos. E um desses 
contextos é a analise de opções reais.
As opções reais são utilizadas em contextos de avaliação de ativos reais, 
em contraste com os ativos financeiros, o ativo-objeto de opções financeiras, 
como as vistas neste livro.
As opções reais utilizam com frequência o modelo binomial para avaliação 
de ativos reais.
As opções reais em um projeto de investimento levarão em consideração 
características que não são consideradas em análises de projetos convencio-
nais; entre estas características estão:
Opção de postergar o investimento. �
Opção para expandir. �
Opção para reduzir a planta (o projeto). �
Opção para parar temporariamente a operação; entre outras. �
Essas vantagens possuem valores que em muitas ocasiões não são conside-
rados em um projeto. Essas opções são o objeto do estudo das opções reais.
Consideremos o exemplo de análisede um projeto de extração e refino de 
petróleo com o uso do modelo binomial.
Consideremos que no projeto de petróleo tenhamos a seguinte árvore 
binomial:
Modelo binomial
223
100
180
108
324
36
60
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Os valores da árvore são obtidos como a seguir:
u = 1,8, e d = 0,6, portanto, os valores de subida são: 100 .1,8 = 180, e 180 . 
1,8 = 324, e os valores de descida são: 100 . 0,6 = 60, e 60 . 0,6 = 36.
A taxa de juros relevante é 20% e a probabilidade de subida ou descida é 
a mesma: 50%.
O investimento necessário no projeto é 104.
O valor do projeto é igual a:
Valor = (0,5 . 180 + 0,5 . 60) / 1,2 = 100.
Como o investimento necessário é maior do que o valor do projeto, sob 
uma análise convencional, o projeto seria rejeitado. Mas, sob a ótica das 
opções, e dos valores destas opções, que o projeto pode apresentar, a aceita-
ção do projeto pode ocorrer.
As características deste projeto, como as apontadas acima, deverão ser 
avaliadas no contexto do projeto, para que se possa fazer uma avaliação mais 
abrangente e completa do projeto.
Atividades de aplicação
1. Os prêmios das opções de compra e de venda, respectivamente os 
gráficos A e B, são os mesmos. Por quê?
224
Derivativos Financeiros
a) 
R$3,640
R$6,127
R$2,4752
R$5,00
R$9,901
R$15,00
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$1,2253
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
b)
R$3,640
R$1,2253
R$2,4752
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$9,901
R$5,00
R$15,00
R$6,127 
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
Modelo binomial
225
2. Quantos passos, normalmente, devemos usar na árvore binomial para 
o cálculo de prêmios de opções?
3. Refaça o cálculo da árvore binomial com 3 passos dos gráficos A e B, con-
siderando, agora, as subidas e descidas utilizadas nos gráficos C e D.
Gráfico C – Árvore binomial de preços da ação.
R$50,00
R$52,97
R$50,00
R$56,12
R$44,56
R$47,20
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Gráfico D – Árvore de preços da opção de venda.
R$0,9750
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$5,44
R$2,303
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
4. Suponha que na avaliação do prêmio da opção de venda europeia dos 
gráficos C e D, a volatilidade mude para 30% a.a. Calcule, então, o prê-
mio desta put.
226
Derivativos Financeiros
 Com volatilidade igual a 30,00% a.a., temos os seguintes valores:
 u = exp{0,30 . (1/12)0,5} = 1,0905
 d = 1/u = 0,9170
 p = (exp{0,01} – 0,9170) / (1,0905 – 0,9170) = 0,5363 e, 
 1 – p = 0,4637
 As árvores binomiais seriam, então:
R$50,00
R$54,53
R$50,00
R$59,46
R$42,04
R$45,85
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Gráfico A - Árvore de preços.
R$1,6775
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$7,96
R$3,6541
T0 TT1
O
 a
ut
or
.
Gráfico B - Árvore binomial para preços da opção de compra.
Modelo binomial
227
5. No exercício anterior, podemos dizer que o resultado maior era espe-
rado? E se a volatilidade fosse menor, esperaria-se resultado menor do 
que 0,9750?
6. Obtenha o prêmio de uma opção de venda americana, sob as seguin-
tes condições:
 - Preço de exercício: R$30,00
 - Prazo: 3 períodos (3 passos)
 - Preço inicial da ação: R$30,00
 - Volatilidade: 20% a.a.
 - Taxa de juros: 12% a.a.
 - Subida de preço (u): 1,0594
 - Queda de preços (d): 0,944
 - Probabilidade de ascensão, p = exp{i ∆t} – d
u – d
 = 0,5724 e, 1 – p = 
0,4276.
 Inicialmente, a árvore de preços das ações apresenta os seguintes va-
lores, conforme gráfico a seguir:
Gráfico A - Árvore de preços da ação.
R$30,00
R$31,77
R$30,00
R$31,78
R$33,67
R$35,67
R$26,73
R$28,32
R$25,23
R$28,32
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
228
Derivativos Financeiros
Gráfico B - Árvore de preços da opção de venda Americana.
R$0,9272
R$0,3011
R$0,7112
R$0,00
R$0,00
R$0,00
R$3,270
R$1,68
R$4,77
R$1,7873
T0 TT1 T2
O
 a
ut
or
.
Opções exóticas
Definição
As opções exóticas são aquelas que se diferenciam das opções tradicio-
nais pela sua complexidade.
Podemos separar este elenco de opções em dois tipos:
opções que independem da trajetória do ativo-objeto; �
opções que dependem da trajetória do ativo-objeto. �
Opções exóticas independentes 
da trajetória do ativo-objeto
São opções cujos valores, no vencimento dos contratos, não dependem 
da trajetória do ativo-objeto durante a vida da opção. A avaliação destas 
opções não envolve processos muito sofisticados, o que não é o caso de al-
gumas opções dependentes da trajetória.
Opção digital
Esta opção paga R$1,00 se estiver in-the-money, e R$0,00, em caso contrá-
rio. As opções digitais podem ser estruturadas com calls ou com puts.
Opção de compra digital
Consideremos uma opção de compra digital.
Os resultados desta opção de compra são descritos pela equação 1.
1) Call digital = 1, se Pa(T) > Pe, e = 0, se Pa(T) ≤ Pe.
232
Derivativos Financeiros
O gráfico 1 ilustra os resultados possíveis para a call digital.
1,0
Pe Pa
Ganhos / Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 1 – Opção de compra digital.
Para a opção de venda, os resultados seriam representados pela equação 
2 e ilustrados pelo gráfico 2.
2) Put Digital = 1, se Pa(T) < Pe, e = 0, se Pa(T) ≥ Pe.
1,0
Pe Pa
Ganhos / Perdas
O
 a
ut
or
.
Gráfico 2 – Opção de venda digital.
Vejamos um exemplo de uso.
Suponhamos que uma empresa brasileira irá adquirir máquinas nos EUA. 
As máquinas custarão 10 milhões de dólares e deverão ser pagas em 60 dias.
A empresa brasileira está preocupada com a possível desvalorização do 
real frente ao dólar.
Opções exóticas
233
Para se proteger contra cenários desfavoráveis, a empresa poderia esco-
lher entre algumas alternativas:
comprar contratos futuros de dólar.a) 
tomar posição ativa em dólar em contratos de b) swap.
comprar opção de compra de dólar.c) 
A empresa desejaria usar uma opção de compra para se proteger, mas ao 
verificar o valor do prêmio decide buscar uma outra alternativa que envolva 
contratos de opções, mas que apresente prêmios de menor valor.
Uma alternativa que a agrada é oferecida por um banco de investimen-
tos. Essa estrutura é chamada opção digital e exige prêmio menor do que a 
simples compra de uma opção de compra.
A proposta do banco de investimentos, ao detalhar a operação financeira, 
é apresentada na tabela 1 a seguir.
