CALCULO INTEGRAL 4

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Cálculo Integral 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Métodos de Integração II
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•	 Método	da	Integração	por	Partes
•	 Substituição	Trigonométrica
 · Nesta unidade serão apresentados dois métodos de integração, um 
denominado integração por partes e outro, substituições trigonométricas. 
Estes dois métodos, conjugados com as integrais mais importantes 
estudadas anteriormente, ajudam a determinar integrais indefinidas de 
outras funções que não utilizam os métodos estudados.
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de determinar a integral indefinida 
de uma função real por meio do método da integração por partes e da regra da substituição 
trigonométrica, de forma separada ou conjunta.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização das mesmas. 
Métodos de Integração II
6
Unidade: Métodos de Integração II
Contextualização
As identidades trigonométricas são bastante utilizadas quando queremos determinar integrais 
envolvendo funções trigonométricas. Estas identidades são igualdades que são verdadeiras 
para todos os valores das variáveis envolvidas.
A identidade trigonométrica mais utilizada é:
sen2 x + cos2 x = 1.
Esta igualdade estabelece uma relação básica entre a função seno e a função cosseno, e é 
denominada de identidade trigonométrica fundamental.
Não podemos esquecer das demais identidades fundamentais:
=
1 
cos
sec x
x
=
1 
 
cossec x
sen x
1 + tg2 x = sec2 x
1 + cotg2 x = cossec2 x
=
 
cos
sen xtg x
x
=
cos 
 
xcotg x
sen x
Outras identidades trigonométricas bastante utilizadas são as fórmulas do ângulo-metade 
para o seno e o cosseno:
−
=2
1 cos2
2
xsen x ||
+
=2
1 cos2
2
xcos x .
Temos ainda as fórmulas do ângulo duplo, que são úteis para simplificar algumas 
expressões. Para a função seno temos uma identidade:
sen 2x=2sen x.cos x.
Para a função cosseno temos três identidades:
cos 2x = cos2x - sen2x,
cos 2x = 2cos2x - 1,
cos 2x = 1 - 2sen2x.
Para a função tangente temos uma identidade.
=
− 2
2 2
1
tg xtg x
tg x
.
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Método da Integração por Partes
Uma das regras de derivação estudada é a regra do produto, que é utilizada para determinar 
a derivada de funções escritas como produto de funções. Para a integração também temos um 
método correspondente, o método da integração por partes.
Se consideramos f e g como funções diferenciáveis, a regra do produto é dada por:
f’.g + f.g’ = (f.g)’
E podemos escrever, com outra notação, como:
( )+ ='. . ' .df g f g f gdx
Com a notação de integrais temos que esta expressão pode ser escrita como:
∫ [f’(x).g(x) + f(x).g’(x)] dx = f(x).g (x),
∫ [f’(x).g(x)] dx + ∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x).
Assim, podemos escrever que o método da integração por partes utiliza a seguinte fórmula:
∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x) - ∫ [f’(x).g(x)] dx.
E, se utilizarmos f(x)=u e g(x)=v, além dos diferenciais f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv, podemos 
reescrever esta expressão de maneira simplificada como:
∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x) - ∫ [f’(x).g(x)] dx,
∫ u.dv = u.v - ∫v.du.
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Unidade: Métodos de Integração II
Exemplos
1 Determinar a integral indefinida: ∫ xex dx.
Sabemos determinar a integral indefinida da função f(x)=x e sabemos determinar a da 
função g(x)=ex, entretanto quando pensamos no produto destas duas funções, temos que 
utilizar o método da integração por partes.
Considerando:
 u= f(x)= x du= dx,
 v= g(x)= ex dv= ex dx.
Utilizando a fórmula da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu
∫ x.ex dx= x.ex - ∫ ex dx= x.ex - ex+c
 
