Determinantes

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 2. Determinantes 
 
2.1 Definição 
 
 Determinante é um número real que está associado a cada matriz quadrada. Toda 
matriz possui esse número e ele é único. Um mesmo número pode ser associado por 
mais de uma matriz. Se uma matriz tem determinante nulo dizemos que ela é singular. 
Nesse caso a matriz não admite inversa. Assim, antes de calcular a inversa de uma matriz 
devemos saber o valor do determinante para saber se é possível a inversão. 
 
 Denotamos o determinante da matriz A por det(A) ou |A|. É preciso ter cuidado para 
não escrevermos A = 3, por exemplo, se o determinante da matriz A for igual a 3. O 
correto seria det(A) = 3 ou |A| = 3. Quando os elementos da matriz estiverem explicitados 
utilizamos parênteses e colchetes para representar uma matriz e barras (| |) para 
simbolizar um determinante, como na figura abaixo. 
 
 𝐴 = 0 −3−1 2  𝑜𝑢  𝐴 =
0 −3
−1 2 → 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧  𝐴 
 
𝐴 = det 𝐴 = 0 −3−1 2 → 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒  𝑑𝑒  𝐴 
 
 O cálculo do determinante à partir de como ele foi definido é uma tarefa complicada 
o que levou aluns matemáticos, ao longo da história, à desenvolver métodos alternativos. 
Se uma matriz tem ordem 1, o determinante é o próprio elemento da matriz. A partir daí 
temos um método exclusivo para ordem 2, um para ordem 3 e dois métodos que podem 
ser utilizados para qualquer ordem. Utilizamos os métodos gerais para ordens maiores 
que 3, já que não temos métodos exclusivos para elas. 
 
2.2 Matrizes de ordem 2 
 
 O método alternativo para matrizes com duas linhas e duas colunas é bastante 
simples. Para obter o determinante desse tipo de matrizes multiplicamos os elementos da 
diagonal principal e em seguida os da diagonal secundária. O valor é obtido fazendo a 
diferença (subtração) entre o primeiro e o segundo produto, como no exemplo abaixo. 
 
Exemplo: 
 
0 −3
−1 2 = 0.2− −3 . −1 = −3 
 
2.3 Matrizes de ordem 3 
 
 Chamamos esse método de Regra de Sarrus. Ela consiste em: 
 
(i) Copiar as duas primeiras colunas do lado direito do determinante; 
(ii) Feito isso, é possível visualizar, na nova composição três “diagonais principais” e três 
“diagonais secundárias”; 
(iii) Cada diagonal deve ter seus elementos multiplicados três a três; 
(iv) O determinante será a diferença entre a soma dos produtos nas “diagonais principais” 
e a soma dos produtos nas “diagonais secundárias”. 
 
2 
 
 
Exemplo: 
 
1 −1 3
2 1 2
3 0 1
1 −1
2 1
3 0
= 1.1.1+ −1 . 2.3+ 3.2.0 − [3.1.3+ 1.2.0+ −1 . 2.1] = −12 
 
2.4 Matrizes de ordem qualquer 
 
2.4.1 Teorema de Laplace 
 
2.4.1.1 Cálculo do cofator 
 
 Denotamos por Aij, o cofator do elemento aij, da matriz quadrada A. Por definição, 
cofator é um número, que calculamos utilizando, 
 
Aij = (-1)i+j.|Mij| 
 
onde Mij é a matriz que obtemos eliminando a linha i e a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
Considere 𝐴 =
1 −1 3
2 1 2
3 0 1
 . Calcularemos o co-fator A12, do elemento a12 = -1. 
 
 𝐴!" = (−1)!!!.
2 2
3 1 = − 2.1− 3.2 = 4 
 
1 −1 3
2 1 2
3 0 1
 
 
2.4.1.2 Cálculo do determinante 
 
 De acordo com o Teorema de Laplace, o determinante de uma matriz de ordem 
maior que 1 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) da matriz 
com seus respectivos cofatores. Nesse caso devemos proceder da seguinte maneira: 
 
(i) Escolhemos uma fila da matriz; 
(ii) Calculamos os cofatores (não nulos) dos elementos dessa fila; 
(iii) Multiplicamos cada elemento pelo seu cofator; 
(iv) Somamos os produtos obtidos. 
 
 Recomenda-se escolher uma fila com a maior quantidade de zeros possível. Ao 
seguir essa recomendação não precisaremos calcular os cofatores dos elementos nulos 
já que o produto deles pelos seus elementos resulta zero. 
 
 
 
 
 
3 
Exemplo: 
1) Calcularemos o determinante de  𝐴 =
1 −1 3
2 1 2
3 0 1
 para compararmos o resultado 
obtido anteriormente. 
 
1 −1 3
2 1 2
3 0 1
= −1 .𝐴!" + 1.𝐴!! = −1 . 4+ 1. −8 = −12 
 
𝐴!" = (−1)!!!.
2 2
3 1 = − 2− 6 = 4 
 
𝐴!! = (−1)!!!.
1 3
3 1 = 1− 9 = −8 
 
2) Calcularemos o determinante de 𝐵 =
−1 1 0      3
1 2 −4 2
−1
1
3
0
0    1
3    0
 . 
 
−1 1 0      3
1 2 −4 2
−1
1
3
0
0    1
3    0
= 1.𝐴!" + 3.𝐴!" = 1. −32 + 3. −16 = −80 
 
 
𝐴!" = (−1)!!!.
1 0 3
2 −4 2
3 0 1
1 0
2 −4
3 0
= − −4 + 0+ 0 − −36 + 0+ 0 = −32 
 
𝐴!" = (−1)!!!.
−1 1 3
1 2 2
−1 3 1
−1 1
1 2
−1 3
= − −2 + −2 + 9 − [(−6 + (−6)+ 1]] = −16 
 
 
2.4.2 Regra de Chió 
 
 Para a aplicação desse regra é necessário que pelo menos um dos elementos da 
matriz seja 1. Uma vez encontrado esse número deve ser seleciona e, em seguida, 
passar um traço pontilhado sobre a linha e outro sobre a coluna onde ele estiver, como na 
figura abaixo. Quando há mais de um número 1 na matriz qualquer um deles pode ser 
selecionado. 
 