Tabela 1 – Resultados da Importação
Opção de compra Opção digital
Preço de exercício 2,40R$/US$ 2,40R$/US$
Prêmio R$500.000,00 R$450.000,00
A opção digital gera 1 milhão de reais se exercida.
Resultados da Importação
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Taxa de 
câmbio
Custo do 
equipamento
Ganho c/ 
opção de 
compra
Resultado 
total 
= (2) + (3)
Ganho 
c/ opção 
digital
Resultado 
total 
= (2) + (5)
(R$/US$) (R$milhão) (R$milhão) (*) (R$milhão) (*)
2,30 23,00 – 0,50 23,5 – 0,45 23,45
2,35 23,50 – 0,50 24,0 – 0,45 23,95
2,40 24,00 – 0,50 24,5 – 0,45 24,45
2,45 24,50 0,00 24,5 0,55 23,95
2,50 25,00 0,50 24,5 0,55 24,45
2,55 25,50 1,00 24,5 0,55 24,95
2,60 26,00 1,50 24,5 0,55 25,45
(*) Descontando o prêmio pago.
234
Derivativos Financeiros
Podemos constatar que a opção digital atende às exigências da empresa 
que busca proteção contra desvalorização do real diante do dólar; ela fun-
ciona como uma opção e não como um contrato futuro ou um contrato de 
swap, já que não há fixação da taxa de câmbio. Se a taxa de câmbio valoriza, 
a empresa se beneficiará desta valorização. Porém, na comparação com a 
opção de compra comum, a opção digital, embora apresente prêmio menor, 
não coloca um limite superior no efeito da taxa de câmbio. Como a opção 
digital paga um determinado valor fixo em casode exercício da opção, ela 
simplesmente atenua os impactos de possíveis desvalorizações cambiais.
É exatamente essa característica de pagar um determinado valor fixo que 
a torna menos custosa do que a opção de compra padrão, com o mesmo 
preço de exercício.
Observamos na tabela 1 que o limite máximo de dispêndio na compra 
das máquinas, com a opção de compra padrão, é 24,5 milhões de reais, e que 
este dispêndio vale para qualquer taxa de câmbio igual ou superior ao preço 
de exercício, 2,40R$/US$. Ao passo que com a opção de compra digital, o 
dispêndio com a importação já alcança 25,45 milhões de reais quando a taxa 
de câmbio atinge 2,60R$/US$.
A escolha entre a duas alternativas deve, portanto, considerar as expecta-
tivas de desvalorização do real.
Opções compostas
São opções cujo ativo-objeto é outra opção, que por sua vez também está 
ligada a um ativo-objeto. Assim, teríamos opção de compra sobre opção de 
compra ou sobre opção de venda; e, ainda, opções de venda sobre opção de 
compra ou sobre opção de venda.
Na data de vencimento da opção composta, seu valor é dado por:
Valor da opção composta (Cc) = [c – Pe], se > 0, = 0, se ≤ 0.
Vejamos uma situação em que uma opção de compra de uma opção de 
compra pode ser utilizada.
Considere uma empresa brasileira que esteja disputando uma concorrên-
cia para desenvolver um projeto de investimento. Se ela vencer a disputa, 
terá que importar alguns equipamentos dos EUA. A empresa, preocupada 
com possível desvalorização do real em relação ao dólar, decide se proteger 
usando contratos de opção para este fim.
Opções exóticas
235
Uma alternativa seria comprar uma opção de compra de dólar, com o preço 
de exercício desejado. O inconveniente dessa estratégia é que a importação 
dos equipamentos ainda está condicionada ao resultado da concorrência. E, 
desse modo, a compra da opção poderia vir a ser desnecessária.
Uma outra alternativa seria adquirir, hoje, o direito de comprar uma opção 
de compra de dólares na data do resultado da concorrência, opção de compra 
que teria vencimento na data da importação dos equipamentos.
Esta opção também poderia vir a ser desnecessária, no caso de perda na 
concorrência, mas teria a vantagem de ser menos custosa do que a compra de 
uma simples opção de compra no momento atual. Esta vantagem de custos 
resulta da diferença de valor entre se adquirir, hoje, o direito de comprar uma 
opção de compra europeia daqui a 30 dias, cujo vencimento ocorre daqui 
a 60 dias, e, se comprar, hoje, uma opção de compra comum para a data da 
importação dos equipamentos, daqui a 60 dias.
Vejamos o exemplo a seguir.
Considere uma empresa brasileira que está concorrendo para ganhar um 
contrato de venda de um produto para os EUA por 10 milhões de dólares. A 
firma será informada em 30 dias se ganhou a concorrência ou não. Se ganhar, 
ela receberá o pagamento pela venda 30 dias após a entrega do produto.
A empresa está preocupada com possível valorização do real frente ao 
dólar, pois sua receita em reais com a venda diminuiria.
Uma possibilidade de proteção contra este cenário de valorização do 
real seria comprar uma opção de venda (put) com prazo de vencimento de 
60 dias, e preço de exercício escolhido pela empresa. Suponhamos que o 
preço de exercício que deixaria a empresa confortável com a proteção cam-
bial fosse igual a 2,00R$/US$, e que o prêmio desta opção fosse 0,05R$/US$. 
A empresa, então, gastaria 0,5 milhão de reais (=R$10.000.000,00 . 0,05R$/
US$).
No entanto, se a empresa não vencer a concorrência, terá perdido os 
R$500.000,00 do prêmio pago.
A empresa, então, decide consultar um banco sobre a possibilidade de 
usar opções exóticas. E o banco lhe apresenta a seguinte alternativa, usando 
contratos de opções:
236
Derivativos Financeiros
A empresa poderia comprar uma opção de compra de uma opção de 
venda. Ou seja, adquirir o direito de comprar uma opção de venda. Esta 
opção valeria por 30 dias, isto é, até a data do resultado da concorrência. No 
vencimento desta opção de compra, a empresa, se ganhar a concorrência, 
decide exercê-la, e se perder a concorrência, não a exercerá.
No caso de exercício, a empresa compraria a opção de venda com prazo 
de 30 dias e preço de exercício determinado no início da operação.
Suponhamos que o preço de exercício escolhido para a opção de venda 
seja 2,00R$/US$. O prêmio a pagar seria igual a 0,25R$/US$.
No entanto, a opção de compra exigiria um valor fixo a ser pago pela em-
presa, se a opção de venda vier a ser exercida. Este valor foi estipulado em 
R$200.000,00. Assim, se a opção de venda for exercida na data do recebi-
mento dos dólares, do ganho final da empresa com a opção será deduzido o 
valor de R$200.000,00.
Verificamos, portanto, que o uso da opção composta poderá reduzir sen-
sivelmente o custo com prêmio. Com a opção tradicional, o prêmio seria igual 
a R$500.000,00; já com a opção composta, o prêmio cai para R$250.000,00. 
No entanto, se a opção é exercida, ainda devemos considerar que do ganho 
com o exercício vai ser subtraído do valor fixo que deve ser pago ao banco, 
R$200.000,00.
Suponhamos que a taxa de câmbio no dia do pagamento em dólares seja 
1,80R$/US$. Neste caso, a opção seria exercida e geraria ganho líquido de 
R$1.550.000,00 (= R$2.000.000,00 – R$200.00,00 – R$250.000,00).
Opções exóticas dependentes 
da trajetória do ativo-objeto
Opções com barreiras
Nestas opções, além do preço de exercício deve ser determinado, também, 
um valor para a barreira.
Quando o preço do ativo-objeto da opção ultrapassa esta barreira, para 
cima ou para baixo, a opção é ativada ou desativada, dependendo do tipo de 
opção com barreira que estamos analisando.