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x)= x.ex - ex + c
F’(x)= 1.ex + x.ex - ex= x.ex
que é a função que estávamos integrando.
Vejamos outro exemplo, agora com uma função trigonométrica. 
2 Determinar a integral indefinida: ∫ x.sen x dx
Sabemos determinar a integral indefinida da função f(x)=x e sabemos determinar a da 
função g(x)=sen x, entretanto, quando pensamos no produto destas duas funções temos que 
utilizar o método da integração por partes.
Considerando:
 u= f(x)= x du= dx
 v= g(x)= sen x dv= cos x dx
Sendo assim, ao utilizar a fórmula da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= ∫ x.cos x dx.
Não é a função que queremos determinar a integral indefinida. Então, percebemos que 
existe uma ordem para a utilização da regra do método da integração por partes.
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Devemos perceber que temos na expressão da função que queremos determinar a integral 
indefinida uma função u e outra função derivada dv.
Assim, devemos identificar o que chamaremos por u, que iremos derivar para obter du, e 
o que será identificado por dv, que iremos integrar para obter v.
Vejamos, então, como utilizar corretamente a fórmula do método da integração por partes.
∫ x.sen x dx
Vamos denominar por:
u= x derivando du= 1.dx
dv= sen x dx integrando v= ∫ sen x dx= - cos x
Ao utilizar a fórmula do método da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ x.sen x dx= -x.cos x - ∫ 1.(-cos x) dx,
∫ x.sen x dx= -x.cos x + ∫ cos x dx,
∫ x.sen x dx= -x.cos x + sen x + c.
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x) = -x . cos x + senx + c,
F’(x) = -cosx - x . (-sen x) + cos x = x . senx.
que é a função que estávamos integrando. 
Vejamos outro exemplo, agora com a função logarítmica. 
3 Determinar a integral indefinida: ∫ ln x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes.
Vamos escolher u e dv.
u= ln x derivando =
1 .du dx
x
dv= dx integrando v= x
∫ u.dv = u.v - ∫ vdu,
= − = − = − +∫ ∫ ∫
1ln .ln . . .ln 1. .lnx dx x x x dx x x dx x x x c
x
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Unidade: Métodos de Integração II
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x)= x.ln x - x + c,
( ) = + − = + − =1' ln . 1 ln 1 1 lnF x x x x xx
que é a função que estávamos integrando. 
Vejamos outro exemplo, agora que envolve utilizar a fórmula do método da integração 
por partes duas vezes.
4 Determinar a integral indefinida: ∫ ex.sen x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes aplicado 
duas vezes.
Vamos escolher u e dv.
u= ex derivando du= ex dx
dv= sen x dx integrando v= ∫ sen x dx = -cos x 
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ ex.sen x dx= ex.(-cos x) - ∫(-cos x).ex dx,
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ∫ cos x.ex dx.
Ç
Vamos determinar esta integral e 
depois voltamos a esta expressão.
E chegamos a uma integral indefinida que também teremos que utilizar o método da 
integração por partes para poder concluir esta resolução. Precisamos utilizar o método para 
determinar a seguinte integral indefinida:
∫cos x.ex dx.
Vamos escolher u e dv.
u=ex derivando du= ex dx
dv= cos x dx integrando v= ∫ cos x dx= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ cos x.ex dx=ex.sen x - ∫ sen x.ex dx,
∫ cos x.ex dx= ex.sen x - ∫ ex.sen x dx.
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Substituindo esta expressão na fórmula que estávamos calculando, teremos:
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ∫ cos x.ex dx,
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ex.sen x - ∫ ex.sen x dx,
2 ∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ex.sen x + c,
( )−
= +∫
. cos
. 
2
x
x
e sen x x
e sen x dx c .
Vejamos mais um exemplo de como determinar uma integral indefinida utilizandoduas 
vezes o método da integração por partes.
5 Determinar a integral indefinida: ∫x2 cos x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes aplicado duas vezes.
Vamos escolher u e dv.
u= x2 derivando du= 2x dx
dv= cos x dx integrando v= ∫ cos x dx= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ x2 cos x dx= x2.sen x - ∫ 2x.sen x dx,
∫ x2 cos x dx= x2.sen x - 2 ∫ x.sen x dx.
Ç
Esta integral já foi calculada no 
exemplo 2.
Como já determinamos esta última integral anteriormente pelo método da integração por 
partes, vamos inserir nesta última expressão o resultado obtido:
∫ x2 cos x dx = x2.sen x -2(-x . cos x + sen x) + c,
∫ x2 cos x dx = x2.sen x + 2x.cos x -2sen x + c.
Podemos ainda utilizar diferentes métodos conjuntamente para determinar uma integral 
indefinida. Vejamos mais um exemplo que utiliza o método da integração por partes e a 
regra da substituição.
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Unidade: Métodos de Integração II
5 Determinar a integral indefinida: ∫ x.cos 2x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes:
Vamos escolher u e dv.
u= x derivando du= dx
dv= cos 2x dx integrando v= ∫ cos 2x dx 
Ç
Esta integral indefinida é determinada 
pela regra da substituição.
Vamos determinar esta integral indefinida primeiro, antes de continuar com a fórmula do 
método da integração por partes.
∫ cos(2x) dx.
Consideremos:
t= 2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx
( ) ( )= = = + = +∫ ∫ ∫
cos 1 1 1cos 2 cos 2
2 2 2 2
tx dx dt tdt sent c sen x c .
Portanto, temos que:
( )= +∫
1cos(2 ) 2
2
x dx sen x c .
Voltemos à integração por partes, que estávamos realizando.
Tínhamos escolhido u e dv.
u= x derivando du= dx
dv= cos 2x dx integrando ( )= =∫
1cos2 2
2
v xdx sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
( ) ( )
( ) ( )
= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
1 1.cos2 . 2 2
2 2
1 1.cos2 . 2
2 2
2
x x dx x sen x sen x dx
x x dx senx sen x x dx
Ç
Esta integral também deve ser 
determinada pela regra da substituição.
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Para terminarmos de determinar esta integral indefinida, necessitamos novamente utilizar 
a regra da substituição:
∫sen(2x) dx,
Consideremos:
t= 2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx
( ) ( )= = = − + = − +∫ ∫ ∫
 1 1 12 cos cos 2
2 2 2 2
sentsen x dx dt sentdt t c x c ,
Portanto, temos que:
( ) ( )= − +∫
12 cos 2
2
sen x dx x c .
Voltando à integração que estávamos realizando, temos:
( ) ( )= − ∫∫
1 1.cos2 . 2 2
2 2
x x sedx x sen x n x dx ,
( ) ( ) = − + 

