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Equação de Bernoulli
Evandro Bastos dos Santos
7 de Abril de 2019
1 Tipos de Escoamentos
Já vimos nas aulas passadas que a hidrodinâmica é uma parte da mecânica de fluidos que
é responsável pelo estudo do movimento dos fluídos. Sua aplicação prática acontece nos
sistemas envolvendo fluidos líquidos ou até mesmo correntes de ar.
O movimento de um fluido, pode ser definido como o escoamento. Que tem algumas
classificações:
Escoamento Estacionário ou laminar, ocorre quando a velocidade de escoamento é pe-
quena, em outras palavras, a velocidade fluido é a mesma em todos os pontos. Ex.: a água
de um rio calmo, escoamento de ar e gases.
Escoamento não estacionário ou turbulento, ocorre quando a velocidade do fluido varia
no tempo. Ex.: quedas d’água em virtude de rochas.
O diâmetro dos tubos e a viscosidade do fluido tem influência primordial em efeitos de
escoamento de fluidos, pois aparecem forças de movimento relativo entre as camadas do
fluido (cisalhamento), o que ocasiona a dissipação de energia mecânica.
2 Equação de Bernoulli
Assim como na nossa definição da vazão volumétrica, devmos considerar, para a dedução
da equação de Bernoulli que o flui é incompressível, sem viscosidade e possui escoamento
laminar.
Vamos iniciar o estudo observando a imagem abaixo
Figura 1: Escoamento de um fluido em pontos de alturas diferentes
1
A energia potencial de um fluido muda enquanto ele se move. Enquanto que o fluido
se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume V que se
movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial do fluido no resto do tubo é
a mesma que a energia potencial da água antes do movimento.
Logo, temos que
∆U = (∆m)gh2 − (∆m)gh1 = ρ∆V g(h2 − h1) (1)
e a variação na energia cinética
∆Ec =
1
2
(∆m)v22 −
1
2
(∆m)v21 =
1
2
ρ∆V (v22 − v21) (2)
O fluido na parte da esquerda empurra as demais partículas, na parte direita, exercendo
uma força F1 = P1A1, em que P1 é a pressão no ponto 1. Essa força produz um trabalho
W1 = F1∆x1 = P1A1∆x1 = P1∆V. (3)
Simultaneamente o lado direito faz uma força no lado esquerdo.
F2 = P2A2W2 = −F2∆x2 = P2A2∆x2 = P2∆V. (4)
O trabalho total é,portanto,
WT = P1δV − P2∆V = (P1 − P2)∆V (5)
Sendo o trabalho total a soma das energias potencial e cinética (W = ∆Ec + ∆U ).
(P1 − P2)∆V = ρ∆V g(h2 − h1) +
1
2
ρ∆V (v22 − v21). (6)
Dividindo por ∆V ,
(P1 − P2) = ρg(h2 − h1) +
1
2
ρ(v22 − v21) (7)
P1 + ρgh1 +
1
2
ρv21 = P2 + ρgh2 +
1
2
ρv22, (8)
ou seja
P + ρgh+
1
2
ρv2 = constante. (9)
Isso significa que essa combinação de grandezas tem o mesmo valor em qualquer ponto
do fluido! Essa equação é chamada de Equação de Bernoulli, aplicada ao escoamento em
regime permanente de um fluido ideal (viscosidade nula e incompressível). Foi publicada
pela primeira vez por Daniel Bernoulli, suíço, em 1738.
2
3 Aplicações da Equação de Bernoulli
3.1 Efeito Magnus:
Figura 2: Escoamento de um fluido em pontos de alturas diferentes
3.2 Sustentação aérea:
Figura 3: Sustentação da asa de um avião
Figura 4: Sustentação das hélices de um helicóptero
3
3.3 Tubo de Pitot
Quando o termo P = P0, isolado, da equação de Bernoulli for a pressão nos pontos em que a
velocidade do fluido é nula. Essa pressão será chamada de pressão de estagnação do fluxo.
O termo 1
2
ρv2 é chamado de pressão dinâmica do fluxo.
A velocidade do fluxo pode ser obtida a partir das pressões, de estagnação e dinâmica,
v =
√
2(p0 − p)
ρ
(10)
O tubo de pitot é um sensor de pressão que possibilita o funcionamento de um dos mais
importantes instrumentos de uma aeronave, o velocímetro. Basicamente, é um tubo insta-
lado paralelamente ao vento relativo e com um orifício voltado diretamente para o fluxo
de ar resultante da velocidade aerodinâmica da aeronave. Esse orifício se comunica com o
interior de uma cápsula aneróide, instalada no velocímetro da aeronave. A caixa do instru-
mento recebe a pressão estática do ar de uma fonte estática, que não é afetada pela variação
de velocidade da aeronave.
Figura 5: Diagrama ilustrativo de um tubo de Pitot.
Quando a aeronave está estacionária e não há vento relativo, nem real, a pressão que
entra pelo orifício do pitot é somente a pressão atmosférica estática. A cápsula aneróide
permanece então em uma posição neutra e a velocidade indicada é zero. Quando a aeronave
se desloca na massa de ar, o vento relativo causa um aumento na pressão de ar admitida pelo
oríficio do tubo de pitot, em relação à pressão estática, e essa "pressão de impacto", somada
à pressão estática, faz a cápsula aneróide expandir. O movimento de expansão da cápsula é
transmitido aos ponteiros do velocímetro por hastes e engrenagens, do tipo setor e pinhão,
o que faz o ponteiro se movimentar, indicando ao piloto a velocidade da aeronave.
Por ser baseado na equação de Bernoulli, o tubo de Pitot só funciona com fluidos in-
compressíveis e com viscosidade nula. No entanto, a velocidades baixas (Mach< 0, 3 ≈
100m/s ≈ 360km/h), o ar rarefeito a elevadas altitudes pode ser aproximado por esse mo-
delo. Assim, o tubo de Pitot é muito usado para medir a velocidade de aviões, de acordo
com a equação 10. Em velocidades mais altas, a velocidde relativa ao ar (medida pelo tubo
de pitot) e a velocidade real (medida por um GPS), são diferentes.
4 Exercícios
1. 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8”. Esta tubulação, de ferro fundido,
sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. Sabendo-se que a parede da tubulação é
4
de 0,5” , calcule a velocidade nos dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões
(v < 2, 5m/s).
R. V1 = 2, 0m/s, V2 = 3, 90m/s
2. No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250 litros/h. Ao
longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4 litros/h cada, distanciados de
0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho.
R: 90L/h
3. Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão I1, originando um diâmetro D1.
Mantendo-se V1 e duplicando-se I1, demonstre que o diâmetro terá que aumentar 41%.
R: D2 = 1, 41D1.
4. Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,2m e as águas escoam com velocidade
de 2,4m/s, até certo ponto, onde, devido a uma pequena queda, a velocidade se eleva para
12m/s, reduzindo-se a profundidade a 0,6m. Desprezando as possíveis perdas por atrito,
determine a diferença de cota entre os pontos.
Figura 6: Ilustração do ex4
R: y=6,5m
5. Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de grandes dimen-
sões mostrado na figura.
Figura 7: Ilustração do problema
6. A água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado na figura
abaixo. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é
20cm2 e a da seção (2) é 10cm2. Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e
(2) e indica o desnível mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.
5
Figura 8: Ilustração do problema
6