Opções exóticas
237
Os tipos de opções com barreira são os seguintes:
Down-and-out
Este é o caso de uma opção com uma barreira que desativa a opção, ou 
seja, a opção é cancelada se o preço do ativo-objeto cair abaixo do valor da 
barreira.
Vejamos um exemplo de opção de compra deste tipo.
Considere uma empresa que deve fazer um pagamento em dólares em 
60 dias, relativo a um título de dívida externa que ela tem no mercado inter-
nacional. O valor do pagamento é de 100 milhões de dólares.
A empresa está preocupada com possível desvalorização do real frente 
ao dólar.
Ela, então, poderia comprar uma call com um determinado preço de exer-
cício e prazo de 60 dias. Suponhamos que a opção de compra com preço de 
exercício 2,25R$/US$ tenha prêmio igual a 0,04R$/US$. A taxa de câmbio à 
vista no mercado de câmbio é 2,15R$/US$.
Antes de decidir sobre a compra da call, ela analisa uma proposta que 
recebeu, na qual a opção oferecida é uma opção de compra com barreira. A 
opção de compra com barreira apresenta as seguintes características:
Tipo � down-and-out.
Preço de exercício: 2,25R$/US$ �
Barreira: 1,90R$/US$ �
Prêmio: 0,035R$/US$ �
Prazo de vencimento: 60 dias. �
A empresa, se escolher a call com barreira do tipo down-and-out, estaria 
pagando prêmio menor do que pagaria por uma opção de compra comum; 
ela pagaria 0,035R$/US$, ou R$3.500.000,00, contra R$4.000.000,00.
No entanto, aceitar a opção com barreira do tipo down-and-out significa 
aceitar que a opção será desativada se a taxa de câmbio cair para valores abaixo 
do valor da barreira, 1,90R$/US$, durante os 60 dias do prazo de opção.
238
Derivativos Financeiros
Verifica-se, assim, que esta opção deixará de existir se o valor do ativo- 
-objeto cair abaixo do valor da barreira.
Entretanto, a empresa considera que se o preço cair abaixo deste valor, e a 
opção for extinta, o risco de ascensão da taxa de câmbio, para valores acima 
de 2,25R$/US$, será bem menor, e, por isso, a proteção cambial já não será tão 
necessária. Mas, não se deve esquecer que a taxa de câmbio poderá ultrapassar 
este valor, e a empresa já nãoestará mais com a proteção cambial com a opção.
Ela, então, decide comprar a opção mais barata, ou seja, a call com barreira.
As tabelas 2a e 2b ilustram os resultados possíveis para a empresa no ven-
cimento da opção, data do pagamento da dívida externa, segundo os valo-
res possíveis da taxa de câmbio.
 Tabela 2a – Resultados do pagamento da dívida (a barreira não é 
ultrapassada)
Opção de compra Opção c/ barreira
Preço de exercício 2,25R$/US$ 2,25R$/US$
Prêmio R$4.000.000,00 R$3.500.000,00
Resultados do pagamento da dívida
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Taxa de 
câmbio
Custo do 
dívida
Ganho c/ 
opção de 
compra
Resultado 
total 
= (2) + (3)
Ganho c/
opção c/ 
barreira
Resultado 
total 
= (2) + (5)
(R$/US$) (R$milhão) (R$milhão) (*) (R$milhão) (*)
2,05 205,00 – 4,00 209,00 – 3,50 208,50
2,15 215,00 – 4,00 219,00 – 3,50 218,50
2,25 225,00 – 4,00 229,00 – 3,50 228,50
2,35 235,00 6,00 229,00 6,50 228,50
2,45 245,00 16,00 229,00 16,50 228,50
2,55 255,00 26,00 229,00 26,50 228,50
2,65 265,00 36,00 229,00 36,50 228,50
(*) Descontando o prêmio pago.
Opções exóticas
239
 Tabela 2b – Resultados do pagamento da dívida (a barreira é 
ultrapassada)
Opção de compra Opção c/ barreira
Preço de exercício 2,25R$/US$ 2,25R$/US$
Prêmio R$4.000.000,00 R$3.500.000,00
Resultados do pagamento da dívida
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Taxa de 
câmbio
Custo do 
dívida
Ganho c/ 
Opção de 
compra
Resultado 
total 
= (2) + (3)
Ganho c/
opção c/ 
barreira
Resultado 
total 
= (2) + (5)
(R$/US$) (R$milhão) (R$milhão) (*) (R$milhão) (*)
2,05 205,00 – 4,00 209,00 – 3,50 208,50
2,15 215,00 – 4,00 219,00 – 3,50 218,50
2,25 225,00 – 4,00 229,00 – 3,50 228,50
2,35 235,00 6,00 229,00 – 3,50 238,50
2,45 245,00 16,00 229,00 – 3,50 248,50
2,55 255,00 26,00 229,00 – 3,50 258,50
2,65 265,00 36,00 229,00 – 3,50 268,50
(*) Descontando o prêmio pago.
Observamos que na tabela 2a, os valores da opção com barreira são 
sempre melhores do que a opção de compra comum, e isto se deve ao 
prêmio menor. Já, na tabela 2b, os resultados com a opção com barreira são 
melhores apenas até a taxa de câmbio 2,25R$/US$; daí em diante os resulta-
dos são sempre piores porque a barreira desfez a opção de compra.
Down-and-in
Essas opções com barreira ativam a opção quando o preço do ativo-obje-
to cai abaixo de um certo valor, dado pela barreira. Ou seja, a opção é contra-
tada mas somente será ativada, isto é, somente passará a valer, se a barreira 
for cruzada.
Vejamos um exemplo com opção de venda com barreira do tipo 
down-and-in.
Considere uma empresa que vai receber um pagamento de 10 milhões 
de dólares pelo produto que irá exportar.
240
Derivativos Financeiros
A empresa receia que a taxa de câmbio real/dólar caia, isto é, que o real 
valorize frente ao dólar, e que sua receita diminua em reais.
Ela, então, decide comprar uma opção sobre dólar para se proteger.
Uma instituição financeira oferece a ela dois tipos de opções:
Uma opção de venda comum com as seguintes características:
Preço de exercício: 2,00R$/US$. �
Prêmio: 0,04R$/US$. �
Vencimento na data do recebimento da exportação. �
Uma opção de venda com barreira do tipo down-and-in, com as seguintes 
características:
Preço de exercício: 2,00R$/US$. �
Barreira: 1,90R$/US$. �
Prêmio: 0,03R$/US$. �
Como a empresa acha que o real estará desvalorizando em relação ao 
dólar, ou deverá permanecer no patamar atual, 2,15R$/US$, ela decide com-
prar a opção de venda com barreira do tipo down-and-in, pois pagará prêmio 
menor, 0,03R$/US$.
Considere os quatro cenários a seguir e os respectivos resultados da es-
tratégia nas tabelas 3 e 4.
Tabela 3 – Cenários alternativos
Cenário 1 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
2,25R$/US$, e a barreira não foi acionada.
Cenário 2 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
1,95R$/US$$, e a barreira não foi acionada.
Cenário 3 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
2,20R$/US$, e a barreira foi acionada.
Cenário 4 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
1,85R$/US$$, e a barreira foi acionada.
Opções exóticas
241
Tabela 4 – Resultados da exportação (*)
Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4
Taxa de câmbio 
(R$/US$) 2,25 1,95 2,20 1,85
Barreira acionada 
(1,90R$/US$) NÃO NÃO SIM SIM
Resultados 
(R$milhão) 22,20 (a) 19,20 (b) 21,70 (c) 19,70 (d)
(*) Descontando o prêmio pago igual a R$300.000,00.