−

∫
1 1.cos2 . 2 1 cos 2
22 2
x x dx x s xen x c ,
( ) ( )= + +∫
1 1.cos2 . 2 cos 2
2 4
x x dx x sen x x c .
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, e para isso utilizaremos a regra do produto.
( ) ( ) ( )= + +1 1. 2 cos 22 4F x x sen x x c ,
( ) ( ) ( ) ( )( )= + + −1 1 1' 2 .cos 2 .2 2 .22 2 4F x sen x x x sen x ,
( ) ( ) ( ) ( )= + −1 1' 2 .cos 2 22 2F x sen x x x sen x ,
F’(x)= x.cos(2x).
que é a função que estávamos integrando. 
Podemos verificar que determinar uma integral indefinida não é sempre uma tarefa simples 
e podemos utilizar diferentes métodos para sua determinação. Vejamos mais um método para 
utilizar com funções trigonométricas.
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Unidade: Métodos de Integração II
Substituição Trigonométrica
Quando temos que integrar uma função que envolve funções trigonométricas, temos um 
problema normalmente. Vejamos um exemplo:
∫cos2 x dx=∫(cos x)2 dx.
Não podemos utilizar a regra da substituição, pois se considerarmos u=cos x, teremos 
du= -sen x dx, que não existe em nossa expressão.
Se tentarmos utilizar o método da integração por partes, teremos:
u= cos x derivando du= -sen x dx
dv= cos x dx integrando v= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ cos2 x dx= cos x.sen x - ∫ sen x.(-sen x)dx,
∫ cos2 x dx= cos x.sen x + ∫ (sen x)2 dx.
Ou seja, trocamos de cos x para sen x e não resolvemos a integral indefinida.
Nestes casos, a substituição trigonométrica pode resolver o problema. Para utilizar esta 
regra, precisamos conhecer algumas identidades trigonométricas para fazer as substituições.
Na situação que temos, iremos utilizar a seguinte identidade, a do ângulo-metade:
+
=2
1 cos2
2
xcos x
Desta forma, substituindo esta expressão na integral indefinida que queremos determinar, temos:
+
= = +∫ ∫ ∫ ∫2
1 cos2 1 cos2 
2 2 2
x xcos x dx dx dx dx ,
( ) = + + 
 
