Apostila 1 de Matemática C

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Universidade Federal da Fronteira Sul - UFFS
Matemática C e Instrumental
Engenharia Ambiental e Ciência da
Computação
Lucia Menoncini
Chapecó, SC
Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais
Chama-se conjunto dos números naturais - śımbolo N - o seguinte conjunto:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Vejamos alguns exemplos de números que pertencem e não pertenecem ao
conjunto dos números naturais: 0 ∈ N, −2 /∈ N, 2
3
/∈ N
Denotamos por N∗ o conjunto:
N∗ = {1, 2, 3, 4, ...}
2. Conjunto dos números Inteiros
Chama-se conjunto dos números inteiros - śımbolo Z - o seguinte conjunto:
Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis:
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (chamado conjunto dos inteiros não negativos)
Z− = {0,−1,−2,−3, ...} (chamado conjunto dos inteiros não positivos)
Z∗ = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...} (chamado conjunto dos inteiros não nulos).
3. Conjunto dos números Racionais
Chama-se conjunto dos números racionais - śımbolo Q - o seguinte conjunto:
Q = {a
b
| a ∈ Z e b ∈ Z∗}.
No conjunto dos números racionais destacamos os seguintes subconjuntos:
Q+ = conjunto dos racionais não negativos
Q− = conjunto dos racionais não positivos
Q∗ = conjunto dos racionais não nulos
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Representação decimal
Todo número recional
a
b
pode ser representado por um número decimal. Para
isto, basta dividir o inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de uma notação para outra
podem ocorrer dois casos:
(1 ) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero,
isto é, é uma decimal exata.
Exemplo:
1
2
= 0, 5;
37
100
= 0, 37
(2 ) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem
periodicamente, isto é, é uma d́ızima periódica.
Exemplo:
1
3
= 0, 33333...
4. Conjunto dos números Irracionais
Existem números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica.
Números como esses são chamados números irracionais.
Exemplo: pi = 3, 14159265...,
√
2 = 1, 414213...
5. Conjunto dos números Reais
Este conjunto é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos
números irracionais.
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Potenciação
Seja a ∈ R, a 6= 0 e n ∈ Z. Então
an =









1 se n = 0
an−1 · a se n > 0
1
a−n
se n < 0
.
Se a = 0 então an = 0 para todo n ∈ Z, n 6= 0.
Dados a, b ∈ R∗ e m,n ∈ Z são válidas as seguintes propriedades:
i) am · an = am+n
ii)
am
an
= am−n
iii) (a · b)n = an · bn
iv) (
a
b
)n =
an
bn
v) (am)n = am·n
4
Temos também:
I) Dado um a ∈ R∗ e n ∈ N, temos que a−n = 1
an
..
II) Dados a ∈ R∗, e p
q
∈ Q (p ∈ Z e q ∈ N∗), temos que a
p
q = q
√
ap.
Radiciação
b) Dados a ∈ R, a ≥ 0 e n ∈ N, dizemos que um número real b, b ≥ 0, é raiz
n-ésima de a se bn = a. Notação: b = n
√
a ⇔ bn = a
c) Em geral,
√
x + y 6= √x+√y Ex:
√
16 + 9 =
√
25 = 5. Porém,
√
16+
√
9 =
4 + 3 = 7 6= 5
d) ( n
√
a)n = a para todo a ≥ 0.
e) Notem:
√
x2 = |x| - Verdadeiro
√
x2 = x - Falso
Eemplo:
√
36 = 6;
√
(−5)2 = 5
Propriedades
Dados a, b ∈ R+, m ∈ Z e n, p ∈ N∗, valem as propriedades:
a) n
√
ab = n
√
a n
√
b
b) n
√
(a
b
)
=
n
√
a
n
√
b
5
c) ( n
√
a)m = n
√
am
d) n
√
p
√
a = np
√
a
Valor absoluto
Dado a ∈ R, o valor de a ou módulo de a é dado por
|a| =