(a) 10 milhões US$. 2,25R$/US$– R$300 mil = R$22,2 milhões
(b) 10 milhões US$. 1,95R$/US$– R$300 mil = R$19,2 milhões 
(c) 10 milhões US$. 2,20R$/US$– R$300 mil = R$21,7 milhões
(d) 10 milhões US$. 2,00R$/US$– R$300 mil = R$19,7 milhões 
Vejamos, agora, nas tabelas 5 e 6, os resultados com a opção de venda 
comum.
Tabela 5 – Cenários alternativos
Cenário 1 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
2,25R$/US$.
Cenário 2 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
1,95R$/US$$.
Cenário 3 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
2,20R$/US$.
Cenário 4 – A taxa de câmbio no dia do recebimento da exportação é 
1,85R$/US$$.
Tabela 6 – Resultados da exportação (*)
Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4
Taxa de câmbio 
(R$/US$) 2,25 1,95 2,20 1,85
Resultados 
(R$milhão) 22,10 (a) 19,60 (b) 21,60 (c) 19,60 (d)
(*) Descontando o prêmio pago igual a R$400.000,00.
242
Derivativos Financeiros
(a) 10 milhões US$. 2,25R$/US$– R$400 mil = R$22,1 milhões
(b) 10 milhões US$. 2,00R$/US$– R$400 mil = R$19,6 milhões
(c) 10 milhões US$. 2,20R$/US$– R$400 mil = R$21,6 milhões
(d) 10 milhões US$. 2,00R$/US$– R$400 mil = R$19,6 milhões 
Up-and-out
Esta opção com barreira é desativada quando o preço do ativo-objeto 
ultrapassa a barreira estipulada.
Vejamos um exemplo de opções com barreira do tipo up-and-out.
Considere uma empresa brasileira que estará recebendo 100 milhões de 
dólares de uma emissão de títulos de dívida no exterior, e deseja se proteger 
contra possível valorização do real em relação ao dólar. A taxa de câmbio 
atual é 2,15R$/US$.
A seguinte opção de venda com barreira é oferecida a ela:
Tipo: � up-and-out.
Preço de exercício: 2,00R$/US$. �
Barreira: 2,25R$/US$. �
Prêmio: 80% do prêmio de uma � put comum, com o mesmo preço de 
exercício e mesmo vencimento.
A empresa acha que se a taxa de câmbio ultrapassar o valor 2,25R$/US$, o 
risco de voltar a cair acentuadamente é pequeno, e, por isso, prefere a opção 
com barreira, pois pagará 20% a menos como prêmio.
Up-and-In
Esse tipo de opção com barreira é ativada quando o preço do ativo-obje-
to ultrapassa o valor de barreira.
Considere uma empresa brasileira que fará o pagamento de um título de 
dívida em dólares 45 dias à frente.
Para se proteger contra possível desvalorização do real diante do dólar, 
ela decide usar uma opção de compra com barreira com as seguintes carac-
terísticas:
Opções exóticas
243
Up-and-in. �
Preço de exercício: 2,25R$/US$. �
Barreira 2,20R$/US$. �
Prêmio: 85% do prêmio de uma � call comum, com o mesmo preço de 
exercício e mesmo vencimento.
Como o real vem valorizando em relação ao dólar, a empresa acredita que 
não precisaria da opção, a menos que a taxa de câmbio suba novamente e 
ultrapasse a barreira. Se isto ocorrer, a empresa estaria protegida.
Observe que em qualquer momento que a barreira for ultrapassada a 
opção se torna válida e a empresa estará protegida no dia do pagamento.
Outras opções exóticas
Além das opções analisadas, uma série de outras opções exóticas são ne-
gociadas no mercado. Entre elas, temos:
Opção Asiática � : o resultado final depende do preço médio do ativo- 
-objeto e não do preço final. A média pode ser usadacomo preço do 
ativo-objeto e também como preço de exercício.
Opção � lookback: o resultado no vencimento é dado pela diferença 
entre o preço final do ativo-objeto e o preço mínimo deste mesmo 
ativo-objeto durante o prazo da opção.
Leveraged options � : são as opções cujos ganhos ou perdas não são re-
presentados por linhas retas, como nas opções tradicionais vanilla. Um 
exemplo é a opção squared power, cujo preço do ativo é elevado ao 
quadrado.
Chooser � : quando o titular escolhe, em determinado momento, se a 
opção será uma call ou uma put.
Outras estruturas também estão disponíveis no mercado.
Conclusão: as opções exóticas apresentam estruturas complexas, e, por 
isso, permitem que empresas, investidores, e outros usuários destes instru-
mentos adequem com mais flexibilidade estas opções a seus interesses. 
Muitas opções exóticas podem custar menos do que as opções vanilla, redu-
zindo, assim, as despesas com determinadas estratégias.
244
Derivativos Financeiros
Ampliando seus conhecimentos
Carteira usa opções exóticas
(VALOR, 10 abr. 2008)
Foi lançado hoje, para os clientes mais abonados, o multimercado HSBC 
Smart Timing com capital protegido. A estrutura, de 18 meses de prazo, é for-
mada por uma combinação de opções exóticas. Esses papéis dão ao portador 
o direito, após um determinado período, de escolher se a opção será de venda 
(direito de vender um papel a um preço definido) ou de compra (direito de 
comprar a um valor estabelecido).
Há vários cenários previstos no fundo e cada um oferece um retorno di-
ferente. No primeiro, o Ibovespa não atinge, durante a existência do fundo, a 
barreira de baixa (–10%) nem a de alta (45%), e encerra o período com alta de 
até 45%. Nessa caso, o fundo pagará 100% da variação do Ibovespa. No segun-
do cenário, o índice não atinge nenhuma das duas barreiras, mas fecha com 
perda de até 10%. Nesse caso, o cliente recebe pelo menos o que investiu.
Já, se o Ibovespa não atingir a barreira de baixa, mas bater a de alta, inclusive 
durante o dia, o retorno será de, no mínimo, 16%. Caso o Ibovespa atinja a barrei-
ra de baixa, mas não a de alta, e feche com ganho de até 45%, o retorno será de 
120% da variação do índice. No quinto cenário, se o Ibovespa atingir a barreira de 
baixa, mas não a de alta, e fechar com perda, o fundo preservará o capital.
No caso de extrema volatilidade, se o Ibovespa atingir a barreira de baixa 
e também a de alta, por um segundo que seja, mas fechar o período com 
retorno positivo, o investidor terá retorno de, no mínimo, 20% da variação do 
Ibovespa, acrescida da taxa prefixada de no mínimo 16%. Por fim, se o índice 
atingir a barreira de baixa e também a de alta, mas fechar negativo, o cotista 
garante uma rentabilidade de no mínimo 16%.
A aplicação é de R$10 mil e a taxa de administração é de 1,5% ao ano. Os 
investidores interessados poderão aplicar no fundo até o dia 29 de maio, mas 
esse período poderá ser encerrado antes, caso a carteira atinja R$250 milhões. 
Quem aplicar não poderá resgatar até o dia 15 de outubro de 2009.
Opções exóticas
245
Atividades de aplicação
1. Uma opção com barreira é considerada uma opção dependente da 
trajetória? Por quê?
2. Uma opção digital pode ser considerada como semelhante a um con-
trato futuro ou a termo?
3. Uma opção com barreira poderia substituir a opção composta usada 
pela empresa brasileira que concorre para obter um contrato de venda 
para os EUA, conforme:
 Considere uma empresa brasileira que esteja disputando uma concor-
rência para desenvolver um projeto de investimento. Se ela vencer a 
disputa, terá que importar alguns equipamentos dos EUA. A empresa, 
preocupada com possível desvalorização do real em relação ao dólar, 
decide se proteger usando contratos de opção para este fim.