∫ 2
1 1 2
2 2 2
xcos x dx sen x c .
Lembrar que já determinamos, no exemplo 6 do Método 
da Integração por Partes, a integral indefinida
( )= +∫
1cos(2 ) 2
2
x dx sen x c .
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E temos, portanto, que:
( )= + +∫ 2
1 2
2 4
xcos x dx sen x c .
Exemplos
1 Determinar a integral indefinida: ∫ sen3 x dx.
Primeiramente, vejamos que:
sen3 x= sen x.sen2 x.
Vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:
sen2 x + cos2 x= 1,
sen2 x= 1 - cos2 x,
∫ sen3 x dx= ∫ sen x.sen2 x dx= ∫ sen x.(1 - cos2 x) dx,
∫ sen3 x dx= ∫ sen x dx - ∫ sen x.cos2 x dx,
∫ sen3 x dx= -cos x - ∫ sen x.cos2 x dx.
Queremos determinar esta integral indefinida para podermos continuar a resolução. Vamos 
utilizar a regra da substituição:
∫ sen x.cos2 x dx.
Consideremos:
t= cos x então dt= -sen x dx ⇒ - dt= sen x dx,
= − = − + = − +∫ ∫
3 3
2 2 .
3 3
t cos xsen x cos xdx t dt c c .
Retornando à resolução, temos:
∫ sen3 x dx= -cos x - ∫ sen x.cos2 x dx,
 
= − − − + 
 
∫
3
3 cos
3
cos xsen x dx x c ,
= − + +∫
3
3 cos
3
cos xsen x dx x c .
Vejamos outro exemplo que envolve mais de uma função trigonométrica na expressão 
a ser integrada.
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Unidade: Métodos de Integração II
2 Determinar a integral indefinida: ∫ sen2 x.cos2 x dx.
Vamos utilizar a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )−
=2
1 cos2
2
x
sen x
Substituindo na integral indefinida temos:
( )−
=∫ ∫2 2 2
1 cos2
. . 
2
x
sen x cos x dx cos x dx
( )
= −∫∫ ∫2 2
2
2
cos2
. 
2
. 
2
cos xsen x
x
coscos x dx d xx dx
 
(I)
Vamos determinar estas integrais indefinidas separadamente.
A primeira integral indefinida já foi determinada anteriormente, foi o primeiro exemplo 
dado para a regra da substituição trigonométrica:
( ) = = + + 
 
∫∫ 2
2 1 1 1 
2
2
2 2 2 4
xcos x dxcos x d nx se x c ,
( )= + +∫
2 1 2
2 4 8
cos x xdx sen x c , 
(II)
Vejamos, agora, a segunda integral indefinida: 
( )
∫ 2
cos2
. 
2
x
cos x dx ,
Para isso, utilizaremos a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos2
2
x
cos x ,
Substituindo na expressão temos:
( ) ( ) ( )+
=∫ ∫2
cos2 cos2 1 cos2
. . 
2 2 2
x x x
cos x dx dx ,
( ) ( ) ( ) ( )
= +∫ ∫ ∫2
cos2 cos2 cos2 cos2
. . 
2 4 2 2
x x x x
cos x dx dx dx ,
( ) ( ) ( )
= +∫ ∫∫ 2
2
cos2
 
cos2 cos2
 . 
4 42
x
d
xx
cos x xdx dx .
Ç
Vamos utilizar a regra da substituição.
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Vamos separar também a resolução desta integral indefinida em duas partes. Para resolver 
a primeira parte vamos utilizar a regra da substituição:
( )
∫
cos2
 