a se a ≥ 0
−a se a < 0
.
Ex:
a) |2| = 2
b) | − 3| = −(−3) = 3
NOTA: |a| =
√
a2
Dados a, b ∈ R, são válidas as seguintes propriedades:
i) |x| < a ⇔ −a < x < a, onde a > 0
ii) |x| > a ⇔ x > a ou x < −a, onde a > 0
iii) |a · b| = |a| · |b|
iv) |a
b
| = |a||b| , onde b 6= 0
v) |a + b| ≤ |a| + |b|
vi) |a − b| ≤ |a| + |b|
6
vii) |a| − |b| ≤ |a − b|
Intervalos em R
Sejam a, b ∈ R, com a < b. Um intervalo em R é um subconjunto infinito de
R que tem uma das seguintes formas:
• [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
• (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}
• (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}
• [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
• [a, +∞) = {x ∈ R; x > a}
• [a, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a}
• (−∞, b) = {x ∈ R; x < b}
• (−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}
Equações e Inequações
Uma equação é uma expressão matemática que envolve o śımbolo de igualdade
(=), enquanto que uma inequação usa o śımbolo de desigualdade (<,> ).
Ex: Resolver a equações:
a) 3x + 4 = −x + 8 b) 2x
5
− 3x = 10
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Equações Modulares
São equações que envolvem o conceito de módulo, ou seja, para K > 0:
|x| = K ⇔ x = K ou x = −K.
Ex: Encontre o conjunto solução das equações:
a) |5x − 2| = 7 b) |1 − x| = |3x − 4|
c) |x + 1| = 3x + 2
8
d) |x2 + x − 5| = |4x − 1|
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Inequações
Vamos agora resolver algumas inequações, lembrando que:
a) |x| < K ⇔ −K < x < K;
b) |x| > K ⇔ x < −K ou x > K.
1. 3 + 7x < 8x + 9
2. 7 < 5x + 3 ≤ 9
3.
x + 2
3
− x − 1
2
≥ x
4.
3 + x
3 − x ≤ 4
10
5.
(1 − 2x)(3 + 4x)
4 − x > 0
6. (x + 5)(x − 3) > 0
7. x2 − 2x + 2 > 0
11
8. |7x − 2| < 4
9. |x + 3| ≤ |x + 1|
10. |7 − 2x
4 + x
| ≤ 2; x 6= −4
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Exerćıcios
1. Um certo número foi somado com 8 e o resultado foi multiplicado por 6. No final,
obteve-se 30. Qual é esse número?
Resposta: -3
2. José tem x reais e seu irmão João tem 320 a mais. Se os dois juntos têm 1610
reais, quanto que José tem?
Resposta: José tem 645 reais.
3. Um certo carro A custa 7000 reais a mais que o carro popular B da mesma marca.
Se os dois juntos custam 31000 reais, descubra o preço de cada um.
Resposta: A: 19.000 e B: 12.000
4. Resolva as equações:
a) 2x − 3 = 5(x − 1)
b) 3(2x − 4) − x
2
=
3
4
c) 7 − 3(4x − 3) = 4(4 − 2x) + 5
5. Uma estrada mede 120 Km. Você percorreu dela. Quanto você andou?
6. Você deve estudar no mı́nimo 4 horas por dia. Ontem você estudou apenas do
tempo. Quantas horas você estudou?
7. Encontre o valor das expressões:
a) (4)−2 + 3−1 − 20 =
b) (−2)3 + 32 − 5−2 =
c) (
√
4)2 + ( 3
√
5)6 − 10 =
d) −32 + 32 + (−3)2 =
8. Expresse as potências sob forma de radicais:
a) 5
1
2 b) −7 13 c) 2 32
d) 2
2
3 e) −6 24
13
9. Expresse os radicais sob forma de potência:
a)
√
12 b) 3
√
7 c) 5
√
125
d)
√
36 e)
4
√
32 f)
3
√
x6
10. Qual o valor da metade dos números: 212, 410, 86?
11. Calcule o valor da expressão 160,5 − 8 13 +
(
1
32
)
−0,2
.
12. Encontre a solução das inequações:
a) 3 − x < 5 + 3x R: (−1/2,∞)
b) 2 > −3 − 3x ≥ −7 R: (−5/3, 4/3)
c) x2 ≤ 9 R: [−3, 3]
d) x2 − 3x + 2 > 0 R: (−∞, 1) ∪ (2,∞)
e) 1 − x − 2x2 ≥ 0 R: [−1, 1/2]
f)
x
x − 3 < 4 R: (−3,∞) ∪ (4,∞)
g)
x + 1
4 − x2 < 0
h) (x2 − 1)(x + 4) ≤ 0
i)
1
x + 1
≥ 3
x − 2 R: (−∞,−5/2) ∪ (−1, 2)
j)
3
x2 − 5 < 0
k) x2 − 25 > 0
l)
x + 3
2x − 1 ≥ 0
m) x3 − 3x + 2 ≤ 0 R: (−∞,−2) ∪ 1
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