 Uma alternativa seria comprar uma opção de compra de dólar, com o 
preço de exercício desejado. O inconveniente desta estratégia é que 
a importação dos equipamentos ainda está condicionada ao resulta-
do da concorrência. E, desse modo, a compra da opção poderia vir a 
ser desnecessária.
 Uma outra alternativa seria adquirir, hoje, o direito de comprar uma 
opção de compra de dólares na data do resultado da concorrência, 
opção de compra que teria vencimento na data da importação dos 
equipamentos.
 Esta opção também poderia vir a ser desnecessária, no caso de perda 
na concorrência, mas teria a vantagem de ser menos custosa do que 
a compra de uma simples opção de compra no momento atual. Esta 
vantagem de custos resulta da diferença de valor entre se adquirir, 
hoje, o direito de comprar uma opção de compra europeia daqui a 30 
dias, cujo vencimento ocorre daqui a 60 dias, e se comprar, hoje, uma 
opção de compra comum para a data da importação dos equipamen-
tos, daqui a 60 dias.
246
Derivativos Financeiros
4. Considere a empresa que deve fazer um pagamento em dólares em 
60 dias, relativo a um título de dívida externa que ela tem no mercado 
internacional. O valor do pagamento é de 100 milhões de dólares.
 Se ela, em vez de adquirir uma opção de compra com barreira do tipo 
down-and-out, adquirisse uma opção de compra do tipo down-and-in, 
como ficaria sua posição diante do risco cambial?
5. Quais seriam as diferenças, considerando a opção com barreira do tipo 
down-and-in, se a barreira passasse para 1,95R$/US$, e o prêmio desta 
opção para 0,035R$/US$?
6. Considere a empresa brasileira que estará recebendo 100 milhões de 
dólares de uma emissão de títulos de dívida no exterior, e deseja se 
proteger contra possível valorização do real em relação ao dólar. A 
taxa de câmbio atual é 2,15R$/US$.
 A seguinte opção de venda com barreira é oferecida a ela:
 - Tipo: up-and-out
 - Preço de exercício: 2,00R$/US$
 - Barreira: 2,25R$/US$
 - Prêmio: 80% do prêmio de uma put comum, com o mesmo preço de 
exercício e mesmo vencimento.
 Suponha que a empresa decida utilizar uma opção de venda comum 
no lugar da opção com barreira. Determine o valor limite da taxa de 
câmbio que torna indiferente usar uma ou outra em termos de receita 
final da empresa. Considere o preço de exercício e o prêmio da put 
comum, respectivamente, iguais a 2,00R$/US$e 0,05R$/US$.
Contratos e mercados de swaps
O que são as operações de swaps?
A operação de swap consiste em uma troca de preços, índices, ou taxas. 
Um exemplo simples é o de uma empresa (ou investidor) que toma recursos 
emprestados para sua atividade a taxas de juros pós-fixadas, suponhamos 
à taxa do CDI. Ela, então, deseja fixar esta taxa de juros por recear ascensão 
dos juros em geral. Então, ela poderia se dirigir a um banco e contratar uma 
operação de swap de juros, na qual pagaria uma taxa de juros prefixada ao 
banco, e receberia em troca, do banco, a taxa CDI do período compreendido 
pela operação de swap. O período da operação de swap deve ser determi-
nado de modo a coincidir com a data de vencimento do empréstimo feito à 
taxa pós-fixada (CDI). Assim sendo, o pagamento ou o recebimento da ope-
ração de swap ocorreria exatamente na data de vencimento do empréstimo 
com taxa pós-fixada.
Esta operação de troca de taxas de juros é o que se denomina contrato 
de swap.
Na realidade, a empresa e o banco combinariam trocar somente a dife-
rença entra a taxa de juros prefixada no início do contrato de swap e a taxa 
CDI observada no final do swap, que, como observamos acima, seria feita na 
data de vencimento do empréstimo inicial feito pela empresa e que gerou 
a necessidade da operação de swap. Se a taxa prefixada for maior do que a 
taxa CDI, então, a empresa pagaria a diferença entre elas para o banco; ao 
passo que, se fosse menor, o banco pagaria a diferença para a empresa.
Como está sendo fixada uma taxa de juros para a empresa, conforme po-
demos confirmar pela figura 1, a seguir, a empresa, neste sentido, estariafa-
zendo uma operação semelhante à que poderia fazer com contratos futuros 
de DI, onde também é possível fixar uma taxa de juros antecipadamente.
Considerando as duas operações em conjunto, o empréstimo e o swap, a 
empresa estaria fixando a taxa de juros de sua dívida.
250
Derivativos Financeiros
A fixação da taxa de juros pode ser melhor visualizada na figura 1. Nesta 
figura, a empresa recebe um empréstimo com taxa pós-fixada com base no 
CDI, e ao mesmo tempo, na operação de swap, com o banco contratado para 
este fim, ela recebe a taxa CDI e paga uma taxa fixa acordada com o banco 
do swap no início deste contrato. O prazo do swap é de 6 meses. Somando os 
fluxos financeiros para empresa, no vencimento do empréstimo, que coinci-
de com o vencimento do contrato de swap, a empresa teria como taxa final 
paga a taxa fixa do swap.
Figura 1 – Swap de taxas de juros.
Banco
Taxa fixa
Capta à taxa CDI + spread 
Prazo: 6 meses
Taxa flutuante (CDI) X taxa fixa
CDI
Empresa
O
 a
ut
or
.
Portanto, o resultado final para a empresa é pagar liquidamente a taxa 
fixa, já que as taxas CDI se anulam, conforme a figura 1 nos mostra.
Empresa paga = taxa CDI – taxa CDI + taxa fixa = taxa fixa.
Observa-se que as taxas CDI seriam as mesmas, tanto no empréstimo da 
empresa quanto no contrato de swap. Se o contrato de swap é feito no mo-
mento em que a empresa está levantando o empréstimo com base na taxa 
CDI, as taxas CDI de ambas as operações cobririam exatamente o mesmo 
período de tempo.
A empresa, portanto, trocou a taxa de juros pós-fixada de seu emprés-
timo por uma taxa de juros prefixada através de uma operação de swap de 
taxa de juros. Este tipo de swap, troca de taxa pós-fixada para taxa prefixada 
de juros, é o mais tradicional.
Se, no vencimento das operações, empréstimo e swap de juros, a taxa CDI 
ficar abaixo da taxa fixa do swap, a empresa teria uma saída líquida de caixa, 
ao ter que pagar esta diferença entre taxa fixa e taxa CDI para o banco do 
Contratos e mercados de swaps
251
swap. Se, ao contrário, a taxa CDI ficar acima da taxa fixa do swap, a empresa 
receberia esta diferença do banco do swap. Mas, nos dois casos, a empresa 
teria que desembolsar, no total, a taxa prefixada no swap, não importando, 
portanto, se a taxa CDI do swap foi maior ou menor do que a taxa fixa do 
swap. A única diferença é que ela, em um caso paga ao banco do swap, e, 
no outro caso, ela recebe deste mesmo banco. Esta diferença nos remete à 
questão do risco de crédito em um contrato de swap. Estes contratos estão, 
a princípio, sujeitos ao risco de crédito de ambas as partes. A empresa pode 
não pagar ao banco, ou o banco também pode não pagar à empresa no ven-
cimento do swap. Alguns contratos de swap são cobertos por depósitos de 
garantia, para reduzir ou eliminar as perdas possíveis.
Outro aspecto importante em um contrato de swap diz respeito às taxas 
de troca que são determinadas na operação. Neste exemplo, a troca é de 
taxas de juros. Surge, então, a pergunta: como se determina a taxa fixa es-
tabelecida no início da operação? Esta taxa prefixada advém das taxas de 
juros CDI negociadas a termo, ou seja, da curva de taxas CDI futuras ne-
gociadas no mercado no momento em que a operação de swap é contra-
tada. Portanto, a taxa prefixada no swap nada mais é do que uma taxa CDI 
a termo (futura) que está sendo negociada nos mercados futuros de CDI. 