4
x
dx
Consideremos:
t=2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx ,
( )
= = + = +∫ ∫
cos2 cos sen sen2 
4 8 8 8
x t t xdx dt c c .
Vejamos agora a segunda parte desta última integral indefinida.
( )
∫
2
cos2
 
4
x
dx .
Vamos utilizar novamente a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos2
2
x
cos x .
Como temos cos 2x e não cos x, vamos substituir nesta fórmula do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos4
2
2
x
cos x .
Substituindo na integral indefinida temos:
( ) ( )+
= = + =∫ ∫ ∫ ∫
2
cos2 1 cos4 1 cos4 
4 8 8 8
x x xdx dx dx dx
( )
= +∫ ∫
2
cos2 cos4 
4 8 8
x x xdx dx .
E para resolver esta integral indefinida utilizaremos a regra da substituição.
Consideremos:
t=4x então dt=4 dx ⇒ =
4
dt dx ,
= = + = +∫ ∫
cos4 cos 4 
8 32 32 32
x t sent sen xdx dt c c .
Portanto, temos que:
( )
= + +∫
2
cos2 4 
4 8 32
x x sen xdx c .
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Unidade: Métodos de Integração II
Agora voltemos ao cálculo das integrais indefinidas.
( ) ( ) ( )
= +∫ ∫∫ 2
2
cos2
 
cos2 cos2. 
4 42
x
d
xx
cos x xdx dx ,
( )
= + ++∫ 2
sen2
8
cos 4
8
2
. 
2 32
x sx cos x dx xx en c .
Portanto, temos que:
( )
= + + +∫ 2
cos2 sen2 4. 
2 8 8 32
x x x sen xcos x dx c
 
(III)
E podemos agora determinar a integral indefinida solicitada em (I), utilizando os resultados 
de (II) e (III):
( )
= −∫∫ ∫2 2
2
2
cos2
. 
2
. 
2
cos xsen x
x
coscos x dx d xx dx ,
( )  = − + 
 
++ +∫ 2 2
se1 2 n2 4
8 88
.
4
 
32
x xx sesen x cos x d se xn xx n c ,
( ) ( )= + − − − +∫ 2 2
1 1 4. 2 2
4 8 8 8 32
x x sen xsen x cos x dx sen x sen x c .
= − +∫ 2 2
4. 
8 32
x sen xsen x cos x dx c .
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra da cadeia:
( ) = − +48 32
x sen xF x c ,
( ) = − = −1 4cos4 1 cos4' 8 32 8 8
x xF x .
Utilizando a identidade trigonométrica:
cos 2x=1-2sen2 x
19
e substituindo 2x por 4x, temos:
cos 4x= 1 - 2sen2 (2x).
Considerando ainda a identidade trigonométrica:
sen 2x=2sen x.cos x.
temos, substituindo estas duas identidades em F’(x), que:
( ) = − co1' 48 8
sF x x ,
( ) ( )
−
= −
21 2 21'
8 8
sen x
F x ,
( ) ( )( )−= −
2
1 2 21'
8 8
sen x
F x ,
( ) ( )
−
= −
2
1 2 2 .cos1'
8 8
sen x x
F x ,
( ) ( )= − +
2
8 .cos1 1'
8 8 8
sen x x
F x ,
F’(x)=(sen x.cosx )2,
F’(x)=sen2.cos2 x.
que é a função que estávamos integrando.
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Unidade: Métodos de Integração II
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
•	 ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
•	 STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
•	 THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
•	 http://www.somatematica.com.br/superior.php 
•	 http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
•	 https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/
integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
21
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
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Unidade: Métodos de Integração II
Anotações