−1 1 0      3
1 2 −4 2
−1
1
3
0
0    1
3    0
 
 
 Para o cálculo do determinante utilizaremos o termo (-1)i+j, de acordo com a 
posição do número selecionado, e ele será multiplicado pelo determinante de outra matriz 
que será escrita da seguinte maneira: 
 
 
4 
(i) Copiamos as colunas da matriz “aparente” com um sinal de menos seguido de um 
pequeno espaço ao lado de cada número copiado; 
(ii) Registramos após o sinal de menos o produto dos dois valores que estão sob cada 
linha pontilha, e à menor distância de cada número copiado, como observamos 
abaixo; 
 
1− −1 . 2 −4− 0.2 2− 3.2
−1− −1 . 3 0− 0.3 1− 3.3
1− −1 . 0 3− 0.0 0− 3.0
 
Assim, 
 
−1 1 0      3
1 2 −4 2
−1
1
3
0
0    1
3    0
= (−1)!!!.
3 −4 −4
2 0 −8
1 3 0
= −[ 0+ 32+ −24 − 0+ −72 + 0 = −80 
 
 
2.5 Exercícios 
 
2.5.1 Para aprender 
 
1. Calcular os determinantes abaixo: 
 
a) 1 52 12 
 
b) 1 −12 4 
 
c) −3 52 2 
 
d) 
1 2 −2
−1 −3 4
0 1 5
 
 
e) 
2 −1 2    3
0 2 4 −1
0
−1
1
3
−1 3
0    1
 
  
f) 
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
−2
−1
1
−1
1
0
0
1
0
3
0
2
0
1
0
 
 
2. Calcular os determinantes das matrizes indexadas abaixo: 
 
a) A = (aij)2x2 tal que aij = 2i + j2. 
 
b) B = (bij)3x3 tal que bij = -i + 2j. 
 
 
5 
c) C = (cij)3x3 tal que 𝑐!" =
𝑖 − 𝑗; 𝑖 ≥ 𝑗
𝑖 + 𝑗; 𝑖 < 𝑗. 
 
d) D = (dij)4x4 tal que 𝑐!" =
𝑖 − 𝑗; 𝑖 ≥ 𝑗
𝑖 + 𝑗; 𝑖 < 𝑗 
 
 
3. Em quais dos itens abaixo abaixo a matriz não é inversível? 
 
a) −1 52 10 
 
b) 3 −15 −4 
 
c) 
1 2 −2
−1 −3 4
0 −1 2
 
 
d) 
1 3 1
2 2 2
3 1 1
 
 
e) 
0 4 0 4 0
1 0 1 0 0
−2
−1
3
−1
3
0
0
−1
0
3
0
2
−7
1
2
 
 
 
2.5.2 Para praticar 
 
1. Calcular os determinantes abaixo: 
 
a) 3 55 −12 
 
b) 1 −20 4 
 
c) −3 −52 −2 
 
d) 
1 2 2
1 3 −4
0 2 −5
 
 
e) 
2 1 2    3
0 2 0 −1
3
0
1
3
1 2
0    1
 
 
 
 
6 
f) 
0 1 0 4 −1
1 0 1 0 0
2
1
−1
−1
1
−5
0
5
0
3
0
2
2
1
0
 
 
2. Calcular os determinantes das matrizes indexadas abaixo: 
 
a) A = (aij)2x2 tal que aij = -2i + j2. 
 
b) B = (bij)3x3 tal que bij = i - 2j. 
 
c) C = (cij)3x3 tal que 𝑐!" =
𝑖 + 𝑗; 𝑖 ≥ 𝑗
𝑖 − 𝑗; 𝑖 < 𝑗. 
d) D = (dij)4x4 tal que 𝑐!" =
2𝑖 − 𝑗; 𝑖 ≥ 𝑗
𝑖 + 2𝑗; 𝑖 < 𝑗 
 
3. Em quais dos itens abaixo abaixo a matriz não é inversível? 
 
a) −1 52 10 
 
b) 3 −15 −4 
 
c) 
1 0 −2
−1 −3 5
3 −1 2
 
 
d) 
1 −1 0 4 0
2 1 3 0 0
3
4
5
0
1
2
3
5
7
3
0
2
−7
1
2
 
 
e) 
0 −2 0 1 0
−1 0 1 0 0
2
0
4
−1
1
0
0
1
0
−3
0
−2
7
1
5
 
 
 
2.5.3 Complementares 
 
1. (Ita) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz A é igual a 9, 
determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz A-1. 
 
𝐴 =
𝑛 𝑙𝑜𝑔!2 −𝑙𝑜𝑔!
1
2
𝑛 + 5 𝑙𝑜𝑔!3! 𝑙𝑜𝑔!243
−5 𝑙𝑜𝑔!
1
125
−𝑙𝑜𝑔!25
 
 
 
7 
2. (Unicamp - Adaptado) Seja dada a matriz 𝐴 =
𝑥 2 0
2 𝑥 6
0 6 16𝑥
 em que x é um número 
real. 
 
a) Determine para quais valores de x a matriz A é singular. 
 
b) Tomando 𝐶 =
3
4
−1
 e supondo que, na matriz A, x = -2, calcule B = A.C e D = Ct.A.