Na verdade, a taxa prefixada não será exatamente igual à taxa CDI nego-
ciada no mercado futuro de juros, pois o banco do swap coloca um spread 
em cima desta taxa futura, que se constitui no ganho bancário na operação 
de swap. No nosso exemplo, como a taxa prefixada seria igual à taxa CDI a 
termo (futura), referente ao prazo da operação de swap somada ao spread 
bancário. Se a taxa futura é 11% a.a. e o spread bancário é 1,0% a.a., a taxa 
do swap seria 12,0% a.a.
Diz-se que a empresa, nesta posição no contrato de swap, estaria na posição 
ativa na taxa CDI, e na posição passiva em termos de taxa fixa. O banco estaria 
nas posições exatamente opostas, ativa na taxa fixa e passiva na taxa CDI.
Vamos colocar alguns números na nossa operação, para visualizar melhor 
os resultados obtidos.
Consideremos que a taxa fixa do swap é igual a 12% ao ano. Neste caso, 
teríamos o pagamento pela empresa de 12% ao ano, convertida para semes-
tre, contra o pagamento da taxa CDI pelo banco, também para seis meses. O 
swap é de seis meses.
252
Derivativos Financeiros
Consideremos também que o valor da operação do swap é de 
R$1.000.000,00, que seria o mesmo valor do empréstimo tomado pela 
empresa.
Suponhamos que a taxa CDI tenha ficado, no semestre, em 11,60% ao 
ano.
Então, os resultados do swap seriam:
(a) Empresa paga pelo empréstimo inicial: R$1.000.000,00 . (1,1160)126/252 
= R$1.000.000,00 . 1,05641 = R$1.056.409,01.
Na operação de swap de taxa de juros, a empresa paga e recebe os se-
guintes valores:
1. Empresa paga taxa fixa de 12% ao ano, totalizando: R$1.000.000,00 . 
(1,12)126/252 = R$1.000.000,00 . 1,05830 = R$1.058.300,52
2. Empresa recebe taxa CDI, totalizando: R$1.000.000,00 . (1,1160)126/252 = 
R$1.000.000,00 . 1,05641 = R$1.056.409,01.
3. Empresa paga em termos líquidos no swap: R$1.891,51.
A empresa terá que pagar, pelo empréstimo, somado aos fluxos do 
swap, o valor de R$1.058.300,52, que representa uma taxa de juros de 12% ao 
ano. Se a empresa não tivesse feito o swap de juros, ela pagaria 11,6% ao ano.
Observações:
(1) Como dito anteriormente, a taxa de swap de 12% ao ano é obtida pela 
curva de taxas futuras de juros no mercado financeiro. A partir desta taxa 
futura, os bancos colocam um acréscimo, isto é, um spread, na taxa a receber 
em uma operação de swap. Desse modo, a taxa de 12% do contrato de swap, 
inclui a taxa de juros futura mais o acréscimo cobrado pelo banco. Por exem-
plo, com taxa futura igual a 11,00% ao ano, e o spread igual a 1,0% ao ano, a 
taxa cobrada pelo banco seria 12% a.a. Se o banco estivesse na outra ponta 
da operação do swap, ele pagaria a taxa fixa ao cliente, mas reduziria este 
valor pelo spread que cobraria na operação, e receberia a taxa CDI do mesmo 
cliente. Considerando ainda nosso exemplo, o banco pagaria 10% a.a. (=11% 
a.a. – 1% a.a. de spread), e receberia a taxa DI do cliente.
(2) Na operação do exemplo, não foram consideradas garantias pelos riscos 
de nenhuma das partes.
Contratos e mercados de swaps
253
(3) Os riscos de crédito da operação de swap, no entanto, estão limitados 
à diferença nas taxas de juros, já que somente esta diferença é trocada pelas 
partes. No exemplo acima, o valor trocado é R$1.891,51 (=R$1.058.300,52 – 
R$1.056.409,01), que consiste em um valor realmente muito pequeno. Este 
valor certamente poderia ser bem maior, em função do valor financeiro do 
swap e da diferença entre as taxas de juros no vencimento da operação.
Como está sendo fixada uma taxa de juros para a empresa, conforme 
podemos confirmar pela figura 1, a empresa, nesse sentido, estaria fazendo 
uma operação semelhante à que poderia fazer com contratos futuros de DI, 
onde também é possível fixar uma taxa de juros antecipadamente.
Swaps e contratos futuros
O contrato de swap foi comparado com o contrato futuro ao longo do 
exemplo anterior. No entanto, algumas diferenças entre esses contratos 
devem ser ressaltadas, com o objetivo de mostrar as vantagens e desvanta-
gens de cada uma delas entre si.
Apresentaremos três diferenças entre essas duas operações financeiras.
1.ª diferença – os contratos futuros são padronizados, enquanto que os 
swaps são ajustados entre as partes. Isto significa que os swaps podem ter 
prazos de vencimentos variados e, portanto, de forma diferente da padroni-
zação de tempo característica das bolsas de futuros. Desse modo, um con-
trato de swapoferece mais flexibilidade para uma das partes (ou até mesmo 
para ambas) que deseja estabelecer a data de pagamento ou recebimento 
de swap como sendo a mesma em que ocorre a situação que gerou o con-
trato de swap. Neste caso, o swap poderia estar servindo com instrumento 
de hedging. Por exemplo, na situação anterior, o pagamento do empréstimo 
feito pela empresa poderia ter vencimento no dia 15 de um determinado 
mês, e ela, com o contrato de swap, poderia estabelecer esta data como a 
do vencimento do próprio swap, casando as taxas de juros DI no mesmo dia 
15 do mês. Esta possibilidade não existe nos contratos futuros, já que eles 
vencem em data determinada pela bolsa de futuros. No caso de futuro de DI 
na BM&F Bovespa o vencimento se dá no primeiro dia útil de cada mês, ou 
seja, ele reflete a taxa DI no último dia do mês anterior.
254
Derivativos Financeiros
2.ª diferença – nos contratos de swap existe o risco de crédito da contra-
parte, exceto se a operação for registrada em uma Bolsa ou instituição que 
assuma o risco de crédito das partes. Também existe a figura de depósitos de 
garantia em certas operações de swap, embora não seja da maneira que é 
realizada nas operações com contratos futuros, nos quais ocorre a marcação 
a mercado dia a dia. Com os contratos futuros, a operação é feita pela bolsa 
de futuros e, por isso, o risco da contraparte é atenuado pela posição de mar-
gens de garantias, ajustes diários, e reduzido ainda mais pela Bolsa onde a 
transação financeira é realizada.
3.ª diferença – a liquidação antecipada da posição em um swap é mais 
complicada do que a liquidação antecipada de uma posição com contratos 
futuros. Nas operações de swaps, uma parte que queira antecipar a liquidação 
deste contrato deve procurar a contraparte e tentar negociar a interrupção 
do contrato antes de seu vencimento, ou alternativamente tentar negociar 
este contrato com uma terceira parte. Um contrato ainda poderia ser com-
pensado financeiramente por uma posição com contratos futuros contrária 
à do swap. Se em um contrato de swap, por exemplo, uma empresa recebe 
a taxa de juros DI, ela pode abrir posição vendida em contratos futuros de 
DI para tentar anular financeiramente o contrato de swap; mas deve atentar 
para o fato de que o contrato de swap continuará, de fato, em vigor, com 
os riscos de crédito nele existentes permanecendo, somente, seus fluxos fi-
nanceiros sendo compensados. Já nos contratos futuros basta a parte inte-
ressada entrar em contato com seu corretor e tomar posição contrária à sua 
posição inicial na bolsa de futuros.
Vejamos, agora, alguns exemplos de swaps comuns no Brasil.
Exemplos de swaps
Exemplo 1: Swaps de taxas de juros prefixadas e 
pós-fixadas no Brasil
Um investidor possui ativo de R$1.000.000,00, com vencimento em 90 
dias corridos (ou 65 dias úteis), prefixado à 10,0% a.a. e deseja realizar um 
swap pré-CDI (troca de taxa CDI por taxa de juros préfixada).
Um banco consultado oferece as seguintes condições:
Contratos e mercados de swaps
255
Paga 8,5% a.a. contra 100% do CDI e recebe 10,0% a.a. contra 100% do 
CDI (estas taxas são efetivas para 252 dias).
Nesses 90 dias, a taxa efetiva do CDI no período foi 3,0%.
Pergunta-se: 
 (a) Qual o valor do swap para o investidor?
 (b) Qual o valor líquido recebido após os 90 dias?
(a) O investidor deve trocar a taxa prefixada pela taxa DI no seu investi-
mento. Ele, então, contratará um swap com o banco, no qual pagará ao banco 
10,00% a.a. e receberá a taxa DI do banco, conforme figura 2.
Figura 2 – Swap de taxas de juros.
Banco
Taxa fixa = 10% a.a.
Investe à taxa 10% a.a.
Prazo: 90 dias
Taxa flutuante (CDI) X taxa fixa
CDI
Investidor
O
 a
ut
or
.
Se a taxa DI no período de 90 dias foi 3,0%, teremos os seguintes valores 
para a empresa ao final do swap:
Investidor paga 10% a.a., isto é, paga R$1.000.000,00 . (1,10) � 65/252 = 
R$1.024.888,65.
Investidor recebe 3,0% no período, ou seja, recebe R$1.000.000,00 . 1,03 �
= R$1.030.000,00.
Como somente ocorre a troca da diferença, o investidor receberá R$5.111, 
35 (= R$1.030.000,00 – R$1.024.888.65).
(b) O valor líquido para o investidor será dado pela taxa DI do período, 
isto é, ele receberá, no total, R$1.030.000,00, já que os fluxos de 10% de taxa 
de juros se anulam na operação combinada, investimento mais swap.
256
Derivativos Financeiros
Exemplo 2: Swaps de taxas de juros prefixadas e 
dólar no Brasil
Uma empresa possui uma dívida de R$10.000.000,00, com vencimento em 
120 dias, e com pagamento de juros dado pela variação cambial + 7,5% a.a. 
e deseja realizar um swap para trocar seu pagamento de juros em dólar para 
juros prefixados.
Considere que uma instituição financeira oferece uma operação de swap, 
na qual pagaria a variação cambial mais 7,5% a.a. (taxa linear para 360 dias 
corridos) e receberia 12,5 % a.a. (taxa efetiva para 360 dias corridos) Considere, 
também, que a variação cambial no período do swap será igual a 4,0% a.a.
Pergunta-se:
(a) Qual o valor do swap para a empresa?
(b) Qual o valor líquido pago após estes 120 dias?
a) Operação de swap
 Empresa recebe (posição ativa): R$10.000.000,00 . 1,04 . (1 + 0,075 . 
120/360) = R$10.660.000,00
 Empresa paga (posição passiva): R$10.000.000,00 . (1,125)^(120/360) = 
R$10.400.419,12
 Valor swap para empresa: R$259.580,88.
b) Pagamento da dívida = R$10.000.000,00 . 1,04 . (1 + 0,075 . 120/360) = 
R$10.660.000,00.
 Valor líquido pago: R$10.400.419,12.
Origens das operações de swaps
As operações de swaps tiveram início no começo da década de 1980. A 
importante operação de swap, realizada entre o Banco Mundial e a IBM, em 
1981, é considerada como aquela que inaugurou o mercado de swap; foi 
uma operação entre moedas, havendo troca de francos suíços e marcos ale-
mães por dólares dos EUA. O Banco Mundial pagava francos suíços e marcos 
alemães diretamente para a IBM e recebia dólares.
Contratos e mercados de swaps
257
Nas primeiras operações de swaps era possível, para os bancos interme-
diários, obterem ganhos de até 100 pontos básicos, remuneração esta que 
veio decaindo ao longo dos anos, chegando, em contratos de swap do tipo 
plain vanilla (os mais comuns), a cerca de um décimo do valor anterior; isto 
se deu em decorrência do aumento da concorrência entre os bancos e outras 
instituições financeiras neste mercado.
Uma grande vantagem das operações de swap está na troca de fluxos 
de caixa, sendo feita somente em termos da diferença de valores represen-
tados pelo preço de uma mercadoria, pela taxa de juros etc., não havendo, 
portanto, troca dos volumes financeiros que definem a operação de swap. 
Estes volumes financeiros são chamados de valor de referência do swap. Se, 
por exemplo, o contrato de swap envolve a troca de taxas de juros, prefixada 
e pós-fixada, e o volume da transação definida através do contrato de swap 
é 1 milhão de reais, o volume financeiro trocado é a diferença entre as taxas 
de juros, a qual incidirá sobre o valor de referência, 1 milhão de reais; mas o 
valor 1 milhão de reais não entra na troca. No entanto, em swaps de moedas 
podem ocorrer trocas do valor de referência.
Swaps e vantagens comparativas
Vantagens comparativas em um 
swap de taxa de juros
Um dos motivos que impulsionaram o crescimento das operações de 
swaps diz respeito à troca somente das diferenças dos fluxos de caixa, como 
vimos acima.
Outro aspecto importante no desenvolvimento deste mercado reside nos 
ganhos decorrentes das vantagens comparativas por vezes existentes.
Vejamos como ocorrem estes ganhos em uma operação de swap. Consi-
dere um swap de taxas de juros, onde duas empresas, A e B, são atendidas 
por um banco intermediário. Estas empresas desejam tomar empréstimos 
em dólares, sendo que A quer tomar recursos a taxasfixas, enquanto B deseja 
recursos a taxas flutuantes. Um banco que tem como clientes essas duas em-
presas, sabendo das taxas de captação que elas podem obter em seus res-
pectivos empréstimos, oferece uma operação de swap para cada uma delas. 
258
Derivativos Financeiros
As taxas de captação para as empresas A e B são apresentadas na tabela 1. 
Consideremos que as empresas pagarão juros semestrais nos empréstimos, 
que terão prazo de 2 anos, e também que o valor tomado por empréstimo 
será US$50 milhões.
Tabela 1 – Custos de captação para as empresas A e B
Taxa fixa (% a.a.) Taxa flutuante (% a.a.)
Empresa A 5,0% Libor – 6mo + 0,30
Empresa B 5,5% Libor – 6mo + 1,30
A Empresa A pode captar recursos pagando 5,0% ao ano como taxa fixa, 
ou pagando Libor1 – 6mo (6 meses) + 0,30% ao ano em um empréstimo com 
taxas pós-fixadas, enquanto que a Empresa B pode pagar 5,5% ao ano de 
taxa fixa ou Libor – 6mo + 1,30% ao ano como taxa flutuante.
Portanto, para A, que deseja captar recursos a taxas fixas, conseguir cap-
tações que exijam pagamentos abaixo deste valor serão preferíveis. Para a 
empresa B, que quer captar recursos pagando taxas flutuantes, qualquer 
valor abaixo de Libor + 1,30% ao ano seria vantajoso.
Podemos observar que a empresa A consegue captar recursos a taxas 
mais baixas do que B, em qualquer dos dois mercados. Isto provavelmente 
se deve a melhor capacidade de crédito da Empresa A.
Também podemos constatar que a diferença de custo de captação entre 
as duas empresas é maior no mercado de taxas flutuantes, 1% ao ano, do que 
no de taxas fixas, 0,50% ao ano. Com isso, podemos dizer que a Empresa A 
apresenta vantagem comparativa no mercado de taxas fixas e a Empresa B 
no mercado de taxas flutuantes. Esta diferença permite que ambas e o banco 
intermediário ganhem com a construção de duas operações de swaps entre 
o banco e as empresas. Os swaps entre o banco e as duas empresas são apre-
sentados nas figuras 3 e 4 e na tabela 1.
1 A Libor (London Inter-
bank Offer Rate) é uma 
taxa de juros do mercado 
interbancário em Londres. 
É a taxa que os bancos 
ofertam dinheiro. No caso, 
estamos usando a Libor 
em dólares.
Contratos e mercados de swaps
259
Figura 3 – Swap de taxas de juros predefinidas e pós-fixadas.
Banco
Taxa fixa = 4,5% a.a.
Capta à taxa Libor + 0,3% a.a.
Prazo: 2 anos, com pagamentos semestrais
Taxa flutuante (Libor) X taxa fixa
Valor de referência: US$50 milhões
Libor de 6 meses
Empresa A
O
 a
ut
or
.
Na figura 2, a Empresa A toma recursos emprestados à taxa flutuante 
Libor de 6 meses + 0,3% ao ano e realiza um swap com o banco, no qual ela 
pagará ao banco a taxa fixa 4,5% ao ano e receberá Libor de 6 meses ao ano 
do banco.
Para a Empresa A, haverá, com este arranjo, uma economia de 0,2% ao 
ano, pois pagaria 4,8% a.a., em comparação à taxa fixa que ela pagaria se 
captasse recursos diretamente no mercado de taxas fixas, 5,0% a.a. Portanto, 
a Empresa A estaria captando recursos em melhores condições buscando 
empréstimos à taxa pós-fixada e fazendo um swap com o banco do que se 
captasse diretamente à taxa fixa de 5% ao ano.
O banco também ofereceria à Empresa B uma captação de recursos com 
taxa fixa e a concomitante troca da taxa fixa por uma taxa pós-fixada através 
de um swap, conforme apresentado na figura 4
Figura 4 – Swap de taxas de juros predefinidas e pós-fixadas.
Banco
Libor de 6 meses 
Capta à taxa 5,5% a.a.
Prazo: 2 anos, com pagamentos semestrais
Taxa flutuante (Libor) X taxa fixa
Valor de referência: US$50 milhões
Taxa fixa = 4,4% a.a.
Empresa B
O
 a
ut
or
.
260
Derivativos Financeiros
Assim, a Empresa B captaria recursos pagando 5,5% a.a., e faria um swap 
com o banco, pagando a taxa Libor de 6 meses e recebendo a taxa fixa 
4,4% a.a.
Para a Empresa B, com este arranjo, também haveria uma economia de 
0,2% ao ano, pois pagaria Libor + 1,1 % a.a., em comparação à taxa flutuante 
que ela pagaria se captasse recursos diretamente no mercado de taxas flutu-
antes, Libor + 1,3% a.a. Portanto, a Empresa B estaria captando recursos em 
melhores condições buscando empréstimos à taxa prefixada e fazendo um 
swap com o banco do que se captasse diretamente à taxa flutuante Libor de 
6 meses + 1,3% a.a.
E, finalmente, para o banco também haveria um ganho de 0,1% a.a. ao 
realizar os dois swaps para as duas empresas. O banco receberia a taxa Libor 
da Empresa B e pagaria a taxa Libor para a Empresa A, e, ao mesmo tempo, 
receberia 4,5% da Empresa A e pagaria 4,4% a.a. à Empresa B.
A figura 5 mostra os dois swaps em conjunto, com o banco pagando e 
recebendo os fluxos acima definidos às duas empresas.
Figura 5 – Banco faz swap com as duas empresas.
Banco Empresa B
4,5% a.a. 4,4% a.a.
Libor Libor 
Empresa A
Prazo: 2 anos, com pagamentos semestrais
Taxa flutuante (libor) X taxa fixa
 Valor de referência: US$50 milhões O
 a
ut
or
.
Para as empresas e o banco os empréstimos acoplados aos contratos de 
swap foram melhores do que as empresas captarem recursos diretamente 
nos mercados desejados, sem o uso dos swaps.
Os ganhos decorrentes dos dois swaps, 50 pontos, ou 0,5% a.a., são a 
soma de 20 pontos para cada empresa com 10 pontos para o banco.
O mecanismo das trocas de pagamentos
Nos dois swaps, as datas de pagamentos entre as empresas e o banco 
ocorreriam nas mesmas datas de pagamentos dos juros dos empréstimos, 
isto é, a cada 6 meses, visto que os empréstimos seriam feitos com paga-
Contratos e mercados de swaps
261
mentos de juros semestrais, e os contratos de swaps também especificariam 
que os ajustes de taxas de juros dos swaps se dariam nas mesmas datas dos 
pagamentos de juros dos empréstimos. Portanto, a cada seis meses, uma das 
partes dos swaps pagaria a outra a diferença entre as taxas estipuladas em 
cada contrato de swap, já que neste tipo de contrato somente se troca a di-
ferença entre os dois fluxos.
O pagamento do principal não é trocado em um swap de taxas de juros, 
pois não há sentido em trocar, no exemplo em questão, US$50 milhões por 
US$50 milhões.
A diferença de juros a ser paga a cada semestre é dada pela equação 1.
1) Juros pagos = [(taxa fixa – taxa Libor de 6meses) / 200] . 50 milhões.
Suponhamos que a taxa Libor de 6 meses em uma determinada data de 
pagamento de juros seja 4,2% ao ano. Esta taxa, então, determinaria os se-
guintes pagamentos nos dois contratos de swaps.
No contrato da Empresa A, esta pagaria 4,5%/2 no semestre e receberia 
4,2%/2 no semestre, resultando no pagamento líquido de (2,25% – 2,10%) . 
50 milhões, ou seja, US$75 mil, que seria feito pela Empresa A ao banco, pois 
a taxa Libor deste semestre ficou abaixo da taxa fixa do swap.
No caso do swap da Empresa B, esta pagaria 4,2%/2 e receberia 4,4%/2, 
estabelecendo o recebimento líquido de (4,4%/2 – 4,4%/2) . 50 milhões, ou 
seja, de US$50 mil pela Empresa B.
As tabelas 2a e 2b ilustram os resultados possíveis para estas operações 
de swap, em função da taxa Libor de 6 meses ao longo dos dois anos do 
swap.
Tabela 2a – Resultados dos swaps em função da taxa Libor de 6 meses
Período Libor (6 meses) Swap para A Swap para B
Primeiro (início) 4,5 0,00 – 0,10
Segundo 4,8 + 0,30 – 0,40
Terceiro 4,0 – 0,50 + 0,40
Quarto 5,2 + 0,70 – 0,80
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Derivativos Financeiros
Tabela 2b – Resultados dos swaps em função da taxa Libor de 6 meses
Período 
(semestre) Libor (6 meses)
Banco no swap 
de A
Banco no swap 
de B
Primeiro (início) 4,5 0,00 + 0,10
Segundo 4,8 – 0,30 + 0,40
Terceiro 4,0 + 0,50 – 0,40
Quarto 5,2 – 0,70 + 0,80
Observações:
(1) A tabela 2a mostra que a empresa A receberá pagamentos na ope-
ração de swap nos segundo e quarto trimestre, isto é, quando a taxa Libor 
supera a taxa fixa que ela deve pagar ao banco, 4,5% a.a.